（系统分析与集成专业论文）基于状态等式约束的动态矩阵控制算法分析.pdf

南京信息工程大学硕士研究生学位论文 摘要 模型预测控制( m p c ) 是一种新型计算机优化控制算法。模型( m p c ) 预测控制 算法的特点是：系统模型形式多样化，对模型精度要求较低，模型易于在工业 现场获得，不需要复杂的系统辨识与建模；同时采用反馈校正基础上的在线滚 动优化取代传统的最优控制，滚动优化能够及时地对系统存在的诸多不确定因 素的有害影响进行补偿和抑制，因而使控制系统具有较强的鲁棒性能，而且在 线计算相对比较简单。m p c 的典型算法有三种：模型算法控n ( m a c ) 、动态矩 阵控制( d m c ) 、广义预测控制( g p c ) 。它们都是基于模型预测、滚动优化、反馈 校正三大环节。 在模型预测控制的核心是在线滚动优化，在众多理论研究文献中，这一在 线优化问题都被简化成无约束的二次型性能指标优化，这与其实际工业应用的 状况差别很大。在预测控制发展的3 0 多年时间中，针对有扰动、有摄动和有约 束的模型预测控f l ；j j ( m p c ) 已经得到关注与发展，非线性m p c ( n l m p c ) 和约束 m p c ( c m p c ) 已成为预测控制研究的热点问题。在工业过程中，预测控制的成功 应用大多是在多变量有约束的情况下，因此对约束预测控制的研究有重要的实 际意义。 本文主要研究有约束的d m c 的系统优化问题。对于状态变量存在等式约束 关系的情况，首先建立有约束的被控对象系统，构造关于状态变量的约束子空 间，再采用投影卡尔曼滤波器作为系统的状态观测器，重构系统的状态变量， 不仅抑制了噪声随机干扰，而且使得重构状态更好的符合约束条件，从而增强 系统的稳定性和鲁棒性。随后利用m a t l a b 进行仿真，通过实际模拟仿真来证 实该算法的可行性。 关键字：模型预测控制，动态矩阵控制，状态等式约束，卡尔曼滤波器 南京信息工程大学硕士研究生学位论文 a b s t r a c t m o d e lp r e d i c t i v ec o n t r o li sat y p eo fa d v a n c e dc o m p u t e ro p t i m i z a t i o nc o n t r o la l g o r i t h m s t h e t r a i to fm o d e lp r e d i c t i v ec o n t r o li s ：t h ef o r m so fs y s t e mm o d e l sa r ed i v e r s i f i e d , a n dw i t hl i t t l e r e q u i r e m e n to fa c c u r a c y t h em a t h e m a t i cm o d e lo fc o n t r o l l e ds y s t e mi se a s yt oa c q u i r e ，a n di ti s n o tn e e dt oc o m p l i c a t e ds y s t e ma n a l y s i sa n dp r e c i s em o d e l i n g ；s i n c er o l l i n go p t i m i z a t i o nb a s e d o nf e e d b a c ke m e n d a t i o ni n s t e a do fc o n v e n t i o n a lo p t i m i z a t i o nc o n t r o lm ht h ec o n t r o l l e ds y s t e m c a nc o n q u e rt h eu n c e r t a i n t yi n f l u e n c e ，i n c r e a s i n gt h er o b u s t n e s sa n dc a l c u l a t i n gb u r d e no n - l i n ei s o p p o s i t es i m p l e t h ek e yo fm o d e lp r e d i c t i v ec o n t r o li so p t i m i z a t i o nr o l l i n go n - l i n e o na g r e a td e a lo f r e s e a r - e hl i t e r a t u r ep u b l i s h e di nm a g a z i n eo rc o n f e r e n c e ，t h i so p t i m i z a t i o np r o b l e mc o u l db ep r e d i g e s t q u a d r a t i cp e r f o r m a n c ei n d e xo p t i m i z a t i o nw i t h o u tc o n s t r a i n t s ，i ti sd