（电磁场与微波技术专业论文）平面传输线不连续性结构的分析和补偿方法研究.pdf

平面传输线不连续性结构的分析和补偿方法研究 摘要 在微波集成电路、单片微波集成电路中，微带线、共面波导、槽线等平面 传输线已经被广泛使用。当今微波系统的微型化、集成化的发展趋势，使得平 面传输线自身的结构变化以及不同类型传输线之间的过渡所产生的不连续性问 题成为人们关注的焦点。为了实现微波电路的高成品率和良好性能，在设计阶 段就必须要对不连续性问题进行准确建模和研究。 本文利用时域有限差分( f d t d ) 方法，并配以完全匹配层的完全吸收边界条 件对微带线的典型不连续性进行系统性的分析研究。f d t d 算法作为一种较为 成熟的电磁数值计算方法，它在处理电磁问题方面具有简单、直观、灵活的特 点。论文首先对时域有限差分方法的原理、传输线理论以及微波网络理论予以 介绍。采用时域有限差分法对t 形结、十字结进行模拟分析，提取平面传输线 不连续性结构的特征参数主模散射参数、色散特性等。本论文对微带线的 不连续性结构进行三维f d t d 建模和仿真，通过时间步迭代可以模拟计算区域 中任意观测位置上任意时刻的电磁场信息，对时域信号进行适当的后处理可以 得到相应的频域信息。在探明不连续性结构对微波传输特性的影响后，再对平 面传输线不连续性结构进行补偿和优化，重点研究补偿后的不连续性结构对主 模散射参数的改善和影响。在片测试已经成为高精度的芯片测试方法之一，而 在片测试的探针通常是共面波导结构。所以在不同传输线的相互过渡方面，着 重研究微带到共面波导的转换结构。 t 形结、十字结是较为严重的两种微带线不连续性结构，但是它们却在微 波、毫米波电路中经常出现。利用f d t d 方法能够准确、高效地分析其电磁特 性以及通过一定的补偿措施能够有效地降低其不连续性影响。本文所涉及到的 微带到共面波导的转换结构不但具有工作频带宽、插入损耗小和回波损耗低等 良好性能，而且结构紧凑、适用范围广。 关键词：时域有限差分法；微带线；共面波导； s t u d yo na n a l y s i sa n dc o m p e n s a t i o nm e t h o d o fp l a n a r t r a n s m i s s i o nl i n ed i s c o n t i n u i t i e s a b s t r a c t p l a n a rt r a n s m i s s i o nl i n e s ( e g m i c r o s t r i pl i n e ，c o p l a n a rw a v e g u i d e ，s l o t l i n e ，e t c ) a r e w i d e l ve m p l o y e di nm i c r o w a v ei n t e g r a t e dc i r c u i t s ( m i c s ) a n di nm o n o l i t h i cm i c r o w a v e i n t e g r a t e dc i r c u i t s ( m m i c s ) w i mm ed e v e l o p m e n to fm i c r o w a v es y s t e mi n t e g r a t i o na n d m i n i a t u r i z a t i o n ，p e o p l ew i l lf o c u st h e i ra t t e n t i o no nd i s c o n t i n u i t i e sw h i c ha r ea r o u s e db y s t n l c t u r a lc h a n g e so ft r a n s m i s s i o n l i n ea n dt r a n s i t i o nb e t w e e nd i f f e r e n tk i n d s o f t r a n s m i s s i o nl i n e s i no r d e rt or e a l i z eh i 曲一p e r f o r m a n c em i c r o w a v ec i r c u i t s ，i ti sn e c e s s a r y t oe s t a b l i s ha c c u r a t em o d e l sa n dt oa n a l y z ef o rt h e s ed i s c o n t i n u i t i e s f i n i t e d i f f e r e n c et i m e d o m a i n ( f d t d ) m e t h o di sa p p l i e dt oi n v e s