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东北大学大学硕士学位论文 摘要 几类非线性微分方程的正解问题 摘要 在自然科学以及技术科学，例如物理，生物学，自动控制，电子技术等等领域中， 都提出了大量的微分方程问题，同样在社会科学的一些领域里也存在着微分方程的问 题。，通常，我们可以根据实际问题建立数学模型，也就是建立反映这个实际问题的微分 方程，然后，求解这个微分方程，用所得的数学结果来解释问题，以便达到能动地改造 世界，解决实际问题的目的。 近年来，无穷时滞泛函微分方程的周期解问题受到广泛关注，。止! 学者应_ e fj l y a p u n o v 泛函方法，s c h a u d e r 不动点方法，以及非线性泛函分析中的锥拉伸锥压缩方法 ( 见 1 卜 5 ) ，研究了无穷时滞泛函微分方程的周期解的存在性问题。非线性泛函分村 理论中的不动点指数理论在研究微分方程两点边值问题正鳃的存在性与多解性时，取得 了很好的结果。本文第一章利用这一理论研究方程( 1 1 1 ) 一( 1 ，1 4 ) 的正周期解问题， 与已有研究成果相比，本章不仅获得了该类方程的正周期解的存在性定理又获得了m 周 期解的多解性定理，并将所取得的结论应用于一些具有实际背景的方程。 一个国家或地区的人口发展过程是个动态过程，人口系统是一一个动态系统，这 事实不仅已为大多数人口学家所承认，而且已为科学实践所证明。对于一个比较安定的 社会( 国家、省市或地区) ，描述人口发展过程可以用两种模式来描述， 种是连续模 型：个带有相应边界条件的偏微分方程；另一种是离散模型：一个双线性控制的离散 差分方程组。第二章利用聊增生算子理论与非线性半群理论，研究了连续模型，即具有 随机移民扰动的非线性人口发展方程，在确定型和随机型两种情况下获得了方程( 2 i j ) 局部解的存在性定理。 传染病的数学模型可以用来预测某个国家或地区在某一时刻可能会出现多少病例 或说明当前情况，它能够展示出该传染病的传播规律，这有助于政府有关部门对疫情进 行预测，并对相关因素及影响程度做出合理评价，相关部门可以及时有效地对关键性因 素进行控制从而起到积极的预防作用。方程( 3 1 1 ) 是讨以作为描述某些随季节变化的传 染病传播的模型，本文第三章利用不动点指数定理讨论该类积分方程的多重i f 解| 、口j 题， 改进了文献 3 0 一 3 2 的结果。 关键词：泛函微分方程，人口发展方程，中立型积分方程锥，不动点指数，无穷时滞， 增生算子，随机不动点，凝聚映像 东北大学大学硕士学位论丈a b s t r a c t t h ep r o b l e mo fp o s i t i v es o l u t i o no fs e v e r a l k i n d so fn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n a b s t r a c t i nt h ef i e l do fs c i e n c ea n dt e c h n o l o g ys u c ha sp h y s i c s ，b i o l o g y , c y b e r n a t i o n ，e l e c t r o n i c s a n ds oo n t h e r ea r ep l e n t yo fp r o b l e m sd e s c r i b e d 、v i t ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，s oi ss p h e r eo f s o c i o l o g y g e n e r a l l y , a c c o r d i n gt op r a c t i c a lp r o b l e m s ，w ec a nf i xm a t h e m a t i c a lm o d e l ， d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，w h i c hm a ya c c u r a t e l yr e f l e c t e dr e a l i 啦t h e nw i t ht h ed e f m i t es o l u t i o n s 、 w em a yo b t a i nc o n s t r u c t i v ew a y st