i f f e rf r o mp r a c t i c a li n d u s t r i a l a p p l i c a t i o n f o rt h i r t yy e a r s ，p r e d i c t i v ec o n t r o lh a sb e e ng r e a td e v e l o p e di nm o d e lp r e d i c t i v e c o n t r o l 、析廿ld i s t u r b a n c e so rc o n s t r a i n t sa n dt h e i rs t a b i l i t y ；r o b u s t n e s s ；f e a s i b i l i t yh a v eb e e n r e s e a r c h e d n o n l i n e a rm o d e lp r e d i c t i v ec o n t r o lt n l m p c ) a n dc o n s t r a i n e dm o d e lp r e d i c t i v e c o n t r o l ( c m p c ) h a v eb e e nr e s e a r c h e di n c r e a s i n g l y o ni n d u s t r i a lp r o c e s s ，m u l t i - v a r i a b l e sa n d c o n s t r a i n e ds y s t e mi si n e v i t a b l e ，s ot h e nr e s e a r c h i n go nc o n s t r a i n t sp r e d i c t i v ec o n t r o lp r o b l e mi s s i g n i f i c a n t m yw o r ki nt h ep a p e ra p p l i e sm y s e l ft or e s e a r c ho nt h eo p t i m i z a t i o nc o n t r o lp r o b l e mo f d m cw i t hc o n s t r a i n e d a tf i r s tb a s e dt 1 1 ec o n t r o l l e ds y s t e mm a t h e m a t i cm o d e ls t r u c t u r e c o n s t r a i n t so ns t a t ev a r i a b l e ss u b s p a c e ，t h e nu s et h ep r o j e c t e dk a l m a nf i l t e ra sp r e d i c t i v e o b s e r v e rt or e c o n s t r u c tt h es t a t ev a r i a b l e s n o to n l ys u p p r e s sr a n d o mn o i s ei n t e r f e r e n c e ，a n d m a k e sab e t t e rr e c o n s t r u c t i o no ft h es t a t ei nl i n ew i t ht h ec o n s t r a i n tc o n d i t i o n , t h u se n h a n c i n g s y s t e ms t a b i l i t ya n dr o b u s t n e s s f i n a l l yc o m p u t e rs i m u l a t i o na p p r o v e st h et h e o r yh a sf e a s i b i l i t y a n da d v a n t a g e k e y w o r d s ：m o d e lp r e d i c t i v ec o n t r o l ( m p c ) ，d y l ：l a ：m i cm a t r i xc o n t r o l ( d m c ) ，s t a t ee q l 】a l i 哆 c o n s t r a i n s ，k l a m a l lf i l t e r i l 学位论文独创性声明 本人郑重声明： 1 、坚持以口求实、创新一的科学精神从事研究工作。 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构已经发 表或撰写过的研究成果。 