（基础数学专业论文）迭代函数系和有理映射迭代不变集的拓扑和几何.pdf

o nt h et o p o l o g ya n d g e o m e t r y o ft h e i n v a r i a n ts e to fi f sa n di t e r a t i o n so fr a t i o n a l m a p s y e s h u ns u n d e c e m b e r ，2 0 0 2 a b s t r a c t t h i sr e p o r tt o u c h e so ns e v e r n la s p e c t so fd y n a m i c a ls y s t e m s ，t h a ti s ，t h e i t e r a t e df u n c t i o ns y s t e m ，t h ed y n a m i c so fr a t i o n a ls e m i g r o u p ，a n dc o m p l e x d y n a m i c so fas i n g l er a t i o n a lm a p w e a r em a i n l yc o n c e r n e dw i t ht h et o p 0 1 o g ya n dt h eg e o m e t r yo ft h ei n v a r i a n ts e t s ，n a m e l y ，a t t r a c t o r sa n dj u l i as e t ， a r i s i n gf r o mt h e s es y s t e m s f i r s t ，p o r o s i t yo fj u l i as e t s ，e r g o d i c i t y ，a n dt h er i g i d i t yo fn o n r e c u r r e n t r a t i o n a lm 印sa r ei n v e s t i g a t e d f 0 ran o n r e c u r r e n tr a t i o n a lm a p ，w eu s ea d i s t o r t i o nl e m m af o rap r o p e rh o l o m o r p h i cm a pt op r o v et h a tt h ej u l i as e t i se i t h e rp o r o u so rt h ew h o l er i e m a n ns p h e r e 、t h a ti t i se r g o d i co ri t sj u l i a s e th a sh a u s d o r f fd i m e n s i o nl e s st h a n2 1a n dt h a tat o p o l o g i c a lc o n j u g a c y b e t w e e nt w os u c hm a p si si s o t o p i ct oaq u a s i c o n f o r m a lo n er e l a t i v et ot h e i r j u l i as e t s s e c o n d l y , w es t u d yt h eb u r i e dp o i n t sp r o b l e m s f o rar a t i o n a lm a p o f d e g r e eb i g g e rt h a no re q u a lt o3a n dh a v i n ge x a c t l yt w oc r i t i c a lp o i n t s ，s u p p o s et h a tt h ej u l i as e ti sap r o p e rs u b c o n t i n u u mo fr i e m a n ns p h e r ew i t h o u t b u r i e dp o i n t sa n dt h a tt h e r ei sn oc o m p l e t e l yi n v a r i a n tf a t o uc o m p o n e n t u n d e lt h es e c o n di t e r a t et h e nt h ej u l i as e ti sal a k e so fw a d ac o n t i n u u m h e n e ee i t h e ri n d e e o m p o s a b l eo rt h eu n i o no ft w oi n d e c o m p o s a b l ec o n t 沁u a f l 台a l s os h o wt h a tad i s c o n n e c t e dj u l i as e tc o n t a i n i n gb u r i e dp o i n t sh a s u n c o u n t a b l yi n f i n i t eb u r i e dc o m p o n e n t s t h i r d l yt h ec o n n e c t i v i t yo ft h ej u l i as e to fa r a t i o n a ls e m i g r o u pi sc o n s i d c r e d 蹄j p r o v et h a tt h ej u l i a s e to fa f i n i t e l yg e n e r a t e dp o l y n o m i a ls e m i g r o u p i sc o n n e c t e di fi t sf i n i t ep o s t c r i t i c a ls e ti sb o u n d e d a ne x a m p l ei sg i v e nt o s h o wt h a tt h ec o n v e r s ei sn o tt r u e f i n a l l y ，w es t u d yt h e u n i f o r mp e r f e c t n e s so fa n o n - d e g e n e r a t ea t t r a c t o ro f a ni t e r a t e df u n e t i o ns y s t e m ( i f s ) a n dc o u n tt h en u m b e ro ft h ec o m p l e m e n t c o n n e c t e dc o m p o n e n t so fa l la t t r a c t o ri ne u c l i d