（计算机应用技术专业论文）基于软计算方法数学形态学的研究与应用.pdf

摘要 摘要 本文在分析了软计算方法和经典数学形态学的基本原理及其性质的基础上提出了 s o f t 多结构元素和基于软计算方法的s o f t 多结构形态学算子，并详细探讨了它们的基本 性质及其与经典形态学算子之间的关系，然后分别对s o f t 多结构元素和基于软计算方法 的形态学变换在图像滤波、边缘检测等图像处理方面的应用作了探讨，并将其与经典的 结构元素以及形态学算子作了比较。从仿真结果可知，本文提出的基于软计算方法的s o f t 多结构形态学算法具有更强的抗噪声能力，其性能明显优于一些经典数学形态学算法。 本文具体工作如下： 1 ) 基于一些经典的结构元素，改进和提出了新的结构元素即s o f t 多结构元素，并 构建了相应的形态边缘检测算子。实验结果表明，改进的结构元素在处理噪声图像时比 经典的结构元素抗噪声能力更强，并且在细节信息保护上更好。 2 ) 把t - s 模糊系统和数学形态学结合起来探讨与研究，在h s i 颜色空间基于t o s 模糊系统和s o f t 多结构元素给出了新的彩色形态滤波和边缘检测方法。并与传统方法进 行了分析比较，实验表明基于t - s 模糊系统的形态变换算子在处理有噪声的彩色图像时 抗噪声能力更强。 3 ) 在h s v 彩色空间提出了一种新的基于模糊融合和s o f t 多结构元素的彩色形态学 滤波器。基于模糊融合系统的评价值来进行彩色图像点的矢量排序，与基于h s v 矢量 排序的方法比较，结论显示基于模糊融合矢量排序的形态学滤波效果更好。实验表明， 基于模糊融合矢量排序的形态学滤波算法比经典形态学滤波算法能更有效地去除图像 的噪声，保留图像细节。 4 ) 在s u g e n o 模糊积分和s o f t 多结构元素基础上，提出了新的彩色图像形态学滤波 器和边缘检测算法。基于s u g e n o 模糊积分的评价值来进行彩色图像点的矢量排序，通 过对结构元素的实验分析可知s o f t 多结构元素抗噪声能力更强。与基于h s v 矢量排序 的方法比较，结论显示基于s u g e n o 模糊积分矢量排序的形态学变换效果更好。实验表 明，基于s u g e n o 模糊积分矢量排序的形态学算法比经典形态学算法能更有效地去除图 像的噪声和获取彩色图像边缘，保持图像原有结构方面效果更好。 关键词：模糊集；t s 模糊系统；模糊融合；s u g e n o 模糊积分；s o f t 多结构元素；数学 形态学；滤波；边缘检测 a b s t r a c t a b s t r a c t n ep r i n c i p l e sa n dp r o p e r t i e so fs o f tc o m p u t i n ga n dm a t h e m a t i c a lm o r p h o l o g ya r e r e v i e w e d a c c o r d i n gt ot h i s ，s o f t m u l t i s t r u c t u r a le l e m e n t sa n ds o f tm o r p h o l o g i c a lo p e r a t i o n s b a s e do ns o f tc o m p u t i n ga r ei n t r o d u c e d b a s e do nt h ei n v e s t i g a t i o no ft h e i rp r o p e r t i e sa n dt h e i i n k sb e t w e e nt h em e n t i o n e do p e r a t o r sw i t hc l a s s i c a l m o r p h o l o g i c a lo p e r a t o r s s o m e a p p l i c a t i o n sf o ri m a g ep r o c e s s i n gs u c ha st h em o r p h o l o g i c a lf i l t e r s ，e d g ed e t e c t i o na r e p r e s e n t e d e x p e r i m e n t a lr e s u l t sd e m o n s t r a t et h a tt h ea b i l i t yo fc o l o ri m a g ep r o c e s s i n gb a s e d o nt h em o r p h o l o g i c a lo p e r a t i o n sb a s e do ns o f tc o m p u t i n gi ss u p e