（固体力学专业论文）非连续边界元分析及自适应计算研究.pdf

摘要 摘要 作为有限元法的一个重要补充，边界元法的研究近年来取得了很大进展，并 广泛应用到工程中的很多领域。边界元法是基于边界积分方程或超奇异边界积分 方程给出的，因此奇异积分和超奇异积分的计算是边界元分析中的一个重要问 题。同时边界元分析中还存在“角点效应”和“边界层效应”等问题，需要给予 特别的注意。 本文以二维位势问题为例，对边界元分析中的几个问题进行了研究和讨论， 主要工作有以下几个方面： 采用非连续边界元解决了“角点效应”问题。在非连续边界元分析中，配位 点位于边界元素的内部，而不是元素的端点，因而可以自然地解决边界元分析中 的“角点效应”问题。 以二维位势问题为例，用非连续边界元离散边界积分方程，推导出了c a u c h y 型奇异边界积分方程和超奇异边界积分方程离散后的系数矩阵积分计算的精确 表达式。用数学归纳法证明了，当应用精确积分表达式计算时，对两种边界积分 方程中的奇异积分不需进行特殊处理，可采用与非奇异积分同样的精确积分表达 式进行计算。 为了提高数值方法的计算效率，并对计算结果的精度给出客观的评价标准， 自适应计算成为计算力学的研究热点。本文将内点位势梯度积分方程中的内点移 至边界，并利用方向导数公式，推导出了求解边界点位势法向导数的积分方程， 将其计算结果与用c a u c h y 型奇异边界积分方程或超奇异边界积分方程计算的结 果的差值作为一种误差指示，进行误差分析，在此基础上，实现了边界元的h 型自适应分析。 用非连续边界元对开口薄壁打件的约束扭转进行了分析，推导出了求解边界 点二次翘曲函数值的边界积分方程，用数值算例验证了用边界元法求解边晃点处 翘曲函数值及内点翘曲函数梯度值时具有较高的效率和求解精度。 关键词：非连续边界元，自适应，奇异积分，薄壁幸t 件 a b s t r a c t a b s t r a c t a s 锄i m p o r t a n ts u p p l e m e n t t of i n i t ee l e m e n t m e t h o d ( f e m ) ，b o u n d a r ye l e m e n t m e t h o d ( b e m ) h a sm a d eg r e a ta c h i e v e m e n ta n df o u n dw i d ea p p l i c a t i o ni ns t r u c t u r e a n a l y s i s i nr e c e n t y e a r s b e m i s b a s e do i l b o u n d a r yi n t e g r a l e q u a t i o n o r h y p e r s i n g u l a rb o u n d a r yi n t e g r a l e q u a t i o n ，t h u s t h ee v a l u a t i o no f s i n g u l a r a n d h y p e r s i n g u l a ri n t e g r a l si nb e m i sa k e y i s s u et h a ts h o e db ea d d r e s s e d t h et c o i t i e r n o d ee f f e c t a n d b o u n d a r yl a y e re f f e c t a s s o c i a t e dw i t hb o u n d a r ye l e m e n ta n a l y s i s a l s on e e ds p e c i a lt r e a l m e n t s e v e r a lp r o b l e m si nb o u n d a r ye l e m e n ta n a l y s i sa r ec o n s i d e r e di nt h i sp a p e rb y t a k i n gt w o - d i m e n s i o n a lp o t e n t i a lp r o b l e m a sa ne x a m p l e t h ec o n t e n ti sa sf o l l o w s ： t h ed i s c o n t i n u o u sb o u n d a r ye l e m e n ti su t i l i z e dt od i s c r e t i z eb o u n d a r yi n t e g r a l e q u a t i o na n dh y p e r s i n g u l a ri n t e g r a le q u a t i o nt o d e a lw i t l lt h e c o m e rn o d ee f f e c t t h ec o l l o c a t i o np o i n to fd i s c