导数 极值 最值问题..docx

导数在研究函数中的应用知识梳理一 函数的单调性1、利用导数的符号判断函数的单调性：一般地，设函数在某个区间可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数；如果在某区间内恒有，则为常数；2、对于可导函数来说，是在某个区间上为增函数的充分非必要条件，是在某个区间上为减函数的充分非必要条件。3、利用导数判断函数单调性的步骤：求函数f(x)的导数f(x).令f(x)0解不等式，得x的范围就是递增区间.令f(x)0解不等式，得x的范围，就是递减区间.4、已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则；若函数单调递减，则”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解二 函数极大值、极小值1、极大值：如果是函数f(x)在某个开区间上的最大值点，即不等式 对一切成立，就说函数f(x)在处取到极大值，并称为函数f(x)的一个极大值点，为f(x)的一个极大值。 2、极小值：如果是函数f(x)在某个开区间上的最小值点，即不等式 对一切成立，就说函数f(x)在处取到极小值，并称为函数f(x)的一个极小值点，为f(x)的一个极小值。 3、极大值与极小值统称为极值 ，极大值点与极小值点统称为极值点；若，则叫做函数f(x)的驻点；可导函数的极值点必为驻点，但驻点不一定是极值点。4、判别f(c)是极大、极小值的方法:若满足，且在c的两侧的导数异号，则c是的极值点，是极值，并且如果在c两侧满足“左正右负”，则c是的极大值点，是极大值；如果在c两侧满足“左负右正”，则c是的极小值点，是极小值5、求可导函数f(x)的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间，求导数f(x) (2)求f(x)的驻点，即求方程f(x)=0的根(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f(x)在这个根处无极值三 函数的最大值和最小值在区间a，b上连续的函数f在a，b上必有最大值与最小值。求闭区间上连续的函数的最大值和最小值的思想方法和步骤：（1）求函数在(a，b)内的极值；（2）求函数在区间端点的值(a)、(b)；（3）将函数 的各极值与(a)、(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。四三次函数有极值导函数的判别式03.3.1 利用导数研究函数的单调性典例剖析:题型一 求函数的单调区间例1已知函数y=x+，试讨论出此函数的单调区间.分析：讨论函数的单调区间，可以利用导数来判断解答：y=(x+)=1=令0. 解得x1或x1.y=x+的单调增区间是(，1)和(1，+).令0，解得1x0或0x1.y=x+的单调减区间是(1，0)和(0，1)点评：利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，再求函数f(x)的导数f(x).，然后解不等式f(x)0，得递增区间，解不等式f(x)0，得递减区间.题型二 已知函数的单调性，求参数的取值范围例2. 若函数在区间内为减函数，在区间上为增函数，试求实数的取值范围分析：常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则；若函数单调递减，则”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解解答：函数求导得，令得或，因为函数在区间内为减函数，所以当时，又因为在函数区间上为增函数，所以当时，即实数的取值范围5，7点评：已知单调区间求参数a的取值范围是近年来常见的考查导数的一种题型。备选题例3：已知函数f（x）=2ax,x（0,1，若f（x）在x（0,1上是增函数，求a的取值范围；解: 由已知可得f（x）=2a+,f（x）在（0,1）上是增函数，f（x）0,即a, x（0,1.a1.当a=1时，f（x）=2+对x（0,1）也有f（x）0，满足f（x）在（0,1上为增函数，a1.评述:求参数的取值范围，凡涉及函数的单调性、最值问题时，用导数的知识解决较简单.点击双基1.函数y=x+cosx在（-，+）内是（ ）A 增函数 B减函数 C 有增有减 D 不能确定解：因为=1-sinx0恒成立，故选A2.函数的单调减区间是 （ D ）A（ B. C， D.以上都不对。 解：（x）=3+20恒成立，不存在单调减区间，故选D3.函数 (,则 ( )A B. C D.