（应用数学专业论文）几类发展方程的数值方法.pdf

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一时c ( t v ( 帅) + ，饥豢，( 0 1 吼 通过定义一种广义的s o b o l e v v o l t e r r a 投影w ”，给出它的某些性质，并利用新的初 始条件u 。h ，得到了最优的l ，( 2 pso o ) 模估计，及广义解和广义投影w u 之间的 l ，( 2 茎p 墨o 。) 模超收敛估计 关键词：伪抛物型积分微分方程，伪双曲型积分微分方程，有限元方法，广 义差分法，最优误差估计，超收敛估计 分类号：0 2 4 1 8 坐壅竖薹盔堂塑堂垡堡塞 3 n u m e r i c a lm e t h o d so fs e v e r a lk i n d so fe v o l u t i o ne q u a t i o n s s h e nw a nf a n g s c h o o lo fm a t h e m a t i c s ，s h a n d o n gn o r m a lu n i v e r s i t y j i n a n ，s h a n d o n g ，2 5 0 0 1 4 ，p r c h i n a a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，s o m en u m e r i c a la p p r o x i m a t i o nm e t h o d sa r ep r o p o s e da n da n a l y z e df o rs e v e r a l k i n d so fe v o l u t i o ne q u a t i o n s ， i nc h a p t e ro n ea n dt w o ，w ec o n s i d e rt h ef i n i t ee l e m e n tn u m e r i c a la p p r o x i m a t i o nf o rt h ei n i t i a l b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o rt h en e x tt w oe v o l u t i o ne q u a t i o n s ， ( 1 ) l i n e a rq u a s i p a r a b o l i ci n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o n u 。= v 。( t ) v u 。+ 6 ( t ) v u + j 厂2c ( ，r ) v ( r ) d r ) + ，( z ，t ) ，( x ，t ) en ( o ，t 】 j 0 “扛，t ) = 0 ， u ( z ，0 ) = u o ( x ) ( 2 ) l i n e a rq u a s i h y p e r b o l i ci n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ( x ，t ) a nxj ，j = f 0 ，t 】 x n 蛳= v ( f ) v u e + b v u + z c 心r ) v u ( 州r ) + m ，咄 ( x ，t ) nx ( 0 ，t 】 u ( z ，t ) = 0 ( 1 ) ( x ，t ) a nxj ，j = f 0 ，t u ，0 ) = u o 扛) ，“e ，0 ) = “l ( z ) ， x n ( 2 ) w eo b t a i nl p - o p t i m a la n dw 1 一o p t i m a le s t i m a t su n d e rt h ec e r t a i nc o n d i t i o n ( 2 p o o ) i nc h a p t e rt h r e e ，g e n e r a l i z e dd i f f e r e n c em e t h o d s ( g d m ) f o ro n e - d i m e n s i o n a ll i n e a rq u a s i - p a r a b o l i ci n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s 一 m = v 口( 。) v 啦+ b ( t ) v 钍十上c ( 。