（基础数学专业论文）二阶hamilton系统同宿轨的存在性.pdf

西南大学硕士学位论文 中文摘要 二阶h a m i l t o n 系统同宿轨的存在性木 学科专业：基础数学 指导教师：吴行平教授 研究方向：非线性分析 硕士研究生：吴东伦 摘要 本文首先考虑如下二阶h a m i l t o n 系统 也( ) + v v ( t ，仳( ) ) = ，( t ) ， v t r ，( 1 ) 同宿轨的存在性其中，f ：r _ r 是一个有界函数，v c 1 ( r r ，冗) ， v v ( t ，z ) = ( o w o z ) ( t ，z ) 并且v ( t ，u ( t ) ) = 一k ( t ，u ( t ) ) + w ( t ，u ( ) ) ，k ( t ，z ) ，w ( t ，z ) 关于t 足t 周期的，k ( t ，z ) 是超线性的，w ( t ，z ) 不满足a m b r o s e t t i r a b i n o w i t z 条 件，而是满足更弱一些的超二次条件我们的具体做法是利用山路引理得到一列 周期边值问题的非平凡解，然后利用这列周期边值问题的非平凡解逼近得到一个 非零的极限，即我们要找的同宿轨 主要结果如下 定理1 假设 ( v ) v ( t ，z ) = 一k ( t ，z ) + w ( t ，z ) ，其中k ，w c 1 ( r r ，r ) 关于t 是t 0 周期的， ( 凰) 存在常数b 0 和，y 1 ( 1 ，2 】使得对所有( t ，z ) r r n 都有 k ( t ，0 ) = 0 ，k ( t ，z ) 6 饥 ( ) 对所有( ，z ) r r 都有( z ，v k ( t ，z ) ) 2 k ( t ，z ) ， ( m ) 当h o 。时w ( t ，x ) i x l 2 _ + o 。对t 一致成立， ( w 2 ) 当z _ 0 时v w ( t ，z ) = o ( i x l , ，- 1 ) 对t 一致成立， ( w 3 ) 存在常数p 1 0 和d l 0 使得对所有( t ，z ) r r 都有 1 w ( t ，z ) i d l 川仇， 基金项目：国家自然科学基金资助项目( 1 0 7 7 1 1 7 3 ) 西南大学硕士学位论文中文摘要 ( 胍) 存在常数肛1 m a x p l 一 7 1 ，1 ) ，d 2 0 和函数g l 己1 ( r ，r + ) 使得对所 有( ，z ) rxr 都有 ( z ，v w ( t ，z ) ) 一2 w ( t ，z ) d 2 i x l p l 一g l ( ) 则存在常数6 0 使得对所有满足 m a x 上d tf ri t ( 驯州( p l - 1 ) 班) 俄一，y 1 ，如 0 和函数9 2 l i ( r ，r + ) 使得对所有 ( t ，z ) rxr 都有 ( z ，v w ( t ，z ) ) 一2 w ( t ，z ) d 3 1 x l 2 一9 2 ( t ) 那么问题( 1 ) 存在一个非平凡的同宿轨 接下来本文还讨论了下面的二阶h a m i l t o n 系统 - i i ( t ) + l ( t ) u ( t ) = v w ( t ，u ( t ) ) 一，( t ) ， ( 3 ) 同宿轨的存在性其中l c 1 ( 兄，r ) 是一个对称的实值函数矩阵，：r 一冗 是一个有界函数，w c 1 ( rxr ，r ) ，并且v w ( t ，z ) = ( a w a z ) ( t ，z ) 在不需要 任何关于t 的周期性和偶的条件，并且只要求l ( t ) 是一致有界的，w ( t ，z ) 足满 足a m b r o s e t t i r a b i n o w i t z 条件而且f ( t ) 0 的情况下，我们得到了系统( 3 ) 非平 凡同宿轨的存在性当l = 0 而f ( t ) 0 时，我们假设w ( t ，z ) 满足一类新的超 二次条件的情况下，我们同样得到了系统( 3 ) 非平凡同宿轨的存在性 主要结果如下 定理3 令a = i n f w ( t ，z ) ：t r ，i 。