（系统工程专业论文）一类2D离散非线性系统的稳定性分析.pdf

摘要 摘要 关于多维离散随机系统的讨论出现于2 0 世纪6 0 年代，伴随着空间科学和统 计学的快速发展，人们对2 - d 离散随机系统的关注日益增加。在当前非线性理论 的研究中，关于一维非线性系统的研究成果相当丰富，产生了大量有价值的文献， 因此为我们进行多维离散随机系统的研究提供了深厚的理论基础。本文首先介绍 两类最近被详细讨论的2 - d 离散随机系统，然后从一类一维离散非线性控制系统 的稳定性谈起，对一类2 - d 离散非线性系统的稳定性作一点探讨。本文的主要内 容介绍如下： i 两类2 d 离散随机系统 在本部分，作者介绍两类最近被详细讨论的2 一d 离散随机系统，并且给出这 两类随机系统的稳定性分析结果以及一些重要的性质和定理；然后给出2 一d 离散 线性随机系统l ，- s t a b l e 的定义，并讨论2 - d 离散随机系统o - s t a b l e 稳晶g 充 分必要条件。 n 一类1 d 离散非线性系统的临界稳定性分析 在本部分，作者主要讨论一类1 d 离散非线性自适应控制系统的临界稳定 性，并且给出了使此类系统临界稳定的参数值，从而为第四章的二维推广打下理 论基础。 i 一类2 d 离散非线性系统的稳定性分析 由于关于多维离散非线性系统的研究还不到5 0 年，而且空间科学的发展也 刚刚起步，因此寻求一维离散随机系统与二维以及二维以上离散随机系统的联系 有很多困难。在本部分，我们将对第三章中讨论的一维离散非线性自适应控制系 统的数学模型进行了二维的推广，然后给出判断此类2 d 离散随机系统不稳定的 充分条件，而且我们还对结果进行了仿真检验，给出不同参数值的情况下系统的 仿真结果。最后探讨了需要继续做的工作，我们下一步还要确定出更加精确的使 该类系统临界稳定的参数值。 山东大学砀十学位论文 在本论文的最后给出结论，说明本论文的不足并且提出仍需要解决和关注的 相关问题，并且对于2 d 离散非线性系统理论的发展与应用做出展望。 关键字：2 - d ；离散：非线性；稳定性 i i a b s t r a e t a b s t r a c t t h ed i s c u s s i o no fm u l t i - d i m e n s i o n a ld i s c r e t en o n l i n e a r s y s t e m sa p p e a r e d i n 1 9 6 0 s w i t ht h er a p i dd e v e l o p m e n to fs p a t i a ls c i e n c ea n ds t a t i s t i c s , p e o p l ep u tm o r e a t t e n t i o no ni t i nr e c e n tr e s e a r c ho fn o n l i n e a rs y s t e m s ，t h e r ea r ea b u n d a n tv a l u a b l e r e s u l t si no n e - d i m e n s i o n a ln o n l i n e a rs y s t e m s , w h i c h p r o v i d e 璐w i t hp r o f o u n d a c a m e d i cb a s i sf o rt h er e s e a r c ho f m u l t i d i m e n s i o n a ld i s c r e t en o n l i n e a rs y s t e n l s i nt h i s t h e s i s ，w ew i l ls t a r tw i t ht h ed i s c u s s i o no fs t a b i l i t yo fas e to f1 - dd i s c r e t en o n l i n e a r s y s t e m s ，t h e nas e to f 2 一dd i s c r e t en o n l i n e a rs y s t e m sw i l lb ed i s c u s s e d t h ec o n t e n ti sa sf o l l o w s ： i t w os e t so f 2 一dd i s c r e t er a n d o ms y s t e m s