e a ns p a c e ，ep r o v et h a tt h e s e l f - a m l i es e ti su n i f o r m l yp e r f e c ta n de x t e n dt h i st oc 1 + ob i - l i p t s c h i t zi f s l l l i no i l ed i m e n s i o n ，ac 1c o u n t e r e x a m p l e i sc o n s t r u c t e df o rt h el a t t e r w eg i v e e x a m p l e sw i t ha r b i t r a r yn u m b e r o fc o m p l e m e n tc o m p o n e n t sa n dp r o v et h a t t i l en u m b e ro fc o m p l e m e n tc o m p o n e n t si se i t h e ro n e o ri n f i n i t yf o ri n j e c t i v o i f sw i t ht h ei n t e r i o ro ft h ea t t r a c t o re m p t y c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n i nt h es e n s eo fi t e r a t i o n ，d i s c r e t ed y n a m i c a ls y s t e m sh a sab r o a d e rs p e c t r u m t h a nc l a s s i c a lo n e s g i v e na n yp o s i t i o ni nt h ep h a s es p a c e ，b y a p p l 叭n g am a p ，w eg e tt oan e wp o s i t i o n i fw ea p p l yt h es a m em a pt ot h en e w p o s i t i o na n ds oo n ，w eo b t a i nad e t e r m i n e dd i s c r e t ed y n a m i c a ls y s t e r n t h i s i st h ec l a s s i c a lo n e s o nt h eo t h e rh a n d ，i ft h em a p w ea p p l yi sc h o s e nf r o m as p e c i f i cc l a s so fm a p s ，c a l l e dg e n e r a t i n gs y s t e ma n d u s u a l l yaf i n i t ec l a s s ， w i t he q u a lc h a n t e ，w eo b t a i nas o m e h o wr a n d o md i s c r e t ed y n a m i c a l s y s t e m t h i sr e p o r tw i l lf o c u so nt h es t u d yo ft h ei n v a r i a n ts e t sa r i s i n gf r o mt h e s e s y s t e m s ，e s p e c i a l l yf o rt h e i rg e o m e t r i c a l ，t o p o l o g i c a l ，a n dm e a s u r et h e o r e t i c p r o p e r t i e s n o r et h a te a c ho ft h e s es y s t e m si sa s s o c i a t e dw i t has e m i g r o u p s t r u c t u r e e x a m p l e s a r eg i v e n b ys p e c i f y i n gt h e c l a s so f m a p s t h r e e c o n t e x t s w i l lb ei n v e s t i g a t e di nt h i sr e p o r t f i r s t ，t h ec l a s sc o n t a i n so n i yo n er a t i o n a lm a do nt h er i e m a m 2s p h e r eo f d e g r e eb i g g e rt h a no n e t h i si st h em a i ns u b j e c to fh o l o m o r p h i cd y n a m i c a l s y s t e m s ，u s u a l l yc a l l e dc o m p l e x ( a n a l y t i c a l ) d y n a m i c s t h eb a s i ct h e o r yo f t h i sf i e l dw a se s t a b l i s h e db yf r e n c hm a t h e m a t i c i a n sp i e r r ef a t o u ，g a s t o n j u l i a ，a n ds oo n ，i nt h ef i r s tt w od e c a d e so f1 a s tc e n t u r y ( s e ef a l e l ) u n d e r t h i sm a p ，w eh a v ead y n a m i c a ld i c h o t o m yo ft h er i e m a r l ns p h e r e ，i ，e ，t h e j u l i as e ta n dt h ef a t o ns e t r o u g h l ys p e a k i n g 、t h ej u l i as e tc o n s i s t so fu n s t a b l ep o i n t so ft h er a t i o n a lm a p f o ri n s t a n c e ，t h ej u l i as e to fa p o l y n o m i a l i st h eb o u n d a r yo ft h es e to ft h ep o i n t sh a v i n gb o u n d e do r b i tu n d e rt h i s p o l y n o m i a l