i = 1 ) ，b = s u p w ( t ，z ) ：t r ，l z i = 1 ) 假设0 a b 0 使得 群箩掣z l 丢2 ：蚓一l 对t 【_ z 卅一致成立， ( q ) 存在常数d 5 0 ，p 3 m a x ( 阮一2 ，1 ) 和函数9 3 l i ( r ，r + ) 使得 ( 6 ) ( 。，v w ( t ，z ) ) 一2 w ( t ，z ) d 5 i z l 3 一g a ( t ) 对所有( t ，z ) r r 都成立， ( ，) ，0 屉一个有界函数并且有厶i f ( t ) w 3 1 0 , 3 - 1 ) d t 0 使得对所有满足( 6 ) 的，系统( 3 ) 存在至少一个非平凡的 同宿轨 推论5 假设w 满足( 尻) ，( 日i ) ，( h 3 ) ，( ) ，( 砭) ，( ，) 以及 ( 蟛) l i m i n f i 。l 。鼍铲 0 对所有t r 都一致成立 则存在常数j 0 使得对所有满足( 6 ) 的，系统( 3 ) 存在至少一个非平凡的 同宿轨牡w 1 , 2 ( r ，r ) 最后本文讨论了下面的二阶h a m i l t o n 系统 。 程( ) 一v v ( t ，u ( ) ) = ，( t ) ， ( 7 ) 同宿轨的存在性其中，：r r 是一个有界函数，v c 1 ( r r ，r ) ， v v ( t ，z ) = ( a v a = ) ( t ，z ) 在y 不必足正定或周期的条件下本文得到了系统( 7 ) 的 同宿轨的存在性 i i i 西南大学硕士学位论文 中文摘要 主要结果如下 定理6 ( g o 存在常数n 0 ，岛 1 ，饱( o ，风) 和函数9 4 l 蒜毫( r ，r + ) 使得对所 有( t ，z ) 冗r 都有 v ( t ，z ) a zi 角一9 4 ( t ) lzl + y ( ，o ) ， ( ) 对所有r 都有v v ( t ，0 ) = 0 ， ( ) 对每个三 0 都成立不等式 s u p l v v ( t ，z ) i o o ， t e r ，l x l 0a n d 饥( 1 ，2 】s u c ht h a t f o ra l l ( t ，z ) r r ， k ( t ，0 ) = 0 ， k ( t ，z ) b l x f l 1 s u p p o r t e db yn a t i o n a ln a t u r a ls c i e n c ef o u n d a t i o no fc h i n a ( n o 1 0 7 7 1 1 7 3 ) v 西南大学硕士学位论文 英文摘要 ( k 2 ) ( z ，v k ( t ，z ) ) 2 k ( t ，z ) f o ra l l ( t ，z ) rxr ， ( 啊) w ( t ，z ) 2 一+ 。o 鹤一o ou n i f o r m l yi nt ， ( w 2 ) v w ( t ，z ) = o ( i x l 7 一1 ) a sz _ 0u n i f o r m l yw i t hr e s p e c tt ot ， ( w a ) t h e r ea r ec o n s t a n t s 历0a n dd x 0s u c ht h a t f o ra l l ( t ，z ) rxr n ， w ( t ，尘) i d l i x l p ( w 4 ) t h e r ee x i s tc o n s t a n t sp 1 m a x ，l 一，y 1 ，1 ) ，d 2 0a n df u n c t i o ng l l 1 ( r ，矿) s u c ht h a t ( z ，v w ( t ，z ) ) 一2 w ( t ，z ) 4 2 i x l p l 一g l ( t ) f o ra l l ( ，z ) rxr t h e nt h e r ei sac o n s t a n t6 0s u c ht h a t 。