（概率论与数理统计专业论文）effects+of+parameter+estimation+on+vssi+x+control+chart.pdf

南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：闭最垂 珈6 年只 8 日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 解密时间：年 月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下 f 1 _ 一w 。一一1 一一 | 内部5 年( 最长5 年，可少于5 年) | 秘密1 0 年( 最长l o 年，可少于1 0 年) ! 机密2 0 年( 最长2 0 年，可少于2 0 年) 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名：阅技毫 娜莎年，月佰目 摘要 传统休哈特控制图已经得到了广泛的应用，近几年来可变样本容量和抽样区间的足控制 图( v s s i 贾控制图) 也有较大的进展 关于v s s i 贾控制图的理论结果都是在过程统计量的均值和方差己知的前提下考虑的 但是，在实际中过程统计量的均值和方差都是未知的在这种情况下，一般的处理方法就是利 用历史数据对未知参数进行估计当参数被估计之后，我们就把控制限认为是固定的 到目前为止，当控制限被估计时，我们对v s s i 牙控制图的平均报警时间( a t s ) 会受到怎样 的影响还不甚了解本文将计算v s s i 贾控制图的控制限以三种方式被估计时，其a t s 的期望 值 计算结果表明，参数估计对受控情况下的a t s 有显著的影响而对失控情况下的a t s 却影 响不大这些结果将有助于我们选择历史数据的样本数m 和样本容量n 晟后，本文也得到了 当其他参数都固定时n 。的最优值 关键词：平均报警时间，可变样本容量和抽样区间的贾控制图- 参数估训 a b s t r a c t s t a n d a r ds h e w h a r txc o n t r o lc h a r t sa r ew i d e l vu s e di nd r a c t i c e a n dt h e r ea r eal o to f p a p e r sd e a l i n gw i t ht h ex c h a r t sw i t hv a r i a b l es a m p l es i z ea n ds a m p l i n gi n t e r v a l s ( v s s i x c h a r t s ) i nr e c e n ty e a r s t h et h e o r e t i c a lr e s u l t sa b o u tv s s ixc h a r t sa r ec o n c e r n e dw i t ht h ec a s ew h e r et h em e a n a n dt h es t a n d a r dd e v i a t i o no ft h eg i 、np r 。c e s sa r ek n o w nh o w e v e r ，i np r a c t i c et h em e a n a n ds t a n d a r dd e v i a t i o no ft h e 西v e nc h a r a c t e r i s t i ca r eu n k n o w n i nt l i sc a s e ，t h ec o m m o n t r e a t m e n ti st oe s t i m a t et h eu n k n o w np a r a m e t e r su s i n g1 1 i s t o r i c a ld a t a a f t e rd e t e r m i n i n g t h ep a r a m e t e r sw et r e a tt h ec o n t r o lh m i t sa st h o u g h 丘x e d u i ) t 。n o ww eh a en oi ( 1 e aa b o u tt h ea v e r a g et i m et os i g n a l ( a t s ) o fv s s ixc 1 1 a n s w h e nt h ec o l l t r o ll i m i t sa r ee s t i m a t e dt h i sd a d e rw i l lc a l m l l a t et h em e a no ft h ea ，r sf o r v s s ixc h a r t sw h e nt h ec o n t r 0 1 l i m l t sa r ee s t i m 砒e di nt h r e ed i h 色r e n tw a v s t h er e s u l ts h o w st h a tp a r a m e t e re s t i m a t i o nh a ss i g n i 疗c a n te 髓c to nt h ei n c o n t r o la t s o ft h ec h a r t b u th a sl i t t l ee f f e c to t h eo u t o f - c o n t r 0 1a t st h e s er e s m t sc o u l ds h o wu ss o m e g o o dr e f 宅r e n c ei d e af o rc h o o s i n ga d e q u a t ei l u m b e ro fs a m p l eg r o u p sr na n d t h es a m p l es i z en o fh i s t o r i c a ld a 七a f i n a l l y ，t sp a p e r 。