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内蒙古师范大学硕士学位论文 中文摘要 b a n a c h 空间中度量投影问题是一个经久不衰的研究课题，在最优化、 计算数学、方程论、控制论中均有重要作用，而度量投影的连续性问题 更是人们长期研究的重点关于度量投影的连续性问题的研究开展的已 比较理想，但对于对偶空间x + 中度量投影连续性问题的研究还不是很完 善，本文研究了对偶空问x 中超平面上度量投影的表达式、口w 逼近集、 ( s k ) 性质与度量投影连续性的关系，得到较好的结果全文共分为三章 第一章：给出b a n a c h 空间x 的对偶空间x 中超平面上度量投影的表 达式，并在某些b a n a c h 空间中研究了超平面上度量投影的连续性 第二章：在弱紧局部一致凸( w 口( 紧局部一致凸( 瓯泺) ) 的空间中， 讨论了口w 逼近紧与弱逼近紧( 口w 逼近紧与逼近紧) 的关系，并且由此得出： 若g 是口w 逼近紧凸集( 口w 逼近紧集) ，则圪是范一弱( 范一范) 上半连续 第三章：研究了具有性质( s k ) 的空间的对偶空间x 中度量投影的 连续性问题，得到了关于度量投影连续性方面的几个结果 关键词：度量投影，对偶空间，超平面，a w 逼近集，( s k ) 性质， 连续性 a b s t r a c t t h eq u e s t i o no fm e t r i cp r o j e c t i o n i nb a n a c hs p a c e sl s ac o n t l n u o u s r e s e a r c ht o p i c ，i th a sv e r yi m p o r t a n tv a l u ei n o p t i m i z a t i o n ，c o m p u t a t l o n a i m a t h 锄a t i c s ，e q u a t i o nm e o r y a n dc o n t r 0 1m e o r y c o n t i n u i t y 雠m 咖c p r o i e c t i o ni s s t u d i e df o r e 、，e r u p t on o w ，c o n t i n u i t yo fm e 协cp r o j e c t l o n h a v e n ，tb e e nv e 珂p e 彘c ti nad u a ls p a c e so f b a n a c hs p a c e sx i nt h l sp a p e r im a i n l ye x p l o r et h er 印r e s e n t a t i o no f m em e t r i cp r o j e c t i o n so f 。h y p e 印l a n c e s ： 口wa p p r o x i m a t i o ns e t ， a n dt h e r e l a t i o nb e t w e e n( s k ) p r o p e r 哆 a n d c o n t i n u i t vo fm e t r i cp r o j e c t i o n i nm ep r o c e s so fm y s t u d y ，ih a v eo b t a l n e d s o m ep r o d u c t i v er e s u l t s t l l i sp 印e r c o n s i s t so ft h r e ep a n s c h a r p t e ro n e i nt h i sc h a p t e r ，w eg i v ear 印r e s e n t a t i o no ft h e m e t n cp r o i e c t i o n so n ac l a s so f h y p e 叩1 a n c e si nt h ed u a ls p a c e so f b a n a c hs p a c e s f o r s o m es p e c i a lb a n a c hs p a c e s ，s o m e r e s u l t so fc o n t i 姗i t yo f t h em e t n cp r o j e c t l o n so nac l a s so f h y p e 印1 a n ei n x o r x + a r eo b t a i n e d c h a r p t e rt w o i nt h i sc h a p t e r w em a i n l ys t u d yt h er e l a t l o n s b e t w e e n w e a k l ya p p r o x i m a t