（基础数学专业论文）含pm映射的变分不等式和相补问题.pdf

摘要 本文在自反b a n a c h 空间中利用锐角原理和衰减算子理论研究了含p m 映 射t 的变分不等式和相补问题解的存在性；并给出了当x ，x + 均为一致凸的 b a n a c h 空间，t 为广义向内映射时，映射t 在j ) 内的最近点与j - t 有零点等 价的充要条件。 关键词p m 一映射，广义向内映射，相补问题，衰减算子，伪单调映射 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , xd e n o t e sar e f l e x i v eb a n a c hs p a c e w ea p p l ya c u t e a n g l ep r i n c i p l ea n dt h e o r yo f r e c e s s i o no p e r a t o rt od i s c u s st h ee x i s t e n c e o fs o l u t i o no ft h ev a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e sf o rp m - m a p ( t ) a n dc o m p l e m e - n t a r i t yp r o b l e mi nx a n dw h e nb o t hx a n dx + & r eb a n a c hs p a c eo f u n i f o r mc o n v e x , w ed i s c u s st h es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o no f e q u i v a l e n c ya b o u tt h em a pth a v i n gn e a r e s tp o i n t i n j ( d ) a n dj - t h a v i n g z e r o p o i n ti nd k e y w o r d s g e n e r a l i z e d i n w a r d m a p ；p m m a p ；c o m p l e m e n t a r i t y p r o b l e m ；r e c e s s i o no p e r a t o r ；p s e u d o - m o n o t o n em a p 1 引言及预备知识 1 引言及预备知识 变分不等式理论自2 0 世纪6 0 年代由j l i o n s ，b r o w d e r ，s t a m p a - c c h i a ， k y f a n 等学者刨立以来，经过许多数学家的努力，在理论和应用方面都取得了 重要进展，成为一门内容车富的边缘学科它广泛应用于系统优化，最优化控 制，数理经济，非线性规划，微分方程和力学等学科之中在实际问题中有往 多非线性问题涉及到合有t ，一t 形式映射的变分不等式，也就是，存在y d 满足( 山一t y ，y z ) 0 ，坛k ，其中t ：dck x ，为x 中 的闭凸集，x 为x 的对偶空间，j ：x 一”为对偶映射例如在文献 1 1 中作者讨论了含j t 型算子的变分不等式，它要求r 为d e m i - 连续 的p m 一映射而本文讨论了r 为有界p m 一映射时的变分不等式问题，得 出当边界条件为( j z 一 。) + 圣( z ) t x ，z ) ，a 坼时，变分不等式； i ，y t 一，y ) + 垂( v ) = 0 ，且( j y r 一，。) + 由( 。) 0 ，v 。k 是可解 的本文就是利用锐角原理来解决相补问题3 y k ，( a y ，y ) + 圣( 可) = 0 ，且 ( j 4 y f ，z ) - 4 - m ( 。) 