b t a i n st h eo p t i m a ld e s i g no fn 2w h e no t h e rp a r a m e t e r s a r e 矗x e d k e y b r d sa v e r a g et i m et o & g n a l ，v a r i a b l es a m p l es i z ea n ds a m p l i n gi n t e r v a l 贾 c h a r t s p a r a m e t e re s t i m a t i o n 1 i n t r o d u c t i o n s t a t i s t i c a lp r o c e s sc o n t r o lc h a r t sa r ew i d e l yu s e di np r a c t i c e ，e s p e c i 出l y ，t h es t a n d a r d s h e w h a r t ( s s ) xc h a r t sh a v eg o tal 。to fa p p l i c a t i o 璐t oi n d u s t r y a sw ek n o wt h ec e n t r a l l i m i to fs sxc h a r t sf o rr a t i o n a lg r o u pi st h ep r o c e s sm e a n 肛o rt a r g e tv a l u ef o rn o m i n a l c h a r a c t e r i s t i c s ，i t su c la n dl c la r ep + 3 赤a n dp 一3 景r e s p e c t i v e l y i ng e n e r a l ，w e s u p p o s et h a tt h ep r o c e s si n e a npa n dt h es t a n d a r dd e v i a t i o n 盯a r ek n o w n w h e nt h em e a n “a n ds t a n d a r dd e v i a t i o n 口a r eu n k n o w n ，t h ec o n t r o ll i m i t sn e e dt ob ee s t i m a t e d s u p p o s e t h a tl h ep r o c e s sv a n a b l ea r ed i s t r i b u t e da s ( 肚，口2 ) a n dt h e r e 甜em i n d e p e n d e ms a m p l e s o fs i z en ：( x t j ，i = 1 ，2 ， ，m ，j = l ，2 ，- ，n ) ，w h i c ha r eh i s t o r i c a ld a t a s o ，w eu s u a u y e s t i m a t eu c l ，c la n dl c lb y 痂= 贾+ 3 杀，既= 贾，筑= 克一3 杀， ( 1 ) 、n、n w h e r exi st h eg r a n dm e a no fh i s t o r i c a ld a t a ， 贾= 去喜( ；喜托) = 去喜豆 ( 2 ) a n d 子i so n eo ft h ef 0 1 l o w i n gt h r e ed i r e n te s t i m a t e so f 盯( m o n t g o m e r y ( 1 9 9 6 ) ，c h e n ( 1 9 9 7 ) ) 矗 r l + r 2 + + r m 。 d 2 ( n ) m d 2 ( n ) 高= 赤( 研+ s 2 卜叶) q 岛2 而# ! 确： w h e r eri st 1 1 er a n g eo fi mr 砒i o n a lg r o u p _ i ) y ( 击( s + 岛+ + 黑) ) 1 7 2 而而= 丁万厂 ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) a n dd 2i saf u n c t i o no ft h es a m p l es l z end e 矗n e d d 2 ( n ) = e ( 坝。) 一吼1 ) ) ， w 1 1 e r e 吼t 1 ) a n d 1 ) a r et h el 舡g e s ta n d t h es m a l l e s “7 a l u e si nar a n d o ms a m p l e 巩，巩，已0 f o mt h es t a n d a r dn o r m a ld i s t r i b u t i o n 、 g = i 与( 五，一茏) 2 ， a n dc 4 i sa f u n c t i o no f t h es a m p ks i z e 几d e 矗n e db y ，= ( 熹) v 2 斋 i ng e n e r a l ，r 】sa n dsa r ec a l l e dt h ea v e r a g er a n g e ，t h ea v e r a g es t a n d a r dd e 、r i a t i o na n d t h ep o o l e ds a m p l es t a n d a r dd e v i a t i o no fh i s t 。