（基础数学专业论文）小bloch型空间以及μbergman型空间上的复合算子.pdf

摘要 本论文研究了单位球上小b 1 0 c h 型空间之间以及p b e r g m a n 之间的复合 算子的有界性和紧性条件，全文由三章组成 在第一章，我们对复合算子的有界性和紧性问题的历史背景与现状进 行了综述 在第二章，我们研究了单位球上小b l o c h 型室间之间的复合算子的有界 性和紧性问题，得到了伊中单位球上小b d 旃型空间瑶与瑶之复合算子 劬为有界算子和紧算子的充要条件 在第三章，我们研究了单位球上胪b e r 舯a n 之间之复合算子的有界性和 紧性问题，对正规函数p ，分别刻画了c n 中单位球上p b e r g m a n 空间舻( p ) 上复合算子为有界算子以及紧算子时妒所满是的条件，同时给出了q 为舻( p ) 上紧算子的简化条件 关键词：小b l o 盛型空闻，妒b e r 鄂氇矬空间，复合算予，有界性，紧性 a b s t r c t t h i sp 印e ri sd e v o t e dt od i s c u 豁t h e m p o s i t i o n0 p e r 曲d r 80 nt h el i t t l eb l o c h t y p es p a c 鼯蚰dt h a to nt h e 抄b e r g m a ns p a o 瞪i nt h el l n i tb a uo f 伊i tc o n s i s t so f t h r e ec h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，t h eb 如岖r o u n da n dp r e s e n tc o n d i t i o n sa r ei n t r o d u c e da n d8 u m i i 脚 r i z e df o rt h es t u d yo f b o u n d e d n e s sa n dc o m p a u c t n e s so fc o m p 面t i o no p e r a t o 璐 i nc h a p 乞e r2 ，t h eb o u n d e d n e s sa i l dc o m p a c t n e 豁o ft h ec o m p o s i t i o no p e r a t o r s b 曲眠槐d 慨r 衄tl i t t l eb l o c ht y p e 印a c 鹤a r ed 缸；c u s s e do nt h ep o l y d 娃虻t h es u 最c i e n t a n dn e c e s 8 a r yc o n d i t i o n so ft h eb o u n d e d l l e 豁a n dc o m p a c t n e s sa r eo b t a i n e d i nc h a p t e r3 ，f o rt h en o 衄a 1 缸n c t i o np ，骶诵uc h a r a c t e r i z et h o s e 妒f o row h i c h 8 r eb o u n d e d ( o rc o m p a u c t ) o nt h e 少b e r g m a ns p a c e 舻( p ) i nt h eu n i tb a l lo f 俨 k e yw o r d s ：l i t t l eb l o c h 帅e8 p a c e ，胪b e r g m a n 印a c e ，c o m p o s i t i o no p e r a t o r ， b o u n d e d n e 豁，c o m p a c t i 煅 i i 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研 究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其 