（金融学专业论文）利率模型理论及在银行活期存款风险定价中的应用.pdf

致谢f 珊笞2 首先我要向我的导师一方兆本教授致以最诚挚的敬意。1 9 9 9 年秋始跟 从导师学习金融工程，得以亲身感受导师的言传身教。导师极其敏锐的洞察力和 过人的智慧，在做学问中总能给我以醍醐灌顶之感：导师高尚的风范和诲人不倦 的精神，更令我敬仰不已。导师常戏称自己为牧羊人，是呀! 正是这样的好牧人， 时刻眷顾着他的羊，带领我们到知识的大草原，指明前进的道路，为我创造各种 难得的学习机会，同时又给我以选择的自由。可以说，我学业的每一步，无不倾 注了导师大量的心血。师恩如海，无以言报，只能在今后的学习工作中不断发愤 图强，使不辜负导师的殷切希望。 其次我要深深感谢香港大学商学院金融创新与风险管理研究中心主任金 融学讲席教授张介博士( p r o f e s s o r e r i cc h a n g ) 。2 0 0 0 年底，导师委派我到此金融 研究中心做访问研究，在一年多的时间里，张教授渊博的金融知识和丰富的实战 经验，使我收益非浅。且在这篇论文的写作过程中，不少地方得益于张教授的指 点。 同时我要感谢学长谭智平博士和柏杨硕士。他们两人可谓良师益友同时 也是我在香港大学做研究的同事。被称为“统计活字典”的谭博士有非常坚实的 数理统计知识和机敏的头脑，每每令我佩服不已；柏杨师兄宽广的知识面和清晰 的金融理念在平日朝夕相处中给我不少启迪。本文中的不少地方是我和谭博士和 柏杨讨论的结果。 在中国科大学习的6 年中，得到了统计与金融系缪柏其教授、苏淳教授、 胡太忠教授、吴耀华教授、鲁炜副教授、张曙光副教授和商学院糜仲春教授等热 情无私的帮助，在此谨对以上教授表示真诚的感谢。 除此之外，我还要感谢商学院的黄开平老师、彭政思老师以及统计与金 融系的王德珍老师、臧红老师、奚炜博士、范辛亭博士。他们在我的学业中给与 了许多关心和支持。 最后我要感谢我的父亲母亲，他们含辛茹苦供我读书，教我做人，始终 是我最坚强的精神支柱。 摘要 型壅搓型声衍生证券的定价和金融机构的墨险笪望中具有非常重要的 作用。本文简要介绍了利率模型理论和主要利率模型，如均衡模型类和无套利模 型类，并着重以一个具体的市场( 香港持牌银行总体活期存款市场) 为实证分析 对象，对利率模型在银行活期存款风险定价中的应用等问题进行讨论。本文主要 贡献在于利用扩展的v a s i c e k 模型对香港持牌银行活期存款的定价进行实证性 分析，并在活期存款余额和利率支付的具体模拟中做了一些优化处理。 f 具体而言 7 本文巨要做了以下的】工作： 第一，比较并归类不同的利率模型。 第二，在j a r r o w 和v a n 的基础上，分别建立活期存款账户余额和支付 利率依赖于市场利率的随机变动过程，并用此过程模拟香港持牌银行总体活期存 款余额和利率支付的变化。使用扩展的v a s i c e k 模型模拟香港市场的点利率过 程，估计出模型参数。 第三，利用j a r r o w 和v a n l 9 9 8 年提出的银行活期存款净现值的无套利 模型，在扩展的v a s i e e k 利率模型下计算出香港持牌银行总体活期存款的净现 值，并对结果进行市场利率敏感性分析。 a b s t r a c t i n t e r e s tr a t em o d e lt a k e sa l li m p o r t a n tr o l ei nt h ev a l u a t i o no fd e r i v a t i v e s a n dr i s km a n a g e m e n tf o rf i n a n c i a li n s t i t u t i o n t h i sp a p e rb r i e f l yi n t r o d u c e st h et h e o r y o fi n t e r e s tr a t em o d e la n dc l a s s i f yt h ed o m i n a t i n gi n t e r e s tr a t em o d e l ，s u c ha st h e e q u i l i b r i u mm o d e l sa n da r b i t r a g e f r e em o d e l sa n d d i s c u s st h ei s s u e st h a ti n t e r e s tr a t e m o d e i i su s e di na r b i t r a g e f r e ev a l u a t i o no fd e m a n dd e p o s i t s t h em a i n w 0 r ki sb a s e d o nt h es t a t i s t i ca n a l y s i so fd e m a n dd e p o s i to fl i c e n s e db a n k si nh o n gk o n g t h e c o n t r i b u t i o no ft h i s p a p e r i sm o d