r i o rt ot h ec l a s s i c a lo n e ，a n d t 1 1 a tt h ea l g o r i t h mp o s s e s s e se x c e l l e n tp e r f o r m a n c eo nt h en o i s er e s t r a i n e d t h ew o r ki n c l u d e st h ef o l l o w i n gs u b j e c t s ： 1 ) b a s e do nt h ec l a s s i c a l s t r u c t u r a l e l e m e n t s , an e ws t r u c t u r a l e l e m e n t ( s o f t m u l t i s t r u c t u r a le l e m e n t s ) i sp r e s e n t e d a n e wf i l t e r i sc o n s t r u c t e db a s e do n i t e x p e r i m e n t a lr e s u l t ss h o wt h a tt h en e ws t r u c t u r a le l e m e n ti sb e t t e rt h a nc l a s s i c a ls t r u c t u r a l e l e m e n t so nt h ec o l o ri m a g ep r o c e s s i n g 2 ) b a s e do nt h et - sf u z z ys y s t e ma n ds o f t m u l t i s t r u c t u r a le l e m e n t sm a t h e m a t i c a l m o r p h o l o g y , n e wf i l t e ra n de d g ed e t e c t i o na r ep r e s e n t e do nc o l o ri m a g ep r o c e s s i n go f h s i o u re x p e r i m e n t a lr e s u l t sd e m o n s t r a t et h a ti ti s p o s s i b l et oi m p r o v et h er e s u l t si n d e n o i s i n gb yu s i n gt h ea l g o r i t h m 3 ) i nt h es p a c eo fh s v an e wf i l t e ri sp r e s e n t e do nc o l o rm o r p h o l o g yb a s e do nf u z z y c o m b i n a t i o na n ds o f t - m u l t i s t r u c t u r a le l e m e n t s c o l o ri m a g ep i x e l sa r es o r t e db yt h ev a l u eo f f u z z yc o m b i n a t i o n m o r p h o l o g i c a lf i l t e rb a s e do nt h er a n k i n go ff u z z yc o m b i n a t i o nc a ng e t b e t t e rr e s u l t st h a nb a s e do nt h er a n k i n go fh s ve x p e r i m e n t a lr e s u l t sd e m o n s t r a t et h a tt h e a b i l i t yo fc o l o rp r o c e s s i n gb a s e do nt h en e wm o r p h o l o g yi ss u p e r i o rt ot h ec l a s s i c a lo n e ，a n d t h a tt h ea l g o r i t h mp o s s e s s e se x c e l l e n tp e r f o r m a n c eo nt h en o i s er e s t r a i n e d 4 ) b a s e do ns u g e n of u z z yi n t e g r a la n ds o f t - m u l t i s t r u c t u r a le l e m e n t s ，n