他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的研究做出重要贡献 的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法 律结果由本人承担 学位论文作者签名：局毛灸枷年，蝴协日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查 阅和借阅本人授权湖南师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编 入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇 编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在一年解密后适用本授权书 2 、不保密彤 ( 请在以上相应方框内打 ”) 作者签名：易彭臭日期：务缉偿月 ，。日 导师签名： 告牟 日期：枷p 年亿月几日 单位球上小b 1 0 c h 型空间以及p b e r g m a n 型空间上的复合算子 1 绪论 一直以来，函数空间上的算子理论就是国际数学界一个非常重要的研 究方向，其文献浩如烟海、举不胜举，并有一系列专著问世，特别是全纯函 数空间上的g l e 栅问题、复合算子理论、解析h i l b e r t 空间上的生成函数与 序结构、b e r g m a n 空间上的t 0 e 盐t z 算子和h a n k e l 算子等是近二十年来国际 数学界的研究热点之一，由于算子理论的应用性非常广泛，所以对其研究 几乎使用了所有现代数学的概念和方法复分析中很多问题都需要对各种 函数空间特征及某些辅助算子的性质( 包括有界性、紧性、s c h a t t 类、谱 结构等) 以及系数乘子和点态乘子进行深入研究关于这方面，早些时候所 取得的成果主要是关于单复变解析函数空间的，如上世纪九十年代前后， a x l e r 、l u e d d n g 、z h u 、彭立中、任福尧等许多著名数学工作者对单复变函 数空间的算子理论进行了广泛的研究，使得一些算子理论( 如b e r g m a n 空 间和h a r d y 空间上的t o e p l i t z 算子、h a n k e l 算子及其复合算子等) 在单复变 情形已有相当完整的结果但对于多复变函数空间而言，由于问题的复杂 性，更主要是由于多变量全纯函数与单变量解析函数有许多本质不同的特 性，例如多复变中没有类似于单复变中的e m 柚n 映照定理，从而不同域 上函数空间的结构可能有很大的差异，这决定了其上的算子理论和单复变 情形可能有本质的不同其次，单复变中一些行之有效的处理方法( 例如 b l a s d h k e 乘积、n e v a n l j n n a 计数函数等) 在多复变情形往往不再适用或不能 简单移植，而且在多复变中全纯函数t a y l o r 展开出现的多重指标使得许多 问题( 例如内函数问题以及系数乘子问题等) 比单复变情形要困难得多， 这样就导致了多复变数函数空间上算子理论的研究荆棘重重尽管如此， 近十几年间多变数全纯函数空间上的算子理论仍然有了较大的进展，许多 原来在单变数全纯函数空间研究的国外代表人物( 如a r a z y 、l u 溅n g ， s h a p i r o 、z h u 、a x l e r 、c a r l e s o n 、c o w e n 、s h i e l d s 等) 都被吸引到这一方 兴未艾且充满前途的领域，此外国内许多数学工作者( 如以史济怀、任广 斌等为代表的研究团体，以及任福尧、陈怀惠、胡璋剑，周泽华、乌兰哈 高校教师在职硕士学位论文 斯、娄增建、欧阳才衡等等优秀数学工作者) 也在从事此领域的研究 近年来国内外从事高维b l o c h 型空间之间复合算子研究的学者很多( 参 见【l 卜【4 】) ，得到不少结果其中文献【1 】对单位球上b l o c l l 空间上。