（基础数学专业论文）模糊信息系统知识发现研究.pdf

西南交通大学硕士研究生学位论文 第1 页 摘要 粗糙集理论是一种新的处理不确定性知识的数学工具，是由波兰科学家 p 踊1 8 k 在1 9 8 2 年首先提出来的，目前已发展成为人工智能的一个重要研究方 向，在数据挖掘( d a t am i n i n g ) 与知识发现( k d d ) 中具有非常广泛的应用 背景，并已获得许多成功的应用。 p a w l a k 粗糙集模型是以等价关系为基础建立的。为推广粗糙集理论的应 用范围，p a w l a k 粗糙集模型被推广为多种形式，包括模糊粗糙集模型、概率 粗糙集模型、变精度粗糙集模型以及一般二元关系下的粗糙集模型等。本文 研究基于模糊粗糙集模型的模糊信息系统知识发现问题，具体作了如下研究 工作： 针对模糊信息系统，定义了一种相似度量算子来描述对象关于属性的接 近程度，由相似度量算子提出关于对象的模糊不可区分关系r e ，这是一类一 - 口 般的模糊相似关系；以模糊不可区分关系为基础，在广义近似空间，r 。) 中 定义了上、下近似算子，并讨论了相关的性质。 接着，对王熙照定义的模糊约简和模糊核的实现及有关性质和定理作了 适当的改进与扩充，使其更加完备化，且讨论了模糊约简与模糊相对约简的 关系。 其次，提出了关于属性的模糊相对约简和模糊相对核的概念，讨论它们 的基本性质，对于决策属性只有一个且决策属性值域是离散的模糊决策信息 系统，设计了模糊相对区分矩阵和相对区分函数，用以求出模糊相对约简和 模糊相对核。 最后，以模糊不可区分关系为基础，讨论了属性间的相互依赖关系，对 西南交通大学硕士研究生学位论文 第1 i 页 决策属性多于一个的模糊决策信息系统，提出了一种以模糊不可区分关系为 基础的规则提取方法，并给出了应用实例。 关键词粗糙集；模糊不可区分关系；模糊约简；模糊核；模糊区分矩阵；模 糊区分函数 亘塑壅塑查堂塑主堕塞竺堂篁整窒苎! ! ! 蔓 a b s t r a c t r o u g hs e tt h e o r yi sa n e wm a t h e m a t i c a lt o o l o fd e a l i n gw i t h u n c e r t a i ni n f o r m a t i o n ，s c i e n t i s tp a w l a kp u tf o r w a r dt h i st h e o r ya t1 9 8 2 a tp r e s e n ti th a sd e v e l o p e dt ob ea ni m p o r t a n tr e s e a r c hd i r e c t i o no f a r t i f i c i a l i n t e l l i g e n t ， i th a s v e r ye x t e n s i v el a t e n ta p p l y i n g b a c k g r o u n da tt h ef i e l do fd a t am i n i n g p a w l a kr o u g hs e tw a se s t a b l i s h e da tt h eb a s eo fe q u i v a l e n tr e l a t i o n ， f o rg e n e r a l i z i n gt h ea p p l i c a t i o na r e ao fr o u g hs e tt h e o r y ，p a w l a kr o u g h s e tm o d e li sg e n e r a l i z e dt om a n ym o d e l si n c l u d e df u z z yr o u g hs e tm o d e l 、 p r o b a b i l i t yr o u g hs e tr r l o d e l 、a l t e r a b l ep r e c i s i o nr o u g hs e tm o d e la n d t h er o u g hs e tm o d e lu n d e rt h eg e n e r i c b i n a r yr e l a t i o ne t c f u z z y i n f o r m a t i o ns y s t e mk n o w l e d g ed i s c o v e r yb a s e do nf u z z yr o u g hs e tm o d e l i sr e s e a r c h e di nt h i st h e s i s m a t e r i a lw o r ki sd o n ea sf 0 1 1 0 w s ： f i r s t l y ， i na 1 1 u s i o nt of u z 。