t i g a t em i c r o s t r i p d i s c o n t i n u i t i e s s y s t e m a t i c a l l y i n t h i st h e s i s a sa ne f f i c i e n tn u m e r i c a lm e t h o di n e l e c t r o m a g n e t i cf i e l d ，f d t dm e t h o dh a sb e c o m ep o p u l a r a n dm a t u r ei nr e c e n ty e a r s w i t h t h ec h a r a c t e r i s t i co fs i m p l i c i t y , g e n e r a l i t y , a n df l e x i b i l i t y ，f d t dh a sm a n ya d v a n t a g e si n d e a l i n gw i t he l e c t r o m a g n e t i cp r o b l e m s f u n d a m e n t a lp r i n c i p l e s o ff d t dm e t h o d ，b a s i c t h e o r y o ft r a n s m i s s i o nl i n ea n dm i c r o w a v en e t w o r ka r ef i r s t i n t r o d u c e d d i f f e r e n t c h a r a c t e r i s t i cp a r a m e t e r so fp l a n a rt r a n s m i s s i o nl i n ed i s c o n t i n u i t i e sa r ee x t r a c t e db yf d t d a r i t h m e t i c ，s u c ha ss c a t t e r i n gp a r a m e t e r so fd o m i n a n tm o d ea n dd i s p e r s i o np a r a m e t e r s i n t h i st h e s i s ，m i c r o s t r i pd i s c o n t i n u i t i e sa r em o d e l e da n ds i m u l a t e db yt h r e e - d i m e n s i o n a l f d t dm e t h o d 1 1 1 ei n f o r m a t i o no fe l e c t r o m a g n e t i cf i e l da ta n yt i m ea n da n yp o s i t i o ni nt h e c o m p u t a t i o n a lr e g i o nc a nb eo b t a i n e db yf d t d i t e r a t i o n s s u c ht i m ed o m a i ns i g n a l sa r e t h e np r o c e s s e dt og e t 疗e q u e n c yd o m a i np a r a m e t e r s t h e n ，t h ee m p h a s i so ft h i ss t u d yw a s t o o p t i m i z et h ee l e c t r i c a lp e r f o r m a n c eu s i n gs i m p l ec o m p e n s a t i o nt e c h n i q u e s o n w a f e r m e a s u r e m e n ti sac h i pt e s tm e t h o dw i t hh i 醢p r e c i s i o n s ot h et r a n s i t i o nf r o mt h e m i c r o s t r i pl i n et oc o p l a n a rw a v e g u i d e i si n v e s t i g a t e d t - i u n c t i o na n dc r o s sj u n c t i o na r et w ok i n d so fs e v e r em i c r o s t r i pd i s c o n t i n u i t i e s ，b u t t h e yo f t e no c c u ri n