o n t i n u o u sb o u n d a r ye l e m e n ti sm o v e di n s i d et h ee l e m e n t i n s t e a do f t h em e s h p o i n t s ，t h u s i tr e s o l v et h e c o m e rn o d ee f f e c t i nan a t u r a lw a y t h ed i s c o n t i n u o u sb o u n d a r ye l e m e n ti su s e dt od i s c r e t i z e c a u c h ys i n g u l a r b o u n d a r ya n dh y p e r s i n g u l a rb o u n d a r yi n t e g r a le q u a t i o no ft w o - d i m e n s i o n a lp o t e n t i a l p r o b l e m t h eb o u n d a r y w a sd i s c r e t i z e di n t o s t r a i g h ts e g m e n ta n dt h ep r i m a r y v a r i a b l e so nt h ee l e m e n ta r ea p p r o x i m a t e db yd i s c o n t i n u o u sl i n e a ra n dq u a d r a t i c e l e m e n t t h ee x a c ti n t e g r a t i o nf o rt h ee v a l u a t i o no fc o e f f i c i e n tm a t r i xi nb e mi s d e r i v e di nt h i sp a p e r i ti sp r o v e db yt h ep r i n c i p l eo fm a t h e m a t i c a li n d u c t i o nt h a tt h e s i n g u l a ra n dh y p e r s i n g u l a ri n t e g r a l s c a l lb ee v a l u a t e da sr e g u l a ri n t e g r a l s b y t h ee x a c t i n t e g r a t i o nd e r i v e df o rd i s c o n t i n u o u sb o u n d a r ye l e m e n t ：n os p e c i a l t r e a t m e n t sa r e n e e d e d t h i sg r e a t l ys i m p l i f i e sc o m p n t e rc o d e si nb o u n d a r ye l e m e n ta n a l y s i sa n d d e s i r a b l er e s u l t sc o u l da l s ob eo b t a l n e d t o i m p r o v e t h e e f f i c i e n c y a n d v a l i d i t y o fn u m e r i c a l a n a l y s i s ，a d a p t i v e c o m p u t a t i o nh a sb e e nas u b j e c to fi n t e n s i v er e s e a r c hi nr e c e n ty e a r s an u m b e ro f e r r o ri n d i c a t o ra n dt h ea d a p t i v em e s hr e f i n e m e n tp r o c e d u r e sf o rb e mh a v eb e e n p r e s e n t e d i nt h i sp a p e r , t h es o l u t i o nd i f f e r e n c eb e t w e e nc a u c h ys i n g u l a rb o u n d a r y a b s t r a c t i n t e g r a le q u a t i o na n dt h eg r a d i e n tb o u n d a r yi n t e g r a le q u a t i o ni st a k e na st h ee i t o r i n d i c a t o r t w on u m e r i c a l e x a m p l e sa r ei m p l e m e n t e dt os h o wt