os o l v et h ep r o b l e m s ， t h ep o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o no ff u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o nw i t hi n f i n i t ed e l a yi s d e e p l yc o n c e n t r a t e dt h e s ey e a r s ，s o m es c h o l a r ss t u d yt h i ss u b j e c tb ym e a n so fl y a p u n o v t h e o r e m ，s c h a u d e rf i x e dp o i n tt h e o r e m ，a n dc o n ee x t e n d i n ga n dc o m p r e s s i o nt h e o r e m ( f r o m t h e s i s 【1 - 【5 】) ，a n dt h e yo b t a i nt h ee x i s t e n c et h e o r e mo fp o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n i ti sv e r y a d v a n t a g e o u st os t u d yt h eb v pb yu t i l i z i n gt h ef i x e dp o i n ti n d e xt h e o r e m i nt h ef i r s tc h a p t e r ( 1 1 1 ) - ( 1 1 4 ) i s s t u d i e db ym e a n so ff i x e dp o i n ti n d e xt h e o r e m ，n o to n l yt h ee x i s t e n c e t h e o r e mi so b m i n e d ，b u tt h em u l t i p l i c i t yi sa l s oo b t a i n e d t h ed e v e l o p m e n tp r o c e s so fp o p u l a t i o ni nac e r t a i nc o u n t r yo rz o n ei sad y n a m i c s p r o c e s s ，t h ep o p u l a t i o ns y s t e mi sad y n a m i c ss y s t e m ，t h i sr e s u l th a sb e e nc o n f i r m e dw i d e l ya s w e l la ss c i e n t i f i c a l l y t h e r ea r et w om o d e l s ，w h i c hc a l ld e p r e s st h ed e v e l o p m e n tp r o c e s so f p o p u l a t i o ni nac e r t a i nc o u n l r yo rz o n e c o n t i n u o u sm o d e l ：ap a r t i a ld i f f e r e n t i a lf u n c t i o nw i t h c e r t a i nb o u n d a r yc o n d i t i o n s ，d i s c r e t em o d e l ：ad i f f e r e n c ef u n c t i o nw i t ht w ol i n e a rc o n t r o l l i n g c o n d i t i o n s t h es e c o n dc h a p t e rs t u d i e st h ec o n t i n u o u sm o d e l ( 2 1 1 ) ，u n d e rt w oc a s e s ：f i x e d c a s ea n dr a n d o mc a s e i to b t a i n st h el o c a le x i s t e n c et h e o r e m