，下) v u ( 下) 打) + ，( 。，幻， ( x ，t ) ( a ，b ) ( 0 1t 1 u ( a ，t ) = u ( b ，t ) = 0 “( z ，0 ) = u o ( ) t j ：【0 ，t 】 ( 3 ) x ( a b ) 。 ，0，cl 山东师范大学硕士学位论文 4 t h en e wi n i t i a lv a l u e sa r eg i v e ni nt h eg e n e r a l i z e dd i f f e r e n c es c h e m e s ow eo b t a i no p t i m a le r r o re s t i m a t e si nl pa n dw k ( 2 曼p ( 3 0 ) a 8w e l l s o m es u p e r c o n v e r g e n c ee s t i m a t e si n 1 ，( 2 兰p 。) b e t w e e nt h eg d ms o l u t i o na n dt h eg e n e r a l i z e ds o b o l e v v o l t e r r ap r o j e c t i o no f t h ee x a c ts o l u t i o n k e yw o r d s ：l i n e a rq u a s i p a r a b o l i ci n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，l i n e a rq u a s i h y p e r b o l i c i n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，f i n i t ee l e m e n tm e t h o d s ，g e n e r a l i z e dd i f f e r e n c em e t h o d ，o p t i m a le r r o re s t i m a t e ，s u p e r e o n v e r g e n c ee s t i m a t e c l a s e i f i c a t i o n ：0 2 4 1 8 出壅垣堇盔堂塑主堂焦造塞 5 第一章 线性伪抛物型积分微分方程的有限元超收敛 1 1 引言 假设n 是剧中有光滑边界鲫的有界区域本文考虑如下的线性伪抛物型积 二i i ! ：v 蛳+ “曲v u + 上。“呻v u ( n 打) + “弘。1 ：三! ：- ：n q ， x n 其中，o ( ；。( z ，0 ，b ( 0 = b ( z ，t ) ，c ( ，r ) - c ( t ，r ，z ) ，“o 为已知函数 论中所需要的光滑性且存在常数0 。，钆满足 o f 珞d ( z ，t ) 茎 2 1 ，( 茹，) q o ，t ) ( 11 1 ) 且满足下述讨 关于( 1 1 1 ) 其解的存在性，唯一性，在文献【1 中已经给出 令l p ( n ) ，w ”，9 ( n ) ，h ”( n ) = w m , 2 ( n ) ，vm 0 ，1 p o 。为通常的l e b e s g u e 和 s o b o l e v 空间，工2 ，岛范数为”吣，s o b o l e v 范数为川l 。i 。 令 二i , l 三 l l - ( 0 1 1 。，。p = ：| 1 d ；u 0 ) 。，p + ：1 1 d i “( r ) 1 | 。