i o ns e ta n d口w 印p r o x i m a t i o nc o m p a c t s e t ( a p p r o x l m a t l o n s e ta n d口wa p p r o x i m a t i o nc o m p a c ts e t ) i nw e a k l yl o c a l i yu n l f o r m c o n v e x s p a c e s( c o m p a c t1 0 c a l l y u n i f o r mc o n v e xs p a c e ) w ep r o v et h a t 1 l 爿1 s w e a k l yl o c a l l yu n i f o 咖c o n v e xs p a c e s ( c o m p a c t l o c a l l yu n i f o n nc o n v e xs p a c e j a n dgcx i s口w印p r o x i m a t i o n c o n v e xs e t( 口wa p p r o x 蛐a t l o n s e t ) ， t h e n 圪 i sn o n n w e a k l y ( n o m n o m ) u p p e r s e m i - c o n t i n u i t y c h a r p t e rt h r e e i nt h i sc h a p t e r ，w es m d y t h ep r o b l e m sa b o u tc o n t m u l t y o ft h em e t r i cp r o j e c t i o n si nd u a ls p a c e so fxw h i c h h a v et h ep r o p e r t y ( s k ) ， a n do b t a i n e ds o m er e s u l t sa b o u tc o n t i n u i t yo f t h em e t n cp r o j e c t l o n s k e yw o r d s ：m “cp r o j e c t i o n ，d u a ls p a c e ，h y p e r p l a n e ，a wa p p r o x i m a t i o n ，( s k ) p r o p e r t y c o n t i n u i t y 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研 究工作及取得的研究成果，尽我所知，除了文中特别加以标注和 致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果，也不包含本人为获得内蒙古师范大学或其它教育机构的学位 或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任 何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示感谢。 、， 签名：越! 日期：枷影年 手月巧日 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解内蒙古师范大学有关保留、使用学 位论文的规定：内蒙古师范大学有权保留并向国家有关部门或机 构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以将学 位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影 印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文，并且本人电子 文档的内容和纸质论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 签名： 献午 导师签名：瓣田 日期：瑚年。月码日 b a n a c h 空间中度量投影的连续性 引言 b a i l a c h 空间中度量投影问题是一个经久不衰的研究课题，在最优化、计算数学、 方程论、控制论中均有重要作用，而度量投影的连续性问题更是人们长期研究的重点 1 9 7 9 年，f s u l l i v a l l 1 】研究了b 锄a c h 空间中度量投影的连续性问题，得到了如下结果： 若x 是局部2 一致凸空间，m 是x 的c h e b y s h e v 子空间，则匕连续此后，俞鑫泰、 那启元、王建华、南朝勋等在文【2 5 】中陆续将该结论作了进一步的推广同时，随着 凸性条件的减弱，陆续出现了范一范( 范一弱) 上半连续性方面的重要结论，这些结 论大大完善了度量投影连续性问题的研究2 0 0 1 年，王玉文和于金风 6 】给出了自反 