m i c r o w a v ea n dm i l l i m e t e r - w a v ec i r c u i t s t 1 1 e i re l e c t r o m a g n e t i c c h a r a c t e r i s t i cc a i lb ea n a l y z e di na c c u r a t ew a yb yf d t dm e t h o d t h e i ra d v e r s ei n f l u e n c e c a nb ee f f e c t i v e l yr e d u c e dt h r o u g hs o m ec o m p e n s a t i o nm e a s u r e s t h et r a n s i t i o nm e n t i o n e d i nt h i st h e s i sn o to n l yh a v et h ea d v a n t a g e so fw i d eb a n d w i d t h ，l o wi n s e r t i o nl o s sa n dl o w r e t u r n1 0 s s b u ta l s oc a l la c h i e v ec o m p a c ts t r u c t u r e k e yw o r d s ：f d t dm e t h o d ；m i c r o s t r i pl i n e ；c o p l a n a rw a v e g u i d e ； h 插图清单 图2 1y e e 元胞结构图6 图2 。2 蛀跳式的时间步迭代6 图2 3 高斯脉冲及其频谱1 4 图2 4 同轴线的激励源设置1 4 图2 5 矩形波导的激励源设置一1 4 图2 6 微带线的激励源设霓1 5 图2 7 共面波导的激励源设置1 5 图3 1 线元的集总参数等效电路1 6 图3 2 端接负载阻抗乙的传输线1 8 图3 3 多端口微波网络1 9 图4 1 微带传输线及场分布图。2 2 图4 2 典型的微带不连续性结构2 5 图4 3t 形结及其等效电路2 5 图4 4t 形结的参考面和有效宽度2 6 图4 5 十字结及其等效电路2 7 图4 6t 形结、十字结的f d t d 建模2 8 图4 7微带线电流电压的提取2 9 图4 8t 形结的时域波形图。3 0 图4 9十字结的时域波形图3 0 图4 1 0f d t d 的网络参量提取3 l 图4 1 1t 形结的主模s 参数3 2 图4 1 2 十字结的主模s 参数3 2 图4 1 3t 形结的色散特性观测图3 3 图4 ，1 4t 形结的不同位置的特性阻抗3 4 图4 1 5t 形结的不同位置的和曲线3 4 图4 1 6 十字结的色散特性观测图3 5 图4 17 十字结的不同位置的特性阻抗3 5 图4 18十字结的不同位置计算出的3 6 图4 19十字结的不同位置计算出的曲线3 6 图4 2 0t 形结处e y 、e 场的变化3 7 图4 2 l十字结处e ”丘场的变化3 8 图4 2 2 长方形和三角形沟槽补偿3 9 图4 ，2 3 线宽渐变补偿一一3 9 图4 2 4 改变结电容来补偿4 0 图4 2 5 图4 2 6 图4 2 7 图4 2 8 图4 2 9 图4 3 0 图4 31 图 图 图 图 图4 3 6 图5 1 图5 2 图5 3 图5 4 图5 5 图5 6 图5 7 图5 8 图5 9 图5 10 矩形和三角形沟槽的补偿效果比较4 0 线宽渐变的补偿效果比较4 0 改变结电容的补偿效果比较4 l 十字结的补偿模型一4 1 十字结渐变补偿后的s 参数4 2 十字结节电容补偿后的s 参数4 2 传统的w i l k i n s o n 功分器4 3 2 4 传输线及其等效t 型结构4 4 微型化的w i l k i n s o n 功分器原理图4 5 功分器输入端、输出端的反射系数4 5 输出端的相互隔离度4 6 功分器的传输系数4 6 共面波导的典型结构4 7 共面波导的场分布4 8 键合线过渡结构及s 参数5 0 有过孔和无过孔的转换结构5 l 有无过孔转换结构的s 参数曲线5 1 微带一共面波导的直角过渡5 2 直角过渡结构的f d t d 建模5 2 直角过渡结构的s 参数5 3 补偿后的直角过渡结构。5 3 9 , = o t m 时，s ，与& j 的变化情况5 3 皿= 2 7 5 t t m 时，s ，与，的变化情况5 4 直短截线耦合等效模型5 5 直扇形短截线耦合转换结构的s 参数5 6 直角短截线耦合转换结构5 7 直角短截线耦合转换结构的s 参数5 7 直角短截线耦合转换结构及其电场转换5 7 直角短截线耦合转换结构的s 参数5 8 阶梯型耦合转换结构及s 参数5 9 垂直正交耦合转换结构。