大小关系不能确定解：（x）=-=0时x0,所以cosx-; 单调增区间为(0,)5.如果函数y=+lnx-ax在定义域为增函数，则a的取值范围是 解：定义域为（0，=x+-a0,即ax+在定义域（0，上恒成立，又x+最小值为2,所以a23.3.2函数的极大值和极小值第一课时典例剖析题型一 函数极值的求法例1 已知在与时，都取得极值(1) 求的值；(2)若，求的单调区间和极值；分析：可导函数在点取到极值时，；求函数极值时，先求单调区间，再求极值。解：（1）f (x)3x22a xb0由题设，x1，x为f (x)0的解a1，1()a，b2 （2）f (x)x3x22 xc，由f (1)12c，c1f (x)x3x22 x1x（，）（，1）（1，）f (x)f (x)的递增区间为（，），及（1，），递减区间为（，1）当x时，f (x)有极大值，f ()；当x1时，f (x)有极小值，f (1) 评析：列表求单调区间和极值不容易出错。题型二 例2 设函数的图象如图所示，且与在原点相切，若函数的极小值为，（1）求的值；（2）求函数的递减区间分析;从图上可得是函数的极大值点，函数的图象经过（0，0）点且图象与x轴相切于（0，0）点，可先求出的值。解：（1）函数的图象经过（0，0）点 c=0，又图象与x轴相切于（0，0）点，=3x2+2ax+b 0=302+2a0+b，得b=0 y=x3+ax2，=3x2+2ax当时，当时，当x=时，函数有极小值4 ，得a=3（2）=3x26x0，解得0x2 递减区间是（0，2）评析：求出的值后，利用导数就可求出单调区间。备选题例3：已知函数+lnx, 求的极值.解;因为f(x)=-, 令f(x)=0，则x=注意函数定义域为（0，），所以驻点是x=,当x(0, )时f(x)0, 为增函数，所以x=是极小值点，的极小值为f()=(1+ln2),没有极大值。评析：注意函数的定义域点击双基1、函数y=1+3x-x有 （ ）A极大值1，极小值-1， B。极小值-2，极大值2C极大值3 ，极小值 2， D。极小值-1，极大值3解：=-3+3,令=0得x= -1或x=1，易得x= -1是极小值点，x=1.是极大值点，故选D，2、函数y=3+mx+x有极值的充要条件是 ( )A m0 B m0 C m0 D, m0解：=3+m=0则方程要有两解，函数y=3+mx+x才有极值。所以m0,0+0-极大 因此f(0)必为最大值,f(0)=5,得b=5, 若a0,同理可得f(0)为最小值, f(0)=-11,得b=-11, 评析：函数的单调性要借助导数的符号，故要对a的符号进行讨论。备选题点击双基1、函数在区间上的最小值为（ ）A B C D 解： 得而端点的函数值，得，故选D2、函数y=1+3xx3有（ ）A.极小值2,极大值2 B.极小值2,极大值3C.极小值1,极大值1 D.极小值1,极大值3解：y=33x2=3（1+x）（1x）.令y=0得x1=1,x2=1.当x1时,y0,函数y=1+3xx3是减函数;当1x1时, y0,函数y=1+3xx3是增函数;当x1时,y0,函数y=1+3xx3是减函数.当x=1时,函数y=1+3xx3有极小值1;当x=1时,函数y=1+3xx3有极大值3，故选D3、下列结论正确的是（）A若是在上的极大值点，则是在上的最大值B若是在上的极大值点，则是在上的最大值C若是在上唯一的极大值点，则是在上的最大值D若是在上唯一的极大值点，且在上无极小值点，则是在上的最大值 解：故选D4、函数的最小值为_。解：在恒成立，为增函数，故最小值为5、函数在区间上的最大值是 。解：，比较处的函数值，得课外作业一选择题1、在区间上的最大值是（ ）(A)-2 (B)0 (C)2 (D)4解：，令可得x0或2（2舍去），当1x0，当0x1时，0,方程的两根,并且的系数大于0,则函数f (x)的图象为先增后减再增，且在x=1取得极大值，在x=3取得极小值，又f (3)=-100时0；x0时0.x=0是极小值点，也是最小值点。最小值为1。11、对于总有0 成立，则= 解：若x0，则不论取何值，0显然成立；当x0 即时，0可化为，设，则， 所以 在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此，从而4；三解答题12、求函数在内的最小值解：在上，令得当时，；当时，故在处取得极小值则函数在点处取得最小值13、已知在时有极大值6，在时有极小值，求 的值；并求在区间3，3上的最大值和最小值.解：（1）由条件知 （2），x3(3,2)2(2,1)1(1,3)3006由上表知，在区间3，3上，当时，时，14、已知：f(x)=log3,x(0,+).