i o ra n yfs a t i s f y i n g m a x 上j m ) 2 d t ni f ( 圳川似l _ ”d r 卢1 一，y 1 ，d 3 0a n df u n c t i o n9 2 l 1 ( r ，r + ) ( z ，v w ( t ，z ) ) 一2 w ( t ，z ) d 3 1 z l p 2 一9 2 ( t ) f o ra l l ( t ，z ) rxr t h e np r o b l e m ( i ) p o s 8 e s 8 e 8an o n t r i v i a lh o m o c l i n i cs o l u t i o n ， s u b s e q u e n t l y ，w ec o n s i d e rt h ee x i s t e n c eo ft h eh o m o c l i n i cs o l u t i o n sf o rt h ef o l l o w i n gs e c o n d o r d e rh a m i l t o n i a ns y s t e m s 一越( t ) + l ( t ) u ( t ) = v w ( t ，u ( ) ) 一，( ) ， ( 3 ) 西南大学硕士学位论文 英文摘要 w h e r el c 1 ( r ，r n 2 ) i sas y m m e t r i cm a t r i xv a l u e df u n c t i o n ，：r _ r i sa b o u n d e df u n c t i o n ，w c 1 ( r r ，r ) ，a n dv w ( t ，z ) = ( o w o z ) ( t ，z ) w h e nl ( t ) i s u n i f o r m l yb o u n d e d ，w ( t ，z ) s a t i s f i e st h ea m b r o s e t t i r a b i n o w i t zc o n d i t i o na n df ( t ) 0 ，w er e c e i v et h ee x i s t e n c eo fn o n t r i v i a ls o l u t i o nf o rp r o b l e m ( 3 ) w i t h o u ta n yp e r i o d i c o re v e nc o n d i t i o n s w ea l s oo b t a i nt h ee x i s t e n c eo fn o n t r i v i a ls o l u t i o nf o rp r o b l e m ( 3 ) u n d e rac l a s so fn e ws u p e r q u a d r a t i cc o n d i t i o n so nw ( t ，z ) w h e nl = 0a n df ( t ) 0 t h em a i nr e s u l t sa x et h ef o l l o w i n gt h e o r e m s t h e o r e m3s e ta = i n f w ( t ，z ) ：t r ，l z l = 1 ) ，b = s u p w ( t ，z ) ：t r ，l z i = 1 ) a s s u m et h a t0 a b 0 s u c ht h a t u n f o r m l yi nt 【- t ，卅， l i r a 。i n f 等 关2 7 一i z l 。 。 i 酉南大学硕士学位论文英文摘要 ( ) t h e r ea r ec o n s t a n t sd 5 0 ，p 3 m a x 统一2 ，1 ) a n daf u n c t i o n9 3 1 ( r ，肘) s u c ht h a t ( z ，v w ( t ，z ) ) 一2 w ( t ，茁) d s l z l p 3 一g a ( t ) f o ra l l ( t ，z ) r r ， ( ，) ，0i sab o u n d e df u n c t i o na n d 厶i f ( t ) l u 3 ( p a - i ) d t 0s u c ht h a t f o ra n y | s a t i s f y i n g ( 6 ) 。