的有界 性和紧性条件进行了刻画；文献【2 】和【3 】分别讨论了单位球上b l o c h 型空间 上巴为有界或紧算子的充分和必要条件，但是对于高维小b 1 0 c h 型空间上 的复合算子有界性和紧性条件至今还没有给出，本文第二章将在上述基础 之上给出对所有的o p ，口 。，璐到篇的复合算子q 为有界或紧算子的 充要条件主要结论如下： 定理2 3 1 设o p 、口 ，妒为b 上的全纯自映射，则。为硝到 藤之有界算子的充要条件为：对一切z = l ，2 ，礼有讼瑶且 ( 1 ) 当o p 1 2 时还满足 裟踹i l 。o ； ( 2 ) 当p = 1 2 时，( 奉) 式成立且 裟( 1 一m 9 忉南f 却( z ) i 1 2 时，( 丰) 式成立且 s u p 熄刚z ) l 。 z 刍( 1 一i 妒( z ) 1 2 ) p - 壶一“ 定理2 4 1 设o p 、口 ，妒为b 上的全纯自映射，则。为瞄到储 之紧算子的充要条件为： ( 1 ) 当o p l 2 时，( 枣木) 式成立，且 i 鸨踹脚) f = o 一1 ( 1 一i 妒0 ) 1 2 ) p 一壶。、“ 最近，k h z h u 在文献【5 】中分别讨论了。是钙上有界算子以及紧 算子的充分条件和必要条件，获得了很好的结果在此基础上，本文第三 章将文献f 5 】中的权( 1 一俐2 ) p 推广到了一般正规权p ( r ) ，并分别给出q 是 a p ( p ) ( p o ) 上有界算子以及紧算子的充要条件而且本文还给出结论： 1 、若g 是舻( p ) ( p 1 ) 上的紧算子，则 l 鹄高躲一o 2 、 如果对某个一1 o ) 上的有界性和紧 性条件可以不依赖于参数p o 时的具体p 值，但对于一般的正规函数p 而言，o 在舻( p ) 上的有界性和紧性条件不能直接得出与参数p 无关，因 此在定理3 3 3 的证明中就不能象文献【5 】中定理1 1 那样只证明p = 2 的情 形，必须要对一般的p 进行论证具体结论如下： 定理3 3 1 设p o 、 6 ，则 ( 1 ) g 为舻( p ) 上有界算子的充要条件为： 溜铲 ； m a x 6 ，鼍譬一n ) 若，( p ) ，则 ( 1 ) f ，( z ) i ( 1 一i z l 2 ) 扣1 咖( z ) c i i ，i i ，( 曲； 他h 一，上爿篆鬻蜘一鬻一” 定理3 3 3 设p 是【o ，1 ) 上的正规函数，妒是b 上的全纯自映射 ( 1 ) 当p 1 时，若。是舻( 肛) 上的紧算子，则i 譬m l 示躲= 。 ( 2 ) 当p 1 时，若对某个一l p 一1 ，q 是鸽上的有界算子且 i 鸨点躲- o ， 一l1 一l 妒( z ) 1 2 。 则。是印( 肛) 上的紧算子 单位球上小b l o c h 型空间以及少b e r g m a n 型空间上的复合算子 2 单位球上小b l o c h 型空间之间复合算子 2 1 问题的引进和定义 设b 表示c n 中的单位球，a b 表示单位球面，日( b ) 表示b 上盼全纯函 数类对c n 中的点z = ( 钆，) 和们= ( 叫l ， n ) ，记 = 勺巧， 若，日( j e i ) ，则，的梯度用v ，( z ) = ( 差( 巩，差( z ) ) 表示， ，的径向导 数用兄，( z ) = = 乃罴( z ) 表示 歹= l 一。j 对o p o 。，b 上全纯函数厂如果满足 i l 川p ，1 = 8 u p ( 1 一2 ) pi r ，( z ) l 1 2 时， g p ，：( 牡，牡) ) = ( 1 一阡) i t 1 2 + l 1 2 ) ( 1 一i z l 2 ) l 牡 + l i ； 当p = 1 2 时， g p 一乱，u ) ) = l u l 2 ( 1 一h 2 ) z 0 9 2 r ；孑+ l 1 2 ) 5 川( 1 咄1 2 ) 忉南+ i i ； 当o p 1 2 时，_ 【g 声( t ，t 上) ) ；= 【( 1 一i z l 2 ) 2 pi 训2 + i 1 2 ) ； ( 