（生物医学工程专业论文）基于水平集的图像去噪与分割算法研究.pdf

硕士学位论文 a b s t r a c t a bs t r a c t i m a g ef i l t e r i n g a n ds e g m e n t a t i o na r ei m p o r t a n tp a r t so fi m a g e p r o c e s s i n g w h e nd e n o i s i n gn o i s e ，t r y n o tt o d a m a g e t h ee d g e 、 s m a l l s c a l es t r u c t u r e sa n do t h e ri m p o r t a n ti n f o r m a t i o no fi m a g e s t h e d e n o i s i n gm e t h o d sb a s e do ng e o m e t r i cp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o nc o u l d m e e ts u c hr e q u e s t s i m a g es e g m e n t a t i o ns h o u l de x t r a c tt h eo b j e c t s a c c u r a t e l y a n d e f f e c t i v e l y t h eq u a l i t y o f i m a g ef i l t e r i n g a n d s e g m e n t a t i o nd i r e c t l ya f f e c t st h ef o l l o w - u pi m a g ea n a l y s i s 、i d e n t i f i c a t i o n a n do t h e ra p p l i c a t i o n s i nt h i sa r t i c l e ，w ei n t r o d u c e dt h et h e o r yo fc u r v ee v o l u t i o na n dl e v e l s e tm e t h o d ，d i s c u s s e dt h e g e o m e t r i c a c t i v ec o n t o u rm o d e l w e s y s t e m a t i c a l l ys t u d i e dt h eg e n e r a la l g o r i t h mo f l e v e ls e ta n ti t sa p p l i c a t i o n i ni m a g ed e n o i s i n g ；w ei m p r o v e dt h es p e e df u n c t i o no fc u r v ee v o l u t i o n p r o c e s s ，r e a l i z e dp r e s e r v i n ge d g ed e t a i l sw h i l ed e n o i s i n gt h en o i s e t h e n w eg i v eal i v e rs e g m e n t a t i o na l g o r i t h mb a s e do nl e v e ls e t c h a n v e s ei sat y p i c a li m a g es e g m e n t a t i o nm o d e lo fg e o m e t r i c a c t i v ec o n t o u rm o d e l c h a n v e s ei sat w op h a s es e g m e n t a t i o nm o d e l u s i n go n el e v e ls e tf u n c t i o n t h i sm o d e lc a n d e t e c tt h ei n t e r i o rc o n t o u ro f o b je c ta n di ti sn o tn e c e s s a r yf o rt h ei n i t i a lc o n t o u rt ob ec l o s ee n o u g ht o t h et r u eb o u n d a r y i no r d e rt oc a r r yo u tm u l t i o b j e c ti m a g eh i e r a r c h i c a l s e g m e n t a t i o n ，ac h a n v e s e m o d e li s a d o p t e ds e r i a l l yi nt h i sp a p e rt o s e g m e n ta ni m a g ei n t ot w os u b r e g i o n si n c l u d i n go b j e c ta n db a