s y s t e m ( 3 ) p o s s e s s e sa tl e a s to n en o n t r i v i a lh o m o c l i n i cs o l u t i o nu w 1 , 2 ( r ，r ) c o r o l l a r y5s u p p o s et h a tws a t i s f i e s ( h 2 ) ，( 日i ) ，( - 3 ) ，( - i ) ，( 呸) ，( f ) a n d t h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n sh o l d s t h e nt h e r ei sac o n s t a n t6 0s u c ht h a t , i o ra n yf 0s a t i s f y i n g ( 6 ) ，s y s t e m ( 3 ) p o s s e s s e sa tl e a s to n en o n t r i v i a lh o m o c l i n i cs o l u t i o n 缸w 1 , 2 ( r ，r ) f i n a l l y , w ec o n s i d e rt h ee x i s t e n c eo ft h eh o m o c l i n i cs o l u t i o n sf o rt h ef o l l o w i n g s e c o n d o r d e rh a m i l t o n i a ns y s t e m s 截( ) 一v v ( t ，乱( ) ) = ，( t ) ，( 7 ) w h e r e f ：r _ r i s a b o u n d e d f u n c t i o n ，v c 1 ( r x r ，r ) ，v v ( t ，z ) = ( o y o z ) ( t ，z ) w eo b t a i nt h ee x i s t e n c eo fh o m o c l i n i cs o l u t i o n sf o rp r o b l e m ( 7 ) w i t h o u tt h ep o s i t i v e d e f i n i t eo rp e r i o d i cc o n d i t i o n so nv t h em a i nr e s u l ti st h ef o l l o w i n gt h e o r e m t h e o r e m6 ( ) t h e r ea x ec o n s t a n t sa 0 ，角 1 ，能( 0 ，阮) a n daf u n c t i o n9 4 d q l 砖i ( r ，冗+ ) s u c ht h a t v ( t ，z ) a zi 风一g , c t ) izf 船+ y ( ，0 ) ， ( k ) v v ( t ，0 ) = 0f o ra l l r ， ( 场) f o re v e r yl 0 t h ef o l l o w i n gi n e q u a l i t yh o l d s s u p l v v ( t ，z ) l 0 ， ( i i ) 存在e i b p ( o ) 使得l ( e ) 0 令r 是e 中联结0 与e 的道路的集合，即 f = 9 c ( 【o ，l 】 e ) l g ( o ) = 0 ，g ( 1 ) = e ) 再记 c - i n f m a x g e pt e o ，l 】m ( 吼，l 】 那么，c q ，关于c 有临界序列如果，再满足( p s ) 条件，则c 是，的临界值 注因为用( c ) 条件代替( p s ) 条件时形变引理依然成立，所以山路引理在 ( c ) 条件下仍然成立 2 2 主要结果 2 2 1 问题( 8 ) 同宿轨的存在性 定理1 假设 ( v ) v ( t ，z ) = 一k ( t ，z ) + w ( t ，z ) ，其中k ，w c 1 ( rxr ，r ) 关于t 是t 0 周期的， ( k 1 ) 存在常数b 0 和，y 1 ( 1 ，2 】使得对所有( t ，z ) rxr 都有 k ( t ，0 ) = 0 ，k ( t ，z ) b l xj 1 1 ( 配) 对所有( ，z ) rxr 都有( z ，v k ( t ，z ) ) 2 k ( t ，z ) ， ( m ) 当一0 0 时w ( t ，z ) 蚓2 _ + o 。