（模式识别与智能系统专业论文）鲁棒非线性控制及其在电力系统中的应用.pdf

摘要 摘要 非线性系统的鲁棒控制是当前非线性控制领域中的热点问题，与控制工程中的 实际问题密切相关，有着非常广阔的应用前景本论文主要研究带有参数不确定和 外部扰动的一类非线性系统的鲁棒控制器的设计问题及其在电力系统中的应用利 用目前常见的b a c k s t e p p i n g 方法，h a m i l t o n 能t 方法及协调无源性等方法来综合处理 实际系统中可能遇到的各种不确定性问题，将所得到的结果应用到电力系统中去验 证其有效性 本论文的主要结构如下： 在第一章中我们首先回顾了控制理论发展的几个阶段，然后简单介绍了非线 性控制理论近年来的主要进展，给出了非线性系统稳定问题的一些基本理论 和概念，包括l y a p u n o v 稳定性理论，不变集定理，绝对稳定性理论，输入输出稳 定性定义以及i s s 稳定性定义等，后面还讨论了一些常见的非线性控制方案 有反馈线性化控制方案，滑模变结构控制方案，高增益观测器，b a c k s t e p p i n g 以 及f o r w a r d i n g 方法等 第二章中主要研究了基于b a c k s t e p p i n g 方法的鲁棒控制方案的设计过程首先对 于简单的单输入系统，给出了b a c k s t e p p i n g 方法的一般步骤，在此基础上扩展到 带有不确定项的非线性系统，基于b a c k s t e p p i n g 方法设计了鲁棒控制方案：使得 系统在有不确定因素时仍然能够被镇定，而且该方法不要求系统中的不确定项 满足匹配条件对于多输入情况下向量形式的b a c k s t e p p i n g 方法也做了简单的讨 论接下来的部分引入了l y a p u n o v 重设计方法，在原有控制律的基础上设计附 加的控制律，使得在有界不确定扰动项存在的情况下，系统仍然能稳定最后还 介绍了非线性阻尼方法，可以保证闭环系统解的有界性 第三章中我们介绍了耗散系统以及基于能量的h a m i l t o n 控制方法耗散系统的 概念是从动力学中得来的，它从能量的角度来考察系统，因此具有明确的工程 和物理意义。而且为构造l y a p u n o v 函数提供信息从动力学中引入的h a m i l t o n 系 统的概念被扩展到一般非线性系统，得到了广义的h a m i l t o n 系统形式，并给出了 常见的端口受控的h a m i l t o n 系统，以及耗散的端口受控h a m i l t o n 系统形式对于 一般的非线性系统转化为h a m i l t o n 系统的问题，介绍了一些转化的充分条件以 及步骤本章最后研究了耗散形式的端口受控h a m i l t o n 系统的镇定问题，并给 出了一般非线性系统采用h a m i l t o n 能量控制方法设计控制器的一般步骤 第四章中介绍了非线性控制中常见的无源性设计方法，对输入输出方程和状态 方程描述的系统引入了无源性的定义，并介绍了无源性与c 2 以及l y a p u n o v 稳定 性之间的关系对于无源系统，很容易来设计控制方案稳定系统针对反馈互联 形式的系统介绍了无源性定理，定理说明两个无源系统的反馈连接仍然是无源 的，而且互联部分的无源性可以相互补偿本章最后介绍了协调无源性控制方 第i 页，共8 i l 页中国科学技术大学硕士学位论文 摘要 案的设计过程，这是在反馈无源性方法的基础上发展的一种新的控制方法放 宽了无源性方法对系统的相对度以及零动态的要求，因此适用更加广泛 第五章中我们针对各种电力系统的模型采用以上方案设计了鲁棒控制器，通过 在电力系统中的应用，验证了控制方案的有效性，本章中首先给出了励磁发电 机的基本模型，包括单轴和双轴励磁同步发电机，以及汽轮机和水轮机的数学 模型对于单轴和双轴同步励磁发电机，基 于b a c k s t e p p i n g 的直接l y a p u n o v 设计 方法设计了鲁棒自适应控制器，可以保证系统在参数不确定和有界外部扰动下 的暂态稳定性并通过在三相短路状况下的仿真实验验证了控制器的有效性 接着我们对水轮机采用h a m i l t o n 能量控制方案设计了控制器，使得整个系统在 无外界干扰的情况下，达到渐近稳定，有外界干扰的情况下，达到有限增益c 2 稳定，通过不同情况下的仿真验证了我们的结论最后我们对双轴励磁汽轮机 采用协调无源性方案设计了控制器，保证系统是渐近稳定的，仿真中通过与反 馈线性化方法的比较，验证了控制器的有效性 最后，总结了本论文的工作，并对未来工作进行了展望 关键词：非线性控制，鲁棒自适应控制，b a c k s t e p p i n g 方法，h a m i l t o n 能量控制方法 协调无源性方法，同步励磁发电机 第i i 页，共8 0 页中国科学技术大学硕士学位论文 英文摘要 a b s t r a c t i nr e c e n ty e a r s n o n l i n e a rc o n t r o ld e s i g n sf o c u