（基础数学专业论文）非线性椭圆型方程组的可解性.pdf

中国科学技术大学博士学位论文 致谢 值此论文完成之际，我要衷心感谢我的导师陈祖墀教授。陈老师在 我学习期间，给予我极大的鼓励、关怀和指导。这篇论文从雏形到定稿 都凝结着导师的大量心血，是陈老师将我带入偏微分方程研究领域的 前沿。陈老师渊博的知识、严谨求实的科学态度和精益求精的治学和工 作精神，以及高尚的品德使我受益匪浅，终生难忘。 在三年的攻读博士学位期间，科大优秀的学风，严谨的教学，执着 的科研精神将铭刻在我永远的记忆中。三年的学习，我得到了科大数学 系很多老师的关怀和教诲。另外，数学所的黄稚新女士，教学办的张伟 女士和资料室的工作人员给予了很多帮助。在此，向他们表示衷心的感 谢。 “偏微分方程”讨论班是一个充满活力，温馨如家的集体。在讨论班 上，我从与导师、师兄妹的学术讨论中获得了很多新的前沿知识，受盆 良多。在此向他们表示衷心感谢。他们是：导师陈祖墀教授、陈卿教授、 蒋继发教授、宣本金博士、曾有栋博士、博士生魏公明，k a m r a mm a l i k ， 招燕燕和硕士生罗涛、刘兴涛、赵昆、邓昊及王先婷等。 我要感谢我的工作单位安庆师范学院的领导和老师们，感谢他们 对我学习的支持、生活上的关心、工作上的帮助。 我要感谢我的父母，感谢他们对我辛勤的抚育，从小引导我积极的 人生态度，对我学业的鼓励和支持。 我向我的爱人马琼女士谨致特别的感谢! 多年来，她热情地支持我 的学业和工作。在我学习期间，为承担家庭生活和养育女儿付出了极大 的辛苦。 借此，希望我的女儿钟菇小姐学习优秀，欢乐愉快一生。 2 中国科学技术大学博士学位论文2 0 0 2 年 摘要 本文利用不动点定理，上、下解方法，l e r a y s c h a u d e r 度理论，隐函数组定 理，嵌入定理等方法，研究了 ! 垡丛煎圆型友蚕和方程组的若干定解问题。 第一章2 ，研究了半线性椭圆型方程组 【一u g ( x ，v ) ，x n 、 - - a v = f ( x ，u ) ，x q( 1 ) l 。一，一o ，x 劬 的可解性。 椭圆型方程组正解的存在性、唯一性、多解性的研究现在很活跃，例如 1 研究 了下列椭圆方程组 f a u = g ( v ) ，x n - - a v = f ( u ) ，x e o( 2 ) 【。一。一0 , x 讹 的可解性问题，其中f ( s ) ，g ( s ) 满足下列条件 ( h 1 ) f ，g ：r r 连续， ( h 2 ) f ( o ) ，g ( o ) 0 和f ( t ) ，g ( t ) 在 o ，o 。) 上非减， ( h 。) l i 码掣一o 。，任意c o ， t 0 7 ( h 。) l i m 掣：o ，任意c o ， ( h 5 ) f ( t ) 在( 一o 。，o 上非增， ( h 6 ) l i m 掣一o ，任意c o ， ( h 7 ) f ( 0 ) o ( 或g ( o ) o ) 和g ( t ) o ( 或f ( t ) o ) ，任意t o ， ( h d 存在o r 9 f ( t ) ，或g ( r t ) r ，g ( t ) ， 对任意t 0 成立。 1 针对问题( 2 ) 得出下列结论 2 0 0 2 年中国科学技术大学博士学位论文3 1 的方法研究了问题( 1 ) 正解的存在性和唯一性。不仅如此，我们还得出了问题 。i u ；o ，x 勰 ( 3 ) 这里u 一【：】，ac x ，一 ：! i 二i ! ! i 】，fc x ，u ，= f ：；! ：二：i j ； 我们利用不动点定理和一些重要不等式证明了问题( 3 ) 正解的存在性。并对问 第二章2 在有介洞型区域内研究了半线性椭圆型方程组 1 u v ：0 ，x m ( 4 l 。一，；b ，。，。 2 研究了半线性椭圆型方程边值问题 f 一u = u 黼，x o 【。一b , x e f ： 正解的存在性。他们证明了存在正常数b ，使对所有正数b b 时，没有解。在 3 中，l e e 和l i n 将上述结论推广到了环形区域上 d x 沁n n爿蚝延 咄一心 4中国科学技术大学博士学位论文2 0 0 2 年 其中方程右端项f ( u ) 为非线性凸函数，且在0 与o o 处为超线性。在 4 中，h a i 又进一步将上述结论推广到洞型区域中。在我们论文里，我们首先对问题( 4 ) 中方 程右端项f ( x ，u ，v ) ，g ( x ，u ，v ) 为有界非负函数情形，证明了问题( 4 ) 存在有界正解 ( 见定理3 ) ，进而对问题( 4 ) 中方程右端项f ( x ，u ，v ) 与g ( x ，u ，v ) 在0 与。处为超 线性情形，利用定理3 的结论与s c h a u d e r 不动点定理证明了存在正常数b o ， 使对任意正数b b 时，没有正解( 见定理4 ) 。同时研究 了问题( 4 ) 正解的唯一性( 见定理5 ) 。最后讨论了问题( 4 ) 中方程右端项为线性函 数与有界函数之和时正解的存在性( 见定理6 ) 。夕r 3 研究了洞型区域内半线性椭圆型方程 ，f 一u 一 l u + 2 f ( u ) ，x n 、i 。一o ，。，。 ( 7 ) l u b , x e f z 我们对非线性函数f ( u ) 在0 与o o 处是超线性的和不是超线性的两种情形，利 用上、下解方法和s c h a u d e r 不动点定理证明了问题( 4 ) 正解的存在性定理和一些 其他的方法讨论了解的不存在性与唯一性问题。，彳 第三章研究了拟线性方程组， 厂卜一a u f ( x ，u ，v ，d u ，d r ) ，x n 、 一v g ( x ，u ，v ，d u ，d v ) ，x n( 8 ) 【。一，；0 , x e 加 的可解性。