是否存在实数a、b,使f(x)同时满足下列两个条件：（1）f(x)在（0，1）上是减函数，在1，+)上是增函数；（2）f(x)的最小值是1，若存在，求出a,b，若不存在，说明理由.解：设g(x)=f(x)在（0，1）上是减函数，在1，+)上是增函数g(x)在（0，1）上是减函数，在1，+)上是增函数.x=1是g(x)的极小值点， 解得经检验，a=1,b=1时，f(x)满足题设的两个条件.思悟小结求可导函数f（x）的最值的方法：（1）求f（x）在给定区间内的极值；（2）将f（x）的各极值与端点值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.3.4生活中的优化问题举例知识梳理1、在生产实践及科学实验中，常遇到质量最好、用料最省、效益最高、成本最低、利润最大、投入最小等问题，这类问题在数学上常常归结为求函数的最大值或最小值问题，通常称为优化问题。解决优化问题的常见方法有判别式方法、平均不等式方法、线性规范方法、差分方法、利用二次函数的性质和利用单调性等。2、不少优化问题，可以化为求函数最值问题，对于函数的最值问题，多利用函数的图像、性质以及不等式的性质来解题。其中求导数是求函数最大（小）值的有力工具。导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题。主要有以下几个方面：与几何有关的最值问题；与物理学有关的最值问题；与利润及其成本有关的最值问题；效率最值问题等。3、利用导数解决优化问题的基本思路：建立数学模型利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：（1）分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系；（2）求函数的导数，解方程；（3）比较函数在区间端点和使的点的函数值的大小，最大（小）者为最大（小）值。解决生活中的优化问题应当注意的问题：（1）在求实际问题的最大值、最小值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际问题的值应舍去；（2）在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使的情形，如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大（小）值；（3）在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式给予表示，还应该确定函数关系式中自变量的定义区间。典例剖析:题型一 面积最小问题例1 如图，等腰梯形的三边分别与函数，的图象切于点.求梯形面积的最小值。 解：设梯形的面积为，点P的坐标为。由题意得， 点的坐标为，直线的方程为。 直线的方程为即： 令 得，令 得，当且仅当，即时，取“=”且， 时，有最小值为.梯形的面积的最小值为。 评析：本题用不等式求最小值，也可以用导数求最小值。题型二 最大利润问题例2 某工厂生产某种产品,已知该产品的月生产量x(t)与每吨产品的价格p(元/t)之间的关系式为:p=24200x2,且生产x t的成本为:R=50000+200x(元).问该产品每月生产多少吨才能使利润达到最大?最大利润是多少?(利润=收入成本)解:每月生产x吨时的利润为f(x)=(24200x2)x(50000+200x)=x3+24000x50000(x0).由f(x)=x2+24000=0,解得x1=200,x2=200(舍去).f(x)在0,+)内只有一个点x1=200使f(x)=0,它就是最大值点.f(x)的最大值为f(200)=3150000(元).每月生产200 t才能使利润达到最大,最大利润是315万元.评析：当只有一个点使时，就是最大利润。点击双基1、要做一个圆锥形漏斗,其母线长为20cm,要使其体积最大,则高为( )A B C D 解：设高hcm,底半径为rcm,+=400.又体积V=h， 则V=（400-）h，令=0，得唯一极值点h=，故选D2、已知一球的半径为r,作内接于球的圆柱,则圆柱的侧面积最大值为( )A B 3 C D 解：设圆柱高h, 圆柱底半径x,则+=;=2xh=2x,令y=16(-+),=0得唯一极值点x=,所以h=r. 所以最大值，故选A3、进货原价为80元的商品400个，按90元一个售出时，可全部卖出。已知这种商品每个涨价一元，其销售数就减少20个，所获得利润最大时售价应为 （ ）90 95 100 105 解：设售价为元时利润为，此时售量为当时，（元）。即售价为95元时获利最大，其最大值为4500元