so nr o b u s t n e s ss t u d i e so fn o n l i n e a s y s t e m s 0 u rt h e s i sd e a l sw i t hn o n l i n e a rs y s t e m si nt h ep r e s e n c eo fu n k n o w np a r a n l e t e r s a n dt h eb o u n d e de x o g e n o u sd i s t u r b a n c e s s e v e r a lm e t h o d sa r ep u tf o r w a r dt os t a b i l i z et h e n o n l i n e a rs y s t e m s ，i n c l u d i n gb a c k s t e p p i n gm e t h o d s ，h a m i l t o n i a nm e t h o d sa n dc o o r d i n a t e d p a s s i v a t i o n a tl a s t ，o u rd e s i g n sa r ea p p l i e dt om o d e l so fp o w e r s y s t e m s ，s i m u l a t i o n ss h o w t h ee r i e c t i v e n e s so fo u rc o n t r o l l e r s i no u rt h e s i s ，c o n t e n t sa r eo r g a n i z e da sf o l l o w s i nc h a p t e ro n e ，f i r s tw er e v i e wt h es t a g eo fc o n t r o lt h e o r y t h e nt h ev i t a l i t ya n d g r o w t ho fn o n l i n e a rc o n t r o l a r ei n t r o d u c e d t h eb a s i cn o n l i n e a rs t a b i l i t yc o n c e p ls l y a p u n o v ss t a b i l i t yt h e o r e m ，l a s a l l e st h e o r e m ，a b s o l u t es t a b i l i t y ，d i s s i p a t i v i t y ， p a s s i v i t ya n ds m a l lg a i nt h e o r e m ，i n p u t t o s t a t es t a b i l i t y ( i s s ) ，s t a b i l i t y ，n o n l i n e a r r e l a t i v ed e g r e ea n dz e r od y n a m i c s a r ep r e s e n t e dh e r e s e v e r a ln o n l i n e a rd e s i g n p r o c e d u r e s ，i n c l u d i n gf e e d b a c kl i n e a r i z a t i o nm e t h o d ，s l i d i n gm o d ec o n t r o l ，h i g h g a i n o b s e r v e r s ，f e e d b a c kp a s s i v a t i o nd e s i g n s ，b a z k s t e p p i n g ，ar e c u r s i v ed e s i g nf o rs y s t e m s w i t hn o n l i n e a r i t i e sn o tc o n s t r a i n e db yl i n e a rb o u n d s ，a n df o r w a r d i n g ，a p p l i c a b l et o f e e d f o r w a r ds y s t e m s a r eh i g h l i g h t e d a tt h eb e g i n n i n go fc h a p t e rt w o ，t h ei n t e g r a t o rb a c k s t e p p i n gp r o c e d u r ei si l l u s t r a t e d o nas i n g l ei n p u ts y s t e m t h e n ，i ti se x t e n d e dt od e s i g nr o b u s tc o n t r o l l e r st od e a lw i t h m o d e l