t og e tf a m i l i a rw i t haj u l i as e t o n ew a yi st ok n o wi t sh a u s d o r f fd i m e n s i o nas h a l l o wc o m p a c ts e ti nr i e m a n ns p h e r ei so fh a u s d o r f f d i m e n s i o nl e s st h a n2 t h i sn o t i o nw a sd 舒n e di n m c m 2 1b yc m c m u l l e n s i n c ear a t i o n a lm a po fd e g r e eb i g g e rt h a no n e g l o b a l l yf o l d st h es p h e r ea n d l o c a l l ys t r o n g l ya t t r a c t i n ga r o u n dc r i t i c a lp o i n t s ，t h eb e h a v i o ro ft h eo r b i t s o fc r i t i c a lp o i n t sp l a yav e r yi m p o r t a n tr o l ei nt h et e n d e n c yo ft h ei t e r a t i o n o ft h er a t i o n a lm a p w jw i l ls t u d yt h es p h e r i c a lm e t r i cg e o m e t r yo ft h ej u l i a l 2 c h a p t e r17l n t r o d u c t l o n s e to fn o n - r e c u r r e n tr a t i o n a lm a p ( i e ，e a c hc r i t i c a lp o i n ti nt h ej u l i as e ti s n o n r e c u r r e n t ) w js h o wt h a tt h ej u l i as e to fan o n r e c u r r e n tr a t i o n a lm a p i s e i t h e rt h ew h o l es p h e r eo r 盎a l l o w 。ak e yp r o b l e mi nh o l o m o r p h i c d y n a m i c s i st h ec l a s s i f i c a t i o n i tw a sc o n j e c t u r e dt h a ta n y n o n _ h y p e r b o l i cp o l y n o m i a l i st o p o l o g i c a l t yr i g i d ，t h a ti s ，n o tt o p o l o g i c a l l yc o n j u g a t et oa n yo t h e rp o l y n o m i a l s a st h ef i r s ts t e p ，o n em a y t r yt oi m p r o v eat o p o l o g i c a lc o n j u g a e y t oaq u a s i c o n f o r m a lo n e ，eg i v es u c har i g i d i t yr e s u l tf o rn o n 。r e c u r r e n t r a t i o n a lm a p s e r g o d i c i t yi sae e n t r a lt o p i ci nm e a s u r a b l ed y n a m i c s f o rt h e l e b e s g u em e a s u r eo nt h es p h e r ei n d u c e db ys p h e r i c a lm e t r i c w es h o wt h a t an o n - r e c u r r e n tr a t i o n mm a pi se i t h e re r g o d i eo rt h eh a u s d o r 疰d i m e n s i o no f t h ej u l i as e ti sl e s st h a n2 a l lt h e s et h r e er e s u t t sa r ei n c l u d e di ns e c t i o n2 1 t h e ya r ee d i t e db yt h ea u t h o rb a s e d0 np r e p r i n t sb yy i ny o n g c h e n g s y i n a p o w e r f u lp - v a l e n tv e r s i o nd i s t o r t i o nr e s u l t c jy a n dm a f t 6 sr e m a r k a b l e t h e o r e mp l a yt h ee s s e n t i a lr o l e o nt h eo t h e rh a n d 、t o p o l o g i c a l l y , t h ej u u as e t sc a nb e q u i t ec o m p l i c a t e d o ri r r e g u l a r f o re x a m p l e ，a sf a t o ul n d i c a t e di nh i sn o t e t h ej u l i as e t sc a n b et o t a l l yd i s c o n n e c t e dp e r f e c ts e t m o r e o v e rs u c hk i n do ft h i n g si s b yn o m e a t 2 su n n a t u r a l ，n o w a a a y s ，c o m p u t e rc a l lr e n d e ru st r e m e n d o u sp i c t u r e s e x h i b i t i n gt h i sf a c t h o w e v e r ，i ft h en o n - l o c a lc o i m e c t i v i t yi st a k e ni n t oa c 。 