i f i e dt h ed e m a n dd e p o s i ta c c o u n t se v o l u t i o n e s t i m a t i o na n dr a t ep a i de v o l u t i o ne s t i m a t i o n f i r s t l y , w ed i s c u s sa n dc o m p a r e t h ed i f f e r e n ti n t e r e s tr a t em o d e l s s e c o n d l y , b a s e do nt h ej a r r o w v a nm o d e l ，w es p e c i r yt h ee v o l u t i o no f t h e t e r ms t r u c t u r eo fi n t e r e s tr a t e s ，o fd e m a n dd e p o s i tb a l a n c e sa n dt h ed e m a n dd e p o s i t r a t ep a i dp r o c e s s t h e nu s i n gt h e s em o d e l st oh u n gk o n gl i c e n s e db a n k sd e m a n d d e p o s i t t h i r d l y , u s i n gj a r r o w v a na r b i t r a g ef r e em o d e l t ov a l u et h ed e m a n d d e p o s i t f o rh u n gk o n gl i c e n s e db a n k ，b a s e do ne x t e n d e dv a s i c e km o d e l t om e e t i n gt h es p o t r a t e a n da n a l y s i ss e n s i t i v i t yo ft h ed e m a n dd e p o s i tt ot h es p o tr a t ea n dh o n gk o n g b a n kp o l i c y i 型童堕型堡兰堑! 塑煎塑壹塾墨堕塞堕主鳖查用( 2 0 0 2 年) 引言 近十几年来金融市场中柜台交易和交易所交易的与利率有关的衍生证 券产品大量出现，促使利率模型理论的研究快速发展。同时利率模型理论的不断 完善，也使它在其他与利率有关的金融资产的风险定价中得到大量应用，增强了 金融机构对于与之相关资产的风险管理和监控功能。 商业银行风险管理之核心为资产负债管理，其中极具挑战性的课题是对 活期存款的风险定价，这是由活期存款高度与市场利率的敏感性决定的，市场利 率复杂的演变过程不但影响活期存款的存款利率而且影响存款人的投资行为。 1 9 9 8 年j a r r o w 和v e n 在市场分割假设下给出了活期存款金现值的无套利模型。 本文在此基础上，利用活期存款余额和支付利率的演变过程，并在市场点利率服 从扩展的v a s i c e k 模型的假设下，对香港所有持牌银行的活期存款余额计算其净 现值，并分析了香港活期存款业务在1 9 9 6 年至2 0 0 1 年间的赢余情况对香港银行 政策及市场利率的敏感性。 本文从整体架构来看是对利率模型理论的介绍及利率模型在银行活期 存款风险定价中的应用，具体各章节组织如下： 第一章首先介绍了利率模型中所涉及到的一些基本概念，如点利率、远 期利率、均值回复、波动率等，并简要阐明了利率期限结构的一些经济理论假设 和利率的随机过程。 第二章主要对利率模型的两大类( 均衡模型和无套利模型) 中的重要模 型进行讨论，介绍其模型的形式和优劣点以及现在模型参数估计所常用的两种方 法，g m m 方法和m l 方法。 第三章回顾了银行风险度量的演变，并在理论上阐明了银行活期存款的 风险度量的最新方法一无到期曰的非套利模型。 第四章以香港持牌银行的总体活期存款为研究对象，在无套利模型下计 算出其风险现值，并做了敏感性分析。 中国科学技术大学硕士研究生论文 型皇堡型堡堡垦垄塑笪堡塑查款风! 毽价中的应用( 2 0 0 2 年) 第一章利率概述 1 - 1 折现因子、点利率与远期利率 折现因子( d i s c o u n tf a c t o r ) 金融资产的定价中，折现值是很重要的一个概念，它是金钱时间效应的 直接表现。折现因子在折现值的计算中充当了重要角色。我们将从现值的计算中 引出折现因子的定义。 假设：某债券的持有者在到期目前可收到n 次支付，分别在时刻t 得到 数量为c 。，的支付( i = 1 n ) ；r 。，为t i 时刻的即期利率。这一债券的现值就是 nr p v = 羔 ( 1 1 1 ) 鲁( 1 + r 。) i l ”。 其中百未了称为t 时刻现金流的贴现因子。即期利率序列 r i ， i = l n ) ，可以看作是收益曲线的离散形式。下面给出收益曲线的严格定义， 定义到期日为t ，面值为1 元的债券在时刻t 时的现值为p ( t ，t ) 。