u n c e r t a i n t y ，w h i c hi su n n e c e s s a r y t os a t i s f yt h em a t c h i n gc o n d i t i o nt h i ss e ( ti o n i sc o n c l u d e d b yn o t i n gt h a tb a c k s t e p p i n g c a nb e a p p l i e dt om u l t i i n p u ts y s t e m si nw h a t i sk n o w na sb l o c kb a c k s t e p p i n g l y a p u n o vr e d e s i g no fn e x ts e c t i o nu s e sal y a p u n o v f u n c t i o no fan o m i n a ls y s t e mt od e s i g na na d d i t i o n a lc o n t r o lc o m p o n e n tt h a tm a k e s t h ed e s i g nr o b u s tt ol a r g em a t c h e du n c e r t a i n t i e s w es h o wh o w l y a p u n o vr e d e s i g nc a l l b eu s e dt oa c h i e v es t a b i l i z a t i o n ，a n di n t r o d u c en o n l i n e rd a m p i n g at e c h n i q u et h a t g u a r a n t e e sb o u n d e d n e s so ft r a j e c t o r i e se v e uw h e n n ou p p e rb o u n do i lt h eu n c e l 、t a i n t 3 i sk n o w n i nc h a p t e rt h r e e ，w eo u t l i n ed i s s i p a t i v es y s t e mt h e o r ya n dh a m i l t o n i a ne n e r g yt h e o d , d i s s i p a t i v i t yc o m e sf r o md y n a m i c s tw h i c hs t u d i e st h ec h a n g eo ft h es y s t e m se n e r g y a n d g i v e ss p e c i a li n f o r m a t i o n t oh e l pc o n s t r u c tl y a p u n o vf u n c t i o n h a m i l t o n i a n e n e r g y t h e o r yi s e x t e n d e dt on o n l i n e a rs y s t e m s ，m o r e o v e r ，g e n e r a l i z e dh a m i l t o n i a ns y s t e m a n dp o r t c o n t r o l l e dh a m i l t o n i a ns y s t e m sa r ep r e s e n t e d t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa n d t h ep r o c e d u r eo fh a m i l t o n i a nr e a l i z a t i o nf o rg e n e r a ln o n l i n e a rs y s t e m sa r eg i v e nh e r e f o rt h ef o r c e dp o r t c o n t r o l l e dh a m i l t o n i a ns y s t e m s ，an o n l i n e a rs t a b i l i z i n gc o n t r o l l e r d e s i g nm e t h o di sp r o p o s e da tt h ee n do ft h i sc h a p t e r c h e n h u a n u s t c e d u第i i i 页，共8 0 页中国科学技术大学硕士学位论文 英文摘要 p a s s i v i t yi sb r i e f l yd e s c r i b e di nc h a p t e rf o u r p a s s i v i t yp r o v i d e su sw i t hau s e f u lt o o l f o