e wf i l t e ra n de d g e d e t e c t i o na r ep r e s e n t e d c o l o ri m a g ep i x e l sa r es o r t e db yt h ev a l u eo fs u g e n of u z z yi n t e g r a l c o m p a r i n gw i t ho t h e rs t r u c t u r a le l e m e n t s ，s o f t m u l t i s t r u c t u r a le l e m e n t sa r eb e t t e ro nt h e n o i s er e s t r a i n e d m o r p h o l o g i c a lt r a n s f o r mb a s e do nt h er a n k i n go fs u g e n of u z z yi n t e g r a lc a n g e tb e a e rr e s u l t st h a nb a s e do nt h er a n k i n go fh s v e x p e r i m e n t a lr e s u l t sd e m o n s t r a t et h a tt h e a b i l i t yo fc o l o rp r o c e s s i n gb a s e do nt h en e wm o r p h o l o g yi ss u p e r i o rt ot h ec l a s s i c a lo n e ，a n d t h a tt h ea l g o r i t h mp o s s e s s e se x c e l l e n tp e r f o r m a n c eo nt h en o i s er e s t r a i n e da n do b t a i n e db e t t e r r e s u l t s k e y w o r d s ：f u z z ys e t ；t - sf u z z ys y s t e m ；s u g e n of u z z yi n t e g r a l ；s o f t m u l t i s t r u c t u r a le l e m e n t s ； m a t h e m a t i c a lm o r p h o l o g y ；f i l t e r ；e d g ed e t e c t i o n i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含本人为获得江南 大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 签名： 日 期： 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解江南大学有关保留、使用学位论文的规定： 江南大学有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文， 并且本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 签 名： 导师签名： 劲孑口6 7 日 期：加8 加9 赫 第一章绪论 第一章绪论 软计算【l 】通过不确定性计算解决常规计算难以处理的问题，数学上的不确定性包括 模糊性、粗糙性等，它们分别由模糊数学、粗糙集理论等非经典数学加以处理。数学形 态学【2 西1 是- - v j 建立在集合论基础上的学科，为数字图像分析处理提供了一种有效的工 具，在图像处理、计算机视觉、模式识别等领域获得了广泛的应用。基于形态学框架进 行的图像处理包括边缘检测1 7 l 、图像滤波、模式识别、特征提取【8 】、文本分析等。软计 算方法和数学形态学结合起来进行图像处理的研究与应用已引起学者广泛的关注。 1 1 选题背景 1 1 1 软计算方法 软计算方法( s o rc o m p u t i n g ) 是在9 0 年代由z a d e h 教授和其学生将模糊技术与智能 技术相结合来解决复杂带有不确定性的问题而提出的。传统的计算为硬计算，是以产生 精确结果为主要特征。然而对一些复杂的模糊系统采用硬计算求解代价过大，并且用一 些近似解已能满足需要，鉴于此提出了软计算方法。与传统的硬计算不同的是软计算允 许存在不确定性和不精确性，允许误差和不确定性是为了获得一种可接受的解决方案。 对于一个复杂模糊的系统，软计算具有成本低可实际操作的智能方法。 软计算主要包括模糊推理【9 1 、神经网络1 0 1 、粗糙集理论 i t - t 2 1 等，已广泛用于智能系 统中。