h ev a l i d i t vo ft h e p r e s e n t e d e r r o ri n d i c a t o r i nt h i sp a p e r , b e mi su s e dt oa n a l y z et h et h i n w a l lb a r , w h i c hi s s u b j e c t e dt o0 3 1 a r b i t r a r yd i s t r i b u t e dt w i s t i n gm o m e n t ，w h i l ei t se d g e sa r er e s 订a l n e d t h eb o u n d a r v i n t e g r a le q u a t i o nf o rc o m p u t i n gt h es e c o n dw a r p i n gs h e a rs t r e s si sd e r i v e d n u m e r i c a l r e s u l t sa r ep r e s e n t e dt od e m o n s t r a t et h ee f f i c i e n c ya n d a c c u r a c yo fb e mi nt h e a n a l y s i so f t h i n w a l lb a r k e yw o r d s ：d i s c o n t i n u o u sb o u n d a r ye l e m e n t ，a d a p t i v e ，s i n g u l a ri n t e g r a l ，t h i n - w a l l b a r 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方 外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为 获得石家庄铁道学院或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明 确的说明并表示了谢意。 签名：竖堑日期：西o ，堕 关于论文使用授权的说明 一雌轹严趔 第一章绪论 1 1 边界元法 1 1 1 边界元法的基础 第一章绪论 边界元法是基于控制微分方程的基本解来建立相应的边界积分方程，再结 合边界的剖分而得到的离散算式。j a s w o n 和s y m m 于1 9 6 3 年用间接边界元法求 解了位势问题；r i z z o 3 1 于1 9 6 7 年用直接边界元法求解了二维线弹性问题；c r u s e l 4 】 于1 9 6 9 年将此法推广到三维弹性力学问题。1 9 7 8 年，b r e b b i a 用加权余量法推 导出了边界积分方程，他指出加权余量法是最普遍的数值方法。如果以k e l v i n 解作为加权函数，从加权余量法中导出的将是边界积分方程边界元法，从 而初步形成了边界元法的理论体系，标志着边界元法进入系统性研究时期。 1 1 2 边界元法的发展 经过近4 0 年的研究和发展，边界元法已经成为一种精确高效的工程数值分 析方法。在数学方面，不仅在一定程度上克服了由于积分奇异性造成的困难，同 时又对收敛性、误差分析以及各种不同的边界元法形式进行了统一的数学分析， 为边界元法的可行性和可靠性提供了理论基础。在方法与应用方面，现在，边界 元法已应用到工程和科学的很多领域，对线性问题，边界元法的应用已经规范化； 对非线性问题，其方法亦趋于成熟。在软件应用方面，边界元法应用软件已出原 来的解决单一问题的计算程序向具有前后处理功能、可以解决多种问题的边界元 法程序包发展。 我国约在1 9 7 8 年开始进行边界元法的研究，目前，我国的学者在求解各种 问题的边界元法的研究方面做了很多的工作，并且发展了相应的计算软件，有些 已经应用于工程实际问题，并收到了良好的效果。 1 1 3 边界元法的特点 边界元法是在经典积分方程的基础上，吸收了有限元法的离散技术而发展起 一l 一 第一章绪论 来的计算方法。它具有以下优点： ( i ) 由于只在边界上剖分，因此实际上是将问题降维处理，降维的结果必然 减少代数方程组的未知数。 ( 2 ) 由于仅在边界离散，其计算误差也仅限于边界和边界附近。 ( 3 ) 计算准备工作少。 ( 4 ) 易于求解无限域问题。 ( 5 ) 边界元法的基本解本身就具有奇异性，因此，对于工程中的奇异问题， 如裂纹尖端的应力集中问题等，可以得到良好的结果。 1 2 自适应边界元法综述 自适应边界元法中，误差分析、自适应的策略及网格的细分过程是密不可 分的，它们是边界元自适应分析过程中的主要步骤。 1 2 1 误差分析 随着边界元法在工程中的日益广泛的应用，通过有效可靠的误差分析方法结 合网格的细分来提高计算结果的精度水平越来越得到广大研究人员的重视，目前 主要的分析方法有： ( 1 ) p a r r e i r a l 5 1 等用边界积分方程的余量作为一种误差指示，误差可以通过积 分方程的余量来进行估计。