rt h ea n a l y s i so fn o n l i n e a rs y s t e m s 、w h i c hr e l a t e sn i c e l yt ol y a p u n o va n ( 1c 2s ta b i t i t y w es t a r tb yd e f i n i n gp a s s i v i t yo fm e m o r y l e s sn o n l i n e a r i t i e s ，a n dt h e ne x t e n d t h ed e f i n i t i o nt od y n a m i c a ls y s t e m s ，r e p r e s e n t e db ys t a t em o d e l si nn e x ts e c t i o n ti l ec o n n e c t i o nb e t w e e np a s s i v i t ya n db o t hl y a p u n o va n dc 2s t a b i l i t yi se s t a b l i s h e d t h e s es e c t i o n sa b o v ep r e p a r eu st oa d d r e s st h ep a s s i v i t yt h e o r e m ，w h i c hs t a t e st h a t t h ef e e d b a c kc o n n e c t i o no ft w op a s s i v es y s t e m si sp a s s i v e u n d e ra d d i t i o n a lo b s e r v a b i l i t yc o n d i t i o n s ，t h ef e e d b a c kc o n n e c t i o ni s a l s oa s y m p t o t i c a l l ys t a b l eh o w e v e r t h ec o n d i t i o n su n d e rw h i c has y s t e mc a nb em a d ep a s s i v ea r er e s t r i c t i v e ，e s p e c i a l l y f o rm i m o s y r s t e m s ：t h ev e c t o rr e l a t i v ed e g r e em u s te x i s ta n db ez e r oo ro n ea n dt h e z e r od y n a m i c sm u s tb es t a b l e ( w e a km i n i m u mp h a s e ) al e s sd e m a n d i n gc o o r d i n a t e d p a s s i v a t i o na p p r o a c hi si n t r o d u c e df o rs y s t e m sw i t ht w oo rm o r ei n p u t s f i r s t a n i n p u to u t p u tp a i ri sc h o s e nf o rw h i c ht h er e l a t i v ed e g r e ei so n e ( o rz e r o ) t h e ntl l e s t a b i l i z a t i o no fi t sz e r od y n a m i c si sp u r s u e du s i n gt h er e m a i n i n gi n p u t ( o ri n p u t s ) f i - n a l l y ，w h e ns a t i s f a c t o r yz e r od y n a m i c sb e h a v i o ri sa c h i e v e d ，t h ed e s i g np r o c e e d sw i t h f e e d b a c kp a s s i v a t i o no ft h ec h o s e ni n p u t o u t p u tp a i r i nc h a p t e rf i v e ，s e v e r a ln o n l i n e a rc o n t r o ld e s i g n sa r ea p p l i e dt op o w e r s y s t e m s f i r s tt h e n o n l i n e a rd y n a m i cm o d e l so fs y n c h r o n o u sm a c h i n e si n c l u d i n ge x c i t e dc o n t r o l 、d u a l e x c i t