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示了谢意 作者签名：啦 日 期：盘z ：占：簦 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京信息工程大学有关保留、使用学位论文的规定，学校 有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸 质版：有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书 馆被查阅：有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索；有权将学位论 文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规定 作者签名： 日期： 关于学位论文使用授权的说明 本人完全了解南京信息工程大学有关保留、使用学位论文的规 定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅； 学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他 复制手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 作者签名：每堡丝l e l 期：塑王 ：整 导师签名： 日期： 南京信息工程大学硕士研究生学位论文 1 1 引言 第一章绪论 模型预测控制简称m p c ( m o d e ip r e d i c t i v ec o n t r 0 1 ) ，是7 0 年代末发展起来的一种基于 模型的先进计算机优化控制技术。模型预测控制的产生，并不是理论发展的需要，而首先 是工业实践向控制提出的挑战。2 0 世纪6 0 年代初形成的现代控制理论，在航天、航空等 领域取得了辉煌的成果。然而，人们发现在完美的理论与控制实践之间还存在着巨大的鸿 沟。主要表现在以下方面【1 1 ： ( 1 ) 现代控制理论是基于对象精确的数学模型，而在工业过程中所涉及的对象往往是多 输入、多输出的复杂高维系统，很难精确建立其数学模型，即使建立了数学模型，从过程 实用的角度来说，往往需要简化，因此很难保证得到对象精确的数学模型。 ( 2 ) 工业对象的结构、参数和环境都具有很大的不确定性。由于这些不确定性的存在， 按照理想模型得到的最优控制在实际上往往不能保持最优，有时会引起品质的严重下降。 在工业环境中，人们更关注的是控制系统在不确定影响下保持良好性能的能力，即所谓的 鲁棒性，而不能只是追求理想的最优性。 ( 3 ) 工业控制中必须考虑到控制手段的经济性，对工业控制计算机的要求不能太高。然 而现代控制理论的许多算法往往过于复杂，难以用低性能的计算机实现。 这些来自实际的原因，阻碍了现代控制理论在复杂工业过程中的有效应用，也向控制 理论提出了新的挑战。2 0 世纪7 0 年代以来，除了加强对系统辨识、模型简化、自适应控制、 鲁棒控制等研究外，人们开始打破传统方法的束缚，针对工业过程的特点寻找以数值计算 和建模为主的控制系统设计方法。预测控制就是在这种背景下发展起来的一种新型的计算 机优化先进控制算法【1 1 。 预测控制的基本思想可以追溯到6 0 年代。z a d e h 和w h a l e n 在1 9 6 2 年就提出了有关最小时 间优化的控制问题，在1 9 6 3 年，p r o p o i 提出了预测控制的核心思想一滚动优化，这就是所 谓的“开环优化问题”。但是直到7 0 年代后期，r i c h a l e t 等人在开发基于预测控制算法的i d c o m 软件并已在法国的十几个工业过程对象上获得了成功的应用基础上，于1 9 7 8 年正式发表了 第一篇基于对象脉冲响应模型的论文“模型预测启发式控制( m p h c ) 1 2 】f 3 1 。随后，r o u h a n i 和 l 南京信息工程大学硕士研究生学位论文 m e h r a 通过理论分析和计算机仿真研究，进一步总结和完善了基于对象脉冲响应的预测控 制算法，提出了模型算法控$ i j ( m o d e la l g o r i t h mc o n t r o l , m a c ) 刚，这两种算法采用的模型都 是建立在脉冲响应基础上的。同时人们着手对基于阶跃响应的预测控制进行研究，典型的 如c u r e r 和r a m a k e r 于1 9 8 0 年在联合自动控制会议( j a c c ) 上提交的论文“动态矩阵控 制( d y n a m i cm a t r i xc o n t r o l ，d m c ) 算法【5 p ，同时工程师p r e t t 和g i l l e t t e 在液化、催化裂 化中应用d m c 获得了成功。这两种算法一开始仅局限于慢过程的控制，后来随着预测控 制原理日益为人们所认识，为满足快速系统的要求，r i e h a l e te ta 1 又提出了预测函数控制【们 主要应用于工业机器人控制等。上述两类建立在对象脉冲响应或阶跃响应基础上的预测控 制，是直接从工业生产实践中发展起来的，通常称之为非参数模型预测控制。这类控制策 略的特点是：模型在工业现场易于获得，不需要复杂的系统辨识与建模：采用反馈校正基 础上的在线滚动优化取代传统的最优控制，因而可以克服各种不确定性的影响，增强系统 的鲁棒性，而且在线计算相对比较简单1 3 1 。 8 0 年代后期出现了预测控制的另一个分支即基于参数化模型的预测控制。