i nt h i ss e c t i o n , w ew i l li n t r o d u c et w os e t so f 2 dd i s c r e t er a n d o ms y s t e m sw h i c h a r ed i s c u s s e dd r a s t i c l yr e c e n t l y , a n da n a l y s et h es t a b i l i t yo ft h er a n d o ms y s t e m s t h e n w ep r e s e n ts o m ei m p o r t a n tt h e o r i e so ns t a b i l i t ya n dq u a l i t yo f t h es y s t e m s f i n a l l yw e w i l ld e f i n et h el p s t a b i l i t yo ft h er a n d o ms y s t e m s ，a n dt h e np r o v i d es o m es u f f i c i e n t a n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n so f t h es y s t e m st h a tc a nd e t e r m i n et h es t a b i l i t yo f t h er a n d o m s y s t e m s as e to f1 - dd i s c r e t en o n l i n e a rs y s t e n l s i nt h i ss e c t i o n , t h ea u t h o rw i l lm a i n l yd i s c u s st h ec r i t i c a ls t a b i l i t yo f as e to f1 - d d i s c r e t en o n l i n e a rs y s t e m sa n dp r e s e n tav a l u et h a tc a nm a k et h es y s t e mc r i t i c a l l y s t a b l e s ot h a tw ec a np r e p a r ef o rt h et w od i m e n s i o n a le x p a n s i o ni nf i f t hc h a p t e r m t h ea n a l y s i so f t h es t a b i l i t yo fas e to f2 - dd i s c r e t en o n l i n e a rs y s t e m s t h ed i s c u s s i o no fm u l t i d i m e n s i o n a ld i s c r e t en o n l i n e a rs y s t e m sa p p e a r e di n 1 9 6 0 s ，a n da1 i t t l ea m o u n to f t h ed e v e l o p m e n to f s p a t i a ls c i e n c eh a sb e e nc r e a t e df o ra s h o r tt i m e s ot h e r ea l el o t so fd i f f i c u l t i e si n s e e k i n g r e l a t i o n sb e t w e e n o n e - d i m e n s i o n a lr a n d o ms y s t e m sa n dm u l t i d i m e n s i o n a ls y s t e m s i nt h i ss e c t i o n ，w e w i l lg i v eat w od i m e n s i o n a le x p a n s i o no ft h eo u e d i m e n s i o n a ld i s c r e t en o n l i n e a r s y s t e m sd i s c u s s e di ns e c o n dc h a p t e r , a n