，p d r ( 1 1 3 ) j = o j 0 j = o ( ，) 表示l 2 ( n ) 或l 2 ( n ) 2 中的内积令p l = = 旦i 为p ( 2 墨p 0 0 ) 的共轭指数用 c 表示广义常数，它在不同处可取得不同数值 关于方程( 1 11 ) ，数值方法已有不少，如文献【1 1 【2 在文献 1 】中已经给出了 非线性伪抛物积分微分方程的最优l 。误差估计由于方程( 11 1 ) 中要求散度的项 中，既含有v u 对t 的微分，又含有孔本身及v u 对的积分，形式比较复杂如果 采用传统的有限元投影，无论是r i t z 投影，s o b o l e v 投影，还是r i t z s o h o l e v 投影， 都无法反映其本质特点，因而很难得到超收敛估计本文从方程特点出发，提出一 类新的有限元投影( 称为s o b o l e v v o l t e r r a 投影) ，并利用特殊的初值取法，给出问题 ( 1 1 1 ) 的解的s o b o l e v v o l t e r r a 投影u 与其半离散解u 在如与1 ，9 ( 2 兰p o 。) 中的二阶超收敛结果关于这类问题的超收敛估计在文献【3 【8 】中已经研究过 本章结构如下：第一节为引言，第二节中引入新投影s o b o l e v v o l t e r r a 投影及问 题的有限元格式，在第三节和第四节中分别给出引理和推导本章的主要结果 o 奉掌已被韩国的数学杂志 录用发丧 山东师范大学硕士学位论文 1 2 有限元格式和s o b o l e v v o l t e r r a 投影 6 本节中将给出问题( 1 1 1 ) 的半离散g a l e r k i n 方法，并介绍s o b o l e v v o l t e r r a 投影， 记 鼠) o 。 ! - 为娜( n ) 中定义在拟正则剖分上的有限维子空间族，满足逆性质 及如下的逼近性质； 对给定的r 兰2 ，1 s r ，1 s p so 。，有 娜i n f m x | | o p + h l l u 一地p ) c h 制k ”w ”( n ) n 矸3 ( n ) ( 12 1 ) 定义r i t z 投影算子吼= r ( t ) ：础( n ) s h ，t 正满足 ( t ) v ( 兄 甜一甜) ，审x ) = 0 ，x 甄( 1 22 ) 问题( 1 1 ”的弱形式为：求u 础( 乱) ，t j ，满足 ，卅帆删v ”+ 触可心，v 小叭饥吐。肿l 嘲 址( 嚣，0 ) = 壮o ( 。) ， $ q 现在我们定义s o b o l e v v o l t e r r a 投影= n ( t ) ：础( n ) _ + s ，满足 ( a ( t ) v ( 毗一毗) + 6 ( t ) v ( “一u ) + 上c ( t ，r ) v ( k u u ) d r , v x ) = 。 问题( 1 1 1 ) 的半离散有限元逼近格式为：求c ，( t ) ：j _ 乳，满足 ( n ( 玎叮矾+ b ( t ) v u - 4 - r ) v v ( r ) d r ，v x ) = ( ，( ) ，x ) ，x s h ，j z n ( 1 2 5 ) 注意到当= 0 时，s o b o l e v v o l t e r r a 投影即为r i t z - s o b o l e v 投影( 此投影在文献 8 中 已经研究过) 若记q = u u ，则( 1 24 ) 即为 一 ( n ( ) v 啦+ 6 ( t ) v 叩十c ( f ，r ) v 叼盯) 打，审x ) = 0 ， x 甄 ( 1 2 6 ) 1 3 重要引理 容易证明( 1 2 6 ) 与下面的方程等价( 通过把( 1 3 1 ) 微分或( 1 2 6 ) 积分即可) c n 。，v ”，v x ，+ c 上c c 6 c r ，v ”c r ，一口tc r ，v ”c r ，+ z 7c c r ，3 ，v q c 8 ，d s ，d r lv x ，= 。，x6 嚣：。， 沁 p ，1，【 坐查竖薹盔堂塑主堂焦堡塞 7 由文献【9 ，我们可以推导以下引理 弓l 理1 3 1 ，设2 s p l ，= 0 ，l ，2 ，t j ，我们有 ( d r j ，) i c h + i l u ( t ) l l k pi i l l t ，w ，p ( n ) ( 1 38 ) m d 嚣帅 f 山东师范大学硕士学位论文 9 证明我们仅证k = 0 时定理成立，即 l ( 口，) l c h r + 4 | l ( t ) l o 。