（电磁场与微波技术专业论文）高速集成电路中互连线信号响应与功耗的分析优化.pdf

摘要 摘要 随着集成电路特征尺寸的缩小、工作频率的提高以及集成度的扩 大，集成电路中互连线成为影响系统整体性能的主要因素。尤其在深 亚微米集成电路中，互连线显示出微波传输线效应，导致互连线的时 延超过了门电路的时延，互连线的功耗超过了门电路的功耗。因此互 连线的分析与优化成为高速集成电路设计的关键。本文的工作围绕着 高速集成电路中互连线信号响应与功耗的分析优化展开。以传输线为 互连线的电路模型，通过提出高效的分析方法，得到互连线的时域响 应、时延以及功耗等特性，然后以互连线的性能为优化目标，对互连 线的结构和尺寸进行优化。此外，论文对互连线的参数提取进行了测 试验证并提供了两种测试验证方法。论文还研究了集成电路系统设计 对互连线性能的影响。具体内容介绍如下： 针对基于传输线模型的树型互连线，提出了多种时延模型和时域 响应分析方法。第一种：基于传输线模型的树型互连线时延模型。其 核心是对树型互连线进行拓扑结构简化，并利用二阶矩量匹配对传输 函数进行模型降阶，从而求得时延的解析公式。第二种：具有缓冲器 插入的时钟树时延模型。由于缓冲器将时钟树划分为具有相同结构的 子树，因此通过求子树的时延可以得到时钟树的时延。第三种：基于 矩量匹配的树型互连线时域响应分析方法。该方法利用a b c d 矩阵的 级联特性和树型互连线的拓扑结构通过迭代计算求得树型互连线的 1 上海交通大学博士学位论文 精确传输函数，并利用不同阶次的矩量匹配对传输函数进行降阶，可 得到满足不同精度要求的树型互连线时域响应。其中采用二阶矩量匹 配可以得到时域响应和时延的解析公式，其时间复杂度与树型互连线 的分支数成正比。第四种：基于傅立叶级数的时钟树时域响应分析方 法。时钟树的时域响应可以由前几项傅立叶级数之和来逼近，其时间 复杂度与所取的项数成正比，精度随所取项数的增加而提高。第五种： 基于快速傅立叶变换的树型互连线时域响应分析方法。该方法的优点 是可以分析由任意信号激励的树型互连线。以上五种树型互连线的信 号响应分析方法，它们的精度均高于目前最广泛使用的e l m o r e 模型， 效率均高于s p i c e 电路分析软件，适合于大规模集成电路快速仿真和 高层次综合。 以传输线为互连线的电路模型，发展了互连线的动态功耗模型。 该模型基于周期信号的傅立叶级数分析，利用帕斯瓦尔定理得到互连 一 线的动态功耗解析公式，其值由多个基于傅立叶级数之项求和来逼 近。该模型的时间复杂度与所项数成正比，精度随项数的增加而提高。 该模型可以分析多种结构的互连线，包括单根传输线，树型传输线以 及耦合多导体传输线。 以时延、带宽、功耗以及面积等性能为目标，提出了全局互连线 的优化方法。针对较长的全局互连线，对其进行了缓冲器插入、线宽 和线间距的同时优化；而对较短的全局互连线，对其进行了线宽和线 间距的同时优化。此外，针对1 3 0 纳米到4 5 纳米各种深亚微米工艺， 论文提供了全局互连线的最优参数。 摘要 以0 2 5 微米和o 1 8 微米工艺集成电路中互连线为实例，提出了 互连线参数提取的两种测量验证方法，以验证参数提取的精度。第一 种方法：对互连线的散射参数进行测试，然后通过电路综合得到互连 线的电路参数，将其与通过数值方法提取出的互连线电路参数进行比 较。第二种方法：将通过数值方法提取的互连线电路参数转化为散射 参数，将其与测量得到的散射参数进行比较。 以欧几里德译码器为实例，研究了集成电路系统设计对互连线 性能的影响。根据欧几里德译码算法的阶数特性，提出了高效的欧几 里德译码器。该译码器可以减少约3 0 的电路资源，并且降低约3 0 的互连线时延和约6 的互连线功耗。因此，好的系统设计在降低 电路规模的同时，可以有效地提高互连线的性能。 关键词：高速集成电路，互连线，信号响应，时延，功耗，分析优化。 a b s t r a c t a st h ef e a t u r es i z eo fi n t e g r a t e dc i r c u i t sc o n t i n u e st os h r i n k ，t h eo p e r a t i n gs p e e d a n dt h ei n t e g r a t i o ns c a l ec o n t i n u et oi n c r e a s e ，i n t e r c o n n e c t sh a v ei n c r e a s i n g l y s i g n i f i c a n te f f e c t so np e r f o r m a n c eo fi n t e g r a t e dc i r c u i t s e s p e c i a l l yi nd s m ( d e e p s u b m i c r o n ) t e c h n o l o g y , i n t e r c o n n e c t se x h i b i tt r a n s m i s s i o nl i n ee f f e c t sa n