6 0 垂直正交耦合转换结构的s 参数6 0 v i i 1 2 4 5 6 7 8 9 0 l 1 l l 1 l 1 l 1，厶，厶 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 图图图图图图图图图图 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。据我所知，除了文中特别加以标志和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得 佥艘至些盔堂 或其他教育机构的学位或证书 而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所傲的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示谢意。 学位敝作者擀渺五签字吼叫碑f 州日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解佥匿工些太堂有关保留、使用学位论文的规定，有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅或借阅。本人 授权 金胆王些太堂可以将学位论文的全部或部分论文内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：谕耋易乏 签字日期：劢卜年午月f 6e t 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 导师签名： 签字日期：c 2 6 电话： 邮编： n 刎j | 蟛黾k 致谢 光阴似箭，近三年的硕士阶段的学习即将结束。值此毕业论文完成之际， 借此机会对所有曾经帮助过我的师长、亲人、同学、朋友表达发自内心的深深 谢意! 师恩永难忘! 我的导师杨明武教授具有敏锐的洞察力、渊博的知识、严谨 的治学态度、精益求精的工作作风和对学术讨论的执着精神给我留下了难以磨 灭的印象，这些都使我受益匪浅，并将成为我以后学习和工作的良好借鉴。在 攻读硕士的两年多时间里，杨老师不但为我创造了优越的科研和学习环境，使 我能够安心学习和科研，而且在思想上、人生态度和意志品质方面给予我谆谆 教诲，这些教导必将激励着我在今后的人生道路上奋勇向前。在此我向我的导 师杨明武教授致以由衷的感谢之情! 同时，也要感谢同我一起工作的项目组成员，他们是毛剑波、宣晓峰老师 和张瑞、吴朝阳同学以及师弟张少华和郭轩。在平时的讨论中大家给我提出了 许多建设性的意见和给予我热情的帮助。 感谢我的家人。在我求学的过程中，是家人的关爱和支持才使我能安心于 学业。你们是我多年求学路上的坚强后盾，你们对我无私的关爱与照顾是我不 断前进的动力。 最后，感谢曾经关心和帮助过我的所有老师。衷心地感谢为评阅本论文而 付出宝贵时间和辛勤劳动的专家和教授! i i i 许银生 2 0 10 年3 月 第一章绪论 1 1 研究背景 在二十世纪五六十年代之前，微波器件设计和微波电路研发大部分是使用 同轴线和金属波导等体移! 较大的传输线。伴随着现代通讯导航系统、卫星、雷 达等技术的迅猛发展和广泛应用，作为电子技术发展前沿的微波电路与系统的 电气性能和物理结构对整个电子装备的性能有着举足轻重的影响，并且朝着体 积小、重量轻、低功耗、高可靠性的方向发展。要实现上述发展，需要突破的 瓶颈之是要研制新代的微波传输系统平面微波传输线使微波电路能够 实现系统化和集成化】。于是出现了微带传输线，体积小、重量轻、平面结构 易亍和其他无源、有源的固态器件连接等优点，使得微带传输线能够获得广泛 应用。随后又相继出现了鳍线、槽线、共面波导和共面带状线等平面微波传输 线。采用这些平面型传输线的微波电路，与前期的常规微波电路相比，具有体 积小、重量轻、价格低廉、可靠性高、性能优越，功能的可复制性好等共用优 点，且适宜与微波固体苍片器件配合使用，构成各种各样的混合微波集成电路 ( h 1 m c s ) 和单片微波集成电路( m m i c s ) 。 随着超大规模集成电路技术的发展，微波电路与系统的集成度和复杂度不 断提高。与此同时，电路的工作频率也越柬越高，这就使得传输线的结构尺寸 和工作频率的波长处于同一数量级。在这种情况下，微波电路中的信号传输线 的种种不连续性的影响就不能被忽略。例如开路、间隙，拐角、宽度跃变、t 形结、十字结等典型的传输线不连续性结构，同时不同类型的传输线之间的过 渡也会产生不连续性效应，例如同轴一徽带、波导一微带、微带共面波导、 微带一槽线。在设计的最后阶段，必须对不连续性加以考虑分析，进而对其进 行补偿。 1 2 传输线不连续性问题 微带线园其结构简单、体积小、重量轻、加工简便，同时叉易于与微波同 体器件相互连接，易实现微带电路的微型化和集成化，因此其在微波集成电路 中获得广泛应用。