1 一l z l 2 ) pl t i + i 1 引理2 2 1 【文献【3 】引理2 1 】设，日( b ) 且l i 川p ，1 o o ，z b 以及 阳 和 = o ，当o p 1 2 时，设定数o 1 ，若l v ，( z ) l m ( 吲铂) ， 则l lsm + c ( 1 一r o ) 一pl i 川p ，1 对一切r os l 成立 引理2 2 2 设o p o o ，日( b ) ，则l l 州p ，1 、i l 川p ，2 和l l 川p ，3 等价 证明这是文献【4 】中引理2 2 取肛( r ) = ( 1 一r 2 ) p 的情形 引理2 2 3 设o p o ，存在 o ，当l z l 珈时，有 ( 1 一h 2 ) p i r ，( z ) i 6 由文献【6 】的定理a ( i ) 知 删弘舛- 上爿警辫辔， 由于r ，( o ) = o ，所以对z 风有 冗，( z ) 2c ，i ，p + - 厶( 1 一i 训2 ) p r ， ) 百= 孑i 赫一1 ) 如( 叫) ，如4、o ， 。 又因为 ，( z ) 一，( o ) = f 1 型掣班：岛，p + 。! ( 1 一l 训。) p 冗，( 伽) l ( z ，叫) 如) ， j q t jb 。 。?j 比m2z 1 ( 两南- 1 ) 警= 喜端q ，故 以么2 上f 瓦葫一) 警。萋篆黼 七，故 差( z ) = 卅厶r ，( 伽) 笔掣妣( 毗 i 掣i = 趔葛最端 因为坚墨! 二垒= 他+ l + 鼽所以 z u z 。 l 掣l r 0 时 i v m ) l 喜l 荔( z ) l n c 厶f 岫( 伽) c t 旺蚓卅n c k 旺蛳) s 南+ 舭丘i f 石南如( ) ， n c n c 、。_ - _ _ _ _ _ - _ _ _ 一+ 。_ - - _ _ _ _ _ _ - - - - 一 一 1 1 一l n + 1 + p f 1 一l z l 2 1 p 高校教师在职硕士学位论文 所以，1 i m ( 1 一2 ) pi v ，( z ) i = o 1 0 l 一上 引理2 2 4 设p 1 2 ，若，席，则 盟糕一o 证明：当p l 2 时就是文献【2 1 】中引理4 ，只要证情形p = 1 2 由，麻知，对任给e o ，存在o 伯 1 ，当r o h l 时 ( 1 一h 2 ) i r ，( z ) l 现任给珊 h 1 以及满足 = o 的船，利用酉变换可设 名= ( r ，o ，0 ) 以及专= ( o ，1 ，0 ，0 ) 固定r 0 亡 1 ，记 ( 勿) = r ，( t ，忍，o ，o ) ，则 愀圳 r 0 时， l l - l 竖晋坦帕 i 百2l i i r ，( z ) i + l 训l 1 ) 单位球上小b l o c h 型空间以及p b e r g m a n 型空间上的复合算子 从而高。，盟瓮铲 踟p4 1 1 尘堕坚旦垃坠l q 伊一1 一川5 d 9 2 【1 一叫+ i z ，让州 。 扼百2 ( 1 一m 刚z ) l + 扼i l 忉。南 一掌( h 一1 ) ， 这意味着i 晋m 1 。器p 垒二型蓍兰= 。 2 3 有界性讨论 定理2 3 1 设o p 、q 。o ，妒为b 上的全纯自映射，则。为席到 藤之有界算子的充要条件为：对一切j - 1 ，2 ，佗有仰藤且 ( 1 ) 当o p 1 2 时还满足 裟踹l i = 1 o o ； ( 2 3 1 ) ( 2 ) 当p = 1 2 时，( 2 3 1 ) 式成立且 掣卜l z l 2 ) 。f 0 9 南酬z ) l = 2 l 2 时，( 2 3 1 ) 式成立且 骝蹁瞅) i _ 3 o o ( 2 3 3 ) 证明首先证充分性当o p o ，存在o 1 6 ，对r 妒( z ) 。，设r 妒( z ) = u 号浠+ u z f ，其中 = o ，= 1 由引理2 2 1 知，存在常数m o 使得对所有的 2 b 有i l m 故结合( 2 3 4 ) 式得 ( 1 一i z l 2 ) a i r 【，o 妒】( z ) i = ( 1 一l z l 2 ) 。