其中f ，g 是c a r a t h e o d o r y 函数。 最近几年，在生物学，生态学，燃烧理论，人口动态方面出现的很多现象能够用 半线性反应扩散方程组描述。因而引起了数学工作者对这类方程组研究的极大兴 趣。文献 5 6 是最近发表的这类文章，这类问题的一个典型形式可归结为下面方 程组的边值问题 f l l u = = f ( x ，u ，v ) ，x e q l2 u g ( x ，u ，v ) ，x n( 9 ) 【u v = 0 ，x 勰， 这里0 是r “( n 1 ) 中具有光滑边界铀的有界区域。 f ，g ：q r r r 是两个给定的函数。l k ，k = 1 ，2 ，是两个二阶一致线性椭圆 算子。但在反应扩散过程中，问题( 9 ) 的非线性项有时可能嵌赖于未知函数u 和v 的梯度，这种情况下的研究文章甚少。本文就针对这种情况讨论反应扩散现象，即 2 0 0 2 年中国科学技术大学博士学位论文 5 研究问题( 8 ) 弱解的存在性和唯一性。 我们利用上、下解方法，l e r a y - - s c h a u d e r 不动点定理以及嵌入定理证明了问 题( 8 ) 弱解的存在性( 见定理1 ) ，同时研究了问题( 8 ) 解的唯一性( 见定理2 ) 。夕7 第四章研究了半线性椭圆型方程组j 一u = f ( u ，v ) 一7 。g ( “，” ( 1 0 ) u 0 ，v 0 ，x b u ；v = 0 ，x a b 的可解性。 这里b 是以原点为中心的r “( n 1 ) 中单位球，f ，g 是相当一般的超线性形式。 当函数f 与g 在0 与o 。处是次线性时，正解的存在性已被详细研究， 7 讨论 了这种类型。 8 3 获得了r 2 中l i o u v i l l e 型椭圆方程组解的对称性结果。但在r “ ( n 2 ) 里，除掉一些比较特殊的函数f 与g ，相应椭圆型方程组正解的存在性与不 存在性的研究甚少。 9 是这类文章，它研究了方程组( 1 0 ) 的正径向解，其中，f 与g 满足f ( u ，v ) a u 。v n 和g ( u ，v ) b u q v 。近年来，在这方面的研究是相当活跃的。 在我们这篇文章里，我们研究的问题( 8 ) 中非线性函数f ( u ，v ) 与g ( u ，v ) 是相 当一般的超线性形式。 我们利用l e r a y - - s c h a u d e r 度理论在r “( n 1 ) 的中心在原点的单位球b 中， 通过三个引理证明了问题( 1 0 ) 正径向解的存在性定理( 见定理1 ) 。 在r “( n 3 ) 中，利用一些技巧，证明了问题 f u + f ( u ，v ) = 0 ，x r “ 【v + g ( u ，v ) = 0 ，x r “ 不存在正径向解。尸，7 第五章研究了奇异拟线性椭圆型方程组 f d i v a ( i d u ) d u + f ( x ，u ，v ，d u ，d r ) 一0 ，x b 。i d i v a ( i d v l ) d v ) _ _ f ( x ，u ，v ，d u ，d r ) 一0 ，x b i u 0 ，v 0 ，x b 【u 一0 v = 0 ，x 3 1 3 这里b 是以原点为中心的r “( n 2 ) 中的单位球，f ，g 是相当一般的非线性函 数。 近年来，对椭圆方程组边值问题正解的存在性与唯一性的研究相当活跃。如文 6中国科学技术大学博士学位论文2 0 0 2 年 献 1 ， 5 ， 1 0 一1 1 是最近发表的这类文章。 1 0 研究了一类奇异拟线性椭圆方程正径向解的存在性与唯一性。 1 1 在一个环形域内研究了椭圆方程正径向解的存在性与唯一性。 i t 3 与 5 3 研究了拟线性椭圆方程组，但非线性项仅为f ( u ，v ) ，g ( u ，v ) 和f ( v ) ， g ( u ) 形式。 我们这里所研究的问题( 1 1 ) 的特点是其中方程是拟线性的，可能在i d u ( x ) i 一0 或者i d v ( x ) l = 0 的点处退化或奇异。且其中非线性项f ( x ，u ，v ，d u ，d r ) 与g ( x ，u ，v ，d u ，d r ) 是相当一般的形式。 我们利用隐函数组定理证明了问题( 1 1 ) 存在唯一的正局部解( 见定理1 ) ，以 及解对初值的连续依赖性等。最后利用区间套定理和前面证明的结果证明了问题 ( 儿) 存在唯一的正径向整体解。 2 0 0 2 年中国科学技术大学博士学位论文 r e f e r e n c e s e 1 - r d a l m a s so ，e x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fp o s i t i v es o l u t i o n so fs e m i l n e a r e l l i p t i cs y s t e m s ，n o n l i n e a ra n a l y s i s3 9 ( 2 0 0 0 ) ，5 5 9 5 6 8 e 2 - b a n d l ec ，p e l e t i e rla n o n l i n e a re l l i p t i cp r o b l e m sw i t hc r i t i c a le x p o n e n ti n s h r i n k i n ga n n u l i j m a t h a n n ，1 9 9 8 ，2 8 ：1 1 9 e 3 3 l e emg ，l i nss o nt h ep o s i t i v es o l u t i o nf o rs e m i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n