（电工理论与新技术专业论文）小波函数和连续小波变换的对数域电路实现的研究.pdf

硕士学位论文 a b s t r a c t t h ew a v e l e tt r a n s f o r mi san e ws t y l em a t h e m a t i ca n a l y s i st o o ld e v e l o p e di n 19 8 0 s i th a sc h a r a c t e r i s t i co fm u l t i r e s o l u t i o n t h ec w ti sap o w e r f u lt o o li n a n a l y z i n gt h eu n s t a b l es i g n a l sa n d h a sb e e nu s e di ns i g n a lp r o c e s s i n g f o rt h er e a l - t i m e r e q u i r e m e n t so fs i g n a lp r o c e s s i n gi np r o j e c t ，t h es t u d yo fu s i n gh a r d w a r et or e a l i z e w a v e l e tt r a n s f o r mh a sb e e nd e v e l o p e dr a p i d l y i n s t a n t a n e o u sc o m p a n d i n gc i r c u i t ，n a m e l y ，l o g d o m a i nc i r c u i t ，i st h e k e y t e c h n i q u eu s e db yi n t e r n a t i o n a la c a d e m i at od e v e l o pt h el o w - v o l t a g ea n dl o w - p o w e r a n a l o gv l s ii nr e c e n ty e a r s i te f f e c t i v e l ys o l v e st h ed i l e m m aa r o u s e db yl o w v o l t a g e p o w e r , n o i s ea n dh i g h f r e q u e n c yp r o p e r t y ，t h u sp r o v i d e st h ef a v o r a b l ed y n a m i cr a n g e a n dl o w - p o w e rc o s tf o rt h es y s t e m ，w h i c hi so n eo ft h ei m p o r t a n tm e t h o d st of u l f i l lt h e i cd e s i g no ft h ec w t t h ed e s i g nm e t h o do ft h ec i r c u i t sh a st h ec h a r a c t e r i s t i c so f s y s t e m a t i z a t i o na n dm o d u l a r i z a t i o n ，s oi ts u i t st h ei m p l e m e n t a t i o no ft h ev l s ic i r c u i t o ft h ec o n t i n u o u sw a v e l e tt r a n s f o r ms y s t e m a sar e s u l to fat r a i l b l a z i n gr e s e a r c hi nt h e w o r l d ，i tc a no f f e ru san e wm e t h o df o rt h ev l s is y n t h e s i so fw a v e l e tt r a n s f o r mi n r e a l - t i m e t h ep a p e rc o n c e n t r a t e so nt h ei m p l e m e n t a t i o no ft h ec o n t i n u o u sw a v e l e t t r a n s f o r ms y s t e mw i t ha n a l o gc i r c u i ta n dt h es y n t h e s i st h e o r ya n dd e s i g nm e t h o do f l o g - d o m a i nc i r c u i t s f i r s t l y ，t h ek n o w l e d g ea b o u tt h ew a v e l e tt r a n s f o r mi si n t r o d u c e d t h ec h a r a c t e r i s t i