da sar e s u l t i n t e r c o n n e c t sd e l a yi sb e y o n dg a t ed e l a ya n di n t e r c o n n e c tp o w e ri sb e y o n dg a t ep o w e r t h e r e f o r e ，a n a l y s i sa n do p t i m i z a t i o no fi n t e r c o n n e c t s a r ec r i t i c a li nh i g h - s p e e d i n t e g r a t e dc i r c u i t s t h i sd i s s e r t a t i o nc o n c e n t r a t e so na n a l y s i sa n do p t i m i z a t i o no f s i g n a lr e s p o n s ea n dp o w e ro fi n t e r c o n n e c t si nh i g h s p e e di n t e g r a t e dc i r c u i t s t h e r e s p o n s e s ，d e l a y , a n dp o w e rc o n s u m p t i o no fi n t e r c o n n e c t sw i t ht r a n s m i s s i o nl i n e m o d e la r e a n a l y z e dw i t he f f i c i e n tm e t h o d s t h e n ，t h e s t r u c t u r ea n ds i z eo f i n t e r c o n n e c t sa r eo p t i m i z e df o r t h eb e s tp e r f o r m a n c e b e s i d e s ，i n t e r c o n n e c t p a r a m e t e r se x t r a c t i o ni sv a l i d a t e db ye x p e r i m e n t a lt e s t sa n d t w ot e s ta n dv a l i d a t i o n m e t h o d sa r ep r o v i d e d t h ee f f e c t so fv l s i ( v e r yl a r g es c a l ei n t e g r a t i o n ) s y s t e m d e s i g no ni n t e r c o n n e c tp e r f o r m a n c ea r ea l s or e s e a r c h e di nt h i sd i s s e r t a t i o n t h e c o n t e n t sa r ea r r a n g e da sf o l l o w i n g s s o m ed e l a ym o d e l sa n dm e t h o d so fa n a l y s i so ft i m ed o m a i nr e s p o n s e sa r e p r o p o s e df o ri n t e r c o n n e c tt r e e sw i t ht r a n s m i s s i o nl i n em o d e l 1 ) a na n a l y t i c a ld e l a y m o d e lf o ri n t e r c o n n e c tt r e e s 、析t l lt r a n s m i s s i o nl i n em o d e li sp r o v i d e d t r e es t r u c t u r e o fi n t e r c o n n e c t si ss i m p l i f i e da sc h a i ns t r u c t u r e d e l a yf o r m u l a sa r ed e v e l o p e db a s e d o nt w om o m e n t sm a t c h i n go ft h et r a n s f e rf u n c t i o n 2 ) a na n a l y t i c a ld e l a ym o d e lf o r c l o c kt r e e 、析t l lb u f f e ri n s e r t i o ni sg i v e n b u f f e r si n s e r t i o nd i v i d e sac l o c kt r e ei n t o s e v e r a ls m a l lt r e e s t h e r