那么 此债券从t 时刻到t 时刻的收益率为： 1 r ( t ，t ) = j t i n p ( t ，t ) ，t t ( 1 1 2 ) l 一【 序列 r ( t ，t ) ，所有t t 构成了债券收益率的时间序列，r ( t ，t ) 与连续时间t 之间 的关系便是此资产的收益曲线。 点利率( s p o t r a t e ) t 时刻的点利率定义为：记t = t t 为从时刻t 到债券到期日t 的时间间 隔，当t = 0 时债券的收益率利率r ( t ，t ) ，简而言之，t 时刻到期的债券收益率为 此时刻的点利率。 通过点利率我们可以定义货币市场账户( m o n e y m a r k e ta c c o u n t ) ，货币 市场账户是指，0 时刻投资1 元钱，在以后每时刻都以当时的点利率来累积 的账户。那么货币市场账户在t 时刻的值为： 中国科学技术大学硕士研究生论文 一型皇堡型里堡墨垄堡堑塑塑查塾垦堕塞塑塑鏖旦 l ! ! ! ! 兰! b ( t ) = e x p ( f r ( s ) d s ) 0 ( 1 1 , 3 ) 在实际金融市场中，时刻t 的点利率经常用同时刻的浮动利率或短期利 率( 1 个月的货币市场利率) 来代替，在一些市场中也可用隔夜拆借利率来代替， 但是由于期限太短会造成利率波动率较大，特别隔夜拆借利率的强自相关性也会 造成利率期限结构的斜度加大。因而，历史上金融学者通过数据分析认为用1 个 月期限的货币市场利率来代替点利率较为适合。 远期利率( f o r w a r dr a t e ) 远期利率是对未来一段时期内金融资产回报率的衡量。其大小可根据无 套利原理，直接从零息票债券价格中计算出来。 定义：时刻t 签订协议，在未来时刻t l 借款并到未来时刻t 2 偿还 ( t j t ：) ，则从时刻t l 到时刻t 2 这段时间内的利率即为远期利率，记作 f 【( t l ，t 2 ) 。 在无套利的情况下，我们必有如下关系： e r ( t , t 2 ) ( t 2 一) = e r ( 1 一) ( i 一1 ) e ( t 1 ，t 2 ) ( t 2 一t 1 ) n 1 4 、 因而我们可以得到： f t ( t l ，t 2 ) 2 i i 。( ，t 2 ) ( t 2 一) 一。( 1 ，t 1 ) ( t l 一) ( 1 1 5 ) 若用零息票债券时刻t 时的价格来表示，则为： 觚，t 2 ) = 击- n 器 ( 1 ) 与t 时刻的点利率类似，我们可以定义远期点利率( i n s t a n t a n e o u sf o r w a r d r a t e ) 用来表示在时刻t 来看，未来时刻t 时的借款利率。 f l ( t ) = f 。( t ，t ) = l i r a ( ，t 2 ) ()tf,t 11 7 远期点利率也可从另一个角度定义，把它看作收益曲线对到期日t 的偏 导。即： “t ) - _ 鲁( 1 n ( p ( t ，t ) ) _ r ( t ，t ) + ( t _ t ) 垦竽 ( 1 1 8 ) 中国科学技术大学硕士研究生论文 型皇堡里望堡丝垄堡堡塑塑查骜咫堕塞笪中的应用( 2 0 0 2 年) 点利率和远期利率的关系 t 时刻的点利率r ( t ) 可用远期利率( t ) 来表达，因为当远期利率中的t l 、 t ：时刻同时趋向于t 时，远期利率就变成了t 时刻的点利率，可用下式表达： 。l i + m 。f t ( t i ，t 2 ) 2f t ( t ，t 2 ) 2r ( t ，t 2 ) 1 一i m f t ( t ，t 2 ) = f t ( t ，t ) = r ( t ，t ) 2 r ( t ) 由远期利率和时刻t 时的点利率的关系，我们可以计算t 时刻的投资在 未来时刻t 的值，即： t e 小卅= e x p ( f f ( t ，s ) d s )( 1 1 9 ) t 1 2 利率的期限结构 期限结构( t e r ms t r u c t u r e s ) 利率的期限结构也称为收益曲线，是一系列在同一时刻但有不同到期日 或相同到期日但在不同投资时刻的零息票债券的收益率的集合。收益曲线形状是 多种多样的，典型的收益曲线具有上升趋势的，这是因为期限长的债券利率比期 限短的债券的利率高，从经济意义上说两者的利率差是对长期限债券流动性低的 一种补偿。债券市场中的利率期限结构可由不同到期日零息票债券的数据得到， 货币市场中的利率期限结构则由各种不同的金融工具价格得到。 在过去的一百多年的时间里，利率的期限结构一直是许多研究的重点， 特别是近十年来，由于利率衍生证券的发展，对于利率期限结构的研究越来越重 要。为了更好的了解利率的变动，研究者们一直试图通过分辨利率运动的过程及 理性投资者的行为来解释一定期间内收益曲线的波动。 最早用来解释期限结构的理论是纯粹预期假设，以后在他的基础上发展 出流动性偏好假设和市场分割假设。近年来有了更加复杂的期限结构模型( t e r m s t r u c t u r em o d e l ) 或收益率曲线模型( y i e l dc u r v em o d e l ) 。