s o na n n u l a rd o m a i nw i t hn o n - - h o m o g e n u o u sd i r i c h l e tb o u n d a r yc o n d i t i o n se j 3 j m a t h ，a p p l ，1 9 9 4 ，1 8 1 ：3 4 8 3 6 1 e 4 3 h a id d p o s i t i v es o l u t i o n sf o rs e m i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n si na n n u l a rd o m a i n s 口 n o n l i n e a ra n a l y s i s ，1 9 9 9 ，3 7 ：1 0 5 1 1 0 5 8 e 5 - 1 m a n u e ld e l g a d oa n da n t o n i os u a r e z ，e x i s t e n c eo fs o l u t i o n sf o re l l i p t i cs y s t e m sw i t hh o l d e rc o n t i n u o u sn o n l i n e a r i t i e s d i f f e r e n t i a la n di n t e g r a le q u a t i o n s v o l u m e1 3 ( 4 6 ) a p r i l - j u n e2 0 0 0 。p p 4 5 3 4 7 7 6 3 c o a l v e s ，d c d em o r a i sf i l h o ，m ，a s s o u t o ，o ns y s t e m so fe l l i p t i ce q u a t i o n si n v o l v i n gs u b c r i t i c a lo rc r i t i c a ls o b o l e ve x p o n e n t s n o n l i n e a ra n a l y s i s4 2 ( 2 0 0 0 ) 7 7 1 7 8 7 7 h a m a n n ，f i n e dp o i n te q u a t i o n sa n dn o n l i n e a re i g e n v a l u ep r o b l e m si no r d e r e db a n a c hs p a c e s s i a mr e v 1 8 ( 1 9 7 6 ) 6 2 0 7 0 9 8 3s c h a n i l l o ，m k i e s s l i n g ，c o n f o r m a l l yi n v a r i a n ts y s t e m so fn o n l i n e a rp d e o fl i o u v i l l et y p e ，g e o m f u n c t a n a l 6 ( 1 9 9 5 ) 9 2 4 9 4 7 9 3 s h a o h u ac h e n ，g u o z h e nl u ，e x i s t e n c ea n dn o n e x i s t e n c eo fp o s i t i v er a d i a l s o l u t i o n sf o rac l a s so fs e m i l i n e a re l l i p t i cs y s t e m n o n l i n e a ra n a l y s i s3 8 ( 1 9 9 9 ) 9 1 9 9 3 2 1 0 z u c h ic h e n ，y o n gz h o u ，o nas i n g u l a rq u a s i l i n e a re l l i p t i cb o u n d a r yv a i u ep r o b l e mi nab a l l ，n o n l i n e a ra n a l y s i s4 5 ( 2 0 0 1 ) 9 0 9 9 2 4 ii c h u n - - c h i c h f u ，s o n g - - s u nl i n ，u n i q u e n e s so fp o s i t i v er a d i a ls o l u t i o n s n o n l i n e a ra n a l y s i s4 4 ( 2 0 0 1 ) 7 4 9 7 5 8 8中国科学技术大学博士学位论文2 0 0 2 年 s o l v a b i l i t yf o rn o n l i n e a re l l i p t i cs y s t e m s a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w ei n v e s t i g a t et h es o v a b i l i t yo fn o n l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n sa n d e l l i p t i cs y s t e m sb yu s i n g t h ef i x e d p o i n tt h e o r e m ，t h es u b s u p e rs o l u t i o n m e t h o d ，l e r a y s c h a u d e rd e g r e et h e o r e m ，i m p l i c i tf u n c t i o nt h e o r e m i m b e d d i n g t h e o r e m ，a n ds oo n i nc h a p t e r1 2 ，w ei n v e s t i g a t es o l v a b i l i t yo ft h es e m i l i n e a re l l i p t i c s y s t e m f a u g ( x ，v ) ，x q - - a v = f ( x ，u ) ，x e q( 1 ) 【u m y = 0 ，x 勰。 