e f o r e ，t h ed e l a yo fac l o c kt r e ec a l lb eo b t a i n e db ya n a l y z i n g t h ed e l a yo ft h ed i v i d e dt r e e s 3 ) af a s tm e t h o do fa n a l y s i so fi n t e r c o n n e c tt r e e sw i t l l m o m e n t sm a t c h i n gi sp r o p o s e d b a s e do nt h ea b c dm a t r i xo ft r a n s m i s s i o nl i n e sa n d t h et r e et o p o l o g y , t h ee x a c tt r a n s f e rf u n c t i o n so fa ni n t e r c o n n e c tt r e ea r ec o m p u t e db y a ni t e r a t i v em e t h o d t i m ed o m a i nr e s p o n s e sw i t ha n yd e s i r e da c c u r a c yc a nb e o b t a i n e d b y d i f f e r e n tm o m e n t sm a t c h i n go ft h et r a n s f e r f u n c i t o n b e s i d e s ， c l o s e d - f o r ms o l u t i o n so fd e l a ya n dt i m ed o m a i nr e s p o n s e sc a nb eo b m i n e db y s e c o n d o r d e ra p p r o x i m a t i o n ，w h i c ht i m ec o m p l e x i t yi sl i n e a r l yp r o p o r t i o n a lt ot h e 1 上海交通大学博士学位论文 n u m b e ro fb r a n c h e si nt h et r e e 4 ) af a s tm e t h o do fa n a l y s i so fc l o c kt r e e sb a s e do n f o u r i e rs e r i e sa n a l y s i si sp r e s e n t e d t h et i m ed o m a i nr e s p o n s e sc a nb ea p p r o x i m a t e d b vt l l es u m m a t i o no ff i r s ts e v e r a lf o u r i e rs e r i e s a n yd e s i r e da c c u r a c yc a nb eo b t a i n e d b yi n c l u d i n gd i f f e r e n tn u m b e ro ff o u r i e rs e r i e s t h ec o m p u t a t i o n a lc o m p l e x i t y i s l i n e a r 谢t l lt h en u m b e ro ff o u r i e rs e r i e s 5 ) af a s tm e t h o do fa n a l y s i so fi n t e r c o n n e c t t r e e sb a s e do nf a s tf o u r i e rt r a n s f o r m ( f f t ) i sp r e s e n t e d t h eb e n e f i to ft h i sm e t h o d i st h a ti tc a nh 龇l d l ei n t e r c o n n e c tt r e e se x c i t e db ya n ys i g n a l t h ea b o v em o d e l sa n d m e t h o d so fa n a l y s i so fi n t e r c o n n e c tt r e e sa r em o r ea c c u r a t et h a nt h ee l m o r em o d e l a n dm o r ee f f i c i e n tt h a ns p i c e 。