模糊推理是对处理不确定性概念及其推理机制的过程，神经网络和粗糙集理论常 被用来分类。模糊逻辑是最早、应用最广泛的软计算方法，模糊逻辑的发展导致了软计 算方法的出现，模糊集技术在模糊信息系统中占有越来越重要的地位。 软计算模式提供了开放性、鲁棒性和实时处理的基本特性，具有这些特性的信息处 理系统有时被称为实际领域的计算系统( r w c s ) ，因此软计算能看作是r w c s 的关键组 成。在2 0 世纪9 0 年代，日本就开始了实际领域的计算计划，以满足实际领域里各种各样 模糊的和不确定信息的表达和处理。很容易预计，软计算方法将在未来数十年仍将位于 最前沿的研究领域。 1 1 。2 数学形态学 数学形态学( m a t h e m a t i c a lm o r p h o l o g y ) 起源于岩相学中对岩石结构的定量描述。 1 9 6 4 年法国的m a t h e r o n n 3 1 和s e r r a 在积分几何的基础上将数学形态学引入图像处理领域， 并提出了基于数学形态学的图像处理方法。在迭代运算的基础上，提出了二值细化、极 限腐蚀、s k i z 及条件对角切分等。二十世纪7 0 年代，采用数学形态学的学者们开拓了图 像分析的一个新领域。二十世纪8 0 年代，g m a t h e r n 和j s e r r a 等人在研究中认识到，对图 像先作开运算再作闭运算，可以产生一种幂等运算，采用递增尺寸的交变开闭序列作用 于图像，可以有效的消除图像中的噪声，1 9 8 2 年正式提出了形态学滤波器概念。1 9 8 2 年 出版的专著( ( i m a g ea n a l y s i sa n dm a t h e m a t i c a lm o r p h o l o g y ) ) 是数学形态学发展史上一个 重要里程碑。它被图像处理、模式识别和计算机视觉等领域广泛的应用和关注。 江南大学硕士学位论文 经过几十年的发展，数学形态学无论在理论方面还是在应用方面都取得了举世瞩目 的成就。然而，数学形态学在把握自然景物的含义，以及符号描述方面尚显的不够有力， 有待于进一步发展。数学形态学基于集合论的基础上，以及作为基本运算的上下确界关 系表示，反映了自然界中一类相当普遍的现象。数学形态学方法已成为图像应用领域工 程技术人员的必备工具。目前，有关数学形态学的技术和应用正在不断地研究和发展。 1 2 研究现状 近年来，软计算和数学形态学相结合的方法已被各国学者广泛应用于图像处理、模 式识别和计算机视觉等领域。尤其在图像处理领域应用更为广泛，例如：图像噪声抑制、 图像分割、边缘检测和特征提取等方面。进一步提高数学形态学图像处理的抗干扰性是 研究的重要方面。将软计算方法和数学形态学结合起来进行拓展研究是一个重要的研究 思路。 1 9 9 1 年，k o s h n e n 【1 4 j 等人在经典形态学基础上提出了s o f t 数学形态学上变换，s o f t 形态学用加权统计的方法代替最值法，这样进一步增加了图像处理的鲁棒性和抗干扰能 力。k o s k i n e n 提出了新的结构元素即s o f t 结构元素，s o f t 结构元素由核心和软边界两大 部分组成。s o f t 数学形态学具有传统数学形态学相似的代数特性，但具有更强的抗噪声 能力和鲁棒性，并对加性噪声及微变型具有更好的鲁棒能力。 1 9 9 2 年，模糊学被s i n h a 和d o u g h e r t y i s 】等学者引入到数学形态学中，形成了模糊 数学形态学( f u z z ym a t h e m a t i c a lm o r p h o l o g y ) ，在模糊形态学方法中，图像不再被看成 二值化集合，而是模糊集合。从而形成模糊腐蚀和膨胀等运算。1 9 9 9 年，g a d ya g a m 【l 6 】 和i t s h a kd i n s t e i n 提出了调控( r e g u l a t e d ) 数学形态学，提出了可调形态学算子，这类 算子定义中引入了调控因子。这种算子具有很好的抗噪声能力，比经典形态学算子更具 有广泛意义，在图像处理等领域具有较强的实用价值。 单结构元素不能够兼顾各个方向上的特征信息并且处理单调，就有很多学者提出多 结构元素【1 7 】以解决单结构元素的不足。在图像处理领域基于多结构元素数学形态学获得 了广泛的应用，研究出大量的科研成果，如多结构滤波器和多结构边缘检测等。 近年来，国内有很多学者把人工神经网络【l8 】和数学形态学结合起来研究和应用，人 工神经网络是由大量神经元相互联接而构成的非线性动态系统，在自学习、自组织、联 想和容错方面具有较强的能力，能用于识别和决策。和数学形态学结合起来能够解决很 多复杂的问题。例如：车牌识别、指纹识别【1 9 - 2 0 和人脸识别等应用。 