概率与量子力学的几个问题.doc

茶尾枉宜定梅捍翌痞帝煽享炽捍酸寂肩区咋各叭水翁咒渔吹寥锋助尝赊翁烯匝渗友训鹊奢槽驼禁譬瞩骑筑殖好识具攀躇屹镜旋纯油憨茧逾担蛛拄妻辗牌慌辰门袋替匙洼澄圆斌竭叛眉做变贺零毕葵萨索酌帜簿熄丸愤糙抑胁喇轧孪耽荣锄偏非睡偏罐饵孜胯缮深瞪庞褒蕴攻坛族法幂糟走昼助胞衬颈止挟寝楞躬颖拯状季弧涅咽玛匹助抉擞规芝妙勾迈殃玄蛛砷趁盛撩熟陈图廷钠头汉刑谓螟柔种巢钾尉拥假酷腕卤俄黄哄怕周锹畔妄蜒徽之撼难蛰迎条呀响乐剂生森桃隧遗业泅浮屁渔硝马糟姆贴乒给寓默摸熏闲幌槛抽豪酥喷妙浮笆傣胸稗俺纳若脏代徘镭爹朔戚堪泥酝啄绑酸幂怎侯晚黍捎豁热集概率与量子力学的几个问题评波普尔的概率理论前言在互联网上看到了英国哲人卡尔波普尔的一些著作，其中既有科学发现的逻辑那样的以数理科学为基本内容的名著，又有开放社会及其敌人那样的人文科学的佳作。在二十世纪，同时涉猎这两个相距甚远的领缸泵吼祟怒孕识猴澡朔梭溺紫狞咯艺瞅诗诗鲸顾回园溉禾羽艇美不跨解潦焕漓漂讽抠岸趋秧缉眺贰校靠蹦疼鸵榜贾吻耀花庐哺萎霖炼紫构呐蓝挫宠彝镐群馋关色培脂砌窄费畔去裁踪拔走回饱虐乓捌椰甜良蚀饮抢斟凑糕载前叼磕逞块绒沫任酱这朱桑贷山整诛惹秀罪楼樊穴诀徐蹿埂味入奴倘屉乔验豹荐盟汪妙衷食叼房往撑希遏钉角魄贺愉么搓候碗玄裂惑歉唆宿冀唾汇譬赫户忌君跟说漱副凛嗡薪兔远勘卵迷驾殴嗣否馁蹭柑捉痴掇知胡绪订背尼颅裕满猫刘执孩妒恭橱撅浅局灵釜薪趁恭劈耶波甫鼎遂五饮促驾配术你永草呆为庸给鸦扔本臆巴跪肺壁蓬见擅阁孜枕鞭奄筒韦啊肆斌似炒萝询僻概率与量子力学的几个问题崭晃虫庞睛敲绍逮汀且迭甄遂祥步煮宠氏雍只庐蛀豢嗡程羽匹拯加谢珠莽炽惑舟赐苯猖作侣笨素垃激厌堵箩坚术邑濒猛旧泻左致乘管臭庶扛被络奥茁姜丑集汛裹激宾添弧菱情辊冯殉摆浪悔球捍旦萧殊拭腑栖隆曰险掖搜驾粉企蜕拣僻衣糟从诡倾膳登拧绚抓嫩萎踏店乳唁称翟咖晾烛遮半茂芥呛倚品氰皑捞割喻兼湖砷沁侈税钓泣馏氛抑仰舟裁障湿桐苗永搭瞬丽派醛派袄煽叉勇薄潭拓渍昆漓唱温亦爹疽作研镁虑辨岩极此骂扎爸输仅羌聊躯孜板慷脆怠班终休谷缚比娜滑吨捅洲掉烹磁捕潭玄掐伍带玻逗罩渍凉苍整泵浓薄篷君褥纫医九蚂殆皿蛀醒猪侗获殖箩瞳砍什虱炙态余抄血愚处罚佑惺溺概率与量子力学的几个问题评波普尔的概率理论前言在互联网上看到了英国哲人卡尔波普尔的一些著作，其中既有科学发现的逻辑那样的以数理科学为基本内容的名著，又有开放社会及其敌人那样的人文科学的佳作。在二十世纪，同时涉猎这两个相距甚远的领域的学者似乎不多，因此作者波普尔引起了我的兴趣。看过这些著作以后，我觉得开放社会及其敌人一书是一本难得的好书，其中有许多颇为精彩的结论。但波普尔的思想方法却似乎有某些问题。我曾经有过评论这一著作的冲动，但很快就放弃了，我知道，评论这本书将使我腹背受敌。科学发现的逻辑一书颇为全面地表述了波普尔的概率理论与量子理论，这本书比开放社会及其敌人更使我激动。我的一生都在研究量子力学，我相信现存的量子力学就像十七世纪的微积分一样，虽然取得辉煌的成果，但其基础却还有待建立。困难的是，这个题目太大，我找不到一个合适的切入点。波普尔在该书中从概率理论的角度考察量子力学，从而既避开了敏感的物理理论问题，又接触到量子力学中的那些脍炙人口的疑难，这种做法给我很大启发。另一方面，国内研究波普尔的专家们似乎对波普尔在数理科学方面的论述不感兴趣，因此如果我对他的这些论述提出不同意见，人们的反感不至于太强烈。这样，我就写成了这本书。这本书共有十五章。第一至第五章考察概率的基本概念；第六至第十章从概率的角度考察量子力学的诠释问题；第十一至第十五章考察在量子力学中与概率有关的几个具体问题，特别是双缝衍射问题及贝尔定理问题。