（基础数学专业论文）几个smarandache问题的均值计算.pdf

西北大学硕士学位论文 摘要 s m a r a n d a c h e 函数，s m a r a n d a c h e 原函数，d i r i c h l e t 除数函数，e u l e r 函数以 及一些特殊的函数和数列在数论中占有很重要的地位研究它们的均值性质以及 彼此之间的相互关系是一个很有意义的课题许多著名的数论难题都与之密切相 关因此，在这一领域内取得任何实质性的进展都将会对数论的发展起到重要的 推动作用! 本文研究了这些数论函数的均值性质和混合均值性质，通过研究函数之间的 关系，建立了几个方程，并对它们进行求解，给出了这些方程的全部整数解具体 来说，主要成果包括以下几个方面： 1 研究了一类新的平方补数函数6 ( 凡! ) 的均值估计问题，并给出了1 n ( 6 ( n ! ) ) 的一个渐近公式 2 对于第8 2 个s m a r a n d a c h e 问题，利用初等数论的方法研究了七次根的 整数部分与e u l e r 函数的混合均值问题，并给出了两个渐近公式 3 研究了由a w v y a w a h a r e 定义的近似伪s m a r a n d a c h e 函数的性质，利用 解析方法研究了近似伪s m a r a n d a c h e 函数与d i r i c h l e t 除数函数e u l e r 函数的 混合均值，得到了两个渐近公式；同时利用初等方法研究了近似伪s m a r a n d a c h e 函数与简单数相关的均值性质，从而给m 两个渐近公式 4 通过研究s m a r a n d a c h e 原函数的性质建立了包含一类自然数乘积之和， 自然数立方和与s m a r a n d a e h e 原函数之间的两个方程，同时通过对l u c a j s 数性 质的研究，建立了包含l u c a s 数和s m a r a n d a c h e 原函数的方程，利用初等方法研 究了这些方程的可解性，并给出了这些方程的全部正整数解 关键词：数论函数；平方补数函数；七次根的整数部分；近似伪s m a r a n d a c h e 函 数；s m a r a n d a c h e 原函数；方程；均值；正整数解 a b s t r a c t ( 英文摘要) t e a nv a l u eo ns e v e r a ls m a r a n d a c h ep r o b l e m s a b s t r a c t ( 英文摘要) i t i sw e l lk n o w nt h a ts o m es p e c i a lf u n c t i o n sa n ds e q u e n c e sp l a va ni m p o r t a n t r o l ei nt h en u m b e rt h e o r y t h er e s e a r c ho nm e a nv a l u ep r o p e r t i e sa n dr e l a t i o n s h i p o ft h e s ef u n c t i o n si sas i g n i f i c a n ta n di m p o r t a n tp r o b l e m 。m a n yf a m o u sn u m b e r t h e o r e t i cp r o b l e m sr e l a t et ot h e s ef u n c t i o n s t h e r e f o r e ，a n yv i r t u a l i t yp r o g r e s si n t h i s e l dw j l lc o n t r j b u t et ot h ed e v e l o p m e n to fn u m b e rt h e o r y i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w es t u d i e dt h em e a nv a l u ea n dt h eh v b r i dm e a nv a l u eo f s o m ea “t h m e t j cf u n c t i o n s ，a n dg