（概率论与数理统计专业论文）维纳过程增量有多大的进一步推广.pdf

一 f 摘要 奉论文是肘w i e n e r 过褶在加权线肚组合f 的增垦肯多大进行的研究，共 分为三章。关于w i e n e r 过程增量的尾概率的估计不等式在讨论w i e n e r 过程 性质中十分有用，像l e v y 连续模定理及w i e n e r 过程增量有很多的证明都依 赖于这一不等式。本文将利用这类不等式的一个推广( 文献 1 ) 以及l e v y 连线模定理的报广( 又献i 3 j ) 进一步讨论关于w l e n e r 过程的增营。 第一章为引言。在本章中，简要地介绍了w i e n e r 过程作为随机过程中 重要的一类，它与其他学科的密切联系，和关于此过程一些已经取得的重要成 果，以及与本论文有关的一些工作。 第二章为准备知识。在本章中，首先，给出了本论文所要用到的一些记 号和w i e n e r 过程在 s ，t 上的加权线性组合的定义。其次，给出了本论文在证 明结论中所要用到的一些重要的引理和命题。 第三章为定理的证明。在本章中，讨论了在第二章中定义下的w i e n e r 过 程在加权线性组合下的增量有多大。文章证明了在重新给定的正则化因子屏 下有与文献 2 1 有类似的结论。但本文的结论包含了文献 2 1 中的结论，可以 看作把文献 2 1 做了进一步推广，当正则化因子屏和加权线性组合墨。中的 d = l 时就是文献 2 1 中的结论。 总之，w i e n e r 过程中的增量的性质是研究w i e n e r 过程重对数律的基础。 另外，我们可以就此考虑二维w i e n e r 过程增量有多大以及增量有多小等问题， 并且在此基础上我们可以进一步推广到高斯过程，o u 过程中，得出许多有用 的结论。 关键词：w i e n e r 过程，增量，尾概率估计，相互独立 口 0 一a b s t r a c t t h i sp a p e ri sa b o u tt h ei n c r e m e n t so faw i e n e rp r o c e s so nt h ec o n d i t i o no fa l i n e a rw e i g h t e dm o d e l i tc o n t a i n st h r e ec h a p t e r s t h ee s t i m a t ei n e q u a l i t yo ft h et a i l p r o b a b i l i t yi sv e r yu s e f u li nt h e d i s c u s s i o no ft h ec h a r a c t e ro faw i e n e rp r o c e s s f o r e x a m p l e ，c o n s t a n tm o d u l u so fl e v ya n dt h ei n c r e m e n t so faw i e n e rp r o c e s s i no r d e r t od i s c u s st h em c r e m e n t so faw i e n e rp r o c e s sd e e p l y , w ew i l lu s et h ee x t e n s i o no f t h i s i n e q u a l i t y ( b i b l i o g r a p h y l ) a n dc o n s t a n tm o d u l u so f l e v y ( b i b l i o g r a p h y 3 ) t h ef i r s tc h a p t e ri st h ei n t r o d u c t i o n i tb r i e f l yi n t r o d u c e st h ew i e n e rp r o c e s s 嬲a m o s ti m p o r t a n tc l a s si nt h er a n d o mp r o c e s s t h e ni ta l s or e f e r st h ei n t i m a t e a s s o c i a t i o nw i t ho t h e rs u b j e c t sa n dt h ei m p o r t a n ta c h i e v e m e n t sw h i c hh a v eb e e ng o t i nt h i sf e l do fr a n d o mp r o c e s s s o m ep r e p a r e dw o r k i n g sa r ea l s oi n c l u d e di nt h i s c h a p t e r t h es e c o n dc h a p t e ri st h ep r e p a r e dk n o w l e