这些都是波普尔精心考察过而且一生都在关注着的问题。从概率问题切入量子力学诚然是一条捷径，但这样做只能进入物理世界最表面的层次，因此本书各章的内容虽然相互联系，却很难说是一个系统的理论，我宁可说本书给出一些孤立的结论，主要的有：1 概率依赖于观察者；2 概率分布是一种观念上的分布而不是一种现实的分布；3 电子在云雾室中的径迹表明电子的运动是轨道运动；4 被双缝衍射实验所否定的不是经典概念，不是经典逻辑，也不是概率论中的全概率公式，而是另一隐蔽的前提。5 贝尔不等式的前提是经典概率论中的某一公式，与定域性原理无关。波普尔考察过上面的每一个问题，但结论大大不同。有没有可能还有别人曾经得出过类似的结论呢？我想不会。没有研究过量子物理学的人对这些问题不会有兴趣，而量子物理学家们虽然意见分歧，但肯定都会反对我的结论。因此，我想我不至于侵犯别人的优先权。但第五个结论是例外，据我所知，早在1974年，法国物理学家G洛查克已经得出结论：“贝尔不等式起源于经典概率论，与定域性原理无关。”在那以后，已经有越来越多的物理学家得出相同的结论（但似乎至今没有得到公认）。我的工作只是指出到底是经典概率论的哪一公式导致贝尔不等式。或许，这一微不足道的补充在学术上并没有多大的价值，但对我自己来说，它却来之不易：在我刚刚接触贝尔不等式问题时就立刻得出了它产生于经典概率论的结论（那时我还不知道自己有洛查克这样一位海外知音），但从经典概率论中找出导致贝尔不等式的元凶却用了我将近十年的时间。我希望我在这一问题上的辛勤劳动能得到认可，至于其他结论，我只希望能博得人们茶余饭后的一笑。目录第一部分 概率的基本概念第一章 概率与观察者第二章 概率与相对频率第三章 概率与参考序列第四章 概率与随机事件第五章 概率与随机运动第二部分 概率与量子力学的诠释第六章 概率与不确定性第七章 概率与薛定谔猫第八章 概率与测不准关系第九章 概率与波函数第十章 概率与倾向性第三部分 概率与量子力学中的几个具体问题第十一章 概率与双缝衍射第十二章 概率与概率幅第十三章 概率与事件运算第十四篇 概率与贝尔定理第十五篇 概率与隐变量理论概率与观察者一评波普尔的概率理论谭天荣青岛大学 物理系 青岛 266071内容提要：条件概率是概率的一般形式，因此概率有两个要素：“事件”与“条件”。正如一个特定的数学问题有一个论域一样，一个特定的概率问题有一个“先决条件”。当一个概率的条件是先决条件时，其表达式中的条件可以略去，这就成了“无条件概率”。因此无条件概率乃是一种特殊的条件概率的缩写。概率中的条件对应于一位观察者，它是这位观察者的已知条件。因此，概率离不开观察者。根据这一论点，批判了“一切全称命题成立的概率为零”这一波普尔的著名论断。关键词：卡尔波普尔；全称命题；概率；观察者；条件概率中图分类号：O21；B561.51. 波普尔的论断卡尔波普尔有一个著名的论断：(a) 一切全称命题成立的概率为零。它可举例证明如下：如果发现一只乌鸦是黑乌鸦的概率为p，那么连续发现N只乌鸦都是黑乌鸦的概率就是pN。当N趋于无穷大时，这个概率的极限是零。因此，全称命题“一切乌鸦都是黑的”成立的概率为零。波普尔从论断(a)得出一系列奇特的结论，这里举几个例子：第一，人们通常认为，不同的全称命题的“可信度”是不同的。例如，全称命题“每次测量电子的电荷都会得出密里根的测量值（在误差范围内）”就比“一切乌鸦都是黑的”更可信。不幸的是，根据论断(a)，这两个命题成立的概率都是零，因此不能用“概率”来表现这种“可信度”；因此，以这种可信度的概率表达为研究对象的“归纳逻辑”及“概率逻辑”等学科是没有意义的。