（物理电子学专业论文）Hlt2gtltgt强光电离中的双指数衰减过程研究.pdf

摘要 作为一重要的基础物理学研究领域，原子分子物理已有很长的发展历史。而 1 9 8 0 年以后出现的超短超强脉冲激光器，由于其电场强度达到或超过了原子分 子内电子所遭受到的库仑场强，故原子分子的电离解离研究又焕发出勃勃生机。 在理论方面，发现了一系列新的物理过程和物理概念；在生产实际方面，该研究 已在激光受控核聚变、极紫外辐射、太赫兹波、阿秒激光脉冲、化学反应控制等 方面逐步得到应用。在强光与原子分子互作用研究领域，理论数值模拟计算一直 是极其重要的研究手段之一。 本论文的主要工作是，对三维h 2 + 分子离子的强光电离过程中的电荷共振增 强电离效应作了大量计算机数值模拟计算。具体的研究工作如下： ( 1 ) 应用b a n & a u k 提出的贝塞尔一傅立叶级数展开法求解含时薛定谔方程， 将实际三维的单电子波函数分离为径向和轴向部分，消除了库仑势能函 数中的奇异性，在理论上解是严格的。在具体计算机数值计算中，运用 分裂算符法和傅立叶变换法求解波函数的时间演化，我们把1 6 个贝塞尔 基矢扩展为3 2 个，大大提高了计算精度。 ( 2 ) 模拟计算了氢分子离子在波长为8 0 0 r i m 的短激发脉冲和波长为1 0 6 4 r i m 、 1 5 5 0 r i m 的长激发脉冲激发下的电荷共振增强电离现象。采用三种不同方 法求得电离速率：未电离寿命法、线性拟合法和双指数衰减拟合法。得 到了不同光强下的电离速率随核间距r 的变化曲线，我们发现该体系可 以表现出不同的电离行为：电离饱和、电离增强和电离的双指数衰减微 观过程。 ( 3 ) 实验装置设计：初步设计了飞行时间质谱仪图像光谱仪装置，旨在测量 强光激发下原子分子的电离解离过程，为今后将图像相关和图像标识技 术应用于电离解离研究提供了实验方案。在具体实验上，参与制作了 1 3 1 9 r i m 波长的双灯泵浦n d ：y a g 激光器，可能为将来实验研究提供新激 发波长：1 3 1 9 r i m 和6 6 0 r i m 。 关键词：电荷共振增强电离，电离饱和，双指数衰减，飞行时间质谱术。 a b s t a c t a saf u n d a m e n t a l l yi m p o r t a n tr e s e a r c hf i e l d ，a t o m i c ，m o l e c u l a ra n do p t i c a l p h y s i c s ( a m o ) h a sw i t n e s s e dal o n gh i s t o r y t h em a t u r i t yo fu l t r a s h o r ta n d u l t r a i n t e n s ep u l s e dl a s e r si n19 8 0 sh a v e ，d u em a i n l yt ot h e i rc o m p a t i b l ee l e c t r i cf i e l d s t r e n g t h sw i t ht h o s es e e nb ye l e c t r o n si na t o m sa n dm o l e c u l e s ，t r i g g e r e da n o t h e r r e s e a r c hs u r g ei ns of a ra si n t e r a c t i o no fi n t e n s el i g h tw i t ha t o m so rm o l e c u l e si s c o n c e r n e d t h e o r e t i c a l l y , t h er e s e a r c he n d e a v o r sh a v em a n i f e s t e dt h e m s e l v e sb y r e v e a l i n gb u n c ho fn o v e lp h y s i c a lp r o c e s s e sa n dn o v e lc o n c e p t st h r o u g hi n v e s t i g a t i o n o ni o n i z a t i o na n dd i s s o c i a t i o n m o r ei m p o r t a n t l y , s t u d i e si nt h i sd i r e c t i o nh a v ef o u n d p o t e n t i a lv a l u e so fp r a c t i c e 缸c f i ，v u vr a d i a t i o n ，t h zw a v e ，a t t o s e c o n dl i g h tp u l s e g e n e r a t i o n ，c o n t r o l