co ft i m e - f r e q u e n c ya n dm u l t i - r e s o l u t i o na b o u tw a v e l e tt r a n s f o r mi s i n t r o d u c e di nd e t a i l s e c o n d l y , t h ep a p e rd o e sad e e pa n ds y s t e m i cr e s e a r c ho nt h e l o g d o m a i nc i r c u i t sa san e wt e c h n o l o g y t h e nw ep r o p o s eak i n do fd i f f e r e n t i a lc i r c u i t i m p l e m e n t e db yt h ei n s t a n t a n e o u se o m p a n d i n gt e c h n i q u ea n dw ea n a l y z ei t sp r i n c i p l e a n de x e c u t ec i r c u i t ss i m u l a t i o n a n dw er e a l i z eak i n do fw a v e l e tf u n c t i o nw i t ht h e d i f f e r e n t i a lc i r c u i t t h ep a p e rp r o p o s e san e wk i n do fc o n t i n u o u sw a v e l e tt r a n s f o r m a n dp r o c e s s i n gc i r c u i t sw h e r et h ew a v e l e tt r a n s f o r mi sf u l f i l l e db yd e m o d u l a t i o n p r o c e s s w ea n a l y z ei t sp r i m a r yc i r c u i t s ，a n di t sp s p i c es i m u l a t i o n si n d i c a t eaw i d e d y n a m i cr a n g ee m p l o y e db yl o w v o l t a g ea n dl o w p o w e r w ed e s i g na n da n a l y z et h e p a r a m e t e r so fa6 - c h a n n e la u d i o - w a v e l e tt r a n s f o r ms y s t e m a tl a s t ，w ee x p l o r es e v e r a l f a c t o r si nt h ec i r c u i t sw h i c hm a ya f f e c tt h ec i r c u i t s p r o p e r t i e s k e yw o r d s ：c o n t i n u o u sw a v e l e tt r a n s f o r m ( c w t ) ：l o g - d o m a i nc i r c u i t ；l o w v o l t a g e a n dl o w - p o w e r ；m a r rw a v e l e t i l i 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取 得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其 他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个 人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果 由本人承担。 作者签名： 鹰茹螗 日期：如年乒月扩f t 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查 阅和借阅。本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位 论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密羽。 ( 请在以上相应方框内打“4 ”) 作者签名： 导师签名： 套、盛安 饷岣 日期：2 0 0 6 年4 月l o 日 日期：2 0 0 6 年4 月l o 日 硕士学位论文 第1 章绪论 小波分析是目前科学和工程技术研究中的一个热门话题，是物理学、计 算机科学、信号和图像处理科学、数学和地球物理勘探等众多领域的专家共 同努力的结果。我们知道，在信号处理的实际应用领域，大多数信号都是非 平稳的信号，小波变换由于在时域和频域同时具有良好的局部化性质，成为 了分析这些非平稳信号的有力工具。