e dc o n t r o l 、w a t e rg a t ec o n t r o la n d s t e a m v a l v i n g c o n t r o la r ep r e s e n t e d n o n l i n e a r a d a p t i v ec o n t r o l l e r sb a s e do nb a c k s t e p p i n ga n d d i s t u r b a n c ea t t e n u a t i o nt e c h n i q u e sa r e p r o p o s e df o rb o t he x i t e da n dd u a l e x c i t e ds y n c h r o n o u sg e n e r a t o r s ，t h er o b u s tr e g u l a t i o no fr o t o rs y n c h r o n yc a nb ea c h i e v e di nt h ep r e s e n c eo fu n k n o w np a r a n l e t e r s a n db o u n d e d e x o g e n o u sd i s t u r b a n c e s b a s e do nh a m i l t o n i a ne n e r g yt h e o r y , t h ew a t e r g a t ea n de x c i t a t i o nc o n t r o lf o rh y d r o t u r b i n eg e n e r a t o ra r ep r o p o s e dt om a k e r o t o ra n g l ea n dv o l t a g es t a b l e b yh a m i l t o n i a ne n e r g yd e s i g nt e c h n i q u e s ，t h es y s t e mw i t h o u t d i s t u r b a n c ei s a s y m p t o t i c a l l ys t a b l e ，a n dt h ef i n i t eg a i nc 2s t a b l ei so b t a i n e dw h e n t h e r ei sd i s t u r b a n c ei nt h es y s t e m w i t hc o o r d i n a t e dp a s s i v a t i o nt e c h n i q u e s ，t h ed u a l e x c i t e da n d s t e a m v a l v i n g c o n t r o lf o rs y n c h r o n o u sg e n e r a t o r si sp r o p o s e dt om a k er o t o r a n g l ea n dv o l t a g es t a b l e s t e a m v a l v i n gc o n t r o l l e ri sd e s i g n e db yb a c k s t e p p i n gt e ( 、h n i q u e s 、w h e r e a sd u a l e x c i t e dc o n t r o l l e ri sa c h i e v e db a s e do nc o o r d i n a t e dp a s s i v a t i o n t h ep a s s i v i t y b a s e dc o n t r o lc a nb eo b t a i n e dt oe n s u r et h a tt h ec l o s e d l o o ps y s t e mi s a s y m p t o t i c a l l ys t a b l e s i m u l a t i o n ss h o wt h ee f f o c t i v e n e s so fo u re o n t r o id e s i g n s i nt h ee n d ，w ec o n c l u d eo l l rw o r ka n db r i n gf o r w a r ds o m eo p e np r o b l e m s k e yw o r d s ：n o n l i n e a rs y s t e m s ，r o b u s tc o n t r o l ，b a c k s t e p p i n gm e t h o d ，h a m i l t o n i a ne n e r g y t h e o r y ，c o o r d i n a t e dp a s s i v a t i o n ，p o w