pl 妒m ，毋w 2 ，( n ) 首先引入对偶闯题：v w ( 哦令重w 肿，一( q ) 为下述问题的解 ( a ( 0 v 垂，v ) = ( u ，) ， 日8 ( n ) ， 则我们有估计 1 f + 2 ，g 俐 f ，矿 设壬“为圣的g a l e r k i n 逼近，则由( 1 3 l o ) 有 ( 叼，妒)= ( a ( t ) v n ，v 圣) = ( n ( f ) v 叼，v ( 圣一圣“) ) 十( a ( t w o ，可西) = f ( t ) v ( v h u r u + r h u u ) ，v ( 圣一圣“) ) + ( a ( t ) v n ，v 垂“) =( 。( t ) v ( r h u u ) ，v ( 西一圣“) ) + ( o ( t ) 审叼，v 圣“) = j 1 + ，2 ( 1 3 9 ) ( 1 3 1 0 ) ( 1 3 n ) 由( 1 1 2 ) 和h f l d e r 不等式及( 1 31 ) 得 1 11 c l l r h t 一u i | 1 pl i 圣一西“l i l ，c h + 。1 1 u 1 1 ，p1 i 西1 1 1 + 2 一， l 如i = 1 ( 。( ) v 叼，v 壬“) l = i ( f 【( b ( t ) v 町( r ) 一毗( r ) v 叩( r ) + f 7c ( r ，s ) v 叩( s ) d s i d a - ，v 圣“) p ，r j 0 = l ( 【( r ) v 叼( r ) 一n ( f ) v 叶( r ) + c ( - s ) v r t ( s ) d s d 7 ，v ( 垂“一壬) ) i 。 。0 ，r + l ( 【( b ( r ) v ”( r ) 一a d r ) v r 7 ( r ) + c ( r ，s ) v q ( s ) d s d t ，v 圣) i j 0j 0 = 以+ 如 以鞘愁艘rlll,pdxdri+似h-壬lx,pc 1 1 。1 1d t 壬1 1 c h l i 。il o d ti i 垂lz 印， l ，p1 1 壬“一1 ，一s + p+ 2 ， 5 1j 尹( ( b ( ，) 一。( ，) ) v 。( ，) ， 1 + 。l 。，7r ，r，s)vn(s),v22r e ) d r v 圣) d s d t 5 1 ( ( b ( r ) 一毗( r ) ) v 叶( f ) ，1 + r r r t ：lz ( r hv ( ( 6 ( ，) 一毗盯) ) v 壬) ) 打l + iz z j 0 7 仰x - ( 、。) , ，v v s ( 。( ns ) v 西) ) d s d t= l ( ( 6 ( r ) 一毗盯) ) v 壬) ) d r l + i 仰( s ) ，v - ( c ( r ， s g 止刚s u p 糯秽恻m g 州t s u p ，器拶m a r 纠t s u p 佃，黜圳吼。 坐查堕蔓盔芏塑主堂焦堡塞 1 0 l ) ic h r + 【l i 呲，+ u o 一，d r i i c l i l p + c f o t 叫s u p j 0 0骼群i 圳地 o 讪wj p f n l i i 甲l i ，p 所以 揣笋e 护圳o , r , p + i s 叫t s u p 仲，器秽帆 一s u p 叱。，锯秽洲训时一g f s u p 叫器秽札 由g r o n w a l l 引理，我们有 一s u p 叱川骼群鲫州怕一一 因此 髓秽曼一s u p 帅，静彩鲫州。