d g ef o rt h i sp a p e r i nt h i sc h a p t e r , w e f i r s t l ym e n t i o nt h em a r k su s e di nt h ep a p e ra n dt h ed e f i n i t i o no ft h el i n e a rw e i g h t e d w i e n e rp r o c e s so ni t ，s 1 s e c o n d l yw ew i l ls h o w s o m ei m p o r t a n tl e m m a sa n d t h e o r e m sw h i c ha r eu s e di nt h ep r o o f so f t h ec o n c l u s i o n si nt h ep a p e r t h et h i r dc h a p t e ri st h ep r o o fo ft h et h e o r e m f i r s t l y , w ed i s c u s sh o w l a r g et h e i n c r e m e n t so fal i n e a rw e i g h t e dw i e n e rp r o c e s sw h i c hh a sb e e nd e f i n e di nt h e s e c o n dc h a p t e r w ea l s op r o v et h es i m i l a rc o n c l u s i o nw i mb i b l i o g r a p h y2 1o nt h e c o n d i t i o nt h a tw eg i v ean e wr e g u l a r i z i n gf a c t o r 屏b u tt h ec o n c l u s i o no ft h i s p a p e rc o n t a i n sb i b l i o g r a p h y3w h i c hc a nb ec o n s i d e r e da st h ee x t e n s i o no f b i b l i o g r a p h y3o nt h ec o n d i t i o nd = l ，i nt h er e g u l a r i z i n gf a c t o r 屏a n dt h e w e i g h t e dl i n e a rc o m b i n a t i o n 墨 i naw o r d , t h eq u a l i t i e so ft h ei n c r e m e n t si naw i e n e rp r o c e s sa r et h eb a s i so f t h er e s e a r c ho nt h el a wo fi t e r a t e dl o g a r i t h mi i law i e n e rp r o c e s s w ec a na l s ot h i n k a b o u tat w o - p a r a m e t e rw i e n e rp r o c e s sa n dh o ws m a l la r et h ei n c r e m e n t so f aw i e n e r 曾 p r o c e s s f u r t h e rw ec a l le x t e n di tt ot h eg a u s sp r o c e s sa n d0 一up r o c e s s ，a n dw ea l s o g e ts o m eu s e f u lc o n c l u s i o n k e yw o r d s ：w i e n e rp r o c e s s ，i n c r e m e n t s ，i n e q u a l i t y o ft h et a i l p r o b a b i l i t y , i n t e r - i n d e p e n d e n t 独创性声明 ”可9 7 8 7 8 2 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得蜜 数承尊或其他教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：牛秀 签字日期： 2 卯f 年歹月日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解安利改太单有关保留、使用学位论文的规定， 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和 借阅。