b a l l a c h 空间极大子空间上度量投影的表达式，还给出了自反、严格凸且光滑的b a n a c h 空间中超平面上度量投影的表达式，继而在文献【7 】中，对b a l l a c h 空间中度量投影表 达式又作了进一步补充说明，使度量投影表达式的问题更加充实和完备随后，吴永 生和王建华【8 】、李志伟【9 】、王玉文和王辉【1 0 分别在文 8 1 0 】中，研究了b a n a c h 空间 中广义正交与度量投影的关系以及度量投影算子的性质，对b a n a c h 空间中广义正交 分解定理以及广义正交可补子空问中度量投影的表达式都进行了详尽的论述最近， 王建华【l l 】还给出了非自反b a n a c h 空间中度量投影的表达式，使得条件进一步减弱， 并在近严格凸空问中研究了度量投影连续性在具体的应用问题中，度量投影的表达 式是非常重要的，是研究连续性问题的一个有利工具对于对偶空问x 。，度量投影 的连续性研究相对较少，因此，在对偶空间x + 中的超平面上，建立度量投影的表达 内蒙古师范大学硕士学位论文 式，并利用该表达式研究对偶空间x + 中度量投影的连续性问题将是一项很有意义的 工作，本文中我们将要开展针对这些问题的研究 逼近紧的概念首先是由n v e f i m o v 和s b s t e c l l l 【i n 1 2 】引进的，w b r e c l ( i l e r 【1 3 】推 广到弱拓扑情形一般的非拓扑下的逼近紧的研究应归于f d e u t s c h 【1 4 】傅俊义和张文 耀【1 5 】引入了一类比紧局部一致凸空间更为广泛的空问b 锄a c h 空间( 即弱紧局部一致 凸间) b b p a n d a 和o p k a p o o r 【1 6 1 7 】研究了局部一致凸空间中度量投影的一系列性 质程燕【18 在弱紧局部一致凸空间中，讨论了度量投影的弱连续性与弱逼近紧集、太 阳集之间的关系倪仁兴【1 9 也讨论了凸性与度量投影的连续性的关系徐士英，李 冲，杨文善 2 0 】在b a n a c h 空间中的非线性逼近理论中，引入口w 逼近紧集概念( 注： 口w 收敛是弱于弱收敛的一种收敛) ，由于度量投影与紧集有密切的关系( 如，弱逼近 紧与度量投影的连续性有关系，弱逼近紧与度量投影的连续性也有关系) ，于是自然 会问：口w 逼近紧与度量投影的连续性又有怎样的关系昵? 若考虑某些特殊的b a l l a c h 空间，那么在这些特殊的空间中口w 逼近紧与弱逼近紧有联系吗? 进一步，我们能够 找出口w 逼近紧与度量投影的连续性之间的某种联系吗? 这些都是值得研究的问题 1 9 8 0 年，b b r o s o w s k i ，f d e u t s c h 和g n n m b e r g e r 【2 l 】研究了赋范线形空间彳中 度量投影族f _ 只( x ) 的连续性1 9 8 4 年，m t s u k a d a 【2 2 】给出了自反b a n a c h 空间x 中 的度量投影序列 厶) 的收敛性定理在文献【2 3 2 5 】中，研究了非自反b a n a c h 空问x 中的度量投影的连续性及投影序列 ) 的收敛性，其中包括王建华【2 3 】的工作，他 所做的工作是：定义了几何性质( c k ) ，并在具有( c k ) 性质的b a n a c h 空间中得 到了度量投影连续性方面的重要结果，并指出具有( c k ) 性质的空问有很多( 例如， 2 b a i l a c h 空间中度量投影的连续性 局部接近一致凸( 简记为圳) 和弱紧局部尼凸( 简记为w c 一艘) 空间都具( c i i ) 性 质；局部七凸( 简记为三一解) 空间具有( c i ) 性质；紧局部凸( 简记为c e 一胀) 空间具 有( c i i i ) 性质) 2 0 0 1 年，方习年和王建华【2 5 】得到，在强凸( 近强凸；近非常凸) 空间中，度量投影是连续的( 范一范上半连续；范一弱上半连续) ，王建华和张子厚【2 6 】 和张子厚和熊维玲 2 7 】讨论了( c k ) 性质及其特征( c k ) 性质的出现使度量投影 连续性问题的研究有了进一步的发展，这说明( c k ) 性质在研究b a n a c h 空间中的度 量投影连续性问题上是有重要作用的，因而关于( c k ) 性质的研究是很有必要的对 偶性质一直以来是b a l l a c h 空间几何理论的重要研究课题，v b a r b u 和j p r e c u p a l l l 2 8 】 进行过对倌映射方面的研究，而凸性与光滑性的对偶性在b a n a c h 空间有重要的理论 和应用价值，蕴涵重要的拓扑和几何性质1 9 9 9 年，苏雅拉图 2 9 】引入了( s k ) 性质， 并且证明了( c k ) 性质与( s k ) 性质具有对偶性，我们已经知道( c k ) 性质与度 量投影连续性之间的关系，那么( s k ) 性质与度量投影连续性之间是否有关系昵? 