c o u n tf o rt h ej u l i as e t ，i ts e e m st h a tt h ec o m p u t e rc a l ld on o t h i n gf o ru s ， i n d e e d 、a sa ni l l u s t r a t i n ge x a m p l e ，t h el o c a lc o n n e c t i v i t yo ft h em a n d e l b r o t s e tf o rt h ef a m i l yz 2 + cr e m a l n so p e nt i l lt o d a y a l t h o u g ho n ec a ns e em a n - d e l b r o ts e ti nm a n ys i t u a t i o n s 。b u to n em u s tc o n s i d e rt h el o c 越c o n n e c t i v i t y o ft h ej u l i as e t 、n o to n l yb e c a u s et m 8k i n do fd y n a m i c sc a l lb er e d u c e dt o s i m p l e ro n e a l s ob e c a u s ei th a sb e e np r o v e dt h a tn o n - t o c a l l yc o n n e c t e dj u l i a s e td o e se x i s tl s u l 2 1 m e a n w h i l et h et o c a le o n n e c t i v i t yo fj u l i as e th a sb e e n s h o w nf o ra q u i t el a r g ec l a s so fr a t i o n a lm a p s ( s e e ，【m i l 3 】，【l s 】，f p e t ，a n d 鼍y 1 ) 霉h ei n d e c o m p o s a b i l i t yi s 武o n ee x t r e m eo fn o n - i o c a l l yc o n n e c t i v i t y n o t et h a tn o te v e r yp o i n to ft h ej u l i as e ti se x p o s e dt ot h ec o n n e c t e d e o m p o n e n t so f 飚t o us e t 。t h en o n - e x i s t e n c eo fb u r i e dp o i n t s ，8p r i o r i ；c a l l b er e l a t e dt ot h ee x i s t e n c eo fac o n n e c t e dc o m p o n e n to ff a t o us e tw h i c hi s c o m p l e t e l yi n v a r i a n tu n d e rt h es e c o n di t e r a t eo ft h er a t i o n a lm a p a c t u a l l y t h i si sc o 蛹t u r e dt ob ee q u i v a l e n tb ym a k i e n k oi n e l la sa l lp o s s i b l ee n t r y i ns u l l i v a n sd i c t i o n a r yf r o mk i i e n e a ag r o u pt ot h ei t e r a t i o no fr a t i o n a im a p f o ra p a r t i c u l a rc l a s so f r a t i o n a lm a p s ，w ea n s w e rt h i sc o n j e c t u r ea f f i r m t i v e l y e x c e p ti n d e c o m p o s a b l ej u l i a s e t o rp r e c i s e l y , t h el a k e so fw a d ac o n t i n u u m i n v o l v e d s y 3 1 f o rad i s c o n n e c t e dj u l i as e t s o m ec o m p o n e n t sm a yc o n - s i s t so fo n l yb u r i e dp o i n t s ，w h i c hi sc a l l e db u r i e dc o m p o n e n t s ；s o m em a 审 c o n t a i nb u f f e dp o i n t sa n dn o n b u r i e dp o i n t ss i m u l t a n e o u s l y t h eq u e s t i o n r i s e sa tt h i sm o m e n ti st h a th o w m a n yb u r i e dc o m p o n e n t st h e r ei si naj u l i a s e tc o n t a i n i n gb u r i e dp o i n t s w es h o wt h a tt h i se a r d i n 舔l t vi su n c o u n t a b l y 3 i n f i n i t e 【s y i 】 s e c o n d l y ，o n ec a l la p p l ye a c hm a p i naf i n i t ef a m i l yo fr a t i o n a lm a p si n e q u a lc h a n c e t h i si san a t u r a lg e n e r a l i z a t i o no fc o m p l e xd y n a m i c s 、c a l l e d d y n a m i c so fr a t i o n a ls e n f i g r o u p t h e s ei d e a sw e r ef i r s ts y s t e m a t i c a l l yd e v e l o p e db yz h o ua n dr e ni z a h i n k k a n e na n dm a r t i n 【h m l le s t a b l i s h e d t h eb a s i c sf o rt h ed y n a m i c so fg e n e r a lr