目前，小波变换及重构工作大部分在计 算机中利用软件进行。这种计算工作量大，处理时间很长，不利于信号的实 时处理。如果考虑将小波变换利用硬件实现，则可以实现信号处理的实时性。 近些年来，人们发现电流模式电路可以解决电压模式电路所遇到的一些难 题在速度、带宽、动态范围等方面获得更加优良的性能。对数域电路是一 种电流模式的电路设计方法，由于采用了瞬时缩展技术，很好的解决了在低 电源电压下保持动态范围和高频率工作点的问题。我们在研究中采用电流模 式对数域电路来设计连续小波变换的硬件电路，用以实现高速、高精度的模 拟信号处理。 1 1 小波分析与小波变换 小波分析是在现代调和分析的基础上发展起来的一门新兴学科，涉及到 泛函分析、f o u r i e r 分析、信号与系统、数字信号处理等诸方面，是继f o u r i e r 分析之后的一个突破性进展，它给许多相关领域带来了崭新的思想，提供了 强有力的工具，在科技界引起了广泛的关注和高度的重视，同时具有理论深 刻和应用广泛双重意义。小波变换以f o u r i e r 变换理论为基础。但在许多性 质上又要优于f o u r i e r 变换。 在很多情况下，f o u r i e r 分析能够很好的满足分析要求。但是f o u r i e r 变 换无法判断一个特定信号的发生时间。也就是说，f o u r i e r 变换是纯频域的分 析方法。然而实际中，大多数信号含有大量的非稳态成分，例如偏移、趋势、 突变、时间的起始与终止等情况，而且往往是这些情况反映了信号的重要特 征。因此f o u r i e r 变换只适用于频率成分集中且持续时间较长的信号，即研 究可分解为正弦波的线性组合。1 9 4 6 年g a b o r 提出了著名的g a b o r 变换，之 后进一步发展成为短时f o u r i e r 变换。其基本思想是给信号加一个小窗，信 号的f o u r i e r 变换主要集中在对小窗内的信号进行变换，因此可以反映出信 号的局部特征。但由于s t f t 的定义决定了其窗函数的大小和形状均与时间 和频率无关而保持固定不变，这对于分析时变信号来说是不利的。 小波函数和连续小波变换的对数域电路实现的研究 小波变换分析方法是一种时间窗和频率窗都可改变，而窗口面积固定且 形状可以改变的时频分析方法，也就是在低频部分具有较高的频率分辨率和 较低的时间分辨率，而在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨 率，所以被誉为数学显微镜。小波变换有如下特点：( 1 ) 有多分辨率也叫多 尺度的特点，可以由粗及细地逐步观察信号。( 2 ) 可以看成带通滤波器在不 同尺度下对信号作滤波。由于f o u r i e r 变换的尺度特性可知这组滤波器具有 品质因数恒定，即相对带宽恒定的特点。( 3 ) 适当地选择基小波，使其在时 域上为有限支撑，在频域上也比较集中，就可以使小波变换在时频域都具有 表征信号局部持征的能力，因此有利于检测信号的瞬态或奇异点。它随着信 号不同频率成分取样的疏密可以进行自动调节，以达到频率高、质量高的分 析效果。 小波分析的应用研究是与小波分析的理论研究紧密地结合在一起的，它 已经在科技信息领域取得了令人瞩目的成就。小波分析的一个主要优点就是 能够分析信号的局部特征，利用小波分析可以非常准确地分析出信号在什么 时刻发生畸变。小波分析可以检测出许多其他分析方法忽略的信号特性，例 如，信号的趋势，信号的高阶不连续点、自相似特性。小波分析还能以非常 小的失真度实现对信号的压缩与消噪，它在图像数据压缩方面的潜力已经得 到确认。在二维情况下，小波分析除了“显微”能力外还具有“极化”能力 ( 即方向选择性) 。小波变换作为一种数学理论和方法在科学技术和工程界引 起了越来越多的关注和重视。尤其在工程应用领域，特别是在信号处理、图 像处理、模式识别、语音识别、量子物理、地震勘测、流体力学、电磁场、 c t 成像、机器视觉、机械状态监控与故障诊断、分形、数值计算等领域被认 为是近年来在工具和方法上的重大突破。电子信息技术是当今高新技术中重 要的一个领域，它的一个重要方面是信号与图像处理。信号处理已经成为当 代科学技术工作的重要部分。在小波分析的许多应用中，都可以归结为信号 处理的问题。对于其性质随时间是稳定不变的信号，处理的理想工具仍然是 f o u r i e r 分析。但是，在实际应用中的绝大多数信号是非稳定的，而特别适 合于非稳定信号的工具就是小波分析。 1 2 对数域电流模式电路 电流模式信号处理方法和电路设计原理早在二三十年前就已经提出，例 如，k c s m i t h 和a s s e d r a 在1 9 6 8 年提出电流传送器原理；b g i l b e r t 在1 9 7 5 年提出跨导线性电路原理等等。但是，随着近十几年来集成工艺技 术的进步，电流模式电路才得到集成实现和迅速发展。 对数域滤波电路是具有压扩特性的外部线性内部非线性的电流模式电 硕士学位论文 路。这种技术主要晶体管的电压与电流的指数对应关系，信号在处理前被对 数压缩，通过中间电路例如滤波电路进行信号处理，完成之后进行指数扩展， 以恢复最初的动态范围，虽然系统的内部是非线性，但整个系统的输入输出 保持线性，这种处理内部电压摆幅较小，具有高工作频率，低畸变和低干扰 的特点。