t h e r e f o r e ，t h e ya l es u i t a b l ef o rf a s ts i m u l a t i o na n d h i g h l e v e ls y n t h e s i si nv l s id e s i g n d y n a m i cp o w e r m o d e lo fi n t e r c o n n e c t sw i t ht r a n s m i s s i o nl i n em o d e l i s p r e s e n t e db a s e do nf o u r i e rs e r i e sa n a l y s i sa n dt h ep a r s e v a l st h e o r e m i nt h i sm o d e l ， t h ed y n a m i cp o w e rc o n s u m p t i o ni sa p p r o x i m a t e db yt h es u m m a t i o no ft h ef i r s t s e v e r a lf o u r i e r - s e r i e s b a s e dc o m p o n e n t s a n yd e s i r e da c c u r a c yc a nb eo b t a i n e db y i n c l u d i n ga p p r o p r i a t en u m b e ro fc o m p o n e n t si nt h em o d e l t h i sm o d e l c a nb eu s e dt o a n a l y z ed y n a m i cp o w e r o fs e v e r a lt y p e so fi n t e r c o n n e c t s ，s u c h a sas i n g l e t r a n s m i s s i o nl i n e ，ad i s t r i b u t e dr l ct r e ea n dc o u p l e dm u l t i p l ec o n d u c t o rt r a n s m i s s i o n l i n e s an o v e lm e t h o d o l o g yo fo p t i m i z i n gg l o b a li n t e r c o n n e c t si sp r o p o s e df o rt h eb e s t p e r f o r m a n c e ，s u c ha sd e l a y , b a n d w i d t h ，t o t a lr e p e a t e ra r e aa n d e n e r g yd i s s i p a t i o n f o r l o n gg l o b a li n t e r c o n n e c t s ，b u f f e r si n s e r t i o n ，w i d t ha n ds p a c i n go fg l o b a li n t e r c o n n e c t s a r eo p t i m i z e d f o rs h o r tg l o b a li n t e r c o n n e c t sw i t h o u tb u f f e r si n s e r t i o n ，w i d t ha n d s p a c i n go fg l o b a li n t e r c o n n e c t s a r eo p t i m i z e d t h eo p t i m a lw i d t ha n ds p a c i n gf o r d i f f e r e n tt e c h n o l o g yn o d e sf r o m13 0t o4 51 1 i na r ea l s op r o v i d e d t w 0t e s tm e t h o d st ov a l i d a t ei n t e r c o n n e c tp a r a m e t e r se x t r a c t i o na r ep r e s e n t e d ， w h e r ei i l _ t e r c o m l e c t si n0 2 5 啪a n do 18u mt e c h n o l o g ya r eu s e da se x p e r i m e n t a l e x a m p l e s i nt h e f i r s tm e t h o d ，sp a r a m e t e r st e s t e d a r et r a n s f o r m e dt op a r a s i t i c i n t e r c o n n e c tp a r a m e t e r s t h e nt h ep a r a s i t i ci n t e r c o n n e c tp a r a m e t e r s t e s t e da r e c o m p a r e dw i t ht h o s