0 ，v x k 解的存在性的相补问题是和变分不等式紧密 相关的，随着变分不等式理论的不断深入，相补问题的理论和应用研究也得到 了进一步发展当算子具有强制性质时，已有许多数学家做了这方面的研究并 得出了很好的结果，然而，在许多工程问题中还出现了一类含有非强制算子形 式的变分不等式，要解决这一类变分不等式问题困难较大，而衰减算子理论是 解决这一问题的有效方法，本文就是运用衰减算子理论来研究相补问题解的存 在性问题的在本文最后，我们讨论了当x ，x 为致凸，一致光滑的b a n a c h 空间，丁为广义向内映射时，t 在j ( d ) 内有最近点与j t 在d 内有零点 等价的充要条件 下面给出一些基本定义设x 是b a n a c h 空间，x 为其对偶空间， 算子t ：x x 称为单调的，若对任意的z ，y k ，有t x t y ，z y ) o ： 河北大学理学硬士学位论文 算子t ：x x 称为极大单调的，若r 是单调的，且不存在真单调扩 张； 算子t ：k r 称为伪单调的，若对任意序列 蜘) ，当y n y k ，且 l i r a s u p ( t y ，一y ) s0 ，则有( t y ，y 一。) l i m 密f ( t y , , ，一。) ，协k n 一 算子t ：k x + 称为耳的，若对任意序列( 鼽 ，当鲰一y k ，且 l i m s u p ( t y , , ，弧一y ) so ，则骱。“ 算子t ：dck x 称为广义向内映射，为b a n a c h 空间中的闭凸 集，若d ( t x ，k ) 。 半1 ，铷。； 此定义等价于，若。o 乙当且仅当存在一序列a 。批，和x 。f 九 满足l i r a t 。= + o 。且l i r a t n - i z 。= 。； 凸的下半连续函数，：x 一厅u + 。) 称为正常的，若d o m ，：= 扛 x l f ( x ) 0 存在一 个连续严格增的凸函数g ：矿一r + ，其中g ( o ) = 0 ，使得 忙- t - 圳r 1 9 + p + g ( 1 l y l l ) ， 其中。，b r = x ：isr ) ，丘如( z ) = 扛x ，( 毛矿) = 1 9 且 i l z + | l = l i z i l p 一1 ) 引理5 ：【3 若x 为一致光滑的b a n a c h 空间( 等价于x 一致凸) ，则存在连 续递增的函数b ：r + 一兄+ 使得b ( o ) = 0 ，b ( c t ) 西( t ) ，( c 1 ) ，并成立下述不 等式 i l 。+ y 酽1 1 z i l 2 + 2 y ，l ，( z ) ) + m n 。( 1 1 z l ，t l l y l l b ( 1 t y l l ) ， 4 2 主要结果 2 主要结果 定理2 1 ：设x 是自反的b a n a c h 空间，kcx 是一楔集，r 0 ，若 ? ：7 _ r x + 是有界的p f 映射( 其中了0 = 。k ，恻i r ) ，对f x 有 ( j z 一，z ) ( t x ，。) ，垤a ，f r 成立，则存在y o _ ，使得 ( j 珈一t 珈一，y o ) = 0 且 ( j 珈一t 珈一f ，x ) 0 ，v x k 证明，设a ：= j t ，有引理2 知，存在y o 五_ r ，使得 ( a y o l 。一y o ) 0 ，如_ r ，( ) 成立 下面我们证明 = 0 成立事实上，因为0ee ，故在( + ) 中 令z = 0 ，我们就有( a y 。一f ，g o ) 0 ；另一方面，若i l 珈i l = r ，由已知的边界条 件我们有，( a y o 一，y o ) 0 ；若i l y o l i 1 ) ，使得z 7 i ， 则有 ( a g o f ，g o z ) = ( 1 一卢) 蜘一f ，y o ) 0 ， 因此( j 4 蛳一，g o ) 2 0 综上可知，( a y o 一，y o ) = 0 ，于是有 a y o ，z ) 0 ，v a ：耳，又因为 ，为楔集，由楔集的定义我们可知( a 珈一，z ) 0 ，v x k 成立【证毕) 注l ：本定理推广了文献【1 】中的定理3 2 ，这里的t 不必是d e m i 连续的， 而且将边界条件( j z ，z ) ( t x ，z ) 推广为( 妇一，z ) ( t x ，z ) ，v x o k , 5 河北大学理学硕士学位论文 定理2 2 ：设上面定理条件满足，即x 是自反的b a n a c h 空间，kcx 是 个楔集，t ：瓦一x 是有界的p m 一映射，且满足条件( 如一，z ) + 垂( z ) ( t x ，z ) ，a 虬，其中西( z ) ：x 一月是正常凸的下半连续函数，且中( o ) = o ， 圣( a 可) 圣( y ) ，对任意a 0 成立，贝g 存在y o _ r ，使得 ( j 蜘一t 蜘一，踟) + 中( 蜘) = 0 且 j 蜘一t y o 一 。) - i - 垂( z ) 0 ，v ? k 证明：由引理2 我们假设a = j t ，则存在y o 7 ，使得( a 垂( 蜘) - k a y o 一 。