早期徽带线的工作频率菇不高，分析方法也圭要是利用准静 志的方法。随着微波集成电路的发展，微带线的工作频率越来越高，近年来已 经被广泛应用予毫米波集成电路中。随着微波集成电路在微波工程中己得到广 泛应用，成为微波电路的主流。而且微带线是微波集成电路的基本构成之一， 微带线的不连续性结构是设计者常常遇到且需要重点分析、补偿的对象，例如 微带谐振耦合线的开路端、阶梯型阻抗变换器处存在的阻抗阶跃、微波电路版 图中的拐角、功分器和耦台器中的t 形结以及低阻抗短截线的十字结。上述典 型的微波传输线不连续性将对其所在的微波电路产生十分不利影响： 1 ) 与输出端口的驻波比变大； 2 ) 工作频带窄的电路中心频率发生偏差： 3 ) 宽带集成电路的各项增益表现得不稳定； 4 ) 易引起放大器的辐射损耗和表面波的相互耦合而容易引起振荡； 5 ) 性能指标恶化最终导致电路一次性成品率降低。 因此，如何处理和利用微带线不连续性所产生的影响是设计微带电路的所 必须考虑! 引。在微波电路中除了同一类型的传输线会出现各种结构突交而引起 的不连续性外，随着传输线技术的发展，毫米波集成电路中的传输线形式也呈 现出多种新的结构，例如槽线、共面波导等。因此，在一个系统中不可避免的 要出现不同传输线之间的过渡和转换。尤其是在微带线应用十分广泛，其他传 输线在某些电路中也不可缺少的情况下，微带线到其他结构传输线的过渡性能 的优劣便成为影响系统特性的关键因素之一。 一个微波电路无论拓扑结构多么复杂，运用微波网络理论观点分析，它都 可以被视为由均匀传输线和不连续性结构的网络所构成。所以精确设计微波电 路时，必须准确分析由不连续性所带来的负面影响，否则将引起较大的误差甚 至错误。由上述内容可以了解，分析和研究平面传输线的不连续性问题，是微 波电路设计能否顺利成功的重点。 1 3 不连续性研究方法介绍 目前不连续性问题的研究已经引起国内外的充分重视，并且发展出许多种 不同的分析方法。从“场 与“路 的观点出发，一般可分为两类：一类是只 研究不连续性结构的等效电路模型，将不连续性的影响盔接归结为等效电抗， 并不涉及复杂的场分析求解过程。另一类是研究不连续性结构的电磁参数，即 运用m a x w e l l 方程所涵盖电磁场的普遍规律和特殊边界条件求解不连续性在不 同频段内的模型及电磁参数。对微带传输线来说，在微波、毫米波频率范围， 由于各种不连续性结构的复杂性和彼此相互影响，早期的静态分析研究已经不 再适用1 3j 。所以传输线不连续性的问题迫切需要运用更加有效的电磁计算方法 进行全波分析，简化以前复杂的分析步骤，提高计算效率和精度。 早在二十世纪六十年代，微带线不连续性的分析研究就已经被提及。由于 当时工作频率低，最初多采用准静态法来分析。随后全波分析方法也逐渐发展 起来，如波导模法( w a v e g u i d em o d em e t h o d ) 、谱域法( s p e c t r a ld o m a i nm e t h o d ) 、 矩量法( m o m e n tm e t h o d ) 和有限元法( f i n i t ee l e m e n tm e t h o d1 。波导模法一般只 能适用于低频段，因为它不考虑电路的辐射效应。谱域法对空间域中的场或者 电流等变化参量运用傅氏变换来变换到谱域以建立方程关系。使用谱域法处理 二维结构是较为合适的，但是由于微带传输线不连续的结构比较复杂、场分布 变化剧烈等因素不利于谱域法的使用。从原理上来看，矩量法是一种适用范围 较广的电磁计算方法，但微带线结构复杂性导致相应的格林函数十分复杂，为 2 了获得精确的计算结果就必须将微带线划分得十分细致，从而使得求解过程十 分耗时。有限元法能够获得较高的计算精度，但是计算量太大，往往因为计算 机资源的限制而无法实现。以上提到的几种求解电磁场问题的方法都是在频域 进行的，可以统称为频域法。时域的数值计算方法我们只简单介绍两种：传输 线矩阵法( t r a n s m i s s i o nl i n em a t r i xm e t h o d ) 和时域有限差分法( f d t d ) 。与传输 线矩阵法相比，f d t d 方法更加直观易解，并且更适用于类似微带线的不均匀 介质结构的计算。f d t d 方法由k s y e e 在二十世纪六十年代后期提出，之后 被广泛应用于天线设计、电磁兼容分析等领域问题，最近越来越多的研究人员 把它应用于集成电路研究工作【4 j 。 频域法本身具备很多优点，例如传播常数、散射参数等网络参量以及其他 相关的电磁学概念都是在频域内定义的。频域法的一个不足之处就是求解过程 是按照设定的频率点逐一计算的，所以在需要获得宽频带的相关数据时，就需 要反复计算。在信号与系统课程学习中，我们知道系统的脉冲响应包含了系统 的整个频域信息。