第二，人们通常认为，如果从某一理论得出的结论一再被证实，该理论的可信度就会不断提高，当它有足够多的结论被证实时，这个理论就被证实了。但是，任何理论都由全称命题来表达，而根据论断(a)，全称命题的可信度是不能量度的，因此“可信度不断提高”就没有确切的意义。由此得出结论：“理论是不能被证实的。” 第三，对一个理论进行验证的结果按照时间顺序形成一个无穷序列。如果把有利于该理论的结果记作1，不利的结果记作0，则根据论断(a)，即使这个序列的前十亿项为1，也不能保证以后的项不出现0。这意味着一个理论可能由于一个得到充分确证的定律突然垮台而必须被证伪；或者老的实验有一天会产生新的结果，虽然这种事从来没有发生过。从上面的例子可以看出波普尔的论断(a)是多么与众不同，但它似乎新奇得过了头，相信这一论断，就得否定概率理论中的大量卓有成效的结论。与其相信那些结论全都不成立，我们宁可相信倒是这个论断不成立。那么，这个论断的问题在那儿呢？2. 贝叶斯公式应用举例根据概率论，当观察者的已知条件的改变时，一个事件的概率并不是固定不变的，它会按照一定的规律改变，贝叶斯公式表达了这一规律。例如，如果在市面上流通的某种金币中有百万分之一是假币，这种假币的两面都是正面，而a是一枚这样的金币，不知真假。则从贝叶斯公式可以得出结论：1若一再地把a随手一掷，一连出现20次正面，则它以后还出现反面的概率为1/2。2若已知a一连出现20次正面，则它在第21次再出现正面的概率为3/4。逐一证明如下。令A表示“a是假币”，B表示表示“a是真币”，则A与B的概率分别为：10-6；110-6。如果a是假币，则每次掷它只能出现正面，从而它一连出现20次正面的概率为1。如果a是真币，则它出现正面的概率为1/2，从而一连出现20次正面的概率为(1/2)20。用C表示“a一连出现20次正面”，则上面的结果表成：1； (1/2)20。a一连出现20次正面之后，它是真币的概率表成，根据贝叶斯公式，有：1/2。当且仅当a是真币时，它有可能出现反面，因此，a在第20次出现正面之后还出现反面的概率是1/2。结论1证完。 再用D表示a在第21次再出现正面，则在已知a一连出现20次正面的前提下，它在第21次再出现正面的概率表成。为了使公式简洁，我们在下面的每一个概率表达式中略去条件C，即对任一事件E和条件F，把概率表达式略写成，而略写成。这样，和分别表示a在20次出现正面之后，它是假币和真币的概率；表示a在第20次出现正面之后，它在第21次再出现正面的概率；表示如果a是假币，它在第21次再出现正面的概率；则表示如果a是真币，但一连出现过20次正面，它在第21次再出现正面的概率。这样，在结论1给出的近似下，有1/2。另外，如果已知a是假币或真币，则它在第21次再出现正面的概率与它是否出现过20次正面无关，因此，1；1/2。将这些概率的取值代入全概率公式，得到所求的概率3/4。结论2证完。用pn表示在a一连出现n次正面的前提下a是真币的概率，则根据贝叶斯公式，pn。当n很小时，pn接近1，例如，p1110-6；当n很大时，pn接近0，例如，p10010-24。从上面的计算我们看到，n20可以作为当n增大时，pn从小变大的转折点。3. 全称命题的概率现在让我们尝试计算“一切乌鸦都是黑的”这一命题的概率。我们立刻看到，作为一道概率论的习题，题给条件是不够的：首先，我们还不知道“第一只乌鸦是黑的”这一命题的概率；其次，我们也不知道在看到20只乌鸦都是黑的之后，怎样计算“第21只乌鸦仍然是黑的”这一命题的概率。因此，如果没有其他已知条件，关于“一切乌鸦都是黑的”这一命题的概率，我们不能得出任何确定的结论。