o tas e r i e so fa s y m p t o t i cf o r m u l a ea b o u tt h e m w 6 8 e tu ps e v e r a le q u a t i o n sb ys t u d y i n gt b er e l a t i o n s h i po fs o m ef u n c t i o n s ，a n ds t u d i e d t h es o l v a b i l i t yo ft h e s ee q u a t i o n s ，t h e ng a v ea 1 1t h e i rp o s i t i v ei n t e g e rs 0 1 u t i o n s t h e m a i na c h i e v e m e n t sc o n t a i n e di nt h i sd i s s e r t a t i o na r ea sf b l l o w s ： 1 v 娓s t u d i e do nt h em e a nv a l u eo fan e ws q u a r ec o m p l e m e n t sf u n c t i o n ，a n d g a v eai n t e r e s t i n ga s y m p t o t i cf o r m u l af o rl n ( 6 ( 礼! ) ) 2 u s i n gt h ee l e m e n t a wm e t h o d s ，w es t u d i e dm e a nv a l u ep r o p e r t i e so ft h e i n t e g e rp a r to ft h e 南一t hr o o to fap o s i t i v ei n t e g e ra n de u l e rf h n c t i o n ，a n do b t a i n e d t 、加i n t e r e s t i l l ga s y m p t o t i cf o r m u l a e 3 b ys t u d y i n gt h ep r o p e r t yo fn e a rp s e u d os m a r a n d a c h ef h n c t i o nd e f i n e db y a w v y a w a h a r e ，w es t u d i e dt h eh y b r i dm e a nv a l u eo fn e a rp s e u d os m a r a n d a c h e f u n c t i o n ，d i r i c h l e td i v i s o rf u n c t i o na n de u l e rf u n c t i o n ，a n dt 、阳i n t e r e s t i n ga s v m p t o t i cf o r m u l a eh a db e e no b t a i n e d m e a n w h i l e ，u s i n gt h ee l e m e n t a r ym e t h o d s ，w e s t u d i e dt h em e a nv a l u eo ft h en e a rp s e u d os m a r a n d a c h ef h n c t i o no nt h es i m p l e n u m b e r s ，a n dg a v et w oi n t e r e s t i n ga s y m p t o t i cf o r m u l a e 4 w bs e tu pt w oe q u a “o n sj n v o l v i n gak j n do fs u mo fn a t u r a ln u m b e r s p r o d u c t s ，t h ec u b i cs u mo fn a t u r a ln u m b e r sa n ds m a r a n d a c h ep r i m i t i v ef u n c t i o n b ys t u d y i n gt h ep r o p e r t yo