i l ( 1 制川蚓趔鼍涨揣撩铲盟坐i ( 1 一1 名1 2 ) 9i i 2 1 + m ( 1 一i z l 2 ) 4i r 妒( z ) i 从而l i m s u p ( 1 一l z l 2 ) 。l r 【，o 妒】( z ) i i 碧m l m a x 盟爿显生羔l 二篆掣，2 l e + m ( 1 一l z l 2 ) qi 冗妒( z ) i ) = 2 l ， 一一l i护 、 7 一“i 再由e 的任意性知i 蓦马( 1 一例2 ) 9 l r 【，。纠( z ) l = o 对p 1 2 情形，若对一切f _ 1 ，2 ，礼有忱瑶且相应式子成立 设，席时，则由引理2 2 4 知对任给 o ，存在1 2 6 o ，当h 1 6 时有 s u p 坠骂婴霉掣型 1 一石且i 妒( z ) l 1 6 ，则 ( 1 一i z l 2 ) a l r 【，o 妒】( 2 ) i = ( 1 一i z l 2 ) 口l 击矿( 1 一m 口阶( 圳 1 0 单位球上小b l o c h 型空间以及p b e r g m a n 型空间上的复合算子 若 1 6 且l 妒( z ) l 1 一j 时，由( 2 3 5 ) 式得 ( 1 一i z l 2 ) a i r 【，。妒】( z ) i = ( 1 一i z l 2 ) 9 i i = 踹 g 妒( 。) ( 冗妒( z ) ，r 妒( z ) ) ) v 2 ( 1 一l 妒( z ) 1 2 ) p i i “ g p ，妒( ：) ( r 妒( z ) ，r 妒( z ) ) ) 1 2 踹 g p 从州却( 破却( 纠 l 2 ( l + 2 + 3 ) s 类似o 1 以记绚= 妒) l 妒( 叫) l ，令兄妒( ) = t ，l 匈+ 忱= e 卯- i 钉l i 翔+ e 晚l 也if ，其中 = o ，= 1 取示性函数 胁，= 筹燃+ e 她 厂似珍南，则 特别地 v 胁，= 等等辫拶 + e 一吡享厂 南+ 最蒜磊， 仁3 q ( 2 3 7 ) 高校教师在职硕士学位论文 由于i f 2 + i 1 2 i z l 2 1 以，所以 l i ”l | 2 ) 2 1 - i w ( 咖胪 ( 2 3 8 ) 由( 2 3 6 ) 和( 2 3 8 ) 式经计算知，席，且( 1 一i z l 2 ) pi v 厶( z ) i c ，再由引 理2 2 2 有i l 丘c 由。的有界性和( 2 3 7 ) 式有 c i l “ p l l2l l u p i il l 歹”l l 矽之l i o 妒歹” l 伊之i i l 妒_ 7 铆l l q ，1 ( 1 一i 叫1 2 ) 。l i = ( 1 一i 伽1 2 ) 口i i 刈w ，。 孙州，。 _ ( 1 州h 掣 + ( i 酬伽) 1 2 一坐铲) ( 广w 2 南) 2 ) 由于l 妒( 伽) l 充分接近1 时，与群以及( 1 一l 妒_ ) f 2 ) z 0 9 2 南 都充分接近于o ，通过上式按p 的大小分情况可得 坠堂訾蹲黑桀型业c i i i i ， ( 1 一l 妒( 叫) 1 2 ) p 一1 r 川 再南似的仟音件知f 2 3 1 1 - f 2 33 、式成寺 2 4 紧性讨论 定理2 4 1 设o p 、g o o ，妒为b 上的全纯自映射，则为筒到瑶 之紧算子的充要条件为： ( 1 ) 当o p l 2 时，( 2 4 1 ) 式成立，且 i 翳踹瞅) | = o _ 1 ( 1 一i 妒( z ) 1 2 ) p 一。 、“ ( 2 4 2 ) ( 2 4 3 ) 证明若对一切f = l ，2 ，n 有仇瑶且( 2 4 1 ) ( 2 4 3 ) 式分别成立设 乃) 为任意在b 的任一紧子集上一致收敛于。