l e dc h e m i c a lr e a c t i o n s n u m e r i e a ls i m u l a t i o n ，b e s i d e so t h e r m e t h o d s ，h a sa l w a y sb e e nak e l ym e a n si ni n v e s t i g a t i n gi n t e r a c t i o n so fl i g h tw i t h a t o m sa n dm o l e c u l e s t ot h a te n d ，t h ep r e s e n t e dd i s s e r t a t i o nf o c u s e so i lt h es o c a l l e dc h a r g er e s o n a n c e e n h a n c e di o n i z a t i o n ( c r e de f f e c t ，b yp e r f o r m i n ga m p l ec o m p u t e rs i m u l a t i o n so na r e a l3 dh 2 + s y s t e m o u rr e s e a r c hw o r ka n dt h eo b t a i n e dr e s u l t sa l eo u t l i n e d ： ( 1 ) b a s e du p o nt h em o d e ls u g g e s t e di n i t i a l l yb yb a n d r a u k , w ea d o p t e da n d i m p l e m e n t e da l g o r i t h m so fe x p a n d i n gw a v e f u n c t i o n s 嬲b e s s e l - f o u r i e r s e r i e sa n dt h e nt e m p o r a l l yp r o p a g a t i n gt h e mb yd i v i d i n gt h er e a l3 ds i n g l e e l e c t r o nw a v e f u n c t i o ni n t or a d i a la n da x i a lc o m p o n e n t s ，t h e r e b ye l i m i n a t i n g t h es i n g u l a r i t i e si nt h ec o u l o m bp o t e n t i a l t h ei n i t i a lw a v e f u n c t i o na n s a t zi s e x a c t i no u rs i m u l a t i o n ，t h eb e s s e l - b a s i s - v e c t o rn u m b e rh a sb e e ni n c r e a s e d f r o m1 6t o3 2 ，h e n c e f o r t hc o n f i r m i n gt h ec o m p u t a t i o na c c u r a c y ( 2 ) w es i m u l a t e dp h o t o i o n i z a t i o np r o c e s so fh 2 十u n d e ri r r a d i a t i o no fp u l s e sw i t h v a r y i n gl i g h ti n t e n s i t ya n di n t e r n u c l e a rs e p a r a t i o na tw a v e l e n g t h so f8 0 0 n m , 15 5 0 r i ma n d10 6 4 n m t h r e ed i f f e r e n tm e t h o d s ，n a m e l yt h en o n - i o n i z a t i o n p r o b a b i l i t y , e x p o n e n t i a lf i t t i n ga n dd o u b l e e x p o n e n t i a lf i t t i n g , w e r eu s e df o r g e t t i n gv a r i a t i o n so f p h o t o i o n i z a t i o nr a t e sv e r s u si n t e r n u c l e a rs e p a r a t i o n w h a t c a nb ei n f e r r e df r o mt h es t u d i e sw a s ：h 2 + s y s t e