fs m a r a n d a c h ep “m i t i v ef h n c t i o n b ys t u d y i n gt h e p r o p e r t yo fl u c a sn u m b e r s ，陀a l s os e tu pa ne q u a t i o ni n v o l v i n gs m a r a n d a c h e p r i m i t i v ef u n c t i o na n dl u c a sn u m b e r s t h e n 、eu s e dt h ee l e m e n t a r vm e t h o d st o s t u d yt h es o l v a b i l i t yo ft h e s ee q u a t i o n sa n dg a v ea l lt h e i rp o s i t i v ei n t e g e rs o l u t i o n s k e y w o r d s ： a r i t h m e t i cf u n c t i o n s ；s q u a r ec o m p l e m e n t sf u n c t i o n ；t h ei n t e g e r p a r to ft h e 七一t hr o o t ：n e a rp s e u d os m a r a n d a c h ef h n c t i o n ；s m a r a n d a c h ep r j m i t i v e f h n c t i o n ；m e a nv a l u e ；e q u a t i o n ；p o s i t i v ei n t e g e rs o l u t i o n i i 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。 本人允许论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研 究所等机构将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库或其它 相关数据库。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：蟑指导教师签名：药么鲴绔 加譬年石月d 日砌彩年月秒日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，本论文不包含其他人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而 使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：尉：酶琴 渺g 年歹月d 日 西北大学硕士学位论文 1 1 数论简介 第一章绪论 人类从学会计数开始就一直和自然数打交道了，后来由于实践的需要，数的 概念进一步扩充，自然数被叫做正整数，而把它们的相反数叫做负整数，介于正 整数和负整数巾间的巾性数叫做0 ，它们合起来叫做整数人们在对整数进行运 算的应用和研究中，逐步熟悉了整数的特性比如，整数可分为两大类：奇数和偶 数( 通常被称为单数和双数) 等利用整数的一些基本性质，可以进一步探索许 多有趣和复杂的数学规律，正是这些特有的魅力，吸引了古往今米许多的数学家 不断地研究和探索数论，它的研究对象始于最简单不过的整数，却有着最丰富 不过的内涵早在古希腊时期，欧几里得的几何原本一书，就有专章通过素 数概念，素数积唯一分解与素数个数无限等定理创立了朴素而诱人的整数理论 在中国古代，虽然整数的性质理论并非主要贯注所在，但也有“巾围剩余定理” 这样的光辉篇章到近代的几个世纪，整数的理论往往吸引着许多伟大的数学家， 诸如f e r m a t ，e u l e r ，g u a s s ，r i e m a n n ，j a c o b i ，d i r i c h l e t 等，他们的贡献使数论成 为数学中最有魅力的一个支柱著名的难题如g o l d b a c h 猜想，f e r m a t 大定理以 及r i e m a n n 猜想等，已成为数百年来许多大数学家所殚精竭虑的焦点不少重 大数论课题的研究都创造了极其深刻的新方法，甚至促进了新的数学分支的发 