das u f f i c i e n tc o n d i t i o no f i n s t a b i i i t yo f t h e2 - d 1 1 1 山东大学硕十学付论文 d i s c r e t er a n d o ms y s t e m si sp r e s e n t e d t h e nw ep l o tt h e2 - dd i s c r e t er a n d o ms y s t e m s w i t hd i f f e r e n tv a l u e so fp a r a m e t e r f i n a l l y , w ed i s c u s sw h a ts h o u l db ed o n ef i o mn o w o n , a n dam o r ep r e c i s ev a l u eo f p a r a m e t e rs h o u l db ep r e s e n t e dt h a tm a k e st h es y s t e m s c r i t i c a l l ys t a b l e f i n a l l y , w ep o i mo u tt h ei n s u f f i c i e n c ya b o u tt h i st h e s i sa n dp r o p o s es o m e p r o b l e m st h a tn e e dt ob es o l v e df u r t h e ra n dp r o s p e c tt h ed e v e l o p m e n to f 2 一dd i s c r e t e n o n l i n e a rs y s t e m s k e yw o r d s ：2 - d ；d i s c r e t e ；n o n l i n e a r ；s t a b i l i t y i v 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何 其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究作出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律责任由本人 承担。 论文作者签名：纽日 论文作者签名：旺垃 日期： 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅 和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文和汇编本 学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名；盍至墨l 导师签名：麴# 王蔓日 期： 第一章绪论 1 1引言 第一章绪论 随着现代工业和国民经济的不断发展，人们需要处理越来越多的多变量系统 以及多维信号，如多维数字滤波器，多变量网络实现，多维数字图像综合处理， 地震检测数据处理，x 射线图片增强，森林火灾以及农作物灾情预报区域照片的 增强和分析，卫星气象云图的分析，图像复原等。它们大多表现为二维离散系统 模型。所有这些应用都为二维系统理论提供了深刻的工程物理背景，使得二维系 统理论成为控制系统理论的一个具有强大生命力和发展前景的学科分支。 随机现象是自然界中普遍存在的现象，正是由于这个原因，随机过程在二十 世纪三十年代便进入了蓬勃发展的时期，并且在现代物理学、化学、电子通讯、 自动控制、地质统计学，以及生物学、医学、社会学和经济学等学科中获得了广 泛的应用，在科技研究中发挥着越束越重要的作用。 到了2 0 世纪6 0 年代，随着统计物理的蓬勃发展，诞生了多维随机系统这一 统计物理与概率论的交叉学科。它一方面大大扩充了概率论的研究领域，另一方 面也为统计物理提供了严格的数学工具。这一学科代表着当今数学与物理相互渗 透的大潮流的一个重要侧面，同时也为其他学科领域带来了巨大的推动力。 例如，在气象学b 2 】中，经常讨论温度场、风场、气压场，即温度、气压或 风矢量被看成是四个自变量( 三个空间坐标和时间) 的随机函数。同时，此随机 系统可以是标量的，如温度场和气压场；也可以是矢量的，如风场，它的每个现 实都是矢量函数。 一维离散随机系统的稳定性，已有大量的研究和丰富的成果p - s ，而对于2 d 离散随机系统的理论和应用也有很多研究“。