c k g r o u n d r e g i o n s i fa n yo ft h er e s u l t i n gs u b r e g i o n sr e q u i r ea d d i t i o n a ls e g m e n t a t i o n ， c h a n v e s em o d e lc a nb ea p p l i e dt ot h o s er e g i o n sa g a i nu n t i la l lo b j e c t si n t h e i m a g e a r e s e g m e n t e d t h i s m e t h o di s s i m p l e r t h a n u s i n g m u m f o r d s h a hm o d e l ，a n di ti sa c c u r a t ef o ro b j e c tl o c a t i o n e a c h s e g m e n t a t i o ns t e pc a ng e ts i g n i f i c a n tr e g i o n s t h ee x p e r i m e n t a lr e s u l t s s h o wt h a tt h em e t h o dc a ns e g m e n tt h em u l t i o b je c t si m a g ee f f e c t i v e l y a n da c c u r a t e l y k e yw o r d sp a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n ( p d e ) ，l e v e l s e t ， g e o d e s i ca c t i v ec o n t o u rm o d e l ，c u r v ee v o l u t i o n ， c h a n v e s em o d e l 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢 的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不 包含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我 共同工作的同志对本研究所作的贡献均已在论文中作了明确的说明。 作者签名：每啦日期：鎏i 卓年上月l 日 学位论文版权使用授权书 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留学位论文并根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文， 允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全部或部分内 容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文。同时授权中国科 学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库， 并通过网络向社会公众提供信息服务。 日期：蹲年上月曰 硕士学位论文第一章绪论 1 1 引言 第一章绪论 图像处理是一门迅速发展的学科，从上世纪6 0 年代至今，图像处理技术已 得到了蓬勃的发展，在医学和其它领域都得到了广泛的应用【l - 2 1 。图像处理在教 育科研、工业生产、医疗卫生、通信等领域中起着举足轻重的作用，尤其是随 着多媒体技术的迅猛发展，图像与人类的生活更加密不可分。此外，计算机科 学的迅猛发展以及图像数字化和图像显示设备的推广与普及也为图像处理的发 展创造了良好的条件，并成为推动图像处理发展的重要动力。 按图像处理应用目的的不同，图像处理涉及的内容可分为以下几类【3 j ： ( 1 ) 图像压缩：在保证图像重要数据不丢失的情况下，通过减少或去除图 像中的冗余数据信息，减少图像的数据量，从而达到对图像的数据量进行压缩 的目的，该部分主要涉及到图像处理中的图像压缩编码技术； ( 2 ) 图像增强与恢复：在图像生成及传送过程中通常会引入各种噪声使得 图像降质，为突出图像中的重要信息，增大图像的对比度，有必要消除引起图 像降质的各种噪声，该部分涉及到图像处理中的增强与恢复技术； ( 3 ) 图像识别：由图像分割结果提取出若干可以表示图像主要特征的数据， 建立不同的模型，通过匹配技术已达到对图像进行识别的目的； ( 4 ) 图像重建：对一组分层扫描得到的图像，由图像分割方法得到要重建 物体的特征信息，通过相应的插值方法立体再现该物体。 在各类图像系统中，由于图像的传输、数字化转换等过程经常会引入许多 噪声造成图像的降质，典型的表现为图像模糊、失真、有噪声等，而在众多的 应用领域，又需要清晰的、高质量的图像；因此，为了抑制噪声、改善图像质 量，对图像进行滤波及增强处理，具有非常重要的意义。在医学领域中，图像 处理技术广泛应用于x 光、c t 、m 黜等成像系统，用来抑制成像或图像获取 过程中所引入的各种噪声，改善医学图像的分辨率。 