展 今天的数论已经发展产生了十几个分支，诸如初等数论，解析数论，代数数 论，几何数论等，许多内容已经发展到相当深刻的程度，以至于搞不同分支的数论 同行间也无法相互交流初等数论是数论中不求助于其他数学学科的帮助，只依 靠初等的方法来研究整数性质的分支比如中国古代著名的“中国剩余定理”就 是现在初等数论中很重要的内容代数数论是把整数的概念推广到代数学的一个 分支，数学家把整数概念推广到一般代数数域上去，相应的建立了素整数，可除性 等概念几何数论是由德国数学家，物理学家m i n k o w s k i 等人开创和奠基的几 何数论研究的基本对象是“空间格网”什么是空间格网呢? 在给定的直角坐标 系上，坐标伞是整数的点，叫做整点全部整点构成的组就叫做空间格网空间格 网对几何学和结晶学有着重大的意义由于几何数论涉及的问题比较复杂，必须 具有相当的数学基础才能深入研究在数论的诸多分支之中，解析数论是数论中 以解析方法作为研究工具的一个分支，它起源于自然数列中的素数分布问题和以 自然数表为特殊形式的项的和的问题一百多年来，解析数论主要是随着不断引 进解析方法来研究素数分布，孪生素数，g o l d b a c h 猜想，w a r i n g 问题，整点问题， 整数分拆等著名数论问题而发展起来的它所特有的基础知识主要是r i e m a n n ( 函数论与d i r i c h l e tl 函数论，以及一些有关模函数的性质，它所特有的基本方法 主要是复变积分法，圆法，指数和方法与特征和方法以及筛法等逐步建立了较 为完整的理论体系，人人推进了对数论中著名问题的研究因此，解析数论一直是 数学中十分活跃而且脚踏实地取得进展的一个分支从二十世纪三十年代开始， 1 第一童绪论 我国在解析数论，丢番图方程，一致分布等方面都有过重要的贡献，出现了华罗 庚闵嗣鹤柯召等，流的数论专家其中华罗庚教授在三角和估计与堆垒素数 论方面的研究在国际数学界都是享有盛名的1 9 4 9 年以后，解析数论的研究得到 了更大的发展特别是在“筛法”和“歌德巴赫猜想”方面的研究，已取得世界 领先的优异成绩陈景润在1 9 6 6 年证明“歌德巴赫猜想”的“一个大偶数可以 表示为一个素数和个不超过两个素数的乘积之和”以后，在国际数学界引起了 强烈的反响，盛赞陈景润的论文是解析数论的名作，是筛法的光辉顶点至今，这 仍是“歌德巴赫猜想”的最好结果 数论的特点和魅力之一就是它的大多数问题简明和易于接近，但难以解决 数论在数学中的地位是独特的，高斯曾经说过“数学是科学的皇后，数论是数学 中的皇冠”因此，数学家都喜欢把数论中一些悬而未决的疑难问题，叫做“皇 冠上的明珠”，以鼓励人们去“摘取”- 费尔马大定理，孪生素数问题，歌德巴赫 猜想，圆内整点问题，完全数问题就是几颗比较著名的“明珠” 提出好的未解决的问题是一门艰难的艺术在平庸无聊的问题和几乎无望 求解的问题之间求得平衡是困难而微妙的有许多易于表述的问题，专家告诉我 们，这些问题到下一代也不太可能获得解决即使我们不能活着看到r i e m a n n 猜 想，g 0 1 d b a c h 猜想，孪生素数猜想，m e r s e n n e 素数猜想或者奇完全数猜想的解决， 然而我们却看到了四色猜想的解决从另一方而来说，“未解决的”问题未必就 是根本不可解的，或许可能比我们一开始所想的要容易得多在罗马尼业著名数 论专家f s m a r a n d a c h e 教授所作出的许多贡献中，其中一项就是他源源不断的 提出一系列出色的问题在国际数学界的一些杂志，期刊甚至百科全书中把他所 提出的一些问题命名为s m a r a n d a c h e 函数，序列，悖论等1 9 9 3 年在他所著的 0 n l yp r o b l e m s ，n o ts o l u t i o n s 一书中他就提出了1 0 5 个数论中尚木解决的 问题s m a r a n d a c h e 的许多问题具有一定研究价值，近年来已经引起了国内外很 多专家和学者的研究兴趣 一 1 2研究背景与课题意义 数论，是研究数的规律，特别是研究整数性质的数学分支数论形成一门独 立的学科后，随着其它数学分支的发展，研究数论的方法也不断地在发展，现代数 论已经深入到数学的许多分支，在我国，数论也是发展最早的数学分支之一 当自变量佗在某个整数集合中取值，囚变量? ! ，取实数值或复数值的函 数可= 厂( n ) ，这种函数称之为数论函数，它们在许多数论问题的研究中起着非常 重要的作用尽管很多重要的数论函数的单个取值往往很不规则，然而它们的均 值，( n ) 却体现出很好的规律性，因而数论中对数论函数性质的研究经常是在 西 均值意义下进行的【? 