mh a sd i f f e r e n ti o n i z a t i o n b e h a v i o r s ：i o n i z a t i o n s a t u r a t i o n ， e n h a n c e di o n i z a t i o na n d d o u b l y - e x p o n e n t i a l l yd e c a y e di o n i z a t i o n ( 3 ) e x p e r i m e n td e s i g n ：w ed e s i g n e d ap r e l i m a l ys e t u po ft i m e o f - f l i g h t s p e c t r o m e t e ra n di m a g i n gs p e c t r o m e t e r , a i m e df o rm e a s u r i n gi o n i z a t i o na n d d i s s o c i a t i o nf r a g m e n t a t i o n t h i sv i r t u a le x p e r i m e n tc a ns e r v ef o rf u t u r ei m a g e c o r r e l a t i o na n di m a g el a b e l i n gt e c h n i q u e si n s t r o n gf i e l dp r o c e s s e si na t o m s a n dm o l e c u l e s t h et h e s i sa l s od e s c r i b e ds o m e p r a c t i c a lp a r t i c i p a t i o ni n b u i l d i n g af l a s h l a m p p u m p e dn d ：y a gl a s e rw h i c h i ss u p p o s e dt op r o v i d e t w op e r s p e c t i v ee x c i t a t i o nw a v e l e n g t h sa t1319 n m a n d6 6 0 r i m k e y w o r d s ：c h a r g er e s o n a n c ee n h a n c e di o n i z a t i o n ，i o n i z a t i o ns a u r a t j o n ， d o u b l e - e x p o n e n t i a ld e c a yo fi o n i z a t i o n ，t i m e o f - f l i g h ts p e c t r o m e t r y 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得叁叠盘鲎或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 糊姗虢皂芝售捌飙砂产乡月s 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解苤鲞盘堂有关保留、使用学位论文的规定。 特授权苤鲞盘鲎可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：童望麓 导师签名： 。签字吼砷亍6 月5 日 签字日期： 伊噼月日 第一章强光和原子分子互作用研究概况 第一章强光和原子分子互作用研究概况 1 1 原子分子光物理研究简史 1 9 1 1 年，英国籍新西兰科学家卢瑟福( e r u t h e r f o r d ) 的a 粒子散射实验证 实了原子的核式结构。1 9 1 3 年，丹麦科学家玻尔( n b o h r ) 发展了原子的行星 模型学说。可以说，原子分子物理的研究便从此开始了【l j 。 1 9 6 0 年以后，调q 激光器和准分子激光器的脉冲宽度达纳秒量级，是研究 光与原子分子互作用的主要激发光源。 1 9 8 0 年以后，啁啾脉冲技术放大( c p a ) 使激光脉冲的峰值功率达到硎 ( 1 0 1 2 w ) 量级，聚焦后的光强度可达1 0 2 0 w e r a 2 。如此超短( f e m t o s e c o n d ) 超强激光器的商品化使强光与原子分子互作用的研究重新焕发出勃勃生机。事实 上，原子分子光物理( a t o m i c ，m o l e c u l a ra n do p t i c a lp h y s i c s ，a m o ) 是物理学的 一个研究领域。在该领域中，强激光与原子分子互作用的研究又是一个大的研究 方向【2 一。 1 2 强光与分子互作用研究意义 强光与分子作用的研究n - - i 以t 3 。