yi n f o r m a t i o ns y s t e m ， as i m i l a r i t y m e a s u r eo p e r a t o ri sd e f i n e dt od e s c r i b ea d j a c e n c ed e g r e eo fo b j e c t s o na t t r i b u t e s f u z z yi n d i s c e r n i b i l i t yr e l a t i o n矗口i n d u c e db yt h e s i m il a r i t ym e a s u r eo p e r a t o rt a k e sp l a c eo fas e r i e so fak i n do fm o r e g e n e r a l i z e d f u z z ys i m i l a r i t y r e l a t i o n s b a s e d o n t h e f u z z y i n d i s c e r n i b i l i t yr e l a t i o n ，u p p e ra n dl o w e ra p p r o x i m a t i o no p e r a t o r sa r e d e f i n e di nt h e g e n e r a l i z e da p p r o x i m a t i o ns p a c e ( ，r 曰) a n ds o m e p r o p o s i t i o ni sd i s c u s s e d t h e n ， s o l et h e o r e m so rp r o p o s i t i o na b o u ts o m ee o n c e 口t s s u c ha s f u z z yr e d u c t i o na n df u z z yc o r ed e f i n e db yw a n gx i z h a oa r e o d i f i e d 西南交通大学硕士研究生学位论文第页 a n di 【n d r o v e df o rm o r ec o m p l e t i o na n dr e l a t i o n sb e t w e e nf u z z yr e d u c t i q n a n df u z z yr e l a t i v er e d u c t i o na r ed i s c u s s e d s e c o n d l y ，s o m ec o n c e p t ss u c ha sf u z z y r e l a t i v er e d u c t i o na n df u z z y r e l a t i v ec o r eb e t w e e na t t r i b u t e sa r ep u tf o r w a r d a n dt h e i rb a s a l d r o d e r t i e sa r ed i s c u s s e d f o rt h ef u z z yd e c i s i o ni n f o r m a t i o ns y s t e m w i t had e c i s i o na t t r i b u t ea n dad i s c r e t ed o 衄i n ， f u z z yr e l 8 t i v e d i s c e r n i b i l i t ym a t r i xa n df u z z yr e l a t i v ed i s c e r n i b i l i t yf u n c t i o na r e d e s i g n e dt oo b t a i nf u z z yr e l a t i v er e d u c t i o na n df u z z yr e l a t i v ec o r e a tl a s t 。 b a s e do nf u z z yi n d i s c e r n i b i l i t yr e l a t i o n ，d e p e n d e n c e r e l a t i o n se a c ho t h e rb e t w e e na t t r i b u t e sa r ed i s c u s s e d k n o w l e d g ei s d i s c o v e r e df o rt h ef u z z yd e c i s i o ni n f o r m a t i o ns y s t e m sw i t hm o r et h a n ad e c i s i o na t t r i b u t e ，a n dam e t h o do b t a i n i n gr u l e so ff u z z yi n f o r m a t i o n s y s t e mi sp r o p o s e d a na p p l i e de f f e c t i v ee x a r r l p l ei sg i v e n - k e y w o r d s ：r 。