对t 一致成立， ( ) 当z 一0 时v w ( t ，z ) = o ( 饥以) 对t 一致成立， ( ) 存在常数卢l 0 和d l 0 使得对所有( t ，z ) rxr 都有 w ( t ，z ) l d a l z i 口- ， ( ) 存在常数肛1 m a x x 3 1 一饥，1 ) ，d 2 0 和函数g x l 1 ( 兄，r + ) 使得对所 有( t ，z ) r r 都有 ( z ，v w ( t ，z ) ) 一2 w ( t ，z ) d 2 1 z l p l 9 l ) 4 西南大学硕士学位论文预备知识与主要结果 则存在常数6 0 使得对所有满足 m a x f j f ( t ) 1 2 d t ，i f ( t ) l p t ( p t 一1 ) d ) 风一饥，d 3 0 和函数9 2 l 1 ( r ，r + ) 使得对所有 0 ，z ) r r 都有 ( z ，v w ( t ，z ) ) 一2 w ( t ，z ) 如i z i 一卯 ) 那么问题( 8 ) 8 存在一个非平凡的同宿轨 注2 1 存在函数k 和w 满足我们的定理l 的条件，但不满足文献【6 ，9 ，1 6 】 的条件例如，令 k ( t ，z ) = i z i 警+ i z i ，( ，z ) = 孑| 2 1 n j z i ”f o f o 口rz x ：# 。o ， 其中t 月，z r 2 2 2 问题( 1 2 ) 同宿轨的存在性 对于非周期和非偶的h a m i l t o n 系统( 1 2 ) ，我们有下面的定理 定理3 令a = i n f w ( t ，z ) ：t r ，i z f = 1 ) ，b = s u p w ( t ，z ) ：t r ，l z i = 1 ) 假设0 a b + o 。以及下列条件 ( 三) l ( t ) 是一个正定对称矩阵，并对所有t r 都满足 s u pi l i b ( t ) i 2 使得对所有( t ，z ) rxr n 都有 0 0 都成立 s u pl v w ( t ，z ) i 0 使得对所有满足 ( 加铲d t ) v 2 0 使得 群婺掣 亲 对t 【一t ，列一致成立， ( ) 存在常数d 5 0 ，p 3 m a x 愚一2 ，1 ) 和函数9 3 l 1 ( r ，r + ) 使得 ( z ，v w ( t ，z ) ) 一2 w ( t ，z ) d 5 l z i 瑚一9 3 ( t ) 对所有( t ，z ) r r 都成立， ( ，) ，0 是一个有界函数并且有厶i f ( t ) l m ( m - 1 ) d t 0 使得对所有满足( 1 7 ) 的，系统( 1 2 ) 存在至少一个非平凡 的同宿轨 推论5 假设满足( h 2 ) ，( 日i ) ，( h a ) ，( ) ，( ) ，( ，) 以及 ( 磁) l i m i n f i x i 。铲 0 对所有t r 都一致成立 则存在常数6 0 使得对所有满足( 1 7 ) 的，0 ，系统( 1 2 ) 存在至少一个非 平凡的同宿轨t w 1 , 2 ( r ，r ) 注2 2 和r a b i n o w i t z 的定理相比较，定理2 中没有假设l 关于t 的周期性， 与吕和唐的文章f 9 】相比，定理3 中没有假设关于t 的偶性，但我们同样得到 了非平凡同宿轨的存在性 2 2 3 问题( 1 3 ) 同宿轨的存在性 定理6 假设 ( ) 存在常数。 0 ，岛 1 ，7 2 ( o ，风) 和函数夕4 工群( r ，r + ) 使得对所 有( t ，z ) rxr 都有 v ( t ，z ) a zi 国一9 4 ( t ) izl + y ( z ，o ) ， 6 西南大学硕士学位论文预备知识与主要结果 ( 场) 对所有t r 都有v v ( t ，0 ) = 0 ， ( 垤) 对每个l 0 都成立不等式 s u pi v v ( t ，z ) i 0 ，都存在盯 0 使得对所有t 【0 ，卅都成立 1 w w ( t ，z ) j 7 l i z l 7 l 一1 ，i z i 盯， 西南大学硕士学位论文主要结果的证明 从而可以推出 w ( t ，z ) i = i z l ( v ( ，s z ) ，z ) d s z 1 i v 帅御) 州s z 1 ，y t e i s z i 饥一1 i z l d s = e l x l 饥( 2 4 ) 令= 6 ，那么存在u o ( o ，1 】使得i x l o 0 时( 2 4 ) 对所有t 【o ，刀都成立 我们的证明分为三步 第一步：证明厶满足( c ) 条件令6 0 使得6 0 使得 厶( 哟) c k ，i i z k ( u a i l ( 1 + i l u j i i 既) s 仇( 2 5 ) 那么 嘶) 是有界的如果不是，我们可以假设( 必要的话可取一列子歹u ) l l u jl i e 。