5 】： ( 1 ) 认识分子的微观过程； ( 2 ) 强光与分子作用的哈密顿量已不能用微扰法求解，须作数值计算。而 实验与理论的符合程度还可间接验证多元体系的量子力学规律的正确程度； ( 3 ) 发展新理论； ( 4 ) 对分子的光过程进行相干控制； ( 5 ) 对分子的取向等进行操作； ( 6 ) 通过h h g 产生或软x - m 谨辐射； ( 7 ) 通过分子锁模产生或测控阿秒光脉冲。了解分子结构及其电离、解离 或解离性电离的微观过程有极大的基础物理学意义，伴随这一研究，已涌现出了 许多诸如过阈电离( a t i ) 、过阈解离( a t d ) 、键软化( b s ) 、光感应束缚态产 生( l i b s ) 等崭新的物理概念。 近年来，原子分子团簇与强光互作用的研究正受到人们越来越多的重视。 第一章强光和原子分子互作用研究概况 1 3 分子和分子离子的增强电离研究历史 目前，强光场作用下分子动力学行为的研究主要有以下两大类方法： 1 经典模拟：根据经典力学理论写出分子体系的运动方程组，通过一系列数 值求解方法分析激发、解离、电离和解离性电离四种基本动力学过程。如团簇研 究： 2 量子模拟：即甩含时薛定谔方程( t d s e ) 描述分子波包在强激光场中的运 动，通过数值求解含对薛定谔方程得到波函数随时间的演化。 对原子分子离子而言，不仅要考虑电子动力学，还要同时考虑核的运动。为 了有效地减少方程中的变量，使数值求解成为可能，常采用玻恩一奥本海默绝热 近似( b o r n o p p e n h e i m e ra d i a b a t i ca p p r o x i m a t i o n ) ，即把核运动与电子运动分开 处理。因为在分子体系中，电子的质量比原子实的质量小上千倍，电子的运动速 度比原子核快得多，这使得原子核的任何微小运动，电子都能及时跟进并建立起 适应于核位置变化后新的平衡。所以可以近似地认为电子总是在不动的原子核力 场中运动。而在讨论核运动时，原子核之间的相互作用可以用一个与电子坐标无 关的等效势来表示，在计算时可以将原子核运动与电子运动的部分进行分离后再 求解。 耳前，一般采用含时薛定谔方程来描述原子分子中电子对外电场的响应，但 量子力学的方法依赖于体系的自由度，因此在处理多电子原子分子时，要采用单 电子近似( s a e ) ，即假设原子中只有一个活跃电子与强光场相互作用，其它电 子同核一起提供给活跃( 或等效) 电子一个有效势场。 对双原子分子离子特别是h 2 + 的增强电离研究，国外开始的较早并且较为系 统。 ( 1 ) 加拿大s h e r b r o o k e 大学的b a n d r a u k 研究组对h 2 + 在强光场作用下的动 力学行为特别是电荷谐振增强电离行为( c r e i ) 进行了较为系统的研究： 1 9 9 5 年t z u o 和a d b a n d r a u k 对在光场强度为1 1 0 mw e r a 2 ，激发波长 五= 1 0 6 4 n m 的线偏振激发脉冲作用下的h 2 + 的电荷谐振电离行为( c r e i ) 进行了 研究，在光场偏振方向和两原子核连线方向平行的情况下，通过对柱面坐标系下 的三维( p ，z ) 含时薛定谔方程进行了数值模拟计算的方法，探讨了c r e i 和核 间距r 之间的关系。在处理含时薛定谔方程时，为了避免奇异性的出现，采用了 贝塞尔一傅立叶级数展开法将实际三维的单电子波函数分离为径向和轴向部分， 并运用分离算符法和快速傅立叶变换法得到波函数的解，通过解 p 0 ) 1 2 = e x p ( - r t , i ( o 2 得到电离速率i 。研究结果如图l 一1 所示，从图中不难看 出，电离速率r 在核间距为平衡位置时( r = 2 a u ) 时，由于电离势能比较大， 2 第一章强光和原子分子互作用研究概况 i p = 3 0 e v ，电离速率的值最小，随着核间距的增大( 5 1 0 1 4 w e r a 2 时，在两种波长情况下，只有r = 4 a u 附近的峰值保留，这跟在h 2 + 在相同 光场作用下的结果不同，在h 2 + 中，在i 1 0 hw l c m 2 时，在r = 7 a u 和1 0 a u 附近 出现峰值，随着光强的逐渐增大，两个峰值渐渐合并为r = 5 a u 附近的一个峰值 并保持相对平坦状态到较大的r 值【13 1 。 1 9 9 8 年，b a n & a u k 研究组对二维h 2 + ，h 3 + 模型中c r e i 的行为进行了研究， 对二维h 2 + 主要研究c r e i 与光场偏振方向和两原子核所在的方向之间的夹角口 的关系。结果显示，c r e i 出现在核间距r c 8 a u 附近，并且与口有很大的关系， 8 = 0 时的电离速率r ，要大于8 = 9 0 0 时的电离速率e ，在r = 7 a u 时，r ，伍4 0 ； r = 9 5 a u 。时，r ，珥一l o 。在光强1 = 8 x1 0 1 3 别c n 】2 ，波长2 = 1 0 6 4 r i m 的光场作用下的， 具体计算结果如表1 1 所示【1 4 1 。 