u g hs e t ：f u z z yi n d i s c e r n i b i l i t yr e l a t i o n ：f u z z yr e d u c t i o n ： f u z z yc o r e ：f u z z yd i s c e r n i b i l i t ym a t r i x ：f u z z yd i s c e r n i b i l i t yf u n c t i o n 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 1 1 粗糙集理论概述 第1 章绪论 粗糙集理论是波兰数学家p a w l a k 【“1 在1 9 8 2 年提出的，借鉴了逻辑学和 哲学中对不精确信息的各种定义，针对知识库，提出不精确范畴等概念，并 在此基础上形成了完整的理论体系粗糙集理论。该理论是一种刻画不完 整和不确定性信息的数学工具，能有效地分析不精确( i m p r e c i s e ) 、不一致 ( i n c o n s i s t e n t ) 、不完整( i n c o m p l e t e ) 等各种不完备的信息，还可以对数据 进行分析和推理，从中发现隐含的知识、揭示潜在的规律。 由于最初关于粗糙集理论的研究文献大部分是波兰语的，因此当时没有 引起国际学术界的重视，研究地域也仅局限在东欧一些国家，直到2 0 世纪8 0 年代末才逐渐引起世界各国学者的注意。近几年来，由于它在机器学习与知 识发现、数据挖掘、决策支持与分析等方面的广泛应用，研究逐渐趋热。1 9 9 2 年，第一属关于粗糙集理论的国际学术会议在波兰召开 1 9 9 5 年，燃 c o m m u n i z a t i o n 将其列为新浮现的计算机科学的研究课题。这些都表明了租 糙集理论与其应用的研究有着广泛的发展前景。 p a w l a k 最初提出的粗糙集模型是以等价关系为基础的，它将分类理解为 特定空间上的等价关系，而等价关系构成了对该空间的划分，将知识理解为 对数据的划分，每一被划分的集合称为概念。其主要思想是利用已知的知识 库，将不精确或不确定的知识用已知的知识库中的知识来近似刻画。在对于 粗糙集理论的研究中，为了使该理论能有更大的应用空间，研究者提出很多 推广的粗糙集模型，对p a w l a k 粗糙集模型推广的研究也直是粗糙集理论研 究的主流方向，目前主要有两种方法：( 1 ) 公理化方法：( 2 ) 构造性方法。 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 页 ( 1 ) 代数方法又称公理化方法或算子方法，这种方法不是以二元关系为基 本要素，它的基本要素是一对满足某些公理的一元( 集合) 近似算子 厶：2 “一，即粗糙代数系统( 2 ”，n ，u ，l ，日) 中近似算子是事先给定的。 这种方法研究的明显优点是能够深刻地了解近似算子地代数结构，其缺点是 应用性不够强。 ( 2 ) 构造性方法是对原始p a w l a k 粗糙集模型的一种推广，其主要思想是 从给定的近似空间出发去研究粗糙集和近似算予。它是以论域上的二元关系 或布尔子代数作为基本要素的，然后导出粗糙集代数系统 ( 2 ”，n ，u ，印r ，面) 。这种方法所研究的问题往往来源于实际，所建立的模型 有很强的应用价值，其缺点是不易深刻了解近似算子的代数结构。 在p a w l a k 粗糙集模型中有三个最基本的要素：一个论域u ，u 上的一个 二元等价关系r ( 或划分) ( 它们构成了近似空闯) ，一个被近似描述的( 经典) 集合z ，也称为专家概念。这样，推广的形式主要有三个方向，即从论域方 向、从关系方向( 包括近似空间) 和从被描述的概念方向。 从论域方向推广的目前只有一种，就是把p a w l a k 粗糙集模型中的一 个论域推广到双论域的情形，当然这时的二元关系就变为两个论域笛卡儿乘 积的一个子集。 关系的推广：一种是将论域上的二元等价关系推广成为任意的二元关 系得到了一般关系下的粗糙集模型；另一种是将对象x 所在的等价类看成是x 的一个邻域，从而推广导出了基于邻域算子的粗糙集模型【1 9 1 ，也有将由关系 导出的划分推广成为一般的布尔子代数的，以此出发去定义粗糙集和近似算 子的【1 3 】：更一般的是将普通关系推广成模糊关系或模糊划分而获得模糊粗糙 集模型【“。 将集合和近似空间进行推广。这一类的推广是与其他处理不确定、不 西南交通大学硕士研究生擎位论文第3 页 精确或模糊知识理论( 概率论、模糊数学、信息论、证据理论等) 结合起来进 行研究的。 当知识库中的知识是由于随机原因或经统计得到时，即知识库中的知识 很可能是不确定的，很多学者提出了统计( 或概率) 粗糙集模型，变精度粗糙 集模型实质上也可以归入这类模型，寻求具有最小风险的b a y e s 决策问题也 可转化为这类模型。这一类模型在数据分析的增量式机器学习中有重要作用。 