t h ee x i s t e n c e ，u n i q u e n e s sa n dm u l t i p l i c i t yo fp o s i t i v es o l u t i o n sf o re l l i p t i c s y s t e m sh a v eb e e ne x t e n c i v e l yd i s c u s s e d f o re x a m p l e ， 1 d i s c u s s e dt h ef o l l o w i n g p r o b l e m 、 一a u = g ( v ) ，x n 一v f ( u ) ，x n( 2 ) 【u v 一0 ，x 勰， h e r ef ( s ) ，g ( s ) s a t i s f yt h ef o l l o w i n gh y p o t h e s i s ( h 1 ) f ，g 。r ra r ec o n t i n u o u s ， ( h 2 ) f ( o ) ，g ( o ) oa n df ( t ) ，g ( t ) a r en o n d e e r e a s i n go n o ，。) ， ( h 3 ) 1 i 母掣一。，f o ra n y c o n s t a n tc o ， t o 。 。 ( h 4 ) l i m 掣一o ，f o ra n yc 。n s t a n tc o ， ( h 5 ) f ( t ) i sn o n i n c r e a s i n go n ( 一o 。，o ， ( h 6 ) l i r a 掣：o ，f 。ra n yc o n s t a n tc o ， ( h of ( o ) o ( o rg ( o ) o ) a n dg ( t ) 0 ( o rf ( t ) 0 ) ，f o rt o ， ( h 8 ) t h e r ee x i s to r p f ( t ) ， 2 0 0 2 年中国科学技术大学博士学位论文 9 a n dg ( r t ) r 9 9 ( t ) ，f o rt 0 ，h o l d s t h ep a p e r 1 3h a st h ef o l l o w i n gr e s u l t sf o rp r o b l e m ( 2 ) ： ( a ) a s s u m e ( h 1 ) 一( h 4 ) ，t h e n ( 2 ) h a sa tl e a s to n ep o s i t i v es o l u t i o n ； ( b ) a s s u m e ( h 1 ) 一( h z ) a n d ( h 5 ) 一( h 7 ) ，t h e n ( 2 ) h a sa t l e a s to n ep o s i t i v e s o l u t i o n ； ( c ) a s s u m e ( h 1 ) ，( h 2 ) a n d ( h 8 ) ，t h e n ( 2 ) h a sa tm o s to n ep o s i t i v es o l u t i o n i nt h i sp a p e rw ee l i m i n a t et h eu n c o m m o nh y p o t h e s i s e s ( h 3 ) ，( h 4 ) a n d ( h 6 ) t od i s c u s sn oo n l yt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s sb u ta s ot h en e c e s s a r yc o n d i t i o n f o rt h ee x i s t e n c eo ft h ep o s i t i v es o l u t i o nt op r o b l e m ( 1 ) t h em e t h o du s e di nt h i s p a p e ri s a l s od i f f e r e n tf r o m 1 i n 3 ，w ei n v e s t i g a t es o l v a b i l i t yo ft h es e m i l i n e a re l l i p t i cs y s t e m 一u a 。u + f 1 ，u ，“q( 3 ) i u 一0 ，x m ， w h e r e u 一，a ( x ) 一 a l l ( x ) a l n ( x ) u 。【a 。1 ( x ) a n n ( x ) ，f ( x ，u ) = f 1 ； f 。 