表1 - 1h 2 + 的电离速率随核问距r 和光场方向9 的变化 2 0 0 5 年，b a n & a u k 研究组还对非对称分子离子h e h 2 + 在波长为4 0 0 r i m ，光 强分别为l x l 0 1 5w e r a 2 和5 x 1 0 1 5w e r a 2 的光场作用下的增强电离( e i ) 的研究 5 第一章强光和原子分子互作用研究概况 取光场的偏振方向和两原子核连线所在的方向平行，研究发现，当载波的相位( c e p ) 为0 时。即激发脉冲峰值处的电场方向和分子的永久偶极子( p d m ) 方向 相反时的增强电离( e 1 ) 行为l t - - - 者方向平行时强很多【1 5 】。 19 9 5 年，加拿大p b c o r k u m 组对双原子分子离子在强激光场作用下的非线 性电离行为进行研究中发现，在原子核附近的非绝热电子局域( n o n a d i a b a t i ce l e c t r o nl o c a l i z a t i o n ) 可造成在核间距大于平衡位置的某处电离速率显著增大。并 且此增强行为对激光的频率和强度变化很敏感【1 6 1 。 2 0 0 5 年丹麦a a r h u s 大学的l b m a d s e n 以及挪威b e r g e n 大学的j p h a n s e n 等人对阿秒激光场作用下的三维h 2 + 的光电离行为也进行了研究。计算 结果显示，在分子轴向和光场偏振方向平行的情况下，在1 0 1 a u 和r 。3 a u 时， 电离几率出现峰值，随着电场强度的增大，电离几率变小。在光场足够强时，分 子变得稳定。在电场强度e o = 3 a l 1 时，电离机率在0 = o 时出现比较大的波动， 有不同的局部峰值出现；随着口的增大，电离几率逐渐变小，波动趋于平缓，在 0 = 9 0 0 时，电离几率随核间距r 的增大而单调减小。在r - 2 a u 时，电离几率随口 的增大而增大，在r 3 a u 时，电离几率随目的增大而减小【1 7 1 。 2 0 0 6 年丹麦a a r h u s 大学的t kk j e l d s e n 和l b m a d s e n 以及挪威b e r g e n 大学的j p h a m e n 对线偏振红外激光场作用下的三维h 2 + 的强光电离行为进 行了数值模拟计算研究。研究发现，除两原子核连线所在的轴向和激光场偏振方 向的夹角对电离几率有很大影响外，在二者方向平行时( 罗= o ) ，在r = 5 a u 和 r = 1 0 a u 处，电离几率达到最大值【l 鄙。 1 4 论文研究内容和研究结果 本论文主要研究了氢分子离子的光电离行为，进行了大量的计算机数值实验。 应用b a n & a u k 的贝塞尔一傅立叶级数展开法，在求解含时薛定谔方程时，将实 际三维的单电子波函数分离为径向和轴向部分，成功避免了电子受原子核库仑势 在电子坐标和核坐标重合时的发散。无须引入软化参数，解是精确的。 具体计算中，运用分离算符法和快速傅立叶变换法求波函数。分别通过三种 方法求得电离速率： 未电离寿命靠法、线性拟合法和双指数衰减拟合法。 具体为： ( 1 ) 计算中把1 6 个贝塞尔基矢扩展为3 2 个，大大提高了计算精度； ( 2 ) 对氢分子离子的电离过程，特别是c r e i 效应，计算了不同光强下的光 电离速率随键长的依赖关系； ( 3 ) 对氢分子离子的电离过程，特别是c i 也i 效应，计算了不同激光脉冲宽 6 第一章盎光和原子分子互作用研究概况 度下的光电离速率随键长的依赖关系； ( 4 ) 计算发现，当光强大于某阈值时， c r e i 效应减弱或消失，并且增强电 离是伴随双指数衰减的特征； ( 5 ) 计算了不同r 值条件下的基态能级，从而解释了c r e i 的减弱或消失； ( 6 ) 论文工作还初步设计了实验装置。参加了部分研制i o n s 量级脉宽，1 3 1 9 r i m 波长的激光器的工作。该t o f 装置可用于探测正离子碎片的空间分布， 进而测量c r e i 效应。为以后实验测量工作奠定了定基础。 7 第二章强光与原子分子互作用的算法理论 法。 第二章强光与原子分子互作用的算法理论 本章介绍强激光与原子分子作用研究中的主要理论研究手段和具体计算方 2 1 原子单位和薛定谔方程的无量纲化 在强光与原子分子互作用的数值模拟计算中，传统使用原子单位( a t o m i c u n i t s ) ，定态薛定谔方程和含时薛定谔方程都得到了极大简化，方便了数值计算。 2 1 1 原子单位 在原子分子光物理的研究领域，惯用原子单位( a t o m i cu n i t s ，a u ) 等效于 p = 1 ，m = 1 ，壳= l 。 