这种方法在有限元法中是很常见的方法，并且从数学 上可以得到证明。但是应用在配点法边界元中却有定的困难： 首先，它在数学上并没有得到证明，只是通过数值算例证明情况确实如此。 其次，余量在配位点处为零，必须通过其它的方法来确定配位点处的余量。 ( 2 1r e n e i s 等【6 j 假定通过应用比最初的边界元分析更高阶次的插值函数可以 得到精确的结果，结果的误差可以通过与最初边界元分析的结果的差值来确定。 这种方法具有定的不确定性，因为假定的精确解不一定是真正的精确解答，但 是这种方法的代数算式较为简单，而且计算的耗时要比其它的方法要小，目前的 应用比较广泛。 ( 3 1s u n 等1 7 通过边界积分方程来建立结果误差与积分方程余量之间的关系。 通过一定的方法柬确定边界积分方程的余量，进而对边界积分方程进行离散，求 解出计算结果的误差，但是在配点法边界元中，边界积分方程的余量在配位点处 第一章绪论 为零，配位点处的余量必须通过其它的方法来确定，因此应用起来还是有定的 困难。 ( 4 ) p a u l i n o 等喁1 通过将常规的边界积分方程在边界切线方向微分，进而真接 求解出结果的误差a 但是这种方法必须要求解超奇异积分，因此需要寻找有效的 计算积分方程中的奇异积分和超奇异积分的方法。 1 2 2 网格细分的方法 边界元网格细分的目的是通过网格的细分来提高计算结果的精度水平，以满 足工程需要，沿用有限元法的有关术语，网格的细分过程可以分为h 型、p 型、 ，型以及他们之间的联合应用。 ( 1 ) h 型细分过程。在h 型细分过程中，单元的总数增加，但是单元内物理 量的插值函数的阶次保持不变。通过这种方法划分的网格，在边界元法求解过程 中，所得到的代数式比较简单，而且易于求解。但是每一次网格的细分，求解的 系数矩阵都要重新建立，还是比较繁琐。为了克服这一问题，p a r r e i r a 等【5 1 提出 采用升阶谱函数：单元的数量保持不变，利用升阶谱函数来实现实际意义上的网 格的细分，这样可以减少重新建立系数矩阵所花费的工作量。 ( 2 ) p 型细分过程。在p 型细分过程中，单元的总数并不增加，但是单元内 的物理量的插值函数的阶次升高。在具体的实施过程中，单元内物理量的插值函 数又可以采用“普通型”和“升阶谱”型。在“普通型中”，必须要增加单元内的 配位点的数量，系数矩阵也需要一定程度的重新建立，增加了工作量。在“升阶 谱”型中，并不需要增加单元内的实际的配位点的数量，上一过程所建立的系数 矩阵也可以得到沿用，在一定程度上减少了工作量。 ( 3 1 ，型细分过程。在r 型细分过程中，单元的总数和插值函数的阶次都保持 不变，而是通过改变单元节点的位置以达到最小化整体误差的目的。这种方法由 于不增加网格的自由度，很难达到比较理想的精度水平。 f 4 1 几种方法的联合应用。既然上述方都有各自的优点和缺点，因此，一些 学者用几种方法的联用来克服只采用单一细化过程的缺点咿j 。 1 2 3 自适应策略 自适应的策略是根据误差分析的结果来决定单元是否需要细分及采用什么 第一章绪论 样的细分过程。 自适应策略主要有： ( 1 ) 事先选定误差的参考值【1 0 】，当计算结果的误差大于事先给定的参考值 时，那么就要对网格进行细分。比较常见的参考值是通过计算结果误差的平均值 来确定的。 ( 2 ) l e a l 等【l l 】提出了种建立在外力与边界上的切向应力平衡基础上的自适 应策略。在不计体力的情况下，整体的平衡标准可以定义为计算结果沿着边界的 积分，当积分的结果比事先给定的值大时，那么每个单元就要划分为两个等长度 的单元。 ( 3 ) r e n c i s 等【6 】利用伽辽金边界元法中的单元数与误差的关系，推导出了配 点法边界元中为了达到理想的计算结果而需划分的单元数的有关算式，但是这种 方法的理论背景不明确。 1 2 4 自适应边界元法的发展趋势 目前，自适应边界元法的发展趋势主要有以下两个方面： ( 1 ) 减小误差分析的工作量。目前的分析方法的效率和准确性是相互矛盾 的，提高结果的准确性，往往需要很大的工作量。为了减小工作量而采用的方法， 其结果的准确性又难以保证。 ( 2 ) 将自适应边界元法应用到三维问题和实际的工程问题中，使其在实践过 程中不断改进和发展，这是边界元法进一步得到广泛应用的不可缺少的重要因 素。 1 3 边界元法中的重要课题 1 3 1奇异积分的处理 由于边界元法的基本解本身具有奇异性，因此，当源点与场点距离很近时， 该基本解趋于无穷大，因此边界积分方程中存在着数学上很难处理的奇异积分和 几乎奇异积分的数值问题。 国内外许多学者在这方面做了大量的工作，也提出了很多几乎奇异积分、奇 异积分和超奇异积分的计算方法。g h o s h 等提出了一种新的边界元法积分方程， 4 一 第一章绪论 即以位移沿边界的切向导数和面力为变量的积分方程，从而把基本解中超奇异积 分核降为弱奇异积分核。c r u s e 【l 2 l 提出用刚体位移法间接求出c a u c h y 主值积分。 