x ，u ”u n ) x ，u l ，u n ) a n df k ( x ，u ) i st h es u b - - l i n e a rf u n c t i o n ，k ；1 ，2 ，n w e p r o v et h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n so ft h ep r o b l e m ( 3 ) b yu s i n gt h e f i x e dp o i n tt h e o r e ma n ds o m ei m p o r ti n e q u a l i t i e s a l s o ，w ep r o v et h eu n i q u e n e s s o ft h ep o s i t i v es o l u t i o nf o rc e r t a i nt y p eo ft h ep r o b l e m ( 3 ) i nc h a p t e r2 2 ，w ei n v e s t i g a t es o l v a b i l i t yo ft h es e m i l i n e a re l l i p t i cs y s t e m f 一u f ( x ，u ，v ) ，x q 一心- g 缸u h x q( 4 ) l u v = 0 ，x r 1 ， 【u v b ，x r 2 2 d i s c u s s e dt h ee x i s t e n c eo ft h ep o s i t i v es o l u t i o nt ob o u n d a r yv a l u ef o rt h e s e m i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n f 一。一u 麓，；e n u = 0 ，x r l ( 5 ) l u = b ，x 6 r 2 1 0中国科学技术大学博士学位论文 2 0 0 2 年 t h e yp r o v e dt h ee x i s t e n c eo fap o s i t i v en u m b e r b 。s u c ht h a tt h ep r o b l e m ( 5 ) e x i s tt h ep o s i t i v es o l u t i o nf o rb b 。t h er e s u h si n 2 w e r ee x t e n d e db yl e ea n dl i n 3 t on o n l i n e a r i t i e sfw h i c ha r ec o n v e xa n ds u p e r l i n e a ra tb o t hz e r oa n di n f i n i t ya n dqi sa na n n u l u s ，i e ， ，x n ( 6 ) t h er e s u l t si n 2 w e r e a g a i ne x t e n d e db yh a l 4 3t ot h eb o u n d e dd o m a i n w i t hah o l e i no u rp a p e r ，a tf i r s t ，w ec o n s i d e rt h ec a s et h a ti np r o b l e m ( 4 ) t h ef u n c t i o nf ( x ，u ，v ) ，g ( x ，u ，v ) a r eb o u n d e da n dn o n n e g a t i v e w eg e t t h ee x i s t e n c eo ft h e b o u n d e dp o s i t i v es o l u t i o nt op r o b l e m ( 4 ) ( s e et h e o r e m3 ) s e c o n d l y ，w ec o n s i d e r t h ec a s eo ft h a tf ( x ，u ，v ) ，g ( x ，u ，v ) a r es u p e r l i n e a ra tb o t hz e r oa n di n f i n i t y b y u s i n gt h e o r e m3a n dt h es e h a u d e rf i x e dp o i n tt h e o r e m w eo b t a i nt h a tt h e r ee x i s t sap o s i t i v en u m b e rb os u c ht h a tp r o b l e m ( 4 ) h a sap o s i t i v es o l u t i o nf o rb b ( s e et h e o r e m4 ) a l s o ，w es t u d yt h eu n i q u e n e s s o fp o s i t i v es o l u t i o n st op r o b l e m ( 4 ) ( s e et h e o r e m5 ) a tl a s t ，w ei n v e s t i g a t et h e e x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n st op r o b l e m ( 4 ) w h e n f ( x ，u ，v ) ，g ( x ，u ，v ) a r et h e s u mo fb o u n d e dn o n l i n e a rf u n c t i o n sa n dl i n e a rf u n c t i o n s ( s e et h e o r e m6 ) i n 3 ，w ei n v e s t i g a t et h es e m