当知识库中的知识模块都是清晰的概念，而被描述的概念是一个模糊概 念时，人们建立了粗糙模糊集模型来解决此类问题的近似推理。当知识库中 的知识模块也是模糊的，有些学者就提出了模糊粗糙集模型【1 3 1 。 信息系统的知识发现问题，本质上就是按照属性特征将对象进行分类的 问题。面对复杂多样的庞大的数据库系统，如何迅速找出有重要意义的属性， 发现有应用价值的推理规贝i j ，这是一个非常值得研究的闯题。目前，对这类 问题的研究主要集中在信息缺省的信息系统和信息不确定的信息系统的知识 约简和知识发现上。 对于信息缺省的信息系统，对象一般无法归类，学者们通常采用数据预 处理的方法，填补缺省数据或者推算缺省数据。但是，不通过信息预处理， 直接建立知识约简的方法，还是一个值得探索的问题。 对于信息不确定的信息系统，也称为有噪声信息系统，通常采用的方法 是进行数据处理去掉噪声。同样的，直接建立知识发现的方法，将是知识发 现的一种新思路。 当然，对于信息系统的数据连续性问题，也是一个亟待解决的问题。耍 想通过信息系统得到分类知识，一般都要求属性值域有限。遇到属性值域连 续的情况，一般是将其离散化，但这样会使大量信息丢失。如果能直接建立 连续值下的知识发现方法，将会使知识发现更有实际价值。 西南交通大学硕士研究生学位论文第6 页 1 3 论文的组织 本文第二章介绍经典粗糙集模型和基本知识，第三章首先介绍模糊集预 备知识，接着介绍了模糊信息系统的一些粗糙集基本知识，第四章在别人基 础之上推广了经典粗糙集模型介绍了粗糙集的模糊模型，提出了相似度置 算子、模糊不可区分关系、讨论了它的一些性质。对文章 7 中提出的关于模 糊约简、模糊相对约简等概念的定理或性质加以改进和补充，讨论了模糊约 简与模糊相对约简的关系，并对提出的模糊相对约简与模糊相对核的实现提 出了模糊相对可区分矩阵等概念，实现模糊的、动态的简化模糊信息，同时 以模糊不可区分关系为基础，以一医疗诊断系统为实例，找出了一种规则提 取方法，最后是结论和参考文献等内容。 西南交通大学硕士研究生学位论文第8 页 尸萋篓；疆寄滞 藩霉嚣! 一羹誉鑫。递萋；耋器i 毳! 翼型辇的应塞勰篇篇懿熙， 集理论墓澎蜀前i 涟埽淀璀噶涮蘸强妊酾勤。 罐墓s ! 薹i 臻! ；霎；一霞；霎；蓬塞掣醚豁赫睡静靳i 证耋蔷l 蕈；蓥鏖l 蠢i i 濑 崤蓊釉萋墨，掣蕈性墓爵。嚣蹦；韩一静萋：5 = = 翟礤誊雕弱囊孟岔噩箝藕t 引 ；葬薹篓t 茬些骤，蛰灞羹孺减鞘戮! 搿罐 s h 集模型的基本数学性质前提下，研究如何扩展 模型，以更好地用于数据压缩和信息系统分析等。 2 在特定代数结构上，如何引入上近似和下近似的概念，并研究其数学 性质。 3 r o u g h 集理论与形式语言之间关系的研究等。 1 2 论文的研究背景 pa w l a k 最初提出的粗糙集是以等价关系为基础建立的，可等价关系是一 种很特殊的二元关系，尽管它是一种处理模糊信息的强有力工具，但它在处 理原始模糊数据方面却显得无能为力。所以把粗糙集理论推广到一般的二元 关系下进行讨论是一个有意义的课题。许多学者曾试图改进粗糙集理论 m q 1 1 1 【1 嘲【2 6 】【2 q 【4 7 】，把经典的粗糙集推广到模糊环境下。他们工作大致分为三 类：一类是将原始模糊数据转化为清晰数据后，直接应用经典粗糙集知识约 简的方法简化信息表；一些学者州【”】【4 7 1 从知识描述的角度出发，将描述粗糙 集的一对上下近似推广到模糊环境下，提出了模糊粗糙集恤z z yr o u g hs e t s ) 或 粗糙模糊集( r o u 曲f l l z z ys e t s ) 的概念；还有许多学者】f 2 别将粗糙集的基础 等价关系推广为模糊等价关系或t 一模糊相似关系，这些关系对论域有一个 模糊划分或弱模糊划分( 模糊t 一划分) ，在此推广的基础上，提出了各自模糊 知糊等价关系或t 一模糊相似关系相对于更一般的 x 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 0 页 因此星( 暖一墼) uo r 一斟) ) 一o ( 2 ) 证明类似于( 1 ) 的证明。 文献 4 3 给出粗糙度不等式： j 9 僻u y ) 1 砑u 蟊i sp ( z ) i 劢l + i 口( y ) i 面i j d 僻n y ) i 面n 蟊| 规定瓦y 。0 时，p ( 盖) 。o 上述不等式两边取等号的充要条件为： p 瞄u l ，) - i 跗u 昭l p ( x ) i 蹦l + p ( y ) l 盯i p 僻n y ) l 艘n 甜l l 掣矽| _ | g x u y ) i _ | 融n 面i 鬣筹器 ( 2 _ 1 ) 定理2 1 2 3 设，r ) 构成了p 8 w 1 a k 近似空间，五y 【，若 星僻u y ) 一趟u 矽或r 僻n y ) 一肷n 腰，则( 2 一1 ) 式中等号成立。 证明( 2 一1 ) 式左边= l 盟i + i 矽| - i 魁u 璺i = l 躺h 蟹卜i 掣8 暖n y ) l i 垦晖n y ) i ， ( 2 - 1 ) 式右边2 i 砝n 面| 鬣 矧2 l 豇n 商i 黼3 l 星噬n y ) l = 左边，证毕。 