一 o o 当歹一0 0 时根据( 2 5 ) ，( 拖) ，( w 4 ) 和( 1 4 ) 我们得到 3 c k 2 i k ( u j ) 一i i z k ( , 比j ) l l ( 1 + i i 呦| i 风) 2 i k ( u j ) 一( 疋( ) ，u i ) r k t ，k t ( ( v w ( t ，嘶( ) ) ，( ) ) 一2 w ( t ，u j ( ) ) ) + ( ( ) ，u j ( t ) ) d t - ，一七t，一丁 d 2 仁俐p d t 一丘g l n6 ( 仁l u j ( t ) l m d t ) v m i 嘶( ) l 朋 一( ) d 一6 ( m 1 ，一七t ，一七rj 一七t i k tj , k t、l m d 2 上七rl 叼( ) i m 出一j ( 上k ti ( 圳m 出) 一g ( 2 6 ) 对于某个g 0 因为p 1 1 ，由( 2 6 ) 可知，存在d k 0 使得 ，k 丁 i ( z ) i m d t 仇 ，一知t ( 2 7 ) 其次，从( ) 和( ) 我们可以计算得出风p l ，那么由( 2 0 ) ，( 1 4 ) ，( ) ，( 2 7 ) 1 0 西南大学硕士学位论文 主要结果的证明 和引理1 我们可以得到 扫乱，) 地) + e 呻矧出 sc k + d ll l u jc t ) l 。1 d t r k t + 6 ，一七t j - k t g + 6 d 妒+ d 1 上七r 啄舻d t g + 6 d ：加1 + d 1 伊1 叫1 l l 嘶| | 钉m 上七t t1 ( ) i 纵出 ，七 吼+ 6 d ：肛1 + d l c p l - - p l d 七l | f i 钉m ( 2 8 ) 由于p 1 p 1 7 l ，由( 2 8 ) 可知，存在一个常数7 0 ( p l 一肛1 ，y 1 ) 使得 善梨_ o ( 2 9 ) 呐慨 。 、7 当歹_ o o 时当j 足够的大时，我们可以得到1 1 i l 风1 ，根据( 所) 和引理1 ， 我们有 7 7 2 ( 坳) ，k tl 奶( t ) 1 2 d t + 2 6 ，岛tl 哟( 驯机如 反1 2 d r d t + 2 b c n - 2 玎2 发l u j ( t ) 1 2 d t j i 姒) i + 惝| i 玎2 2 ，一向t 一七? 幽 1 , 2 b 伊。) ( 仁删| 2 d 川蚓i 酊2 仁俐阳t ) 由此可以推出 亟盟一。 i l u j l l 警。 当j _ 。o 时，这就和( 2 9 ) 矛盾了那么【) j n 在e k 中就是有界的，通过一些 经典的讨论，我们可知 哟b n 在鼠中有收敛子列，因此如满足( c ) 条件 第二步：现在双t i f 要证明，存在与k 无关的p ，口 0 使得在o b p ( o ) = t e k li i “i i e k = 仑) 上矗a 令 口：石o o ，a ：1 _ r a i n l 弋, b f a 3 - 一c s a o 。， ( 3 。) 