， 即当k = 0 时结论成立当k = 1 时类似可证定理证毕 在本章的下部分，我们仍用“和u 分别表示问题( 1 1 1 ) 和0 2 5 ) 的解，记误差 u u = ( u 一u ) + ( v h u u ) = f + q ，下面推导初值误差纠o ) 的超收敛估计 引理1 3 3 对2 s p 2 与上述证明一样我们同样可推导( 1 3 1 2 b ) 最后我们来证明( 1 、3 t 2 c ) 、为此，引入另外一个辅助问题：v 妒l p , ( n ) ，i i 廿i o 2 1 设皿w ：，( n ) 为下述问题的解 则我们有 ( a ( t ) v v ，v 皿) + 扣，霍) = 扣，妒) ，u h 0 1 ( f 1 ) ，t j ( 13 ，1 8 ) 毋f f 2 ，p 一日( o t i 妒i i o ，g o ) ，( 131 9 ) 这里，q ( f ) 关于t 是一致有界的设皿“是雪的g a _ l e r k i n 逼近与得到( 13 1 2 a ) 同 样的方法，由( 1 31 8 ) ，( 1 3 1 6 ) ，( 1 38 ) 和( 13 1 9 ) ，我们有 这样 ( 黾( o ) ，中) = ( n ( 0 ) 审( o ) ，v 皿) + ( 矗( o ) ，屯) = ( 8 ( o ) v 昏( o ) ，v 屯“) 十代( o ) ，皿“) = ( 吼( o ) ，田一v h ) 一( 吼( o ) ，田) 曼l ( 仇( o ) ，皿一皿“) i + i ( m ( o ) ，皿) i 墨 c h + 1 i i - ( o ) l l l pi l 霍一皿“1 1 1 + c h + 2 i i u ( o ) l h pl i 屯1 1 2 ，一 曼c h 7 ” 1 l u ( o ) l l 。+ 恤( o ) l l 。】 定理证毕 6 ( o ) l o ，p = s u p i ( 6 ( o ) ，妒) i 墨c h + 2 n i ( o ) l i ，p + u t ( o ) 1 1 ，p p e l j ( n ) i i 口1 1 0 ，= 1 1 4w 1 ，9 ( n ) 和“( n ) 中的超收敛 本节我们来推导本章的主要结果首先我们来证明f 和矗在w 1 t ，( n ) ( 2 曼p o o ) 中的二阶超收敛估计 坐壅! 堕整盔堂塑堂笪鲨塞 1 2 雠三勰0 蚓k 圳小 ， 证明先估计1 1 1 1 1 ，设圣，庐满足( 1 3 1 4 ) ，( 1 3 1 5 ) 与( 1 - 31 2 a ) 的证明类似，利用g r e e n 公式，( 1 3 1 4 ) ，( 1 3 1 3 ) ，( 1 3 8 ) 和( 1 3 1 5 ) ，有 = 一_ r 【( 仉( ，) ，壬“) + ( 6 ( ，) v f + ，7 ，oj 0 ， c h 7 “i l u ( r ) l l , 。，d ri i 圣l h ，p ，- j 0 r 一 g 肘1 u ( 7 ) 1 1 砂+ g 川 由g r o n w a l l 引理可得( 1 4 1 a ) 为了估计怖忆，将( 1 3 1 3 ) 关于t 微分得到 7 ( s ) d s ，v 圣“) 】d 7 4 1 1 1 ，打惮， ( f “，x ) 4 - ( d ( t ) v t ，v x ) + ( ( 毗( ) 十6 0 ) ) v 岛，v x ) + ( ( b l ( t ) + c ( t ，t ) ) v ( t ) ，v x ) + ( c f ( t ，r ) v f ( r ) d r ，v x ) ：一( q e ，x ) ，) ( s ( 1 4 2 ) j 0 应用g r e e n 公式，( 131 4 ) ，( 1 4 2 ) ，h b l d e r 不等式，引理1 3 2 ，( 1 3 1 5 ) ，( 131 2 a ) 和( 14 1 a ) 我们有 ( ) = ( 缸( 0 ) 庐) + z ( s t 剁) 打= 他棚) 一，( 缸 ) d r 0 j 0 ( 6 。，) =( 矗。( o ) ，庐) + z ，妒) d r = ( z ( o ) ，币) 一( 缸t ，毋z j ； ( 矗。( o ) ，庐) + 【( o ( r ) v 6 t ，v 圣“) + ( 矗t ，西6 ) 】打 = ( 靠。( o ) ，咖) 一fi ( m ，圣“) + ( 毗( r ) + 6 ( r ) ) v 6 ，v 壬 ，0 ， + ( 乩( f ) + c ( r ，r ) ) v f ( r ) ，v 壬“) + ( 岛汀，s ) v ( s ) a s ，v 币“) 】d r 兰i | 。