2 1 3 约简与相对约简 设kt ( u ，r ) 是一知识库，p r 称p p 为p 中不必要的，若 加d ( p ) = 跏d ( p 一扫 ) ；否则称p 为p 中必要的。若任一p p 是p 中必要的， 则称尸为独立的，否则称p 为依赖的。 定理2 1 3 1 【4 7 l 若p 是独立的，q p ，则q 是独立的。 若q p ，且q 是独立的，跏矗( 即一砌( q ) ，则称q 为p 的一个约简。于 是，q p 为尸的约简当且仅当q 是满足涮( p ) 一胁d ( ! 。) 的极小集。p 的所有 约简构成的集合记为r 耐( p ) p 中所有必要元素构成的集合记为r e 俨) ，称 为p 的核。 西南交通大学硕士研究生学位论文 第1 1 页 定理2 1 3 2 c d r e ( p ) = n r 耐( p ) 由此定理，核这个概念有以下两个特点：首先，它可以作为所有约简的 计算基础。因为核包含在所有约简中；其次，可解释为在知识约简时，它是 不能消去的知识特征集合。 例2 1 设足t ( u ，r ) 是一知识库，其中u 一“1 1 墨f s8 ， r t 儇1 1 s f 3 满足u 置t 戗，算。，屯k 亿， ，玩) ，仉，m ，只：= “ ，而， ，忸。 ，仉，扎，而，黾， u 马一 ，工，) ，缸。 ，扛：，毛) ，缸，) 于是u m d ( r ) - 瓴， ，忆，) ，他) ，亿) ，饥) ，协 ) 而 【，拥d ( 协：，恐) ) - 戗，黾 ，协：，南，x 。 ，尽， ，协。) ，如。) ) ，i u 砌( r ) ， u ，m d ( r ，玛 ) 一u 觑d ( 蜀，恐) ) 一u ，讥d ( r ) 故，以僻) 一“r ，恐 ， 墨，玛 ，阳( 豫) - r 在应用中，一个分类相对于另一个分类的关系十分重要，因此我们将介 绍知识的相对约简( r e l a t i v er e d u c t ) 和相对核( r e l a t i v ec o r e ) 的概念。 首先定义一个分类相对于另一个分类的正域。 令p 和q 为等价关系族，q 的p 正域记为p 啤( q ) ，即 p ，( q ) 2u 点z z e ，0 q 的p 正域是【，中所有根据分类u p 的信息可以准确地划分到关系q 的等价类中去的对象集合。 令p 和q 为等价关系族，r 尸，如果 p o d ( q ) ) 。p d d ( p - d ( q ) ) ， 则称r 为p 中q 不必要的；否则尺为p 中q 必要的。 为简单起见，我们也用印卟( q ) 代替p o 墨。f p ) d ( q ) ) 。 如果p 中的每个r 都为q 必要的，则称p 为q 独立的( 或p 相对于q 独 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 2 页 立) 设s p ，s 为p 的q 约简当且仅当s 是p 的q 独立子族且 p 。( q ) 一p ，( q ) p 的q 约简简称为相对约简 尸中所有q 必要的原始关系构成的集合称为p 的q 核，简称为相对核， 记为7 ( p ) 定理2 1 3 3 7 ( p ) = n 棚口( p ) ，其中r 甜口妒) 是所有p 的q 约简构 成的集合。 定理2 1 3 4 设尸，q 是【，上的等价关系族，则s p 是p 的q 约简当且仅 当s 是p 的q 独立子集且对于任意有皤) 一甄x ) 2 2 知识表达系统与决策表 一个知识表达系统也称信息系统就是一个四元组s 一缈，以y ，) ，其中 1 ) u 是对象的非空有限集合，称为论域； 2 ) a 是属性的非空有限集合，其中元素称为属性： 3 ) 矿一u 圪，k 是属性4 的值域； 4 t 一 4 ) ，：【厂爿一矿是一个信息函数，它为每一个对象的每个属性赋予一个信息 值，即v 口爿，算u ，o ，口) k 设s 一口，彳，y ，) 为一知识表达系统，爿t c u d ，c n d a ，c 称为条 件属性集，d 称为决策属性集。具有条件属性和决策属性的知识表达系统称 为决策表，或称为目标信息系统。 一个知识表达系统对应一个知识库，其中的每一个属性决定一个等价关 系。因此，每一个属性为一知识。本质上讲，一个知识表达系统就是一个赋 予了具体含义的知识库。知识表达系统就是知识库的表格化。 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 3 页 例2 2 下表是一个关于病人的知识表达系统。其中信息函数由表格给出。 病人 头痛肌肉痛体温 a 是是 正常 b是 是高 c 是是很高 d 否是正常 e 否否高 f否是 很高 2 3 约简方法一区分矩阵与区分函数 对于知识表达系统s 一( u ，丑y ，) ，设i 【，i 一靠，s 的区分矩阵是一个矗丸 矩阵，其中任一元素为v 毛y u ，口( x ，) ，) 一 口彳i ，0 ，口) _ ，( y ，口) 即口( z ，) ，) 是区分对象x ，y 的所有属性集合。 对于任一属性口4 ，指定一个布尔变量( 仍记为口) 与球对应。 