对数域滤波电路的设计综合方法已有很多种，对于低电压、低功耗 的集成电路设计非常具有吸引力。从采用的元件来看有三极管、c t o s 管以及 b i c m o s 管等；从研究的频率范围来看既有超高频、射频的应用，也有对声音 等低频信号的分析研究。但是对数域电路的设计方法虽多，却没有形成系统， 已有的电路原型在性能结构上都需要做出大的改进；对这类具有内部非线性 外部线性的电路，我们在电路综合之后的分析手段也比较缺乏。我们在前人 的基础上利用对数域电路低电压、低功耗的优点实现连续小波变换系统“1 。 1 3 连续小波变换的硬件电路 近年来国内外对连续小波变换的模拟或模数混合电路实现进行了研究， 获得了一定的进展，给出了几种不同的连续小波变换的实现电路，大致可以 归纳为时域实现和频域实现两个方面。 时域实现的基础是连续小波变换的时域表达式，它的基本定义如下： 设面) e l 2 ( r ) ，p ( f ) 是母小波，a 为尺度因子，且a 0 ，f 反映位移，其 值可正可负，标号“木”表示复数取共轭，x ( f ) 在时域中的连续小波变换式如 下： 暇( 口，f ) = ) 妒i 竖1 d t ( 1 1 ) 口。a 时域实现的优点在于其处理速度快，实现结构也相对简单，便于一体化 集成，适合于要求快速计算小波系数的场合。有一种典型的时域实现的方案 就是幅度调制技术。时域实现的难点在于小波函数发生器的设计，以及对系 统中所采用的乘法器、积分器等器件，要求它们的线性动态范围要宽、工作 带宽要广。 频域实现的基础是连续小波交换的频域表达式。其定义式如下： 设x p ) 是x 0 ) 的f o u r i e r 变换，甲0 ) 是妒0 ) 的f o u r i e r 变换，a 以及r 的 定义同上，则r ( f ) 在频域中的连续小波变换表达式如下： r w t , ( a ，f ) = 罢f x ( 国) - 甲+ o 国) p ”如 ( 1 2 ) 刀 频域实现的优点在于它能实现的小波函数种类较多，实现的方案也比较 灵活，且对于系统实现当中的一些关键部件，例如滤波器的研究都相对比较 成熟。频域实现的方法之一是复解调技术。频域实现的难点在于它的实现结 小波函数和连续小波变换的对数域电路实现的研究 构相对复杂，大多数情况下都是一些数模混合的系统，且在高频运用的领域， 一些实现方法当中对滤波器组的设计要求高，高精度以及宽动态范围的滤波 器设计难度高。 虽然近年来在连续小波的时域以及频域实现的研究上已经取得了许多 的成果，但是仍然有许多问题有待解决：整个实现系统中单个模块的性能还 有待提高；整体设计时作为集成电路的系统，其电源电压与功耗还可以降低； 应用于高频领域中时，系统的抗噪性能还有待提高。随着工艺的不断进步以 及各模块新颖电路的出现，将进一步推动小波理论的广泛和实时应用。小波 变换芯片的成功研制，对于减少实时小波变换计算量，推动小波变换在电气 工程、信号处理、图像压缩和模式识别等诸多领域的广乏应用有重要意义。 1 4 本文的主要工作 本项研究工作是在国内外专家研究工作的基础上，对实现小波函数以及 小波变换的方法进行了较深入的研究，提出了一些实现小波函数的新方法和 实现了一种新型的小波变换电路。本文是国家自然基金项目( 5 0 2 7 7 0 1 0 ) 的 研究课题。 论文分为六个部分： 第一章绪论部分，简略地介绍了小波变换的背景知识，以及本项工作的 意义。 第二章介绍了小波变换的基本理论部分，在f o u r i e r 变换的基础上讨论 了小波变换的定义及分类，给出了小波变换的主要特点。 第三章重点介绍了电流模式对数域电路，详细介绍了对数域电流模电路 的特点结构、性能及发展趋势，分析了几种基本的对数域电流模电路。 第四章讨论了对数域电路在实现小波方面的应用，本章分析了几种常用 的基本小波，提出了一种新型的对数域微分电路。并利用该电路在实现了一 种小波函数，同时探讨了另外几种小波函数的实现方法。 第五章在总结现有连续小波变换硬件实现方法的基础上，提出了一种新 型的连续小波变换的硬件实现方法，给出了相关的硬件结构及仿真结果，同 时提出了一种六通道的音频小波变换电路，对小波变换的误差和电路的噪声 及其它非理想因数进行了分析。 最后是结束语。 硕士学位论文 第2 章小波变换基本理论 小波分析，又称为多分辨分析，它是f o u r i e r 分析发展史上里程碑式的 进展，它提供一种自适应的时一频局部化方法，可自动调节时一频窗，可聚 集到信号时段和频段的任意细节，具备有很强的灵活性。小波变换以f o u r i e r 变换理论为基础，但在许多性质上又要优于f o u r i e r 变换。它不仅同时具有 时域和频域的良好的局部化性质，而且随着信号不同频率成分取样的疏密可 以进行自动调节，以达到频率高、质量高的分析效果。本章介绍了f o u r i e r 变换理论、短时f o u r i e r 变换的特性、连续小波变换的特性等等，是后面章 节利用硬件实现小波变换的理论基础。 2 1f o u rie r 变换理论基础 信号处理的目标是准确的分析，有效的编码，快速的传递，最后是仔细 的重构。