( o ) l i 。，i | 曲l i o + g 【t 九+ 1 l 阻l i z ，i 圣“| | + 1 1 4 帆，b + i i l l b + 0 删打删d t l 兰刚一十d 小“”1 ”，+ 1 1 4 | | 1 ，一+ 1 1 1 1 蛐+ o11f111,pdso ) 。】 ，r j ju 打垂 + l e lvv f厶 炉 惭 札 一 婚f 一 西 一一 v 触 帆 z z = = 矗 山东师范大学硕士学位论文 1 3 sg h ”1 1 1 , 4 0 ) 1 1 1 ，p + c h ”+ 1 曼c h “i i u o ) t 1 1 p + c h r + 1 小砂+ e 小队加十g 小州打 z ”l 。，。，d ，+ gz 矗t ，d r 由g r o n w a l l 引理即可得( 1 4 1 b ) 定理证毕 对r = 2 的情况，我们有下面的超收敛结果 定理1 4 2 对r = 2 ，2 p ，t j ，我们有 ：；?：l：!二：三“1111,22,ppd+7f o 。i i 。i i 。，。，。， 最后我们来推导和6 在工。( n ) ( 2s p 3 ，2 p o 。，te 工我们有 i u 2 p d r ( 1 43 ) ( 1 4 4 ) 证明设币，屯满足( 1 31 8 ) ，( 18 1 9 ) ，虫“是皿的g a l e r k i n 逼近与( 1 3 1 2 c ) 的证明 方法类似，由( i3 1 8 ) 和( 1 3 1 3 ) 得 妒) = z ( 矗，州r = z 【( n v t , v 皿h ) 球艘嘲打 ，r r = 上妒) 邶( r ) v + 上。( ”) v f ( 8 ) d s ，珊 ) 打 = z ( m ，m 一圣“) d r 一o ( m ，皿) 打+ ! ( 6 一) v f + z 7c 汀，s ) v ( s ) d s ，v ( i f 2 - - h ) ) d r 小巾+ 小”黜) d s , v 皿) 打 下面我们分别估计j 。一厶 由引理1 3 2 ，有 ，l + ih l=f。(啦，平一皿“)dri ) d ri + iz 0 。( m ，皿) d r ，1l +l = ( 啦，平一皿“ + ( m ，皿) d r j 0 ， ，r t 曼 c h + 1 l i u i | 1 ，p 皿一霍“i i l ，一d r + c h + 2 l i u l | l p c 打| | 皿1 1 2 ， j oj o 。 + 2 n 乩。打1 1 吣 ( 1 4 5 ) ，厶 心 一 m m 似 唧 一 一 p 廖 叽 i 引 矗 ，_l-(1l_【 出壅垣堇盎堂塑圭堂焦篓塞 1 4 应用h s l d e r 不等式和( 1 41 a ) ，有 b =i ( 6 ( r ) v + c ( r ，s ) v f ( 8 ) d s ，v ( 圣一皿“) ) d r sc ，( 1 t 1 1 。，+ ，7l l l l ，d 。) i i 雪一皿“l l 。打 0j 0 t t r t c i i 1 1 1 , p d t | j 皿一m “l i l c h 十2 ) uj h p d rl i 皿lj 2 ( 1 46 ) j 0 0 0 为了估计 ，令丑( r ，毛重) = ( 6 ( r ) v f + c ( 即) v f ( s ) 出，v 皿) ，其中丑是b 的伴随算 子，则由g r e e n 公式有 合并( 1 ，4 5 ) 一( 1 4 7 ) ，应用( 1 3 1 9 ) ，有 一一 j 心妒) j c h 。+ 2 i j “j j 】 p d t 十c f l j o ，p d r j 0 j 0 这样由g r o n w a l l 引理即碍( 1 4 4 a ) 下面证明( 1 4 4 b ) 与( 1 41 b ) 的证明类似，设母，皿满足( 13 1 8 ) ，( 1 3 ，1 9 ) 和( 1 4 2 ) ( 矗，妒) ( 147 ) 由( 131 8 ) 斗 7 ( ( ( 下) + 6 ( f ) ) v 6 ，v ( 皿一圣“) ) d r 一( ( o t ( r ) + b ( t ) ) v ，v 霍) 6 打 + i t ( p ( r ) + c ( 。