对于线性光滑的原始图像，从模拟到数字的转化过程中主要会引入由高频 信号引起的条纹状噪声和随机分布的点状噪声。以往人们所考虑的大多数图像 都被理解为一个高斯过程。相应地，在几乎所有的图像处理过程中线性处理算 法都被认为是最优的。由于基于信号的平稳性假设，所以图像处理方法被严格 地限制在卷积运算f o u r i e r 变换中。然而现实生活中的自然图像都很难简单地采 用高斯过程进行刻画，并且图像中的一些突变结构( 如边缘信息、小尺度结构等) 硕士学位论文第一章绪论 远比图像的平稳性更重要。为了更好的抑制噪声、保留细节，各地学者广泛研 究，不断提出各种各样的非线性算法，使得图像处理过程中在平滑噪声的同时 可以很好地保留图像的边缘信息及其它小尺度结构等细节信息。 图像分割指根据图像的灰度、纹理等特征将图像分成若干个互相分离的区 域，使得同一区域内部表现出一致性，不同区域间表现出明显的差异。图像分 割的目的是将目标从图像中提取出来，同时得到目标的边界【4 l 。图像分割的应 用非常广泛，几乎出现在图像处理的所有领域，并涉及多种类型的图像。在各 种应用中，图像分割处理通常是为了进一步对图像进行分析、识别、压缩等。 图像分割的准确性直接影响到后续任务的有效性，因此对图像分割技术的研究 具有十分重要的理论和现实意义。 1 2 图像去噪方法综述 传统的如邻域平均法、低通滤波法等线性滤波方法，分析简单，易于实现， 但是在处理的过程中会模糊图像边缘和细节信息，是以牺牲图像的清晰度为代价 的，不能满足图像滤波的要求。近年来发展了多种非线性滤波技术，可以克服传 统线性滤波的不足。现对几种常用的非线性滤波方法进行综述。 1 中值滤波方法 中值滤波的基本原理是把图像或序列中心点的的灰度值用该点某种邻域的 中值替代。它把模板中心的值改为与周围像素接近的值( 即中值) ，从而可消除 奇异的点状噪声。该方法中的模板形状和大小的选择很重要，若选择不当，会 丢失掉图像中的细线和小块区域，降低滤波效果。通常模板的形状根据图像的 统计特征来选择，而模板的尺寸则根据图像中的噪声宽度来确定【5 】。 中值滤波的优点是运算简单、速度快、滤波效果好，但在滤除噪声的同时 也损失了信号的高频信息，使图像的边缘细节模糊，为此，提出了很多改进的 中值滤波方案【6 。引。 2 小波变换滤波方法 小波变换方法的基本思想是首先利用一定的小波将图像数据变换到小波域， 得到一组小波系数，然后选取合适的阈值，将小于该阈值的小波系数舍弃从而达 到去除图像中点状噪声的目的，最后对处理后的数据进行小波逆变换得到滤波后 的图像1 9 j 。 该方法中小波阈值的选取至关重要，阈值太小对图像处理不明显，达不到 去噪的目的，阈值太大则会丢失图像中大量的有用信息，从而使得图像失真， 因此选择一个合适的阈值是该去噪方法的关键。另外，小波变换滤波方法一般 都会滤除图像中的高频部分，从而在一定程度上模糊了图像的边界。因此如何 硕士学位论文第一章绪论 有选择地增强图像重要信息并减少对图像细节的模糊是目前小波变换研究的一 个热点。 3 数学形态学滤波方法 数学形态学滤波是一种新的非线性滤波器1 1 2 , 1 3 1 ，它以集合理论为基础，着 重研究图像的几何结构。其基本思想是选取具有一定结构和形态的结构元素， 然后将该结构元素作为探针在图像区域内部移动，从而度量和提取出图像中对 应的结构，从而达到对图像进行分析和识别的目的。其基本运算有四个：腐蚀、 膨胀、开运算和闭运算。腐蚀使目标缩小、内孔增大以及消除外部孤立噪声； 膨胀使目标增大、孔径缩小，可以增补目标中的空间，使其形成连通域；开运 算可以消除图像中的细小目标，在纤细处分离目标并平滑较大物体的边界；闭 运算可以填充物体内部的细小区域，连接邻近物体并平滑边界。该方法中结构 元素是具有一定大小的窗口模版，它的尺寸要小于所研究的目标，在图像中作 形态变换，结构元素就类似于一个滤波窗口。结构元素的选择恰当与否，将直 接影响到对图像的处理结果【1 4 】。 4 基于偏微分方程的图像滤波方法 图像处理中使用偏微分方程【1 5 】的思想可追溯到j a i n 的研究。随后学者们引 入尺度空间概念即在多尺度下描述图像。可以采用高斯滤波器获得图像的多尺 度表示，相当于通过经典的热传导方程演化原始图像。后来，由高斯滤波引入 偏微分方程滤波理论。在该理论中，二维图像是一个均匀线性的扩散过程，该 种扩散过程在去除噪声的同时也会模糊边缘与其他有用的细节单元。为此， p e r o n a 和m i l i k i j 通过引入边缘检测算子，提出了一种非线性扩散方程( p m 方 程) ，边缘检测算子是在方程迭代过程中根据最后一次演化所得到的图像求取梯 度得到的，这样处理过程就可以减少演化过程对目标边缘的影响。该扩散方程 在强噪声环境下，影响较大，为此，张建伟等【i 7 】引入图像的区域信息得到了改 进的p m 扩散方程，从而在强噪声情况下得到了较理想的滤波效果。 1 3 图像分割方法综述 图像分割技术自2 0 世纪7 0 年代就一直受到人们的高度重视，至今已提出 多种边缘检测方法，如经典的一阶微分法和二阶微分法等，但这些方法对噪声 敏感，抗噪性能差，并经常会在检测边缘的同时加强噪声。在图像分割技术最 初发展的二十年里，人们主要对三种分割方法：阈值分割、边缘检测和区域提 取进行了研究。