r i c a ld a t a ，r e s p e c t i v e i y 3 f i x j n gt h et y p e ie r r o r1 e v e l sh i l l i e r ( 1 9 6 9 ) c o n s i d e r e dt h ee f r e c to fe s t i m a t i o ni ns e t t i n g u ps sx a n drc h a r t sa n dp r o s c h a na n ds a v a g e ( 1 9 6 0 ) g o tt h em a x i m u mv a l u eo fmf o ra 舀v e n 咒h o w e 、，e r ，h l o w i n g 1 1 ，p eie r r o r sd o e sn o t 舀v eu sm u c hm o r ei n f o r m a t j o na b o u tt h e d i s t r i b u t i o no fa r lw h e nt h ep r o c e s si si nc o n t r 0 1a n do u to f c o n t r o lq u e s e n b e r r y ( 1 9 9 3 ) f l r s t l yp o i n t e do u tt h i si s s u ea n dg o ts o m ee m p i r i c a lr u l e sf o rs sxc h a r t s c h e n ( 1 9 9 了) p r o v i d e ds o m en u m e r i c a lr e s u l t sa b o u tt h em e a na n ds t a n d a r dd e v i a t i o no ft h ed i s t r i b u t i o n o fa r lf o rs sxc h a r t sw h e nt h ec o n t r o ll i m i t sa r ee s t i m a t e db ye q u a t i o nf 1 1i nt h r e e d i 任e r e n tw a ) s ，a n dg 吖es 。m ee m p i r i c a lr u l e sf o rc h o o s i n gt h en u m b e ro fs a m p l e sma n d 恤e s a m p l es i z en t h e r ea r ea l s os o m ee m p i r i c a lr e s u l t sa b o u th o wt oc h o o s et h ev a l u eo fm a n d 扎，w h e nw ee s t i m a t et h e “a n d 盯u s i n gh i s t o r i c a ld a t ab a s e do np r a c t i c a lc o n s i d e r a t i o n m o n t g o m e r y ( 1 9 9 6 ) a n dq u e s e n b e r r y ( 1 9 9 3 ) t h o u 曲tt h a tt h ea d e q u a t em i sb e t w e e n2 0 a n d3 0w i t hne q u a lt o4o r5 ，h o w e v e r ，t h e yd on o tg i v ea r l yt h e o r e t i c a lp r o o fa n dt h e yu s e s i m u l a t i o n a sw ek n o wt h ep a r a m e t e r so fs sx c h a r t s ) s u c ha 5t h es a m p l es i z e ，t h es a m p l i n gi n t e r 、，a l a n dt h ea c t i o n1 i m i t s ，a r ea l lf 、e d t h ei d e ao fu s i n gav a r y i n go fp a r a m e t e r sc o n t r 0 1c h a r t i s i n t u i t i v e l yr e a s o n a b l e i fas a l n p l ep o i n tf a l l sc l o s et oac o n t r o ll i m i t ( b u tn o ta c t u a l l y o u t s i d et h ec o n t r o l1 i m i t ) ，t h e no n ew o u l dn a t u r a l l yw o n d e rw h e t h e rn e x tp o i n tm a y a c t u a l l y b eo u t s i d et h ec o n t r o l l i m i ti nt h i ss i t u a t i o no n ep r e f e rt ot a k ea1 a r g es 锄p l eq u i c k l 弘o n t h eo t h e rh a n d ，i ft h ec u r r e n ts a m p l ep o i n ti sc i o s et ot h et a r g e to rt h ec e n t r a li i m i ts ot h a t t h e r ei sn 。