so fs o l u t i o n sf o rn o n l i n e a r e v o l u t i o n a le q u a t i o n sw i t hr a n d o mm i g r a t i o np e r t u r b a t i o n ，b yu t i l i z i n gt h et h e o r e m so f m a c c r e t i v eo p e r a t o ra sw e l la st h en o n l i n e a rs e m i g r o u pt h e o r y t h em a t h e m a t i c a lm o d e lc a nf o r e c a s tt h ed i s t r i b u f i o no fac e r t a i nd i s e a s eo re p i d e m i c s a r o u n ds o m ec o u n t r i e sa n dz o n e f u r t h e r m o r e ，i tc a l ld e p r e s st h eg e n e r a l i t yo fd i s t r i b u t i o no f e p i d e m i c s t h eg o v e r n m e n tm a ym a k ec o n s t r u c t i v ew a y st o c o n t r o lt h ee p i d e m i c sa n d p r o v i d ed e c e n ta p p r a i s a l t h et h i r dc h a p t e rf o c u s e so ns o m en e u t r a li n t e g r a le q u a t i o n sa r i s i n g i ni n f e c t i o u sd i s e a s e b yu t i l i z i n gt h ef i x e dp o i n tt h e o r e mt h i sc h a p t e ro b t a i n st h e o r e m so f m u l t i p l ep o s i t i v es o l u t i o n sf o r t h i sk i n do f i n t e g r a le q u a t i o n s ( 3 1 1 ) f u r t h e r m o r e ，i ti m p r o v e s p r e v i o u sw o r ko nt h i ss u b j e c t ( f r o mt h e s i s 【3 0 一【3 2 】) k e yw o r d s ：f u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，e v o l u t i o n a le q u a t i o n sa b o u tp o p u l a t i o n n e u t r a l i n t e g r a le q u a t i o n ，c o n e ，f i x e dp o i n ti n d e x ，i n f i n i t ed e l a y , m 。a c c r e t i v eo p e r a t o r , r a n d o mf i x e d p o i n t ，c o n d e n s i n gm a p i i i 独创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的。论文中取得 的研究成果除加以标注和致谢的地方外，不包含其他人己经发表或撰写过 的研究成果，也不包括本人为获得其他学位而使用过的材料。与我一同二r ： 作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示谢 意。 学位论文作者签名：文i 超 日期：2 p 。f 2 2 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留、使用学位论 文的规定：即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和 磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人同意东北大学可以将学位论文的全部 或部分内容编入有关数据库进行检索、交流。 ( 如作者和导师不同意网上交流，请在下方签名：否则视为同意。) 学位论文作者签名：导师签名： 签字日期： 签字日期： 东北大学硕士学位论文 第一章具有无穷时滞泛函微分方程的正周期解的存在性与多解性 第一章具有无穷时滞泛函微分方程的正周期解 的存在性与多解性 1 1 引言和预备知识 自从发现第一个泛函微分方程，到现在已经过去两个多世纪了，但是系统的研究 j 作只是在上世纪五十年代才开始的。近2 0 年来在极其广泛的应用课题推动f ，泛函微 分方程理论获得了实质性的、全面的发展，我们用下式表达泛函微分方程理论的全貌： f d e 尺m 4 型胁e f 愈型 有限时滞肌坦 n 型 l a 型 无穷时滞脚f 焉 靴n a b 肋e 聪差蹦 偏胱徽茎萋凳需黧篓纂 其中记号f d e ( f u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ) 表示泛函微分方程，r 。n a 分别表 示滞后型、中立型、超前型，c 表示为混合型。r n a 型与非r r n _ a 型f d e 仪有一个独 立变量，偏f d e 的自变元则多于1 个。所谓复杂偏差f d e 是指偏差变元中含有未知函 数甚至未知函数导数的情形。j i 三如有界滞量的差分、微分方程是有界滞量f d e 的个 特殊情形，表中不把具有无界滞量的f d e 单独列为一类，因为具有无界滞量的f d e 仅 仅是无穷时滞f d e 的一种特例，并非独具数学特征的新方程类。 1 1 1 泛函微分方程的发展历史 1 7 5 0 年e u l e r 提出一个古典的几何学问题：是否存在一种曲线，它经过平移、旌转 1 - 查! ! 垄堂堡圭兰堡坚第一章具有无穷时滞泛函微务方程的正周期解妁存在性与多解性 运动以后能与其渐近线重合? 1 7 7 1 年，c o n d o r c e t 讨论了这个问题，导出了已知的、j 力 史上第一个泛函微分方程，即古典的e u l e r 几何问题： r o ) 垡掣立：足( c + r g ) ) ， 船 其中：c i 为常数。 此后一个世纪中，许多著名的数学家，如b e r n o u l l i ，p o i s s o n ，l a p l a c e 以及b a b b e g e 等提出过类似的方程。鉴于这些类型的方程的复杂性，一直未能对它们进行有效地研究， 而作为数学的一种历史悬案搁置下来了。十九世纪七十年代以来，在生物学，物理学， 控制理念与控铝5 工程问题中出现了类似的、甚至更为复杂的这类方程，促使人们对这种 困难的课题开始认真地分析，但收效甚微。 从上世纪二十年代开始，自然科学与社会科学的许多学科中提出了大量的对滞动力 学系统问题，如核物理学、电路信号系统、生态系统、化工循环系统、遗传问题、流行 病学、动物与植物的循环系统。社会科学方面主要是各种经济现象时滞的描述，如商业 销售问题、财富分布理论、资本主义经济周期性危机、运输调度问题、工业生产管理等 等。各种工程系统中的时滞现象更为普遍，特别是自动控制系统。时滞动力学系统的数 量庞大，形式较为规整，自变量t 通常表示时间。这类方程比起上述复杂的f d e 更接近 于经典微分方程的种种性质，其系统理论构成了迄今为止的泛函微分方程理论的主体。 在泛函微分方程的发展历史中，人们对它的认识有一个哉折过程，例如称之为“病 态方程”、“时滞方程”、“后效方程”、“差分微分方程”、“具有偏差变7 i 的微分 方程”等等。直到上世纪初叶，人们从两个不同的角度来认识泛函微分方程，并最终给 以统一的名称。 下面简要给出一系列不同应用背景下提出的泛函微分方程，肯助于概略理解一下d ： 动力学系统中如何引入滞量，以及泛函微分方程极其广泛的类型和特点。 例1 1 1 1 设( f ) 为时刻t 人口总数，本地区允许最大人口数目为只，r = m 月为人 2 羔兰生皇墅堡兰! ! 堡垒查 苎二兰墨查垄窒壁堂兰苎丝坌查堡竺垩望塑壁箜查查垡鱼兰壁些 口增长率，其中m ，九分别为出生率与死亡率，它们可以是f 的函数。1 9 7 8 年，英蚓神 父m a l t h u s 建立了最简单的人口增长模型为： o ) = r n ( t ) ， 得出了人口按几何级数增长的结论。