值得注意的是，在信号处理、图 象处理、平坦曲面的方位估计、2 dw o l d - l i k e 的统一纹理处理、地震波的分析等 诸多领域。1 都涉及到2 - d 离散随机系统问题。 在文 5 】中，研究了2 d 时变线性随机系统： 工。+ i 。+ x o x 。l = ( 1 + 工o ) ( 1 - ( 1 + a o ) 口。：k 。 的稳定性问题，其中( m ，月) n ；= 0 ，1 ，2 ， 2 ，d 。是实参数，口。e 【o ，l 】是 2 - d 随机变量，并且得到了关于稳定性的一些充分条件。 在本文中，我们将主要研究下列2 - d 离散随机系统： y 。+ ，。+ a t y 。= 战。 ( 1 + 口1 y 。，】+ ( 1 + 。址。+ w m + + 巩。 其中，b ，n ) e n 2 = o ，1 ，2 2 ，口，w o ，a 。是己知的确定实参数，( 1 + 万h 。 为随机变量，y 。与y 。为y 。的初始值，并且均为确定的实数，吼为系统的 噪声，a 。为系统的输入，厂【( 1 + 巧砂。，j 是关于( 1 + 巧k 。的非线性函数，吼。为 系统的未知参数。 1 2 课题背景与目前研究现状 目前，关于离散随机系统的研究中，人们大部分采用了一维的迭代序列，即 差分方程作为研究的模型，但无论其方法如何的新颖，以及其理论体系如何健全， 都免不了受到一维特征的束缚，而随着工程中不断发现2 - 0 随机系统以及2 一d 以 上随机系统，如信号处理、图像处理、曲面的方位估计、纹理处理、地震波的分 析以及岩土力学的分析等工程技术中都涉及到2 - d 离散随机系统问题，人们便开 始了对2 一d 离散随机系统的广泛研究。并已经取得了相当丰富的成果。 我们知道一维离散非线性系统理论的研究，已经有很丰富的内容，这些结果 逐步形成了非线性系统的基本理论体系，为以后对2 - d 离散随机系统进行研究， 打下了坚实的理论基础。另外随机系统理论的研究和应用也是从一维到高维的一 个自然的发展，从这个角度来况，对各类随机系统的研究也是紧迫的和可行的。 作为目自口研究热点的很多一维非线性系统理论已经逐步成熟，也使得我们关 于此类2 一d 离散非线性系统的研究成为可能。 ( 1 ) 维离散非线性系统理论已经r 渐成熟，已经产生大量有价值的成果。 涉及的内容非常广泛，主要有： a ) 稳定性 第一章绪论 任何一类非线性系统的首要问题是稳定性问题。与线性微分方程不同，非 线性微分方程对某一个解是稳定的，对另外一个解可能是不稳定的，因此，我们 要研究非线性系统的全局稳定性问题。作者在此论文里将会围绕着系统的稳定性 问题展开。 b ) 收敛性 算法的收敛性问题是一个十分重要的问题。对非线性系统来说，如果一种 算法被证明是收敛的，那该算法就有实际的应用价值。 目前，对非线性系统算法的收敛性研究结果较少，很不系统，与应用要求 还有较大差距。 主要涉及的问题：参数收敛的条件、可能的收敛点以及收敛速度。 c ) 鲁棒性 当被控过程存在未建模，动态特性或过程噪声或扰动远远比所设想的情况 复杂时，非线性控制系统会失去其稳定性质( 称为缺乏鲁棒性) ，从而根据结合 鲁棒性要求所设计的非线性控制系统比单纯按收敛性和稳定性指标所设计的系 统具有更好的控制效果。 ( 2 ) 二维以及二维以上的随机函数理论已经得到了广泛的重视和深入的研 究，2 一d 离散随机系统理论逐渐发展成熟。 ， 目前对于2 - d 离散随机系统理论的研究，是从2 0 世纪6 0 年代丌始的，作为 二维系统理论发展的一个重要罩程碑，美国学者r p r o s s e r 在1 9 7 4 年将强有力 的一维状态变量描述法引入了二维图像处理系统，提出了著名的2 - dr o s s e r 模 型，从而标志着二维离散状态空间理论的诞生，从那时起，二维离散系统理论已 经获得空前的发展。 c 蒲瑞斯顿给出了多维随机系统的数学解释： 从集合x 、x 的子集合的一个盯一代数f 和一个具有偏序的指标集合舻出发， 缈中的偏序记作。对每个a 妒，有一个f 的子仃一代数，记作f ，并且假定盯一 代数族 只 。是下降的，即 当人s 天时，层亡只。x 表示基本相空间，f 是一切可观察事件的集合， 而只通常是与基础空间的区域有联系的可观察事件的子集合。 山才、人学硕+ 学伊论文 若只是，的子盯一代数，则以p ( r ) 表示( x ，r ) 上的概率侧度集；若人妒， 则令r a ：p ( f ) 寸p ( f ) 是由一限制到较小的o - - 代数上所得的映射，即对一切 p ( f ) ，f f ，r 如x f ) = ( f ) ，p ( f ) 中的元称为随机系统。