若d ( x ，y ) p o ，则记口0 ，y ) t 口lv 口2v v q ( a ( y ) - 如l ，口2 ，口量) ) 若口 ，y ) - a ，则记d ( x ，y ) 一1 知识表达系统s 的区分函数是如下的布尔函数： 蔫“。属。a ( w ) 这是一个合取范式，其中兀表示合取。 定理2 3 1 h 刀若口爿是满足条件“圳1 口o ，) ，) 一g ，若口y ) 一囝”的 极小子集( 关于集合包含关系) 当且仅当8 是爿的一个约简。 定理2 3 2 h 刀c 口他) = 扣爿i 存在x ，y u ，使口0 ，) ，) 。乜 ，即核是区分 矩阵中所有单元素组成的集合。 定理2 3 3 m 布尔表达式的极小析取范式中的所有合取子式是4 的所 西南交通大学硕士研究生学位论文 第1 4 页 有约简。 此定理给出了由区分矩阵构成区分函数，再由区分函数的极小析取子式 得到的所有约简的方法。 对于决策表s t ( u ，爿，矿，) ，以。c u d ，c n d 一0 ，c 为条件属性集， d 为决策属性集，我们可用类似的方法计算其相对约简和相对核。 决策表s 的区分矩阵是一个n 以矩阵，其任一元素为 。( x ，y ) t 口ci ，( x ，口) - ，( y ，口) 且n ，0 ，_ ) ，) ) 对于，y u ，0 ，y ) 满足 x p d ( d ) 助隹p o s c ( d ) 或者 或者 x 隹p d ( d ) 旦y 即s c ( d ) x ，) ，p d ( d ) 且0 ，_ ) ，) 譬加d ( d ) 决策表s 的区分函数定义为_ - a + o ，) ，) o ，) 日y x u 定理2 3 4 h 刀c c 是满足条件“c n a 0 ，y ) _ 乃，v 口) ，) - o ”的 极小子集( 关于集合包含关系) 当且仅当c 是c 的d 约简( 相对约简) 。 定理2 3 5 h 刀r ( c ) 一扣c i 口+ 0 ，y ) 一扣 ，其中工，) ，c ， 定理2 3 6 h 刀布尔表达式的极小析取范式中的所有合取式是c 的所有 d 约简。 西南交通大学硕士研究生学位论文 第1 5 页 第3 章f u z z y 信息系统的粗糙集理论 模糊集理论是美国计算机与控制论专家l a z a d e h 于1 9 6 5 年提出来的。 目前，以模糊推理为核心的人工智能技术在许多领域取得了明显的成果和经 济效益。在人们的实际生活中，涉及更多的是模糊概念和模糊知识。反映在 粗糙集模型中主要有两类，一类是知识库的知识是清晰的而被近似的概念是 模糊的，另一类是知识库的知识和被近似的概念都是模糊的。 首先介绍有关模糊概念近似的粗糙集基本知识。 3 1 模糊集预备知识 定义3 1 1 【5 2 1 设在论域u 上给定一个映射 彳：u 一 o ，1 】 “卜爿 ) 则称4 为【，上的模糊集( f u z z ys e t ) 4 ) 称为a 的隶属函数( 或称为h 对4 的隶属度) 。其中4 ) 表示元素“隶属于模糊集合4 的程度。 一般地，个模糊集合4 可以表示为4 一 ( x ，a o ) ) ：x u 如果论域u 是有限集合或可数集合，那么可以表示为4 一啦爿o - ) 如果论域，是无限不可数集合，那么可以表示为a p ，4 0 ) 记c ，上模糊集合全体为f ( u ) 定义3 1 2 圳设4 b f ( u ) ，若对于v “【，有爿0 ) 主口似) ，则称爿含 于b 或曰包含4 ，记作彳口若爿占且口爿，则称彳与b 相等，记作4 。占 空集乃表示隶属函数恒为o 的模糊集合，u 表示隶属函数恒为1 的模糊集合。 记a u b 为模糊集4 与口的并，其隶属函数定义为： u b ) 0 ) 一爿o ) v 占 ) cm a x 恤0 ) ，丑o f ) ， 西南交通大学硕士研究生学位论文兰堕亘 记彳n 曰为模糊集合4 与口的交，其隶属函数定义为： qn 丑) ) e 爿0 ) 占0 ) tm i 爿o ) ，日o ) ， 记a 。或，哇为4 的补集，其隶属函数定义为4 。 ) - 1 一a 容易证明模糊集合的运算满足下列性质： 幂等律4 u 一一彳， 4 n 爿一彳； 交换律爿u 曰一b u ，a n 丑一口n 爿； 结合律( 4 u 丑) n c ；爿u ( 占n c ) ，( 4 n 丑) u c 一一n p u c ) ； 吸收律( 爿u 口) n a - 4 ，( 爿n 丑) u 爿- 彳； 分配律( 4 u 曰) n c = 似n c ) u ( b n c ) ，( 4 n b ) u c - u c ) n u c ) 0 1 律4 u 彩；爿，4 n g o ，4 u 【，m u ，a n u 。爿； 复原律o 。) 。一爿； 对偶律( 4 u b ) 。一爿。n 曰。，( 爿n b ) c 一4 。u b 。； 定义3 1 3 5 2 1 设4 f ( u ) ，a 【o ，1 】，记 ( 1 ) 4 - 仁l “u ，4 ) 2 ”，称 为爿的一个凡一截集，a 称为阈值或 置信水平。 ( 2 ) 4 一啊i 聪u ，a 0 ) ”，称4 为一的一个a 一强截集。 