西南大学硕士学位论文 主要结果的证明 从而0 p 及 厶( e 知) 0 根据( 2 1 ) 和( 2 3 ) ，对每个，r o ) 及u 风 0 ) 都有下面的不等 式成立 竹u ) ( 三丘阳汁m 仁f | 2 d 州12 一e 岬删t 扑+ 2 k t k ( t ，啬) ( 3 2 ) 取定q ( ) c 铲( 一zt ) 0 ) ce 1 ，那么就存在o ( 一正t ) 使得q ( o ) 0 ，由此 可知存在南 0 ，l l 0 使得 q ( ) l 三l ( 3 3 ) 对所有i t t o l 0 使 得 w ( t ，z ) - l 2 ( 3 4 ) 对所有( t ，z ) r r 都成立其次，由( 川) 同样可以得到对任意( 0 ，都存 在l a 0 使得 掣鲁e (35)xl 2 2 、 l o u ， 1 2 西南大学硕士学位论文主要结果的证明 对所有l 3 征t ri - _ 一敏戚豆当r l 3 l 1 町，绢合( 3 3 ) ，( 3 4 ) ，【3 5 ) 戎1 j 可以得到 e 帮出= 仁t 幽i r l 2 出 = 厂幻t 呐帮出+ e 帮e 南帮出 一1 2 l 2 ( t r - 5 0 ) + e 鬻舢 一2 l 2l 万( t 一- 5 0 ) + 2 5 0 l k ， 根据( 0 的任意性，我们可以得到 。一r w ( t , r q ) 出一+ o on s _ + o o ( 3 6 ) 因此，由( 3 2 ) 可以推出，存在r 0 r o ) 使得i i r o q i e ， p 及i i ( r o q ) p 和 i k ( e k ) ：1 1f e l ) 0 使得 对所有k n 都成立 u 七i i e k 尬 1 3 ( 3 9 ) 西南大学硕士学位论文 主要结果的证明 证明对每个k n ，令肌：【0 ，1 】_ 取是一条如下的曲线g k ( s ) = s e k ，其中 e k 是引理3 中定义的那么就有g k p k 及i k ( g k ( s ) ) = 1 1 ( g i ( 8 ) ) 对所有k n 和 8 【0 ，1 】因此，根据( 3 7 ) 我们有 铅s 【o m a x l 】1 1 ( 9 1 ( s ) ) 三m o ，( 4 0 ) 其中m o 是与七无关的，那么由( 3 8 ) 我们可以得到 露( 让七) m o ，1 1 4 ( u 七) 1 1 ( 1 - i - i l u 七| i 鼠) = 0 ( 4 1 ) 类似引理3 中第一步的方法，我们知道存在与k 无关的常数m i 0 使得 0 u 七i l 风尬 对所有k n 都成立，这就证明了我们的引理 引理5 令t 缸既是对所有k n 都满足( 3 9 ) 的系统( 1 8 ) 的解那么在 u 七) 七中存在一列子列 u 幻) 在c 乜( 兄，r ) 中收敛到u o 证明为了利用a r z e l 色- a s c o l i 定理完成证明，我们将证明分为两步 第一步，我们证明i 饥) 岛及 证k k e n 是一致有界的序列根据( 3 9 ) 我们知 道 u k k n 是一致有界的，结合引理1 ，我们有 i l u k l i l 毅r c i l u k l l e , , c m l ( 4 2 ) 由于u 惫是系统( 1 8 ) 的一个2 k t 周期解，于足就有 u k ( t ) = 一v y ( ，u 詹( t ) ) + a ( t )( 4 3 ) 对每个t 【一k t ，k t ) 都成立，我们可以得到 i 越七( ) isj v v ( t ，u 知( ) ) i + i ( ) i = l v v ( t ，u 七( t ) ) i + i ，( t ) i l v v ( t ，“七( t ) ) i + s u pi ，( t ) i t e h 对任意k n 都成立由( 4 2 ) 及( y ) 我们只道存在与七无关的常数m 2 0 使得 下式成立 0 饥i | l 最t ( 4 4 ) 1 4 西南大学硕士学位论文 主要结果的证明 及 而后，根据中值定理，对每个七n 及t r ，都存在t k 【t 一1 ，t 】使得 ，c f z k ( t k ) = 也k ( s ) d s = “七( ) 一t 知( 一1 ) ， - ，t 一1 成立因此 州f = ) = r 州蛐地) ， 州圳= i 厶d s + u k 飞c ) | 仁，i 姒s ) l d s + i u 础) 一u 觯_ 1 ) 由( 4 2 ) 和( 4 4 ) ，我们有 慨r 仁。( s ) 胁仆础) 一札础_ 1 ) i m 2 + 2 c 尬 对每个k n 都成立 第二步，我们需要证明 t t 知) 知n 和 毗) 岛n 是等度连续的事实上，由( 4 4 ) 我们有 愀，) 也( t 2 ) i l ( 1 姒刊f t 一。