若e p ( f ) ，a 妒， 则可以将r 0 ) 看成为u 的关于人的可观察量的分布。 定义概率核族，= p 。为规范，如果： 对一切a 妒，f f ，万( ，f ) 是f 一可测的； 对一切ff a ，a 妒，f i t , ( ，f ) = 鼽； 当a s r 时，刀x 疗 = 万天。 如果y 是一规范，则定义关于规范y 的g i b b s 念为满足下述条件的随机系统 p ( f ) ： 对一切a 口，f f ， 乜如，e ) = 乃，) ，一业b 其中，对每一个人矿，定义以：x x f 寸月如下： 乃g ，) = 盯0 “”，f w e z “ b 一g ) w ， ，这里将x - 与x ( s 一人) 彳“) 看成是等同的，则“是一概率核，即对每一f f ，- i - a ，) 是只一可测的，而 对每个工x ，“g ，) 是概率密度。显然乳还满足： 对一切f f ，万，f ) 是r 一可测的； 如果f e f ，则刀，f ) = z ，；( 其中鼽g ) = 1 ，若工ez ，g ) = o ，其它 情形。) 用“来表达，概率测度满足只) = p j 织一。缸) ( y ) 当且仅当 对一切人伊，f f ，巳，阮) = 死，f ) ，一a g 其中q 驴陋) 表示在给 定盯一代数r 之下厂( 关于) 的条件期望。因此，乜，1 只) = 乃，f ) 可以重 新写成 4 对一切a 缈，f f ，g f a ， ( ，f l g ) = 防0 ，f ) 咖g ) 。 云 7 由哈密顿量给出的测度族p ：) 将满足一个相容性条件。借助于“，此条件 可以写成 如果a c 天伊，则7 = t g x ，其中万x “是由 白。k ，) = p p ，k g ，砂) 定义的概率核。 ( 3 )目前，关于2 一d 离散随机系统的研究大部分是关于信号处理、图像处 理、曲面的方位估计、纹理处理、地震波的分析以及岩土力学的分析，并没有将 含有二维以及二维以上的参数变量的非线性系统与2 - d 离散随机系统理论建立起 密切的联系。在这个问题下，如何探讨此类2 - d 离散随机系统的稳定性便成为一 个非常重要的问题，但由于2 一d 离散随机系统理论真正的形成仅仅有三四十年的 时间，人们对此的探讨尚为有限，因此这个问题还需要有做大量的工作。 1 3 拟研究的主要问题及论文安排 本课题主要以一类一维离散非线性自适应控制系统理论、随机过程理论以及 一些非常重要的数学不等式定理作为基础，对以下内容进行深入的研究： ( 1 ) 进一步研究此类一维离散非线性自适应系统稳定的临界条件。， 关于只。= 口7 ，只+ ，y t - p + 1 ) + 以+ 国，+ ，t 2 0 此类一维离散非线性自适应 控制系统的研究已经相当丰富口”“，但是，由于z ，只+ ，y , - p ) 的多变性与 不确定性，很难找到一个统一的标准研究非线性系统，因此，作者还是对一维的 情况做了进步的探讨。 ( 2 ) 基于以上模型，定义并建立其2 d 离散随机系统模型，讨论此类随机 系统的稳定性。 由于对一维离散非线性系统的研究已经很成熟，因此可以借鉴或应用一维自 山东大学硕十学伊论文 适应控制理论的一些成果。并给出此类随机系统不稳定的充分条件，求出相应的 参数值。 ( 3 ) 研究此类2 d 随机系统模型的仿真方法，并利用计算机进行图形仿真。 对于以上研究的模型，需要用仿真图像证明其j 下确性，因此，系统的仿真可 以检查所求参数值的有效性。观察图形的效果，判断系统的稳定性是我们的研究 内容和目标之一。 本论文的结构安排如下： 第一章介绍课题背景以及目前研究现状，并提出需要解决的主要问题； 第二章介绍两类2 d 随机系统及其相关性质； 第三章讨论一类一维离散非线性自适应控制系统的临界稳定性； 第四章探讨在第三章提出的一维非线性系统的基础上拓展到2 d 离散随机 系统的稳定性，并给出系统仿真； 第五章结论。 2 1引言 第二章两类2 d 离散随机系统 近年来，随着统计物理的蓬勃发展，人们对2 - d 离散随机系统的研究日益增 多，它在现代物理学、化学、电子通讯，自动控制、地质统计学，以及生物学、 一医学、社会学和经济学等学科中获得了广泛的应用，在科技研究中发挥着越来越 重要的作用。在本章中我们将介绍两类最近被讨论的2 一d 离散随机系统及其相关 性质。 