在科学研究和工程技术应用研究中，f o u r i e r 变换是最有用的工具 之一，它无论是对数学家来说，还是对其他研究领域的专家以及工程师来说 都是相当重要的。具体地说，f o u r i e r 变换通常是指博里叶变换和博里叶级 数两种分析技术“1 。 2 1 1f o u rie r 级数 考虑定义在( o ，2n ) 上的满足如下条件的可测函数或信号“t ) r 胁) 1 2 d t 佃 ( 2 1 ) 这种函数全体构成的集合，按照通常的函数运算和l 2 范数生成经典的 函数空间l 2 ( o ，2 ) 。由傅立叶变换知，l 2 ( o ，2 ) 中任何一个信号“t ) 都具 有一个傅立叶级数表达式： 厂o ) = e q 矿， ”一 ( 2 2 ) c = 去f 。巾) 矿”如 当满足。晰力一奎纠2 舡。 ， 即在函数空间l 2 ( o ，2n ) 中，傅立叶级数总是成立的。 2 1 2f o u rie r 变换 设f ( t ) l l ( r ) ，则“t ) 的连续f o u r i e r 变换为 f ( 彩) = i 厂( f ) ( p “) + d t = i f ( t ) e 1 “d t ( 2 4 ) 其中：“一表示复共轭；l 1 ( r ) 表示由可积函数组成的函数空间。 由f o u r i e r 变换的定义可以看出它是有界的，而且可以证明它是变量的 连续函数。如果f ( t ) l 1 ( r ) 且f ( ) l 1 ( r ) ，则逆f o u r i e r 变换为： 1 o f ( t ) = - 圭if ( o ) e ”d a j ( 2 5 ) 二i rr ” 从式( 2 5 ) 可以看出，函数f ( t ) 被分解成为幅度为( 1 2 ) f ( ) d 的无限多 个正弦波之和。如果f i t ) 属于平方可积函数组成的函数空间l 2 ( r ) ，即f ( t ) e l 2 ( r ) 但f ( t ) gl 1 ( r ) ，则“t ) 的f o u r i e r 变换不能用式( 2 4 ) 来计算，因为“t ) e 。不可积，但可以利用l l ( r ) n l 2 ( r ) 中函数的f o u r i e r 变换之极限来定义f ( t ) 的f o u r i e r 变换，从而把f o u r i e r 变换稠密扩充到l 2 ( r ) 。 与傅立叶级数的比较： 1 信号的傅立叶变换f ( 。) 相应于傅里叶级数中的傅里叶系数，积分从 全实数轴变为有限的闭区间； 2 傅立叶级数相当于傅立叶变换的反演公式，离散的级数求和变成了全 实数轴上的积分。 虽然f o u r i e r 变换能够将信号的时域和频域特征联系起来，能分别从时 域和频域观察信号，但却不能把两者有机地结台起来。这是因为：为了通过 f o u r i e r 变换研究一个信号的谱特性，必须获得该信号在时域中的全部信息， 甚至包括将来的信息。如果信号在某个时刻的一个小的邻域中变化了，其整 个频谱都受到影响。实际上，信号的时域波形中不包含任何频域信息。f o u r i e r 频谱是信号的统计特性，从其表达式( 2 4 ) 中可以看出，它是整个时间域内 的积分，没有局部化分析信号的功能，完全不具备时域信息，也就是说，对 于f o u r i e r 频谱中的某一频率，不知道这个频率是什么时候产生的。 在实际的信号处理过程中，尤其是在非平稳信号的处理中，信号在任一 时刻附近的频域特征都很重要，或者说信号的频谱是随时间而变化的。对这 种信号仅从时域或频域上来分析是不够的。因此，如何找到一种新的方法， 能将时域和频域结合起来描述所观察信号的时频联合特征而构成信号的时 频谱就成为解决问题的关键。这就是所谓的时频分析法，亦称为时频局部化 方法。 2 2 短时f o urier 变换的特性 硕士学位论文 为了克服f o u r i e r 变换在时一频局部化方面的不足，d g a b o r 在1 9 4 6 年 提出了短时f o u r i e r 变换( w f t ) 方法。它的数学表达式如下： 何，b ) = f 厂( f ) 研e - i ”, t d t ( 2 6 ) 其中，m o ) 为时窗函数，厂o ) l 2 ( r ) 为待分析信号。国o ) 的中心t + 与盯。分别定 义为： p 。赤一e f 岬) l 2 破心7 盯t 。卉一p f ) f w ( f ) f 2 斫 i 心_ 8 窗函数珊( f ) 的宽度为2 吼，此时( 够x ，b ) 给出了信号厂o ) 在时间窗 t + b q ，t + b + c r 。 的局部信息。设品白) 是( f ) 的傅利叶变换，夕白) 是，( f ) 的 傅利叶变换，运用公式( 2 7 ) 和( 2 8 ) 的类似公式，可以求出窗函数国b ) 的 中心甜和半径口。利用p a r s e v a l 恒等式，可以得到： 砷= 工k ，。去 ( z 。) 这时时x 白，6 ) 给出了，在频率窗【m + 盯。，国+ 珊+ 仃。 中的局部信息。 对于给定的窗函数，其顽积为恒定值4 盯。盯。根据h e is e n b e r g 不定性原理， 有正盯。