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1,第4节无穷小与无穷大无穷小的比较,一、无穷小二、无穷大三、无穷小的比较,主讲：唐辉成,定义1.12若函数在自变量的某个变化过程中以零为极限，则称在该变化过程中,为无穷小量简称无穷小,2.4.1无穷小,例如，当时，是无穷小量；当时，是无穷小量当时，是无穷小量,我们经常用希腊字母，来表示无穷小量,注意：,（1）无穷小是以零为极限的变量，常数中只有零是无穷小,（2）无穷小总是和自变量的变化趋势相关联的，例如:,当时,为无穷小,当时,就不是无穷小,定理1.2函数以为极限的充分必要条件是：可以表示为与一个无穷小量之和即,其中,无穷小的代数性质,性质1无限个无穷小之和仍是无穷小。性质2有界变量与无穷小之积仍是无穷小。推论1常数与无穷小之积是无穷小。推论2有限个无穷小之积是无穷小。,定义1.10如果(或)时，相应的函数值的绝对值无限增大，则称当(或)时为无穷大量，简称无穷大.,2.4.2无穷大,如果函数当时为无穷大，按通常意义来说，极限是不存在的，但为了便于叙述，我们也说“函数的极限是无穷大”并记为,而且，把正值的无穷大叫做正无穷大，把负值的无穷大叫做负无穷大，分别记为,例如，,（1）无穷大是个变量，不是常数,（2）无穷大总和自变量的变化趋势相关联,注意：,时，,时，是无穷小,例1,指出下列函数分别在自变量怎样的变化过程中是无穷小和无穷大？,解,时，,时，是无穷小,时，,时，是无穷大,解,时，,时，是无穷大,时，,时，是无穷大,解,时，所以时，是无穷小,时，,所以时，是正无穷大,练习一,1.下列函数中哪些是无穷小？哪些是是无穷大？,是无穷大,是无穷小,是无穷大,是无穷小,是无穷大,是无穷小,是无穷小,是无穷大,2019/12/15,13,可编辑,解因为，所以是有界变量；,例2求,当时，是无穷小量,根据性质1.2，乘积是无穷小量即,练习,求下列函数的极限,，,，,2.4.3无穷小的比较,定义1.14设、是同一变化过程中的两个无穷小量，,(2)若(是不等于零的常数)，则称与是同阶无穷小量若，则称与是等价无穷小量,(1)若,则称是比高阶的无穷小量也称是比低阶的无穷小量,22,关于等价无穷小，有下面重要的性质定理44设，且存在，则证明：,23,在求极限时，利用定理，分子分母的无穷小因子可用其等价无穷小替换，
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