一y o ) 0 ，v xee ，成立由次微分的定义知( a y o - s ，z 一珈) + m 0 ) 一q ( y o ) 0 ，协e 霄，成立 下面我们证明( a y o 一 跏) + 币( 珈) = o 事实上，因为0 瓦，所以( o 一，y o ) + q ( y o ) 0 成立如果再证明 ( a y o 一，y o ) + 中( 蜘) 0 即可，若| l 蚓i = r ，由已知的边界条件知( a y o f ，y o ) + 垂( y o ) 0 成立；着1 i 湘l 1 ) ，使xe 葛0 ，则 0 s ( a 跏一f ，卢蜘一9 0 ) + 西( 卢踟) 一垂( 珈) ( 卢一1 ) ( a y o 一，o ) + ( 卢一1 ) 垂( 蜘) = ( 卢一1 ) ( a y o 一，y o ) + 西( y o ) 】 由于卢 1 ，故卢一1 0 ，即a y o 一，】y o ) + 西( 蜘) o 成立 综上可知，当l l y o | | sr 有( a g o 一，y o ) + 中( 蜘) = o ，故 ( a y o f ，z ) + 圣( z ) 20 ，比， 又由于为一楔集，因此对任何。k ，均有( a y o 一，。) + 西( ) o 成立 ( 证毕) 注2 ：本定理推广了定理2 1 ，当西( z ) 三0 时即为定理2 1 的内容而且当 定理2 1 的算子t 加上一极大单调的扰动算子时结论仍成立另外，当西( z ) 6 2 主要结果 满足西( 知) 舻西( ) 陋 o ，a 1 ) 时仍成立啻! 如当中( “) = ；v u f 2 d x 时，则a 币= 一即满足m ( u ) a 2 圣( u ) 下面我们讨论当7 1 定义在楔集k 上而不是定义在瓦上时的情况 定理2 3 ：设x 是自反的b a r t a c h 空间，k c x 是一楔集，t ：k x + 是有界的p m - 映射，满足条件 1 - 墼1 1 与掣一一 i i l 西( z ) ：x r 是正常凸的下半连续函数，垂( o ) = 0 ，且圣( s ，) s 中( 可) ，( a o ) ， 贝对每一个f x 存在y k ，使得 ( i ，3 ，一r s ，一 计+ 西( s ，) = 0 ， 且 ( j 一t 可一，z ) + 圣( 。) o ，甘t k 成立 证明：由于垂( z ) 是正常凸的下半连续函数，则由b a r b u 8 】的结果可知， 垂( z ) 是仿射下有界的，即存在一泛函矿和一k 使得垂【z ) ( z f ) + p 成 立因此有 中( z ) ( ，z ) + p p 一 p 洲。| l 设f x ，且m f i f i + 舾i f + 川，由条件( p ) 可知存在r 1 使得 ( j t t x ，z ) m | | z 0 ， 其中x k ，l r ，由于 ( j z t z f ，z ) + 西( 。) = ( j z t x ，。) 一( f ，z ) + 垂( 。) m i | 。i i 1 1 ，1 。1 l + p l l z + 1 l l z l l = ( m 一 l ，0 一l i 。+ i i ) l l x l l + p 7 河北大学理学硬士学位论文 j u l r + p 0 ( ek ，忙| | r ) 故当。k ，j r 时，( j x t x 一，。) - 4 - 中( z ) 0 ，成立，余下的部分由定 理2 2 即知( 证毕) 注3 ：本定理推广了定理2 2g 哼f 子t 的定义域由了己变到k 注4 ：下列几个条件包含条件( p ) ： ( i ) 存在a ，o ，r o ，满足( j x ，。) 川z 0 1 + 。，垤k ，恻i r 触并且l i 巴詈p 斛 o ，满足下列条件“警p 缫i i ：r l l 0 成立设 ；= s 。