1 8 3 8 年，p f v e r h u l s t 修改了上面的方鞋，引入了类 似f 电感器产生阻抗的生物反馈因子f l 一望1 ，得到了修正式 l岛j 删) ( ，一书 考虑妊娠周期及其他因素的滞后作用，e m w r i g h t 给出了更为精确的时滞系统 砌= 州e ，一t n ( t - r ) 刚， 更一般地有， n ( ，) = r n ( t ) 厂( ( f r ) ) r 0 ， 其中：f 由物种发展的规律确定。 例l 1 1 2 在环境污染问题中，没污染物为有毒化学物质或放射性同位素。物种在 区域d 中的总数为x i o ) ，物种个体内毒素浓度为x ：( f ) ，环境中介质的毒素浓度为并、o ) ， 若_ o ) 的妊娠期为f ，毒素在个体内停留f ：时间以后排出体外( 对排出体外部分而i i ) ， 环境内毒索进入个体的平均时间为屯，则得污染问题的数学模型为 j ，( r ) = 麒，( f ) 一蹦l o b ，o 一2 7 1 ) ， 主：( f ) = k x ，( ，一l 3 ) 一甜：0 ) ， x 3 0 ) = 一k x ，( r r ，h 。( f ) + g 。r ：( f t 2 b ：( f ) 一h x ，( ，) + “( ) 其中：r ，c ，k ，k 。，a ，g 。，h 都是正常数，“( f ) o 表示毒素排入环境的速率。埘某些系统刚 设“o ) 为常数，也可以设_ ，乇，屯中某一个或两个等于o 。 例1 1 1 3 在经济学中对资本主义经济的周期性危机有如下方程 d ( ，) = n u ( ，) + 6 u ( f r ) + ，( f ) ， 3 东北大学硕士学位论文 第一章具有无穷时滞泛函微分方程的正周期解的存在性与多解性 h b a t e m a n 对商业零售问题给出方程 砷) + j 厂( r 肌一r 如= i 其中：户( f ) 为时刻，的店存商品数量，( f ) 是商店补充进货速度。 例l 1 1 4 在光谱理论中有一类椭圆型泛函微分方程的边值问题 嘶) 2 砉如b ) 等“。( 班删， “b = o ，“b = 兰一g 地引“b = 芝- 2 g 地。 s = lf 4 l 其中：x r ”，x = 0 2 ，x 。) ，g cr “为一有界区域，当疗3 时，a g o 2 ， xe g = ( o ，d ) g ，算子三在虿中是一4 致椭圆型泛函微分方程。= 口，c i 喳) ( f = 1 , 2 ，门) ，1 1 , ，2 c 2 晦) 都是实值函数，f l 2 ) 是复值函数，r 是混合型差分 算子，0 = d o d l o 都是常数，o ) 是给定的函数，它也适用于某些大尺度的天文学 问题。 例l - 1 1 8 物理学中一维返回二体问题的方程为 主o ) = x 0 ( f ) ) ， 经典的电动力学的二体问题符合下述数学模型 如) = 厂o ，y ( g ( t ，y ( f ) ) ) ) ， 夕( f ) = 厂( f ，) ，0 ) y ( g ( f ，y ( f ) x 夕( g ( f ，y o ) ) ) ) ) 例1 1 1 9 在生命个体的活细胞罩，控制酶反应的生物机制的一个数学模型为 膏( f ) = ，( r 女 工( g o ，一，膏( f ) ) ) ) ， t ( g ( f ，z ，量o ) ) ) ，0 ， x ( f ) = 妒( r ) ，士( f ) = 驴0 ) ，t r 最后，应当指出，纵观整个泛函微分方程发展的历史，描述滞后现像的泛函微分方 程庄各个应用学科中是相当普遍的。在物理学的许多分支中，历史上曾经把具有分g w t i 东北大学硕士学位论文第一章具有无穷时滞泛函微分方程的正周期解的存在性与多解一陛 量的情形叫做“时滞系统”，把具有分布滞量的情形叫做“后效过程”。上述两类动 力学系统与常微矜方程的根本区别在于：要决定系统一个状态的未来，不仪要确定这个 状态现在瞬间的值，而且要顾及过去的历史状况，根据直观描述，统称这类系统为滞后 跫时滞系统。本章主要研究的就是滞后型时滞系统。 1 1 2 无穷时滞系统概述 设r 为常数，口为常量，假定o s ，( ) sr ，由r 建立了初始数据空间c ，o l r ”) 使x ，= x 0 + 8 ) c ， 当r o ) 为离散滞量的情形，即，( | ) 为偏差f o ) ，即得到泛函微分方程 童( r ) = f ( t ，x ，x ( t r ( f 狮， 当，o ) 为分布滞量的情形。即r ( ，) 为积分限之一，得到泛函微分方程 膏b ) ；g ( f , x t , x ( 1 一r 凼 上述两种类型的方程广泛地概括了滞量有界的f d e ，称之为有限对滞系统：反之 统称为无穷时滞系统。