在本章中我们所介绍的这些内容是来自刘树掌教授在中囤科学院系统所学 习期间的博士后论文 6 0 j ，这些内容将是第三章与第四章的基础，因此，作者用 了比较大的篇幅引用这些结果，并且对于个别重要定理的证明也作了详细的介 绍，为下面两章的介绍做好充分的铺垫。 2 22 - d 随机系统 为了更好地介绍与回顾将要被详述的下面两类随机系统，我们首先简要介绍 一些与之相关的基本知识。 二维随机系统是随机过程概念在空间域( 场域) 上的一个自然推广。可以把二 维随机系统视为定义在一个场域参数集上的随机变量系。在此参数系上每一点n ， 都对应一个随机变量。 初等概率论所研究的随机现象，基本上可由概率空间的随机变量或随机向量 来描述，但在实际中有些随机现象要涉及( 可列或非可列的) 无穷多个随机变量。 例如，研究车站售票窗口乘客到达的数量。以z 表示在时间间隔( o ，t ) 内到 达窗口的乘客数，x 是取非负整数值的随机变量，对每个t 作观察就得到一族随 机变量以讧，t ( o ，。) 。 再如，英国植物学家b r o w n 发现液体表面的花粉做位作无规则的运动，后 7 。，。，：，：型堡垄垫姿堂鍪圣：。：。，寰：，一 来就称为b r o w n 运动。这种运动的起因是花粉受到液体分子的碰撞，这种碰撞 每秒钟多达1 0 2 1 次，这些微小碰撞力的总和使花粉微粒作随机运动，我们用z ； r 表示t 时刻花粉微粒的位置，这是二维随机向量。我们得到 ( l y ( f x f ( 0 ，。o ) 。 随机过程是随机向量的一般化。给定参数集丁和可测空间陋，b ) ，若对每一 个f t ，都有一个定义在概率空间( q ，尸) 上的b 可测函数o ，q ) ，q q 与 它对应，就称依赖于参数，的b 可测函数集合 ( f ，q t t ，或简记为 芦( f t t ) 为定义于( q ，p ) 上取值于忙，b ) 的随机过程，简称随机过程。仁，b ) 称 为随机过程的状态空间或相空间，e 中的元素称为状态，有时记 曷= 伍 te r 。 若e 为实数( 复数) 集，b 是e 中b o r e l 可测集全体，就称讧( f ) ，t 丁 为实( 复) 值随机过程。若，b ) = 伙4 ，b 。) ，这里r “为一维欧氏空间；b 为r ”中b o r e l 可测集全体。就称x t t ，f 为，z 维随机过程。随机过程的参数f 通常表示时 间，这正是称为“过程”的原因。实际上，f 也可表示别的，如f 表示高度，x ( f ) 表示高度为f 的气温；如l 表示r 3 中的点，x ( f ) 表示f 点的风速，参数f 是向量的 情况也称随机过程为三维随机系统，通称为随机场。e 可以是任一抽象集合、以 下设r c r ，将fe r 视作时日j ，( e ，功= 伍，b ) 。 当f ，q 都变化时，x ，) 是一个时间函数族；当f 固定时：x ( t ，) 是( q ，p ) 上的随机变量；当q q 固定时则，x ，q ) 是r 上的普通时间函数，称为对应 于q 的一个样本函数( 或轨道，或现实) ；当t ，q 都固定时，( f ，q ) 是一个实数， 我们称之为状念。 下面再介绍一下二维随机系统的平稳性： 所谓二维随机系统的平稳性，粗略地说，指的是它的统计特性不随空间位置 的不同而变化的性质，严格定义如下： 3 皇：，：。：叁耋型婆些塑墅堡坠。一 设随机系统 y ( z ) 的有穷为分却函数族为 眩。x 矗) ；一 o , z t , z ：，乙z j 是严平稳的。今后讲到平稳随机系统时，总是指宽平稳随机场，说一个随机场具 有平稳性，也是指它具有宽平稳性；而说到随机场为严平稳时，则将特别说明。 2 3 二维实序列的稳定激励及其性质 取p ，g ，k ，是非负整数，缸，f ，p 是基本的概率空间，定义其上的双指标子 仃一域： o ，、 = 乃+ j ( 2 1 ) 其中国是一个实参数，易见当p = t ，q ；，p = 七+ 1 ，g = 1 + 1 时有 死兰 ( 1 + 国) 乃 ： 目+ m 乃) ( 2 2 ) a ，、 e “，+ l = 以“，+ 峨，川j ( 2 3 ) 并且目c 只扎mc ( ) 。 定义2 - 3 1 ( 随机场适应序列) 对概率空间 q ，f ，p ) ，而对于任意数七，k 是定义的关于p ，q 的列非降的子仃一域，如果对于任意m ，打有工。只。，则称 j 。是适应于 厶 的随机场序列，并记为扛。，l 。 引理2 - 3 1 设工，d ，t 是满足关系式d 1 ，0 s 出f o 使得 对于任意的m i ，珂矗f ，j 0 有 晦吵m 加。) q ，k b ，p l ，k ，g 】 山= ( 愈密( 1 一c t + k ) - l ，以吐。