a t i o n a ls e m i g r o u ps e e m i n g l yi n d e p e n d e n t l y 、ea s s u m et h a tt h i sf a m i l yc o n t a i n sa t1 e a s to n er a t i o n a lm a p o fd e g r e eb i g g e rt h a no n e s o m eo ft h er e m a i n i n gc a s e sw i l lb ec o n s i d e r e d i nt h et h i r ds e t t i n gb e l o w ，b yc h a n g i n gt h ep h a s es p a c et oe u c l i d e a np l a n e w es t i l l g e tad e c o m p o s i t i o no fr i e m a n ns p h e r e i e j u l i as e ta n df a t o u s e t ap r i n c i p a la i mf o rt h es t u d yo fr a t i o n a ls e m i g r o u p si st os e eh o wf a r t h ee l a s s i e a lt h e o r yo ft h et h ei t e r a t i o no fas i n g l er a t i o n a lm a pa p p l i e si n t h i sm o r eg e n e r a ls e t t i n g t h e r eh a sb s e ns o m eb a s i cr e s u l t s 砒o n gt h i sl i n e f o ri n s t a n c e 、t h ec l o s u r eo ft h es e to fr e p e l l i n gp e r i o d i cp o i n t si st h ej u l i a s e tl h m l l m a n y w o w k sh a v eb e e nd o n ef o rt h ed y n a m i c so fr a t i o n a ls e m i g r o u p w jr e f e rt h er e a d e rt o s u m l ，s u m 2 ，s t a l ，h m 2 i no r d e rt og i v e ac l e a r e r t o p o l o g i c a lp i c t u r eo ft h ej u l i as e t so fr a t i o n a ls e m i g r o u p s i ti s i n e v i t a b l et oc h a r a c t e r i z ew h e nt h e s es e t sa r ec o n n e c t e d 、w bo b t a i na p a r t i a ir e s u l tw i t ht h i sr e s p e c t p r e c i s e l y , i ft h es e to fa l lf i n i t ec r i t i c a lv a l u e si s b o u n d e dt h e nt h ej u l i as e to fa f i n i t e l yg e n e r a t e dp o l y n o m i a ls e m i g r o u pm u s t b ec o n n e c t e d i ti sw e l lk n o w nt h a tt h ej u l i as e to fa p o l y n o m i a l i sc o n n e c t e d i fa n do n l yi ft h es e to fa l li t sf i n i t ec r i t i c a lv a l u e si sb o u n d e d h o w e v e r a c o u n t e r e x a m p l e ( s e ef i g u r e3 1 1 i s g i v e nt os h o wt h a tt h ec o n d i t i o ni no u r r e s u l ti sn o tan e c e s s a r yo n e ! t h i r d l y , i n s t e a do fg l o b a l l ye x p a n d i n gm a p s ，w eu s ea t t r a c t i n gm a p s a l t h o u g ht h ea t t r a c t o ro fas i n g l ea t t r a c t i v em a p i sas i n g l ep o i n t ，t h a to f ac o u p l eo fa t t r a c t i v em a p s ，e v e nl i n e a rm a p so fe u c l i d e a ns p a c e ，c a nb e v e r yc o m p l i c a t e d t h i si st h es oc a l l e di t e r a t e df u n c t i o ns y s t e m ( i f s l t h e a t t r a c t o ri st h e nn o n e m p t ya n dc o m p a c t i ti sw e l lk n o w nt h a tt h ea t t r a c t o r i su n i q u ef o ra ni f so n c o m p l e t em e t r i cs p a c e e x c e p to t h e r w i s es t a t e d ，m o s t o fo u r p h a s es p a c e si nt h i ss e t t i n ga r e e u c l i d e a n s p a c ea l t h o u g hs o m en o t i o n s c a nb ed e f i n e dm o r e g e n e r a l l y t h eq u e s t i o n so f o u rc o n c e r na r et h ep o s s i b l e n u m b e ro ft h ec o n n e c t e dc o m p o n e n t