, t 1i 训s ) | d s i c l - f 2 i 对每个七n 及t l ，t 2 r 都成立这意味着 饥) 知n 是等度连续的，对于 u k k n 也可以同样证明那么由a r z e l 色- a s c o l i 定理，存在一列子列 t t k j k e n 在 ( r ，r ) 中收敛到u 0 引理6 令u o ：r _ r 是由引理5 定义的函数那么u 0 就是问题( 8 ) 的非平 凡同宿解 证明证明分为三步 第一步：我们将证明u o 满足( 8 ) 有引理3 和引理5 ，我们有，当歹一o 。时， 在( r ，r ) 中，“b 叶u 0 ，并且 乱b ( t ) = 一v v ( t ，u k j ( ) ) + 如( ) 西南大学硕士学位论文 主要结果的证明 对每个j n 和t 【一b 正b t ) 都成立取a ，b r 使得a j o 和对每一个t 【o ，6 】我们都有 诅b ) = 一v v ( t ，缸b ( ) ) + ，( ) 于是得到，对每个j j o ，( t ) 是在【n ，6 】上连续的，并且豇b ( t ) 在【n ，6 】上 一致收敛到- v v ( t ，札o ( ) ) + ，( ) 所以对任意j j o ，都足咄在( n ，6 ) 里的经 典导数其次，由于咄一讥在【n ，6 】上足一致的，我们可以得到 一v y ( ，u o ( ) ) + f ( t ) = 证o ( t ) 对每个t ( 口，b ) 郡成立由于a 和b 足仕蒽的，我们h j 以得出u o 满足( 8 ) 第二步：我们证明，当t 一+ c o 时，t 0 ( ) _ 0 对每个f n ，都存在j o n 使得 r l t 上。t ( i u 幻( t ) 1 2 + i ( ) 帅外b 嘎聊 对所有j j o 都成立由此以及引理5 ，可以得到 r l t ( 1 u o ( t ) 1 2 + i 也o ( t ) 1 2 ) d t 聊 ，一z t 对所有f n 都成立令2 一+ o 。，我们可以得到 ，十0 0 ( 1 u o ( t ) 1 2 + a o ( t ) 1 2 ) d t m i ! ， j 0 0 那么当r 一+ 。时 乞( 1 乱炉忡m 炉) d t 扎( 4 5 ) 取定t r ，于是我们有 l u o i 0 ，都存在p a 0 使得 v v ( w ，z ) i 对所有w b ( 5 ；风) n 【o ，t 】和 p 。都成立，由此可以得到b ( s ；p ，) ( s 【0 ，t 】) 足 【0 ，卅的一个开覆盖由【0 ，卅的紧性，我们知道，存在b ( s l ；p s , ) ，b ( s 2 ；p 8 2 ) ， 1 7 西南大学硕士学位论文主要结果的证明 b ( s 仇；p 。) 使得【0 ，卅cu 銎1 b ( s i ；p s ) 令p c ) = m i n p s l ，p 蜘，p s 。) ，于是我们得 到，对所有 p o i v v ( s ，z ) l 0 ，对所 有i s i2p 都有i t o ( s ) l p o 因此，当i t i p + 1 时 t i v v ( 3 ，u 。( s ) ) 1 2 幽 0 由妒的定义，存在一个常数q 0 使得 i l t 圳l 器r q 对每一个k n 都成立于是我们得到 由此可以推得 。器锄i t k j ( ) i2 慨慨丁q ，七， m a , x 。，i u o ( t ) l 仍 t e - t ，叫。 因此u 0 0 这就完成了定理2 的证明口 1 9 西南大学硕士学位论文主要结果的证明 3 2 定理3 、定理4 和推论5 的证明 在这一节，我们利用零边值问题来逼近我们所要找的同循轨我们考虑如f 一列微分方程系统 一豇( ：l ( ) t ( 。1 2 v w ( ，札( ) ) 一，( ) 如r 。( - k t , k t ) ， ( 5 4 ) 【u ( - k t ) = u ( k t ) = 0 。 其中七n 并且为了方便起见我们取t 就是条件( 反) 中的t 我们考虑的空间 最为，对每一个k n ，令 既= u ：【一k t ，k t 一r i 乱是绝对连续的，u ( 一k t ) = u ( k t ) = o ) ， 其中范数为 忆恬产c ，m 圳。ei 绯炉出) 1 胆 令妣：e k 一【o ，+ ) 表示为 撕) = ( 仁