典型的控制 算法有c l a r k e 等人提出的广义预测控制算法( g p c ) 和l e l i c ( 1 9 8 7 ) 提出的广义预测极点配置 控制( g p p ) 1 7 - 9 1 ，这些算法都是结合自适应控制的研究而发展起来的。 另外，预测控制还有一个分支滚动时域控制( r h c ) 。它最先是由m a y n e ，d q ( 1 9 8 8 ) 提出，并作为l q r 或l q g 的一个变例发展起来的。r h c 采用了状态空间模型来描述，这有 利于采用现代控制理论的方法来分析系统内部机理，因而具有很大的普遍性，并且事实上 g p c 、m p c 都可作为它的一个特例。随着众多学者的不断研究，预测控制的各个分支已经 有了一些初步的统一【3 】。 1 2 预测控制的基本特点 现有的各种预测控制算法，都可以用以下三个特点加以概括i i 0 ： ( 1 ) 预测模型。在预测控制中，需要有一个描述对象输入输出形态行为的预测模型。 对于预测模型，只强调根据现有信息和假设的未来输入预测对象未来的输出，对其结构形 式并无限制，因而状态方程、传递函数、阶跃响应、神经网络等均可作为预测模型。 ( 2 ) 滚动优化。预测控制是一种基于优化的控制，但其控制输入不是根据模型和性能 指标一次解出并予以实施，而是以滚动方式实时求解的。在控制的每一步，定义一个从现 时起到未来有限时域的优化问题，通过参数优化求解出这一时域内的最优控制输入，但只 2 南京信息工程大学硕士研究生学位论文 有即时控制输入真正予以实施。到下一控制周期，又重复上述步骤。 ( 3 ) 反馈校正基于模型的开环优化不能适应对象、环境的不确定性，因此在每一步 进行优化之前，必须检测实际输出并与预测输出进行比较，得到误差信息。利用这一实时 信息对模型预测进行校正，可在一定程度上补偿各种不确定因素对系统的影响。 1 3 预测控制的最新算法 i 1 - 1 7 l 在预测控制发展的3 0 多年中，针对有扰动、有摄动和有约束的模型预测控制伊c ) 已 经得到关注与发展，众多学者在研究其稳定性、鲁棒性、可行性等方面获得了成果非线 性m p c t n l m p c ) 和约束m p c ( c m p c ) 已成为预测控制研究的热点问题1 1 卜1 4 1 。其研究的范围 主要涉及到预测控制的以下方面： ( 1 ) 对现有基本算法作技术性的修正。如引入扰动观测器，采用变反馈校正系数等。 ( 2 ) 从单变量到多变量的推广，把只适合于稳定对象的算法推广到非自衡系统，把预 测控制的应用范围推广到非线性及分布参数系统1 1 2 】。 ( 3 ) 优化目标函数的选取。如采用最小方差的目标函数，其优点是对无约束情况可以 得到明确的解析解，但对于有约束情况，则需要用二次规划或目标规划的方法求解。而l 1 范数的目标函数，在对象的模型与约束皆为线性时，可转化为线性规划的问题求解，无穷 范数的目标函数则是在解决鲁棒预测控制问题的情况下提出的，在模型与约束都是线性的 情况下也可转化为线性规划问题求解【1 3 l 。 ( 4 ) 预测模型的选取。尤其是在非线性预测控制中，由于非线性预测控制要比线性预 测控制复杂的多，因而，目前研究主要集中在选取特殊的非线性模型【1 3 】，如w i e n e r 模型， b i l i n e a r 模型、广义h a m m e r s t e i n 模型、v o l t e r r a 模型等。 ( 5 ) 引入大系统方法，实现递阶或分散的控制算法，以处理高维或信息不全的系统1 1 4 j ( 6 ) 将基本控制算法与先进的控制思想和控制结构相结合，从而形成了自适应预测控 制、模糊预测控制、鲁棒预测控制、神经网络预测控制、递归学习预测控制等。 1 4 本文研究的内容和目的 预测控制技术是一类基于模型预测、滚动优化并结合反馈校正的新型计算机优化控制 算法，实际复杂的工业过程控制都存在着控制量和状态量的约束，模型的不确定性又使得 3 南京信息工程大学硕士研究生学位论文 难以建立其精确模型，且在随机干扰的影响下，预测模型和实际模型往往不匹配，控制输 入并不一定使实际被控系统满足约束条件l l 】。在工业生产过程中，预测控制的成功应用大 多是在多变量有约束的情况下的。早期有关约束预测控制的报道主要有【1 3 】，文章 2 7 是在 模型预测控制的基础上，分别考虑了对控制输入量幅值和变化速率的约束，然后使用二次 规划求解。文章 2 8 中是基于无穷范数优化目标函数，设计出能处理输入约束问题的控制 器，具有计算速度快，稳定性好等优点。文章 2 6 基于多变量简化模型使用二次规划方法， 提出了一种能处理输入、输出约束的广义预测控制算法，并成功应用于精馏塔控制。文章 2 9 通过对不稳定模型的分解处理，得到一种能满足输入约束条件的稳定广义预测控制算 法。文章 3 0 引入一个具有输入约束，基于小波神经网络模型的区域预测控制算法。文章 3 1 提出了一种约束预测控制快速算法，即在每一个时刻只精确求解当前要实施的控制量， 对未来的控制序列则用线性反馈控制器来近似，从而降低了预测控制在线求解的维数，提 高了算法实施的快速性。