定义3 1 4 剐设f 是论域，彳，( u ) ，则模糊集4 的基数j o l 定义如下： 悱荟爿o ) 定义3 1 。5 m 1 设只是u x y 上的一个模糊子集，它的隶属函数为： r ：u y - 【0 ，1 】 ，v ) 卜月q ，y ) 确定了u 中元素“与矿中元素v 的关系程度，则称r 为从u 到矿的一个模糊关 系。特别地，当【，= y 时，称r 为【厂上的一个模糊关系。 若【，和矿都是有限集，则类似于普通关系可以与布尔矩阵建立一一对应 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 7 页 关系，模糊关系可以与模糊矩阵建立一一对应关系，这里模糊矩阵是指矩阵 中的任何元素都属于【o ，1 】 定义3 1 6 m 1 若n 阶模糊矩阵4 t “k 。及n 阶模糊矩阵口- ( r 。# l 。满足 v f ，= 1 2 ，l ，有喑墨白，则称爿包含予曰或曰包含4 记作爿口 定义3 1 7 【5 2 1 设u 是论域，尺是u 上的模糊关系，其隶属函数为r “) ，) ， 称只是自反的，若对于任意的z ( ，有r 0 ，工) 一1 ；称尺是对称的，若对于任 意的石，_ y u 有尺0 ，y ) 一只( y ，x ) ；称矗是传递的，若r 。r r ；称r 是等价的， 若只是自反、对称和传递的模糊关系；称r 是相似的，若r 是自反对称的模 糊关系。 定理3 1 1 m 3 设r 是u 上的模糊关系，则r 是自反的当且仅当对于任意 的a 【o ，1 】，r 是自反的普通关系；r 是对称的当且仅当对于任意的a 【o ，1 】， 墨是对称的普通关系；只是传递的当且仅当对于任意的a 【o ，1 】，r 是传递 的普通关系；尺是等价的当且仅当对于任意的 0 ，1 】，兄是等价的普通关 系；r 是相似的当且仅当对于任意的a 【0 ，1 】，r 是相似的普通关系。 3 2f u z z y 信息系统的粗糙集理论 定义3 2 1 “1 设，r ) 为p a w l a k 近似空间，即r 为u 上的等价关系，【z k 表示包含x 的等价类，对于u 上的f u z z y 集合爿，记 垦 ) 0 ) - m i n 似( ) ，) ：) ，b k ， r ) 0 ) 一m a 】【棚( y ) ：y 陋l ， 则星) 与r ) 分别称为f u z z y 集合4 关于近似空间，月) 的下近似与上近 似，而垦：f ) 一f p ) 和r ：f p ) 一f ) 分别称为下近似算子和上近似算 子。 对于【，上的f u z z y 集合爿：u 一【0 ，1 】，可以定义一的口水平集关于近似空 西南交通大学硕士研究生学位论文第l 墨耍 间，尺) 的下近似与上近似： 星) = 缸：瞳k 及 r ) = 忸：防k n 以，彩 定理3 2 1 设( u ，r ) 是p a w l a k 近似空间，近似空间，r ) 的f u z z y 下 近似算子与f u z z y 上近似算子有以下性质： ( 1 ) 墨( 爿) 4 r “) ： ( 2 ) 星口n 占) 一墨) n 墨( 口) ，r 口u 曰) 一只) u r ( 曰) ； ( 3 ) 星“) 一一只( 爿) ，r o ) 。一凰一4 ) ： ( 4 ) 型一u 口) 尽“) u 星( b ) ，r 口n 毋) r ( 爿) n r ( 占) ； ( 5 ) r 俾口) ) 一旦僻似) ) 。r 口) ，r 馑) ) 一必) ) 一尽似) 对于任意0 s 口，卢1 及f u z z y 集合彳，记霞口) 。一协：星似) o ) 七口) ， 墨0 ) 。= 扛：基) ) 卢 ，则有： ( 1 ) 星口) 。= u b k ：星口) ) 苫口 ；星) ( 2 ) 星( 彳) ，= 蚬【z 】。：基( ) ) 芦 一墨( 4 ) ( 3 ) 窿2 参= ，鸯) 。s 霞口) 。 ( 4 ) 区( a ) 。以r 以) 。 定义3 2 2 设，r ) 为p a w l a k 近似空间，4 是u 上的f u z z y 集合， 对于0 s 口s a s l ，爿的粗糙度与精度分别定义为： 鹏舻卜酬一如舻1 咖一酬 约定当r 口) 口一d 时，n 位，卢) 一0 对于p a 叭a 】【近似空间缈，尺) ，记 u r = 置，e ，z ) 定理3 2 2 阻1 当0 s 卢s 口s 1 ，粗糙度办( a ，卢) 与精度( 口，) 满足以下 西南交通大学硕士研究生学位论文塑! ! 亘 性质： ( 1 ) o s 以( 盘，卢) s l 0 s 。( a ，夕) 主1 ， ( 2 ) n 位，p ) 关于d 不减，关于卢不增；( 口，芦) 关于口不增，关于卢不减a ( 3 ) 若公，爿( x ) c a ，则n ( a ，卢) 口1 ，口一( a ，芦) = o ( 4 ) 若a 一卢，彳o ) q ( 帆蜀，f 毫r ) ( 即在每个等价类中a 恒为常数) ， 则p ( 口，卢) - 0 ，( 口，芦) 一1 此定理说明：粗糙度刻画了集合的粗糙性，而精度刻画了集合的精确性。 