= c z 踟 ， 芏三兰 翌耋2 ：2 皇堑堕垫至丝 并且一般的取 a 。= ( 1 0 + 口。h 。) - 4 - l i - i a 。 工，+ ，+ x o x i 。+ - - 0 一( ，“，+ 风1 。“) ) ( 工+ 工。工幻) x 。i + x o x 一l = l ，f ，j = 0 ，i ，2 则利用( 2 8 ) ，从( 2 7 ) 分别对于p 和g 进行递推得 ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) h 1 - x o x k q + l ：卉i ! 1 0 一( 屈。，+ 风尾洲) ) ( 2 9 ) 特别的当p = k ，q = z 时得 并且从( 2 7 ) 也有 1 x o x k , i + 1 ：血血0 一( f f 。+ l , i * t - 风。) ) ( 2 - 1 0 ) 以+ l ，+ 工。t ，+ ，= ( 1 一( t “，+ 卢。 ，“) ) ( 1 + h ) 工“ ( 2 1 1 ) 从( 2 - 4 ) 、( 2 。6 ) 、( 2 1 1 ) 有 e l 屯( 。，+ x o x 。) ) = e ( ( 1 一e 。+ 。卢。+ ，) ) f 昂) ( 1 + b 。) e 0 。( 1 一( 1 + 口。) 口。) z ( 1 + 工o ) ) = e ( a k - i , l - i ( 1 + 石o ) x 。) ， 即e 乜。( 石。，+ x k ，+ ，) ) e 0 。h ( + 而) ) ，又分别对于和朋整推得 e 0 。( 以+ + 工。x k ，。) ) e l o 一。( x 。一。，+ x k ) ) = l ( 2 1 2 ) 利用( 2 1 2 ) ，从( 2 9 ) 有 f 卉卉( 1 一( 屈。，+ 反川) ) 1 = e b ，“，+ 以，卅) j - l - n， e ( ( x p + 1 t + x o x k q + 1 ) i = e ( 。爿。- i 、，。，+ 以，+ ，声 e ( o 。彳二c 工，。，+ 扎以，。，声 = 俐届如塌心) ) ) j ! ：。，：，：些垒姜型茎垒堡_ _ ：，。：，。：，一 万( 缸) p - m + l m “州) 从而有溉+ l ，+ 屁尾，+ i ) s 。( - ) 。 一般的对于( 1 + 口。) 口。e 0 ，1 】，利用单调收敛性定理得 罂徊“- c ( 1 + a o ) a , ，i 0 0) 删m + ”) t 罂司) j 删”“h ”t 于是存在0 + 0 有 ， d 、， h 、 e l 兀兀( 1 - ( 1 + a 。) 口。) l = 剧兀兀( 1 - c o ) | - e “l c o ) r 。 ，i = 1- l i = j ：j ：( 1 一石) ”撕= 而1 ， 山东大学硕+ 学伊论文 这说明对于任何五 o ，1 】， ( 】+ ) 芒s 。( 丑) ，因为叫疗n ( j 一( 】+ 铴) 钆) 的 - i ，- i 收敛速度不是指数级的。 2 4 一类2 - d 非平稳随机系统 设，疗) z2 = ，一1 ，0 ，1 ， 2 ，而j ，。是一个2 - d 证规的平稳随机系统， 则y 。可以唯一的正交分解为： ! 艺 y 。= 川4 0 。 ( 2 - 1 4 ) 并且口。2 曼使得对于任意，吼七，有 ”6 0 兰嵩警 面而c m 协 特别的取k = p ，g = ，以及p = k 一1 ，g = ，一1 有 ) b k 搿 丽c ( 2 - 2 。) b k - i , l + b o 。= 等字 而蔫 t ( 2 - 2 1 ) 并利用条件( 2 - 2 0 ) ，则从( 2 - 2 1 ) 有 + 6 0 ) ，) = 铲 cl c o 一口) + c ( 1 一口) + p 差c ( i 等4 学- h 一口) o 一“1 j e 口+ 口。口幻) l 丘吐h ) 面鬲c巧+志g(ap-l+aogk，-ic(1-ot 4 - ) + ) c ( 1 一口) + ) 。、 。7 = a ( b p i ，+ b o b * 十i ) + 1 并且特别的当p = k ，q = ，时，从( 2 2 2 ) 得 ( 2 2 2 ) e ( ( i + b o ) b , u ) l f k “h 口( 仇“，+ 6 。以，- i ) + l ( 2 - 2 3 ) 又对于任何p 肌，g n 定义如下序列 x a + x o x 。