例如使用时域脉冲( 高斯脉冲等) 去激发微带传输线，记录其 时域瞬态响应信息，再运用快速傅里叶变换就可以获得频域信息。相对于频域 法，时域计算方法的长处就是能通过一次模拟而获得整个频段的丰富信息【4 j 。 f d t d 方法已经被证明是计算电磁学中最通用，应用领域最广泛的电磁场 数值求解方法之一。f d t d 方法有以下基本优点： 1 ) 直接时域计算：一次仿真可以模拟所有宽频带特性； 2 ) 广泛适用性：适合模拟包含任意复杂结构、任意介质分布的电磁环境； 3 ) 节约存储空间和计算时间：所需内存和仿真时间都与空间网格数成正比。 1 4 本文的课题来源与主要工作 本文的研究内容来源于“9 7 3 ”项目委托课题“平面传输线不连续性分析方 法，并对研究的方向和内容有所拓展。 在微波电路中，传输线的不连续性是普遍存在的，例如电路中各元器件之 间的接头和不同类型传输线之间过渡。当不连续性结构的尺寸和电路工作波长 可比拟时，不连续性对微波电路性能的影响就会显现出来。绝大多数的不连续 性效应是不希望存在的，由其产生的寄生电抗在设计电路和器件时必须被考虑 和补偿。由于微波集成电路在加工完成后难以再做调整，为了避免光刻掩膜和 晶片制造昂贵而费时的测试工作，需要对典型不连续性结构进行精确地综合建 模。本文就是在此背景下，以f d t d 方法为主要分析手段，对平面传输线的不 连续性结构进行分析研究，给出了理论和数值分析结果。本文主要工作如下： 第二章具体介绍了电磁场数值计算方法时域有限差分( f d t d ) 方法，主 要涉及麦克斯韦方程的离散化、数值稳定性对时空离散间隔的要求、激励源的 设置和吸收边界的应用等基础知识。 第三章阐述了传输线理论和微波网络理论的基础知识，简单介绍传输线的 特性阻抗、传播常数、有效介电常数等特性参数和微波网络的阻抗、导纳、散 射矩阵。 第四章首先介绍常见的微带不连续性结构的等效电路和相应的电路参量， 然后利用f d t d 方法，并配以理想吸收边界条件对不连续性结构中的t 形结、 十字结进行模拟和分析，得出不连续性对s 参数、色散等的微带传输特性的影 响。再利用削弱寄生电抗的方法对不连续性结构进行补偿，进而减小不连续性 带来的相位和振幅误差、输入与输出地失配以及可能的寄生耦合。 第五章介绍了在射频和单片微波集成电路中，多种布线方式同时应用，共 面波导和微带之问的过渡转换结构成为经常碰到的问题。利用f d t d 方法对微 带到共面波导的各种转换结构进行准确建模和精确计算，以获得工作频带宽、 插入损耗小和回波损耗低等良好性能指标。 第六章是本文的结论，对全文和所做工作进行简单的总结，并对后续工作 的进一步延伸做了展望。 4 第二章电磁波时域有限差分方法 19 6 6 年由k s y e e 首次提出运用时域有限差分法解决电磁脉冲在电磁介质 中传播和散射问题【5 1 。此后这一方法得到广泛的应用和长足的发展，成为求解 复杂电磁场问题的一种有效的数值算法。f d t d 方法利用y e e 元胞对计算空间 的电磁场进行离散化处理，算法直观，编程简易，能够解决复杂的电磁问题； 在时间轴上采用稳定和快速收敛的“蛙跳 式演算；能够有效地解决复杂结构 和非均匀媒质类问题；具有适用于并行计算的优势；同时还具有时域方法所固 有的优点。随着计算机技术和e d a 技术的发展，f d t d 方法在电磁兼容、电磁 散射、生物电磁学，以及天线技术、光电子学等领域中越来越受到重视。 2 1m a x w e l l 方程与y e e 元胞 在麦克斯韦方程组中，法拉第电磁感应定律和安培环流定律的具体表现为 电场与磁场在空间和时间坐标上的偏微分方程。我们假设所涉及的介质都具有 线性、非色散和各项同性的性质，但是它们可以存在电损耗、磁损耗和介质分 布不均匀。在无源区域，法拉第定律和安培定律的旋度方程可表示为： v e ：一罢一t r m h ( 2 - 1 1 a ) v x h ：占罢+ 吒五 ( 2 1 1 b ) 西 、7 其中这些符号的意义及国际标准单位为： e ：电场强度，单位：伏特米( v m ) ； 日：磁场强度，单位：安培米( a m ) ； g ：介电系数，单位：法拉米( f m ) ； a ：介磁系数，单位：亨利米( h m ) ； 以：电导率，单位为西门子米( s m ) ； 吒：导磁率，单位：欧姆米( u r n ) 。 接下来将式( 2 1 1 a ) 和( 2 1 1 b ) 的各电磁分量以及旋度算子v 在笛卡尔直角 坐标系下展开。