ee x t r a c t e db yn u m e r i c a lm e t h o d s i nt h e s e c o n dm e t h o d ，m e p 撇s i t i ci n t e r c o n n e c tp a r a m e t e r sf r o mn u m e r i c a lm e t h o d s a r et r a n s f o r m e dt os p a r a m e t e r s t h e nt h esp a r a m e t e r sf r o mn u m e r i c a lm e t h o d sa r ec o m p a r e d w i t ht h o s e t e s t e d 2 a b s t r a c t t h ee f f e c t so fv l s is y s t e md e s i g no ni n t e r c o n n e c tp e r f o r m a n c ea r er e s e a r c h e d 、i t l la l le f f i c i e n te u c l i da r c h i t c t u r ea sa ne x m p l e t h ea p p l i c a t i o no ft h ed e g r e e p r o p e r t i e so fe u c l i da l g o r i t h mt ot h i sa r c h i t e c t u r ec a l lr e d u e ca b o u t3 0 g a t e s ，a n d d e c r e a s ea b o u t3 0 i n t e r c o n n e c td e l a ya n da b o u t6 i n t e r c o n n e c tp o w e r t h e r e f o r e ， g o o ds y s t e md e s i g nc a n n o to n l yr e d u c eh a r d w a r er e s o u r c e sb u ta l s oi m p r o v e i n t e r c o n n e c tp e r f o r m a n c e k e y w o r d s ：h i g h s p e e di n t e g r a t e dc i r c u i t s ，i n t e r c o n n e c t ，s i g n a lr e s p o n s e ，d e l a y ， p o w e rc o n s u m p t i o n ，a n a l y s i sa n do p t i m i z a t i o n 3 一 上海交通大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外， 本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式 标明。本人完全意识到本声明的法律结果南本人承担。 学位论文作者签名：疹如番 日期：砧习年 l 罗月幻日 上海交通大学 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权上海交通大学可以将本学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 保密口，在一年解密后适用本授权书。 本学位论文属于 不保密日。 ( 请在以上方框内打“4 ”) 学位论文作者签名：杏璐 目期：嘲年罗月加e t 指导教师签名：历兀微 p 日期：节罗月日 第一章绪论 1 1 研究背景 第一章绪论弟一旱珀i 匕 集成电路( i c ) 的到来引起了场深刻的电子革命，迎来了多媒体通信飞速 发展的信息化时代。自从集成电路发明以来，由于信息技术发展的强力推动，集 成电路一直向着高工艺水平、高集成度、高时钟频率和低功耗的方向发展 1 。 集成电路的规模一直按照摩尔所提出的每2 6 个月翻番的规律向前发展，经 历了小规模集成( s s i ) 、中规模集成( m s i ) 、大规模集成( l s i ) 、超大规模集成 ( v l s i ) 、达到了今天的特大规模集成( u l s i ) 和系统集成( s o c ) 水平 2 3 。 图1 - 1 显示了i n t e l 处理器中晶体管数量随时间的变化。i n t e l 处理器从最初 4 0 0 4 型号的干门级规模已经发展到如今p e n t i u m4 型号的千万门级规模。此外 集成电路的时钟频率也随摩尔定律以指数增长。图卜2 显示了i n t e l 处理器的时 钟频率随时间的变化。i n t e l 处理器的时钟频率从最初4 0 0 4 型号的兆赫兹( m h z ) 发展到如今p e n t i u m4 型号的吉赫兹( g h z ) 。