本文对此问题进行了进一步的研究 本文主要研究了对偶空间x 中超平面上度量投影的表达式、口w 逼近集、( s k ) 性质与度量投影连续性的关系 全文共分为三章 第一章：给出b a n a c h 空问x 的对偶空间x 中超平面上度量投影的表达式，并 在某些b a n a c h 空间中研究了超平面上度量投影的连续性 本章内容主要取材于笔者在导师指导下完成的文章：某些特殊b a n a c h 空问上度 3 内蒙古师范大学硕士学位论文 量投影的连续性( 已投数学物理学报) 第二章：在弱紧局部一致凸( w c 乙嗽) ( 紧局部一致凸( 皿獬) ) 的空问中，讨论了 口w 逼近紧与弱逼近紧( 口w 逼近紧与逼近紧) 的关系，并且由此得出：若g c x 是a w 逼近紧，则圪是范一弱( 范一范) 上半连续 本章内容主要取材于笔者在导师指导下完成的文章：口w 逼近集与度量投影的连续 性( 内蒙古农业大学学报已接受) 第三章：研究了具有性质( s k ) 的空问的对偶空间彳+ 中度量投影的连续性问 题，得到了关于度量投影连续性方面的几个结果 本章内容主要取材于笔者在导师指导下完成的文章：( s 一足) 性质与度量投影的连 续性( 已投甘肃联合大学学报) 4 第一章某些特殊b a n a c h 空间中度量投影的连续性 第一章某些特殊b a n a c h 空间中度量投影的连续。 生 1 1 基本概念 为了该论文的系统性，先给出在第一、第二和第三章中共同用到的概念和符号： 本文中所涉及的空间x 为实b a i l a c h 空间，x 表示x 的对偶空间，x ”表示x 的二 次对偶空间，b a n a c h 空间x 的闭单位球和单位球面分别用u ( x ) = 缸：z x ，1 ) 和 s ( x ) = 缸：x x ，= 1 ) 表示，u ( x ) 和s ( x + ) 可类似定义；对x s ( x ) ，记 ( 功= 厂：厂s ( x + ) ，厂( x ) = 悯l = 1 ) ，对厂s ( x ) ，记彳，= 扛：x s ( x ) ，厂( x ) = l = 0 移； c o ( 缸) u 曰) 表示x 和集合b 生成的凸包，这里b c x 设彳是b a n a c h 空间x 的一个子集，度量投影只：x 一2 _ 定义为 只( z ) = 抄彳，l l 石一j ，i i = d ( x ，彳) ) ，v x y ， 其中d ( 彳) 2 璁；忙一z i i 满足条件只( z ) o 时，称彳是逼近集对坛x ，只( 力至多为单点集时，称么 是半c h e b y s h e v 集逼近半c h e b y s h e v 集称为c h e b y s h e v 集( 即，只( 力为单点集) 设彳是x 的逼近集，x x ，如果对每个包含只( 石) 的范数( 弱) 开集，存在x 的一个范数邻域【厂，使得对任意y u ，有只( y ) c 形，则称只在x 点是范一范( 范一 弱) 上半连续的如果只在x 的每一点x 都是范一范( 范一弱) 上半连续的，则称 只：x _ 2 一是范一范( 范一弱) 上半连续的 设彳是x 的c h e b y s h e v 集，x x ， ) cx ，若吒专x 时，有e ( ) 一只( 力 ( 只( ) j 只( x ) ) ，则称只在x 点范一范( 范一弱) 连续 定义1 1 1 若对vx s ( x ) ，纯) cs ( x ) 及某个( x ) ，当厂( x 。) 一1 时， x 。) 是相对紧集，则称是近强凸空间 定义1 1 2 【2 5 1 若对vz s ( x ) ， ) cs ( x ) 及某个( x ) ，当厂( x 。) j1 时， _ ) 是相对弱紧集，则称x 是近非常凸空间 定义1 1 3 1 2 8 1 如果对每一x x ，( z ) = 石x ，工( 力= 忙i l l l z i l = l p i l 2 = 1 2 ) ， 内蒙古师范大学硕士学位论文 则称映射，：z 一2 r 为对偶映射( f 。1 ) = x x ，x ( x ) = 忙i l i l x 0 = 删2 = 峥1 1 2 ) 定义1 1 4 3 0 1b a n a c h 空间x 称为强凸空间，若vz s ( x ) ，缸。) cs ( x ) 及某个 厂( x ) ，当厂( ) 专1 时，有毛一工( 即，慨一训jo ) 定义1 1 5 3 1 1b a l l a c h 空间x 称为强光滑空间，若对vx s ( x ) ，无s ( x 。) ，当 z ( x ) 一l 时，存在某个厂s ( x ) ，使0 z 一州一o 定义1 1 6 若对vx s ( x ) ，以s ( x ) ，当z ( z ) 一l 时， 以) 是相对紧集，则称 x 是近强光滑空间，也称为x 具有( s ) 性质【3 2 1 定义1 1 7 若对vx s ( x ) ，厶s ( x + ) ，当z ( x ) 一1 时， 六) 是相对弱紧集，则 称彳是近非常光滑空间，也称为x 具有( 臃) 性质【3 3 1 定义1 1 8 设x ，o ，口r ，称集合h 乙驯= y + x ，y + ( ) = 口) 为对 偶空间x + 中的超平面 定义1 1 9 设x ：x ，磊o ，口r ，称集合且粕k ) = y x ，x ：( y ) = 口) 为x 中超平面 1 2 对偶空间x 中超平面上度量投影的表达式 定理1 2 1 设x 是b a n a c h 空间，口r ，孑s ( x ) ，则 川( x ) 2 p + ( 口一，( 孑) ) “：“s ( x ) ，“+ ( i ) = 1 ) ，诋x 证明因为i s ( x ) ，于是根据h a h n b a n a c h 定理知，存在“s ( x ) ，使得 材( i ) = 例= 1 ，所以 x + ( 口一x ( i ) ) 甜：”s ( x ) “( i ) = 1 o 又因为对任意 x + ( 口一x + ( 孑) ) “+ r + 位一，( 孑) ) “：“s ( f ) ，“( i ) = 1 ， 有( x + + ( 口一x ( 孑) ) “) i = 口，所以x + ( 口一z + ( i ) ) “h 0 口 ， 故有妒_ 【x + + ( 口一x + ( i ) 咖+ 川d ( x ，h 二口) ) ，进而p x + ( i ) i d ( x + ，h 二) 另一方面，对vj ，日二口) ，有忙一y + 0 l ( x 。一y 。) i i = p x ( 又) i ， 故d ( x + ，h 0 口) ) i 口一x ( i ) i ，于是 6 第一章某些特殊b a i l a c h 空间中度量投影的连续性 d ( z + ，日去，。，) = j 口一石( 刮= i k 一 z + ( 口一z ( 孑) ) 甜】l l ， 所以日& 是逼近集，且对满足条件 s ( x ) ，“( i ) = l 的一切“+ ，有 x + ( 口一x ( i ) ) “+ 名 ( x ) ， f 亍口i 这表明 p + 心一，( 孑) ) “+ ：“s ( x ) ，“( i ) = 1 ) c ( x + ) ( 1 2 1 ) 任取y 匕占川( x 。) 且x 叠日二，则肛一y 4 = d ( x ，h 二川) = p x ( i ) l o 令 “+ 2 蒜，贝o l i “o = 1 ，“( i ) = l 且y = ，+ ( 口一x + ( i ) ) “，故 因此 y x + ( 口一x ( i ) ) “：“s ( 彳) ，“( i ) = l 当x h 0 时，则z 2 龟川( x ) 且x + ( 孑) = 口， 进而有 工= 名i ，( x 。) = x 。+ ( 口一石( i ) ) “，材+ s ( x ) ，l ，( i ) = l ， j j i i ) ( 1 2 2 ) ( x + ) c + ( 口一，( i ) ) “+ ：“+ s ( x + ) ，”。( i ) = 1 ( 1 2 3 ) 由( 1 2 1 ) ，( 1 2 2 ) ，( 1 2 3 ) 知，对协x ，有 川( x ) 。p + ( 口一，( 冤) ) “：“+ s ( x ) ，“( i ) = 1 定理1 2 2 1 设x 是b a n a c h 空间，x ，x ：o ，口火且存在x s ( x ) ，使得 ( x ) = ，则 背厂l ( m 瑚鲋 定理1 2 3 设x 是b a n a c h 空间，x ，x o o ，口尺，则 c 町协川c z ，2 x + + 竺二= i 三；声苎立f c ，v x + x 证明因为x ，o ，于是由h a h n b a n a c h 定理知，存在“+ s ( x ) ，使得 “h ) 制z ，( 南h ，令i2 晶，则由定理1 2 心口， 。( 石+ ) 2 x + ( 口一石( i ) ) ”+ ：z f s ( x + ) ，“+ ( i ) = 1 ( 1 2 4 ) 7 内蒙古师范大学硕士学位论文 而 进而有 f ( x ) = x ，x ( x ) = 州呐l = h 1 2 = 2 ) ， f ( i ) = 亿：“+ s ( x ) ，”( 孑) = 1 ) ， 于是( 1 2 4 ) 式可改写为 川( x ) 5 x + + 似一x 。( i ) ) f ( 孑) ，坛x 因而x ，o ， 舭( 南) 翊，而 十。c 护小卜c 甜= 南 壤副 由( 1 2 5 ) 式得 龟川c x ) _ 气膏t x ) _ x h 南一寄职南x 坛旷 因f 具有齐次性，即，( = 卵( x ) ，坛x ，口尺，所以有 u x ) _ 乞膏f 一。