本人授权安钙幻蹲可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行 检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：肄 秀 导师签名： 纽l 鹾睦 签字日期：扫口年歹月j f 日签字日期：一占年，月之日 学位论文作者毕业去向： 工作单位：电话： 通讯地址： 邮编： 第一章引占 第一章引言 w i e n e r 过秤是一类非常重要的随机过猾，它是基于对村了b r o w n 运动的数 学刻i 画。w i e n e r 过程经常破广泛地应用到经济学、管理学等其他应用学科之中。 例如，将铂朗运动与股票价格行为联系在一起，进而建立起维纳过程的数学模 型是本世纪的一项具有重要意义的会融创新，伟朗运动假设是现代资本市场理 论的核心假设，现代资本市场理论认为证券期货价格具有随机性特征，此在现 代金融数学中占有重要地位。w i e n e r 过程的直接而简单的推广分数w i e n e r 过 程，在粮食产量趋势预测、新增固定资产分析、国民收入分析、股票收益、长 程相关统计及口指数计算、分数阶a r i m a 模型及其在价格指数预测的应用等 领域中都起着重要的作用。因此诸多专家和学者对w i e n e r 过程及其相关随机过 程的轨道性质进行了深入的研究。 早在2 0 世纪2 0 年代美国著名的数学家以及现代控制论创始人维纳 州w i e n e r ) 就从事b r o w n 运动的数学分析的研究。他指出，除去一个概率( 关 于w i e n e r 测度) 为零的集合外，所有b r o w n 运动的样本轨道是连续不可微的曲 线。 在2 0 世纪4 0 年代左右，e l 6 v y 证明了著名的连续模定理，即对b r o w n 运动( w i e n e r 过程) 的几乎所有样本轨道建立了精确的连续性速度。它对一般 的g a u s s 过程和其他许多相关的随机过程样本轨道性质的研究有着重要的指导 作用。 2 0 世纪6 0 、7 0 年代，s t r a s s e n 对w i e n e r 过程样本轨道性质的研究得到了 重要的w i e n e r 过程的泛函重对数率。m c s t 3 r 9 6 和p ：鼬v 6 s z 等著名的数学家对 w i e n e r 过程的大增量作了系统的开创性的研究，并得到了关于w i e n e r 过程增量 有多大的一系列重要成果。除次之外，他们还研究了w i e n e r 过程的另一类样本 轨道性质，给出了w i e n e r 过程的不可微分模和增量有多小。自m c s o r 9 6 和e r 6 v 6 s z 的1 9 8 1 年专著发表以后，强逼近理论发展十分迅速，对w i e n e r 过程样 本轨道性质，进一步在对许多特殊的g a u s s 过程的轨道性质的研究有着一系列 重大进展。在m c s 6 r 9 6 教授的提议下，中国学者林正炎、陆传荣、邵启满等以 及一些匈牙利学者对某些特殊的g a u s s 过程和较一般的g a u s s 过程进行了深入 维纳过程增垦何多大的进一步摊广 的研究。如：林正炎、陆传荣1 9 9 2 年的专著强极限定理综述了当时国内外 有关成果。在w i e n e r 过程和g a u s s 过程的样本轨道性质方面，完善了对w i e n e r 过狸增黾理论的研究，详细介绍了义丁w i e n e r 过程增昂的卜极限结果，讨论了 w i e n e r 过程滞后增餐及增量的一般形式，也讨论了滞后形式的下极限结果及精 确收敛速度。将w i e n e r 过程增量在一定条件下推广到两参数w i e n e r 过程情形， 讨论了两参数w i e n e r 过程滞后增量及增量的一般形式。介绍了关于分数w i e n e r 过程增量的人小和 芏绞模结果。丌创性地研究了无穷维o m s t e i n u h l e n b e c k 过程 导出的过程，如部分和过程、无穷级数及，2 模平方过程等的样本轨道性质。 2 0 世纪9 0 年代，除了迸一步对w i e n e r 过程增量作深入讨论外，而且对各 种有实际背景的g a u s s 过程增量的上极限与下极限的研究去得了一系列完美的 成果。 关于w i e n e r 过程的增量，在区间【o ，t 】，长度为唧的子区间上，当r 寸m 时 增量有多大的首要结果由著名数学家c s 6 r 9 6 m 和r 6 v s z p 于1 9 7 9 年获得。本 l o g 三 文是针对w i e n e r 过程中的增量有多大的推广，考虑! i m r 熹= ，其中 1 一* l o g i o g o r + a o a 首先，在增量区间上定义一种加权线性组合& 一( 定义2 1 2 ) ，然 后，重新构造w i e n e r 过程的增量有多大的正则化因子屏，最后利用w i e n e r 过 程的定义和性质以及其他一些已获得的定理，对上述问题进行了研究，得到了 关于w i e n e r 过程在加权线性组合下的增量有多大的一些新的结论。 