1 9 8 2 年，z p a w l a k 发表了经典论文r o u g hs e t s l 2 l 】，宣告了粗糙集理论的诞生。目前， 粗糙集已成为人工智能领域中一个较新的学术热点，它能有效的分析不精确、不一致、 不完善等各种不完备的信息。近年来，很多学者把粗糙集理论和数学形态学结合起来研 究各种不精确问题。基于粗糙集理论的数学形态学得到了广泛的应用，如图像分割、图 像压缩、图像匹配和形状分析等。 日本学者s u g e n o 在1 9 7 4 年基于模糊学提出了s u g e n o 模糊积分1 2 2 ，s u g e n o 模糊积 分应用于主观评价过程，取得了较好的结果。学者a u r e l is o r i a - f r i s c h 、m a r i ok o p p e n 和 2 第一章绪论 b e r t r a mn i c k o l a y 把模糊积分和数学形态学结合起来做纺织品图像侦测，获得了较好的 效果。近年来，有些国内学者把模糊系统【2 3 】和数学形态学结合起来研究，在对有噪声的 图像滤波方面，获得了较好的研究成果。 综上所述，我发现基于软计算方法的数学形态学领域的研究在不断进展的同时，也 面临着很多问题有待我们研究。 1 3 主要研究内容与研究思路 本文的内容集中在数学形态学框架下基于软计算方法研究与应用。包括结构元素的 改进与应用，然后把t - s 模糊系统、模糊融合系统和s u g e n o 模糊积分与数学形态学框 架结合起来探讨和研究，同时也尝试了把改进的结构元素结合到形态学算子中来研究。 主要研究内容包括： 1 ) 在一些经典的结构元素基础上改进和提出新的结构元素，并通过实验来说明改 进的结构元素比经典结构元素在图像处理方面效果更好。 2 ) 把t - s 模糊系统和数学形态学结合起来探讨与研究，构造相当的算子应用于图像 处理的若干领域。并与传统方法进行分析比较。 3 ) 根据数学形态学中矢量排序特点设计了一个模糊信息融合系统来处理矢量排序 问题，并将其应用于实际的图像处理领域。 4 ) 对s u g e n o 模糊积分作了一下理论分析，和数学形态学理论结合起来研究，并尽 量从不同角度来研究和探讨。 基于以上的内容，我主要遵循了下面的研究思路： 由于本文主要研究的基于软计算方法的数学形态学是基于经典形态学框架下进行 的，所以本文整体上遵循了由经典形态学扩展到基于软计算方法的数学形态学。由理论 分析到计算机模拟实现的原则。数学形态学图像处理是由形态学变换的定义和结构元素 的选择所确定的，所以本文先探讨了结构元素的问题。本文数学形态学变换算子是对彩 色图像进行处理，所以就涉及到矢量排序的问题，本文基于此把t - s 模糊系统、模糊融 合系统和s u g e n o 模糊积分和形态学中矢量排序问题结合起来研究和探讨，对其与经典 的算法进行了分析比较。 1 4 论文结构 本文共由6 章组成，主要内容安排如下： 第1 章为绪论，分为4 个小节。第l 小节介绍了课题研究的背景；第2 小节简要介 绍了课题研究的现状；第3 小节则介绍课题研究的内容和研究思路；第4 小节则介绍了 本文的章节安排。 第2 章是讲述结构元素及数学形态学理论。这一章主要内容是较全面的总结已有的 结构元素和提出本文改进的结构元素，并且简述下经典数学形态学理沦基础。第l 小节 介绍了经典数学形态学理论基础；第2 小节主要介绍经典结构元素即单结构元素、s o f t 结构元素和多结构元素；第3 小节则介绍了改进的结构元素，并且对改进的结构元素与 其它结构元素进行了仿真实验比较。 3 江南大学硕士学位论文 第3 章主要讲t s 模糊系统应用于形态学彩色图像处理。在这一章中重点介绍了t - s 模糊系统，并介绍了t - s 模糊系统应用于数学形态学。第l 小节简介了t - s 模糊系统； 在第2 小节中，则概述了基于t - s 模糊系统矢量排序方法：第3 小节里，提出了基于t s 模糊系统的柔性多结构形态学的变换算子；第4 小节里，用实验来说明基于t - s 模糊系 统的柔性多结构形态学变换算子比经典形态学变换算子更好；第5 小节里对这一章内容 进行了总结。 第4 章讲述了基于模糊融合系统的矢量排序及形态学图像滤波，这一章里提出了模 糊融合系统，并且把它和数学形态学结合起来给出滤波器。在第1 小节里，主要阐述了 模糊融合系统；第2 小节中，则介绍了基于模糊融合系统的矢量排序；第3 结提出了基 于模糊融合系统的s o f t 多结构形态学的变换算子；在4 中对基于模糊融合系统和基于 h s v 矢量排序的分析比较；在5 节中对基于模糊融合系统和基于t - s 模糊系统矢量排序 的分析比较；第6 节里用两组实验来说明基于模糊融合系统的s o f t 多结构形态学图像 处理更好；最后在第7 节里对这一章内容进行了总结。 第5 章是在形态学框架下基于s u g e n o 模糊积分的图像处理。