且满足| l 矿1 的序列 当o p 1 2 时，由( 2 4 1 ) 式成立，则对任意o e ( 去) 字，存在 1 2 l e 南 时， l i e + c ( 1 6 ) 一p l i 乃i i p l e + 货l l 厶i l 伊芘 所以当h 6 时： 若f 妒( z ) i 6 且歹 时，由( 2 4 4 ) ( 2 4 5 ) 式和引理2 2 2 得 ( 1 一i z l 2 ) q i r ( 办。妒) ) l = ( 1 一l z l 2 ) 口i i - ( 1 制) 9 塑巡业编竽继剑 + ( 1 一l z l 2 ) 9l l s 4 l | 厶| | p 2 + 既l i 忱i i 口 l 篮+ i i 仰i l 伊 若l 妒( z ) i 6 ，则由忱藤和引理2 2 2 得 ( 1 一i z l 2 ) 口l r ( 乃。妒) ( z ) i = ( 1 一i z l 2 ) q i i 、，、， 5 6 4 4 2 2 ，i 高校教师在职硕士学位论文 i v 办( 妒( z ) ) i ( 1 一l z l 2 ) 9 i 冗仰( z ) i e i i 妒z l l 伊 ( 2 4 7 ) 当6 时，则存在南 o ，使得i 妒( z ) i 冬南，由于i v 办( z ) i 在任意紧子集 上一致收敛于o ，所以存在o ，当歹 0 类似( 2 4 7 ) 式可得 ( 1 一l z l 2 ) a l 冗( 乃。妒) ( z ) i e i i 忱i i 伊 ( 2 4 8 ) 由( 2 4 6 ) ( 2 4 8 ) 知，当j m a x ，o ) 时 i i o 乃l i p a = l 乃( 妒( o ) ) i + i i o 乃| i 吼t i 乃( 妒( 0 ) ) l + ( s u p + s u p ) ( 1 一l z l 2 ) 9 i 兄( 乃。妒) ( z ) i 66 i 厶( 妒( o ) ) i + 篮+ 既l l 铆i l 伊 因此，l i m s u pi i q j c f l i 伊s 芘+ 芘乏：i l i 伊，由e 的任意性知1 1 曼f i o 厶f | 印= o ， ，o o 。t， j 一 这意味着g 为伊到伊的紧算子 当p l 2 时，由( 2 4 2 ) ( 2 4 3 ) 式成立，则对任意e o ，存在o 6l ：| s 5 i 乃( 妒( o ) ) i + + i i 忱i i 伊 f = 1 1 4 单位球上小b l o c h 型空间以及卢一b e r g m a n 型空间上的复合算子 因此，j i ml i c 乃i i 伊= 0 反过来，若。为伊到伊的紧算子，则对任意z 1 ，2 ，n ) ，通过取 ，( z ) = 翩席，可得忱= o ，儡下面证( 2 4 1 ) ( 2 4 3 ) 式分别成立 设 ) 为b 中满足= i 妒( ) l _ 1u _ 。) 的任意点列， 记磊= 妒( 夕) l 妒( 夕) i ，令r 妒( 夕) = 讲名+ 谚= e 叫i 讲l 磊+ e i 呓i 逅i ，其 中 = o ，i i = 1 当p 1 2 时取函数列 胁，= 箬端+ 盟器葛铲； 当p = 1 2 时取函数列 胁，= 寒锇辫 + e 一致z ， f d 9 南) 。1 f 0 9 f 赫) 2 则厶嬲， 厶) 在b 上内闭一致收敛于。且c ，再根据。的紧性 知i i mi i o 乃l i 伊= o 1 。一 因此，当p 1 2 时，只要l 妒( 夕) l 何就有， i i o 乃i l 俨1 1 一i l 。) 9i l 钟俐，q 黼+ 淼 孙俐，q 蹁+ 鼎 - = 芒兹旆 ( 1 咄( 踟脚1 2 + ( 2 一南) i 门 、g 二i 夕1 2 ) 4 ( 1 一i 妒( ) 1 2 ) l r 妒( z ) 1 2 + l 1 2 ) 一 、2 ( 1 i f 力) 1 2 1 p 由 ) 的任意性我们有 妒鼯。踹眦) j = 0 ( 2 4 - 1 1 ) 1 5 皇仅教，甲杠职明士学位论文 i 妒聚。踹i f = 0 ( 2 4 1 2 ) i 妒( ：) j l ( 1 一i 妒( z ) 1 2 ) p 。