u p 智 n = 磐静 l 聋7 6 ：l i m i n f 掣 其中砂为对偶映射j ：x x 的规函数 定理2 4 ：x 为自反的b a n a c h 空间，kcx 是一个楔形，且k 为有界 闭凸集，工：x x 4 为一线性紧映射，p 0 ，若s ：k x 为一致连续的 8 2 主要结果 s 一压缩映射且o - b 则对每个 z 0 ，p ( d + 6 ) ) 存在y k 使得 ( a y ，y ) + v ( y ) = 0 且 ( a ，。) + 西( z ) 0 ，忱k 成立 证明，由引理1 可知， l s 为s 一压缩映射，又由于s ：k x + 一致 连续且为有界闭凸集，知 一s 为有界的尸肘一映射，设a f o ，p ( a + 6 ) ) ， 罂紫嚣矿 1 鬻皆一1 罂静 = 告一d 一b ，此条件用k c o p s i t i v e 条件( 即存在m ( 0 ，1 ) 满足( a 一a x o ，t ) m 俐【2 ，其中1 4 = j a l + s 对每一个a20 成立) 来代替，则存在y ， 使得 ( a y ，y ) + 西( s ，) = 0 ， 9 河北大学理学硬士学位论文 且 ( a y ，z ) + 垂( 。) 20 ，v z k 成立 证明，对每一个a 20 ，设乃= a l s ，由k c o p o s i t i v e 条件有 ( d x ，z ) ( 孔z ，。) 一( 7 j o ，z ) + m l l 。l l ：, v z k 因此， l i 罂p 智 l l m 磐f 掣- l 1 1 鬻币矿 t 刊 故由注4 中的条件( i i ) 与定理2 4 可知此绪论正确( 证毕) 注6 ：定理2 4 与推论1 均推广了文献【1 】1 中的定理3 3 与推论3 1 ，将 存在y k ，( a y ，y ) = 0 且( a y ，z ) 0 ，k 推广到存在y k ， ( a y ，y ) + 圣( ) = 0 且( a y ，z ) + 中( z ) 0 ，v x k 上述用锐角原理所形成的条件保证了变分不等式或相补问题解的存在性， 从而可以用来进一步研究一类带有边值条件的椭圆型方程的问题 下面我们利用衰减算子理论来讨论问题( l ，a ，f ，币，k ) 的解t 问题( l ，4 ，f ，垂，k ) 即是，找到u k nd ( l ) 满足 ( “+ a u f ，”一“) + 西( ) 垂( “) 0 ，v ”片 为了叙述方便我们给出一系列假设条件( h ) ： ( i ) 为自反b a n a c h 空间中的非空有界闭凸子集，0e ； ( i i ) l ：d ( l ) 。y x + 是一闭线性单调算子且o ( l ) = x ； ( i l i ) fex ： ( i v ) 中：y 一只是一凸的连续函数且垂( o ) = o ； ( v ) a ：x 一一是一有界的伪单调映射，其中a = j 一7 1 ； 令“= ”ea i i i ”i i n ) 且定义两个渐近方向的集合： 1 0 2 主要结果 r ( a ，垂，k ) ：= e 。l3 u 。凡1 l u 。1 l 一+ o o ； 。：= u 。0 u 。旷1 一u i ，且 m ( 。) + ( a u 。一f ，u 。) o ) ， f ( l ，a ，f ，西， ，) ：= ”比i j “。e _ ，1 1 “。i l ，+ o o ，w 。：= u 。l i “。1 l 一1 且( ( l + a ) u 。一，t t 。一”) 墨中( ”) 一中( u 。) ；v ve 如nd ( l ) ) 很明显，我们可以看出r ( l ，a f ，币，) cr ( a ，西，k ) 定义3 ：称，( c ，a ， 西， ，) f r ( ， f 西，) 】是。一紧的，如果对每一个 p ( l ，a ，j - 圣 ) r ( 4 ，f ，圣 i ) 月j 列 w 。he f ( l j 、f 西，) 【r ( a ， 垂，k ) 有w n _ u 7 ex 定理2 5 ：假设条件( h ) 满足，k 有非空内部，如果有f ( l 4 ，f ：中，) = o ， 贝4j 札 nd ( l ) ，使得 ( 三“+ a m f “) + 垂( “) = 0 且 ( l + a u f ，u ) + 中( ”) 20 ，v v k 证明：由上述条件( 1 v ) 知1 9 ( 0 8 9 ) = x ，由r o c k a f e l l a r 条件 7 知d ( l ) n i n t d ( o c p ) o 因为闭线性单调算子l ：d ( l ) cx x 的定义域d ( ) 在x 中稠密即 丽= x 可知i 是极大单调的，踯也是极大单调的，由极大单调的性质知 l + 0 中也是大单调的由引理2 ，我们不妨假设t ：= l + 0 由f = 。则存在 “，。