f ) ) v f ( r ) ，v ( 圣一皿“) ) d ，一，( ( 虬( r ) + c ( l ，) ) v f ( r ) ，v 皿) d r + z 。( z 7c ，( r ，s ) v f ( s ) d s ，审( 皿一里“) ) d r z 。( z 7c ，( r ，s ) v f ( s ) 幽，v 母) 打 = ，1 + + b ，( 1 48 ) 应用h s l d e r 不等式，( 13 1 2 c ) 和引理1 3 2 ，( 1 4 1 b ) 及( 1 3 1 9 ) ，得 i ，li + l 厶l + ii a1 + i 厶l c h + 2 1 1 u 0 1 l 。，+ i i “1 | 2 。p d 叫i i 皿1 1 2 j o 由( 14 1 a ) | | 1 , p d s ) d r1 | 皿一皿“1 1 1 ， 训i i m d r | ! 刚2 ，p | 厂几广厶 ( 2 e + ，矿 g e 十 妒 ，1 1 屯 雪 一 一 币 皿 r d d p p f z z g g 一 2 ，2 兰p 。，t j ，我们有 u u 1 1 0 ，p + h l l v 一1 1 l ，p 墨c 圹u l j l p 山东师范大学硕士学位论文 第二章 线性伪双曲型积分微分方程的有限元超收敛 2 1 引言 1 6 假设n 是r 4 中有光滑边界8 n 的有界区域本章考虑如下的伪双曲型积分微 分方程的初边值问题 卜“= v - 0 ( c ) v u t + b v u + z c 心r ) v u ( r ) 打) + m ，吼 ( x ，t ) n ( 0 ，吼 j 1u ( 。，t ) = 0 ，( x ，t ) a n j ，j = o ，t l ， i 【( z ，0 ) = u o ( 。) ，u t ( z ，o ) = u l ( z ) ， x f z ( 2 1 1 ) 其中a ( o = n ( z ，f ) ，6 ( ) = 6 ( z ，) ，c ( ，r ) = c ( t ，r ，$ ) ，u o ，u 1 为已知函数，且满足下述讨 论中所需要的光滑性且存在常数。o ，。- ，满足 0 a 0sn ( z ，t ) 曼a l ，( z ，t ) n 1 0 ，丁 ( 2 1 2 ) 关于( 2 1 1 ) 其解的存在性，唯一性，在文献【1 】中已经给出 关于方程( 2 1 1 ) ，数值方法已有不少，如文献【2 l 在文献f 1 中已经给出了 菲线性伪双曲积分微分方程的最优。误差估计如同第一章，本章从方程特点出 发，提出一类新的有限元投影( 124 ) ( 纷为s o b o l e v 。v o l t e r r a 投影) ，并利用特殊的初值 取法，给出问题( 2 11 ) 的解“的s o b o l e v v o l t e r r a 投影y h u 与其半离散解u 在l ，与 ( 2s p 3 ( ( 魄u ) “( o ) ，x ) = ( ，( o ) ，x ) 一( o ( o ) v 仉，v x ) 一( b ( o ) v u o ，v x ) = ( “( o ) ，x ) 山东师范大学硕士学位论文 1 8 故陬。) “( o ) = ( o ) ，即6 t ( o ) = 0 由( 22 1 ) ，( 2 23 ) 和( 1 2 6 ) 可得误差方程 一 ( f fb ，x ) + ( n p ) v 6 + 6 ( t ) v f + c ( t ，r ) v f ( 丁) d r ，v x ) = 一( 1 7 t t ，x ) ，。s h ，t z ( 232 ) ，u 下面估计t 1 6 ( o ) 1 1 ，。