具体定义如下： 电荷单位：p ( 电子电荷) 质量单位；坍( 电子质量) 长度单位：匆( 玻尔第一轨道半径：4 刀轰2 艇产) 能量单位：q = 9 2 ( 4 强q ) ( 等于两倍的氢原子电离能，即1 哈特里= 2 7 2 e v ) 时间单位：五= q k 频率单位：q = k q = m e 4 ( 4 a 露o ) 2 h 3 】- 4 1 3 4 x 1 0 6 s 1 电势单位：e ( 4 z s o a l ) = m e 3 ( 4 碱壳) 2 = 2 7 2 v 电场强度单位：五= 4 a ；= m 2 e s ( 4 n s o ) 3 h 4 】= 5 1 4 2 x 1 0 9v c ? ? 这些原子单位的具体数值为： ( 一) 基本单位 质量：l a u = ( 电子的静止质量m ) = 9 1 l x l o 。3 1k g 电荷：l a u = ( 电子电荷的绝对值0 = 1 6 0 x l o - 1 9c 长度：l a u = ( 玻尔半径) = 5 2 9 x 1 0 - 1 1m ( 二) 导出单位 时间：l a u = 2 4 2 1 0 - 1 7s 频率：l a u = 4 1 3 x 1 0 1 6h z 电场强度：l a u = 5 1 4 x1 0 1 1v m 光强度：l a 1 1 = 3 5 1 x1 0 mw c m 2 8 第二章强光与原子分子互作用的算法理论 ( 三) 能量单位的规定，常用的有两种： l a u 能量= 1 哈特利( h a r t r e e ) = 2 里德伯= 4 3 5 9 7 x 1 0 1 8j l a u 能量= 1 里德伯( r y d b e r g ) = 氢原子的电离能( 1 3 5 9 e v ) 。 本文使用的是第一种规定( 这也是最常用的一种规定) 。 2 1 2 薛定谔方程的无量纲化 在原子单位下，很容易简化单电子定态薛定谔方程( 以1 d 类氢原子为例) ： 卜羔善州列吣一吣) ( 2 1 ) 式中川力= 一去等，壳= 瓦h ，厅为普朗克常数。 式( 2 1 ) 是模型类氢原子离子的薛定谔方程。对上述薛定谔方程作无量纲化处 理：定义：舅兰三， a t 一三蔷矿( 戈) 一7 4 船o h 2i zy ( 力= 了( 4 n - c o ) 2 h 2 s f ，( 力 ( 2 2 ) 妇小警孑z 吣) 2 高 ( 2 - 3 ) 一 式中，z 为核电荷数。 对含时薛定谔方程，有： ( 2 4 ) 访昙t ) = 卜荔h 2 万d 2 一瓦1 了z e 2 + 嬲( f ) 瞰彬) ( 2 - 5 ) f 未甲( 置乃= 卜j 1 万d 2 一喜+ 笼( ) 】y g ， ) ( 2 6 ) 9 第二章强光与原子分子互作用的算法理论 其中，7 2 专是约化时间， ( f ) ：三旦是约化电场强度。 丘， 2 2 定态薛定谔方程的求解 薛定谔方程建立7 0 多年来，发展出了各种各样的求其本征值和本征函数的 数值方法，如w e n t z e l k r a m e r s b r i l l o u i n 法、本征值矩法( e i g e n v a l u em o m e n t m e t h o d ) 和松弛法( r e l a x a t i o n a la p p r o a c h ) 等。本节简单介绍部分方法。 2 2 1 虚拟时间松弛法 数值求解薛定谔方程时，多采用短时间步长的传播方法。为了保证计算的 稳定性，时间步长要尽可能的小。t a l e z e r 和k o s l o 群1 9 1 引入了一个建立在契比 雪夫( c h e b y s h e v ) 多项式上的传播方法。因为c h e b y s h e v 多项式局域在( 一1 ，1 ) 间隔内，哈密顿必须通过本征能的变换重整到这个区域。离散哈密顿的最大本征 能量可表为： 最小能量为： 故平均值为： 定义 = 去隹) 2 + = 面= 兰( + ) 丝= 三( k 一) 现在可把哈密顿重整在本征值为( 一1 ，1 ) 范围内： 1 0 ( 2 - 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 第二章强光与原子分子互作用的算法理论 a 。m = l a 一瘫、j 娩 哈密顿的时间演化算符可写成： ( 2 1 1 ) e x p ( 一i h t ) = e x p ( 一i e t ) e x p ( 一i a e 删。) ( 2 - 12 ) 用复数的c h e b y s h e v 多项式展开为： e 姒一廊) ：e x p ( 一函) 羔q 以( 监f ) ( 一疽一) ( 2 - 1 3 ) n - - 0 其中n = 0 时，q = l ，当肛1 ，q = 2 。以是第一类n 阶b e s s e l 函数。乙( 一埔二) 是复数的c h e b y s h e v 多项式，满足递推关系： 丸。= - 2 坍二吮+ 吮一l ( 2 1 4 ) 其中纯= ( 一越二) y ( o ) ，奔= y ( o ) ，硅= 一前肿册y ( o ) 。该法的优点在于当r l a 时b e s s e l 函数以( 口) ( 其中a = 必) 指数衰减到零。