、“y p 力y 卜，i u l 4 l z j 再由( 2 4 1 1 ) ( 2 4 1 2 ) 式和妒瑶得 i 将踹脚) | = 0 蚓+ 1 ( 1 一i 妒( z ) i 2 ) p 一”1 、。 v i ! 离踹j f = 0 一兰p 、i1 竺! 由于歹一o o 时( 1 一k ( 夕) | 2 ) z 凹2 南_ o ，所以只 要歹充分大就有， “ i i o 厶lj 伊( 1 一i 夕1 2 ) 口| i ( 1 一i 1 2 ) a 1 2 4 ( 1 一i 妒( 方) 1 2 ) + ( | 酬卅塑铲2 南) ； 了亏褊【( 1 一i 妒( ) j 2 ) z 。9 南j r 妒( z ) l 。 由f ) 的任意性我们有 f 妒聚l ( 卜m q 叼南脚( 圳= o ， ( 2 伽) 热踹i ( 2 4 “) 再由( 2 4 1 3 ) ( 2 4 1 4 ) 式和妒昭得 i 鸨( 1 咄| 2 ) qz d 9 f 薪伽l = o ， i 将踹i 誊磐，只要取示性函数列乃( z ) = 百竺热就可以证明。 p 1 2 时的( 2 4 1 ) 式成立 1 6 单位球上小b 1 0 c h 型空间以及p b e r g m a n 型空间上的复合算子 3 单位球上p b e r g m a n 之间的复合算子 3 1 问题的引进和定义 设咖表示单位球b 上满足口( j e 7 ) = 1 的规范l e b e s g u e 测度，b 上全纯函 数的全体记为日( b ) 对c n 中的点z = ( z 1 ，一，) 和叫= ( 埘l i 一，) ，记 t 1 2 乃巧 j = l 【o ，1 ) 上一个正的连续函数p 称为正规函数是指：存在常数o o o ，p 是【0 ，1 ) 上的正规函数，p b e r g m a i l 空间定义为： 卿) - ，日( b ) 1 i ，忆州： 加圳p 雒嘶) ) ； 一1 ) 时( p ) 就是加权b e 唧a n 空间钙当p 1 时舻( 肛) 依 范数加( p ) 构成一个b a n a d b 空间，当o o ) 上有界算子以及紧算子的充 1 7 高校教师在职硕士学位论文 要条件( 定理3 3 1 ) 而且本文还给出结论：若。是舻( p ) 0 1 ) 上的紧 算子，则i 碧m lf j 者舞2 o ；如果对某个一1 o ) 上的有界性和紧性条 件可以不依赖于参数p o 时的具体p 值，但对于一般的正规函数p 而言， g 在印( p ) 上的有界性和紧性条件不能直接得出与参数p 无关，因此在定 理3 3 3 的证明中就不能象文献【5 】中定理1 l 那样只证明p = 2 的情形，必 须要对一般的p 进行论证 3 2 有关引理及其证明 下文中，表示b 上满足( o ) = 伽、( 叫) = o 、= 妒二1 b ) 的m 洳妇变换；b e r g m a n 球d ( 伽，兄) = z ：z b 且l ( z ) i o ) 下文中利用记号c 、c 。、c 2 、表示与z 和枷无关、但可能与 参数p 、口、口、6 、冗等有关的正的常数，不同的位置可以代表不同的 数 引理3 2 1 设p o ，妒是b 上的全纯自映射，p 是【o ，1 ) 上的正规函 数，若 是b 上一个非负l e b e s g u e 可测函数，则 上 ( z ) d m 州 p ( z ) = 上 ( 妒( 砌矿( ) ( 1 一2 ) 1 如( 巩 这里m 螂，p ( e ) = 矿( h ) ( 1 一h 2 ) - 1 咖( z ) ，其中e 为b 内任一b o r e l 可 ，i p 一1 ( e ) 测集 证首先假定危是b 上一个非负简单l e b e s g u e 可测函数，设 ( 名) = 1 8 单位球上小b 1 0 c h 型空间以及p b e r g m a n 型空间上的复合算子 七 啦x 且( 忍均为b 内可测集) 则 l = l 上) 加伽一z ) 2 若吼m 龇p ( 最) 2 善毗厶d m 伽p ( z ) 2 善0 l 晟) 以k | ) ( 1 - 1 2 1 2 ) _ 。) = 