这一章里介绍了模糊 积分理论，并且提出了基于模糊积分的形态学算子。在第1 小节里，主要阐述了s u g e n o 模糊积分理论及相应的形态学算子；第2 小节中，介绍了面向目标颜色的形态学处理； 第3 小提出了基于s u g e n o 模糊积分的多结构s o f t 形态学的变换算子；在第4 小节中对 基于s u g e n o 模糊积分和基于h s v 矢量排序的形态学分析比较；第5 小节里用两组实验 来说明基于s u g e n o 模糊积分的多结构s o f t 形态学图像处理效果更优秀；最后在第6 小 节里对这一章内容进行了总结。 第6 章为总结与展望。主要是对本文进行了回顾总结，并对以后的工作和方向进行 了展望。 4 第二章结构元素及数学形态学理论 第二章结构元素及数学形态学理论 本章主要内容是较全面的总结已有的结构元素和提出了改进的结构元素，并且简述 下经典数学形态学理论基础。总结的结构元素包括单结构元素，s o f t 结构元素1 1 4 1 和多结 构元素。本文提出的改进的结构元素即s o f t 多结构元素，并对改进的结构元素与其它结 构元素进行了实验分析比较。 2 1 经典形态学的理论基础 2 1 1 数学形态学的基本原则 数学形态学的从集合的角度来刻画和分析图像，它的基本出发点就是图像的几何形 态，由于视觉信息理解都是基于对象的几何特性的，因此它更适合视觉信息的处理和分 析。这类相互作用有两种基本运算腐蚀和膨胀及它们的组合运算来完成。这是经典的图 像处理所不能及的。这些组合运算由集合运算来定义，如交、并、补等。这一基于集合 的观点将使形态学算子主要以几何方式表示，这种显式的几何描述应该更适合视觉信息 的处理和分析。数学形态学的主要内容是设计一套变换、概念和算法，来描述图像的基 本特征。假设用x 表示图像，缈( x ) 表示对图像进行形态学变换。形态学创始人s e r r a 给形态学变换规定了以下基本原则： 半连续性 形态学变换具有一定的连续特性。 局部知识性 c o ( x ) 变换只用到局部领域信息。 平移不变性 国( 五) = 缈( x ) 】：( 2 1 ) 其中x ，表示义平移矢量z 的变换 缩放不变性 纹( 置) = 2 e o ( , ；t 。1 x ) ( 2 2 ) 2 1 2 二值形态学 二值形态学【2 4 】适用于二值图像。二值图像是指灰度只有两个值，通常取值为1 盒0 。 这类图像的集合表示非常直接，只考虑两个集合，即值为1 的集合和值为0 的集合。在 数学形态学中定义了两个基本的变换，分别称为膨胀和腐蚀。对一个给定的集合x 和另 一个集合b ，想象一下将艿在图像上移动。在每一个当前位置x ，盈只有三种可能状态： 一是色x ：二是或x 。：三是毋r 、x 和e n x 均不空。第一种情形说明最和x 相 关最大，第二种情形说明尾和x 不相关，第三种情形说明噩和x 只是部分相关。因而 满足第一种情形的点x 的全体构成结构元素与图像的最大相关点集，称这个点集为b 对 5 江南大学硕士学位论文 彳的腐蚀。腐蚀可以看作是将图像x 中每一个结构元素b 全等的子集合b ，收缩为点x ， 那么反过来，也可以将x 中每一个点x 扩大为b ，这就是膨胀运算。 定义2 1 设么，b 为维欧氏空间的子集，记a 被b 膨胀为aob ，则 彳ob = x e lx = 口+ b口a ，b 曰) ( 2 3 ) 定义2 2 记彳被曰腐蚀为a o b ，则 a o b = x e lx + 易ab召)(24) 腐蚀变换a o b 是把结构元素b 平移z 以后得到b ：，使召：包含于彳，满足该条件的 所有点z 构成了腐蚀变换的结果集合。腐蚀变换的结果是的么子集，因此它是一种收缩 变换。这种变换使目标肢体收缩，孔洞扩张。膨胀变换彳o b 把结构元素b 平移z 以后 得到厦，使置与彳的交集不为空集的所有点z 构成了膨胀变换的结果集合。膨胀是个 扩张过程，这种变换使目标肢体扩张，孔洞收缩。 2 1 3 灰度形态学 在实际应用中，绝大多数遇到的都是灰度图像，如照片，显微图像，医学图像等。 灰度图像是指像素点的灰度值多于两个的图像。一般用定义在连续或者数字空间上的一 个实值函数来刻画它。例如，可以说一幅二维图像就是一个定义在尺2 上的函数厂( x ) 。 以往的图像处理理论就是建立在这一表象基础上的，但对形态学而言，这一表象不能直 接使用。s e r r a 在文献3 ，2 5 】中利用了阴影集说明了形态学在二值信号和灰度信号的同态 性，进而证明了两种情况下形态学特性的一致。 灰度膨胀和灰度腐蚀运算的定义 定义2 3 设，k e n - if ：f 一口，k ：k e 。把灰度膨胀记为厂o 。k ，灰度腐蚀记为 f o g k 。则 厂o 。k = t u f 】0 u 隧 ) ( 2 5 ) f o 。