王有成和陈海波掣u 】提出了用原微分方程的特解场间接计算出近点超奇异积分 的方法，较为系统地求解了近边界点的物理量。g u i g g i a n i 等【1 4 】提出了几种直接 用于计算二维和三维问题中的超奇异积分的方法。虽然各种方法均从某个方面、 在某种程度上解决了积分的奇异性问题，但总存在这样或那样的不足之处。 正是由于几乎奇异积分难以计算，大大限制了边界元法在薄壁结构体中的应 用。薄壁结构体由于自身的几何特征，极易造成几乎奇异积分的发生，如果处理 的方法不当，那么通过边界元法解出的边界点物理量可能有较大的误差，甚至失 真。边界点的参量是进一步求解内点参量的基础，如果处理不当就无法准确计算 内点参量。出于同样的原因，对于求解非薄壁结构边界点物理量也存在几乎奇异 积分的数值困难。 边界元法应用很大程度上依赖于奇异积分的计算精度及其可靠、简捷的处理 方法。因此，建立切实可行的奇异积分的算法始终是边界元法所面对的重要课题。 1 3 2 角点问题的处理 所谓角点，其实有两种含义。一类角点称为“几何角点”，它是指边界曲线 ( 或曲面) 上导数不连续的点，如几何拐点( 见图1 - i 中的a 图) 。另类是“物 理角点”，即边界上物理量不连续的点( 见图1 1 中的b 图) 。边界单元在划分单 元时已在几何角点处设立节点，从而消除了几何角点对几何形状插值的影响。 因此，边界元中的“角点问题”主要指的是“物理角点问题”。 a 几何角点 m 2 m 1 角点 m l中2 l b 物理缃点 图卜1 角点问题 在使用线性单元或高阶单元时，单元的端点往往被取为节点，这时节点为 相邻两个单元所共有。如果在节点的两侧有不同类型的边界条件，或边界条件 的数值不同，作为节点的角点便无法确定边界值的取法a 目前，对于角点问题 主要的处理方法有增加单元法、混合单元法和非协调元法等【1 5 】。 一5 一 第一章绪论 ( 1 ) 增加单元法，按照边界的形状，本应以角点为界，但为了回避角点，可 在角点处增加一个尺寸较小的单元。 ( 2 ) 混合单元法，在使用常值单元时，单元内的物理量为常值，而在线性单 元中，单元内的位势及其法向导数按线性变化。角点处的位势是连续的，但是 其法向导数不连续，所以单元内的位势可用线性插值函数来插值，单元内的位 势的法向导数可用常值单元进行插值。 ( 3 ) 非协调单元法。在配点法边界元中，通过引入配位因子，将配位点选取 在单元的内部，进而避免了边界值不确定的情况。 1 4 本文的工作背景 1 4 1 非连续边界元分析 从常值单元的成功应用可以证实，边界元法对元素之间的物理量的连续性的 要求是不必要的。由于非连续边界元的物理量插值点( 配位点) 位于单元内，通 过合理的选择配位点的位置，则可以有效的解决“物理角点问题”。关于配位点 选择的问题，曾经在国内外引起争论，b r e b b i a 等【16 】人认为配位点选为g a u s s 积 分点时，所得的计算结果最为精确，而b a n e r j e e 等【1 7 】贝0 认为配位点的选择应使 局部单元内的配位点分布比较均匀，后来的学者进一步证明了b a n e r j e e 等人的 观点的合理性。 1 4 2 奇异积分的处理 边界元法中的奇异积分主要包括：几乎奇异积分、c a u c h y 型奇异积分、超 奇异积分等。正如前文所述，建立切实可行的奇异积分的算法始终是边乔元法所 面对的重要课题，一直得到广大研究人员的重视，也做了大量的研究工作。目前 的计算方法主要有积分核级数展丌法【”1 、难则化法【1 9 1 、精确积分法【2 0 1 等。积分 核级数展开法是将奇异积分核在奇异点附近展开为级数形式，数值实施较为繁 琐。j 下则化法是通过广义函数意义下的分部积分或其它途径，将奇异积分转化为 低阶奇异积分或消除奇异积分。 1 4 3 基于h 型网格细分过程的边界元自适应分析 第一章绪论 边界元自适应分析中，误差的分析、网格细分过程的选择及自适应策略的选 择是密不可分的，虽然h 型网格细分过程有它自身的一些缺点，但是从计算的准 确性来说，它还是有自己的优势的。首先，它可以得到更加细化的网格，网格细 化的结果自然可以提高结果的精度。其次，在奇异点附近这种方法的误差比其它 的方法要有更好收敛速度1 2 ”。 近来，在边界元误差分析和自适应分析中，c a u c h y 型奇异积分方程和超奇 异积分方程的联合应用得到了越来越多的研究人员的重视，出现了通过用两种积 分方程来求解积分方程的余量或将两种积分方程的结果的差值作为积分方程的 余量，进而通过边界积分方程建立误差与余量的关系的处理方法。 1 4 4 扭转问题的边界元分析 在工程实践中。经常需要分析受扭矩作用的结构构件，当构件截面的翘曲位 移没有受到约束时，可将构件作为圣维南扭转进行分析。在圣维南扭转中，构件 单位长度的扭转角为常数，然两，在多数情况下，构件单位长度的扭转角并不是 常数，由于数学计算较为复杂，目前的计算方法仅限于比较简单的情况，进一步 来说，虽然有限元法、有限差分法及傅立叶级数法可以用来求解这类问题，但是 在荷载和边界条件的处理上仍然是较为复杂。 