因此，为得到想要的准确性， 最大阶数n 可以选择足够大。总的展开项数比理论的极限值a e t 大一些。这个方 法的另一个优点是误差均一地分配到所有的本征值。 然而，该方法的缺点是因于时间步长很长无法得到包含更多信息的中间结 果。为了克服这种缺点，只能使时间步长缩短。但实际上展开项的数目不能低于 4 0 ，否则超过，= a 的额外项的作用变得重要，从而使近似方法失效。对光解动力 学研究来说，常常需要在很短的时间间隔内计算自相关函数，故这个数目不符合 要求。解决的办法是，因为在公式( 2 1 3 ) 中只有展开系数是含时的，而需要大量 计算时间的是c h e b y s h e v 多项式运算，即唬= ( 一埔二) 妒( o ) ，是非含时的，所 以可以在每个中间时刻重新计算展开系数口。，而c h e b y s h e v 多项式运算部分保持 不变。 2 2 2 解析传输矩阵法 在原子分子研究中，莫尔斯势( m o r s e ) 和软化库仑势是两个重要模型。莫 尔斯势常用来近似研究非简谐和微振动下的双原子分子动力学。 第二章强光与原子分子互作用的算法理论 对一维势函数v ( x ) ，定态薛定谔方程可改写为： 学+ 斜2 me 川z ) 】吣) - o ( 2 - 1 5 ) 在解析传输矩阵法( a t m m ) 中，截取y ( 工) 曲线上两个适当的点乇、间 的部分，使点、处的势能远高于有关能级。把k 、区间细分，波函数y ( k ) 及其一阶微分y ( ) 与y ( ) 和y 瓴) 由矩阵方程联系： 斑牡聪 ( 2 1 6 ) 式中，肘= 1 - - i ? 必。方程两边同乘以矩阵【叫7 ) ，少( 矗) 】，并同时除以 f ，( ) y ( ) ，方程( 2 - 1 6 ) 变为： 憎t * 斟1 。 协 波函数在区间o 毛) 呈指数衰减： 删= 话搿麓 弦 式中，厶、4 是待定振幅，己、只为、x 。处的衰减系数，定义为： p ：生竺吆垒! 二塑 肼 壳 p ：三竺 ! ! 墨2 二兰3 在区间( 、吒) 内，传输矩阵可写为： 1 2 ( 2 一1 9 ) ( 2 2 0 ) 第二章强光与原子分子互作用的算法理论 式中， 在上述区间外，传输矩阵为： m 忙戮 式中，a i = 4 2 m v ( x i ) - e h 。 加上量子化条件： ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) k d x + ( s ) = ( 刀+ 1 ) l r ，胛= 0 , 1 ，2 ，( 2 - 2 3 ) 式中后= 4 2 m e - r ( x ) 1 壳，力为量子数，( s ) 为相位变化。 p ：一地 y ( 工) p = p + 七2 。 邮) = 了( 一争 ( s ) = j ( 一争) 出 乓 ( 2 2 4 ) 即可数值计算出本征值和本征函数。a t m m 法可以应用于各种各样的一维 量子问题，也能够被拓展到其他场合。 2 3 含时薛定谔方程的解法一：对称分裂算符传播法 求解含时薛定谔方程的最简单的方法是时间演化算符方法；d = e x p ( 一i l ? l d t ) 。 用t a y l o r 级数展开： 1lij ， i 缈 ，t f 口 s s一勺 一 泐 即 义 口 c 砖，。l | |m 1j 、l， 丘) q 缈 ，-， “ 口 旺 ( 一q 一 第二章强光与原子分子互作用的算法理论 e x p ( - i h d t ) = l 一谢硪+ ， ( 2 2 5 ) 研究发现这种方法非常不稳定1 2 0 ，原因是它不能保持s c h r 6 d i n g e r 方程的时间反演 对称性。可以先利用对称关系： y ( f + 西) 一y ( f a , ) - - ( e 一时一p 栅( f ) ( 2 2 6 ) 然后把时间演化因子用t a y l o r 级数展开，得到二阶差分( s o d ) 传播公式： y 0 + ) y 8 一玲一2 怂g y ( f ) ( 2 2 7 ) 如果哈密顿算符是厄密的，s o d 方法能够保持模和能量守恒。我们可以把 传播过程写成如下形式： 眵 = 瞄2 乞邓习 像2 8 ) 其中n 是时间步长的标记。可以证明模守恒： 以及能量守恒， ( f ，”1i y ”) = 常数 r e 肿1p i y ”) = 常数 ( 2 2 9 ) ( 2 3 0 ) 为了保持模和能量的守恒，在传播过程中位相的误差将不断累积。为了减少 这种误差，习惯上选择时间步v ：a t 1 ( 5 e 二) ，其中k 为离散哈密顿的最大本征 值。 f e i t 和k o s l o f f 等人提出的快速傅立叶变换( 1 e f t ) 方法【2 1 ，2 2 】解决了哈密顿算 符中动能算符对波函数作用的计算问题。计算波函数的二阶微分的f f t 方法包 1 4 第二章强光与原子分子互作用的算法理论 括坐标空间的波函数乘以一k 2 ( k 是波数) 变到动量空间的傅立叶变换，以及通 过反傅立叶变换回到坐标空间。 