文章 3 2 研究了线性不确定系统区域极点与状态方差约束下的动 态输出反馈可靠控制器的设计问题。 对于线性约束系统，按无约束情况设计的控制器会破坏系统的稳定性，甚至破坏系统 的硬件设备，因而抑制随机干扰，求解约束问题是主要的控制目标【1 1 。本文研究的是状态 等式约束的优化控制问题。当我们确切的知道系统状态变量之间的约束关系时，称这种约 束条件为硬约束【3 3 1 。在系统存在随机干扰的情况下，传统d m c 预测控制算法采用卡尔曼 滤波器作为状态观测器来重构系统状态，其问题是虽然比较好的抑制了随机干扰，但是系 统状态无法满足硬约束条件1 3 3 1 。当硬约束为线性等式约束时，在已知系统的噪声协方差情 况下，我们采用一种新的稳态k a l m a n 滤波器投影k a l m a n 滤波器来构建系统的状态重构 值，从而使得系统的状态满足线性等式约束，重构误差方差较小，改进了系统的控制输入， 使得被控系统更好的满足约束条件【m 】。 1 5 本文的组织结构 第一章为引言，介绍了模型预测控制算法产生的起因以及几十年来的发展历程；阐述 了预测控制的最新算法和今后的研究方向；最后着重介绍了本文所要解决的问题、工作安 4 南京信息工程大学硕士研究生学位论文 排。 第二章阐述了模型预测控制的基本思想，主要介绍了动态矩阵控制算法。 第三章是本文的核心，在基本的动态矩阵控制算法基础上，提出新的改进算法，引入 投影卡尔曼滤波器作为其状态观测器，并通过理论推导证明。 第四章也是本文的一个重要部分，通过计算机仿真，比较分析两种算法的优缺点。 第五章阐述了本文所提算法的不足，指出今后的研究方向。 5 南京信息工程大学硕士研究生学位论文 第二章模型预测控制基本算法m 2 1 模型预测控制概述 2 1 1 模型预测控制的动态系统响应 由系统理论可知，一个动态系统未来的输出总是由自由运动和强迫运动两项组成的， 即：y ( k + o = y p ( k + o + y i ( k + o 。f 0 ，k 为当前时刻， 其系统输出动态响应结构可由下图2 2 所示。y d ( k + i ) 是系统未舯步的期望输出。儿 是系统的参考输入。 ，v 月 巾) = y p ( f ) + ，i t ) ， r 。l i 编 一r 么 k “ ( 七一2 ) 一1 、 - j r 一1 、 “ )“ ，( f ) r f “i + 1 1 一 ：3 ) 、 ，l 产褂h h 图2 1 动态系统未来输出分解 其中，y ( k + 订系统在j | 时刻的未来各步输出： 儿( 七+ d 系统在j i 时刻的未来各步自由响应输出，它是由系统过去各步的输 入量u ( k d 的作用所产生的或由系统在当前朋寸刻的运动状态所 决定的运动； y j ( k + i ) 系统在七时刻的未来各步强迫响应输出，它是系统未来各步输入 u ( k + d ，i l 所产生的输出运动。 2 1 2 模型预测控制系统的基本原理 根据上图2 1 中的系统输出分解图和下图2 2 中的m p c 控制系统的原理结构图可知模型 预测控制算法的基本思想是：利用已知系统模型和系统过去的控制量和输出量计算出系统 6 南京信息工程大学硕士研究生学位论文 未来预测输出，并按照系统期望输出与预测输出之间差值在线反馈校正，求出系统最优控 制量【1 】o 它的核心步骤是基于模型预测、滚动优化、反馈校正【l o l 。 图2 2m p c 系统原理框图 1 模型多步预测 利用被控过程模型计算出过程系统未来p 步妒 0 为设计参数) 输出的自由运动项，即 系统的初始预测值巧( 七+ 1 ) = 【蚱( 七+ 1 ) ，蚱( j | + 2 ) ，y p c k + e ) t ，t 为转置符号- 2 反馈校正 考虑到预测模型和实际系统特性之间肯定存在差别，这个误差必然造成根据预测模型 计算出来的系统未来p 步初始输出预测值匕( 七+ 1 ) 与实际过程未来尸步初始输出之间存在偏 差( 称为模型预测误差) 。此外，实际系统总是存在着各种外部扰动，在k 时刻以前作用于系 统的扰动势必影响系统的未来预测输出，但是由于模型预测系统未来初始输出，仅参考系 统的控制输入作用，并未考虑被控系统所受到的外部干扰，因此即使模型特性与实际过程 特性完全一致，也将会不可避免的带来模型预测误差。为了减少由模型误差和过去外部扰 动引起的模型预测误差，提高预测精度，一般采用模型预测误差来校正由模型计算出来的 系统未来预测输出，即： 弗( 七+ ，) = y e ( k + d + z 陟( 七) 一脚( 七) 】，f = l 2 ，p ( 2 1 ) 式中，弗( 七+ f ) 是系统在k 时刻的未来第f 步预测输出的重构； y ( k ) 是系统在k 时刻的实际输出测量值； y p ( k ) 是由预测模型所得到的埘刻的系统输出： e ( k ) = 灭七) 一y e ( k ) 是前一步的模型预测误差： ，是校正系数，通常为了简单取z = 1 i = l 2 ，。