这些新的结论是对文献 2 1 】中的推广和创新，当d = l 时，就得到b o o k 和s h o r e 于1 9 7 8 年所做的结果。 2 第一二章准备知识 第二章准备知识 2 1 一些记号和定义 ln d f 随机变量 分布函数 一概率测度空i 训( q ，彳，p ) 一 ( ，仃2 ) s u p i n f l i m l i m l i m 期望值为方差为盯2 的正态分伟 属于或服从 上确界 下确界 极限 上极限 下极限 4 ，i o z 正d 属于无穷多个4 的点的集合 - 独立同分布 随机变量x 的数学期望 随机变量x 的方差 几乎必然 v x 口s p 争 一一一一依概率收敛 m a x x ： 1 $ i 5 月 恐受置 z 中最大的一个 置中最小的一个 3 维纳过程增量有多大的进一步推广 a 】一一实数a 的整数部分 等价 趴，= 喜咿( h 扣哪+ 等叫j = l “ = 喜咿( ，+ 吉咖眦+ 丁i - i 酬 纠z 鲁b g 学 s ( = & f ，唧) 屏 = 伊c 争 ，i 喜引m 弘i ) _ y ( ，+ 等酬 耻。墨( 2 冬l l o g = l l o _ g l ) i o g r 一* 口口， 4 盟卫一 竺。户 一呸 ，一j 一 一t t | 一互一嘴 + 一 一叫 ，卜一嘶一d 一口 口 一 第二章准备知识 定义2 1 t1w i e n e r 过程： 若一个随l j 杪( f ；珊) = ( ，) ，0 ， ，其中q ，( q ，a ，j d ) 是概 率空间，满足一下三个条件： ( 1 ) 形( ，) 一( j ) n ( o ，一s ) 对所有的0 s f 成立且w ( o ) = 0 ( 2 ) w ( t ) 是独立增量过程，即w ( t ：) 一w ( t ；) ，w ( t ；) 一w ( t ，) ， w ( h 。) - w ( t 2 ) 独立，对所有的o f 2 f 3 f 4 茎 - t 2 h 0 使下面不等式成立： 尸h 。s u 。ps 。l v 石 百c t e 一笔 其中v ，丁都是大于0 的，且0 h o ，与哆挣同分布 所以p 切s u p s u 。pm s , v 坜ji o 口r _ o i 妯 j 。s u p 。s u 。px t l n s 争i v 瓶 = 七s u ps u pi s , ，l v 拓 ( 由文献【1 】可得上式) 三口一磊 h ：坚。蔷 h 其中：f = 委 s ：三 ：鱼 rr 引理2 2 2 ( b o r e l - - c a n t e l l i 引理) ( i ) 若p ( 以) o 。，则有p 4 ，i 0 0 = o ( i i ) 若事件序列 4 相互独立，且p ( 4 ，) = + m ，贝| i e a ，i o = l 6 第二章准备知识 证明参见文献 6 。 引理2 2 3 a t ( t o ) 为t 的单调不减函数， t o 0 使得丁一a ，在 瓦，) 上单调不减且连续。 让明【反让) 1 阪如仔征一个t 便得口，t 则碉2 a r t 。 ( 此因条件( i ) ) 现记： 丁a r = p 则有p t 都有 争争叫 0 和t 0 有下面不等 式成立 妒水毒 3 一善h 器 酬x 净一毒 万 疗ij 【o 窖5 、7 、叫 j 万 证明参见文献 5 。 面不等式成立： 昙e 舌p 怨( 吾) 心) l 工 昙e 一参 e s ( ，j ) 2 0 盯2 = 孝 彳+ + + 刃 = 考 即 s n ( o 考 由引理2 2 6 可得 = 2 - 1 ) ，f = 手，j = 手； 9 ，萨 4 一石 一 、l，fjj r ( 一 川 s r、j r d ，fl 娑 p 一 一萨 2 一万 。征 得 理 即 引 ! 墨塑塾堡丝墨鱼兰查堕丝二生堡 由于： 4 = s u p s u p ( j + f ) 一矽( s ) l o ：s ；t lho s 蚋。 = 。8 is u p 陟( s + ，) 一形( s ) 0 9 】一，o n - i i 。 、71 = s u p ，淝l 形( “十v ) 一彬( “) | o - u s 7 一lo v 型。 = 撕。掣。s 。u p l w ( 州) 一矿( s ) l 所以而。以= s u p 。s u p 。i w 0 + ，) 一矿0 ) i o a t , h - t i o 甜甜。 有上式容易得知万、是单调不减的。 引理2 2 1 2 ： 。4 = s u p sup。s(o“l-h i 也是单调不减的。 7 证明：证明方法同定理2 a h = 。；s ，u ；p 。s 。u ，。p 。s 、, i ，) 1 10 立蚰 o s 蚋 、 = 。s 。u p s 。u p t - ，。陬) l o g l 一o g s r “o = 丁1s u ps u p k ，) o f , u t - i o s v l 、 = 压意。s u 。d s , - 1 。j l o 女s 10 所以 。