1 5 本文的工作及研究的意义 本文是在张效松教授前期研究的基础上，推导出了求解超奇异边界积分方程 系数矩阵的精确积分表达式，并将其应用到边界元自适应分析和求解扭转问题 中。主要的工作有： f 1 1 对具体问题的分析均采用非连续边界元，并通过数值算例进一步验证 了：非连续边界元确可较好的解决角点问题；通过将局部单元内的配位点均匀分 布，无论对于常规边界积分方程还是超奇异边界积分方程都可以得到较好的计算 结果。 f 2 1 以二维位势问题为例，用非连续边界元离散边界积分方程，给出了 c a u c h y 型奇异边界积分方程和超奇异边界积分方程的系数矩阵积分计算的精确 表达式。用数学归纳法证明了，当应用精确积分表达式计算时，对两种边界积分 方程中的奇异积分不需进行特殊的处理，可采用与非奇异积分同样的精确积分表 第一章绪论 达式进行计算，大大节省了工作量，并且计算结果也可以达到较高的精度水平。 ( 3 ) 将内点位势梯度积分方程中的内点移至边界，并利用方向导数公式，推 导出了求解边界点位势法向导数的积分方程，并将其计算结果与用c a u c h y 型奇 异边界积分方程或超奇异边界积分方程计算的结果的差值作为一种误差指示进 行误差分析。在自适应过程的选择上，应用h 型网格细分过程进行边界元分析。 ( 4 ) 用非连续边界元对开1 2 1 薄壁杆件的约束扭转进行了分析，推导出了求解 边界点二次翘曲函数值的边界积分方程，并用数值算例验证了边界元法求解这类 问题时具有较高的效率和求解精度，而且精确积分可以较好的处理“边界层”问 题。 本文为河北省博士基金资助项目，出发点是二维位势问题中的非连续边界元 分析及边界积分方程系数矩阵积分计算的精确表达式的应用，对于提高计算结果 的精度、促进边界元法在工程分析中的应用具有一定的意义。 8 第二章c a u c h y 型奇异边界积分方程的非连续边界元分析及其精确积分 第二章c a u c h y 型奇异边界积分方程的非连续边界元分析 及其精确积分 2 1 位势问题中的c a u c h y 型奇异边界积分方程 位势问题中c a u c h y 型奇异边界积分方程可以写成如下形式 c ( p ) 妒( p ) + 【旦! ：! ；：鸟( q ) d r ：【“+ ( 尸，q ) 旦! ! ；l 盐d r ( 2 - 1 ) “ o r 4 o n 式中，c ( p ) 对于光滑边界：c ( p ) = 万，对于内点：c ( p ) = 2 口； 仃为单元的法向矢量； 矿( p ，q ) 边界上的位势； 曼壁竺! 垡! 边界上的位势法向导数； o n 。( 尸，q ) 、里! 二! ；婴二维l a p l 。方程的基本解，具体的形式为 l “= l n 三 抛。加锄 i o n ro n 一一o f 式中，r 一源点到场点的距离； o 转角，如图2 - 1 所示。 中的表达式可以写为【2 2 】 中a n ( 嚣 式中，( ，蚱) 源点坐标： ( x ，y ) 场点坐标。 9 ( 2 - 2 ) ( 2 3 ) 第二章c a u c h y 型奇异边界积分方程的非连续边界元分析及其精确积分 图2 - 1 基本几何关系 2 2 二维位势问题中积分计算的精确表达式 2 2 1 基本几何关系 当用线性单元离散边界时，单元内的点的坐标可用单元节点坐标来表示 t = m ( 善) 掣 = l ( 2 4 ) 式中，l ：肇； m ：丝： 一 z ( 爿，吐) ，( # ，x ；) 如图2 - 1 所示单元两个节点的坐标。 由图2 - 1 可以得出如下几何关系： r 2 = x - - x p ) 2 + ( y y ，) 2 = a 4 2 + 6 f + c ( 2 - 5 ) 式中，口d = 去( # “一# ) ； e 去( 矿l + # ) 一# ： 2 口一口= d ； 户i r 源点到场点的距离 一1 0 一 第二章c a u c h y 型奇异边界积分方程的非连续边界元分析及其精确积分 2 b 一6 = 2 q d ，； f - 1 2 c c = c ，2 j = i r 源点的坐标； # 、# “单元两个节点的坐标； f 卜l ，l 卜如图2 2 所示的单元局部坐标。 则，对于第个单元，式( 2 2 ) 中的积分核可以写为 式中，聊= d 2 g 一日c 2 ： 抛l 脚 i 一丙i j 7 2伽 ir ，挖 1 4 1 ( 口亭2 + 6 孝+ c ) ( 2 6 ) “地= 一三2 l n ( 日2 + 蟛+ c ) ，、。 7 ， 山j 雅克比行列式，对于第_ ，个单元可以表达为 f d f = i ：五丽：i 厶l d 善 缸导 q 。7 j y 亭= 一1亡= 1 一 l 一 ， 一 1 一 。 一 图2 - 2 单元局部坐标 式中，r 第，个单元的长度 2 2 2 边界积分方程的离散 一1 1 一 第二章c a u c h y 型奇异边界积分方程的非连续边界元分析及其精确积分 亘瑗求群式( 2 。