i n d i c a t i o no ft r o u b l e ，i tm i g h tb er e a s o n a b l et ow a i tal o n g e rt i m ea n dt ot a k e as m a l l e rs a m p l e s o ，v a r ，i n gt h ep a r a i i l e t e r so ft h exc h a r th a sb e e ne x p l o r e de x t e n s i v e l y i nr e c e n ty e a r st h ei d e ao f 、r a r y i n gt h ep a r 眦e t e r so fs sxc h a r ta saf u n c t i o no fw h a ti s o b s e r v e df r o n lt h ep r o c e s sw a si n t r o d u c e db yr e y n o l d se t 出( 1 9 8 8 ) v a r y i n gt h es a m p l i n g i 1 1 t e r 、a lr e y n 0 1 d se ta l ( 1 9 8 8 ) 丘r s t l yi n t r o d u c e dt h ev a r i a b l es a m p l i n gi i n e r v a l ( v s i ) x c h a r tt h e yc h a r t i t h 、a r i a b l es a m p l es i z e ( v s s ) w a sc o n s i d e r e db yp r a b h u ，r u n g e r ，a n d k e a t s ( 1 9 9 3 ) a n dc o s t a ( 1 9 9 4 ) i n d e p e n d e n t l ys u b s e q u e n t l y ，t h e xc h a r tw i t hb o t hv a r i a b l e s a m p l es i z ea 1 1 d 、a r i a b l es a m p l i n gi n t e r v a l ( v s s i ) w a si n t r o d u c e db yp r a b h u ，m o n t g o m e r y ， a n dr u n g e r ( 1 9 9 4 ) a n dc o s t a ( 1 9 9 7 ) t h ed l f r e r e n c eb e t w w e nt h ev s s i xc h a r t sc o n s i d e r e d b yp r a b h l l ， o n t g o m e r y ，a n dr u n g e r ( 1 9 9 4 ) a n dc 。s t a ( 1 9 9 7 ) i st h a tw h e naa s s i g n a b l e c a u s eo c c u r s ，p r a b h l ，m o n t g o m e r a n dr u n g e r ( 1 9 9 4 ) a s s u m e dt h a tt h ep r o c e s ss t a r t su p a tt h eo u t o l c o n t r o l ，a n dc o s t a ( 1 9 9 7 ) s u p p o s e dt h a tt h ea s s i g n a b l ec a u s ei sd i s t r i b u t e da s ae x p o n e n t i a ld l s t r i b u t i o nt h ep e r f o r m a n c em e a s u r eo ft h ee 任e c t i v e n e s so fv s s ixc h a r t s i st h ea e r a g et i m et os i g n a l ( a t s ) ，n o tt h ea r l a t sr 印r e s e n t st h em e a nt i m er e q u i r e d f o rt h ec o n t r o ls c h e m et od e t e c ta no 毋t a r g e tc o d i t i o n 丘。mt h et i m eo ft h eo c c u r r e n c eo f t h ea s s i g n a b l ec a u s e h o w e v e r ，a l lw o r k sa b o u tt h ev s s i ( o rv s i 。rv s s ) 贾c h a r t sa s s u m et h a tt h em e a n “ a n dt h es t a n d a r dd e v i a t i o n 盯a r ek n o w n i ft h em e a na n ds t a n d a r dd e v i a t i o na r eu n k n ( ) w n 4 w ec a na l s oe s t i m a t et h e mu s i n ge q u a t i o n s ( 2 ) t o ( 5 ) t h u s ，t h e r ea l s oe 妇s t st h es a m e q u e s t i o n sa st h es sx c h a r tw i t ht h ee s t i m a t e dc o n t r o l l i m i t s u pt on o w ，a sik n o w ，t h e r e i sn o t h i n ga b o u ti t i n t h i sp a p e r ，t h em e a no fa t so fv s s ixc h a r t sp r o v i d e db yp r a b h u ，m o n t g 。