集成电路规模的不断扩大和工作频 率的不断提高，离不开集成电路工艺的进步。图卜3 显示了集成电路特征尺寸随 时间的变化。集成电路的特征尺寸以每2 3 年以3 0 的速度减小，从最初的1 0 微米( u r n ) 工艺发展到现在的0 0 9u m 工艺 4 。集成电路特征尺寸的缩小，使 得门电路的时延随之降低。然而工艺尺寸的缩小伴随着集成度的提高，使得互连 线的截面积缩小、长度增加，导致互连线的时延增加 5 。图卜4 显示了时延随 工艺尺寸的发展趋势。目前大多数集成电路采用铝( a 1 ) 作为互连线，采用二氧 化硅( s 1 0 。) 作为介质。如果采用高成本的铜( c u ) 互连和低k 介质材料工艺虽然 可以降低互连线的时延，但是无法改变互连线的时延随工艺发展而增加的趋势 【6 】。在0 2 5 u m 工艺的集成电路中，互连线对信号的时延占到电路总时延的5 0 以上。根据国际半导体协会( i t r s ) 的最新发布【7 】，当v l s i 的特征尺寸达到 1 0 0 纳米( n r n ) 时，互连线时延是门电路时延的1 0 0 倍。集成电路中高达吉赫 兹的时钟频率使得互连线表现出微波传输线效应【8 】，引起信号完整性问题 【9 】- 2 0 】。互连线对高速信号的影响有以下几个方面： 上海交通大学博士学位论文 2 - 1 0 0 0 ，0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 o 1 0 0 0 0 0 0 0 1 o 1 i 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 ，0 0 0 p e n t i u m 4 。只绷u ! 山 0 ，过阻尼响应发生： y o ) = v o ( 1 一垒一p + 卫p 5 z ) 一s i 屯一s l 其：= 等。 ( 2 1 7 ) 第二章树型互连线的信号响应分析 ( 2 ) 当a ：0 ，临界阻尼响应发生： = v o 1 - ( 1 + 差， ( 3 ) 当a 0 ，欠阻尼响应发生： y c 。= 圪 1 、a 2 + 1 8 2 ：p 一埘s m c 伊+ 夕， 靴= 去世筹耻一 ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) 采用曲线拟合法可以得到树型互连线的时延解析公式。其中文献 7 】提出： t a = 1 0 4 7 e x p ( 隶) 厅i + 0 - 6 9 5 ( 叫) ( 2 2 。) 文献【1 1 】提出： l n 2 m 1 1 噜私猢 亿2 d 1 烈丽b 鼋2 舭 o 1 一e 一音+ 兰单纪一言：o m ： 1 - e - a ( c 。s 肛+ m i 产- 2 - 啊s i n f l t ) o 一 一m 1 履 2 m 2 2 4 2 实验验证 ，毛2 掣，= 一箭一景，夕= 篆 4 0 0 u m n 3 图2 - 1 0 实验采用的时钟树 f i g 2 - 10t h ec l o c kt r e ei ne x p e r i m e n t s ( 2 3 4 ) 3 1 上海交通大学博士学位论文 t i m e ( 10 。1 0 s ) 图2 - 1 1n 3 节点时域响应 f i g 2 - 11t i m ed o m a i nr e s p o n s e so f n 3 表2 - 3 时延比较 t a b l e2 - 3c o m p a r i s o no fd e l a yv a l u e s 节点 s p i c e 新模型( e r r o r )e l m o r e 模型( e r r o r ) n 1 2 1 n s 2 4 n s ( 1 4 8 )1 1 n s ( 4 7 6 ) n 22 1 n s 2 4 n s ( 1 4 8 )1 1 n s ( 4 7 6 1 n 31 8 n s 2 0 n s ( 11 1 )0 9 n s ( 5 0 0 、 n 41 4 n s 1 8 n s ( 2 2 2 )0 8 n s ( 4 2 9 ) n 50 8 n s 1 0 n s ( 2 5 0 ) 0 6 n s ( 2 5 0 ) n 61 1 n s 1 2 n s ( 9 0 9 )0 6 n s ( 4 5 5 ) 实验采用的时钟树如图2 1 0 所示。时钟树的参数为：咒= 6 3 2 0q ， g = c h = 4 0 i f ，= 0 1 4 8q u m ，c = 0 1 8f f u m ，= 6 4n h f u m 。为了验证模型 的有效性，该模型与s p i c e 和e l m o r e 模型进行了比较。以n 3 节点为例，各 种方法的时域响应如图2 1 l 所示。图2 1 0 时钟树的各节点的时延见表2 3 。作 者提出的时延模型的平均误差为1 6 2 ，而e l m o r e 时延模型的误差高达 4 3 3 。因此作者提出的时延模型比e l m o r e 模型更加精确。 第二章树型互连线的信号响应分析 2 4 3 结论 作者提出了具有缓冲器插入的时钟树时延模型。