1 ) 儿乎是小n - i 能的，所以采用离散的方法，将边界积分方程 转化为代数方程组a 当采用常值单元并将边界划分为个单元时，可将等式( 2 1 ) 中的边界积分项改写成单元积分之和 删h 乳丝毫 c 舭= 乳“( p ，q ，半黟r p s ， 在式( 2 - 8 ) 中，令第_ ，个单元的积分项为 = f ，挚 ( 2 - 9 ) q = “( 户，q ) d r ( 2 1 0 ) 则，式( 2 - 8 ) 可以写成如下形式 删y + 丢nh u o ( q ) = 善g ，o c 警t u 兰) 协1 1 ) 删( ，) + 。，；一 ( 2 取1 至个单元的中点皆为源点，并建立边界积分方程的离散形式，则可 以得到n 个代数方程组 粪蹦删= 喜q 掣 ，( 2 _ 1 2 ) 式中， 用矩阵形式表达式( 2 1 2 ) ，有 式中，【h 卜一由构成的系数矩阵 【g 卜一由q 构成的系数矩阵。 2 2 3 常值单元积分计算的精确表达式 ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ，_jf，【 停产 盟锄 万 g n 怪 = j = 。 刎 第二章c a u c h y 型奇异边界积分方程的非连续边界元分析及其桔确积分 对于源点i ，当在第，个单元内积分时，利用式( 2 6 ) 、( 2 7 ) ，则式( 2 9 ) 中的 积分计算的精确表达式为 峨= 一f ，罟蝣= 一z f o ( 2 - 1 5 ) 式中，五积分核的原函数，具体的计算表达式见附录。 同理，式( 2 1 0 ) 中的积分计算的精确表达式为 q = 飘l n 扣毒 ( 2 - 1 6 ) 式中，“积分核的原函数，具体的计算表达式见附录。 对边界上的每个源点建立边界积分方程，应用式( 2 一1 2 ) 和式( 2 1 4 ) 即可求解 出边界上的未知物理量。 2 2 4 非连续线性单元积分计算的精确表达式 边界用线性单元离散，单元内的位势及其法向导数用非连续线性插值函数 插值时，可表达为 l 尹= ( 善，口) 办 j 。 r 2 1 7 、 隆蜘j = l 和，娑o n 一 式( 2 1 7 ) q b 的非连续插值函数在局部坐标下( 如图2 - 3 所示) 的形式为 式中，口一一配位因子，a ( o ，1 ) 。 甄 0 i 图2 - 3 非连续线性插值函数 一1 3 一 o oo q 与口与g 一 + 洳，弘 = = 第二章c a u c h y 型奇异边界积分方程的非连续边界元分析及其精确积分 厦用式( 2 _ 1 1 ) 的离散的形式，则对于目a 位点f ，当在第_ ，个单元内积分时，式 ( 2 - 8 ) 左侧的积分项可以写为 r ! f 等一 詹叫阱( 嘭州 陪 令其中的 或= 熙州r ( 2 _ 2 叼= 舄2 d r ( 2 - 2 1 同理对于积分项 “g d r = 【“( ) d r ；： = ( 6 。6 ) ；： c z z z ， r ，l o jl 呵j l qj q 2 四= 则，式( 2 2 0 ) 和( 2 2 1 ) 中的精确积分表达式为 磁= 一虽( 口五一石) 曰= 一云( 口厶+ 一) q = 乏( 1 ) q = 乏( 蝎) 式中，石、e 积分核的原函数，计算表达式见附录。 2 2 5 非连续二次单元积分计算的精确表达式 f 2 2 3 ) f 2 2 4 ) 对边界采用线性单元离散，对单元内的物理量采用非连续二次插值函数进 1 4 心 心 妒 y 艨睽 第二章c a u c h y 型奇异边界积分方程的非连续边界元分析及其精确积分 弘胁声蚓州弼卜s ， - u q d f = “+ c 妒：轳- ，a r ； = c g ：6 。g 。，； c z z s ， 嘭。房胆田2 腾咿 弼2 筹峨g 22 u i p , 一a r 陆z ， q = p ：d f , 四= “盯 式中的插值函数在局部坐标下( 如图2 - 4 所示) 可表示为 7 7 一 ：入： - 一 1 旺1 图2 4 非连续二次插值函数 用精确积分求解式( 2 2 7 ) 时的计算表达式为 1 5 f 2 2 8 ) 、川qiij、 一 ylj 似啊售隍h f五卜孝五 = = = 铲 y 第二章c a u c h y 型奇异边界积分方程的非连续边界元分析及其精确积分 f 蟛i = 一虿m 五一口石】， i q = 专【巳喝】， 2 3 数值算例 2 3 1给定位势的平行四边形 边界的几何条件如图2 - 5 ，取单位长度，边界上的位势为“硝哕，现将平行 表2 - 1非i 割实线性、二次插值函数计算的配位点结果 非连续线性插值非连续二次插值 精确结果精确积分表达式精确结果精确积分表达式 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 3 4 2 1 3 4 2 1 3 4 2 1 3 4 2 1 0 0 0 一1 0 0 0 10 0 0 1 0 0 0 1 3 4 2 1 3 4 2 1 3 4 2 1 3 4 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 3 4 2 1 3 4 2 1 3 4 2 1 3 4 2 - 1 0 0 0 1 0 0 0 一1 0 0 0 1 0 0 0 1 3 4 2 一1 3 4 