d ( 上) nh 。使得( 7 1 + a r ，t 一“。) 20 v ve n d i ) ，成立即 ( ( l + o o ) ) u ，一，4 “。一f ，c 一u 。) o ，v ve _ nd ( l ) 故 “l + a ) “。一f u 一“。) + m c ) 一垂( “。) 20 ，v veh nnp ( l ) 河北大学理学硕士学位论文 对上式不妨设t ，三0 则有 ( l “。+ a u 。一，一u 。) + 垂( 。) 0 即( l u 。+ a u 。一f “。) + 币( “。) 0 下面我们只须证明 ( “。十a u 。一f m ：) + 垂( u 。) 0 即列 事实上，由于f ( l ，a ，f 中，) = 0 ，由定义可知，s u 。虬1 i “。| | = n ：= ij u 。旷1 一且 ( ( l + j 4 ) f j 。r ，“。一 ) 西( ”) 一垂( l k ) ，v 即ek 。nd ( l ) ， 取”i0 ， 贝0 ( ( l + _ ) 。一f “。) 币( o ) 一西( u 。j = 一中( ) ，即( ( 工+ 4 ) u 。一厂u 。) + 圣( 。) 20 ， 综上可知，( ( l + a ) u 。一- 厂，u 。) + 中【u 。】= 0 ，成立 另一方面，由于 ( ( l + a ) z t 。一，v u 。) + 中( 钉) 一中 “。) 20 ，v 钉nd ( ) 、 所以，( ( l + a ) u 。一f 口) + 西( 口) 0 ，。nd ( l ) 成立 我们可以断言，对于某些整数再有i f | ( ， ) v w i 矿 则存在“k n d ( l ) 使得 ( ( l + a ) “一，“) + 中( 札) = 0 且 ( ( + ) u f ，u ) + 圣( ”) 20 ， v v k 成立 证明t 假设r ( a ，巾h + ) 为非空集，由条件i i ) 可知 ( 叫) + 垂( ) ( f ，埘) ，v w r ( a ，f ，圣， ，) ， 由厂( l 4 ，西，f ，k ) cr ( tr ，虫，) 和条件j ) 知州l ，a ，中，k ) 非空且斗 紧，故可以找到一序列 u 。 ，t ) ck 使得有 1 4 2 ，主要结果 f 。：= l l “。1 1 一， 。：= “。l l u 。旷一l u k 。，且 ( a ( t 。w 。) ，。“。) + 垂( f 。w 。) ( ，k 。) 不等式两边均除以t 。 0 ，得到 ( a ( z 。) ，”。j + f ：1 m ( f 。w 。) ( ，w 。) 两边取极限可以得到 r _ a ( w ) 一币o 。( w ) ( ，w ) 这与巳知条件( j i ) 矛盾，故假设r ( a ，中、，、r ) 0 不正确，从而由定理2 6 知 推论2 结论正确( 证毕) 推论3 ：假设条件( h ) 被满足， 有非空内部，日：x x 。是一个强连 续算子，若 i ) r ( a b ，0 0 ，是a 一紧的； i i ) 存在+ 、， o ) 的一非空子集满足；r ( a b ，0 ，0 ，“jc 、且! ( “) 殆( w ) ，y w w 则存在“h nd ( l ) 使得 ( l “j u b u ，“) = 0 且 ( l u + a u b u i 1 ) 0 ，v v k 成立 证明：由于鞠( “j 珀( “，) 所以， a - b ( t “) ) 0 ，v w 由已知条件知 ! a - b f t u ) ( f ，”) 满足推论2 的条件，故此推论的结论可由推论2 得证( 证 毕1 注9 ：我们可以将推论3 中的箅子i 一目看作推论2 中的算子，因为 一b 仍为有界伪单调的算子，故推论： 为推论? 的特例注意到从定理25 到推论 3 ，当li0 时的结果与定理2 1 到定理2 4 的结果一致，只是在不同条件下对 河北大学理学硕士学位论文 其进行了研究，从定理2 5 到推论3 的理论结果可以运用到求发展方程边值问 题的解上面去 3 关于映射j t 零点的讨论 3 关于映射j t 零点的讨论 定理3 1 设x ，x + 均为一致凸的b a n a c h 空间，kcx 为闭凸集， t ：dck x 为一映射i 则下面两个条件等价， ( 1 ) j d ，使得f j ，一e ，7 j - 1 ( j y 一丁笋) ) s0 ，v x ； ( 2 ) t 在j ( d ) 