（计算数学专业论文）cagd中某些多形状参数曲线的研究.pdf

c a g d 中某些多形状参数曲线的研究 摘要 带形状参数曲线曲面在c a g d 中具有重要的应用，本文重点介绍了两类带 多个形状参数的参数曲线及曲面。 ( i ) 多形状参数的二次非均匀双曲b 一样条曲线 给出了一类基于三点的带多个形状参数的二次非均匀双曲b 样条曲线，这 类曲线具有二次多项式b 样条曲线的许多重要性质。根据形状参数的不同取 值，能整体或局部地调控曲线的形状和位置。不用重节点技术或解线性方程组， 就能使曲线直接插值于某些控制点或控制边。此外，这类曲线能精确地表示双 曲线。 ( 2 ) 多形状参数的s a i d b 6 z i e r 型广义b a l l 曲线与曲面的扩展 通过引入多个形状参数，生成s a i d b 6 z i e r 型广义b a l l 曲线与三角域上b a l l 曲面的扩展，它们的调配函数具有显式表示，易于求导与求积。形状参数的取 值，既能整体又能局部地调控曲线与曲面的形状。通常的广义b a l l 曲线与曲面 及b 6 z i e r 曲线与曲面是它们的特例。 关键词：多形状参数；二次双曲b 样条曲线：s a i d b 6 z i e r 型广义b a l l 曲线； 三角域上b a l l 曲面：形状调控 r e s e a r c ho fs o m ec u r v e sw i t hm u l t i p l ep a r a m e t e r si nc a g d a b s t r a c t t h ec u r v e sa n ds u r f a c e sw i t hm u l t i p l ep a r a m e t e r sh a v ev e r yi m p o r t a n t a p p l i c a t i o ni nc a g d t h i sp a p e rm a i n l yi n t r o d u c e st w ok i n d so fc r u v e sa n d s u r f a c e sw i t hm u l t i p l ep a r a m e t e r s ( 1 ) q u a d r a t i cn o n u n i f o r mh y p e r b o l i cb s p l i n ec u r v e sw i t hm u l t i p l es h a p e p a r a m e t e r s w ep r e s e n tac l a s so fq u a d r a t i cn o n u n i f o r mh y p e r b o l i cb s p l i n ec u r v e sw i t h m u l t i p l es h a p ep a r a m e t e r sb a s e do nt h r e ep o i n t s t a k i n gd i f f e r e n tv a l u e so ft h e s h a p ep a r a m e t e r s ，o n ec a nt o t a l l yo rl o c a l l ya d j u s tt h es h a p e sa n dp o s i t i o no ft h e c u r v e s ，w i t h o u tu s i n gm u l t i p l ek n o t so rs o l v i n gs y s t e mo fe q u a t i o n s ，t h ec u r v e sc a n d i r e c t l yi n t e r p o l a t ec e r t a i nc o n t r o lp o i n t sa n dc o n t r o ls i d e s t h eh y p e r b o l ac a nb e a l s or e p r e s e n t e db yt h e m ( 2 ) e x t e n s i o n so fs a i d b 6 z i e rt y p eg e n e r a l i z e db a l lc u r v e sa n ds u r f a c e sw i t h m u l t i p l es h a p ep a r a m e t e r s e x t e n s i o n so fs a i d b 6 z i e rt y p eg e n e r a l i z e db a l lc u r v e sa n ds u r f a c e so v e r t r i a n g u l a rd o m a i nw i t hm u l t i p