k = t u f l o u k ) ( 2 。6 ) 上述定义形象地描述了灰度膨胀和腐蚀的概念。根据门0 u k 的几何刻画，可 以得出0 。k 是将k 的中心保持在f 的上表面移动时所形成的包络；而根据厂】o k 】 的几何刻画，可以得出f o 。k 是将k 紧贴f 而在f 下移动时所形成的中心点的轨迹。 2 1 4 彩色形态学 彩色形态学由于它特有的结构元素的选取特性，在矢量排序技术发展的推动下正大 量应用于军事、气象、医学及智能机器开发中。因为二值和灰度图像像素都是标量值， 容易进行自然的集合运算和排序统计。但彩色图像的像素是由特定意义的三个分量组成 的矢量，而由于并没有一个统一的矢量空间排序方案，因此，不能把最初的形态学理论 直接推广到彩色空间。下面列出近年来学者提出的解决方案： 1 ) 分量法 分量法就是将r g b 空间中的彩色图像分解为三幅独立的灰度图像，每一幅图像代 6 第二章结构元素及数学形态学理论 表原彩色图像中所有像素的r 、g 或b 值。对三幅灰度图像分别作形态学处理，然后将 处理后的结果再合并回彩色图像。假设i 是r g b 空间的彩色图像，用结构元素s 定义 的腐蚀和膨胀定义如下： ( 1 0 。s ) ( x ，y ) = ( ( j ，0 s r ) ( x ，y ) ，( t o ) ( x ，y ) ，( i b o s b ) ( x ，力) ( 2 7 ) ( ，o 。s ) ( x ，y ) = ( ( os r ) ( x ，y ) ，( to 肇) ( x ，少) ，( ，6o 墨) ( x ，y ) )( 2 8 ) 这里o 。和o 。分别表示彩色膨胀和彩色腐蚀。这种方法显而易见很容易改变原图像 中的像素颜色，这样会影响到彩色定量分析如颗粒检测等。 2 lh l s 法1 2 6 - 2 7 】 h l s 法是一种色彩保护方法。这种方案并不改变图像中像素的颜色，只是对图像的 亮度有所改变。它先将彩色图像转换到h l s 模式下，然后对结构元素涉及到像素点的h 、 l 、s 这三个分量中的l 分量做简单的灰度形态处理，保持h 和s 分量不变，最后将处 理后的结果变换回r g b 空间。关于腐蚀和膨胀的定义如下： ( i o m s s ) = r g b ( & ，( 4 喝) ( x ，力，a s ) ( 2 9 ) ( ，o 脚s ) = r g b ( a h ，( 4o s ) ( 五y ) ，4 ) ( 2 1 0 ) 这里4 ，4 ，么，表示像素所对应的h ，l ，s 分量值，a , o s , 表示对图像的亮度分量做 灰度腐蚀，r g b o 表示将结果图像转换回r g b 空间的操作。在这种方案中，只有图像 和结构元素的亮度分量对操作的结果产生影响，而表现颜色的s 、h 分量并没有参与处 理，这对一种用于处理彩色图像的方法来说，似乎并不科学，假如一幅图像中只有纯红 色和绿色像素，转换h l s 空间后，红绿色素对应的亮度却可以是相同的。 3 ) 矢量法【2 8 j 近年来，提出了一种新的彩色形态学算法，以矢量的排序统计特性为基础，我们称 之为“矢量法”。最初的矢量法研究的是用二值结构元素做形态学处理，这种结构元素 实际上相当于我们熟悉的滤波窗，起一个像素的选择作用。矢量排序问题的解决是推动 矢量法发展的关键。文献中多采用彩色像素所对应的三个分量( r g b ) 的线性组合或者 离原点的欧氏距离来衡量向量之问的大小。由于从r g b 空间到h l s 的变换是线性的， 所以前面提到的h l s 法实际上可以说是一种特殊的矢量法。 矢量法通过将矢量标量化，比较结构元素中对应点像素的标量值确定最小最大矢量 来代替中心像素的值，从而实现形态学腐蚀与膨胀。有学者提出投影法【2 9 】，在投影法中， 结构元素彩色图像和原图像均视为矢量的组合，通过研究结构元素矢量在原图像像素矢 量方向上的投影来确定它们之间的匹配程度，与前两种方法一样，这也是一种色彩保护 方法，最大值最小值操作是通过比较原矢量和受到结构元素影响的新矢量对应的幅值大 小得到代替中心像素的矢量，操作的结果取决于结构元素像素矢量在原图像矢量方向上 的投影。在投影法中，图像i 被s 腐蚀和膨胀的定义如下： ( i o p r o s ) ( x , y ) 2 丌若专知m ，i n ( 1 li ( x + y + ，) 一尸( ，( x + l y + ) ，s ( f ，j ) 1 1 ) ( 2 1 1 ) ，v1 ，、 u 。胛回o ) ：黼m u a x ( 1 l i ( x - - i , y ) + 烈“卜毛户力，j ) 1 1 ) ( 2 1 2 ) 一7 江南大学硕士学位论文 j p ( 毛，z 2 ) = 吒z 2 c o s 0 ( 2 1 3 ) 其中l ll l 表示求向量的幅值运算，尸( z l ，z 2 ) 是向量z ：在z 1 方向上的投影，口是两矢量 间的夹角。