该时延模型的特点是：( 1 ) 时钟树的所有互连线采用传输线模型；( 2 ) 时钟树采用了缓冲器插入结构；( 3 ) 采 用二阶矩量匹配对传输函数降阶，可以逼近各种阻尼响应；( 4 ) 适用于高速时钟 树的时延分析与高层次综合和优化。 2 5 基于矩量匹配的树型互连线时域响应分析方法 本节提出了基于矩量匹配的树型互连线时域响应分析方法【2 0 卜 2 2 】。2 5 1 小节给出了新方法的介绍。2 5 2 小节对新方法进行了实验验证。2 5 3 小节得出 了结论。 2 5 1 方法介绍 图2 1 2 树型互连线 f i g 2 1 2g e n e r a li n t e r c o n n e c tt r e e 树型互连线的拓扑结构如图2 1 2 所示。将树型互连线按照由根节点到叶子 节点分层，其总的层次用刀表示，则图2 1 2 所示树型互连线的层次n = 2 。用i 表示层次索引，则第f 层的第各节点用n ( i ，歹) ( i = o ，1 ，刀一1 ；j = o ，1 ，2 一1 ) 表 示。树型互连线的根节点为u ( 0 ，0 ) ，其叶子节点为u ( n ，j f ) ( = o ，1 ，2 詹- 1 ) 。叶 上海交通大学博士学位论文 子节点n ( n ，) 的负载电容为q ( = o ，1 ，2 ”一1 ) 。丁( f ，_ ，) 表示节点( f ，) 和它的 父子节点间的传输线。 h 确丽 圪 图2 1 3 单根传输线 f i g 2 13s i n g l et r a n s m i s s i o nl i n e 在该方法中，树型互连线中的每一条分支线都采用具有分布r l c 参数的传 输线模型，其结构如图2 1 3 所示。单根传输线的a b c d 矩阵定义为： 嘲= ( 矧( 黝 亿3 5 ， 其中a b c d 参数及其泰勒级数展开如下： a = c o s h ( o h ) _ l + 刍乃2 煅+ 睦也+ 雨1 刀4 厂2 叩2 2 + 曰= z os i n n ( o h ) = 砌+ ( t h + j 1 1 r 2 幽3 唔砌3 + 击 2 西j 2 + ( 2 3 6 ) 强去酊鄙聃刍矿 传输线的特性阻抗z 。= o + s 1 ) ( s c ) ，传播常数0 = + s 1 ) s c ，长度为h 。， ，和c 分别代表传输线单位长度的电阻、电感和电容。 除了叶子节点，每一个节点n ( i ，j ) 都有两个分支，分别是位于n ( i ，歹) 和 n ( i4 - 1 , 2 j ) 之间的左分支t ( i + 1 , 2 j ) 以及位于n ( i ，j ) 和n ( i + 1 , 2 j + 1 ) 之间的右分 支r ( i - 4 - 1 , 2 j + 1 ) 。巧( ，) 代表t ( i + 1 , 2 j ) 在节点n ( i ，) 的电压。一( f ，) 代表 t ( i + 1 ，2 _ ，+ 1 ) 在节点n ( i ，j ) 的电压。v ( i ，j ) 是n ( i ，) 的节点电压。i t ( f ，j ) 代表 第二章树型互连线的信号响应分析 r ( f + l ，2 j ) 在n ( i ，_ ，) 节点处流过的电流。l ( f ，) 代表丁( f + 1 , 2 j + 1 ) 在n ( i ，歹) 节点 处流过的电流。，( f ，) 代表丁( f ，) 在( f ，_ ，) 节点处沉过的电流。根据基尔霍天定 律，有如下公式： g ( i ，_ ，) = y ，( f ，) = 杉( f ，) ( 2 3 7 ) ，( f ，歹) = l ( f ，歹) + i ( f ，j ) ( 2 3 8 ) t ( i ，) 、的a b c d 参数分别定义为a ( i ，) 、b ( f ，歹) 、c ( f ，歹) 和d ( f ，_ ，) 。根据a b c d 矩阵定义有如下公式： 陇烈 a ( ，i + 1 , 2 j 1 , 2 j ) 嚣：舄心i ( i 二1 1 , 2 2 j 力) 、j i ( f ，) 、 ， 。d ( f + l ，2 ，) l + 、。 ( 篇名) = a ( i + 1 , 2 j + 1 t , c o1 , 2 j ；嚣：= ：z ：若) ( z 二甾二0 ) c 2 朋， ，( ，_ ，) j) d ( f + 1 ，2 + 1 ) 八，( f + 1 ，2 + 1 ) 、7 流过叶子节点n ( i ，j ) 的电流为： ，( 疗，j ) = s q y ( 刀，j ) ( 2 4 1 ) 输入节点电压为 吃= a ( o ，o ) v ( o ，o ) + b ( o ，0 ) i ( 0 ，0 ) ( 2 4 2 ) 为了得到树型互连线的精确传输函数，必须建立各节点的电流和电压间的关 系式。基于此目的，引入参数x ，( f ，j ) 、x r ( f ，_ ，) 、x ( i ，) 和z ( ，) ，它们各自的定 义如下列公式： 州“) = 揣 硝“) = 而 ( 2 4 4 ) 坤= 嵩岛 ( 2 4 5 ) 棚= 鼍静= 而x t ( i , j ) 其中x ，( f ，) 、x r ( f ，j ) f f dx ( i ，_ ，) 建立了各节点电压和相应的叶子节点电压的关系。 