因为动能算符在动量空间是局域的，正如势能算符在坐标空间一样，它对波 函数的作用可以非常精确地得到。计算要用到位相一空间表象和分立的h i l b e r t 空间。位相空间的体积计算如下：在位相空间中空间长度，最大动量为。 所以整个体积为场，= 2 l 圪。，其中因子2 是因为动量范围从一p 眦到十。因 为p = 触，位相空间的体积可以表示为： v o l = 2 m , i k = n h 其中n 是取样点的数量，取样间隔缸可以用最大的波矢量表示： 所以最大的动能可以表示为： a x = 刀i k | ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) 。：监：竺，三1 2 ( 2 - 3 3 )眦 2 m2 m i 血j 因为a p x a x = h ，所以第i 个格点处的动能表示为： 数： c o = 等= 丢( r 事等) 2 ( 2 ， f e i t 和f l e c k 引入分裂算符方法【2 ”。其中动能算符和势能算符分别传播波函 e 砸一姚f ) - e x p ( 羽学) e 砸一f 眦) e x p 卜玎筹) + d ( 垃3 ) ( 2 - 3 5 ) 波函数的传播包括下面步骤：首先，波函数通过傅立叶变换到动量空间，在每个 格点上乘上e x p 一i ( p 2 2 m ) c a t 2 ) l ，然后变回坐标空间，乘以e x p ( 一i v a t ) 作为结 果的波函数再进行傅立叶变换到动量空间， 以e x p 一f ( p 2 2 m ) ( a t 2 ) ，再变换 回坐标空间，从而完成一次时间步长的传播。每个时间步长的传播需要二次傅立 第二章强光与原子分子互作用的算法理论 叶变换和二次傅立叶逆变换。这种方法的优点是算符的作用可以在它们各自的局 域表象中完成。 在分裂算符方法中，模是严格守恒的。误差来自于动能算符和势能算符的不 对易性，误差是d ( r 3 ) 量级【2 4 】： 一r = m a x 一，篙吨m 丽a t 3m 2 ，调 弘3 6 ， 该方法尽管包括了几个指数因子，但有效普适。 2 4 含时薛定谔方程的解法二：定态波矢展开法 l a n c z o s 2 5 1 使用递推程序，把一给定矩阵简化为三对角形式。三对角矩阵的 维数远小于原始矩阵，所以很容易对角化，得到本征值和相应的本征矢。这种方 法由p a r k 和l i g h t 引入，现在是一个应用广泛的传播方法【2 6 加。三对角矩阵可以 通过下面方法构建： 以及 日唬= a o # o + p o g ( 2 3 7 ) 膏力= 岛一。以一+ 吩哆+ 层秀州= 1 ，n 。- 1 ( 2 3 8 ) 其中n 。是l a n c z o s 递归的数目，唬= y ( o ) 是正交归一的，系数a j 和 p ，( j - - 0 ，n 一1 ) 通过通常的h i l b e r t 空间内积得到： 吩= ( 办，日办) 局一- = ( 办中日力) p o = o 约化的哈密顿算符有如下的三对角形式： 1 6 ( 2 3 9 ) ( 2 4 0 ) 第二章强光与原子分子互作用的算法理论 h n i = 时间演化因子可以近似为： ( 2 - 4 1 ) o ( t o + a t 。t = 产n 一( 2 - 4 2 ) 对于足够小的时间步长址，也就是几十个飞秒量级，递推5 1 0 次就可以得到三对 角矩阵，时间演化算符很容易对角化。因此： e 堪a 七& ，t o ) = z i 辽_ pz (2-43) 其中z 是幺正矩阵，对角化瓯得到p 毗，z 是z 的共轭转置。所以含时波函 数为： 毗+ 垃，岛) ：窆z ，m z 吮( 2 - 4 4 ) 递推的次数依赖于时间步长以及初始唬的选择，九选的好可以使传播快速收敛。 l a n c z o s 方法能够无条件的稳定，能够保证波函数模和能量的守恒。缺点是当格 点的数量很多时，需要大量的存储空间，为了计算最终的时间演化波函数， ( 上) 维递推矢量都要贮存起来。 2 5 吸收势函数 为了防止波函数到达边界后产生反射，人为地引入吸收势( 负的虚数势( n i p s ) ) 来吸收波函数，这是一个很重要的步骤。b i s s e l i n g 2 8 1 等人很早就应用衰减函数形 式的吸收边界条件，n e u h a n s e r 和b a e r t 冽系统地研究以后，就被广泛应用到含时 1 7 d o o；氐饥 t 以 ：氏 o履 o届吩；o o 反q 届；o o 磊o ；o o 第二章强光与原子分子互作用的算法理论 量子力学计算中。 在实际的数值计算中，光学吸收势简单地加在相互作用势里。其参数的选择 应该非常小心，否则就会导致波函数的反射或透射。 常用的吸收势一：由n e u h a n s e r 和b a e r 给出： 叶葶 只s 兄h + 虬 ( 2 4 5 ) r 其中是吸收势的高度，必如是它的宽度，r o 缸是吸收势的位置，它必须远离 相互作用区。吸