在直角坐标系中，电场和磁场可以分别表示为三个方向分量的 矢量和，即e = t 口j + t 口j ，+ g a ：，h = , 口鼻+ 以口j ，+ 以口：( q 、口y 和q 分别为x ， y 和z 的三个坐标轴的单位矢量) ，则展开方程式( 2 1 1 a ) 和( 2 1 1 b ) 可得出 亟： ( 豢一堡一吒乓) (212a)at s 、却a z 8 r 鲁：丢( 警一譬一吒q ) ( 2 1 2 b ) a ts 、a z a ) c 、y r 丝：丢冬一冬吒t ) (212c)at j = 一l 一l 疗一l ，1 ，) ，、 、菇 却 1 r 7 冬：土( 冬一冬一l ) ( 2 - 1 3 a ) a t h 、娩a y “| 、 堡：三( 等一望一_ ) (213b)0 二= 一i o 一2 一d 月l i z 1 ta 、瓠0 z m弘 、 冬：土( 豢一誓一l ) ( 2 1 3 c ) k s y e e 首次提出将m a x w e l l 微分方程式近似离散为差分方程并在时域中 求解。在y e e 提出的差分算法中，各离散点的电场和磁场的空间分布如图2 1 所示，这就是著名的y e e 元胞。 ( ( i + 1 ) ，k 十1 ) ( u ，k )毋( i ，0 十1 ) ，k ) 图2 1y e e 元胞结构图 通过观察y e e 元胞的结构可以看出，每一个电场分量被四个磁场分量所环 绕；同样地，每一个磁场分量也分别被四个电场分量所环绕。此外电场和磁场 在时间顺序上交替抽样，抽样间隔相互相差半个时间步，如图2 2 所示，使得 m a x w e l l 方程离散后所构成的差分方程可以在时间轴上迭代求解，而不需要进 行矩阵求逆运算。 e nh “+ 1 2 e n + l h + 3 2e m h “+ 5 2 f 图2 2 蛙跳式的时间步迭代 在f d t d 的差分近似过程中，一般对时间和空间的一阶偏导数采用精确度 较高的中心差分。令f ( x ，y z ，r ) 代表e 或者h 场在直角坐标系中某个方向分 量，在时间和空间域中的离散用下面符号表示： f ( 工，y ，z ，t ) = f ( i a x ，a y ，k a z ，n a t ) f ”( f ，k ) ( 2 1 4 ) 6 下面以x 轴方向的差分近似为例，f ”( l j ，k ) 对空间的一阶偏导数中心差分 近似可表示成【6 】： 肿+ 砂1 一刖一尹1 d 缸缸 + o ( 6 x 2 )( 2 1 5 ) i 司理，p ( f ，后) 对时i 司的一阶偏导数中心差分近似，即为 ll -i , p - - - 掣：生型掣- i i - 她2 ) ( 2 - 1 6 ) = 一- j ，v-， 1 ( 、 a& 、 卜w 设观察点( x ，y ，z ) 为b 的节点，在空间位置为( f + j 2 ，j ，后) 处以及时间在 t = ( 以+ l 2 ) ，时，利用式( 2 1 5 ) 和( 2 1 6 ) 对式( 2 1 2 a ) 进行差分离散可得： 晟叶1 ( f + 吉，| i ) 一层“( f 十了1 ，j ，j i )1 垃 占( f + 去，j ，后) 。堕生乏一 亿”， 。 v 瞄l j 一莩1 生型挲邋锻哇”知， ， & 。 、 2 e 肿；( f + 三，尼) = 争e 肿1 0 + 吉，后) + e ”( f + 圭，七) 】 ，一掣娑 ( 一 小1 + o 鬟加萎多a t 僻( 哇。小南呼1 2 s f ，+ 燮1h 乏i 藉 皑岭。纠一矿卟纠 a y a z 按照同样的流程，弓、e z 分量也可以近似的差分获得。 7 ( 2 1 8 ) 同样，设观察点( x ，夕，z ) 为风的节点，在空间位置为( f ，歹十j 刀，七十，2 ) 处以及时间在t = ( n + l 2 ) a t 时，式( 2 1 3 a ) g 离散差分为： ( f ，+ 去，七+ 去) 卜气 只气“+ _ ，1k + 2 1 户主辫屯小“1 卜硝a t 2 ( f ，+ 去，七+ ) 上一ey(i,j+l,k+1)-ey(i,j+l,k)一e=(i,j+l,k+ll)-e二-fl(i,j,k+1互) ( f ，+ i 1 ，k + 要江。 垃 缈 l + j 广 2 t ( i ，- ，+ 去，丘+ 去) ( 2 1 9 ) 按照同样的流程，凰、皿分量也可以获得类似的差分表达式。 通过式( 2 1 8 ) 和( 2 1 9 ) 可以看出f d t d 方法的在空间、时间安排上的一些 特点：在空间安排上，电场与磁场是交叉排列，使得每一个电场分量由四个磁 场分量围绕，而每一个磁场分量也由四个电场分量围绕。此外空间的一些介质 参数都可以随着空间位置变化而变化，这就意味着f d t d 方法可以适应比较复 杂的电磁问题；在时间安排上，电场与磁场采取蛙跳式的迭代运算，避免使用 到矩阵的逆运算等耗费计算机资源而且可以避免的过程【7 1 。 在f d t d 计算中，在模拟对象不太复杂的情况下，y e e 元胞通常采用立方 体的等间隔方式对计算域离散，则有 a x = a y = a z = 么万( 2 1 1 0 ) 为了使电场与磁场的差分的表现形式能够更加简单明确，我们将有关 s ，吒和的表达式进行代替如下： o e ( t j k ) a t 川2 趟 ( 2 1 1 1 a ) 2 6 ( i j ，k ) c b ( i j 。