2 - 1 3 4 2 1 3 4 2 1 6 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 3 4 2 1 3 4 2 1 3 4 2 l _ 3 4 2 1 3 4 2 1 3 4 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 - 1 0 0 0 1 0 0 0 - 1 3 4 2 - 1 3 4 2 一1 3 4 2 1 3 4 2 1 3 4 2 1 3 4 2 1 o o o 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 3 4 2 1 3 4 2 1 3 4 2 1 3 4 2 l - 3 4 2 1 3 4 2 - 1 0 0 0 1 0 0 0 - 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 一1 0 0 0 - i 3 4 2 - 1 3 4 2 - 1 3 4 2 1 3 4 2 - 1 3 4 2 1 3 4 2 鬈弓由 田喏 第二章c a u c h y 型奇异边界积分方程的1 f 连续边界元分析及其精确积分 四边形的每一条边划分为等长度的线性单元，分别用非连续线性插值函数和非 连续二次插值函数插值单元内的物理量，配位因子取为0 5 ，计算出的配位点位 势法向导数的结果见表2 - l 。 从表2 1 中可以看出，用精确积分表达式计算的结果与精确结果完全吻合， 这说明，当边界采用线性单元进行划分、系数矩阵用精确积分表达式计算得出 的结果是精确的。 这一算例的配位因子取为0 5 ，从计算结果可以看出，当配位点在局部单元 平均分布时，计算的结果是准确的。 ( o ，0 ) 图2 _ 5 给定位势的平行四边形 2 3 2 方形闭域热流问题 边界条件如图2 - 6 所示，在两个垂直边界上可知位势及其法向导数的精确结 果，取位势值为已知，边界用线性单元离散，对单元内的物理量用非连续线性 g = o 卜卫一 图2 - 6 热流问题 一1 7 2 t i l 第二章c a u e b y 型奇异边界积分方程的非连续边界元分析及其精确积分 插值函数进行插值，计算的配位点位势的结果如图2 - 7 ，位势法向导数的结果如 图2 _ 8 。从图2 - 8 中可以看出，用非连续边界元精确积分表达式计算的边界点位 势法向导数的结果与精确结果完全一致。 3 5 0 3 0 0 2 5 0 2 0 0 1 5 0 1 0 0 5 0 0 6 0 4 0 2 0 0 2 0 4 0 6 0 3 0 03 0 03 0 03 0 0 l234567891 01 11 21 31 41 51 6 图2 7 位势 图2 - 8 位势法向导数 一1 8 一 盯，-1，受 第三章超奇异边界积分方程的非连续边界元分析及其精确积分 第三章超奇异边界积分方程的非连续边界元分析 及其精确积分 3 1二维位势问题中的超奇异边界积分方程 直接对式( 2 1 ) 微分可得1 钟) 警= j j 丝笋豢( q ) d r 一c 堡蠹斧c q ) d r 口， 式中，r 表示源点的坐标； 式中的奇异积分核为可表达为 i o u +1o r i _ - _ 一 i 反?r 舐j 篙0 2 u 叭0 ( 一黔舡2 矧 。2 式中，矿场点的坐标； 矿场点处的外法线矢量。 在二维位势问题中，超奇异边界积分方程也可以写成如下的形式： 叫，掣= f f 警咿卜警蝉， 警盯p ， 一一l - 矿- “蕊、只v 圆- , 啦) + 等咏p ) ( q ) d r 式中，z ( p ) n ( p ) = i n ( 户) n 2 ( p ) 】为源点处的外法线矢量( 觅图3 - 1 ) ，在边界 用线性单元离散的情况下可以表达为 l 伟( p ) = 告尝 o k p ) = 一等量 参照前一章c a u c h y 型奇异边界积分方程的离散过程一、, , - - - 1 一1 9 一 第三章超奇异边界积分方程的非连续边界元分析及其精确积分 c c 力掣一乳 警们+ 警删j i 华a r 。：“州聃盘o n 婴a 。；嘣机灯。4 智t i 锄斟”“” 2 ”7r 1 o q q ) 、旦生：熊第，个单元内的位势及其法线导数。 图3 - i 基本几何关系 对每个源点建立积分方程并离散，建立的代数算式可写成如下的矩阵的形式 【船】 种= i g o - 鬟 ( 3 - s ) 式中，【h h 】、【g g 卜一系数矩阵。 3 2二维位势问题中积分计算的精确表达式 3 2 1常值单元积分计算的精确表达式 在二维位势问蹶中，趣奇异边界积分方程中的基本的几何关系可以参见荫 第三章超奇异边界积分方程的非连续边界元分析及其精确积分 一章叙述的内容。 当边界用线性单元进行离散，对于常值单元，式( 3 2 ) n 以写成如下的形式 丝：垒圭g 峨n i + b + c 笪：垒圭垦 。哇n l + b + c 盟：上i 堡一型璺圭型i ( 3 - 6 ) a r i a ：, 山眄2 + 蟛+ c ( 口善