事实上。无穷时滞系统包含两种基本类型 量( f ) = 厂( f ，x ( r x x ( f r ( f ) ) ) r ( f ) 为无界函数 ( f ) = g o ，工n x ( f + r 塘r 。 其中：“”表示l e b e s g u e 积分或s t i e l t j e s 积分。 如果要建立一个统一的初始数据空间，需要引入c oo 。，o l r ”) ，与c b ，0 1 月”) 相比 ，由常数变为，= 一。这就构成了有限时滞系统与无穷时滞系统的本质差别。 有限时滞系统理论已日臻完善，整个理论系统简洁规整，应用背景广泛，商无穷时 滞系统的基本理论是1 9 7 8 年才初步确立的，理论系统还有待迸一步发展j j 完善。本章 主要研究的系统就是无穷时滞系统。 东北大学硕士学住论文 第一章具有无穷时滞泛函微分方程的正周期解的存在性与多解性 1 1 3 无穷时滞泛函微分方程周期解的已有研究成果 上世纪六十年代，东北师范大学的黄启昌教授开始研究无穷时滞的泛函微分方程周 期解的存在性问题，到目前为止，人们基本上还是在使用线性泛函分析方法来解决该问 题t 近年来无穷时滞泛函微分方程的周期解问题受到广泛关注，发展了如l y a p u n o v 泛函方法，s c h a u d e r 不动点方法以及非线性泛函分丰斥中的锥拉伸锥压缩方法。 下面简述一下，应用i - 述方法研究泛函微分方程解的历程。 文 3 中引入了( b c _ 。，p ) 空间，利用l y a p u n o v 泛函及不动点定理。考虑如f v o l t e r r a 积分微分方程 x 7 ( f ) = 爿( f ) x ( ，) + c ( f ，s ) x ( s ) 出+ ，( r ) ， 的周期解存在问题。 其中：f r ，x r ，c ( t ，j ) ，c ( t ，一5 ) ，爿( f ) 为n x ”连续函数矩阵，厂：r _ + 凡连续。 文 4 中将y o s h i z a w a 关于有限时滞方程的周期解存在性定理引入到无穷时滞方程 中来，并推广了 3 的工作，给出了如下方程 一( f ) = 爿o ) x ( f ) + l e ( f ，5 ) x o ) 出+ ，( f ) ， 周期解存在的判别条件。 文 5 中讨论了较 4 更一般的方程 一( f ) = 爿( r ) x ( f ) + f 。( r ，5 ) x ( 5 ) a s + g ( x ( r ) ) + 厂( ，) ， 利用l e r a y s c h a u l d e r 原理和压缩映象原理讨论r 方程周期解的存在性，唯一陆与稳定 性并且本文在 3 的基础上考虑了”= 2 ，3 ，时方程的周期解存在性。 文 6 将文 4 的结果推广到中立型方程，在保证方程解一致有界与最终一致有界条 件f ，利用h o r n 不动点定理得到 东北大学硕士学位论文 第一章具有无穷时滞泛函微分方程的正周期解的存在性与多解性 丢瞰f ) 一q ( s ) m + j ) 出】= 爿( ，) 椰) + f 。e ( ) x 。) d s + ，( 机 的周期解存在性定理。 文 1 中考虑更为广泛的具有无穷时滞中立型非线性泛函微分方程 鲁b ( f ) 一q ( s ) 加+ s ) 出】= 爿( ，f ) ) x ( ，) + l e ( ) x o ) d s + ，( f ) ， 其中：x r ”，q ( s ) ，a ( t ，x ) 为n x r t 连续函数矩阵，函数，满足： f c ( r 8 ( 1 ，r ”) ，a ( t + n ，x ) = a ( t ，工) ， f ( t + c o ，咖= f ( t ，纠，薯( 5 ) = x ( t + 5 ) ，s r 一， 引入b g 空间，利用矩阵测度和k r a s n o s e l s k i i 不动点定理讨论该方程的周期解的存在性 与唯一性，并在q ( 5 ) 为零矩阵，a ( t ，x ) = 一( ，) 情形给出了该方程存在唯一稳定的刷期解 的条件。 文 2 中利用范数形式的锥拉伸和锥压缩不动点定理讨论具有无穷时滞泛函微分方 程的周期解问题，获得了正厮期解韵存在性定理，并应用定理解决了l o g i s t i c 方程的周 期解存在性问题。 1 1 4 锥理论与不动点指数的梧关知识 定义1 , 1 1 设e 是实b a n a c h 空间，如果p 是e 中某非空凸闭集并且满足下面两个 条件。 