l es h a p ep a r a m e t e r sa r ep r e s e n t e di nt h i sp a p e r t h e i r b l e n d i n gf u n c t i o n sh a v ee x p l i c i te x p r e s s i o n sa n da r ee a s yt od e r i v a t ea n di n t e g r a t e t h e yi n c l u d et h ec o m m o nb a l lc u r v e sa n ds u r f a c e s ，b 6 z i e rc u r v e sa n ds u r f a c e s t h e s h a p eo ft h ec u r v e sa n ds u r f a c e sc a nb ea d j u s t e de n t i r e l yo rl o c a l l yb yc h a n g i n gt h e v a l u e so ft h es h a p ep a r a m e t e r s k e y w o r d s ：m u l t i p l es h a p ep a r a m e t e r s ；q u a d r a t i ch y p e r b o l i cb s p l i n ec u r v e s ； s a i d - b 6 z i e rt y p eb a l lc u r v e s ；b a l ls u r f a c eo v e rt r i a n g u l a rd o m a i n ；s h a p ea d j u s t 插图清单 图2 1 形状参数五，鸬对非均匀节点的基函数的影响5 图2 2 开的二次非均匀三角多项式曲线6 图2 3 椭圆的表示7 图2 4 抛物线的表示7 图2 5 形状参数丑对基函数的影响1 0 图2 6 开的三次三角多项式曲线1 0 图2 7 5 次带多个形状参数的b o z i e r 曲线的扩展1 2 图3 1 形状参数 ，h 对均匀节点的基函数的影响1 5 图3 2 形状参数 幽对非均匀节点的基函数的影响1 5 图3 3 退化的基函数1 6 图3 4 基函数的极限1 7 图3 5 重节点时的基函数1 7 图3 6 二次双曲b 一样条曲线整体或局部调控1 9 图3 7 开的双曲b 一样条曲线2 0 图3 8 闭的双曲b 一样条曲线2 1 图3 9 带形状参数的二次双曲b o z i e r 曲线2 2 图3 1 0 双曲线的表示2 2 图4 1 带多个形状参数的7 次b a l l 曲线的扩展2 7 图4 2 三角域上带多个形状参数的5 次s a i d 一8 e z i e r 型b a l l 曲面的扩展3 i 独创性声明 本人声明所早交的学付论文是本人住导师指导f 进行的研究l 作及取得的研究成果。据 我所知，除了文中特别加以标志和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过 的研究成果也不包含为获得盒肥业厶堂 或其他教育机构的学位或证书而使用过的 材料。与我一同1 ：作的同忐对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示 谢意。 学位论文仃者签字：左啤签字日期：j 神年，z 月j 7 e t 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解盒艘些盘堂有关保留、使用学位论文的规定，有权保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅或借阅。本人授权 盒蟹王些盔堂可以将学位论文的全部或部分论文内容编入有关数据库进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文者签名：走掣 签字日期：d 呻年f 。爿7 曰 学位论文作者毕业后去向 工作单位： 通讯地址： 电话： 邮编： 址芦 目 乃 2 致谢 研究生三年如白驹过隙般悄然而过，在这三年来的学习生涯中我得到了很 多老师、同学、朋友和家人们的帮助与鼓励。 首先我要深深的感谢合肥工业大学理学院的邬弘毅老师，他在我论文的写 作过程中给予了悉心的指导和帮助，三年来正是邬老师在生活和学习中给了我 无私的关怀才使得我的论文能顺利的完成，他的严谨与认真治学的态度、精益 求精的科研精神都深深的印在我的心底。值此论文即将完成之际，向邬老师表 示深深的敬意和衷心的感谢! 三年来的同窗之情亦让我终生难忘l 感谢我的师兄谢进、师姐陈晓彦、同 学柏丽娟、董克等，几年来我们一起讨论，共同学习，共同进步，一起度过了 一段愉快的时光，你们对我学习和生活上无私的关心和帮助将令我永远难忘! 