e rs y s t e m s ，e x c i t a t i o nc o n t r o l ，s t e a mv a l v ec o n t r o l c h e n h u a n u s t ce d u 第i v 页，共8 0 页中国科学技术大学硕士学位论文 第一章非线性控制理论简介 第一章非线性控制理论简介 1 1 控制理论简介 控制是用施加某种特定输入的方法，改造所涉及的各种动力学系统的性能，使其 最大限度地满足特定需要的理论和技术的总称控制技术的进步总是紧紧依赖于控 制理论的发展 1 11 古典控制理论 控制理论最初是称之为古典控制理论的复数域或频域的控制理论，这种复数域 的控制理论体系大体上由建立数学模型的理论、响应分析、稳定性分析与综合校 正等四部分内容组成对于如下常系数线性常微分方程所描述的n 阶单输入单输出 线性定常系统 。掣q - a n - 1 面d ( n - 1 可) y ( t ) + m 掣+ n 0 绯) 岫紫一- b r - 1 掣卜+ 6 掣+ 6 州 ) 其中u ( ) 为输入量或控制量，掣( t ) 为输出量将式( 1 1 ) 等号两端进行l a p l a c e 变换，当 初始条件为零时有 ( a n s “+ n n 一1 s ”一1 + - + a l s + a o ) y ( s ) = ( 坼s + b r - 1 8 7 1 + + 6 1 s + b o ) u ( s ) ( 1 - 2 ) 若将系统输出量l a p l a c e 变换与输入量l a p l a c e 变换在初始条件为零的条件下之比定 义为系统的传递函数g ( 5 ) ，那么由( 1 - 2 ) 式可得系统( 1 1 ) 的传递函数为 g = 础= 等等幕 书瓮 s ， 式( 1 3 ) 所表示的这种s 多项式之比的形式是传递函数的一般形式，也是古典控制理 论中的数学模型的基本形式 古典理论主要是用传递函数的方法来描述系统，最大特点是将以时间t 为自变量 的高阶微分方程的求解问题转化为关于复变量s 的多项式代数问题，因此所运用的 数学工具主要为l a p l a c e 变换和多项式代数由于传递函数是由常系数线性常微分方 程组经过l a p l a c e 变换而得，所以也只能描述线性定常的控制系统而且由于传递函 数所确定的只是输出量与输入量l a p l a c e 变换之比，主要适用与单控制量单输出量系 统，它只是从系统输出量与输入量之间的关系去研究系统，因此难以揭示系统内部 的动态行为 112 现代控制理论 6 0 年代以来，随着工程控制系统规模及复杂程度的增大以及对控制精确程度和 对系统动态品质要求的不断提高，生产和科学技术的发展，迫切要求发展一种能很 好适用于多输入多输出动态系统新的控制理论与综合方法另一方面电子计算机技 术获得迅猛发展，为复杂的大规模的数值分析提供了技术条件这些都成为现在称 c h e n h u a n u s t c e d u 第1 页，共8 0 页中国科学技术大学硕士学位论文 1l 控制理论简介 之为现代控制理论的线性多变量控制系统理论发展的背景与条件，这种体系的理论， 自6 0 年代初开始获得迅速发展，当今在国际上获得了广泛的应用 现代控制理论最主要的特征，就是状态空问的建模理论与线性代数的数学 方法相结合状态空间建模时首先将能够唯一确定系统动力学行为的最少 组变量z i ( ) ，z 2 ( ) ，。定义为系统的一组状态变量集合或状态向量x ( t ) = x l ( f ) ，。2 ( t ) ，z 。( t ) n 以每一个状态变量翰( ) ，i = 1 ，2 ，n 为轴所形成的n 维欧氏 空间r n 定义为状态空间、这样，系统的每一个确定的状态是以状态空间中一个确定 的点来表示的，系统从某一初始状态开始的一个动态过程是以状态空间中起始于该 初始点的一条轨线来描述的 一个n 阶线性动态系统可以用一个n 阶的线性常微分方程加以描述，对于线性定 常系统，可以写成以下矩阵形式 x ( t ) = a x ( t ) + b u ( t )( - 4 ) y ( t ) = c x ( t )( 1 - 5 ) 这里，x ( t ) 是n 维状态向量，y ( t ) 是m 维输出向量，u ( t ) 是r 维控制向量，a b 及c 分别被称为状态系数矩阵、控制系数矩阵和输出系数矩阵式( 1 4 ) 一( 1 5 ) 所给出的 这种标准形式称为线性动态系统的状态空间方程，或简称为状态方程在初始条 件x ( t o ) ：x o 下的状态方程的解在状态空间中是以起始于点的一条轨线来表示 的 通过采用矩阵形式的状态方程来描述线性动态系统，可以将矩阵代数中的方法 拿来处理线性系统中的各种问题，如可控性问题、动态品质问题、稳定性问题、参 数辨识问题以及综合校正问题等因此状态空间描述方法与线性代数理论相结合， 就形成了一整套线性多变量控制系统的理论体系而且后来还发展成熟了线性最优 控制，建立了一套最优控制设计方法和理论，使得所求得的控制律能保证系统性能 指标能达到最优，并获得了广泛应用同时对于参数可能在较大范围内变化的线性 