so ft h ec o m p l e m e n to ft h ea t t r a c t o r i nt h ee u c l i d e a ns p a c ea n dt h eu n i f o r mp e r f e c t n e s so ft h ea t t r a c t o r 、e s h o wt h a tt h ea t t r a c t o rf o ro n e t o o n ei f s ( i e e a c hm a pi nt h eg e n e r a t i n g s y s t e mi so n e - t o - o n e ) i sp e r f e c to ras i n g l ep o i n t f u r t h e r i fe a c hm a pi s as c a l e di s o m e t r y ，t h e nt h ea t t r a c t o r ( c a l l e ds e l f - s i m i l a rs e ti nt h i sc a s e li s u n i f o r m l yp e r f e c to ras i n g l ep o i n t 【y j s n e x t ，w ec o n s i d e ra f f i n em a p si n t h eg e n e r a t i n gs y s t e m i ti sp r o v e dt h a tt h ea t t r a c t o r ( c a l l e ds e l f - a f f i n es e ti n t h i sc a s e ) i su n i f o r mp e r f e c to ra s i n g l ep o i n t l x y s l i nd i m e n s i o no n ec a s e ， t h i sc a nb ee x t e n d e dt oc 1 “b i - l i p s c h i t zm a p s h o w e v e r ，ac 1b i l i p s c h i t z 4c h a p t e rl 。i n t r o d u e t i 0 n i f si sg i v e nt os h o wt h a tt h ea t t r a c t o ri sn e i t h e ra s i n g l ep o i n tn o ru n i f o r m l y p e r f e c t a st ot h en u m b e r o ft h ec o n n e c t e d c o m p o n e n t s o ft h ec o m p l e m e n to f t h ea t t r a c t o ri ne u c l i d e a ns p a c e ，i fw ed on o tr e s t r i c tt h e g e n e r a t i n gs y s t e m + e v e r ) , p o s i t i v ei n t e g e ra n di n f i n i t yc a r lo c c u r w ep r o v et h a ti fe a c hm a pi n t h eg e n e r a t i n gs y s t e ml so n e - t o o n ea n dt h ea t t r a c t o rh a sn oi n t e r i o rp o i n t ， t h e nt h en u m b e ro ft h ec o n n e c t e dc o m p o n e n t so ft h ec o m p l e m e n to ft h e a t t r a c t o ri ne u c l i d e a ns p a c ei se i t h e ro n eo ri n f i n i t y ? h e r e p o r ti so r g a n i z e da sf o l l o w s 。i n 瞧er e s to ft h i sc h a p t e r 。p r e p a - r a t i o n s ，w er e c a l lt h eb a s i ct e r m i n o l o g i e s ，d e f i n i t i o n s ，a n dr e s u l t sf r o mt h e s e t h r e ek i n d so fd y n a m i c a l s y s t e m s ，m o s to fw h i c hw i l lb eu s e di nt h es u b s e q u e n tc h a p t e r s i nc h a p t e r2 ，w es t u d yn o n r e c u r r e n tr a t i o n a lm a po nt h e i r m e a s u r et h e o r e t i c ，r i g i d i t ya n de r g o d i c i t yr e s u l t s w ea l s oa d d r e s sb u r i e d p o i n t sp r o b l e mi n 强i sc l l a p t e r 。c h a p t e r3i sf o rr a t i o n 越s e m i g r o u pw h e r e w eg i v eas u m c i e n tc o n d i t i o nf o rt h ej u l i as e to ff i n i t e l yg e n e r a t e dp o l y n o 。 m i a ts e m i + g r o u pt ob ec o n n e c t e d ，u n i f o r m p e r f e c t n e s si nt e r m so fi f si st h e t h e m eo fc h a p t e r4 w ec o n c l u d et h er e p o r tw i t ha d e s c r i p t i o no ft h er o u g h s h a p e ( i nt h es e n s eo fh o m o t o p y lo ft h ea t t r a c t o ro f1 f s ， 1 1 p r e l i m i n a r yo fc o m p l e xd y n a m i c s l e t ，：s _ sb eah o l o m o r p