= 1 ，高斯窗函数对应的分析窗口面积最小，为理论的最小值，即上 式取等号。 2 3 连续小波变换 2 3 1 连续小波变换的定义 小波分析方法是一种窗口大小( 即窗口面积) 固定但其形状可以改变， 且时间分辨率和频率分辨率都可改变的时频局部化分析方法。即在低频部分 具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分 辨率和较低的频率分辨率。正是这种特性使小波变换具有对信号的自适应 性。 若具有紧支集的函数l l ，( t ) l 2 ( r ) 且满足容许性条件： c ，= 毕 o o ( 2 1 0 ) 小波函数和连续小波变换的对数域电路实现的研究 其中：q j ( ) 是1 l r 的f o u r i e r 变换。那么1 l r ( t ) 被称为是一个“基小波”。基 小波可以是复信号，特别是解析信号，例如m o r l e t 小波v ( t ) = e x p ( ( 一t 2 t ) + j m 。t 1 就是一例，它是高斯包络下的复指数函数，其虚部是实部的希尔伯特 ( h i l b e r t ) 变换。 由小波的定义知：小波函数一般具有以下特点： 1 小一一它们在时域都具有紧支集或近似紧支集原则上讲，任何满足 式( 2 1 0 ) 可容许性条件的l 2 ( r ) 空间的函数都可作为小波母函数( 包括实数函 数或复数函数、紧支集或非紧支集函数、正则或非正则函数等) 。但一般情况 下，常常选取紧支集或近似紧支集的( 具有时域的局部性) 具有正则性的( 具有 频域的局部性1 实数或复数函数作为小波母函数，以使小波母函数在时频域都 具有较好的局部特性。 2 波动性一一由于小波母函数满足式( 2 1 0 ) 的可容许性条件，则必有 y 如】。= 0 ，也即直流分量为零。由此断定小波必具有正负交替的波动性， 这就是称1 l r ( t ) 为“小波”的原因。 对1 l r 作伸缩口0 、平移r 可得到一族小波函数或者称一族时频原子： ，e ) = 了1 州生1 ( 2 1 1 ) a口 上式中因子1 口的目的是使不同口值下1 l r ( t ) 的能量保持相等，a 也常常称 作尺度因子或膨胀系数，t 为位移因子。若1 i r 与v 分别满足t l l r ( t ) l 2 ( r ) 和uv ( m ) l 2 【r ) ，且v 的时域中心、半径分别用t 和o 。表示；频域中心、 半径分别用和o 。表示，那么，v 。( t ) 是时域中心在r + 口t 半径为ao 。 且频域中心在a 半径为o 。口的窗函数。因此，1 l r ( t ) 在时域给出了一 个时间窗【a t + + f 一口ot ，a t + + r + aot 】，这个窗对于小的a 值变窄而对于大的口值 变宽；类似地，1 l r 。，( t ) 在频域给出了一个频率窗【口一o 。a ，。 口+ o 。a 】，这个窗对于小的a 值变宽而对于大的口值变窄。据此，参数r 仅 仅影响窗口在时一频平面时间轴上的位置，而参数a 不仅影响窗口在时一频 平面频率轴上的位置，还决定了窗函数的窗口形状。另一个重要的性质是， 一旦确定基小波的类型，中心频率与频宽( 带宽) 之比一一品质因数q 与a 值 无关，即： q = 訾= 移= 乏= 常数 豫切 妒_ i 矿一j 刁一瓦一巾。舣 “纠 口 根据上面的讨论可以看出，l r 。，( t ) 在时间一频率面上有时间一频率窗： 时窗宽度为2 aot ，频窗宽度为2o 。a ，面积为4o ，o 。在观察低频信号 时( 随时间变化缓慢的信号) ，需要较宽的时间宽度以观察信号的概貌即要 硕士学位论文 求大的口值，由时域扩展对应于频域压缩的性质，频域宽度要窄；在观察高 频信号时( 随时间变化快速的信号) ，需要较窄的时间宽度以观察信号的细 节即要求较小的口值，由时域压缩对应于频域扩展的性质，频域宽度要宽， 如图2 1 所示( 图中分别以a = l 2 ，a = l ，a = 2 三种情况为例说明时间一频率 窗的可调性) 。由图可见1 i ，。，( t ) 给出的时间一频率窗恰好满足了在上述两种 情况下对窗函数的要求，这一点很符合实际工作的需要。 f 0 z 1 f ( s ) 图2 1 基小波函数分析单元时一频示意图 若“t ) l 2 ( r ) ，那么“t ) 关于每一个基小波1 l r 在l 2 ( r ) 上的积分小波变 换( 1 w t ) 定义为： 啉f ) = 击脚阱， f ( t ) l 2 ( r )( 2 13 ) 其中：f ，c te f _ l 2 ( r ) ，而口0 。其等效频域表达式为： 噼瓜f ) = 尝艇妒渺铀 ( 2 1 4 ) 根据式( 2 1 3 ) 可以看出，“t ) 的小波变换是f ( t ) - - 与基小波族在l 2 ( r ) 2 z 作 内积。该内积也可不严格地解释为卷积，因为： ( 厂 妒( f r ) ) = f 厂咖o r ( 2 1 5 ) ( ，o ) + y o ) ) = 抄( 妒o r 矽r = 厂( | 妒( r r 如 ( 2 1 6 ) 式( 2 15 ) 和( 2 1 6 ) 分别表示f ( t ) 与1 l ，( t ) 的内积与卷积。两式相比，区别仅在于 1 l r ( t ) 首尾发生对调。