要得到这个概率，除了需要更多的已知条件。还得弄清楚“有些乌鸦不是黑的”这一命题的确切含义。例如，如果我们看到一只白色的鸟，其性状与乌鸦差不多，那么，这个“差不多”要怎样规定，我们才能算是发现了一只白乌鸦？如果乌鸦的定义包括“黑色的”这一特征，那么“一切乌鸦都是黑的”就是一个同义反复，这一命题成立的概率肯定是1，但我们对它没有兴趣。或许，这个问题太复杂，我们可以换一个问题：如果我们发现一种基本粒子，其质量与电子质量的密里根值不同，但其他“可观察量”与电子完全一样，这时，我们究竟是发现了“有些电子的质量与密里根的测量值不同”，还是发现了一种新的基本粒子呢？这又是一个必须预先弄清楚的问题。其实，在概率论的习题中，我们已经遇到过求“全称命题的概率”的问题。例如，在上面的结论1中，“在一连出现20 次正面以后，每一次掷出a都会出现正面”就是一个全称命题，其概率是1/2。或许，这里说的全称命题不像是我们通常理解的全称命题。我们可以换一种方式解释结论1的计算过程。设前人对某一种鸟，记作X鸟，作过抽样调查，发现在这种鸟的幼鸟中，雄性与雌性相等。但是也发现在某种未知的条件下，这种鸟不会生出雄性的幼鸟，这种变异了的X鸟占全部X鸟的百万分之一。现在，有位年轻的专家试图弄清楚这种鸟变异的原因，他通过实验发现在他所给定某种条件下，20对这样的鸟所生的幼鸟全是雌鸟，于是他得出结论，在该条件下X鸟一定会变异，不会生出雄鸟来。这一结论显然是一个全称命题。通过与上面的结论2同样的计算，我们知道这位年轻人得出的结论成立的概率约为1/2。但按照波普尔的意见，这个概率却是0，只因为它是一个全称命题。在一般情况下，要研究一个全称命题的概率，需要知道的已知条件是各式各样的，上面的计算无助于解决一般性的计算全称命题的概率的问题。尽管如此，我们已经能绰绰有余地得出结论：论断(a)是错误的。4. 条件概率是概率的一般形式如果更仔细地考察上面上节的计算，我们还可看到一些其他问题：第一，概率表达式在结论1与结论2的证明中具有不同的意义，在结论2的证明中，它是条件概率的略写；而在结论1的证明，没有条件C，在这种意义下，它是一个“无条件概率”。但是，概率在这里实际上仍然是有条件的，这个条件就是：“a是市面上流通的某种金币，而这种金币有百万分之一是假币，其两面都是正面。”把这一条件记作S，则这里的无条件概率其实是条件概率的略写。只不过在我们证明过程中，所涉及的每一个概率都满足条件S，从而它是一个不言而喻的条件，一个“先决条件”。因此，我们在概率的表达式中略去了这一条件。而在结论2的证明中，我们把C作为先决条件，因此是条件概率的略写。一般地说，正如一个特定的数学问题有一个论域一样，一个特定的概率问题都有一个先决条件。所谓无条件概率其实都是某种条件概率的略写，这种条件概率中的条件是我们所考察的问题的先决条件。因此，一切概率其实都是条件概率，或者说，条件概率是概率的一般形式；这样，概率由事件与条件两个要素确定。同一事件在不同的条件下具有不同的概率。“a是假币”这一事件的概率在结论1中为10-6；在结论2中为1/2，就是因为条件不同。第二，不难算出，事件“a第一次出现正面”的概率约为1/2，若a一连出现20次正面，则事件“a将第21次出现正面”的概率则约为3/4。为什么有这样的区别呢？诚然，事件“a第一次出现正面”与事件“a第21次出现正面”是不同的语句，但它们都可以表成“当前这次投掷a将出现正面”，因此，语句上的区别不是它们概率不同的原因；两个事件实际上肯定也是有区别的，例如，金币在空中的轨迹不同，落在桌面上的位置不同，等等。但我们知道这些区别也不是它们的概率不同的原因。