p 7 南京信息工程大学硕士研究生学位论文 为了书写方便上式( 2 1 ) 可用向量形式表示： 耳( 七+ 1 ) = 耳( 七+ 1 ) + f 陟( 七) 一y p ( | ) 】( 2 2 ) 其中，f = 【ll 1 】0 ； 丘( 七+ 1 ) = 弗( 七+ 1 ) ，弗( 七+ 2 ) ，弗( 七十尸) 】t ； 过程系统的未籽步输出y ( k + d ，i = 1 , 2 ，尸以及系统的强迫响应项乃( 七+ d ，f = 1 , 2 ，p 也可以分别写成向量的形式，如下： y ( 后+ 1 ) = d 七+ 1 ) 畎七+ 2 ) ，y ( k + 户) 】7 ； r ( k + 1 ) = d 0 ( 七+ 1 ) ，乃( 七+ 2 ) ，巧( 七+ 尸) 】1 因为系统未来尸步的强迫响应项是由预测模型和未来肌步( 脚p ) 待优化的控制量 u ( k + o ，f = 0 , 1 ，2 ，m 一1 所决定的，所以我们就可以假设系统的强迫响应项与控制量之间 的关系为： 弓( 七+ 1 ) = 刎( 七) ( 2 3 ) m 胁是预测模型参数构成的矩阵，c ，( 七) = 阻( 七) ，材( 七+ 2 ) ，u ( k + m - d t 是系统未来小步 待优化的控制向量。于是可由式( 2 2 ) 和( 2 3 ) 得出系统未来尸步输出向量： y ( k + 1 ) = 耳( 七+ 1 ) + 弓( 七+ 1 ) = r p ( k + 1 ) + 删( j | ) g 4 ) 3 参考轨线计算 参考轨线指的是系统未来p 步期望输出y d ( k + i ) i = 1 , 2 ，p 形成的一条从系统当前实际 输出y ( 七) 出发的指数型过渡曲线( 如图2 1 中儿( r ) 所示) 。它是由参考模型在初始值为系统当 前实际输出) ，( 七) 条件下，在参考输入儿作用下产生的输出响应。参考模型的动态响应特性 就是闭环控制系统的期望动态响应特性。通常取参考模型尺( s ) = l _ ，f 为时间常数，将 其离散化r ( z ) = 芒享专，劝采样周期，则参考轨线的未来期望输出乃( 七+ f ) 可由下面 一阶差分方程获得： 船篓,(k+i-1)(1-e-ri=l2e-rl，yak e - t t ，九( 2 5 ) 【乃( 七) = 一 命令卢= e 圳7 ，则上式( 2 5 ) 可以整理为儿( 七+ ，) = f l y ( k ) + ( 1 - f l ) 只，= 1 , 2 ，尸，卢( o j b 1 ，( 口一a n - 1 ) 近似等于零， 所以d e t c 0 也近似等于零，因此预测状态空间模型中的预测状态实际上是不完全能控的，因 此不可采用以系统状态完全能控为前提的设计法进行系统控制律的设计。 ( 4 ) 系统未桫输出是完全能控的，若系统有，步纯延迟后，则系统未来前，步输出 不能控，其余各步仍能控。 2 2 2 基于预测状态空间模型的d m c 算法 由预测状态空间模型( 2 11 ) 可得出系统未来p 步输出方程组： y ( k + 1 ) = c x ( k + 1 ) = 弛( 七) + c 弛( 七) y ( k + 2 ) = q ( 七+ 2 ) = c a 2 x ( k ) + c a b a u ( k ) + c b a u ( k ) y ( k + 3 ) = c x ( k + 3 ) = c a 3 x ( k ) + c a b a u ( k ) + c b a u ( k )( 2 1 4 ) ； y ( k + p ) = c x ( k + 一= c a ，x ( k ) + c a ，。1 b a u ( k ) + c a p - 1 b a u ( k ) + + c b a u ( k + p 一1 ) 将该方程写成向量形式，即为系统未来尸步输出预测方程 y ( k + 1 ) = c a1 7 2k ) ： ：l c a ei三c bc a r - b 陵p “口 l l 血( 后+ 1 ) c ，- 1 占 2 c 8 i la ”( 七+ 一1 ) 式中，y ( 七+ 1 ) = 【y ( 七+ 1 ) ，y ( 七+ 尸) 】7 ： u ( 】| ) = 【血( 七) ，a u ( k + p 一1 ) 】r 1 3 = c 户x ( k ) + 6 ：a v ( k ) ( 2 1 5 ) 南京信息工程大学硕士研究生学位论文 rc a r o 1 印引三。 o1 0 l i i 嗍 叫掣，o 一 兰取m 尸，r a u ( k + ，刀) = a u ( k + ，珂+ 1 ) = = a u ( k + p 1 ) = 0 时， g 2 = 口l 口2q a 册 a p 显然，在预测方程( 2 1 5 ) 中， c p 工( 七) = 【屯( 七) ，昂+ 。( 七) 】7 = 耳( 七+ 1 ) 是系统未来尸步预测输出向量： g 2 u ( 七) = ( 七+ 1 ) 是系统未来尸步可调输出向量。 