这些模型关注的是整个 曲线的变动而不是某个单一变量的变化。在利率模型下，期限结构上的每一 个利率随时间的推移而变化，另外更复杂些，收益曲线本身的形状也会变化。这 些模型我们将在利率模型一章中详细介绍，这里我们只介绍传统的期限结构理 中国科学技术大学硕士研究生论文4 一一型登塑型望堡墨垄堡堡适塑童垫墨堕室塑主塑生旦 ! ! ! ! ! 生! 论。 纯粹预期假设( t h e p u r ee x p e c t a t i o n sh y p o t h e s i s ) 纯粹预期假设由i r v i n gf i s h e r l 8 9 6 年提出，是最早的期限结构理论，也 是历史上著名的、最易于应用的、定量化的期限结构理论。在资本市场中被广泛 用做利率相关证券的定价依据。此假设认为，收益曲线是预期远期利率的函数， 这样，收益曲线可以分解为一个预期的将来的短期利率数列，投资者获得相应的 持有期收益。 这一假设的传统形式认为，长期债券的预期平均年收益率是预期短期年 收益率的几何平均。因此，预期的未来短期即期利率等于收益曲线隐含的远期利 率；而收益曲线的形状是由预期决定的。假设投资者是风险中立者，因而，如果 他们预期未来的投资环境不会发生变化，他们将认为1 年期投资和2 年期投资应 该得到同样的收益率。但事实上未来的预期总是在变化的，因而远期收益曲线也 总在变化。例如，1 9 6 2 年m e i s e l m a n 检验利率的期限结构时，发现只要市场信 息证明投资者先前的估计不正确，投资者就会马上改变对未来的利率的预期，导 致收益曲线变化。 在预期假设中收益曲线的形状完全由投资者的预期决定，当投资者预期 将来的即期利率高于现在的即期利率时收益曲线向上倾斜；当投资者预期将来的 即期利率低于现在的即期利率时收益曲线向下倾斜。如果投资者预期短期利率保 持不变，收益曲线则是水平的。既然收益曲线已经隐含了预期的短期利率，那么 对投资者而言，持有一个2 0 年连续期限的投资，和持有两个连续的1 0 年期投资 的收益应该是没有区别的。根据这一理论我们可以从预期收益曲线中计算出一个 预期的短期利率序列。反过来，作为一个整体，他们也可以产生收益曲线所表示 的任何给定期限的市场利率。 在纯粹预期假设下，我们可以把零息票债券利率分解为一个隐含远期利 率的序列。在第一个短期期间内，远期利率应等于零息票债券利率r ( o ，1 ) = f o ，1 ) 。 如下： ( 1 + r ( o ，t ) ) = ( 1 + r ( o ，1 ) ) 【1 + f o ，2 ) 1 1 1 + f ( 2 ，3 ) 】 1 + f ( t 一1 ，t ) 】 其中：r ( o ，t ) 是0 时刻到期日为t 的零息票债券利率。 f ( i l ，i ) 是时刻i - 1 到时刻i 期间的隐含远期利率。 可推出计算连续期间的隐含远期利率： f ( t _ 1 ，t ) _ 器一l 中国科学技术大学硕士研究生论文 型垩塑型堡堕丝垄堡堡垩塑童墼墨险定价中的应用( 2 0 0 2 年) 流动性偏好假设( t h el i q u i d i t yp r e f e r e n c e h y p o t h e s i s ) j r h i c k s 和j m c u l b e r t s o n 分别在1 9 3 9 和1 9 5 7 年对纯粹预期理论进行 了修正，加入了风险因素。1 9 6 5 年v a nh o m e 断定，远期利率除包括了预期信息 之外还包括了风险因素，它应是对流动性的补偿。这是因为短期债券的流动性比 长期债券要高，利率的变化对长期债券价格的影响大于对短期债券价格的影响， 所以由利率风险转化出的长期债券的价格风险高于同样大小的利率风险转化出 的短期债券的价格风险。假设投资者是厌恶风险型，如果长期债券没有更高的收 益率，他们将偏向于持有短期债券。 流动性偏好假设是纯粹预期假设的扩充，它表明远期利率是预期利率与 流动性补偿之和。也就是说，长期债券将在其价格中体现这一风险报酬。用利率 表示，我们得到： 【1 + r ( t ，t + 1 ) 1 + f ( t + 1 ，t + 2 ) 】= 1 + r ( t ，t + 1 ) 】 1 + e t r ( t + 1 ，t + 2 ) 】+ l t ( 1 ，2 ) 其中：l 。( 1 ，2 ) 是t 时刻看两年期债券多于一年期债券的流动性报酬。 r ( t ，t + 1 ) 是t 时刻一年期的市场利率。 f ( t + 1 ，t + 2 ) 是时刻t + l 至时刻什2 的1 年期远期利率。 e 是以t 时刻信息为条件的条件期望值算符。 为了说明偿还期离现在越远，流动性报酬越高，我们经常假设 l 。( i ，i + 1 ) l 。( i ，i + 2 ) 这一不等式意味着流动性补偿随着时间的延长而增加。按照流动性偏好 假设，实际观察到的收益曲线总是比由纯粹预期假设所预计的要高。流动性偏好 假设与纯粹预期假设不同点是，即使预期短期利率保持不变，远期利率期限结构 也将是向上倾斜的，这是因为流动性补偿随着时间的延长而增加。