| m 胛s ；：，k ，s - g p 1 ，而 山、大学硕十学伊论文 则另当s = k 一1 t = ，一1 时有 ( 2 2 4 ) c + a 。，x 。= ( 一i i i - 丽1 c h 。，+ 工。， c 2 - z s ， 从而有( 1 + x o ) h 凡并且 ( 1 + x o ) o + b o ) 争u 3 0 = ( 1 + b o ) b “( 以“，+ x o x k i - ! ) 一( z t “，+ 耳i - i j l 2 。2 6 ) 从( 2 - 2 4 ) 年1 1 ( 2 - 2 6 ) ，我们有 占( ( ( 1 + ) ( 1 + ) 劫) f 只l ，) = l + 6 0 ) l e 刮一。) ( 孔吐，+ x o x k t - , ) 一( 以吐，+ x o x k , 1 - 1 ) s k ( 6 一i ，+ b o b t f 1 ) + 1 ) ( 工t - 1 f + 工。工i “i ) 一( 工 1 ，+ x o x k 一1 ) = a ( b k i ，+ 6 0 b k - , ) ( 工t 。l ，+ 工o ，- 1 ) ( 2 2 7 ) 又从( 2 2 4 ) 先对于k 进行迭代得 e ( ( 1 + 6 0 ) ) a k e ( ( b o l + ) ) + r a , i k - i ， 再对，进行迭代有 e ( ( 1 + ) b u ) + ，e ( ( ”训+ 吾筹 + ) ) 十高 ( 2 2 8 ) 又从( 2 - 2 7 ) 得 e ( ( + b o b k l ) ( x “+ h ) ) 葩“，+ b o b k ，- 1 ) ( 以- 1 ，+ 茗。孔_ 1 ) ) ( 2 2 9 ) 从( 2 2 9 ) 分别对七与，进行递推得 e “6 盯+ 6 0 ) ( 工脚+ x o x “) ) 口m e ( ( 6 。吐，+ b o b k ，h ) ( 工一+ x k , l - i ) ) 剖 慨 笠三量匹耋2 ：2 塞墼墼盟至丝 口( k - m 4 1 ) ( f - “) “k 吐，+ b o b , 。) ，+ x o x k “) ) ， 又注意到条件( 2 - 2 4 ) ，从而有 e “1 + 6 0 ) ( 1 + 工。) 6 材x 村) s 口哪+ ”7 肿”e ( ( 6 k - l ，+ b o b k 加1 ) ) ( 2 3 0 ) 再从( 2 2 5 ) 分别对j i 、，进行递推得 o + 引妇= 垂垂 t 一去 沼s ， 从( 2 2 0 ) 和( 2 3 1 ) 得 = e ( ( 1 + x o ) x 材) e ( ( 1 + 6 0 ) ( 1 + ) ) ( 2 3 2 ) 同样利用( 2 - 2 2 ) ，分别对g ，p 进行递推得 e ( b p + 6 0 6 幻) ) s ( b o t + 6 0 巩。) + 石：f 2 - 3 3 ) 特别的取p = m - 1 ，g = n - 1 得 e ( b , , - l i + b o b k - i ) - e ( + 6 0 钆。) + i 而1 ( 2 - 3 4 ) 把( 2 - 3 4 ) 代入到( 2 3 0 ) 得 砸地m 蜗，h ) a c k - * t w - + ”e ( ( b o ，+ 地小南 c 2 一s s ， ( 2 3 5 ) 代入到( 2 3 2 ) 得 剑h + 1 ) ( f 川) e 瓴一批，+ 万与 协s e ， 从( 2 3 6 ) ，取d ：c 0 一口) + ，f ：l - a + 垂并利用引理得 o 1 7 去，兀 。兀一 r 翻l 赤，兀 。兀ll r 酬i 山东大学硕十学伊论文 志脬陋舭赤 删等h 卦剖孚 ， e 鼬( 1 - + k o 1 忡m ) ( f 删e c + 高一 评注2 4 - 1 ( 1 ) 特别的：0 ，：i ：琊t a n f 则定理2 _ 4 1 退化为一维情形，并且已经 被g u ol e i 等人详细论述。 ( 2 ) 在定理中由于p ，q ，乜，是任意的非负整数，从而着取p = 七，g = z ，则得到 捌瓦卜。 定理2 _ 4 - 2 设 ( 1 + ) ，兄 是适应序列，对于任意的七，0 ，以及s ，t 有 x 5 + l ，+ x o x k ，f + 1 1 工，+ ，+ 工。石 ，“( 口。l ，f + 口 ，“) ( 1 + 口。) 工“+ 包“