如果小波函数是关于t = 0 对称的，则计算结果无区别： 如非对称，在计算方法上也没有本质的区别。 ! ：鎏里鍪窑鎏釜尘兰奎垫墼翌鍪堡皇塑耋墨塑罂鍪 式( 2 15 ) 和( 2 1 6 ) 分别给出了“t ) 在时域与频域的局部化特征，在式 ( 2 1 5 ) 中如果t 是连续变量，则称该变换为连续小波变换( c o n t i n u o u s w a v e l e tt r a n s f o r m 简记为c w t ) 。从时域表达式( 2 1 6 ) 看，当a 连续交化时， 对信号作小波变换相当于用无限多个不同中心频率( m a ) 与带宽( 2o 。a ) 的恒q 带通滤波器对信号作滤波再将滤波结果求积分( 求和再求极限) 。与 短时f o u r i e r 变换不同的是，小波变换提供的时间一频率窗是可调的，这正 是小波变换优于经典的f o u r i e r 变换与短时f o u r i e r 变换的地方。此外，小波 变换区别于某些常用变换( 如f o u r i e r 交换、拉氏变换) 的一个特点就是， 它所取的基即基小波1 l ，( t ) 不是固定的，同一个工程问题用不同的小波函数进 行分析结果可能相差甚远。目前，主要是通过用小波分析方法处理信号的结 果与理论结果的误差来判断小波基的好坏，并由此选定小波基。 2 3 2 小波变换的反演及对基本小波的要求 任何变换都必须存在逆变换( 亦称反变换) 才有实际意义对连续小波变 换而言，我们可证明，若采用的小波满足可容许性条件( 公式2 1 0 ) ，则其逆 变换存在，也即根据信号的小波变换系数就可精确地恢复原信号，并满足下 述连续小波变换的逆变换公式： 坪) = 专r 窘呢。，r p “净，其中q = r 鬯些咖 ( 2 17 ) 虽然小波变换没有一个固定的核函数，但并不是任何函数都可以作小波 变换的母小波，为了保证小波反变换的存在，并使小波变换表现出良好的时 频域局部性能，满足一定的冗余性要求，小波变换的母小波还要满足以下条 件。 条件l 容许条件( a d m iss i b l ec o n d i t i o n ) o ：c o 隧如 ( 2 1 8 ) 只有当( 2 1 8 ) 式成立时，小波变换的反演才存在，这样小波变换才有实际意 义。 条件2 能量的比例性( is o m e t r yo fe n e r g y ) 由m o y a l 定理可以推出一个类似于巴塞瓦定理的关系，即小波变换幅度 的平方的积分和信号的能量成正比。 r 警i 呢( 口，r 胁= q 2 d t ( 2 1 9 ) 条件3 正规性条件( r e g u l a r i t yc o n d i t i o n ) 本来，满足容许条件的1 i f ( t ) 便可以用作基本小波。但实际上往往要求更 高些，对1 l r ( t ) 还要施加所谓“正规性条件”，以便( 。) 在频域上表现出较 硕士学位论文 好的局域性能。为了在频域上有较好的局域性，要求w t 。( 口，f ) 随口的减小而 迅速减小。这就要求v ( t ) 的前n 阶原点矩= 0 ，且n 值越高越好。也就是要 求 f o 冲= o ， 此要求的相应频域表示是l l ( m ) 在 阶零点就是容许条件) 。即 p = 1 h ，且玎越大越好 ( 2 2 0 ) 。= 0 处有高阶零点，且阶次越高越好( 一 甲( w ) = ”1 0 ) ，k b = o ) 0 ，九越大越好 ( 2 2 1 ) 这项要求消除了x ( t ) 的多项式展开中t 9 ( p n ) 各项在小波变换中的贡 献，以便突出信号的高阶起伏和高阶导数中可能存在的奇点。即：小波变换 将反映信号中的高阶变化。 条件4 重建核( r e p r o d u c i n gk e r n e l ) 与重建核方程 熏建核方程是小波变换的另一重要性质，它说明小波变换的冗余性。 w t ( a o , v o ) = f 署嘎( 口，r ) k ，如。，0 ，日，r p r ( 2 2 2 ) 式中k ，瓴，f 。，d ，f ) = c ，( 缈。n 。( f ，称为重建核，式( 2 2 2 ) 称为重建核方程， 它说明： 1 正如容许条件指出并不是任意时间函数f ( t ) 都可以充当母小波l i r ( t ) 一样，从d f 域看也不是任意f ( 口，f ) 都可以作w t ；( d ，f ) ，它必须满足重建 核方程。换句话说，小波交换的可逆性是不可交换的。 2 q 反映的是妒。，和。的相关性。当口= o ，f = f o 时巧最大；当 k ，= 占( f v o ，口一口0 ) ，口一r 半平面内各点的小波变换值互不相关，小波变换所 含信息才没有冗余，这就要求不同尺度及不同位移的小波相互正交。不过， 当口，r 是连续变量时这一要求很难达到，因此，j ( ， 经、小波交换后信息总是有 冗余的。从节约数据量来说，这是它的缺点之一，但是从另一方面来说，我 们可以利用连续小波变换的冗余性实现去噪和数据恢复的日的。例如我们可 以利用小波系数的一个子集重构原信号，这样可避免噪声大的连续小波变换 系数区域，对提高抗噪声能力及进行数据恢复等十分有利。