在阈值方法中，利用目标和背景灰度的差异来选取合适的中间 阈值从而实现对图像的分割；在边缘检测方法中，首先确定边缘上的像素，然 后将它们连接起来以构成目标边界；区域提取方法中，则根据像素灰度值的大 硕士学位论文第一章绪论 小将该像素划分到不同的区域中，从而实现对图像中各个区域的分离。 近些年来，研究人员不断对原有的分割方法进行了改进并引入了其他学科的 一些理论和方法，从而提出很多新的图像分割方法。下面对近年来出现的新的图 像分割方法进行综述。 1 基于数学形态学的分割方法 数学形态学【垤l 是以集合论为基础，用于研究图像内部目标的几何形状和结构 的一种数学方法。近年来，数学形态学已成为数字图像处理方法和理论中的一个 重要分支，越来越多的系统中的图像预处理步骤都采用了形态学算子【l 9 1 。 分水岭算法【2 0 j 是形态学理论中应用最具代表性的一种图像分割方法，其基本 思想是借助测地学理论，将图像中像素的灰度值表示为该点的海拔，每一个海拔 局部极小值点及其影响区域称为集水盆，这些集水盆的边界称为分水岭。 数学形态学用于图像分割的缺点是对边界处的噪声比较敏感。为此，刘志敏 等人【2 1 】提出了基于图像最大内切圆和基于目标最小闭包结构元素的数学形态学 图像分割算法，取得了较好的分割效果。如何综合运用数学形态学及其它方法以 克服形态学方法的自身缺陷，将是该理论以后的研究方向。 2 基于小波变换的分割方法 近年来，小波变换理论【2 2 】得到广泛发展和应用，与传统的全局傅旱叶变换相 比，小波变换是时间和频率的局域变换，因而能有效地从信号中提取信息。信号 时域信息的获得可通过平移母小波的小波变换得到，而频率信息则可以通过缩放 小波的宽度得到。对母小波的平移和缩放操作是为了计算小波的系数，这些系数 代表着小波与局部信号之间的关系。郑晓东等人1 2 3 】首先对干扰信号和字符信号的 频率特性进行了分析，然后利用小波时域局部化分析能力实现了对车牌图像的分 割。 3 基于模糊集理论的分割方法 模糊数学作为现代数学理论的一个重要分支，由美国的l a z a d c h 教授于 1 9 6 5 年首先提出并加以系统研究。基于模糊集合和逻辑的分割方法以模糊数学为 基础，利用隶属度值决定图像中由于信息不全面、不准确、含糊等造成的不确定 性问题。目前，模糊技术在图像分割中应用的一个显著特点是它能够与现有的许 多图像分割方法相结合，形成一系列的集成模糊分割技术，例如模糊聚类、模糊 闽值、模糊边缘检测技术等。 4 基于偏微分方程的图像分割方法 基于偏微分方程的图像分割是图像分割领域中的又一个重要分支1 2 4 j 。近年 来，有关的理论已经成为人们关注的热点。目前，已经拥有许多成熟的基于偏微 分方程的图像分割方法，其中m u m f o r d s h a h 模型就是一个较为常用的方法。该 方法的主要思路是给定一幅图像的情况下，图像分割的目标就是寻找一个综合光 4 硕士学位论文第一章绪论 滑图像和边界因素在内的泛函，通过最小化该泛函可以达到对图像进行分割的目 的。通过变分法，可以将求解泛函极值问题转化为对偏微分方程的求解。在转变 过程中，人们会根据实际情况简化泛函或者对泛函做一些变形，因此产生了不同 的偏微分方程模型。数学上完备的偏微分方程理论和丰富的数值计算策略，为该 方法提供了很大的帮助。然而，偏微分方程模型应用于图像分割还有许多需要解 决的问题，并面临着很多挑战。 1 4 课题的研究背景及内容 线性和非线性滤波都被广泛应用于数字信号及数字图像处理领域。线性滤 波对噪声具有良好的抑制能力，但同时会损失对图像有用的高频信息，从而使 处理后的图像发生模糊和失真。非线性滤波具有抑制噪声和保留边缘细节的双 重功能，因此非线性滤波愈来愈受到人们的重视并得到广泛应用。基于偏微分 方程的图像去噪与增强技术是目前非常热门的一项技术，该方法具有完善的理 论支撑，可以将多种图像处理理论于偏微分方程的理论相结合。 基于几何偏微分方程模型的图像去噪方法把图像作为水平集或者高维空间 中的曲面，并通过对曲线或曲面的演化达到对图像处理的目的。这种基于几何 图像模型的方法和各向异性扩散方程对图像处理具有相同的效果。几何图像模 型的意义在于结合图像数据关于目标形状、位置等其它先验知识的约束可以为 轮廓提取、图像分割、运动跟踪等一系列计算机视觉问题提供一个统一的解决 方法。 基于曲线曲面演化的偏微分方程去噪模型中较为经典的方法有平均曲率流 模型2 5 1 、开关曲率流模型2 6 1 、最小曲面模型2 7 1 、高斯曲率运动模型2 8 1 等。这些 模型可以统一表示成如下曲线演化形式： i o c ：f ( 七) n ( 1 1 ) a f 、7、 7 当f ( k ) = k 时，为平均曲率流模型；f ( k ) = k 3 时为放射曲率流模型；当 f ( k ) = 时为总变差流模型，其中z ，为原图像。 v “i 平均曲率流模型描述了曲线以平均曲率为速度，沿着法线方向进行运动的 理论模型。它可以表示为如下曲线演化方程： o c ， = 七 西 ( 1 2 ) 其中c 表示曲线，k 表示曲线上某一点的曲率，表示单位法向量。图像按照 方程( 1 2 ) 进行演化，本质上等价于将图像的各个水平线以该方程进行演化，并 硕士学位论文第一章绪论 将其最后的运动状态通过阈值叠加原到2 9 j 组合成最后的结果。