系统、最优控制方法与线性系统参数辨识相结合，可得到自适应的控制系统 1 1 3 非线性控制理论 线性系统不仅在理论上已经逐步完善，也已经成功地应用于各种工业控制问题 随着现代工业对控制系统性能要求的不断提高，传统的线性反馈控制已经很难满足 各种实际需求我们知道，大多数工程控制系统本质上都是非线性的，线性是在一定 的范围内和一定的程度上对系统的近似描述由于以前对控制系统的精度和性能要 求较低，有一部分系统可以在基本满足工程需要的条件下将其在某一平衡点处加以 近似线性化，然后应用线性系统控制理论来设计控制方案 控制理论发展到现在，面临着一系列的挑战最明显的就是对象的本质非线性， 而且近代控制对象的运动是大范围的，例如卫星的定位与姿态控制，机器人控制，电 力系统及精密数控机床的运动控制等，这些都不可能采用线性模型而且线性系统 的动态特性已不足以解释许多常见的非线性现象 有许多非线性现象是无法用线性系统理论来刻画的 有限逃逸时间不稳定的线性系统的状态可能会在时间趋于无穷的时候也 随之趋向无穷大，但是非线性系统的状态，可能会在有限的时间内就趋向于无穷大 c h e n h u a n u s t c e d u 第2 页，共8 0 页中国科学技术大学硕士学位论文 第一章非线性控制理论简介 多个孤立平衡点一个线性系统只会有一个孤立的平衡点，也就是说系统只 会有一个孤立的和初始状态无关的稳定工作点但是非线性系统可能会有多个孤立 的平衡点，根据不同的初始条件，系统的状态可能会被不同的孤立平衡点所吸引很 多的实际系统都存在多个孤立的平衡点，例如二进制逻辑电路中至少有两种稳定状 态化学反应动力学允许有多个平衡点等等，因此采用传统的线性模型是无法来描 述这些系统的 极限环对于一个线性时不变系统，当其在虚轴上有一对特征值的话，系统 将有一个连续的周期解此时若系统中出现小的参数扰动将引起特征值的实部不为 零而使周期解不复存在因此，线性系统中参数的微小变化都将会破坏周期解的存 在，引起系统的振荡，而且系统振荡的幅值还会和初始条件有关所以说有周期解的 线性时不变系统对参数的变化不具有鲁棒性实际上，稳定的振荡都是由非线性系 统产生的，而且这些振荡的振幅和频率和系统的初始状态无关，这类稳定的振荡被 称之为极限环例如v a nd e rp o l 方程所描述的具有稳定极限环的系统 分频谐波，谐波，或殆周期振荡一个稳定的线性系统在周期输入的驱动下 会产生一个同样频率的输出一个非线性系统在周期输入的激励下会以输入频率的 因数或者倍数的频率振荡，有时甚至可能会产生一个殆周期振荡 混沌一个非线性系统可能有一个非常复杂的稳定状态行为，既不是平衡点 也不是周期振荡或者殆周期振荡这种行为被称作混沌，也就是说一个确定的非线 性系统，在一定条件下，其状态会呈现出类似随机的复杂现象，或者说一个描述非线 性动态系统的确定的状态方程的解，在一定条件下呈现随机性混沌状态的一个最 基本的特征就是系统的状态轨线对于初始状态极端的敏感 多模式行为同样的非线性系统可能会表现出多样的行为一个没有输入的 系统可能会有不只一个极限环一个非线性系统在不同频率和幅值的输入激励下可 能会出现谐波振荡，分频谐波振荡或者更复杂的稳定状态行为，甚至在激励输入的 幅值或频率平滑变化时，系统可能会出现不连续的跳跃行为， 近几十年来非线性控伟l j 1 6 1 已经成为控制领域的热点话题，受到了国内外控制界 的普遍重视同时，计算机以及传感器技术的飞速发展，也为我们实现各种复杂非线 性控制算法奠定了硬件基础很多的专家和学者都把精力投入到该方向中来，同时 也出现了一大批相关的文献和书籍来记录这一段时间以来的进展情况，一魃新的非 线性系统的关于稳定性、最优性以及不确定性等概念也被相继提出来描述非线性 系统中不断遇到的各种新情况，同时针对一些有着某些特性的系统，也有很多新的 结构性的控制器设计方案被提出来稳定整个系统非线性控制理论正在不断发展与 完善中，它的应用前景也是非常广阔的但是总的来说，由于非线性控制系统本身所 包含的现象十分复杂，非线性控制系统的分析与综合问题要比线性系统困难和复杂 的多，许多出现的具体方法都有其局限性，不能成为分析和设计非线性控制系统的 通用方法，非线性控制系统理论的研究中还有许多问题有待于进一步探讨 c h e n h u a n u s t c ，e d u 第3 页，共8 0 页中国科学技术大学硕士学位论文 12 非线性系统稳定性 1 2 非线性系统稳定性 1 21 l y a p u n o v 稳定性理论 非线性控制领域中最重要的一个概念就是有关稳定性的概念，这也是我们在设 计系统时最关心的问题之一1 9 世纪末，俄罗斯的天才数学家和工程o o l y a p u n o v 提出 了运动稳定性问题的一般理论和方法，对动态系统的稳定性研究产生了深远的影响 2 0 世纪5 0 年代以来l a s a l l e 等数学家又将l y a p u n o v 稳定性理论推广到一般动力学系统 提出了逆定理以及不变集定理，为我们解决非线性系统的稳定性和渐近特性提供了 更有力的分析工具 我们首先来介绍一下对于自治系统稳定性的一般概念考虑如下自治系统 圣= ，( 。)