美国历史3 0 年的实际市场观察数据也证明了大多数收益曲线是向上倾斜的。 市场分割假设( m a r k e ts e g m e n t a t i o nh y p o t h e s i s ) m o d i g l i a n i 和s u t c h l 9 6 6 提出，不同的投资者具有明显的区别，每种投 资者都固定偏好投资于收益曲线的特定部分。这就是说，因为投资者者有各自偏 爱的“栖息地”，在偿还期不同的金融资产之间几乎不存在互相替代性。例如： 公司中的l 临时性资金偏好与投资收益曲线的前部的债券；保险公司则喜欢投资于 与保单和养老金计划责任相一致的、具有长期期限和现金流的债券。所有投资者 的相同点是都偏好于使其资产期限和债务期限相匹配的投资。 中国科学技术大学硕士研究生论文 利率模型理论及在银行活期存款风险定价中的应用( 2 0 0 2 年) 市场分割假设主张资金的供给者和资金的需求者各有自己偏爱的“栖息 地”。因此为了吸引投资者偏离其在收益曲线上的偏好位置，就必须给他们以补 偿，这样既定偿还期的利率主要根据该特定偿还期的资金供求状况来就决定和解 释。 市场分割假设能够很容易的解释远期利率和预期的未来即期利率为生 么可能会不同，但他不能清楚的从方向和定量上说明如何不同。与此相对照，流 动性偏好假说则表明，远期利率总是高于预期的未来即期利率，并且这一差别的 尺度会随债券偿还期的增加而单调增大。 三种期限结构的小结 - 强有力的证明正的流动性补偿是存在的，所以偿还期长意味着回报率 较高。 对于不同偿还期而言，流动性补偿不是常量。流动性补偿的期限结构 也随时间而改变。 远期利率中包含着未来即期利率的一些信息，但他们的预测能力非常 的弱。 1 3 利率过程 鉴于远期点利率是随机变量，较新的利率理论把利率的期限结构视为一 种随机过程。这一节，我们将讨论关于利率时间序列的一些基本的统计模型思想。 状态变量( s t a t ev a r i a b l e ) 任何模型都是由状态变量和其过程决定。模型中的所有状态变量的取值 的集合决定整个系统的状态；而状态变量的过程决定了状态变量如何随时间而变 化。在利率模型中，状态变量就是点利率。点利率的变化就决定了整个的期限结 构和利率期限结构中所隐含的远期利率的变化。 维纳过程( w i e n e rp r o c e s s ) 中国科学技术大学硕士研究生论文 型皇塑型里堡垦垄堡堑活期存款风险定价中的应用( 2 0 0 2 年) 所有远期利率都可看做随机变量，他们的过程通常用维纳过程来描述。 维纳过程是马尔科夫随机过程( m a r k o vs t o c h a s t i cp r o c e s s e s ) 的种特殊形式， 有时亦被称为布朗运动( b m w n i a nm o t i o n s ) 。 标准的一维维纳过程( 亦被称为布朗运动) 是满足以下条件的连续随机 过程z ( t ) ，0 t 。c ， ( 1 ) z ( 0 ) = 0 ： ( 2 ) 对任意的0 0 中国科学技术大学礤士研究生论文 8 型奎燮型望堡墨垄堡堡塑塑壹塾垦堕塞尘中的应用( 2 0 0 2 年) 式子两边对t 积分 得到 d l = q ( p r ( t ) ) d t ， r ( t ) = “+ ( r o 一“) e 一“ 其中r n 是0 时刻利率的初值。 从表达是可以看出，r ( t ) 有向均值“回复的趋势，叫做均值回复率， 它的大小表示回复的速度。 有些强有力的经济学观点支持均值回复。当利率较高时，经济发展会放 慢，因此借款人对资金的需求就会减少，结果导致利率下降。当利率较低时，经 济发展会变快，则借款人对资金又很高的需求，结果导致利率上升。 均值回复的影响之一是使利率的波动率成为到期期限的减函数。例如， 1 0 年即期利率的波动率比5 年即期利率的波动率低，5 年即期利率的波动率比1 年即期利率的波动率低。 波动率成分( t h ev o l a t i l i t yc o m p o n e n t ) 对于不存在跳变过程的时间序列z ( 1 ) ，通常假设它的波动服从一维维纳 过程。也就是我们刚才讨论的d z ( t ) = d t ，d z ( t ) 可以看作均值为零、方差为d t 的小的随机增量。 综合利率的漂移和波动率，利率过程的一般表达形式为： d r ( t ) = ( 肛一r ( t ) ) d t + c y d z 。 具体不同的利率模型我们将在第二章详细介绍。 第二章利率模型理论 中国科学技术大学硕士研究生论文 型垩堡型墨堡垦垄堡堡煎塑壹塾风堕窒堕生璺应用( 2 0 0 2 年) 2 - 1 利率模型概述 利率随机变动过程的研究一直是金融领域的一个重点，特别是近十年来 涌现出大量与利率有关的衍生证券，使得利率模型越发显得重要。因为能够精确 描述利率动态过程的随机模型，不但能更好地在利率衍生证券的定价和风险对冲 中发挥重要作用，而且可以帮助金融机构诸如商业银行等，改善其资产负债的利 率风险度量效果进而加强金融机构的风险监管能力。 利率模型的发展经历了早期简单随机模型、均衡模型和无套利模型的不 同阶段。