m e r y ， a n dr u n g e r ( 1 9 9 4 ) i sg i v e nw h e nt h ec o n t r o l1 i m i t sa r ee s t i m a t e di nt h r e ed i f f e r e n tw a y s ， a n dt h eo p t i m a l 、r a l u eo fn 2w n lb eg i v e nw h e no t h e rp a r a m e t e r sa r e 丘x e d t h ec o n c e p to fv s s ixc h a r t si s 西v e ni ns e c t i o n2 t h ee x p e c t a t i o no fa t so fv s s ix c h a r t sw i t he s t i m a t e dc o n t r o ll i m i t si sc a r r i e do u ti ns e c t i o n3s o m ec o n c l u s i o n sa r eg i v e n i ns e c t i o n4 o p t i m 出d e s i g no fn 2i sc o n s i d e r e di ns e c t i o n5 s o m ed i s c u s s i o n sc a nb ef o u n d i ns e c t i o n6t 曲l e so fn u m e r i c a l r e s u l t sa r e 舀v e ni n 恤ea p p e n d i x 5 2d e s c r i p t i o no fv s s i 贾c h a r t t h r o u 匹h o u t 七h i sa r t i c l ei t i sa s s u m e dt h a tt h ev s s ix c h a r ti su s e dt om o n i t o ra p r o c e s sw h o s eq l l a l i t yc h a r a c t e r i s t i c ，s a ) ，y ，i sn o r m a l l yd i s t r i b u t e dw i t hu n k n o w nm e a np a n du n k n o w n ；l r i a n c e 盯2 ，a n dt h a t 幽ep r o c e s si sc o n s i d e r e dt ob eo u t o f _ c o n t r 0 1a tt h e b e g i n n i n g i ti sa l s oa s s u m e dt h a ti t su c l ，c la n dl c l a r eg i v e nb y 万瓦：贾+ 三，昆：贾，云瓦：贾一 二， ( 7 ) w h e r et h e 子i sg i v e nb ye q u a t i o n s ( 3 ) 一( 5 ) r e s p e c t i v e l y ，七i st h ea c t i o nl i m i t ( 七i se q u a jt o3 u s i n g3 一s i g m acr i t e r i o n ) ，a n dc u r r e n ts a m p l es i z en 2 a n ds a m p l i n gi n t e r v a l ia r eaf u n c t i o n o ft h e1 8 s to b s e r v a t i o n 五一1 = ；磋n ti sd e 丘n e d b y n 2 ，i fu l 互一1 七 几l ，i f u l z 一1 u 1 n 2 ，i f 一七 z ：一1 一l 2 z 一1 k 0 2 五一1 u 2 一k 五一1 一忱 w h e r eu la n d “，2a r et h et h r e s h o l dl i m i t s ( o rw a r l l i n g1 i m i t s ) t os w i t c ht h es a m p l es i z ea n d s a m p l i n gi n t e r v a l ，r e s p e c t i v e l y ，a n dn 1 几o n 2 ，1 t 。 t 2 ，w h e r e 几oa n d oa r e t h e s a m p l es i z ea n ds a m p l i n gi n t e r v a lo fs s 戈c 1 1 a r t ，r e s p e c t i v e l y i nt l l i sa r t i c l ew ea s s u m e u = u 1 = u 2 ( o ，3 ) ，七= 3 i no r d e rt oc o m d a r e 七h ep e r f o r m a n c eo ft h es s 元c h a r ta n dt h ev s s ixc h a r t ，w e i n a t c hc h e i ri n c o n t r o lp e r f o r m a n c e s h e n c e ：t 1 1 ed e s i g no fav s s ix c h a r ti sc o n s t r a i n e db y t h ef 0 1 1 0 w i n gt w oe q l l a t i o n s ： 岛( n ，) = n o ；e o ( ，) = o ， w h e r et h es u b s c r i d t ，o m e a n st h ee x 口e c t a t i o ni st a k e na ti n c o n t r 。