去噪效率不高是 平均曲率流模型的典型缺点，另外采用该模型对图像处理的结果容易带有阶跃 效应。该模型的另一缺点是容易丢失目标中的尖角等曲率比较大的结构，对此 有学者提出了改进模型，开关曲率流模型就是其中之一，它主要是在判断局部 位置是否存在尖角的基础上对尖角进行保护处理。对经典平均曲率曲面演化模 型的改进包括l e e 和s e o 提出的利用曲面的高斯曲率控制曲面演化的模型，该 模型的扩散速度与高斯曲率有关，因为在图像的边缘处曲面的高斯曲率接近于 零，因此该模型能够很好地保护边缘，甚至小尺度结构单元等信息。 根据模型所采用信息的特点与层次，可将图像分割方法分为数据驱动与模 型驱动两种类型1 3 0 l 。数据驱动图像分割的操作对象为当前的图像数据，虽然该 模型也可使用先验知识，但却不依赖于知识，如r o b e r t s 算子、s o b e l 算子和c a n n y 算子、阈值分割、分水岭算法和模糊聚类分割算法等；模型驱动图像分割则直 接以先验知识为基础，如基于活动轮廓模型的图像分割方法以待提取目标的边 界是封闭的，不存在断裂作为先验知识。 近些年，基于活动轮廓模型的方法成为研究最多、应用最广的一种图像分 割方法【3 卜3 3 1 。该模型提供了一种高效的图像分析方法，它综合了由图像数据获 得的约束信息和目标的位置、大小和形状等先验知识，可有效地对目标进行分 割、匹配与跟踪分析。活动轮廓模型分为参数活动轮廓模型和几何活动轮廓模 型。早期的基于活动轮廓模型的方法主要是参数活动轮廓模型，该模型的分割 过程是利用曲线随时间的变形，该方法对曲线的初始位置很敏感，分割结果强 烈依赖于初始曲线的位置，曲线演化很难进入凹陷区域，常陷于局部最优，且 不支持拓扑改变。 水平集方法( l e v e ls e t ) 最初由o s h e r 和s e t h i a n l 3 4 1 提出，其基本思想是将二 维闭合曲线演化问题转化为三维曲面演化问题来求解，它不是跟踪演化后的曲 线位置，而是遵循一定的规律，在二维固定坐标系中不断更新水平集函数，从 而达到对隐含在水平集函数中的闭合曲线进行演化的目的。这种演化方式的最 大特点是：即使隐含在水平集函数中的闭合曲线发生了拓扑结构的变化，水平 集函数依旧保持为一个有效的函数，水平集方法可以很好地处理闭合曲线拓扑 结构的变化。几何活动轮廓模型与水平集理论相结合的曲线演化方法，已经引 起了越来越多研究人员的关注，并在图像处理和计算机视觉领域得到广泛应用。 如s e t h i a n l 3 4 】等利用水平集方法来对图像进行滤波去噪，既保留了目标边缘，又 达到了消噪的目的；m a l i a d i l 3 5 1 将水平集方法创造性地运用到图像分割中，并在 图像的分割与重建领域中取得了比传统平面曲线演化方法更加理想的效果； m a n s o u r i l 3 6 1 将物体运动分割问题视为寻找分离运动目标的最短闭合曲线问题， 从而将水平集方法应用于运动目标跟踪领域：p a r o g i a s 和d e r i c h e l 3 7 】采用水平集 6 硕士学位论文第一章绪论 方法对运动的目标进行检测与跟踪，该方法同时结合了图像内部的区域信息和 边缘信息，因此得到了令人满意的处理结果。 本文研究的主要目的是探讨几何偏微分方程模型在图像去噪中的应用，着 重探讨水平集速度函数的改进；探讨采用水平集方法对腹部c t 图像进行分割 以提取肝脏区域的算法及其实现；讨论传统的m u m f o r d s h a h 模型以及其简化 模型即c h a n v e s e 模型在图像分割中的应用，并采用该模型实现对多目标图像 的分割，将其应用于脑部m r 图像分割中。 本文的研究工作主要包括以下几个方面： ( 1 ) 任何图像都会受噪声污染，基于偏微分方程的非线性算法在平滑噪声 的同时，能保留图像的中的微小特征及边缘信息，文中主要讨论了改进的非线 性水平集曲率滤波器对图像处理的效果； ( 2 ) 利用基于水平集的可变导曲率滤波器对图像进行预处理，进而求出图 像的梯度图，将其通过s 函数映射为水平集的速度图像，并应用水平集基本的 演化方法实现对腹部c t 图像的分割，提取出肝脏区域； ( 3 ) 详细讨论了c h a n v e s e 模型的理论及其在图像分割中的应用； ( 4 ) 提出一种基于c h a n v e s e 模型的多目标图像分割算法，利用该算法实现 了对多目标图像的分割，并应用于脑部m r 图像分割中，有效地提取出了脑部 m r 图像中的各个目标。 1 5 论文的组织结构 本文内容安排如下： 论文第一章讨论了图像滤波去噪与分割的目的和意义，对近年来出现的图 像去噪与分割算法进行了综述，简要介绍了基于曲线曲面演化的偏微分方程模 型的各种方法，介绍了活动轮廓模型及水平集理论。 第二章详细介绍了活动轮廓模型的基本原理，讲述了曲线演化理论并引出 水平集方法，讨论了水平集与曲线运动理论的关系，讨论了几何活动轮廓模型 中通过改进速度函数得到的测地活动轮廓模型。 第三章由传统的均匀扩散高斯滤波器引出非线性滤波，进而讨论了水平集 去噪机理并利用改进速度函数后的水平集对图像进行去噪：讨论非线性滤波器 在医学图像去噪中的应用，比较传统滤波算子与基于偏微分方程的非线性滤波 器对图像进行去噪的效果；构造适当的速度函数，利用水平集方法实现了对腹 部c t 图像的分割，有效地提取出了肝脏区域。 