瓣p ，五0 ，贝a x e p ： p 。一x p ，则x = 0 ，0 表示e 中零元素。 则称p 是e 中个锥。 定义1 1 2 用p 表示p 的内点集，如果户m ( 这里中为空集) ，则称p 是个体 锥。 注：给定e 中一个锥p 后，即可在e 中引入半序，设x ，y e ，如果，一x p ，u 3 东北大学硕士学位论丈 第一章具有无穷时滞泛函微分方程的正周期解的存在性与多解性 x s y ，若x s y ，并且j y ，记工 0 ，使当恢i i = 陂| | = i ，一p ，叠p 时，恒有忱+ 茁：忙d ， 则称锥p 是正规锥。 定义1 1 4 设e 是一个拓扑空间，e ，若存在连续算子r ：e 斗_ ，使得肖 x x 时，恒有h = x ，则称z 是e 的一个收缩核，称算子，为一个保核收缩。 定义1 1 5 设x 是实b a n a c h 空间e 中一个收缩核，对x 的每个有界( 相对) 雎集 uc x ，a ：万一x 全连续，并且在a u 上没有不动点( 其中a u 足u 相对于的边界) 取q ：叶x 是一个保核收缩，再取r 充分大，使得 u cb 。= e i 0 并且a ( t ，x ) ，g ( r ，功，厂( f ，) 满足下列条件： ( h 1 ) 存在连续的一周期函数q ( ，) ，口：( f ) ；满足 口。( r ) 口( f ，x ) 嘎( f ) ，f d l ( t ) d t 0 ， ( h 2 ) 存在连续的一周期函数q ( ，) ，a 2 ( t ) ：满足 d 。( f ) 里曼；：型口：( f ) ，f 口o ) 出 o ， 蹦 “ ( h 3 ) f ( t ，) 将有界集映为有界集，即若庐巴，( s ) 0 ，s r 一，则f ( t ，妒) 0 记：c _ 。= c ( r 一，月) ，设 芒c j 。，向( j ) o ，s 尺一且 ( s ) d s = 1 定义： q = 庐e e l ( s 勰i 庐( 目) 出 m ，c h c 。中范数定义为： 。= ( s 恶胛) 陋 这罩( g ，1 1 妒1 1 。) 仍记为g ，( 乙是b a n a c h 空间。且g 满足相空问的公理性假 设( 见文 4 ) 。对巴，o o 时( 1 1 7 ) 式有唯一的m 一周期解 x ( r ) = 广g ( t ，5 ) ，( 删。) a s ， 其中 定义算子a ：圪哼圪 m e x p ( 1a ( r ，“( f ) v f ) g7，52ra(r,u(r)dr)-iexp(ja(r ( 爿“) ( f ) = r g ( t ，s ) f ( s ，u , ) d s “只“) ( f ) = l ， “只 因此问题( 1 1 1 ) 的一周期解等价于算子a 在只中的不动点。 若( h 1 ) 满足，则记 1 2 _ 东北大学硕士学位论文 第一章具有无穷时滞泛函微分方程的正周期解的存在性与多解性 m 。= 。捱。e x p ( r q ( r ) 打) ， 鸠= 。s u pe x p ( f 口：( f ) 如) 0 e f s 口 ” k i - - - e x p ( q c r ，d r ，k 2 = e x p ( f 以z c r ，d r ，书= 姜象；i ；三茜 根据占定义，可知0 占 0 满足 c 丁少2 ，那么，( 7 ) o 并且丁有一个正特征函数仍与t 的第一特征值丑= ( r ( 7 ) ) 对应，即仍= 7 1 仍。( 见文 1 2 ) 引理1 1 5 设( h 1 ) 一( h 3 ) 成立那么由( 1 1 1 0 ) 定义的算子r ，满足，( n 0 并且丁有一个正特征函数仍与r 的第一特征值 = ( r ( 7 1 ) ) “相对应，即皖= 丑7 1 仍。 证明：由( h 1 ) 一( h 3 ) 女i jr a ( f ，“( r ) ) 出 0 ，于是e x p ( r 口( f ，“( f ) ) d r ) 1 目 j e x p ( 口( ( f ) ) d f ) 一1 0 ，又由于e x p ( r 日( r ，“( f ) ) 卉) 0 ，所以有 对任意“e 圪( 一k 。) ，有“( s 刚“l l ，5 r 成立。即对任意“p 埘( 一k d ) ( 而) ( ，) = f + o i g ( t ，s ) “( s ) 出 j f ”g ( t ，s ) 蕊- 0 所以存在一个常数c 0 以及妒巴( 一k ) ，满足c ，妒妒。再由算子t 是锥髟上线性 全连续算子，匕是由连续周期函数构成的空间，所以圪空间是紧b a n a c h 宅牡l l 。