】【? ? 】 算术函数的均值估计是数论尤其是解析数论的重要研究课题之，是研究各 种数论问题不可缺少的工具许多著名的数论难题都与这些均值密切相关，因而 在这一领域取得任何实质性进展都必将对解析数论的发展起到重要的推动作用 2 西北大学硕士学位论文 在0 n l yp r o b l e m s ， n o ts o l u t i o n s 一书中，罗马尼亚数论专 家s m a r a n d a c h e 【? 1 提出了1 0 5 个尚未解决的数论问题对其中的一些问题 进行研究，并给予一定程度上的解决，是有趣并有一定的理论意义的研究课题 s m a r a n d a c h e 问题具有一定的研究价值，近年来引起了国内外很多专家和学 者的研究热情基于对s m a r a n d a c h e 问题的兴趣，本文应用初等数论，解析数论 等知识对他提出的几个数论中未解决的问题进行研究，并得出了一些比较好的结 果主要研究了数论中与s m a r a n d a c h e 问题相关联的一些重要函数的均值性质， 以及与s m a r a n d a c h e 原函数相关的方程的解的问题 1 3 主要成果和内容组织 如前所述，本文成果主要表现在研究一些重要数论函数的均值性质和混合均 值性质研究了包含s m a r a n d a c h e 原函数与一类自然数乘积之和，自然数立方和 的方程，以及包含s m a r a n d a c h e 原函数与l u c a s 数的方程的可解性等内容分布 在第二至第五章具体来说，本文的主要成果和内容组织如下： 1 研究了一类新的平方补数函数6 ( 佗! ) 的均值估计问题，并给出了1 n ( 6 ( 礼! ) ) 的一个的渐近公式 2 对于第8 2 个s m a r a n d a c h e 问题，利用初等数论的方法研究了七次根的 整数部分与e u l e r 函数的混合均值问题，并给出了两个的渐近公式 3 研究了由a w v y a w a h a r e 定义的近似伪s m a r a n d a c h e 函数的性质，利 用解析方法研究了近似伪s m a r a n d a c h e 函数与d i r i c h l e t 除数函数，e u l e r 函 数的混合均值，得到了两个有趣的渐近公式；同时利用初等方法研究了近似 伪s m a r a n d a c h e 函数与简单数相关的均值性质，从而给m 两个有趣的渐近公式； 4 通过研究s m a r a n d a c h e 原函数的性质，建立了包含一类自然数乘积之和， 自然数立方和与s m a r a n d a c h e 原函数之间的两个方程，同时通过对l u c a s 数性 质的研究，结合s m a r a n d a c h e 原函数建立了包含l u c a s 数和s m a r a n d a c h e 原函 数的方程，利用初等方法研究了这些方程的可解性，并给出了这些方程的全部正 整数解 3 第二章关于n ! 的平方补数函数 第二章关于佗! 的平方补数函数 2 1 引言 对任意的正整数n ，设6 ( n ) 表示礼的平方补数函数即：6 ( 佗) 表示最小的正 整数七，使得礼南是一个完全平方数例如，6 ( 1 ) = 1 ，6 ( 2 ) = 2 ，6 ( 3 ) = 3 ，6 ( 4 ) = 1 ， 6 ( 5 ) = 5 ，6 ( 6 ) = 6 ，6 ( 7 ) = 7 ，6 ( 8 ) = 2 ，在文献f 1 1 的第2 7 个问题中，f s m a r a n d a c h e 教授建议我们研究平方补数函数6 ( n ) 的性质关于这个问题，有一 些学者对其进行了研究，如文献f 7 】和 8 的作者分别给出了关于6 ( 佗) 的几个渐 近公式本文主要利用初等数论方法研究了6 ( 礼! ) 的渐近性质，并给出了1 n ( 6 ( n ! ) ) 的一个有趣的渐近公式即就是证明了下面的： 定理2 1 ：对任意的正整数n ，我们有 m 胁m + 。