早期简单的随机利率模型一般只假设一个状态随机变量，旨在模拟风险 中性世界中点利率r 可能的随机演变过程，值的强调是它并不是点利率r 现实世 界中所遵循的过程。早期简单随机模型的一般形式是： d r = m ( r ) d t + s ( r ) d z( 2 1 1 ) 其中瞬态漂移率m 和瞬态标准差s 是点利率r 的函数，并独立于时间t 。 这表明所有利率在任意短时间间隔内按相同的方向变动，但利率变动的幅度却不 一定相同。这类模型的代表如：r e n d l e m a n b a r t t e r 模型，他们假设( 2 1 1 ) 式中的 m ( r ) = m r ，s ( r ) = s r ，其中m 和s 是常数。这意味着利率r 服从几何布朗运动，并 在风险中性世界中有固定的期望增长率m 和固定的标准差s 。 均衡模型是早期随机模型的发展，弥补了早期模型中的一些不足。例如 著名的早期v a s i c e k 均衡模型( 1 9 7 7 年) ，形式上只是在( 2 1 1 ) 式的基础上假设 m ( r ) = a ( b r ) 和s ( r ) = 6 ，即： d r = a ( b r ) d t + a d z ( 2 1 2 ) 其中a ，b ，g 为常数。但从经济意义上却有较大的贡献，它考虑了利率 的均值回复问题，因为从( 2 1 2 ) 式中可以看出点利率有以速度a 被拉向水平b 的 趋势。同样1 9 8 5 年c o x ，i n g e r s o l l 和r o s s 在v a s i c e k 模型的基础上解决了( 2 1 2 ) 式可能出现负利率的问题，被称为c i r 模型。通常早期随机模型和均衡模型也 被统称为传统利率模型。 传统利率模型都有与建立时刻的利率期限结构不符的缺点，只可以近似 的拟合实际中遇到的不同利率期限结构。于是h o 和l e e ；h e a t h ，j a r r o w 和m o a o m h u l l 和w h i t e 分别提出了一些构造期限结构的新方法，他们的共同点是根据市场 无套利方法并直接从利率状态变量出发建立模型，保证了利率模型可以自动符合 初始收益利率曲线。进一步，h j m 模型并能在所有时刻符合远期利率的标准差。 这类模型称为无套利模型，它和上述均衡模型并称为连续时间利率期限结构的两 种基本模型。 无套利模型和均衡模型的主要区别在于：均衡模型是从描述状态变量的 经济环境出发，把利率看做内生变量，构造一个或多个外生经济因素或状态变量 的随机过程，并在一般均衡的条件下定价或然收益；无套利模型则是直接假设一 个或几个利率变化的随机过程，在无套利机会的经济条件下定价或然收益。下面 两节将介绍历史上主要的均衡模型和无套利模型。 中国科学技术大学硕士研究生论文 1 0 型圣塑型望堡墨垄堡堑适塑童塾风险定价中蝉用( 2 0 0 2 年) 2 - 2 均衡模型 均衡利率模型要求市场是有效市场，即所有市场的参与者，都有同等的 机会得到决定市场价格的所有信息，并假设点利率( s p o r tr a t e ) 是决定债券价格 的唯一重要因素。这类模型中比较有名的是：1 9 7 7 年v a s i c e k 提出的高斯型均衡 模型；1 9 8 1 年c o x ，i n g e r s o l l 和r o s s 提出的平方根模型；1 9 9 2 年l o n g s t a f f 和 s c h w a r t z 的两因子模型。 v a s i e e k 模型( 1 9 7 7 ) v a s i c e k 模型的表达形式较简单： d r = a ( b r ) d t + c r d z 其中均值恢复率a ，长期平均利率b ，波动率仃为常数，d z 为标准一维 维纳过程，所以在每一固定时刻t ，点利率过程为高斯过程，因此v a s i c e k 模型 也称为高斯均衡模型。 v a s i c e k 模型的优点： ( 1 ) 形式简单，用在衍生产品的定价中解析上容易实施，并可以求出 点利率r 的闭式解析解进而得到整个利率期限结构。 根据第章的介绍可以只要知道贴现债券的价格p ( t ，t ) ，整个利率期限结 构就可以通过下式求得， r ( ，t ) 一高l n p ( ，t ) ( 2 21 ) 我们知道，贴现债券的价格p ( t ，t ) n - i 表为无风险中性世界中的期望现值。 在v a s i c e k 模型下p ( t ，t ) 有显示解： p ( t ，t ) = a ( t ，t ) e 一8 。 1 其中，当a 0 时， b ( t ，t ) ：生! ：竺 a ( t t ) 一 盟竺掣蝴一号# 当a = o 时， 中国科学技术大学硕士研究生论文 1 i 型垩塑型望堡墨垄堡堡塑塑壹塾是险定价中的应用( 2 0 0 2 年) a ( t ，t ) = e x p 0 2 ( t t ) 3 6 ：b ( t ，t ) = t t ( 2 ) 最早描述了利率过程的均值回复现象。 v a s i c e k 模型的不足之处是，由于假设利率的波动为高斯过程，波动项 d z 有出现较大负值的概率，而是整个点利率为负，而负利率在现实世界中是不 存在的。鉴于此现在在金融利率衍生产品定价中，v a s i c e k 模型已经很少使用了。 