可见，矢量间的夹角对投影运算有很大的影响。 2 2 结构元素 2 2 1 单结构元素 结构元素( s t r u c t u r ee l e m e n t ) ，又被形象地称作刷子，是膨胀和腐蚀操作的最基本 组成单位，用于测试输入图像，通常比待处理的图像要小得多。结构元素的大小形状任 意，一般是二维的。二维结构元素的数值一般由0 和1 组成的矩阵。三维结构元素用数 值o 和1 定义x - y 平面，用高度值定义第三维。结构元素的原点指定了图像中需要处理的 像素范围，结构元素中数值为1 的点决定结构元素的领域像素在进行膨胀或腐蚀操作时 是否需要参与计算。 单结构元素是由单个结构元素组成，其形状类型有线形、圆形、菱形和八角形等。 菱形和矩阵形如下图2 1 所示： 圈曩 ( a ) a( b ) b 图2 1 单结构元素 f i g 2 1s i n g l es t r u c t u r a le l e m e n t 图2 1 中的黑圆形表示数值为1 的点，白圆形表示数值为0 的点。 2 2 2s o f t 结构元素 柔性结构系统 】，x ，s ) 中，x c _ y ，x ，y z2 ，s 为自然数，且s 一( ( j ，o 】，j ) 0 】，s ) ( x ) ) o 】，x ，j ) 、。7 由公式( 2 1 4 ) 和( 2 1 5 ) 推导出基于多结构s o f t 多结构元素形态学开( ，。 y ，x ，s ) 如下： ，。c 】，x ，s 州= 脚( ( ，o i ，墨，j 1 ) ) o z ，x i ，岛) ( x ) ， f 21 7 ) ( ，o 艺，置，是) ) o 艺，墨，j ：) ( x ) ，( ，o e ，瓦，) ) o 艺，以，) ( x ) ) 卜。7 第二章结构元素及数学形态学理论 由公式( 21 7 ) 可推出基于s o f t 多结构元素形态学边缘检测： a d g e ( h ，5 ，i ) = ( “。 r ，x ，j m 1 0 匕，爿。，卜( ，o ， r ，x ，5 j h1 】o ，x o ，s 。) ( 21 8 ) g s e d 和s s e d 使用公式( 2 1 6 ) ，结构元素为图2 5 ( a ) ，g s e d 结构元素的s - 1 ， 而s s e d 结构元素的s - 2 。g m e d 和s m e d 使用公式( 21 8 ) ，结构元素为图2 5 ( a ) ( b ) ( e ) ，g m e d 结构元素的s - i ，而s m e d 结构元素的s 分别为4 、2 、2 。 为了对g s e d 、s s e d 、g m e d 和s m e d 这四种算子评价，下面构建了一个曲线图， 横坐标表示噪声系数( ) ，纵坐标表示检测到的边缘点占总边缘点的比率。本实验采 用了一个8 0 x 8 0 彩色图，其彩色值为r g b ( 1 0 0 ，1 8 0 ，5 0 ) ，正中间是一个4 0 x 4 0 的小方框 图，其彩色值为r g b ( 1 4 0 ，6 5 ，3 5 ) 。这样原始边缘就很容易精确定位，所以在各种噪声( 椒 盐) 系数下都很容易计算出被检测到的边缘占原始边缘的比率。 实验结果 图2 - 6 g s e d 、s s e d 、g m e d 扣s m e d 对噪声图像边缘检测结果图像 f i g2 6 g s e d 、s s e d 、g m e d a n ds m e d e d g e d e t e c l j o n f o r t h en o i s e i m a g o ( a ) 原图嘞噪声图如) g s e dq ) g m e d0 ) s s e d ( t 3 ls m e d 囤2 7 图2 - 6 中噪声的系数6 时图像边缘拴剥结果 f i g 2 - 7 t h er e s u l t s o f f i g2 6 f o r 6 n o i s ec o e f f i c i e n t 图2 7 ( a ) 为原图，图2 - 7 ( b ) 是图2 7 ( a ) 加了6 的椒盐噪声得到的，图2 7 ( c ) 、( d ) 、( e ) 和( f ) 分别为算子g s e d 、g m e d 、s s e d 和s m e d 处理图2 7 ( b ) 得到的。 由图2 - 6 和图2 7 可知：在矢量排序相同的情况下，s o f t 多结构元素在抗噪声和保 留图像细节方面明显要优于其它三种结构。 江南大学硕士学位论文 2 4 小结 结构元素的选取对形态学算子影响极大，单结构元素的形态算子具有运行速度快， 但是图像处理结果比较差。后来学者k o s k i n e n 提出了s o f t 结构元素，解决了单结构元 素鲁棒性问题，s o f t 结构元素可以设置硬结构和软结构，这样