1 4 = 。掣。s u p l s , 纠i 是单调不减的。0 9 s 一lu - i o “一r 一 半 n r 蛆 弓| 蛳 p 卜m 虹 = 第三章定理的证明 第三章定理的证明 本文主蛩结果：若口，( t 0 ) 为t 的单调小减函数，且o o ，则a r 刃对所有的t 成立，此时显然有 1 0 9 三 l i r a生：0 容易看出对f o 。曼巳( 2 冬- l o 墨g 止t l o g t ) i 与 o 搿翦西 耳： !薹d兰竺型i：!：!：互i-isup型分布相同 耳= - l 兰兰一分布相同 。正。( 2 号- 1 0 9r l o g r ) 其悯归伊( 争。 写喜。墨lqit(f+知川f+ar)lflrar aa l = lo g s r 一 d 。翌，lq叭m+f)川re+i-1川(2log鼍警一t=lg = 一d一7 维纳过程增量有多人的进一步推广 d i s u p l q 【( 埘+ f ) + ( 聊+ f 一1 ) 】l ( 2 l o g l o g7 ) 一j j ；l0 划三一d 竹 由w i e n e rn 秘的连绩陛知： v i = 1 2 ，d 憋s u p ，i q 【沏+ j ) + ( m + f 1 ) 】i ( 2 l o g l o g t ) 2 。o 0 自“i d e 寸0a s “一o o ) 所以由引理1 0 易得： p s u p s f ，即) 一o o 口口m 所以存在一个子序列 t k ；l k 若r = o ，则p ) 显然成立。 第二三章定理的证明 若r o 则： 考机啪。屏i 扣嘶+ 扣m 舭+ 等川 后：0 12 ，南一1 坼 由引理2 2 4 得 尸 屏i 委q 吵( ( i + 争吩) 一形( ( 尼+ 等k ) 】, f f f l - - d - e = p 去羼12 万丑2 一 孺瓦殍 廊c 一抄叫姚g 号笋 ( t l o g t ) 一( r i ) a r ( t 充分大，且o 占 1 有。 a s 嘞f 墨刚l 后 l 翮d 哪+ 知川r + 铷川瓮 一l i m s u p 乙一l i m s u p z t c a ) w ) 孕晒s u 刚p 蜓s u p 吲驯善d 咿( ，+ 和川h 等州 1 8 第三章定理的证明 p ( z k ) 叫器峨嚣_ 。，厩善dq 照，+ 扣一眦+ 等叫除f l 警唧；一丽d z 毛2a t + l 丢o gt k + l 手l o g t k + l ， k 瓦+ d ( a ，一a 疋) 】a 瓦 a 五+ d ( a 瑶+ 一a 五) a t k + l 此处我们记：x k 唧t 一南等蕊葛 x ke x p 一南如( 1 + r - d ) l 毗 一 + 。 = - - - - - - - - - - = 二二- - - - - - 一 d ( a r k + 一a r k ) 对任意的j 0 ，由题设易得： l o g t k + ll o g t k + ! 口最+ l l 。g 邋 口瓦卅 ( 1 + r 一- 16 ) l o g l o g t k + l ：( 1 + ，一- 16 ) l o g l o g a t “ ( + r 一+ l = ( + ，一 + 1 1 口 1 x 。= 一 8 1 a r k 口一1d + f ( x 、= x k 一出 且f ( x ) 是x 的单调不增函数，当工 ( a l o g k ) 。时，则 尸( 乙 ) k 口 互+ d ( + ，一) 三生k 一三2 + 0 d 旦a - 1 ( 1 + 椰) d 口一l 此式当充分大时2 _ 刁f 1 2 ，( 1 + 一6 ) 1 k2 - 4 7 r 。g 后 三此式当充分大时_ 刁r l l 十一。戽 西一 1 9 维纳过程增壁肓多大的迸一步推广 由题设条件，对充分大的k 瓦+ d ( 口瓦。一a r k )6 ( 1 0 9 0 t ) 椰旷6 ( 统 d 字 所以可选口 o ，万 0 都充分小，使得k 的指数小于一1 p 乙 k = 1 。1 i m s u p 乙 k - o o 同理：l i m s u p z t 七 丽 、d 了 丽 、d 了 带入到( a ) 式中：1 1 卿f 。墨帆刖i 口j l 则p 叼成立 所以结合p ) p 宰) 可得定理成立。 赢一2 簪 参考文献 参考文献 11 张节松，洗即嫡w 1c n c f 过秤土曾帚的尾概事估计的推广安徽大学学报增 刊( 自然科学版) 2 0 0 5 1 23 6 3 8 2 赵攀，沈照煊维纳过程不可微分模定理的推广安徽大学学报增刊( 自 然科学版) 2 0 0 5 1 23 6 2 6 3 上赋。沈照煊w i e n e r 过程下等蚓距分段加卡义和的l e v y 连纹模定理安徽 教育学院学报 4 林正炎，陆传荣，苏中根概率极限理论基础高等教育出版1 9 9 98 7 8 9 。 5 林正炎，陆传荣强极限定理科学出版社1 9 8 1 。 6 严士健，王隽骧，刘秀芳概率论基础科学出版社1 9 8 2 。 