ls t a t e u s i n gt h e s et w o e q u a t i o n s 、v eg e tt h ew a r n i n gl i m i tu u 一1 ( 型挚) 丝盟堕二! 12 垫二! 1 2 ( 屯一t 1 ) ( 8 ) ( 9 ) w h e r e 西( - ) d e n o t e s 恤es t a n d a r dn o r m a lc u m u l a t j v ef u n c t i o n r oa v o mm ea p p r o x j m 乱i o n e r r o ra s s o c i a t e dw i t hr o u n d i n go f far e a lt ot h en e a r e s ti n t e g e r ，p r a b h u ，m o n t g o m e r ya n d r u n g e r ( 1 9 9 4 ) s u g g e s t e dt of l xt h es a m p l es i z e s ( n 1 ，n 2 ) f l r s t l 弘a n dt h e nc h o o s et h em i n i m u m 6 ； h h 。“ ，ijf、【 = h y bden丘edshdna ，一 一 垂 i i u ro s a m p l i n gi n t e r v 出t 1 a f t e rd e t e r m i n i n gt h e ( n 1 ，n 2 ) a n dt l ，uc a nb ee v a l u a t e db ye q u a t i o n ( 8 ) ，a n dt h em a x i m u ms a m p l i n gi n t e r v a l 2c a nb ed e t e r m i n e db ye q u a t i n ge q u a t i o n s ( 8 ) e 1 d ( g ) t oo b t a i n “：丛! ! 二型二! ! 二! ! 望 。 n 1 一n 2 一c 2 ( 1 0 ) w h e r ec 1 = 2 ( t o 一1 ) ( 几1 一几2 ) 垂( 七) ，c 2 = 2 ( n o 一咒2 ) 西( 七) + n 1 一几o u s i n gm a r k o vc h a i n1 n e t h o dp r a b h u ，h 4 0 n t g o m e r ya n dr u n g e r ( 1 9 9 4 ) o b t a i n e dt h ea t s o f v s s ixc h a r ta sf o l l o w s 椰邓曲。，( 1 ：1 。鼍。) “( | ；) ， ， 6 l ：燮，6 2 ：塑， p ：，d e n o t e st h et r a n s i t i o np r o b a b i l i t yw h e r ej i st h ec u r r e n ts a m p l e ss t a t ea j l dii st h ep r i o r 7 3 t h em e a no f a t so f v s s i 贾c b a r t s t h ef o r m u l af o re v a l u a t i n gp l ji ne q u a t i o n ( 1 1 ) a r eg i v e nb yp r a b h u ，m o n t g o m e r ya n d r u n g e r ( 1 9 9 4 ) w h e nt h ep r o c e s sm e a na n ds t a n d a r dd e v i a t i o na r ek n o w n h o w e v e r ，t h e ya r e n o tc o r r e c tw h e nc o n t r 0 1l j m i t sa 托e s t i m a t e d i nf a e t ，t h e yc a nb ee v a l u a t e da sf o l l o w s l e tm 旦e n o t et h em e a no fi 饥c u r r e n tr a t i o n a ls a p l e ，a n d 只+ o 盯，b 2 盯2 m ) f o r a n yg i v e n 贾= 蕾a n da n yg i v e n 占，w eh a v e = p r ( 一u 矛孑鲁 ui 或一( 肛+ 。吒6 2 a 2 n 。) ，叠，子) = 垂( 镪掣一竽+ ；) 一西( 哗出一华一； = 圣( 糕一竿+ 蚓一西( 糕一竽一 = p r ( u l 糕l 1 只 = 壬( 等盟一竿+ ； 一垂( 掣一学+ ； = 西( 糕一竿+ ； ) 一西( 苦铬一当铲+ ； ( 肛+ o 盯，b 2 盯2 札1 ) ，量，占) 耀菁专! 一壬( 糕一华一；) ) + 壬( 糕一华一；) 警) 岛 p 2 l 【z ，盯) = p r ( 1 么t i un 2 ，王，占) = p r ( 一u 考杀 uj 或( 卢+ 。