系统未来尸步的二次型性能指标函数： ，= t l 匕( 七+ 1 ) 一矿( 后+ 1 ) l 巴+ i ja u ( k ) i i ； = 匕( 七+ 1 ) 一# a k + o - g 2 u ( 七) 】7 纠艺( 七+ 1 ) 】 ( 2 1 6 ) 一耳( 七+ 1 ) 一g ：u ( 七) 】+ u 7 ( k ) r a u ( k ) 令：o a 生u ( k ) = 2 ( g ；q g 2 + r ) u ( 七) 一2 g ；q 匕( 七+ 1 ) = o ，可解得二次型目标函数的 最优解为： a u ( ) = ( g ；! ：) l z + 尺) 1 g 彳g 眈( 七+ 1 ) 一l ：( 七) 】( 2 1 7 ) 上式( 2 3 2 ) 是系统未来尸步的最优控制增量的向量，因为通常我们只是将此序列中的第一行 作为控制量输入所以当前七时刻的即时最优控制律应为： 血( 七) = 【1 ，0 o 】( q g 2 + 尺) 一1 q 阮( | i + 1 ) 一叫( j i ) 】= k 【圪( 七+ 1 ) 一o x ( 七) 】( 2 i s ) 1 4 + 口 o q ； 南京信息工程大学硕士研究生学位论文 其中，k 1 = 【l ，0 ，o 】( q g + 固一q 为即时控制增益矩阵； 匕( 七+ 1 ) 为未籽步期望输出向量。 因为实际系统状态x ( k ) 不可测量，所以我们必须采用预测状态观测器重构系统状态得 j ( j | ) 。上式中最优控制律中的x ( 七) 应该改用j ( 七) ，故： y p ( k + 1 ) = c p x ( k ) 将写成丘( 七+ 1 ) = o j ( 七) ； 】，( 七+ 1 ) 也将写成矿( 七+ 1 ) = 丘( 七+ 1 ) + ( j | + 1 ) = c p j ( 七) + g 2 a u ( k ) 。 所以当前k 时刻的即时最优控制律应改写为： 朋( 七) = k l 【匕( 七+ 1 ) 一( _ j ( 七) 】 ( 2 1 9 ) 则埘刻的最优控制量为：甜( | i ) = u ( k 1 ) + l f ( 七)( 2 2 0 ) 2 2 3 系统的预测状态观测器 由预测状态空间模型描述的系统，因为实际状态x ( 七) 不可直接测量，但预测状态完全 能观，所以可以用状态观测器来重构预测状态j ( j i ) 。常用预测状态观测器有开环观测器和 闭环观测器两种形式，如果被控系统过程噪声和测量噪声较强，也可以采用稳态k a l m a n 滤波器。 1 开环预测状态观测器 对于预测状态空间模型( 2 1 1 ) 的开环预测状态观测器形式为： x ( k + 1 ) - ：篇蒜 c x ( k ) 】，l 】k ：i | ) + h 畎| | ) 一】 一。“ 将曼( 七) 代入上述( 2 2 1 ) 式中，即得可执行的d m c i i p 时最优控制律： a u ( k ) = 墨【匕( j i + 1 ) 一c ，x ( 七) 】( 2 2 2 ) 为了减少计算量，方程组中第二式也可以改写成： c e x ( k ) = c 户x ( k ) + f d , ( k ) - c x ( , ) 】，f = 【1 ，l ，l 】；d ( 2 2 3 ) c ，j ( j i ) = 丘( 七+ 1 ) 即为校正后的系统未耙步预测输出由此可见，式( 2 2 3 ) 就是系统未来p 步预测输出校正方程。 1 5 南京信息工程大学硕士研究生学位论文 图2 4 开环预测状态观测器及d m c 系统的结构图 所构成的开环预测状态观测器，虽然其中也包含了重构误差校正，但是校正是开环补 偿形式，而不是闭环反馈形式，因此获得重构状态j ( 七) 存在较大的重构误差。控制系统性 能上表现出受高频干扰的影响，系统控制增量容易产生较大波动。采用闭环预测状态观测 器，可以提高重构精度，改善系统对高频干扰的抑制能力。 2 闭环预测状态观测器的闭环预测状态观测器可采用预报观测器形式 对应预测状态空间模型( 2 1 1 ) 的闭环预测状态观测器可采用预报观测器形式，即 x ( k + 1 ) = a x ( k ) + b a u ( k ) + f 【y ( 七) 一c x ( k ) 】= ( a f c ) x ( k ) + b a u ( k ) + f y ( k )( 2 2 4 ) 式中，f = 阢，五，厶】7 为观测器反馈增益矩阵，f 应使闭环观测器( 2 2 3 ) 稳定，即应 使闭环观测预测器状态转移矩阵( 彳一f c ) 的所有特征值位于单位圆内。 关于f 阵的设计方法，有以下三种： ( 1 ) 简单选取f = 九l ，l ，1 啪r 。，其中取o f l ，可确保闭环观测器稳定，f 越小，系统对 于干扰滤波效果越好，但系统响应速度变慢： ( 2 ) 按闭环观测器极点配置设计：由于方程式( 2 1 1 ) 中a 阵的特殊结构，预测状态空间模型 式( 2 1 1 ) 其实是一种观测器规范型，所以反馈增益阵f 可按照闭环极点配置来设计由闭环 观测器方程( 2 2 4 ) 可知，观测器状态转移矩阵为： 1 6 南京信息工程大学硕士研究生学位论文 彳一j 陀= 一z 一五 ： ： ： 一 q l 01 ： ： 0 o j 1( 2 2 5 ) 1l 1 j x 显然，所设计的闭环观测器的特征方程为： d e t m - a + f c = + “一1 ) a + c ，；一石) 力- 2 + + c ，i 一厶- 1 ) = o ( 2 2 6 ) 假设配置的闭环观测器的极点为口，i 口，i 。均为对称阵对于单输入单 i 。