第四章从经典的m u m f o r d s h a h 图像分割模型入手，引出其简化模型即 c h a n v e s e 模型并对其原理及其在图像分割中的应用进行了详细介绍；利用 7 硕士学位论文第一章绪论 c h a r t v e s e 模型提出了一种新的多目标图像分割算法，利用该算法实现了对脑部 m r 图像的串行分割，并将文中算法与已有类似的算法进行了比较。 第五章对全文进行了总结，并对今后的工作进行了展望。 硕士学位论文第二章轮廓曲线运动理论 第二章轮廓曲线运动理论 2 1 活动轮廓模型介绍 活动轮廓模型【3 8 j 是应用于图像分割和目标提取的一个重要模型，该模型将 基于图像本身的低层视觉约束属性和待分割目标的先验知识以一种有机的方式 结合起来，得到对待分割目标的一种完整表达。活动轮廓模型是一种有效的图 像分割方法，它通过构造相应的能量泛函的方式和图像数据相联系，能量泛函 充当了先验模型和图像数据之间吻合度的一种度量，而曲线或曲面演化的目的 就是提高先验模型和图像数据之间的吻合度，对曲线或曲面的演化可以通过最 小化能量泛函来达到。将活动轮廓模型应用到图像分割中，其基本思想【3 8 】为： 首先在感兴趣区域内部给出一条闭合的初始曲线作为目标的初始轮廓线，建立 基于该轮廓曲线、图像数据、先验知识在内的能量泛函，最小化该能量泛函， 驱使曲线在图像中演化，最终逼近感兴趣区域的边界。最小化能量泛函时，使 得满足一致性的区域扩张到最大，也就是驱使轮廓曲线向感兴趣区域的边界运 动。活动轮廓模型已经被成功地应用于边缘提取、图像分割、目标跟踪等领域。 活动轮廓模型分为基于边界的模型1 3 9 】、基于区域的模型1 4 0 l 和混合活动轮廓 模型4 。按照模型中轮廓曲线的表达形式、能量项的选择不同可以将活动轮廓 模型分为参数活动轮廓模型和几何活动轮廓模型。参数活动轮廓模型中的曲线 被描述成一些连续的参数形式，该模型显式地表达曲线，表达方式紧凑，允许 用户交互，是一种半自动化分割模型，可以快速实现。然而，在曲线变形演化 的过程中，该模型无法处理曲线拓扑结构的变化。几何活动轮廓模型综合了曲 线运动理论和水平集方法，能够很容易地处理曲线在演化过程中拓扑结构的改 变，比如曲线的分裂和合并。几何活动轮廓模型中轮廓曲线被嵌入到水平集的 零水平集，是对曲线的一种隐式表达。 参数活动轮廓模型中，给定初始轮廓曲线，建立一能量函数，该能量函数 由内部能量和外部能量两部分组成。内部能量基于轮廓曲线本身，驱使曲线伸 缩、弯曲，通过调整内部能量中的相应参数，可以控制曲线在演化过程中的连 续性和光滑性。外部能量是基于图像的数据而定义的，该能量驱使曲线朝图像 中的目标边界运动，只有在曲线运动到目标的边界时，该项能量达到最小值。 同时最小化由内、外能量组成的能量函数，使得轮廓曲线沿着能量降低的方向 运动，当能量达到最小值或者能量已经达到一个较小的值且变化幅度范围在规 定的范围内，则停止曲线演化。 9 硕士学位论文第二章轮廓曲线运动理论 几何活动轮廓模型由m a l l a d i 3 5 1 提出，该模型是基于曲线演化和水平集的思 想，不同于参数活动轮廓之处在于该模型中轮廓曲线的运动由曲线的几何度量 参数( 如曲线的法线方向矢量、曲率等) 控制，而独立于曲线的参数表达，因此， 几何活动轮廓模型可以很好地处理曲线在演化过程中拓扑结构的变化，且该模 型对初始曲线的位置不敏感。 几何活动轮廓模型的轮廓曲线运动的基本方程如下： 百o c = v ( k ，1 ) u ( 2 1 ) 其中v ( k ，) 是与图像i ( x ，y ) 的灰度值以及轮廓曲线曲率k 有关的速度项， 是轮廓曲线的单位法向量。式( 2 1 ) 的物理意义是：轮廓曲线c 以速度y 沿着 轮廓曲线的法线方向运动。轮廓曲线曲率k 的作用类似于参数活动轮廓模型中 最小化内部能量时所产生的内力，即在轮廓曲线运动中保持轮廓曲线c 的平滑 性，与图像灰度值相关的速度项相当于参数活动轮廓模型中最小化外部能量时 产生的外力。公式( 2 1 ) 所示的方程可以用水平集形式来表示，具体表示方法见 2 4 节。 2 2 曲线运动理论 单位法向量和曲率是几何学中描述曲线的几何特征的两个重要参数。在几 何活动轮廓模型中，单位法向量描述轮廓曲线的运动方向，而曲率的大小则描 述轮廓曲线弯曲的程度。曲线运动理论中，曲线随时间的演化仅由轮廓曲线的 单位法向量和曲率等几何参数来控制。 假设待演化的轮廓曲线c ( s ，t ) = 【x ( s ，) ，y ( s ，) 】可以表示为任意参数s 和时 间，的函数，并设轮廓曲线的单位外法向量为，轮廓曲线曲率为k ，则该曲线 沿单位法向量的运动演化方程可以表示为如下方程： a r 睾= v ( c ) n( 2 2 ) - i 一一 ，l ，、， o l 在公式( 2 2 ) 中，v ( c ) 是轮廓曲线运动的速度函数项，控制轮廓曲线c 上每 点的运动快慢。 最常用的轮廓曲线运动是基于曲线曲率的运动和基于常量的运动。基于曲 线曲率的运动由如下方程描述： 一o c ：o j k n ( 2 3 ) - - - 一一 ， 研 其中，缈 0 是一常数，七是轮廓曲线的曲率。