特别要感谢我的父母对我多年来的培养，二十多年来你们对我默默的支持 是我学习上无穷的动力，没有你们殷切的期望便没有今天的我。最后我要感谢 我幕后的英雄一一我的妻子刘秋芬女士，正是你在我背后的理解和支持才得使 我能顺利的度过研究生三年的日子，感谢你在生活上给予我无微不致的照顾和 关怀! 我祝福所有关心和帮助过我的人，祝愿你们能幸福永远! 作者：左华 2 0 0 7 年1 1 月2 0 日 1 1 研究背景 第一章绪论 1 9 4 6 年第一台电子计算机在美国诞生，从此人们可以借助它进行大规模的 运算。随着计算机硬件的发展，计算机由刚开始纯粹计算的功能拓展到人类生 活的方方面面，计算机辅助几何设计( c a g d ) 正是由于计算机硬件的发展而 在2 0 世纪迅速发展起来的。1 9 7 4 年巴恩希尔( b a r n h i l l ) 与里森弗尔德 ( r i e s e n f e l d ) 在美国犹他( u t a h ) 大学的一次国际会议上第一次使用计算机辅 助几何设计这个名词，从此以几何造型方法为主体的c a g d 开始以一门独立的 学科出现。c a g d 这一新兴边缘学科与应用逼近、微分几何、代数几何、线性 代数、数值分析、拓扑学、微分方程、分形小波等近代数学各个分支以及计算 机图形学、几何造型、数据结构、程序语言、机械加工、外形检测、三维医学 图象学、人体解剖学等学科的交叉与渗透越来越体现出它对当今社会的影响和 价值【1 。4 】。 自由曲线曲面表示方法是c a g d 中的重要方法和工具，它起源于汽车、飞 机、船舶、叶轮等的外形放样工艺，由c o o n s 、b 6 z i e r 等大师于二十世纪六十 年代奠定了其理论基础”j 。1 9 6 3 年，美国波音飞机公司的f e r g u s o n 首先提出将 曲线、曲面表示为参数的矢函数方法，从此曲线、曲面的参数化形式成为形状 数学描述的标准形式1 6 7 】；1 9 6 4 年美国麻省理工学院( m i t ) 的c o o n s 引入超限 插值的概念，发表一种具有一般性的曲面描述方法，但这两种方法都存在形状 控制与连接问题j 。1 9 4 6 年，s c h o e n b e r g 提出了样条函数的概念一j ，这为解决 曲线、曲面之间的连接问题提供了一种可能，样条方法在构造整体达到某种参 数连续阶的曲线、曲面方面非常方便，但是它没有局部形状调整的自由度，其 形状难以预测。1 9 7 1 年，法国雷诺( r e n a u l t ) 汽车公司的b 6 z i e r 提出了一种由 控制多边形定义曲线的新方法，被称为b 6 z i e r 方法i l0 1 。该方法简单易行，出 色地解决了整体形状控制问题，把曲线、曲面的设计向前推进了一大步。但也 仍存在一些不足：当曲线的次数过高时，计算会很不方便；b e z i e r 曲线是整体 定义的，曲线的形状受到全部控制顶点的影响，改变其中某一顶点的位置对整 条曲线都有影响，因此b z i e r 曲线不具有局部修改性。1 9 7 2 年，d eb o o r 与c o x 分别给出了关于b 样条的一套标准算法j ，1 9 7 4 年，g o r d o n 和r i e s e n f e l d 又 把b 一样条理论应用于形状描述，最终提出了b 一样条方法。该方法继承了b e z i e r 方法的几乎一切优点，同时克服了b e z i e r 方法存在的一些缺点，较好地解决了 曲线的局部修改问题。 然而，在很多工业设计中我们需要表示圆锥曲线，而此时无论是b 6 z i e r 曲 线还是b 样条曲线都不能精确表示它们。1 9 7 5 年，美国s y r a c u s e 大学的 v e r s p r i l l e 在他的博士论文中首次提出了有理b 一样条方法，它能够精确地表示 圆锥曲线。后来又由于p i e g l 、t i l l e r 和f a r i n 等人的工作，使得n u r b s 方法成 为用于曲线、曲面描述最广为流行的数学方法 1 2 - 1 4 】，以致于国际标准化组织 ( i s o ) 于1 9 9 1 年颁布了关于工业产品数据交换的s t e p 国际标准将n u r b s 方法 作为定义工业产品几何形状的唯一数学描述方法。在此基础上，人们又提出各 种非多项式b 样条，如三角b 一样条 1 、c - b 样条1 6 l 、双曲b 一样条【1 7 】等，利用 这些方法我们就可以避免使用计算复杂的n u r b s 曲线而轻松得到一些圆锥曲 线。 为了调整曲线的形状或改变曲线的位置，人们一般利用有理b 6 z i e r 曲线和 有理b 样条曲线中的权因子来做到。对给定的控制顶点，均匀b 样条曲线的位 置是确定的，如果想要调整曲线的形状需要调整控制多边形，且均匀b 样条不 能精确表示圆、椭圆、双曲线等二次曲线。