内有最近点即存在y d ：使得i j y t y i = d ( t y j r ) ) 若t 为广义向内映射，则( 1 ) ，( 2 ) 等价于 ( 3 ) t ，一t 在d 内有零点，即存在y d 使得( j t ) y = 0 证明：( 1 ) = 辛( 2 ) ，若( 1 ) 成立，由引理4 可知 ij 丁y j t j 2 j jl ，一t 9j j2 + 1 j j 一j xj 1 2 2 j y j x ，j - 1 ( j y t y ) ) i j 9 一丁1 | 1 2 v x r 故存在yedck 使得i j y 丁洲= d ( t y ，j ( ) ) ，即( 2 ) 成立 ( 2 ) 哥f 1 ) ，由于( 2 j 成立，v z k j ( k ) 是闭凸集，由引理5 有 i i - ，y t y i 2 l i 丁9 一( 】一t ) j y t j x l 2 f i j g 一7 1 9 f 1 2 2 t j y j x ，j - 1 ( g y 一丁g ) ) + m a x t i j f j z 1 z f f y j z f i b ( t l l j y j z f f ) 移项，于是得到 ? ( j 一t ，。j - i ( ，g t y i m n z f ，9 一，z “1 l i j g j t f f 6 ( f i f j 9 一j 8 ) 令一一0 + 、由于6 ( t ) 连续，b ( o ) = 0 ，我们可以知道 j g ：r 、j - 1 ( j y t y ) ) 曼0 即c 】j 式成立若7 1 还是向内映射，知 j i l ，s ，一丁j j = d ( t y ，j ( ，) ) d ( t y j ( d ) j ， 1 7 河北大学理学硬士学位论文 而丁，还是广义向内映射，则 d ( t y ，j ( ) ) sj i t y d y 故只能有t y j ( ，) ，因此d ( t y ，j ( ) ) = 0 ，即j 一t y = 0 、故y 为i ，一丁的 零点 注l o ：由于在h i l b e r t 空间中对偶映射j 三，且x 为自共轭空间，此命 题在更一般的空间中讨论了j t 型变分不等式，因此不能象文献【l l 中讨论 变分不等式与不动点的问题那样去讨论，而是转化到求丁在j ( d ) 内有最近点 与j t 有零点这个更广泛的意义上 4 参考文献 4 参考文献 1 k u n q u a nl a n a n dj e f f r e yw e b b ，v a r i a t i o i n mi n e q u a l i t i e sa n df i xp o i n t t h e o r e m sf o rp m m a p s + j m a t h a n a l a p p l 2 2 4 ，10 2 11 6 ( 1 9 9 8 ) 2 s a m i ra d l y ，d a n i e lg o e l e v e na n dm i c h e lt h e r a ，r e c e s s i o nm a p p i n g sa n d n o n c o e r c i v ev a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s n o n l i n e a ra n a l y s i st h e o r y ，m e t h a p p l v 0 1 2 6 ，n o 9 ，p p 1 5 7 3 1 6 0 3 ，( 1 9 9 6 ) 3 h o n g - k u nx u i n e q u a l i t i e si nb a n a c hs p a c e sw i t ha p p l i c a t i o n s n o n - l i n e a r a n a l y s i st h e o r ym r t h o d s a p p l i c a t i o n v 0 1 1 6n o 1 2p p 1 1 2 7 1 1 3 8 ，( 1 9 9 1 ) 4 d p a s c a l i a n ds s b u r l a n ， n o n l i n e a rm a p p i n g so fm o n t o n et y p ets i j t h o f fa n dn o o r d h o f