吒6 。一。n 。) ，萤，方) = 西( 等出一竽+ 矧) 一西( 华2 一竿一；詈) = 壬( 糕一华+ ；) 一圣( 糯一竽一；) 1 p 2 2 ( 歪，矛) = p r ( u 五l 七fn 2 ，牙，方) = 所( u f 糕f 自f 玩一( 肛+ a 啪2 矿札。) ，i ，占) = 西( 学! 一竿+ ；- ；) 一圣( 镪掣一竿一；) 一垂( 等型一华+ ；詈) + 圣( 学l 一学一瓣) = 垂( 糯一华+ 一壬( 糯一竽一 一垂( 糯一华+ ；* ) + 垂( 糯一华一；) w h e r e “i s a v a l u e 。f u = ；淼d i s t r i b u t e da s ( o ，1 ) v a l u eo fa t sf o ra n yg i v e n 贾= 叠a n da n yg i v e n 占， 黝i ne q u a t i o n ( 1 1 ) ( 1 2 ) l e t 4 丁s ( u ，占) d e n o t et h ec o n d i t i o n a l i e ，u s i n gp 玎( 主，子) a sas u b s t i t u t ef o r l e t ，0 ) d e n o t et h ep r o b a b i l i t yd e n s i t yf u n c t i o no ft h er a n d o mv a r i a b l e ，= 占盯w h o s e f o m ld 印e n d so n l yo nt h en o r m a l n 妙a s s u m p t i o na n dma n dn b e c a u s e 克i sn o r m a i l y d i s t r i b u t e dw i t hm e a npa n ds t a n d a r dd e v i a t i o n 仃、；元元，w ec o u l do b t a i nt h eu n c o n d i t i o n a l 8 e x p e c t a t i o no fa t sa sf o l i o w s 以盯回三答徽睁x p ( 书：) ，( 删诎 ( 1 3 ) = 二：口。a t s ( 扎，t ) 了去e x p ( 一j u 2 ) ，0 ) d “d ” i no r d e rt oe v a l u a t ee ( a t s ) o fv s s ix c h a r t s ，w en e e dt ok n o w ，( t ) w h e n 盯i se s t i m a t e db y ( 3 ) ，( 4 ) a n d ( 5 ) ，r e s p e c t i v e l 弘i ti sw e l lk 。wt h a t ，( t ) i st h ed e n s 姆o fas c a l e dx d i s t r i b u t i o nw i t hm 一1 ) d e g r e e so ff r e e d o mf o rt h et h i r de s t i m a t ef o rt h e6 r s tt w oe s t i m a t e s ，( t ) i st o oc o m p l i c a t e df o rn u m e r i c a lc o m p u t a t i o n ac ) ( p 石f o r mo fa p p r o x i m a t e f b r m u l af o re v a l u a t i n gt h ed i s t r i b u t i o no ft h ea e r a g er a n g e ( 3 ) a n dt h ea v e r a g es t a n d a r d d e v i a t i 。n ( 4 ) i sg i v e nb yp a t n a i k ( 1 9 5 0 ) a n dc h e n ( 1 9 9 7 ) ，r e s p e c t i v e l 矿t h eu n i f l e dp r e s e n t a t i o no ft h e mi sb e l o w t h ep r o b a b i l i t yd e n s i t yf i l i l c t i o no fc 地v 万i s 仲c ，= ( ；) 错( 圹唧(2 ) 小 ( 1 4 ) r oa p p r o x i i n a t et h ed e n s i t yo fe s t i m a t e ( 3 ) 一( 5 ) ，l e tv a r ( 叽。) 一1 ) ) = 。2 ( n ) ，v a r 占1 且，1 ，a n d 、，a r 子2 = 如，a n df o ra n yp o s i t i v e m1 e t r = ( 一2 + 2 瓜丽) ，s = 肌去， ( 1 5 ) v = ( 一2 + 2 厕i ) ，c = 1 + 击+ 壶一志 ( 1 6 ) r e p l a c i n g 彳i n ( 1 4 ) a n d ( 1 5 ) b y 尬a n d 如r e s p e c t i v e l yw ec a ng e tt h ea p p r o x i m a t i o n o ft h ed e n s i t yo f 占1a n d 子2 ，r e s p e c t i v e l ht h ee x a c td e n s i t yo f 子3i s g i v e nb y ( 1 4