上圳钏( 坩广( 叁棚踟0 酢) = 危( 妒( 名) ) 矿( ( 1 一钟) q 如( z ) ，d 若j l 是b 上一个非负l e b 髑g u e 可测函数，则存在单调递增的简单可测 函数列 吻) 使得吻( z ) 一 ( z ) 0 _ o o ) b ) ，故 上b ( z ) d m 妒汕p ( z ) 一上 ( z ) d m 妒，p 巾( z ) u 一) ，且 ( 妒( z ) ) 矿( ) ( 1 一2 ) 1 ) 是一个单调递增的可测函数列，并有 吗( 1 p ( z ) ) 矿( h ) ( 1 一吲2 ) q _ ( 妒( z ) 矿( h ) ( 1 一i z l 2 ) - 1u 一。o ) 从而上i i l ( z ) d m 刚，p ( z ) = 熙上b ( z ) d m 帅护( z ) = l i m ( 妒( z ) ) 矿( ) ( 1 一2 ) 1 咖( z ) = ( 妒( z ) ) 矿( ) ( 1 一h 2 ) _ 1 如( z ) 3 1 。jbj b 引理3 2 2 ( 文献f 1 6 】中定理2 2 3 ) 对于给定r o ，存在正整数n 和满 足下述条件的序列 哟 c b ： ( i ) 哟_ 船u _ o o ) ；( i i ) b = u d ( 嘶，月) ； j = 1 ( 的每个点z b 至多属于个d ( 嘶，2 r ) 中 引理3 2 3设r o 、p o ，p 在【o ，1 ) 上正规，则存在常数c o 使 得 陉矿赢厶固叭伽) i p 删训( 1 _ m 以如( 叫) 对一切，日( b ) 和z b 成立 1 9 高校教师在职硕士学位论文 ! = = = = = ! = = ! = 2 1 1 = = ! = 自= = = ! ! = = = g = = = = = = = = = = ! ! ! = ! = 3 1 = ! = = = ! = = ! = = = = = ! ! = = = = s e = = = ! ! ! = 证由文献【1 5 】中( 2 2 ) - ( 2 4 ) 式以及文献【1 6 】中引理2 2 4 可得 ， i ，( 加) l p 矿( i 伽i ) ( 1 一l 叫1 2 ) 一1 d u ( 加) ，d ( ：，r ) ， c 矿( 1 2 1 ) ( 1 一l z l 2 ) 一1 i ，( 叫) l p d ( 叫) - ，d ( ：，r ) c 2 矿( ) ( 1 一h 2 ) n i ，( z ) i p 3 3 主要结果及其证明 下文中，总设芦表示【o ，1 ) 上的正规函数，n 、6 为相应正规函数定义 中的两参数，妒是b 上全纯自同构 定理3 3 1 设p o 、 6 ，则 【i j 刀俨工伺夼舁于阴允妥杀仟力： 泌铲 上目崭饕) ； 。o ； ( 2 ) o 为舻( p ) 上紧算子的充要条件为： i 梁。铲 o 有 吲孚砷 旷( i 加1 )，d ( ”，r )端c 1 一 i “+ m 一 对所有叫b 成立由文献【1 5 】中的( 2 3 ) 式以及文献【1 6 】中的引理1 2 3 有 7 r b p ，p ( d ( w ，r ) ) 仁矿( i 加i ) ( 1 一 w 1 2 ) n ( 3 3 4 ) 因此，对任意，舻( p ) ，由引理3 2 1 3 2 3 以及( 3 3 4 ) 式知 m ) l i = 上必华掣幽= 加z ) 若k r ) 陟 ) i 舢巾。) 妻8 u p i ，( z ) r ：z d ( 哟，r ) m 妒，p 巾( d ( ，兄) ) c 。妻矿( i 1 ) ( 1 一i 哟i z ) n s u p i ，( z ) p ，：z d ( 嘶，冗) ) j = l c 2 l m ) i p 圳z | ) ( 1 一汗) 。如( z ) 葛，d ( 嘶，固 c 2 l 化) i p 圳z | ) ( 1 一汗) q 如( z ) 葛，d ( 嘶，2 冗) c 2 r i ，( z ) l p 矿( h ) ( 1 一i z l 2 ) -