从这方面看来， 冗余性又成了连续小波变换的一个优点。 2 3 3 小波分析的应用 小波分析的应用研究是与小波分析的理论研究紧密地结合在一起的，它 已经在科技信息产业领域取得了令人瞩目的成就。小波变换己成功地应用于 信噪分离、通信与语音处理中的予带编码、图像的边缘检测、分割与数据压 缩、计算机视觉中的多分辨率分折，及其使非线性问题线性化、非乎稳问题 小波函数和连续小波变换的对数域电路实现的研究 乎稳化的处理等。信号处理已经成为当代科学技术工作的重要部分。它的目 的是为了对信号实现准确地分析与诊断、编码压缩与量化、快速传递或存储、 精确的重构。从数学的角度来看，信号与图象处理可以统一的看作是信号处 理，在小波分析的许多应用中，都可以归结为信号处理的问题。对于其性质 随时间是稳定不变的信号，处理的理想工具仍然是f o u r i e r 分析。但是，在 实际应用中的绝大多数信号是非稳定的，而特别适合于非稳定信号的工具就 是小波分析。 小波分析的应用十分广泛，它包括涉及数学领域的许多科学，例如已用 于数值分析、构造快速数值方法、曲线曲面的构造、微分方程求解、控制等； 信号处理与图象分析，例如信号的小波滤波、消噪、压缩、传递等，以及图 象的压缩、分类、识别与诊断、去污等；量子力学与理论物理；军事电子对 抗与武器的智能化：计算机对模式的分类与识别；音乐与语言的人工合成： 医学成象与诊断，例如可减少b 超、c t 核磁共振成象的时间，提高分辨率等： 地震勘探数据处理；大型机械的故障诊断等。 随着交通系统的日益高速化与复杂化，对于利用电子地图实施卫星导航 定位的要求也越来越必要。卫星导航定位的研究日益成熟，其关键问题在于 如何实施定位，而对电子地图而言，采用对交通地图要有大压缩比的存储及 方便快捷的局部显示方法是实施的关键。小波的信息压缩方法的各项优点大 多符合上述的要求，运用小波技术于卫星定位系统成为必然。小波分析还可 以应用于计算机视觉、计算机图形、随线设计、湍流、远程宇宙的研究与生 物医学等方面。 2 4 小结 小波变换理论的发展对众多领域都产生了深远的影响，特别是在信号处 理、波形分析技术上，小波变换的分析方法较于傅立叶变换具有很多新的优 点。傅立叶变换适用于分析稳定信号，而小波分析适合于分析非稳定信号。 具有多分辨率分析的特点，而且在时频两域都具有表征信号局部特征的能 力，被誉为分析信号的电子显微镜。本章在介绍了f o u r i e r 级数、f o u r i e r 变换和短时f o u r i e r 变换的一些基本特性，在此基础上详细分析了连续小波 变换的定义、性质、反演等基本特性，最后对小波分析的应用做了简单介绍。 第3 章对数域电流模电路 近二十年来，以电流为信号变量的电路在信号处理中的巨大潜在优势逐 渐被认识并被挖掘出来，促进了一种新型电子电路一一电流模式电路的发 展。人们发现，电流模式电路可以解决电压模式电路所遇到的一些难题。在 速度、带宽、动态范围等方面获得更加优良的性能。研究结果显示，在高频、 高速信号处理领域，电流模式的电路设计方法正在取代电压模式的传统设计 方法，电流模式电路的发展和应用将把现代模拟集成电路推进到一个新阶 段。本章详细地介绍了一种特殊的电流模式电路一一对数域电路，对其工作 原理、特点、应用等方面进行了较深入的分析。 3 1 电流模式电路 电流模式电路这个术语还没有形成一个统一的、严格的定义。一般地讲， 电流模式电路可以定义为：当选用电流而不是电压作为电路中的信号变量， 并通过处理电流变量来决定电路的功能时，称为电流模式电路”1 。 电流模式电路的发展近年来主要集中在模拟电路领域，同时在电流模式 接日电路( d 、d a 变换器) 和数字电路( 逻辑门电路、触发器、存储器) 方面 也有一些研究成果。像电压模式模拟电路一样，电流模式模拟电路也有两种 类型，一种是连续时间的模拟信号处理电路，另一种是在离散时间采样的模 拟信号处理电路。电流模式连续时间模拟电路主要包括静态电流镜、跨导线 性电路、电流传送器、电流反馈运算放大器( 跨阻放大器) 、跨导放大器等等。 电流模式离散时间模拟电路主要有动态电流镜和开关电流电路。上述电流模 式电路都是标准集成部件，用它们可以进一步设计并集成为电流模式子系统 和电流模式系统，例如连续时间滤波器、采样数据滤被器、a d 和d a 数据 变换器以及电流模式神经网络等等。 3 1 1 电流模式电路的性能特点 与电压模式电路相比较，电流模式电路主要有以下性能特点。 i 阻抗水平有别 电压信号与电流信号的实际区别表现在其阻抗水平的高低，实现电压模 式信号处理还是电流模式信号处理。关键要看对电路的阻抗水平的选择。总 的来说，电流信号源具有高阻抗，电压信号源具有低阻抗；电流信号要求低 阻抗的负载，电压信号要求高阻抗的负载。因此，在实践中，把内阻很小的 电信号源作为电压源，把内阻很大的电信号源作为电流源。要求理想电压信 电信号源作为电压源，把内阻很大的电信号源作为电流源。要求理想电压信 小波函数和连续小波变换的对数域电路实现的研咒 号放大器应具有无穷大输入阻抗和零输出阻抗，理想电流信号放大器应具有 零输入阻抗和无穷大输出阻抗。要求电压模式电路的关键节点具有高阻抗、 在大摆幅电压信号下只有小摆幅电流，电流模式电路的关键节点具有低阻 抗、在大摆幅电流信号