为了克服这些缺点，王文涛等提出 了带形状参数的三角多项式均匀b 样条曲线和带形状参数的双曲多项式均匀b 样条1 8 。19 1 ，韩旭里则给出带一个形状参数的二次和三次三角多项式曲线【2 0 。2 1 1 ， 张纪文把三角和双曲用复数形式统一起来给出f b 样条【2 ”，所有这些曲线都带 有形状参数，可以在不改变控制顶点的前提下，修改形状参数的取值去改变曲 线的形状，而且利用三角和双曲函数构造的基函数表示的样条曲线还可精确表 示椭圆、抛物线和双曲线、悬链线，在一定程度上满足了c a d c a m 的需求。 为了不仅能整体而且还能局部地调整曲线的形状，邬弘毅等 2 3 - 2 4 】将韩旭里给出 的带一个形状参数的二次和三次三角多项式曲线推广到带多个形状参数的曲 线，可以起到既整体又局部地调整曲线形状的作用。 1 2 本文研究的内容 本文在汲取前人丰富经验的基础上对基于三点的带多个形状参数的样条曲 线进行深入研究，提出了带多个形状参数的二次非均匀双曲b 样条曲线。这类 曲线不仅继承了b 样条的几乎一切优良性质，而且还能表示双曲线，能既整体 又局部地调整曲线的形状。并且对广义b a l l 曲线也做了深入的研究，提出了多个 形状参数的s a i d b 6 z i e r 型广义b a l l 曲线与监面的扩展，这类曲线和曲面不仅具有 和b a l l 曲线类似的性质，还带有能调整形状的参数，可以对曲线和曲面做局部 或整体调控。 全文安排大致如下： 第一章介绍了c a g d 中自由曲线曲面的发展历史，并给出了带形状参数 曲线的一些研究成果。 第二章介绍了邬弘毅等提出的带多个形状参数的三角样条曲线和 b 6 z i e r 曲线的扩展1 2 3 - 2 5j 。 第三章给出本人硕士阶段的主要成果，提出带多个形状参数的二次非均 匀双曲b 样条曲线2 “。 第四章在前人的基础上我又研究了有关广义b a l l 曲线的问题，提出带多 个形状参数的s a i d b e z i e r 型广义b a l l 曲线与曲面的扩展1 2 ”。 第五章对本文做简单的总结，并指出还未解决的问题和未来工作的方 向。 第二章多形状参数的曲线 带单个形状参数的样条曲线固然可以在不改变控制点的前提下调整曲线的 形状，但是在c a d 中经常需要调整曲线的某一部分，而不是作整体调控。邬弘 毅等在h a nx u l i 2 0 - 2 1 i 提出的二次、三次带单个形状参数三角多项式曲线的基础 上，提出多形状参数的二次、三次三角多项式样条曲线【2 孓2 4 1 ，并提出带多个形 状参数的b e z i e r 曲线与曲面的扩展f 2 ”，这些曲线不仅可以整体还能局部地调整 曲线的形状，在一定程度上满足了c a d 系统的要求。 2 1 多形状参数的二次非均匀三角多项式益线4 2 q 2 1 1 基函数的构造 定义2 1 1任给节点1 1 0 u i u n + 3 ， 3 u ，= “川一“， 称 u ： ，碣，+ ，) 为节点向量。设一1 ，以s 1 。 令 口，：坐坐：些l 卢，：旦丝坐坠一f ，：三坠 ( 1 + 鼻) 出；- 1 + ( 1 + 纯一1 ) 岔，( 1 + 是+ i ) a u j + o + f ) 缸f + f 。 2 a u f c 0 ；丑) = ( 1 一s i n f ) ( 1 2 s i n f ) ，d ( f ；) = ( 1 一c o s t ) ( 1 一 z c o s t ) ， 则称 f 尼d 纯；肛) 群p l ，d # “) ， 6f(“)=tl-ai+lc(ti+l,2i+1甜ffi【+“ld，+(2t，i+l；ti+c(t u i + 3 ) ，l ，“f + l ，“f + 2 x ( 2 1 1 ) 7 甜【“，+ 2 ， ， ( 2 1 1 ) 1 0 ，“茌【m j ，u i + 3 ) 为第i 个带形状参数鸬，丸l ，两+ l ，五+ ：的二次非均匀三角多项式基函数， 简称二 次三角多项式基函数。 不难验证：当所有的 = “= 旯时， ( 2 1 1 ) 式即为式 2 0 中定义的带一 个形状参数z 的二次三角多项式基函数-那里的q 2 a u , _ i l + a u ， 届2 五_ , l 坐忑1 i i ， 我们称它为单形状参数的二次非均匀三角多项式基函数。 2 1 2 基函数的性质 ( 1 ) 局部支撑性当虬 0 ，当h o “u ，或】vs ”m 时r 6 0 ) ：0 当“2s “s m 时， 4 g ) = ( 3 ) 连续性设节点向量u = 缸o ，“i ，一，u 棚) 满足u o “i “棚， 则基 函数b j ， ) c 1 ( ，佃) 。 图2 1 为形状参数 以对非均匀节点的基函数的影响， 其中节点向量为 u = 0 , 1 3 6 1 0 ，1 5 ，2 1 ，2 8 。其中虚线的 = h = i ，实线的丑= 肼= 0 。