上海交通大学博士学位论文 z ( f ，) 建立了叶子节点之间的电压关系。由公式( 2 3 7 ) n - i 得 x ( f ，) = x ，( f ，)( 2 4 7 ) 对于根节点 对于叶子节点 邶o ) = 器 x ( n ，歹) = 1 同样地，y t ( i ，j ) 、y ，( f ，j ) 和y ( i ，j ) 按照下列公式定义： 以“) = 揣 鹏舻丽糯 加= 揣 ( 2 4 8 ) ( 2 4 9 ) ( 2 5 0 ) ( 2 5 1 ) ( 2 5 2 ) 朔( f ，_ ，) 、y ，( f ，) 和y ( i ，_ ，) 建立3 - 各分支电流和相应叶子节点电压的关系。根据公 式( 2 3 8 ) 、( 2 4 6 ) 、( 2 5 0 ) 、( 2 51 ) 和( 2 5 2 ) ，可得 y ( i ，) = 少，( ，) + y ，( f ，j ) z ( i ，) ( 2 5 3 ) 对于根节点有 删) = 器 对于叶子节点有 y ( n ，) = j q ( 2 5 5 ) ： 根据公式( 2 3 9 ) 、( 2 4 0 ) 、( 2 4 3 ) 、( 2 4 4 ) 、( 2 5 0 ) 和( 2 51 ) ，可以得到： (苫：、1=、a(、i+1,，2j；。b(vi+l。,，22j)ylyx(【fi+l。,，22jj)j 2 j_ ，勺 ，( 2 5 6 ) l j ，( f ，、，) d v + 1 ，2 l y 【f + 1 ，2 _ ，) j 7 p (；：g：；=a(i+1,2j+1；b(i+l,，22j+l。)ylyx(vi+l。,，2j+1c(i+i2 j + ld ( i + i2 j + 1 ) j 2 5 7 ) h ( f ，歹) 厂) ，2 + 1 从y v + l ， 一 第二章树型互连线的信号响应分析 开始) 初始化 x ( n ，_ ，) = 1 y ( n ，) = s c j ( j = 0 ，1 ，2 “一1 ) f = n l 一一一 卜 n o 。 l f - 1j = 0 jl ：， f7 、i ：l 一一 、，s 么一! ) 卜1 ，十十 厂s 。l 计算 x ，( f ，) y ，( f ，) x ，( i ，) j ，( i ，) z ( i ，_ ，) x ( i ，) y ( i ，_ ，) 计算 h ( 5 ) i ， ( = 0 ，1 ，2 ”一1 ) 土 二警束) 图2 1 4 树型互连线传输函数的速代算法 f i g 2 14i t e r a t i v em e t h o do fc o m p u t i n gt h et r a n s f e rf u n c t i o n so fi n t e r c o n n e c tt r e e s 由以上公式可以得到x ( o ，0 ) 和y ( o ，o ) 。叶子节点n ( n ，o ) 的传输函数为： 耶) i 。= 半= 丽丽而而1 丽 ( 2 5 8 ) 其它叶子节点的传输函数为： 日( s ) i ：。，p ：一。= z ( ，) ( s ) i ：。 ( 2 5 9 ) 上述计算树型互连线传输函数的迭代算法可以用图2 1 4 所示的流程图更加 上海交通大学博士学位论文 清晰描述。该迭代算法分为三步：( 1 ) 初始化叶子节点的x 和y 参数；( 2 ) 按照 由叶子节点到根节点的顺序分层逐个计算各网络节点的x ，y 和z 参数；( 3 ) 迭 代结束，计算树型互连线的传输函数。 事实上，以上计算树型互连线传输函数的迭代算法中，互连线可以采用任何 模型，只要将不同互连线模型的a b c d 参数代入计算即可。上述迭代算法求得的 传输函数是精确的。考虑到求得的传输函数是双曲函数，计算其时域响应非常复 杂，因此这里采用矩量匹配对传输函数进行降阶，从而简化求解。单根传输线的 a b c d 参数的矩量匹配如公式( 2 3 6 ) 所示。为了计算方便，在传输函数的迭代计 算过程中也采用了矩量匹配。 传输函数的计算过程中包括了函数的加法、乘法和除法。因此需要对函数的 加法、乘法和除法分别进行矩量匹配。两个函数a ( s ) 和以( s ) 的加法、乘法和除 法的矩量匹配分别为： ：( j ) + 左( s ) = l ( o ) + 五( o ) 】+ 【z ( o ) + 五。( o ) 】s + 【i 1z 飞o ) + 去厶t ( o ) 】s 2 + ( 2 6 0 ) a ( s ) l 0 ) = 石( o ) 以( 0 ) + 【z ，( 0 ) 五( o ) + z ( 0 ) 厶t ( 0 ) p 1 1(261)it1 + 【二z ”( o ) 以( 0 ) + 石( o ) 正( 0 ) + i 石( o ) 五飞o ) 】s 2 + 盟：五盟+ 丛q 丛! q 2 = ! q 毖婴s l ( s ) ，l ( o ) 五2 ( 0 ) ( 2 6