c i r 模型( 1 9 8 1 ) c i r 模型的风险中性过程为 d r = a ( b r ) d t + o 正r d z 这与v a s i c e k 模型有同样的均值回复漂移，但随机项的标准差正比与 。 所以c i r 模型解决了v a s i c e k 模型中的负利率问题，并意味着其标准差随着点利 率的上升而上升。 同样c 1 r 模型对于折现债券的价格有显示解，且和v a s i c e k 模型中的 般形式相同： p ( t ，t ) = a ( t ，t ) e 一8 1 。 只是b ( t ，t ) 和a ( t ，t ) 的形式变为： 附m = 高煞 和 w h 意踽2 t( y + a ) 【e “一1 ) + 其中y ；正丽，和v a s i c e k 模型一样，通过c i r 模型可导出收益率 曲线的表达式。其形状可以是上倾、下倾或稍稍隆起。 c 1 r 模型和v a s i c e k 模型皆假设整个期限结构依赖于单个随机状态变量 ( 点利率) ，但现实世界中风险源不止一个，鉴于此b r e n n a n 和s c h w a r t z1 9 7 9 年提 出了两因子套利模型，其中用到长期利率和短期利率两个因素，并假设长期利率 服从随机过程。另一有名的两因子模型是1 9 9 2 年，l o n g s t a f f 和s c h w a r t z 从一般 均衡模型开始推导出的包含短期利率和短期利率波动率的两因子模型。介绍如 中国科学技术大学硕士研究生论文 1 2 利率模型理望墨垄垦j 塑塑壹款风险定价中的应用( 2 0 0 2 年) 下。 l o n g s t a f f - s c h w a r t z 模型( 1 9 9 2 ) l o n g s t a f f - s c h w a r t z 模型中的两因子分别为短期利率和即期收益波动率， 早在1 9 8 9 年d y b v i n g 就证明了这正是决定利率期限结构的两个主要因素，即期 利率波动率不但在利率期权和债券定价中起重要作用，而且抓住了利率期限结构 的一些重要性质，短期利率则是利率的期限结构的直接反映。下面简单给出此模 型的推导及表达式。 过程 设状态变量为x t 和y 。，他们服从一般维纳过程， d x 。= ( a b x 。) d t + c 厄t d z l 。 d y t = ( d e y l ) d t + f 4 y t d z 2 ， 短期利率r t 是x t 和y 。的线性函数，表达式为 r t = g t x l + p y t 利率的波动率d 通过上式可得 d t = 2 x t + p 2 y ( 2 2 2 ) ( 2 ，2 j 3 ) 对( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) 两式运用i t o 定理，即可得到利率r 。和波动率d 。的动态 a r c c 删旷譬卜等u 肌仪腼气。邮岳孚： 岫- ( ( a 2 2 旷等r 一篙u ) d t “腼气。帮厮导。 同样，l o n g s t a f f - s c h w a r t z 模型对折现债券的价格有显示解 b ( t ，r ，d ) = a 2 7 ( 百) b 2 ”( x ) e x p ( k x + c ( t ) + d ( x ) o ) 其中：t = t t 债券的到期时间。 中国科学技术大学硕士研究生论文 型垩堡型堡堡墨垄堡堑适塑查茎垦堕室堑的应用( 2 0 0 2 年) a f t l ：兰生一 、 ( 6 + 巾) ( e x p ( 巾t ) 一1 ) + 2 巾 b r f ) ：二塑l 一 、7 ( 9 + ( p ) ( e x p ( ( p t ) 一1 ) + 2 ( p c ( 。1 ：业! ! ! 地! ! = 1 2 璺! 1 2 = 鲤坚p 生1 2 二! 巡! ! 十币( p 一) d f ：) ：竺坚咝1 2 二! 巡1 2 二蝗型里! ! 二! ! 呈盟 如( p ) 8 ：e + 九，m ：压再可 ( p = 厨 k = y ( 6 + 十) + t 1 ( 9 + ( p ) 此模型下，折现债券的价格是利率r 波动率u 和到期时间的函数。通过 p ( t ，t ) 利用( 2 2 1 ) 式可以得到整个利率期限结构的表达。 模型等。 2 - 3 无套利模型 本节主要介绍的无套利模型包括h o l e e 模型，h u l l w h i t e 模型，h j m h o l e e 模型( 1 9 8 6 ) 1 9 8 6 年的h o l e e 利率期限结构模型是最早的无套利模型，同时也是第 一个把初始利率期限作为模型的输入，使得整个利率期限结构在随时间变动。这 在利率模型思想上是有开创性的。 最初的h o l e e 模型是以二叉树的形式给出，模型有两个参数，分别与 波动率和市场的风险价格有关。h o l e e 连续时间模型表示为： d r = 0 ( t ) d t + 6 d z 其中，仃为常数，代表短期利率的瞬态标准差。 