子图b 中图 中虚线的乃= 所= 1 ，实线的z = ( o 5 ，0 0 ，一0 5 ，0 ，0 ，0 4 ，0 8 ) ，i = t , 2 , - - - , 6 ； f = ( o 8 ，0 4 ，0 0 ，- 0 2 ，- 0 ，4 ，- 0 5 ) ，i = 0 , 1 ，5 。由此可见单参数对基函数的影响仅使 其上下整体变化，多参数使其上下左右都发生变化，故可作局部调控。当然 它们的紧支柱都是( 虬，虬+ ，) 。 a 单形状参数b 多形状参数 图2 1 形状参数五，鸬对非均匀节点的基函数的影响 2 1 3 多形状参数的二次非均匀三角多项式曲线 定义2 1 2 任给曰2 或r 中控制点p o ，p l 一，p 。，节点向量u = “o ，u 1 ， 柑 及形状参数i 0 ， 节点等距，且令所有的 = “= 0 ，则当“h ，+ 。】时， 则以p i 一2 p il ，p i 为控 制顶点的二次三角多项式曲线段( 2 ，1 3 ) 表示椭圆的四分之一( 图2 3 a ) 。 证明：由式( 2 1 3 ) 知 r a u ) = p ，一1 + 口f ( 1 一s i n t ) ( ，f 一2 p i 1 ) + 屏( 1 一c o s t j ) ( p e p i 1 ) 于是可得： 黯x = a ( ”l - 黝旧，钆即宁 2 + 睁 2 = t 上式表示四分之一椭圆。 如果要表示整个椭圆，只需将上式中，的取值扩展到t “0 , 4 】即可( 见图2 3 b ) 6 a 四分之一椭圆 b 整个椭圆 图2 3 椭圆的表示 定理2 1 2 给定平面上的三点p 。= ( 2 口，0 ) ，p ，。= ( 0 ，0 ) ，p ，= ( 0 ，口2 ) ，n 0 ，设 节点等距，且令 = “= “= 0 ，l a ，= 一i ，则当“h ，“，+ l 】时以p i 一2 p i1p i 为控制 顶点二次三角多项式曲线段( 2 1 3 ) 表示一段抛物线弧( 图2 4a ) 证明由式( 2 1 3 ) 知 ，f ( “) = p f l + a j ( 1 一s i n t ，) ( p ，一2 一p f 1 ) + 屈( 1 一c o s t i ) ( 1 + c o s i i ) ( p i 一，卜i ) 。 于是可得 仨x = a ( ：1 。- 访s ：i n t i x 。乱， 上式表示一段抛物线。 如果将f 的取值范围扩展到【一1 , 1 】， ( 图2 。4 b ) 。 即y = ( x 一口) 2 ，0 x a 则表示区间x 【0 ，2 a 】对应的抛物线段 ax e o ，口】对应的抛物线段 bx e o ，2 口】对应的抛物线段 图2 4 抛物线的表示 2 2 多形状参数的三次非均匀三角多项式曲线2 3 i 2 2 1 基函数的构造 定义2 2 1 给定节点向量，= u 0 ，+ 。 ，其中u o u n + 4 。设f z + 。 五，r ，记- - - - u i + l 一“， 西：譬丝= 尝，万：坐丝造， j - + ， ( ，+ ，+ 1 ) 一=( 1 + 2 ) 五：了万瓦丽五石西五j 口f = j 十斗 + l 十斗 l l - i - 4 + lj q = 每z a ，一= 万万。， = 地坐监等斧盥业趔， q = 坐学， 钆= 地盥监气群弘刿， = 业噬必毯棼型出型， 6 j ，= 堡! ! ! ! ! 墨= ! 丛二垒：垒：! ! ， ” 2 4 a ；! + l 鱼，：旦出丛! 三立! l 坚墨= ! ! 垒! 二! ! ! 墨2 垒_ 】! 垒! 二垒纠2 ， ” 2 9 a y + 6 ，o = - 4 6 , ，i ( 1 + 五+ | ) a ，+ 皇2 ( ，一i a ，) + 2 c h l a ，+ 4 c , 一u ( 1 + 五一】) ， a ，一l4 - a ， 一 。一监! ! ! 型垒! 坠! 垒! 丛生二垒! ! 二丝! ! 坐! ， “ ，+ ，+ 。 f 0 ( t ；2 ) = ( 1 一s i n t ) 2 ( 1 2s i n t ) ， f ( t ；f 1 ) = ( 1 + c o s t ) 2 ( 1 + i t c o s t ) ， 正o ；z ) = ( 1 + s i n t ) 2 ( 1 + 2s i n t ) ，石( ，；) = ( 1 一c o s t ) 2 ( 1 一u c o s t ) 。 对节点向量u ，设，( “) 2 三丁u - - u ( = 。