定理3 2 3 设4 ，b f ) ，则关于a ，月，4 u 丑，a n 且之间的粗糙度有关 系 如缈l 啪p 岘b 以 厨i 碰锄i + 岛( 口，卢) 1 r 但) fl 九巾 ，芦) 1 只，n 贰口) ，i ( 3 - 1 ) q 佃 厨i 踟f l l 同( b 厨l 蛳l + 口。( 口，芦) l r ( 嚣) 卢i 一口d n 。( a ，声) l r ( 爿) 芦n 赋口) 一i ( 3 前 ( 3 1 ) 式取等号的充要条件是踟 毋l 足如岘仁反昭毋 j 蛳i + 岛 ，卢) l r ( 8 ) ，l m m ( 口，p ) l r o ) ，n 慰功，i 1 8 ( 爿li + l 墨) 。l l 墨( 以u 丑) 。i 爿i 口) ，n 承丑) ，i ，删( 3 3 ) 定理3 2 4 设( u ，r ) 构成了p a w i a l 【近似空间，4 ，占为u 上的模糊集，若 4 口或日4 ，则定理3 2 3 中等号成立。 证明假设一丑，则魄星口u 曰) 。有墨u 占) ) a 即 v y 肛k ，_ ( ) ，) v 占( y ) = a ，因为爿占，所以防k 有4 ( y ) 曰o ) ，从而 b k ，爿( y ) v 占( y ) ；丑( y ) a ，则m i n 怛( ) ，) ，y 扛】r ) 苫口，即墨( 丑) ( 工) 苫a ， 从而星佃) 0 ) v 墨) ) a ，即z 墨。u 墨( b ) 。则 西南交通大学硕士研究生学位论文 第2 0 页 墨u 占) 。星似) 。u 墨( 口) 。因为尽口u 口) 。2 墨口) 。u 墨( 口) 。，则 墨g u b ) 。一基( 爿) 。u 墨p ) 。t 址页) 4 n 元) 口有页似) ) 苫芦且i ( 占) ) 苫芦，因为月b ， 所 以v y 【x k ，a ( y ) 日( y ) ，那么r ) 0 ) 苫r u ) ( x ) ，又因为匆。使 爿( ) i 。) 一只口) o ) 卢，并且占( y 。) 苫爿( y 。) 苫，那么 爿( y o ) 日( y o ) = 爿( y 。) 苫卢，则m a x 弘( y ) 曰o ，) ，) ，m r ) 之芦，即 毒j r n 占) 口，则r 似n 曰) ，尺似) ，n r ( 占) ，因为 r 口n 曰) l 尺即) # n r ) 口，则r ( 彳n 丑) # 一r 0 ) ，n r p ) 口 同理当彳 曰时，类似可证星u 口) 。c 鱼) 。u 星p ) 。， r n 曰) i - r 以) ，n 胄p ) ，因此，( 3 - 3 ) 式左边 = i 星似) 。l + l 星) 。卜l 查) 。| - l 墨kl + l 星) 。n 星p ) 。i - l 星即) 。n 型丑) 。l ， ( 3 3 ) 式右边 瓣加确外夥剐脚佃引篱别楣卸耽l _ 左 边。 ( 3 2 ) 式中等号易证。 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 1 页 第4 章粗糙集的模糊模型 1 9 8 2 年p a w l a k 提出了粗糙集理论，尽管它是一种处理模糊信息的强有力 工具，但它在处理原始模糊数据方面却显得无能为力。p a w l a l 【建立的l 沁u g h 集理论处理的数据是符号值，是清晰的数据，然而在人们的实际生活中，涉 及更多的是模糊概念与模糊知识。经典的粗糙集理论就不能有效的处理它们。 在文献【1 1 】【2 6 】中，作者推广了核与约简，但它们只是限制于预先给定的阈值。 赵素云、王熙照等虽把p a w i a k 粗糙集推广到了模糊环境之下，提出了模糊等 价关系或t 一模糊相似关系，然而它们相对于更一般的模糊相似关系而言， 有丢失信息较多的缺点。本章在参考文献【2 6 】【2 8 】基础之上，把p a w l a k 粗糙 集推广到了模糊的环境下，提出了相似度量算子和模糊不可区分关系代替 p 8 w l a i ( 下的不可区分关系，它实质上代表了一类模糊相似关系。以模糊不可 区分关系为基础，定义了上、下近似算子，讨论了相关的性质，并讨论了属 性间的相互依赖关系。对【7 】中提出的某些定理或性质作了适当的改进，使其 更加完备化。并讨论了模糊约简与模糊相对约简的关系。而且，本章还提出 了模糊相对可区分矩阵，以这个矩阵为基础，给出了一种获得核和约简的快 而简易的方法，并举例说明。 在下面的文章中，将使用下面的记号： 5 一，4 ，矿，) ：是一模糊决策信息系统，其中 ( 1 ) uc 戗，而，) 是有限论域； ( 2 ) a 是模糊属性集，4 - c u d ，c 是条件模糊属性集，d - 盔，d ：，t ) o ) 是决策模糊属性集； ( 3 ) y - u k ，k 是属性4 爿的值域，当4 c 时，k 一【o ，1 】，当吐d 时， 一【o ，1 】或t 口。，口：，q ) ，1 s i s f 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 2 耍 ( 4 ) ，：u x 爿一y 是一个信息函数，它为每一个对象隶属于某一属性的程度赋 予一个数值。 当d a