0 ( t ) 是依赖于时间的漂移，隐含了初始远期利率曲线的斜率和短 期利率的波动率。表达式为， e f t l ；o f ( o , t ) + a 2 t 中国科学技术大学硕士研究生论文 型垩堡型墨堡墨垄堡堑堡塑童塾墨堕塞堕主塑蜜用( 2 0 0 2 年) h o l e e 模型中，由于漂移项不依赖于短期利率，所以点利率和远期利率 的波动率由常数a 决定。即： a ，( t ，s ) = at s t 在h o l e e 模型中，到期日为t ，t 时刻的贴现债券价格为： p ( t ，t ) = a ( t ，t ) e - ( t - t ) ( 1 其中： 蝴) = e x p l n 鬻- ( t _ t ) 艺半7 1 2 t ( t _ t ) 2 ) h o l e e 模型的优点是：( 1 ) 能精确的描述当前的利率期限结构；( 2 ) 应用 简便是一种具有解析的m a r k v 可扩展模型。 模型缺点：( 1 ) 模型中点利率和远期利率具有相同的常数波动率，使模型 使用的灵活性变小；( 2 ) 从模型表达式看有出现负利率的概率且模型没有描述利 率的均值回复现象。 h u l l w h i t e 模型( 1 9 9 3 ) h u l l w h i t e 模型是另一个具有可扩展性的模型，并在实际中有广泛的应 用。它是由h u l l 和w h i t e 在1 9 9 0 年提出的。表达形式为： d r = ( 0 ( t ) 一a r ) d t + u d z 其中，回复速度a 和波动率。为常数。 e ( t ) = 掣埘( 0 ，t ) + 里2 c t ( 1 矿)优 h u l l w h i t e 模型从形式上看是v a s i c e k 模型的漂移项随时间变化的扩展， 也可看做是带有均值回复的h o l e e 模型，即h o l e e 模型是仅= o 时h u l l w h i t e 模型的特例。 在h u l l w h i t e 模型中的到期日为t ，t 时刻的贴现债券价格为： p ( t ，t ) = a ( t ，t ) e 一8 ，1 ” 其中： b ( t ，t ) ：! 二坐：! ! l 毗t ) _ 1 n 鬻吼t ) 等半一古文e - o t _ e - o , ) ( e - 2 a t - 1 ) 此模型下，点利率的波动率由短期期利率的波动率a 和均值回复速度a 共同决定，h u l l 和w h i t e 给出如下形式： 中国科学技术大学硕士研究生论文 型兰堡型堡堡丝垄堡堡垩塑查塾墨堕塞笪! 堂应用( 2 0 0 2 年) 有解决。 o r ( t ，t ) _ 志( 1 _ e “盯_ l ) 这比h o l e e 模型的波动率结构更为灵活。但是仍然由负利率的问题没 h u l l w h i t e 模型的扩展 h u l l w h i t e 模型扩展的一种形式是考虑到不同时期的均值回复率是不同 的，即均值回复速度a 应为时间t 的函数，相应h u l l w h i t e 模型变为： d r = ( 0 ( t ) 一a ( t ) r ) d t + a d z 由于其方程形式与v a s i c e k 模型相似，顾被称为扩展的v a s i e e k 模型 ( e x t e n dv a s i e e km o d e l ) ，其一般形式写为： d r = a ( e ( t ) 一i x ( t ) r ) d t + g d z( 2 3 1 ) 其中均值回复参数a 和点利率的波动率。为常数。考虑到初始远期利率 曲线的无套利性，长期平均利率e ( t ) 应该满足下方程：( 1 9 9 2 年k a r o u i 给出) o ( t ) ：f ( 0 , t ) + 掣+ 掣】a ( 2 3 2 ) o lz a 在( 2 3 2 ) 的条件下( 2 3 1 ) 式可以解得点利率的表达式： r ( t ) ：f ( 0 , t ) + 旦姜+ t 弦础- s ) d z ( 2 3 3 ) h u l l w h i t e 模型另一扩展是为了避免负利率在模型中的出现，因此修正 模型，使随机项的标准差正比与i 。即： d r = ( o ( t ) 一c t ( t ) r ) d t + o 压d z( 2 3 4 ) ( 2 3 4 ) 式在形式上与c i r 模型相似，只是漂移项变成时刻t 的函数，但 实际上此模型与c i r 模型对期限结构的描述又很大的不同，他描述的是整个利 率的期限结构在随时间变动，而不仅仅是短期利率水时间的变动。此模型也叫做 扩展的c i r 模型( e x t e n d e d c i rm o d e l ) 。 h e a t h j a r r o w m o r t o n 模型( 1 9 9 2 ) 中国科学技术大学硕士研究生论文 型皇堡型型堡垦垄塑堑堡塑查塾风险定价中的应用( 2 0 0 2 年) h j m 模型可以说是无套利模型一般性的理论框架，该模型从贴现债券价 格出发建立了每一个瞬态远期利率的漂移率与波动率的关系，并由此构造利率期 限结构的演变过程。简要介绍如下。 从贴现债券价格到远期利率过程