+ 智虮r 在定理1 2 3 中，令口= 0 ，则有如下的推论 ( 1 2 5 ) 推论1 2 1 设x 是b 觚a c h 空间，x ，0 ，口尺，日+ = 秒：y ( ) = 0 ) ，则 w 一一静坷“+ 作为定理1 2 3 的直接推论，可得到文献 1 1 】中推论1 2 1 的特殊情形，即有如下 的推论 推论1 2 2 设x 是自反的b a l l a c h 空间，戎s ( x ) ，口r ，则 尼赢炉肘背厂l ( 翻m 甜 “1 1 u + 一 证明在x 的二次对偶空问x ”上应用定理1 2 3 得， p 工”+ 眢兀哟m ”甜” _ m v 由于x 是自反的b a n a c h 空间，故对坛”x ”有，工”= x x ， 8 第一章某些特殊b a i l a c h 空间中度量投影的连续性 迸向有 ，。，= 广彳”：x ”( ) = 口) = x x ：x ”( ) = 写( 功= 口 2 写川， ，( ) = x ”x ”，z ”( 磊) = 0 x ”洲磊9 = 忙”0 2 = 0 磊8 2 ) = 工，写( x ) = l l i i l | | x i | = 忙0 2 = | i 菇1 1 2 = f 1 ( x ：) ， r 啪( x ) 2 川( x ”) 爿+ 背心 背一伉卜 在推论1 2 2 中，令口= o ，则有如下的推论 推论1 2 3 设x 是自反的b a i l a c h 空间，s ( x ) ，日= ：式( y ) = o ) ，则 州炉卜静厂k a 虮n 1 3 某些光滑空间中度量投影的连续性 定理l 3 1 设x 是近非常光滑的b a n a c h 空间，x ，o ，口尺，则龟川是 范一弱上半连续的 证明因为x o x ，0 ，于是根据h a h b a l l a c h 定理知，存在x s ( x ) ，使得 工+ ( 护，由定理1 2 3 的证明过程知州向) _ x 咧( 南) _ 1 ) ，任取 f ( 南) ，则# ( 南) - l 由x 是近非常光滑的b a n a c h 空间知， z ) 相对弱紧的， 这说明f ( 晶) 是相对弱紧的，进而f ( 而) 是相对弱紧的设x ：，x + x ，怫一x + l l 寸0 ， 0 l ” 9 一 网蒙古帅范大掌硕士学位论文 二二二= 二二二一 任取小( m 则由表达式川一。+ 眢知， y ：2 + ! 苫声兰立z ：，z ：，( 而) ，咒z 因f ( x 。) 是相对弱紧的，则 z ：) 有弱收敛的子列 z 乏) ，设皈) 弱收敛于z ，记 为z 二- z + 又因为0 一x 8 一o ，所以 驴艺+ 譬z 乏一z + + 智z 由于弱收敛蕴涵弱收敛，故由z 二山z ，可以推出z 二与z ，于是 z ( ) = l p z 乏( ) = 1 妒忙硼k | i = 8 2 = 忙训2 ，七= l ，2 ， 这说明l i | z 驯是存在的 若z + = o ，则显然有p 忙l i 刊l z ：。； 若z o ，则由h a l l l l b a i l a c h 定理知，存在g s ( x ) ，使g o ) = 忙l i 再 由z 乏斗z 知， m = g ( z ) = 1 ：1 1g ( z 二) l 删g 帐| j ：l 酬z m 进而有 肛f l f l i l 1 i 8 毛l | f l 而8 = z ( ) ， 显然，z + ( ) 肛i | | 8 ，故有z ( 而) = 忙 f i i 8 = 8 8 2 = p | 1 2 ，这说明z + f ( x 。) ，故 j x + 守z + 吃川) 如果0 k 叫在x 工。不是范一弱上半连续，则存在包含俨，( 工) 的弱开集渺及 序列 ) ，使4 一工+ 8 专0 但名? 。，( 工：) 旺矿，行】任取z 弓知，( # ) ，由上 面的证明知，存在子列二) ，使少二与y + ，且y 名_ 川( z ) c ，于是当七充分 大时，y 二，这与y 二萑形矛盾，所以名i 。在x + 义是范一弱上半连续 用类似与定理1 3 1 的方法，我们可证定理1 3 2 定理1 3 2 设x 是近强光滑的b a n a c h 空问，x ，而0 ，口尺，则， 是 1 。iq ，j 1 0 第一章某些特殊b a n a c h 空间中度量投影的连续性 定理1 3 3 设x 是自反的强光滑的b 孤a c h 空间，而置而o ，口r ，则 是范一范连续的 证明因x 是自反的强光滑空间，故x 是自反的近强光滑空间且x + 是严格凸的， 由定理l 3 2 知，龟川是范一范上半连续的当x 是严格凸时，非空逼近凸集上的度 量投影是单值的，因此龟川是范一范连续的 作为定理1 3 3 的直接推论，我们有如下的推论 推论1 3 1 设x 是强光滑的b a l l a c h 空间且x 是严格凸的，而x ，o 口足 则尸， 是范一范连续的 一i 期口 1 4 某些凸空间中度量投影的连续性 定理1 4 1 设x 是近非常凸的b a n a c h 空间，写r ，葛q 口足且存在x s ( x ) 使得( 力= k0 ，则乞是范一弱上半连续 证明由定理1 2 2 的证明( 见文献 1 1 】) 可知，一( 磊) g ，因为 一c 爵卜蹶高c 州 ， 耻一卯- l ( 南) c 副柳，贝。