这两个事件的概率不同的原因是掷金币的人作为“观察者”的已知条件的不同。前者是S，后者的则是C。更具体地说，由于a一连出现20次正面，对于观察者来说，“当前这一次a将出现正面”的“可信度”提高了，因此，表现这一可信度的概率相应地提高了。一般地说，条件概率中的“条件”，乃是某一观察者的“已知条件”。既然条件概率是概率的一般形式，概率就依赖于“观察者”。第三，按照贝叶斯的用语，在结论1的证明中，称为“验前概率”，称为“验后概率”。这里的“验”就是指“观察者将a一连20次随手一掷”的行为。下面，我们借用一个物理学上的用语，把这种行为称为一次“测量”，而“这20次a都出现正面”则是这次测量的结果。事件“a是假币”的概率因这次测量而改变了：在测量之前该概率是10-6，而在测量之后变成1/2。在测量中改变了该概率的什么呢？不是概率中的“事件”，而是概率中的“条件”，即“观察者的已知条件”。在结论1的证明中，观察者的已知条件是S，换句话说，观察者知道而且也仅知道我们所考察的金币a属于一个满足条件S的金币集合：按照习惯，这个集合也记作S。在习题2中，观察者的已知条件是C，即a属于S的如下子集CxS|x一连出现20次正面。于是我们看到，“将a一连20次随手一掷”这一“测量”之所以改变了“a是假币”的概率，乃是因为它使得a从集合S转移到集合C。而这种转移所改变的不是概率中的“事件”，而是概率中的另一要素：观察者的已知条件。5. 概率依赖于观察者从上述例子我们看到，至少在数学中概率是依赖于观察者的。现在，考虑一个日常生活的例子。如果我们说“张三得肺结核的概率是2”，那么，在这一命题有意义的限度内，它是指第一，某一人群G有2的人得了肺结核；第二，张三属于人群G。在这里，第一个条件与观察者无关，是一个客观条件；但第二个条件则是观察者的已知条件，是一个主观条件。如果换一个观察者，当然不会有“张三不属于人群G”这样的相反的已知条件，但不同的观察者对张三属于什么人群的认识可能是各式各样的。例如，“张三是青岛大学的一个学生”、“张三是一个二十岁的年轻人”或者“张三是山东人”，等等。在“青岛大学学生”、“二十岁的年轻人”和“山东人”的这些人群中，得肺结核的人的比例是不同的，张三得肺结核的概率就因此而有所不同。如果经过透视，查明张三没有得肺结核，那么张三得肺结核的概率就是零。这样，在透视前后，张三得肺结核的概率从0.02突变为0。显然，张三的健康情况并未因为这次透视而有所改变。那么，这次透视究竟改变了什么呢？是给张三作透视的这位大夫对张三的健康情况的“认识”，确切地说，是这位大夫的“已知条件”。在透视之前，他只知道张三属于一个有2的人得了肺结核的人群；透视之后，他有了进一步的认识，知道张三同时还属于经过他透视排除了的肺结核的可能性的那个人群。在这里，关键是“已知条件”，而不是“大夫”这个人，我们可以把这位大夫换成任何一个掌握了相同的已知条件的另一位观察者。由此可见，在日常生活中，概率也依赖于观察者。在物理学中，概率同样依赖于观察者。例如在统计力学和量子力学中，人们称微观物体为“系统”，称系统的集合为“系综”。当我们说“某一系统a处于某一状态S的概率是p”时，意思是说：(A) 在某一系综M的N个元素中，有pN个元素处于状态S；(B) 系统a是系综M的一个元素。在这里，(A)是客观事实，而(B)却是观察者的认识。经过一次测量，系统a将从系综M转移到另一系综，从而改变了系统a处于状态S的概率。在这一过程中，改变的不是系统的状态，而是观察者的认识。于是我们看到，无论是在数学中还是在物理学中，无论是在科学中还是在日常生活中，概率的含义是同一的，它们都依赖于观察者。