( 1 - 6 ) 这里f ：d 一舻是从dc _ r n 到r n 的局部l i p s c h i t z 映射，我们假定孟d 是系统( 1 6 ) 的一个平衡点，也就是，( 牙) = 0 我们的目标是来考察一下平衡点孟的稳定性，通 常为了方便而且不失一般性我们考虑的是系统的平衡点在兄n 的原点时的情况假 如i 0 ，考虑如下状态变换y = z 一雪，因此p 的微分如下 寸= 圣= ，( 茁) = f ( y - 4 - 牙) 垒9 ( ，g ( 0 ) = 0( 1 - 7 ) 对于新的变量，系统的平衡点在原点因此，不失一般性，我们以后都将假定，( z ) 满 足f ( o ) = 0 ，来考虑原点z = 0 的稳定性 定义1 l系统( 1 6 ) 的平衡点x = 0 是 稳定的，如果对任意e 0 ，有d = d ( e ) 0 ，使得 f | x ( o ) f | 6 号i x ( t ) l i 0 使 得球马= z r n | z i | r ) 包含在d 中，定义u = f z b ，l 矿( z ) o ) ，假定在u 中矿( z ) 0 ，那么z = 0 是不稳定的 l y a p u n o v 稳定性理论是分析和研究非线性控制系统稳定性的经典理论，迄今仍 然被大家广泛采用l y a p u n o v 理论的核心是构造一个l y a p u n o v 函数，学者们已经提 出了一些构造l y a p u n o v 函数的方法：k r a s o v s k i i 法、变量梯度法等，但每种方法都有 其一定的针对性，还没有个能适用于各种情况的统一构造方法、l y a p u n o v t j 。法还 可以用来综合渐近稳定系统 12 2 不变集定理 如果有一个包含原点的域，在该域内，我们可以找到一个l y a p u n o v 函数，其沿 着系统轨迹的微分为负定的，并且如果除了原点以外，系统的轨迹不会一直停在 满足矿：0 的其余点处，那么原点是渐近稳定的这个思想是从l a s a l l e 不变集定 理 i 4 1 中得来得为了介绍l a s a l l e 不变集定理，我们首先介绍一些新的概念假定：r ( f ) 是f i 一6 ) 的一个解点p 被称为是z ( t ) 的正极限点，如果存在一个序列f 。 当，7 一。 时有t 。一o 。，并且满足当札一0 ( 3 时有。( “) 一p x ( t ) 的所有正极限点的集台称) t j x ( t ) 的正不变集集合m 称为( 】一6 ) 的不变集，如果有 x ( o ) m 辛x ( t ) m ，v t r 也就是说，如果在某个时刻解在集合m 中，那么在所有过去和将来的时刻，解一直都 在集合m 中集合m 称为( 1 - 6 ) 的正不变集，如果有 x ( o ) m x ( t ) m ，v t 芝0 我们称当t 趋于无穷时z ( f ) 逼近集合m ，如果对每一个e 0 都有个t 0 使得 d i s t ( x ( t ) ，m 1 t 其中d i s t ( p ，m ) 表示从点p 到集合肘的距离，也就是说，从点p 到集合m 中任意的点 的距离最小值准确点说，就是 出豇( p ，m ) 3 岛怕一z l | 渐近稳定的平衡点就是每一个从充分靠近平衡点处出发的解的正极限集稳定的极 限环就是每一个从充分靠近极限环处出发的解的正极限集当t o 。时解将逼近极 限环但是，解不逼近极限环的任何一个特定的点，也就是说，当t o o 时z ( t ) 逼近m 并不意味着l i m t 。x ( t ) 存在因此平衡点和极限环都是不变集 下面的引理给出了极限集的一个基本的性质 引理1 1 如果( 1 6 ) 的解z ( t ) 有界， 集l + 是一个非空、紧致的不变集此外 并且当t 兰0 时属于域d ，那么它的正极限 当t 一时z ( t ) 将逼近工+ c h e n h u a n u s t c e d u 第5 页，共8 0 页中国科学技术大学硕士学位论文 下面我们给出l a s a l l e 不变集定理 定理14假定qcd 是紧集，并且是f l 一6 ) 的正不变集假设y ：d 。月为一 连续可微函数，并且在d 中有v ( x ) 0 e 为n 中满, 2 v ( x ) = 0 的所有点组成的集 合假定m 是e 中最大的不变集那么每一个从n 出发的解当t o 。时都逼近m 假定z ( t ) 是( 1 一( ；) 从q 中出发的解既然在n 中有矿( z ) 0 ，y 知( t ) ) 是t 的非增 函数又因为y ( x ) 在紧集n 上是连续的，因此在n 上有下界因此，当t o 。时有 极限n 因为n 是闭集，所以正极限集c + 也在q 中对任意点p + ，存在序列。 当n 一( ) 。时有t 。一o 。和z ( “) 一p 根据矿( z ) 的连续性有 v ( p ) = j i 婴y ( z ( t 。) ) = o n o o 、7 因此，在l + 上时有y ( x ) = a 根据引理( 1 1 ) p 时一个不变集，在工+ 上有矿( z ) =