引入辅助问题：设札为的导数，w 1 , p j ( n ) ，l l l l o ，一= 1 ，令 垂础( n ) 是下列问题 ( a ( t ) v v ，v 垂) = 一扣，也) ， v 础( q ) ，t j ( 2 3 3 ) 的解，且有先验不等式 1 1 壬1 1 1 p ，曼q ( t ) l l l l o ，sb ( ) ，t j - ( 2 3 4 ) 由前述假定可知，q ( t ) 关于f 是一致有界的设m “为圣在靠中的g a l e r k i n 逼近 在( 25 2 ) 中令t _ 0 ，且由( 2 3 1 a ) 得 ( d ( 0 ) v 6 ( 0 ) ，v x ) = 一( q “( 0 ) ，) ， ) ( s ( 2 - 3 5 ) 由g r e e n s 公式，( 2 3 3 ) ，( 2 3 5 ) ，( 138 ) 和( 2 3 4 ) ，我们有 ( & 。( o ) ，曲) = 一( 邑( o ) ，咖。) = ( n ( 0 ) v ( o ) ，v 圣) = ( 8 ( o ) v ( o ) ，v 圣“) = 一( 仇。( o ) ，圣“) c h ”+ 1 i l u ( o ) 1 1 2 , r , p 1 1 西“1 1 1 ， 兰c h 7 + 1 i 1 4 0 ) 1 1 2 ，1 1 壬1 i 1 ，sc h 7 + 1 i n ( o ) 1 1 2 ，p 这样 j j 6 。( o ) 1 1 。，= s u p | ( 已。( o ) ，庐) j sc h + 1 1 1 | i , ( o ) 1 1 2 p l n ，( nj 训o - ，_ 1 即 1 1 6 ( o ) 1 1 ，p c h 7 + 1i i t , ( o ) l h ，p c h + 1 1 1 , o l l r p + i i u ( o ) l l r ，p + | | u “( o ) 1 1 r p 】，r 2 - 如上讨论，我们同样可推导( 2 3 1 c ) 最后我们来证明( 2 3l d ) 引入另一个辅助问题：令妒l p , ( n ) ，m b ，= 1 ，皿 w 。，( n ) ，为下述问题的解 ( o ( t ) v ，v 皿) = 扣，妒) ， 日3 ( n ) ，t 正 则我们有估计 1 皿1 1 2 ，sq ( t ) 1 妒l l o ，q ( t ) ，t 这里g ( ) 关于f 是一致有界的令皿“是虫在魏中的g a l e r k i n 逼近 的证明过程，由( 2 3 6 ) ，( 2 3 ，5 ) 得 ( 6 ( o ) ，砂) = 缸( o ) v 6 ( o ) ，v 霍) = ( a ( o ) v f d o ) ，v 雪“) ( 2 36 ) ( 2 3 7 ) 类似于( 2 3 1 b ) 山东师范大学硕士学位论文 1 9 因此 i i d o ) l l o ， = 一( 叼“( 0 ) ，田“) = ( 仇( o ) ，皿一皿“) 4 - ( m t ( o ) ，皿) j ( 啡t ( o ) ，皿一面“) j + j ( 卵( o ) ，皿) i s c h + 1i l u ( o ) 1 1 2 p 1 1 皿一皿“1 1 , ，+ c h + 2 l i u ( o ) 1 | 2 p | | 皿i | 2 ， c h 帕f i | 让( o ) ，p + f m t ( o ) p + i f 杠“( o 】 s u p 十e l f n l i i l l d ，= 1 ( 矗( o ) 妒) i 曼c h ” 1 1 u ( 0 ) 1 1 + i l u * ( o ) l l ”+ 1 1 地( o ) l b 】 定理证毕 定理2 , 3 2 在引理2 3 1 的条件下，有 ，cr t i i i i + l l f i i l + ( i l c d l d r ) 5sc h + 1 1 1 u 1 1 z ，2 d t + i l u o i i ：。 j 0 j 0 证明在误差方程( 2 32 ) 中取x = 轧则有 ；翱驯2 + ( 。v & ，v 锄+ i i 磊d ( 6 ( 啊f ) = 一( r t t 锄十；( b d 钾卵) + ( c ( t ，t ) v f ，v 。+ ( z 。c 羽，r ) v f ( r ) 打，v f ) 一丢( z 。c ( f ，r ) v ( r ) d r ，r e ) + ( 。( 。，。) v f ，v o + 。 ( 。，7 ) v f ( 7 ) 打tv f ) 一羞(