7 严士健，刘秀芳测度与概率北京师范大学出版社1 9 9 4 。 8 汪嘉冈现代概率论基础复旦大学出版社1 9 8 8 。 9 严家安测度与积分陕西师范大学出版社1 9 8 8 。 1 0 程士宏高等概率论北京大学出版社 1 9 9 6 。 1 1 林正炎，陆传荣，张立新高斯过程的样本轨道性质科学出版社2 0 0 1 。 1 2 陆传荣两参数w i e n e r 过程的增量有多小? 数学学报 1 9 9 13 42 5 2 2 5 9 。 1 3 陆传荣张立新王尧弘两参数分数w i e n e r 过程的大增量中国科学 2 0 0 13 14 2 2 4 3 2 。 1 4 邵启满关于w i e n e r 过程增量的注记数学杂志 1 9 8 661 7 5 1 8 2 。 1 5 刘坤会一个与w i e n e r 过程增量连续模有关的下极限收敛速度的问题 中国科学1 9 8 71 71 1 2 l l1 2 9 。 1 6 孔繁超两参数w i e n e r 过程增量的若干结果应用概率统计1 9 8 73 1 4 4 _ 一1 5 0 。 1 7 王梓坤概率论基础及其应用科学出版社t 9 7 6 。 2 i ， f l 维纳过程增量有多大的进一步推广 18 】c s d k i e r r v s z ph o wb i gm u s tb et h ei n c r e m e n t so fw i e n e rp r o c e s s ? a c t a m a t h a c a d s c i h n n g a r 1 9 7 93 33 7 - 4 9 。 【1 9 c h e n g j ( 陈桂景) k o n g f ( 孔繁超) l l n z 3 1 ( 林l e 炎) a n s w e r s t os o m e q u e s t i o n sa b o u ti n c r e m e n t s o faw i e n e rp r o c e s s a n n p r o b a b 1 9 8 61 4 1 2 5 2 1 2 5 6 。 【2 0 c s 6 r 9 6 m ，r r v r s z ps t r o n ga p p r o x i m a t i o ni np r o b a b i l i t ya n d s t a t i s t i c sn e wy o r k ：a c a d e m i cp r e s s 1 9 8 12 3 3 8 2 1 】c s 6 r 9 6 m ，r d v d s z p h o w b i ga r et h ei n c r e m e n t so f aw i e n e rp r o c e s s ? t h e a n n a l so f p r o b a b i l i t y1 9 7 977 3 1 7 3 7 【2 2 】 c s d k i e ，c s r r 9 6 m ，l i n z ya n dr 6 v r s z po ni n f i n i t es e r i e so f i n d e p e n d e n t o r n s t e i n - u h l e n b e c kp r o c e s s e s s t o c h a s t i cp r o c e s s a p p l 3 92 5 - 4 4 【2 3 】c s d r 9 6 m ，r 6 v 6 s z ps t r o n ga p p r o x i m a t i o n so ft h eq u a n t i l e a n n s t a t i s t 68 8 2 8 9 4 2 4 】c s 6 r 9 6 m r d v d s z p h o wb i ga l et h ei n c r e m e n t so fam u l t i p a r a m e t e r w i e n e rp r o c e s s ?z w a h r s c h e i n l i c h k e i t s t h e o r i ev e r w g e b i e t e 1 9 7 84 21 m 1 2 。 2 5 】c s 6 r 9 6 m s t e i n e b a e h j i m p r o v e de r d 6 s - r 6 n y ia n ds 打o n ga p p r o x i m a t i o n l a w sf o ri n c r e m e n t so f p a r t i a ls u m s c a r l e t o nm a t h e m a t i c a ls e r i e s 1 9 8 0n o 1 6 6 。 【2 6 】c h o w , y s a n d t e i c h e r , h ，p r o b a b i l i t yt h e o r