并且 丁( k ) c 。综合上述条件，根据引理1 1 4 可证得引理1 1 5 成立。 引理1 1 6 设e 是b a n a e h 空间，并且尸是e 中的锥，q ( p ) 足p 中有界开集 彳：五两斗p 是全连续算子。如果存在p o ，并且满足 u a u q u o ，7 0 ，v “o n ( p ) 那么不动点指数f ( 爿，q ( j p ) ，p ) = 0 。( 见文 1 2j ) 一1 5 - 塑胁域一0 o 一 烈一p 盟卟 0 东北大学硕士学位论文第一幸具有无穷时滞泛函微分方程的正周期解的存在性与多解性 引理1 1 7 设e 是b a n a c h 空间，并且p 是e 中的锥，赋p ) 是尸中有界开集 口赋p ) ，a ：五两斗p 是全连续算子，并且满足 a u “v u 黝( p ) i 那么不动点指数f ( 一，【p ) ，p ) = 1 。( 觅文 1 2 ) 引理1 1 8 设e 是b a n a e h 空阀，并且p 是e 中的镶。q ( p ) 是尸中有界歼集， a ：面耳呻p 是全连续算予。日：【o 1 】x 琢两呻p 全连续，并且满足 h ( r ，”) “v u c x 2 ( p ) o st 茎1 那么不动点指数i ( h ( r ，) ，【p ) ，p ) 值与f 取值无关。 ( 见文0 2 1 ) 1 2 主要结论 下面讨论问题( 1 i 1 ) 正周期解的存在性与多解性，润题( 1 1 2 ) - - ( 1 1 4 ) 的结论与问题 ( 1 1 1 ) 的结论完全类似。 1 2 1 正廊斯解的存程性定理 定理1 2 1 假设( h 1 ) 一( h 3 ) 成立，并且 l i i n i l l f 业盟 名 “啼旷 “ l i r as u p 丛盟 0 满足 f ( t ，“。) “v u ：0 “ ( 1 2 3 ) 设“是与t 的第一特征值 = ( r ( 丁) ) 。相对应的正特征函数，即“= 砌+ 。并没 b r = 伽肛忙r ，r 尺+ ) ，对任意“船。n k 一，由( 1 2 3 ) 有 1 6 东北大学硕士学位论文 第一章具有无穷时滞泛函微分方程的正周期解的存在性与多解性 下面证明 ( 4 “) ( f ) a 厂g ( t ，s ) “o ) a s = ( 砌) ( f ) ，( 1 2 4 ) “一a u q u + ，r l 0 ，v u a 8 n k a 如果存在“i a 只n 以及r i o o 满足“1 一a u l = r i o “，于是当碥 0 时有 u 1 = a u l + r l o u + r l o u ，设 叩+ = s u p r u 12r u ， 根据定义，有叩+ r o ，“l l l * u ，再根据t t ：蟛) c k d 有 ? q t u l r i 吼= 刁+ “， 再e h ( 1 2 4 ) 有“i = a m + r o “2 孔i + r o “ r + “+ r o “。，这与刁= s u p q i 坼刁“) 相矛浯。 因此， “一a u f l u ，玎o ，v ue 峨n k j 成立。再根据引理1 1 6 有 f ( 爿，峨n ，k 6 ) = 0 ， ( 1 2 5 ) 再由( 1 2 2 ) 知存在0 1 ， 所以逆算子( ，一z ) “存在，并且 ( ，一正) 一= ，+ 五2 + + 正”+ 一， 再根据7 ；( ) c k 6 f f ( t - t , ) “( 嵫) c 。于是“( f ) ( ，一7 ：) m ，t e r ，即w 是 有界集。现在选择吒 m a x ，s u p w ，设h ( r ，“) = r e l u ，v ( r ，“) ( o ，l l x ( b bn k ) ， 根据算子目的构造。容易证得玎：【o ，l 】( b 。n k ；) 专k 。全连续，并且 h ( r ，“) ”，v u a & ，0 f 蔓1 根据引理1 1 8 有 鳆爿，& n ，心) = f ( 以& n 心，心) 2 1 ， ( 1 2 6 ) 再l h ( 1 2 5 ) 和( 1 2 6 ) 有 f ( 彳，( & n k ) 、( 曩c 、k o ) ，) = f ( a n k , ，瓤) 一f ( 爿，蛾n ，如) 2 1 于是一在( & n ) ( 或九k ) 上至少存在一个不动点。阀题 n 以及“p j 有 ( 辩) ( f ) s ( “) ( ，) ( 7 1 。科) ( f