卜( 淼) ) ， 其中a 0 是一个常数 2 2 两个引理 算式 为了完成定理的证明，我们需要引入下面的几个引理 引理2 1 ：设礼! = 省1 赡2 p 譬表示n ! 的标准素因数分解式，则我们有计 6 ( n ! ) = 6 ( 贡1 ) 6 ( p ；2 ) 6 ( p 岩) = p d ( p 1 j 谬d ( p 2 ，p d p ， 其中卯d 函数定义如下? 。r d c a ，= 三： 耋主羹袭萋荨： 证明参阅文献 2 】 引理2 2 ：对任意的实数z 2 我们有 p ( z ) = l n p 。( 盎) ) 证明参阅文献 4 】和 6 】 4 西北大学硕士学位论文 2 3 定理的证明 本节我们来完成定理的证明首先由引理2 1 可得 l n6 ( 仃! ) = l n ( 6 ( 硝1 ) 6 ( 理2 ) 6 ( 磙。) ) ： fl np p n 2 t d r d ( p ) = 1 n p + 1 n p + l n p + + o ( 1 ) 詈 p 几詈 1 ，我们有 掣= 善z + o ( 产知) 急s 七( n ) 7 r 2 。、4 定理3 2 ：对任意实数z 1 以及任意给定的的正整数七 1 ，我们有 志= 拦褊产 + a + o ( 产g z ) 急妒( s 七( 礼) ) ( 七一1 ) “ 一。“ 。 其中a = 1 量辎一墨帮，7 是眈衙常数 其中a = 1 嚣潞一鼍啬笋，7 是眈f e r 常数 几= 1 、7 n = 1 、 3 2定理的证明 本节我们来完成定理的证明首先来证明定理3 1 对任意实数z 1 ，设m 是一个满足m 岛z ( m + 1 ) 惫的正整数，由s 惫( n ) 的定义我们有 譬r妒( s 七( n ) ) 2 善双三妒帮+拄l k n ( + 1 ) k 、7 ：孰+ 1 ) 七。】宰+ 。 = 【( 抖1 ) 七一七】掣+ o = 1 6 妒( m ) 。掣)n 2r n = 0 m = 0 兀 pm = 0 罟丝二12 2 ”8 - 2 。簧 二j 2 m 5 ( 2 一去) ( 4 1 ) 其中( ( s ) 是r i e m a n nz e t a 函数，兀表示所有素数的乘积 p 由( 4 1 ) 式以及p e r r o n s 公式( 参阅文献【6 ) ，对于6 = 1 + ，t 1 以 及z 1 我们有 驴垆熹e 邝，知。孙。( 华) 9 ( 4 2 ) 芝矿 d 一 一 卿 0 一 竺严 d 一 一 = 等 第四章近似伪s m a r a n d a c h e 函数的均值 取n = ；+ e ，并改变( 4 2 ) 式中的积分路线可得 其中的 m n ) 2 妒( s ) ( 2 一拦 + 熹l ( + + ：h s 凇一刍d s + 。孙。i 坐竽1 因此我们有 n z ( + e h 凇一拦飒；， ( 等 s ) ( 2 一# 飒扣0 9 2 t ( 2 ( s ) ( 2 一妄) d s z l 0 9 2 t ，凸一i 丁 二o d ( 2 n ) = 罾 s ) ( 2 一去) 等+ o 怿 + 。( 扣0 9 2t ) + 。孙。陋z ，字 譬 s ) ( 2 一去) 等+ o 引譬( 2 ( s ) ( 2 一去) 等+ o 引 。( 凼0 9 2t ) + 卟1 托字1 在( 4 3 ) 式中取t = z 托可得 d ( 2 n ) = 譬r s ) ( 2 一去) 等+ o ( 步5 ) + o ( 凼。9 2z ) n s z = 警 s ) ( 2 一去) 等+ o ( 扪。9 2z ) 容易算出函数( 2 ( s ) ( 2 一嘉) 警在二阶极点s = 1 处的留数为 曾r s ) ( 2 一去) 筹：瓤gz + ( 警一罾( 2 ( s ) ( 2 一去) 等2 差幽gz + ( 半一 联合( 4 4 ) 式和( 4 5 ) 式我们容易得出 几 zd ( 2 沪知阱( 警一+ o ( 凼0 9 2 z ) 于是完成了引理4 3 的第一个式子的证明 1 0 ( 4 3 ) ( 4 4 ) ( 4 5 ) 西北大学硕士学位论文 设九( s ) ：登掣由e u l e r 乘积公式( 参阅文献 3 ) 以及妒( n ) 的定义我 n = 1 们可得 吣卜珥( ，+ 薹等)p m = 1 ， = ( 1 + 薹譬旭( 1 + 薹等) ( ( s 一1 ) 旦( 1 + 薹，笋) ( 1 + 薹，哗) “s 9 ( 1 + 薹。