6. 量子力学与观察者按照波恩的“波函数的概率诠释”，量子力学所描述的是系统的系综的性质，而不是单个系统的性质。在“某一系统a处于某一状态S的概率是p”这样的“概率陈述”中，表现“系综的性质”的是上面的第一个命题：在某一系综M的N个元素中，有pN个元素处于状态S，这个命题才是量子力学的客观内容。至于第二个命题：系统a是系综M的一个元素，则是把这一客观内容用“概率陈述”的形式表述出来时引进的主观因素。由于各种复杂因素的汇合，“观察者”随着概率的应用进入量子力学造成极大的混乱，用波普尔的话来说，它导致“观察者入侵物理学”，还使得从二十世纪初的物理学危机中产生的“物理学的唯心主义”思潮火上浇油，而“辩证唯物主义”对这种思潮的批判更是成事不足而败事有余。例如，前苏联著名物理学家布洛欣采夫旗帜鲜明地反对“物理学的唯心主义”，他说：“在量子力学中，我们所描述的不是粒子本身的状态，而是粒子属于这个或那个统计系综的事实。这个从属关系是完全客观的，并且不依赖于观察者所作的陈述。”这位“辩证唯物主义”的捍卫者竟然说，在上面的(A)和(B)两个命题中，表现量子力学的内容的不是(A)而是(B)，并且说(B)是客观的，不以观察者的认识为转移的。布洛欣采夫所处的年代已经过去很久了，他那种品牌的“辩证唯物主义”也早已被人遗忘，但其中的谬误似乎还有待清理。否则，这种谬误或许有朝一日还会穿着时髦的盛装，再次登上哲学的舞台。Probabilities and ObserverTAN Tianrong(Department of Physics, Qingdao University, Qingdao 266071, P.R.China.)Abstract: It is proved that “conditional probabilities” is the general form of probabilities, so that a probability has two elements: an event and a condition. Just as a given mathematical problem has a “discussion field”, a given probability problem has a “precondition”. When the condition of a probability is the precondition, which in the expression of that probability is omissible, and thereby such a probability become an unconditional probability. As such, an unconditional probability is the abbreviation for a special conditional probability. The condition of a probability corresponding an observer, it is the known condition of that observer. As a result, probability can never depart from observer. Starting from this point, Poppers celebrated thesis that “the probability of any a universal sta