该方程具有收缩、平滑曲线的作 用，任意形状的简单曲线，在该方程驱动下，曲线会变得光滑，最后收缩成一 i o 硕士学位论文第二章轮廓曲线运动理论 点。 对轮廓曲线的常量演化可用( 2 4 ) 式所示的偏微分方程描述： i o c ：i 。n ( 2 4 ) a ” 、 上述方程中，i 。是一个常数，表示轮廓曲线运动的速度和方向。基于曲线曲率 的运动可以去除轮廓曲线中的角点等曲率比较大的结构，使得轮廓曲线变得光 滑，而基于常量的运动则会使轮廓曲线在运动过程中产生角点。 2 3 水平集方法 水平集方法用于解决基于热力学方程下火苗外形的变化过程。由于火苗外 形的高动态性和拓扑结构变化的随意性，采用参数活动轮廓模型中的轮廓曲线 来描述火苗的外形变化显得非常费力。o s h e r 和s e t h i a n 提出可以将平面闭合曲 线隐含地表达为三维连续函数曲面矽( x ，y ) 的一个具有相同函数值的同值曲线， 通常记作 矽( x ，y ) = 0 ) 称为零水平集，而矽( x ，y ) 称为水平集函数。 水平集方法以隐含的方式表达轮廓曲线，将轮廓曲线嵌入到水平集函数的 零水平集，避免了对轮廓曲线运动过程的跟踪，并通过将轮廓曲线的运动转化 成求解数值偏微分方程问题【3 4 , 4 2 来处理轮廓曲线的拓扑结构的变化，即分裂或 合并。水平集最初被应用于表达隐含曲线的运动，现在该理论已经广泛应用于 图像增强、图像分割、物体跟踪、曲面重建等领域。 水平集方法通过一个高一维的函数曲面来表达低一维的轮廓曲线，即将轮 廓曲线表达为高一维函数曲面的零水平集的间接表达形式，并将轮廓曲线的运 动方程转化为关于高维水平集函数的偏微分方程，据此思想，可得( 2 1 ) 式对应 的水平集表达方式： 譬：y ( 七，驯v 矽l ( 2 5 ) 研 其中，矽( 工，y ，) 为水平集函数，譬为水平集函数矽( x ，y ，f ) 对时间的偏导数， 研 v ( k ，) 是与图像z ( x ，y ) 的灰度值以及轮廓曲线曲率k 有关的速度项， 厂1 v ：i 旦，旦i 为梯度算子。 i 斑咖j 2 3 1 符号距离函数 给定平面上的一条封闭曲线，以曲线为边界，把整个平面划分为两个区域： 硕士学位论文第二章轮廓曲线运动理论 曲线外部区域和曲线内部区域。在平面上定义符号距离函数( s i g n e dd i s t a n c e f u n c t i o n ，s d f ) 矽( x ，y ，f ) = d ，其中d 是点( x ，y ) 到曲线的最短距离，距离的符 号取决于该点在曲线内部还是外部，一般定义曲线内部点的距离为负值，如图 2 1 所示。在任意时刻，曲线上的点就是符号距离函数值为零的点( 即符号距离 函数的零水平集) 。尽管这种转化使问题在形式上变得复杂，但在问题的求解上 带来很多优点，最大的优点是曲线的拓扑变化能够得到很自然的处理，而且可 以获得唯一的满足熵条件的解。 2 3 2 水平集数值解法 图2 1 符号距离函数 水平集方法数值计算实现的关键是如何高效稳定地将定义于连续空间的偏 微分方程以离散形式表达出来。文献 3 4 ，4 2 】中详细讨论了对基于水平集的偏微 分方程的数值表达方法，包括水平集函数的网格表达、一阶微分、二阶微分的 计算，单位法矢量以及曲率的计算等，简要介绍如下： 由于水平集函数在演化过程中始终保持为一个函数，因此，可以用离散网 络来表达水平集函数o ( x ，y ，t ) ，设图像离散网络的间隔为h ，离散后i ( x ，y ) 的大 小为m 宰，结点矿中的f = l m ，= 1 n 。并设在以时刻，结点i ，处的水平集 函数为矽r l 则方程( 2 5 ) 式可以离散化为： 下c n + l - - ；i - 嘭iv 。彤| _ o ( 2 6 ) 其中，嘭表示 时刻扩展速度函数吆，位于网格点 ，处的值。 水平集函数在x 、y 方向上的一阶差分分别定义为如下形式： 硕士学位论文 第二二章轮廓曲线运动理论 d ，- - ，x = 办，一谚- 1 ，d 嚣= 办+ l 一办，o ，x = ( 谚+ l 一谚- l ) 2 d j ：= 争j 一牵。d ，d ：= 咖| ，j n 一审。，d i j = 婶 ，j n 一牵 j ) 2 由此得到方程( 2 6 ) 的完整的数值解，如方程( 2 7 ) 所示： 蟛1 = 虼+ a t m a x ( v , , ，o ) v + + m i n ( ，o ) v 一】 ( 2 7 ) 其中，v + = i n a x ( 叼，o ) 2 + m i n ( 叼，o ) 2 + m a x ( 叼，o ) 2 + m i n ( 叼，o ) 2 l 心 v 一= b i n ( d 百，o ) 2 + m a x ( 叼，o ) 2 + m i n ( 叼，o ) 2 + m a x ( 聊，o ) 2 l 坨 由差分方程( 2 7 ) ，可以采用迭代法来不断更新水平集函数，提取每一时刻 覃新后的水平集函数的零水平集，即可得到更新后的轮廓曲线。 2 4 曲线运动的水平集描述 研究学者引入水平集后，将二维平面上的轮廓曲线嵌入到三维空间中的水 平集函数中，用水平集函数的零水平集表示该轮廓曲线。