，1 一，h + 3 ) ， r ( = l ，2 ，h + 3 ) a 对于 i = o ，1 ，h ，我们称 8 e ( “； + ，五+ ：，a + 3 ) = z 工( ，；五+ i ) ，“【i a s , ) ， c t + i , o f o ( t ； + 1 ) + q “l j i ( t , + l ； + 2 ) 4 - c i “2 正( + i ；丑+ i ) + + 五( + i ；丑+ 2 ) ，, “，+ 1 ，“，+ 2 ) ， b , + 2 , o f o ( t ，+ 2 ；丑+ 2 ) + 匆+ 2 i z ( + 2 ； + 3 ) + 6 i + 2 2 f 2 ( t , + 2 ；a + 2 ) ( 2 2 1 ) + 匆+ 1 3 石( + 2 ； ) ，“【1 , 1 1 + 2 ，一+ 3 ) ， q + 3 丘( ，； + 3 ) u 【h i + 3 , u j + 4 ) ， 0 。u 仨 “，“+ 4 ) 为第i 个带形状参数 。z 。 + ，的三次非均匀三角多项式基函数，简称多形状参数三 角多项式基函数。 不难验证：当所有的五= 旯( t = 1 ，2 ，月+ 3 ) 时，( 2 2 1 ) 式即为韩旭里 2 1 】定义的 三次非均匀三角多项式基函数 e ( “；a ) = z 六( ；a ) ，u e 珥，u ) ， 乙q 扎厂( f 。；五) ，“，“。) ， ：。6 + ：，f a t ，+ ：；旯) ，“【“，+ ：，“，+ ，) ， ( 2 2 2 ) a l + 3 f o ( t , + 3 ；旯) ，“ q “) ， 0 ，u 引u l , q “) 我们称( 2 2 2 ) 式为单形状参数的三次非均匀三角多项式基函数 2 2 2 基函数的性质 ( 1 ) 局部支撑性当虬 “ 0 ，当“q 或虬+ 3g n sh 时， 旦 ) = 0 。 ( 2 ) 归一性当i 1 2s “时，e ( “) = 1 t = o ( 3 ) 连续性对于非均匀节点向量c ，基函数e ( “) c 2 ( 一，栅) ；对于均匀节点， 基函数且( “) c 3 ( a o ，佃) ：如果节点均匀且所有的丑= 1 ，则e ( “) c 5 ( ，佃) 。 图2 5 表明形状参数 对基函数的影响。子图a 中所有的五= a 为同一值， 即单 形状参数的情形。其中虚线五= l ，实线z = 0 。子图b 中虚线的所有的a = 1 ，实线对 应的z = - 0 3 5 + o 1 5 i ( i = 0 ，1 ，8 ) 。由此可见单参数对基函数的影响仅使其上下整体 变化，多参数使其上下左右都发生变化，可作局部调控。当然它们的紧支柱都是 ( u t ，珥+ 。) 。 9 z468z 4 6 h a 单形状参数b 多形状参数 图2 5 形状参数丑对基函数的影响 2 2 3 多形状参数的三次非均匀三角多项式曲线 定义2 2 2 给定r 2 或尺3 中点的只( f = 0 ，1 ，h ) ，节点向量u = ，“l ，一，。) 及形 状参数加5 五l ( k = 1 ，2 ，聆+ 3 ) ，称 ，( “) = 乏：墨( 联名。，a + 2 ，a + ，) 只，矗23 ，副【码，+ ，】 ( 2 2 3 ) i = o 为带多形状参数的三次非均匀三角多项式曲线。 当u ， “+ l ( 3 f s h ) 时，曲线，( “) 对应于区间“【m ，“f + l 】上的一段可表示成 ( 嵋 一，a ，五。， + ：) = e ( ；五，+ ，- + ：，五，+ ，) p ， j j = 口，五( “； ) 只一3 + 【匆。工( “；五) + 6 f 。i ( “；丑+ ) + 匆，：厶( “；丑) + 匆，石( “；暑+ 。) 】f ： ( 2 2 4 ) + 【c f 0 石( “；丑) + c i 1 _ ； + 1 ) + q ，2 五( ； ) + c 小工( “；a + 1 ) 】p l + 一石( “； + 1 ) p 图2 6 表示开的三次三角多项式曲线，其中虚线所有的丑= l ；实线的 z = 0 7 ，0 4 ，0 0 1 ，一0 3 ，一0 4 ，- 0 2 ，o 0 1 ，0 5 ，0 7 ，1 0 。 图2 6 开的三次二角多项式曲线 0 飞 ) ； 、一 、 一、 弋 l二f 2 3 多形状参数的b z i e r 曲线的扩展【2 5 1 2 3 1 基函数的构造 令 置，o ，= ( ： 一c 一r ，“一，。s t ，= 。，玎 为栉次b e r n s t e i n 多项式。现引入带多个形状参数的调配函数髓( f ) ，f _ o ，1 ，n 如 下： 1 ) 当为偶数即行= 2 m 时，设 驰m 小) 1 + 丽2 , ( 1 - 0 一哿 u 驴心， + 煮啬一等产 ， 眨。， + 掣+ 篙 ， i = o ，1 ，m - 1 ；0 t 1 为保证端点插值及6 f ( f ) 的非负性，形状参数丑和h 应满足 磊= 岛= o ， 2 m + l - i ) 丑，h i ， ( 2 3 2 ) i j = 1 ，2 ，m w 慨。 + 乏氅一划i + lj ， 6 i 。+ 一，( r ) = 2 主。+ 。一，：，。