笋) - 1 ) ( 1 + 薹，警) “s ( 1 + 薹，掣) ( ( s 一1 ) 2 8 f f s l2 5 + 3 根据p e r r o n 公式( 参阅文献 6 ) 以及证明引理4 3 第一个式子的方法我们 就可以得到引理4 3 第二个式子 于是完成了引理4 3 的证明 4 1 3 定理的证明 本节我们来完成定理的证明由引理4 3 第一个式子我们可得 d ( 2 妒知gz 一( 警一言) 蚪d ( 凼0 9 2z ) n 兰主 再根据引理4 1 以及引理4 2 第一个式子我们有 d ( 七) = d ( k ( n ) 一兰! ! 丢! ! ! ) = d ( 罟) + d ( n ) n z 一 礼s z 2 l n2 t n = d ( n ) + d ( n ) 一d ( 2 n ) n 考 n z n 盖 = 兰z 。gz + a z + o ( z ；，。9 2z ) = 一7 rl n c r7 r + 7 r 。+ i ，l7 ，z i f ，。，- 4 “1 。64 。i 、。1 。b “。 其中a 是一个可计算的常数 11 第四童近似伪s m a r a n d a c h e 函数的均值 这就完成了定理4 1 的证明 下_ 向我们来证明定理4 2 注意到 ( 2 ) = 警以及引理4 3 的第二个式子我 们可得 n ) = 杀z 2 + 。( z 扣) 儿j 再根据引理4 1 以及引理4 2 的第二个式子我们有 妒( 尼) = 妒( k ( n ) 兰竺篆l 旦) = 妒( 罟) + 妒( 佗) 厶j 。、厶一、。 几z n 茎z 2 i n2 t n = 妒( n ) + 妒( 咒) 一妒( 2 咒)- 。z j n s 考 n z 几考 = 嘉冉。( 疹8 ) ，u ，i 其r f l 是任意的正数 这就完成了定理4 2 郇j 证明 4 2两个包含简单数的近似伪s m a r a n d a c h e 函数的均 值计算 4 2 1引言 u 。 一 在文献 1 】笫2 3 个问题中，如果一个正整数n 的真因子的乘积不超 过n ，我们就称n 为简单数令a 表示所有简单数的集合，即有a = 2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 ，9 ，1 0 ，1 1 ，1 3 ，1 4 ，1 5 ，1 7 ，1 9 ，2 1 ，) 容易看出，n 有四种情形j 即礼= p ，或n = p 2 ，或n = p 3 ，或礼= p q ，这里p ，g 是不同的素数在文 献1 2 1 中，d a v i dg o r s k i 将伪s m a r a n d a c h e 函数z ( 礼) 定义为最小的正整数亡，使 得z ( n ) = m i n ：，礼i ( 1 + 2 + 3 + + ) ) 在文献 1 3 】中，a w v y a w a h a r e 将z ( n ) 做了如下变换：添加了一个最小自然数忌，从而定义了一个新的函 数k ( n ) ，即：对任意的正整数n ，k ( 佗) = m ，这里m = + 忌，七是使几能整 函 除m 的最小正整数我们称这个函数k ( n ) 为近似伪s m a r a n d a c h e 函数本文 主要利用了初等数论方法研究了近似伪s m a r a n d a c h e 函数与简单数相关的渐近 性质并给出了两个渐近公式，即就是证明了下面的： 定理4 3 ：对任意实数z 1 ，今a 表示所有简单数的集合则我们有 脚) = 等+ b 熹+ 豢+ o ( 篙) 1 2 西北大学硕士学位论文 其中b 是一个可计算的常数 定理4 4 ：对任意实数z 17 令a 表示所有简单数的集合则我们有 n 4 n 1 ，我们有 互刍叫叫2 仙阱。( 警) 证明注意到薹三扎，c + 。( 去) ，煅p 虽灿吲山妒+ _ p1 nz 。7 t p 口 z 1 、7 p v z d 1l n l n z + d 2 + o ( 警) ( 参阅文献 1 4 】) ，我们有 r 、1 、一2 么p 口 p q z 11 ， 睡习 = 2 轮，n + 。( 志) ) 一( 帆( 志) ) 2 一z护i一3 = 矿 蟛 萨 晰 、l 1 一p 断 ，、 一 群 1 一p 嘶 2 芦 西北大学硕士学位论文 = 2 磊nz + 2 c 磊三+ 。( 志未三) 一( h n 汕g + 。