由2 3 节所述的水平 集理论可知，曲线在演化过程中水平集函数可以仍然保持为一个函数，这样就 很容易的处理曲线演化过程中拓扑结构的变化。但是按照水平集完整的数值计 算方法时，需要在全图像区域内更新水平集函数，因此数据的计算量很大，为 此，研究人员提出了多种水平集函数演化的快速算法，主要包括窄带法【3 5 , 2 4 j 和 快速行进法p 副。 o ( a ) 闭合曲线 ( b ) f i - 1 闭合曲线构造的 水平集函数 图2 2 基于水平集方法的曲线运动示意图 图( 2 2 ) 说明了水平集函数表达二维平面上轮廓曲线的方法，其中图( a ) 是一 硕士学位论文第二章轮廓曲线运动理论 条轮廓曲线，图( b ) 是其水平集函数的三维表示，图中的矽( x ，y ) = 0 就是隐含为 零水平集的轮廓曲线。水平集方法在两维坐标系中更新水平集函数，从而达到 对隐含在水平集函数中的轮廓曲线进行演化的目的。 设一轮廓曲线c ( u ，f ) ，其中u 为曲线的参数，以该曲线构造符号距离函数 ( x ，y ，f ) 即水平集函数，要求曲线c ( u ，f ) 为该水平集函数对应的零水平集： c ( u ，) = ( 掣) k w ) ：oj ( 2 8 ) 为保证水平集函数在更新的过程中保持其零水平集为轮廓曲线c 即： 矽( c ( f ) ，f ) = 0( 2 9 ) 同时要求方程( 2 9 ) 满足公式( 2 2 ) 所示的曲线运动方程，因此，对方程( 2 9 ) 两边 同时求关于时间t 的全微分得： 警圳鲁+ 詈= 0 ( 2 1 0 ) d l i 魂a t 、。 其中v 为的梯度。 定义轮廓曲线c 的单位外法向矢量为： ：旦 (211n) = 三 r1 v i 、7 将方程( 2 2 ) 和方程( 2 1 1 ) 带入方程( 2 1 0 ) ，可得： 办= 一v 矽。v ( c ) 2 ) = - v ( c ) lv 矽 、7 其中，v ( c ) 为轮廓曲线c 的运动速度。设v ( x , y ) 为由v ( c ) 扩展到所有水平 集的速度函数，可得轮廓曲线运动的水平集表达： 掣+ yiv 矿| - 0( 2 1 3 ) 方程( 2 1 3 ) 称为轮廓曲线运动方程( 2 1 ) 的欧式表达，其数值计算方法见公式 ( 2 6 ) 。这样，给定初始轮廓曲线c ，将其嵌入到水平集函数中，通过更新水平 集函数就可以达到对曲线演化的目的。 由方程( 2 1 3 ) 可以方便地计算出轮廓曲线c ( u ，) 的曲率： k ：v 旦 f 2 1 4 ) 2 5 测地活动轮廓模型 m a i l a d i 最初研究几何活动轮廓模型时采用图像中感兴趣目标边界的强度 即梯度信息来构造曲线演化的速度项，控制曲线的运动，最终使曲线收敛到感 兴趣目标的边界。采用的曲线运动方程如公式( 2 1 6 ) 所示： 1 4 硕士学位论文第二章轮廓曲线运动理论 尝= 办( ，( c ) ) ( 七十k o ) ( 2 1 5 ) 其中k 为曲线的曲率，k 。为速度项中的常量，厅( ，( c ) ) 是与图像数据相关的函 数，定义为： 1 以“c ) 卜高( 2 1 6 ) 分析公式( 2 1 6 ) 所示的函数可以发现，当曲线位于图像中感兴趣目标的边界 时，函数值办( ，( c ) ) 比较小，甚至接近于零，这样综合乃( ，( c ) ) 在内的速度函数 就接近于零，曲线就停止在图像中感兴趣目标的边界。然而，该模型对具有较 好灰度对比度的图像具有非常好的分割结果。如果图像是弱边界图像，则采用 该模型对曲线进行演化时曲线有可能越过图像的边界而得到错误的分割结果。 针对上述模型中速度函数所存在的缺陷，c a s e l l e s l 4 3 】等和y e z z i 删对速度函数进 行了改进，提出了另外一种模型，称为测地活动轮廓模型，所采用的速度函数 为： v = 办( 1v 1 1 ) 七一v h ( iv ii )( 2 2 0 ) 该式中第一项与传统几何活动轮廓模型中的速度项相似，第二项在曲线运动到 感兴趣的目标边界时才起作用。当曲线接近边界时，该项在边界附近的区域形 成能量陷阱，当曲线运动到陷阱内部，就会被吸入陷阱并被锁定在该位置，提 高了算法的稳定性和分割的准确性。 2 6 小结 本章首先从介绍活动轮廓模型的基本原理入手，叙述了轮廓曲线演化理论 并引出了水平集方法；讨论了水平集与曲线运动理论的关系，给出了曲线运动 的水平集表达方法；最后介绍了目前几何活动轮廓模型中对速度函数进行改进 得到的测地活动轮廓模型。 硕士学位论文第三章基于曲线曲面演化的图像平滑及分割方法研究 第三章基于曲线曲面演化的图像平滑及分割方法研究 3 1 引言 图像在形成和传输过程中，由于设备不完善和物理限制，所获得的图像通 常叠加有噪声，在这种情况下，常需要先对图像进行滤波平滑等预处理操作， 然后再作进一步处理如图像分割、图像重构等。2 0 世纪7 0 年代以前，所考虑 的大多数信号都是语音或其它信号，它们往往被认为是一个高斯过程。相应地， 在几乎所有的处理过程中线性算法都被认为是最优的。由于基于信号的平稳性 假设，所以处理方法被严格地限制在一类卷积运算一f o u r i e r 变换中。然而现实 中的自然图像很难完全用高斯过程进行刻画，并且图像中的一些突变结构( o n 边 缘信息) 远比图像的平稳性重要