( 七) 】= 一 输出系统，( 七) 和w ( d 为标量，q 和r 分别为它们的方差。 j 虻口_ 似七) 图2 4 随机干扰下的系统模型结构 ( 2 ) v ( 七) 与，( 七) 统计无关，即它们的互协方差阵：研v ( d w r ( 七) 】= 0 ； ( 3 ) 系统初始状态x ( o ) 也是随机的，其均值研x ( 0 ) 】为已知，然而x ( o ) 与噪声 v ( k ) 和w ( k ) 都是统计无关 取观测器方程为： 誊( 七) 2 兰( 七) + 占“( 七- 1 ) 一 ( 2 2 9 ) 【y ( 七) = x ( k ) + k ( j i ) d ，( 七) 一c x ( d 】 并取重构状态初始值：j ( o ) = 研x ( o ) 】 观测器方程式( 2 2 9 ) q b 第一式为预报方程；第二式为修正方程，其中k ( k ) 为时变反馈 增益矩阵。取观测器的重构性能指标为状态重构误差j ( j | ) 的方差，即： j = e 【石1 ( 七) x ( 七) 】= 研# ( 七) 】 ( 2 3 0 ) l l 其中，j ( 七) = 彳( 七) 一j ( 七) 为重构误差。 若重构误差j ( 七) 的协方差矩阵为： ( 七) ：e 2 ( k ) 2 7 r ( 七) 】= e ij i 2 ( 七哆 i并( 七 【爰( 七) 暑 七) k ) 墨( 七) 戛( 七) 霹( 七) j 最( 七) 爰( 七) 则重构性能指标可以表示为矩阵( 七) 的迹，即j = t r z ( k )( 2 3 2 ) 最优观测器设计就是求解反馈增益阵k ( d ，使观测器的重构性能指标( 2 3 0 ) 禾1 ( 2 3 2 ) 取最小 值。 1 8 ，k，i l y 双讯；厩玩；觚 七七 掣 并 _ 五_ 恐 南京信息工程大学硕士研究生学位论文 令状态预报误差：丘( 七) = x ( 七) 一x ( d 则由系统状态方程( 2 2 8 ) 和预报方程( 2 2 9 ) w 得预报误差为： 爿，( 七) = 彳r ( 七一1 ) + b u ( k 1 ) + r v ( k - 1 ) - a x ( k - 1 ) 一b u ( k 一1 ) = a x ( k 1 ) + r v ( k 一1 ) ( 2 3 3 ) 同时可得重构误差： 石( j i ) = 魃( 七一1 ) + b u ( k 1 ) + f v ( k 1 ) 一彳y ( 七一1 ) 一b u ( k 一1 ) 一k ( k ) c x p ( k ) 一足( 七) w ( j j ) = x ( k 1 ) + r v ( k 一1 ) 一k ( 七) c 砟( 七) 一k ( 七) w ( j ) ( 2 3 4 ) - - x - , ( 七) 一k ( k ) c f ( e ( k ) 一k ( 七) w ( 七) = 【，一k ( k ) c l f g k ( 七) w ( 七) 考虑到j ，( 七) 与“j | ) 统计无关，由此得j ( 七) 的协方差矩阵为： z ( 七) = e x ( 七) x 2 ( 七) 】 = e 【( ，一k ( k ) c ) x p ( 七) 一k ( k ) w ( k ) ( i - k ( k ) c ) x e ( 七) 一k ( 七) w ( j j ) 7 】) = ( ，一k ( k ) c ) e f ( p ( 七) 杉( 七) 】( ，一k ( 七) c ) r + k ( 七) e 【w ( | j ) w r ( 七) 】k r ( 七) ( 2 3 5 ) = ( ，一k ( 七) c ) m ( 七) ( ，一k ( 七) c ) 2 + k ( k ) r k 2 ( 七) 式中，m ( 七) = 研茸( 七) 霹( 七) 】= e a x ( k 一1 ) + r v ( k 1 ) 】【放( 七一i ) + r v ( k 一1 ) 1 r ( 2 3 6 ) 朋( 七) 是状态预报误差露( j | ) 的协方差矩阵。考虑到2 ( k 一1 ) 与，( j i i 一1 ) 统计无关，肘( 七) 有如 下形式： m ( j | ) = 厨爿j ( 七一1 x 矛7 ( 七一1 ) 彳7 】+ z r v ( k 一1 ) v r ( 七一d r r 】= p ( 七一1 ) 彳r + r q r r( 2 3 7 ) 由( 2 3 5 ) 式得出：z ( k ) = ，( 七) 一m ( k ) c 7 k 7 ( 七) 一k ( 七) 伽( 七) + k ( k x c m ( k ) c r + r ) k 7 ( 七) 为了书写简便，将上式中各矩阵带有的省略，并且令d = ( c m c 7 + 尺) ，对上式通过 配项，并考虑到肘和d 均为对称阵，则上式可写成： ：m + k d k r k d d c m m c 7 k r + 脚7 d c m 一们r d 一1 c m = m + k d ( k r d c m ) 一m c r ( k7 一d c m ) 一m c r d 一1 c m = m + k d ( k m c r d 一1 ) 7 一m c r ( k m c7