i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o ni nab o u n d e dd o m a i n w i t hah o l es u c ht h a t f 一u = x l u + x 2 f ( u ) ，x q u = 0 ，x r l( 7 ) 【u = b ，x r 2 w ed i s s c u s st w oc a s e ss u c ht h a tf ( u ) i ss u p e r l i n e a ra tb o t hz e r oa n di n f i n i t y a n dn o ts u p e r l i n e a ra tb o t hz e r oa n di n f i n i t y w eu s et h e s u b s u p e r s o l u t i o n m e t h o da n dt h es c h a u d e rf i x e dp o i n tt h e o r e mt os o l v et h ee x i s t e n c ep r o b l e ma n d s o m em e t h o d st os o l v et h en o n e x i s t e n c ea n dt h eu n i q u e n e s sp r o b l e m i nc h a p t e r3 ，w ec o n s i d e rs o l v a b i l i t yo ft h es e m i l i n e a re l l i p t i cs y s t e m s “n n 一蚝蜒心卸部 一 u u 2 0 0 2 年中国科学技术大学博士学位论文 1 1 f 一k u f ( x ，u ，v ，d u ，d v ) ，x n 一v g ( x ，u ，v ，d u ，d v ) ，x q ( 8 ) 【u 一，：0 , x 触， w h e r ef ，ga r ec a r a t h e o d o r yf u n c t i o n s i nr e c e n ty e a r s ，s e m i l i n e a rr e a c t i o n - - d i f f u s i o ns y s t e m sm o d e lm a n yp h e n o m e n ai nb i o l o g y ，e c o l o g y ，c o m b u s t i o nt h e o r y ，c h e m i c a lr e a c t i o n s ，p o p u l a t i o nd y n a m i c s ，e t c i s 一6 3a r es u c hp a p e r sp u b l i s h e dr e c e n t l y at y p i c a lf o r mi s f l l u f ( x ，u ，v ) ，x n l 2 u = g ( x ，u ，v ) ，x e q( 9 ) 【u ：。一o ，。讹， w h e r eqi sab o u n d e dd o m a i ni nr ”( n 1 ) w i t has m o o t hb o u n d a r y 勰 f ，g ：q r r + ra r et w og i v e nf u n c t i o n sa n dl k ，k = 1 ，2 ，t w os e c o n do r d e r u n i f o r m l ye l l i p t i co p e r a t o r s b u ti nt h er e a c t i o n - - d i f f u s i o np r o c e s st h en o n l i n e a r i t ym a ys o m e t i m ed e p e n do nt h eg r a d i e n to ft h eu n k n o w nf u n c t i o n sua n dv t h e r e f o r ei nt h i sp a p e rw ec o n s i d e rt h i sk i n do fr e a c t i o n - - d i f f u s i o np h e n o m e n o n a ，i e ，w es t u d yt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h ew e a ks o l u t i o nf o rp r o b l e m ( 8 ) w eu s et h es u b s u p e rs o l u t i o nm e t h o d t h el e r a y s c h a u d e rf i x e d p o i n t t h e o r e ma n dt h ei m b e d d i n gt h e o r e mt op r o v et h ee x i s t e n c eo fw e a ks o l u t i o n ( s e e t h e o r e m1 ) a l s o ，w es t u d yt h eu n i q u e n e s so fw e a ks o l u t i o n st op r o b l e m ( 8 ) ( s e e t h e o r e m2 ) i nc h a p t e r4 ，w ec o n s i d e rs o l v a b i l i t yo ft