南阮) - 1 蝴是近非常凸的b a n a c h 空间知“ 有弱收敛的子列这说明即厂飞南虑相对弱紧的进酊。1 “腥相对弱紧的 设五石。x ，峙。一刈寸o ，任取儿( ) ，由表达式 k 一背，b a 虮x 知， 胪”背和”厂l ( m 剜 因厂1 ( 葛) 是相对弱紧的，故 z 。) 有弱收敛的子列 气) ，设 z 仇) 弱收敛于z ，记为 z 与z ，又因为忙。一万0 专o ，所以h 与x ，进而有 堕窭直堕翌奎兰塑主兰堡堡窭 飞+ 眢气一计眢乙 由于x ：( z ) = 1 1 l l x ：( z ) = l 妒l i z x 训= i k l l 2 = l 母l l z 4 2 ，后= l ，2 ， 这说明l ：n k 。0 是存在的 若z = o ，则显然有例i ：t 1 8 z 8 ； 若z o ，由h a l l i l - b a n a c h 定理知，存在厂s ( x ) ，使( z ) = | | z | i 再由z 与z 知，i i z i | _ 厂( z ) = 1 1 p ( 气) l i l i 硎0 气0 = l i l i z 1 1 结合情形和得，| | z | i 1 1 ：n i | z 8 ， 进而有 l l i 磊0 l i p l i z 洲葛9 = 磊( z ) ， 显然，式( z ) i i z | 1 0 x 硼，故有靠( z ) = l l z l 川靠= 0 1 1 2 = i l z i l 2 ，这说明z f 一( ) ，故 一肘背艇乞试。班 如果巴，在x 彳不是范一弱上半连续，则存在包含名。，( x ) 的弱开集及序 列 x 。) ，使一捌一。且匕( ) 旺形，行1 任取j ，。巴( 毛) 矽，由上面证明 知，存在子列 y 心) ，使y 山y 且y 弓。( z ) c ，于是当七充分大时， 这与y 仨形矛盾，所以匕在x x 是范一弱上半连续 用类似与证明定理1 4 1 的方法，可证定理1 4 2 定理1 4 2 设x 是近强凸的b a n a c h 空间，x ，o ，口尺且存在x s ( x ) ， 使得式( 曲= l k i ，则名是范一范上半连续的 作为定理1 4 2 的直接推论，可得到如下的推论 推论1 4 1 设x 是强凸的b a n a c h 空问，x ，j ：o ，口月且存在工s ( x ) 使得式( j ) = k8 ，则名是范一范连续的 证明强凸蕴涵近强凸和严格凸，由定理1 4 2 知，巳 是范一范上半连续的 当x 是严格凸时，非空逼近凸集上的度量投影是单值的，因此匕m 。是范一范连续的 1 2 第二章口w 逼近紧与度量投影的连续性 第二章以w 逼近紧与度量投影的连续性 2 1 基本概念 定义2 1 1n 6 1 如果 ) c x ，石x ，使i = 1 ，忙。0 专1 ，且溉忙+ 吒i i = 2 时， 吒) 是相对紧( 弱紧) 集，称x 是紧( 弱紧) 局部一致凸空间，记为c z 硼( w c 己獬) 定义2 1 2 1 2 0 1 设c 为x 的一个凸子集，彳是c 的子集，若从而j ，c ，f ( o ，1 ) ， z = 红+ ( 1 一f ) y 么能推出x ，y 彳，则称彳为c 的端子集，若4 为单点集 x ) ，则称x 为c 的端点，c 的端点的全体记为嘲c 定义2 1 3 1 3 4 1 设x 是b a n a c h 空间，e 和m 是x 中两个子集，令厨表示m 的闭 包，如果ec 面，则称集m 在集e 中稠密，当e = x 时，称m 为x 的一个稠密子集 定义2 1 4 1 卅设饥) 是x 的序列，而工若存在e x t 【，( x + ) 的稠子集彳c u ) ， 即力3 a 吐u ) 使x + ( ) _ ，( 而) ，w 彳，则称是口w 收敛于，记作毛与而 显然，口w 收敛是弱于弱收敛的一种收敛 r 一收敛表示下列四种收敛中的任何一种收敛： 强收敛；弱收敛；弱+ 收敛；口w 收敛 定义2 1 5 1 6 1 设y 是x 的子集，x x ，若对x 的任何极小化序列 只) cy ( 即 满足l 忙一只0 = d ( 五】，) 的序列) 均有f 一收敛于y 中的元的子列， 则称y 在x 处是 f 一逼近紧若对于坛x ，】，在石处是f 一逼近紧，则称】，是f 一逼近紧当x 的子集 y 为c h c b y s h e v 集时，r 一逼近紧称为f c h e b y s h e v 紧 定义2 1 6 1 1 6 1 设y 是x 的子集，如果对】，中的任何有界序列，均有f 一收敛于】， 中的元的子列，则称y 是f 一有界序列紧的 注：当r 一收敛表示强收敛时，f 一逼近紧和f 一有界序列紧简称为逼近紧和有界 序列紧 容易证明各种逼近紧和有界序列紧有下述关系6 l ： 内蒙古师范大学硕士学位论文 有界序列紧j 逼近紧 uu 弱有界序列紧j 弱逼近紧 uu 弱+ 