+ ，( r ) 1 + j i ；。! ：；三一兰5 ：；j 擎 ， ( 2 3 ，3 ) i = 0 ，1 ，肌；0 t i 形状参数乃和“应满足 厶= - t o = 0 ， 厶+ - 2 嚆+ 7 ( 2 3 4 ) 一( 2 m + 2 - i ) ，a i ， i = 1 ，2 ，m + 1 式( 2 3 1 ) 或式( 2 3 3 ) 中的鱼( f ) ，i = o ，1 ，h 称为带多个形状参数的调配函数。 2 3 2 基函数的性质 ( 1 ) 非负性b a t ) 2 0 ，f - o ，1 ，” ( 2 ) 归一性包 ) = 1 t = 0 2 3 3 多形状参数的b 6 z i e r 曲线的扩展 定义2 3 1 己知控制点只e r ! 或足、，f - 0 ，1 ，月，则称曲线 ，( f ) = 只匆( f ) ，o t s l 为带多个形状参数的 次b 6 z i e r 曲线的扩展 图2 75 次带多个形状参数的b c z i e r 曲线的扩展 图2 7 为5 次带多个形状参数的b 6 z i e r 曲线的扩展，其基函数如下： b o ( o = ( 1 - 0 5 ( 1 一五 ) ， 6 2 ( f ) _ l 叭1 坝+ 生学一争 讯嘞( 1 瑚1 + 等尘一争 b 3 ( t ) 州( 1 劬+ 等+ 掣】， 6 4 ( f ) - 5 f 4 ( 1 枷+ 譬一丝半1 ， 啪) ：f 讯一a t ( 1 _ f ) 1 其中的形状参数( ，五，冯，：，“) 分别为1 一( 1 ，2 。0 ，2 ，1 ) ：2 一( 1 ，2 ，一3 ，2 1 ) ：3 一( 1 ，2 ，3 ，2 ，1 ) ：4 一( 0 ，0 ，0 ，0 ，0 ) 即b 6 z i e r 曲线；5 一( 一3 ，一3 ，一1 ，- 1 ，- 3 ) ： 6 一( 一3 ，一1 ，1 , - 3 ，3 ) ；7 一( 一4 ，一4 ，0 ，- 4 ，4 ) 。 第三章多形状参数的二次非均匀双曲b 样条曲线心6 3 本章提出一类带多个形状参数的二次非均匀双曲b 样条曲线。它具有多 项式b 样条曲线的绝大多数重要性质，如连续性、几何不变性、凸包性等。在 节点均匀、形状参数相等的特殊情况下这类曲线即成为1 9 】中的二次均匀双曲多 项式曲线。对于给定的控制多边形，多形状参数的引入不但可以对曲线作整 体调控，而且可作局部调控。需要指出的是若用b 样条曲线或单形状参数的 曲线插值某些控制点或控制边时，一般需要采用重节点技术或解线性方程组。 h a n l 2 驯提出了一种带形状参数a 的四次多项式曲线，当a ：4 时虽然能插值控制 点，但无法插值控制边。而用本章所给的曲线，只需令某个或某些形状参数取 特殊值就可以直接插值某些控制点或控制边。此外我们还讨论了b 6 z i e r 形式 的二次双曲线，以及如何用二次双曲b 样条曲线精确表示双曲线的问题。 3 1 二次双曲b 一样条基函数 3 1 1 基函数的构造 定义3 1 1 任给节点0 u i 一_ 三_ _ ，= 等生，令 一 1 1 + ( 2c o s h l 一i ) l a u ， 一2 面丽可面币丽再面习赤不面币茄带矗忑而面币巧i 忑而 属= 丽啊而丽而书筹蒜告终丽面而碉， f ( t ，五) = ( c o s h l 一i ) ( 1 + 五c o s h f ) ，g ( f ，) = 【c o s h ( 1 一f ) 一l 】【l + c o s h ( 1 一f ) 】 则称 鱼 ) = q 厂( ； ) ，“【“，“。) ， i q 刊f ( t 川；五“) 一属+ l g ( 刊；h “) ，甜【“f + i ，“+ 2 ) ， 属+ ：酏+ ：；“+ ：) ，“， ( 3 l 1 ) 0 ，“# ”，”，+ 3 ) 为第i 个带形状参数 丑。a , + 以+ ：0 0 - - 次非均匀双曲b 一样条基函数，简称二次双曲b 样条基。 若节点是均匀的，不难验证当所有五= a , = 0 时，( 3 1 1 ) 式即为【1 7 】中定义的当口= 1 时的二次均匀双曲b - 样条基；当所有的丑= h2 百哥且血，= l 时( 3 1 1 ) 式即为 【1 7 】中定义的带一个形状参数a 的二次均匀双曲b 一样条基函数。一般当丑= h = z 时我 们称基函数为单形状参数的，此时的 铲( 。o s h1 - 1 x i + a 坐c o s hit，一+au,+0，属5面丽面f赢aa而icosh 1 i x lc o s h 涵i ：而 。 ( s h l 1 x l + 五c o s h l x 珥司+ 坼 3 1 2 基函数的性质 定理3 1 由( 3 1 1 ) 式所定义的基函数具有以下性质： ( i ) 局部支撑性当蛳c ” o ；当”s 虬或“ms ”“时，6 i q ) = 0 。 ( i i ) 归一性当“2 。