( 警) ) - ( 1 山妒悃n z 惕+ 。( 尝) ( 4 于是完成了引理4 7 的证明 4 2 3定理的证明 本节我们来完成定理的证明由引理4 4 ，引理4 5 和引理4 6 我们有 k ( n ) = k ( p ) + k ( p 2 ) + k ( 矿) + k ( p q ) n a p z 矿zp 3 z p q z n zp g ：墼掣+ 煎攀 怎2。怎 2 p z口 o + 煎+ 坐掣 矿z p 口z = 三( p 2 + 互p 6 + 乏p 2 9 2 ) + 耋( 薹p + 互p 3 + 薹册)p z p 3 zp g z 。p z p 3 z p q z = 尝+ b 熹+ 豢+ 。( 熹) = 虿i + b 五j + 百菇- + oi 五：丐) 于是完成了定理4 3 的证明 下面我们来证明定理4 4 由引理4 4 和引理4 7 我们有 三南2 南+ 乏南+ 互南+ 志 2 薹南+ 乏而南急p ( p + 3 ) 急p 2 ( 矿+ 3 )+ 互志+ 互高 卅匡志+ 互志+ 赢) 注意到币b 和高都是收敛的，则我们容易推出 三南每) 2 + + 。( 警) 其中d 和e 都是可都计算的常数 于是完成了定理4 4 的证明 第五章一些包含s m a r a n d a c h e 原函数的方程 第五章一些包含s m a r a n d a c h e 原函数的方程 5 1 引言 设p 为素数，n 为任意正整数，我们定义s m a r a n d a c h e 原函数昂( n ) 为最小 的正整数力，使得矿i 后! ，即 s ；( n ) = m i n 七：后，p ni 后! ) 例如& ( 1 ) = 2 ，& ( 2 ) = 函( 3 ) = 4 ，& ( 4 ) = 6 ，在文献【1 】中的第4 7 ，4 8 ，4 9 ， 个问题中，美籍罗马尼亚数论专家f s m a r a n d a c h e 建议我们研究函数昂( 扎) 的 性质为方便起见，我们称函数昂( n ) 为s m a r a n d a c h e 原函数s m a r a n d a c h e 原 函数昂( 佗) 与s m a r a n d a c h e 函数s ( n ) 之间有着非常密切的联系，这里 s ( 他) = m i n m ：m ，几im 1 ) 从s ( 礼) 的定义容易得到s ( p ) = p ，且当n 4 ，n p 时，有s ( n ) 几于是可得 巾卜1 + 量剐 其中丌( z ) 表示小于z 的素数的个数 s m a r a n d a c h e 函数s ( n ) ，s m a r a n d a c h e 原函数品( 佗) 以及关于s l a r a n d a c h e 原函数的方程的研究是数论中一个重要且有意义的课题许多学者都对此进行了 研究( 参阅文献 1 5 1 7 ) 张文鹏和刘端森在文献 1 8 】中给出了昂( n ) 的一个较 好的渐近公式，即对任意给定的素数p 和任意的正整数佗，有 昂( n ) = ( p _ 1 ) 卅o ( 南1 m ) 李洁在文献【1 9 】中研究了方程 昂( 1 ) + 昂( 2 ) + + 昂( n ) = 昂( 丛) 的可解性并给出了上面方程的所有的正整数解但是对于s m a r a n d a c h e 原函数 与任意类型的自然数乘积之和的关系以及s m a r a n d a c h e 原函数与自然数立方和 的关系似乎并没有人研究过，至少我没有见过与之相关的文献本文利用初等数 论的方法研究了s m a r a n d a c h e 原函数与一类型的自然数乘积之和的方程 s ( 1 2 ) + 昂( 2 3 ) + + 5 p ( 佗( 扎+ 1 ) ) = 昂( 竺竺尘掣) 以及s m a r a n d a c h e 原函数与自然数立方和的方程 昂( 1 3 ) + 昂( 2 3 ) + + 岛( 礼3 ) = 昂( 掣) 西北大学硕士学位论文 的可解性，并给出了这两个方程的所有的正整数解即就是证明了下面的： 定理5 1 ：设p 为给定的素数，几为任意正整数则方程 昂( 1 2 ) + 昂( 2 3 ) + + 昂( n ( n + 1 ) ) = 昂r 丛竺掣、) ( 5 1 ) u 有有限个解? ( z ) 当p 为2 ，3 或7 时，方程( 5 1 ) 仅有一个n = 1 解j