有界序列紧j 弱逼近紧 uu 口w 有界序列紧口w 逼近紧 2 2 口w 逼近紧与弱逼近紧的关系 引理2 2 1 【1 6 1y 是x 中口w 逼近紧，则】，是逼近的 引理2 2 2 【1 6 1 】，是x 的子集，若y 满足下列条件之一： 】，是有界序列紧或逼近紧 】，是弱有界序列紧或弱逼近紧 ，是口w 有界序列紧 则】，是逼近的 定理2 2 1 设x 是w c l 凇空间，y c x 是口w 逼近紧凸集，则y 是弱逼近紧 证明设x 置 只) c 】，是x 的极小化序列因为】，cz 是口w 逼近紧，故存在 子集 ) c 以) ，】，e 哦饥r ) 的稠子集么cu ( x + ) ，使 x ( ) 争工( 蜘) ，坛彳， 从而 x ( z 一 ) _ x ( x 一) ，坛彳 若x 一= o ，即x = 甄，则d ( x ，y ) = 0 ，于是由 儿) cy 是x 的极小化序列知， 1 印忙一y 。8 = d ( x ，y ) = o ，这说明只强收敛于蜘，于是以弱收敛于】，因此，y 在x 处是弱逼近紧 若z 一o ，则存在式e x tu ( f ) 使磊0 一) = 忙一| i 1 4 第二章口w 逼近紧与度量投影的连续性 义凼为彳是耐u 畔) 的稠于集，所以对于嘲r ) ，存在彳，便得 峙一划g ，vs o ， 于是有 l ( x 一) 一写。一) l 一) + 扛一) ( 注：由于忙一+ x 一8 是有界数 列，故有收敛子列，不妨设! 骢忙一+ 工一i l 存在) ，故 1 i p 忙一+ x 一甄0 1 i p ( x 一) + ( z 一) = ( x 一) + ( z 一) 2 i i x 一i l 一2 占 由 0 的任意性知， l 忙一心+ x 一i i = 2 忙一i l ， 即 t i 严0 晶+ 尚i l = 2 又 l i 酬x 一+ x 嘞0 = 2 卜l i l 圳x 一x 一i i ， l i 酬x 一h x 一| i 而 l 圳x 一0 = d ( x ，】，) 忙一0 ， 故由( 2 2 1 ) ，( 2 2 2 ) 得 l i p 忙一咒。0 = 忙一8 ， 1 5 ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) 内蒙古师范大学硕士学位论文 - 妒吲吐 一 由x 是w 也凇空间知， 毒高) 是相对弱紧集，于是 ) 为相对弱紧集，故 存在 ) 的子列 ) 和z x ，使山z ，( ，一) 由引理2 2 1 知，】，是逼近凸 集，于是y 是闭凸集( 事实上，设v “歹，则一定存在饥) 歹，使一“，由于y 是 逼近集，故至少存在某个1 ，】，使陋一1 ，0 = d ( ”，】，) ，而d ( 1 f ，】，) 恤一0 寸o ，故 “= ，y ，这说明歹cy ，故】厂是闭集) ，再由b a n a c h m a z u r 定理( 即，若y 是b a l l a c h 空间x 的凸集，则】，是弱闭集当且仅当y 是范数闭集) 知，y 是弱闭集，故z y ，这 说明 y 。) 有弱收敛于】，中元的子列，因此，y 在x 处是弱逼近紧，再由、及工的 任意性知，y 是弱逼近紧 定理2 2 2 设x 是c e 凇空问，】，c x 是驯逼近紧，则】，是逼近紧 证明设x x ， 虬) cy 是x 的极小化序列，完全重复定理2 2 1 的证明过程，则 的情形下，即x 一= o 时，可推导出l 印肛一儿0 = d ( z ，y ) = o ，这说明只强收 敛于，因此，】，在x 处是逼近紧 剐蛔“p 岛+ 尚i | = 2 ，即吲乩 由x 是皿凇空间知， 毒高) 是相对紧集，于是 ) 为相对紧集，故存在 ) 的 子列 ，) 和z x ，使，一z 由引理2 2 1 知，y 是逼近集，于是y 是闭集，故z 】， 这说明 只。j 有强收敛于】，中元的子列，因此，】，在z 处是逼近紧，再由、及x 的 任意性知，y 是逼近紧 由定理2 2 2 可得到如下推论 推论2 2 2 设x 是c 己凇空问，ycx ，则y 是口w 逼近紧当且仅当y 是逼近紧 2 3 口w 逼近紧与度量投影的连续性 定理2 3 1 设x 是w c 珊空l 、h j ，ycx 是口w 逼近紧凸集，则只是范一弱上半 1 6 第二章口w 逼近紧与度量投影的连续性 连续的 证明设x 是w c e 凇空间，】，cx 是口w 逼近紧凸集，则由定理2 2 1 知，】，是 弱逼近紧假设0 不是范一弱上半连续的，则0 在某点不是范一弱上半连续的， 于是存在弱开集形 0 ( x 。) 及序列k ) cx ，恢一而0 专0 使0 ( z 。) 形g ，故可选 择只弓( ) 形，使 i k 一只l is0 而一8 + 8 吒一以0 = 0 一0 + d ( 毛，】，) 一d ( 而，】，) ， 由】，是弱逼近紧知，存在子列 ) ，使_ 】，由范数的弱下半连续知， 恢强| i o ，存在自然数( 万) ，使得当 c o ( 工) u 吒：力( 艿)