h es e m i l i n e a re l l i p t i cs y s t e m f 一u = f ( u ，v ) l 一x v g ( u ，v ) 1 u o ，v o ，x e b ( 1 0 l u v = 0 ，x 0 1 3 ， w h e r ebi st h eu n i tb a l lc e n t e r e da tt h eo r i g i ni nr “( n 1 ) ，t h en o n l i n e a rf u n c t i o n s f ( u v ) ，g ( u ，v ) a r er a t h e rg e n e r a ls u p e r l i n e a rf u n c t i o n s w h e nfa n dga r e s u b l i n e a ra tb o t h0a n do 。t h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n si sw e l lk n o w n ：s e e 7 i n 8 ，s y m m e t r yr e s u l t sf o re l l i p t i cs y s t e mo fl i o u v i l l et y p ei nr 2 w e r eo b t a i e d f o rt h ec o r r e s p o n d i n gt h e o r yf o re l l i p t i cs y s t e m si nr “( n 2 ) n o tm u c h i s k n o w na sf a ra st h ee x i s t e n c ea n dn o n e x i s t e n c er e s u l t sa r ec o n c e r n e d ，e x c e p tf o r 1 2中国科学技术大学博士学位论文 2 0 0 2 年 s o m es p e c i a lfa n dg ； 9 s t u d yt h ep o s i t i v er a d i a ls o l u t i o n so fs y s t e m ( 1 0 ) ，w h e r e f ( u ，v ) a u 。v 9a n dg ( u ，v ) b u 4 v i nr e c e n ty e a r st h e r eh a sb e e ng r e a ti n t r e s ti n t h es t u d yo fe l l i p t i cs y s t e m s i no u rp a p e r t h en o n l i n e a r i t i e sf u n c t i o n sf ( u ，v ) a n d g ( u ，v ) a r er a t h e rg e n e r a ls u p e r l i n e a rf o r m w eu s et h el e r a y s c h a u d e rd e g r e e t h e o r e ma n dt h r e el e m m at os o l v et h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v er a d i a ls o l u t i o n si nb i nr “( n 3 ) ，w eu t i l i z es o m es k i l lt op r o v et h et h en o n e x i s t e n c eo fp o s i t i v er a d i a l s o l u t i o n st ot h ef o l l o w i n gp r o b l e m f u 十f ( u ，v ) 一0 ，x r “ i v + g ( u ，v ) 一0 ，x r “ i nc h a p t e r5 ，w ec o n s i d e rs i n g u l a rq u a s i l i n e a re l l i p t i cs y s t e m f d i v a ( d u i ) d u + f ( x ，u ，v ，d u ，d v ) 一0 ，x b d i v a ( 1 d v l ) d r ) + f i x ，u ，v ，d u ，d v ) = 0 ，x b l u 0 ，v 0 ，x b 【u = 0 ，v 一0 ，x 0 1 3 ， w h e r ebi st h eu n i tb a l lc e n t e r e da tt h eo r i g i ni nr “( n 2 ) ，t h e f u n c t i o n sf ( x ，u ，v ，d u ，d v ) ，g ( x ，u ，v ，d u ，d v ) a r er a t h e rg e n e r a l ( 1 1 ) n o n l i n e a r i nr e c e n ty e a r s ，t h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o re l l i p t i ce q u a t i o n sa n ds y s t e r n sh a v eb e e ne x t e n s i v e l yd i s c u s s e d ，f o re x a m p l e s ， 1 ，e s - 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