u n + l 时，6 f 0 ) = i 。 i - - - o 证明( i ) 只需讨论q “s “。+ 2 的情况，当qs “或f + 2s “s 】+ 3 时，结论是显然 的。由q ，矗的定义及 ，4 ，一赤知 因此 。c a ，+ - c 面而丽百1 湎，。c f l t + l 面丽面万i 瓦丽而 - 低；帆瓶；们 丽篱簿舞面+ 面高群卷丽 ：!f(cosht,+t-ixl+以1c o s h t , i ) + l ! ! ! ! 坚二2 二1 3 【! 笪! 竺! ! ! ! = 血塑， c o s h l 1 、 ( 1 + 五+ 1c o s h l )( 1 + h “c o s h l ) 对给定的o “，令d 钆) = 鱼生鼍云凳凳掣，易证 c ( 钆) c ( 一蕊b ) = 型址鼍亲竽型业 舳知咖型鼍舞嵩产坳， d + 。) 烈一瓦嘉1 百j ) = c o s h ( 1 - t , ) - 1 - 磊1 + i 2 c 丁o s h i - c o s h 一( 1 - t j , ) 1 因此 函数 以f ，+ l ；乱) + 届“g 撕小石品哥 。- 1 x - 1 + 2 砌l 一h + c o s h ( 1 一+ 1 ) 一l 】卜l + 2 c o s h l 一c o s h ( 1 一1 ) 】 ( c o s h l j “一1 ) ( 一1 + 2 c o s h l 一c o s h t , + 1 ) + c o s h ( 1 一“) 一1 】【一1 + 2 c o s h l - c o s h ( 1 一+ i ) 】 的图像是关于+ = 0 5 对称的，且在= 0 5 e r r , j , ；：j 笙t i + 。= 0 或+ = 1 处取得最大值， 最大值为( c o s h l 一1 ) 2 。 所以当0 t l 。 1 时，。厂“+ ； + ) + 属+ g ( + ，；“+ ) 0 故( i ) 成立。 1 4 ( i i ) 当“，s “+ l ，i ；2 ，3 ，n 时，由于自。u ) = 属g “) ，6 1 ( ”) = 1 一q ，“) 一属g “) ， 荆：q 几) ，且q ( “) = 0 ，f - 2 ，f l , i n - 7 知6 ，0 ) 一证毕 z - - - - o 3 1 3 基函数的连续性 定理3 2 设节点向量，= ，“i ，“，。3 满足u 0c ”。c c “，则由( 3 1 1 ) 式定义 的基函数以( “) ec ( m ，) 。 证明 显然6 j ( “? ) = o 群( “? ) = o ，6 f ( “二3 ) = o ，吖( “二，) = o 。 这里我们仅讨论在“= ”+ l 处的 连续性，在“= “。处可以采用同样的方法处理。经计算得到 岛( i ) = ( e o s h i i x l + 焉c o s h l ) 口, ，4 ( m 乙) = 1 - ( c o s h i l x l + 只，c o s h l ) 属+ i ， 6 f ( 吒1 ) ：s i n h l - i + ( i - 2 c o s h 1 ) 2 一, q ，群( “) ：s i n h l - 1 + ( 1 - 2 e o s h l ) , u j + 1 ，, q m ， 6 “ 由嘶，属的定义，即有4 ( 瓴) = 包( 破。) ，6 ( ) = 。( 坑) 证毕 123 a单形状参数 b 多形状参数 图3 1 形状参数丑，“对均匀节点的基函数的影响 图3 1 表示节点均匀时形状参数五，一对基函数的影响。图3 1 a 中的五= 筒= 丑，即 单形状参数的情形。其中虚线五= h = 1 0 ，实线 = h = - 0 3 。图3 1 b 中的虚线的 ：“：i o ，实线对应的 ；( - o ，3 ，- o l ，o q 04 ，o o , o4 ) ，f = o , l ，5 4 ：( 2 ，oo _ 0 2 ，- 0 t _ 0 3 m 2 xj 协6 01 02 03 04 05 0 a 单形状参数b 多形状参数 图3 2 形状参数丑，“对非均匀节点的基函数的影响 1 5 、。，j。一v a ! 一澎一 黢 图3 2 表示节点非均匀时形状参数 ，“对基函数的影响，其中节点向量为 u = ( o ，l ，4 ，9 ，1 6 ，2 5 ，3 6 ，4 9 ) 。形状参数取值与图3 1 相同。 由此可见单参数对基函数 的影响仅使其上下整体变化，多参数使其上下左右都发生变化，故可作局部调控。当 然它们的紧支柱都是( ，t 4 j + 3 ) 。 注：形状参数丑或“有时允许取值 一 ! ，这时基函数出现退化的情况，但曼 2 c o s h l l 求( 五一片) 卜丽b ，一丽晶如图3 3 中 曲线1 的丑+ i = 丑+ 2 = 所= l ，h - 瓦丽1 ，在 区间h 心1 上基函数6 i =