k ) = d a ( i 。j k ) = s ( 1 j k ) a 8 14 c r e ( i , j , k ) d t 2 8 ( i j 。k ) 1 一亟( 盟查丝 2 t ( i j k ) 14 ，c r , ( i , j 、, k ) d t 2 a o j k ) 8 ( 2 1 1 l b ) ( 2 1 1 l c ) d b ( i j 。k ) =l l ( i j 。k ) 6 、+ c r 一, o , j , k ) a t 2 纵i j 囊) ( 2 1 1l d ) 通过式( 2 1 1 1 ) 中的四个式子可以看出，在f d t d 中可以将f ，吒和设置成 与空问位置相关的函数式。此时，f d t d 方法就能够分析研究非均匀的、各向 异性介质和结构尺寸复杂等电磁问题。采用立方体的等间隔离散和式( 2 。1 11 ) 的代替，式( 2 1 8 ) 、( 2 1 9 ) 可以简化成如下形式： e x 叶1 ( f + 芝1 ，工p = c 4 ( i + 芝1 ，工动f o + 互1 ，工d + a 瓤+ 芝1 ，五d o + 沙三肛u + 三肿g + + 多+ u 咖后一扣 ( 2 1 1 2 ) 以气1 歹+ 芝1 ，七+ 三) = 脚，+ 三1 ，七+ 三) q 气1 “+ 圭，七+ 三1 ) + d b ( “+ 互1 ，七+ 吾) 【岛砸，+ 互1 ，七十1 ) 一弓飞，+ 互1 ，| j ) e ，“( i ，+ 1 七+ 圭) + e 砸，七+ 三) 】 ( 2 1 1 3 ) 2 2 稳定性条件 2 2 1 数值稳定性 经过上述原理介绍可知，f d t d 的计算就是通过对空问、时间的离散，将 m a x w e l l 旋度方程用一组有限差分方程来代替，使其便于使用计算机技术进行 数值计算。但是离散的空间、时间间隔的使用是有一定条件的，那就是保证离 散后的差分方程组的解要具有收敛性和稳定性。收敛性就是指差分方程的解在 空间任意一点和任意时刻都一致趋于原方程的解。所谓稳定性是指差分方程的 数值解与原方程的解析解的误差在一定范围内，即是有界的。 在f d t d 中，可以通过选择时间间隔a t 与空间间隔的适当关系来实现稳定 性这一准则，具体分析过程如下【8 】： v e = 一掣 ( 2 2 1 ) v h ：g 罢 ( 2 2 2 ) 首先将磁场强度和时间归一化 拈挣 知赤 ( 2 2 3 ) 将( 2 2 1 ) 与( 2 2 2 ) 合并，整理得： 9 月( j i l + e ) 2 豪( + e ) 令v = h + j e 进行向量取代，可得 i v v ：一0v a 舌 ! v ：2 v a 芒 首先对式( 2 2 5 b ) 进行中心差分近似则： 蛭il ：a y 卜 同时定义 v ”+ 一2v 一 矗 驴丁2 万 利用( 2 2 。6 ) 的等式关系，可得 勉芒 口2 _ ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 a ) ( 2 2 5 b ) ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) 为了数值计算的稳定性，q 值的绝对值必须小于或等于1 。则可得 一面2 i m ( 五) 石2 ( 2 2 9 ) 根据式( 2 2 5 a ) 与( 2 2 5 b ) 可得： v v = 2 v( 2 2 1 0 ) 令y k = v o e j ”川y 蛐地x 6 a 2 i 去砌( 竽) + 专砌( 竽) + a z 行( 竽) 卜i l s x = - 2 v l ，嘣 经过计算可得 拈一 志s m 2 ( 竽) + 击s i n 2 ( 竽) + 击s i n 2 ( 竽) 对全部的吒，砖，乞，都可以得到旯如下的表达式： r e ( 2 1 = 0 - 2 i m ( 五) 2 把式( 2 2 1 3 ) 、( 2 2 1 4 ) 代入式( 2 2 9 ) ，即得 1 0 得出： ( 2 2 1 1 ) ( 2 2 1 2 ) ( 2 2 1 3 ) ( 2 2 1 4 ) 进一步，可得 2 a t 0 时，激励源所在的网格点被 赋予电压或者电流值，激励源所激发的电磁场将随着时间步的增加沿着y e e 元 胞在计算空间传播，并在不同模型的影响下产生入射、反射等一系列的电磁波 传播现象。计算区域的场从激发到最后趋于稳定和收敛需要经过一定的时间步， 不同结构所需要的时间步差异会很大。 本文中采用了高斯脉冲作为激励源，它的时域形式为： e(f)=l一下4z(t-to)2expi ( 2 4 3 )e ( f ) =l _ 广一i( 2 4 3 ) l 丁 j 其中f 为常数，决定了高斯脉冲的宽度。脉冲峰值出现在t - t o