（电工理论与新技术专业论文）小波变换的开关电流技术实现研究.pdf

设计实现中是非常重要的。对小波函数进行p a d 6 变换后，可以获得其频域的有理 分式逼近。这样，根据滤波器设计理论，可以非常容易地实现小波滤波器。 4 提出了基于开关电流电路实现m o r l e t 小波变换的方法。在频域实现基于 开关电流双线性积分器采用跳耦法模拟梯形无源滤波器构造了高斯带通滤波器， 从而实现m o r l e t 小波变换及重构滤波器。利用开关电流电路的特性，只需设计一 对分解和重构滤波器便可实现二进小波变换，其实现方法简单，有利于制成实用 集成芯片。在时域提出基于开关电流技术的m o r l e t 小波变换的时域电路实现方法， 首次利用开关电流电路构造了高斯函数发生器，解决了m o r l e t 小波变换时域开关 电流电路实现的关键问题。 5 在用开关电流电路实现高斯函数单元的基础上，提出了一个将高斯单元作 为系统中共享单元的小波变换实现结构。通过分析三类具有相似结构的小波函数， 即m a r r 小波、m o r l e t 小波和d o g 小波，分别在时域和频域内提出了具有共享单 元阵列的小波变换系统，为将小波变换从目前仅局限于专用小波变换处理器应用 向适合多种信号处理的通用型小波变换处理器应用的发展提供了有益的参考。此 外，对正交小波变换进行了研究，采用l a g u e r r e 结构完成了正交小波变换的开关 电流电路实现。 关键词：小波变换；开关电流技术；滤波器；时域；频域；p a d 6 逼近 m a b s t r a c t w a v e l e tt r a n s f o r m ( w t ) ，b e i n gc a l l e dm a t h e m a t i c a lm i c r o s c o p e ，h a sb e e nan e w s t y l em a t h e m a t i ca n a l y s i sm e t h o da n dg e n e r a t e dat r e m e n d o u si n t e r e s t i nb o t h t h e o r e t i c a la n da p p l i e da r e a s ，e s p e c i a l l yo v e rt h ep a s tf e wy e a r s t h ew a v e l e t t r a n s f o r mi sal i n e a ro p e r a t o rt h a td e c o m p o s e sas i g n a li n t oc o m p o n e n t st h a ta p p e a ra t d i f f e r e n ts c a l e sa n dg i v e sg o o de s t i m a t i o no ft i m ea n df r e q u e n c yl o c a l i z a t i o n w a v e l e t t r a n s f o r mi sap o w e r f u lt o o lf o ra n a l y z i n gn o n s t a t i o n a r ya n df a s tt r a n s i e n ts i g n a l sf o r i t se x c e l l e n tc h a r a c t e r i s t i cs ot h a ti th a sf o u n dw i d e s p r e a du s ei nv a r i o u ss i g n a l p r o c e s s i n ga p p l i c a t i o n s ，s u c h a s i m a g ep r o c e s s i n g ，s p e e c ha n a l y s i s ，p a t t e r n r e c o g n i t i o n ，s i g n a ld e t e c t i o n ，f e a t u r ea b s t r a c t i o n ，f a u l td i a g n o s i sa n do r i e n t a t i o n ，d a t a c o m p a c t ，e t c t h e r ee x i s t st w ow a y sf o rt h er e a l i z a t i o no fw a v e l e tt r a n s f o r l n t h ed i s c r e t e w a v e l e tt r a n s f o r m ( d w t ) a n dt h ec o n t i n u o u sw a v e l e tt r a n s f o r m ( c w t ) h o w e v e r , ap r i n c i p a lo b s t a c l et ot h ew i d e ru t i l i z a t i o no fw a v e l e tt r a n s f o r mi st h eh e a v y c o m p u t a t i o n a lc o s t c o n s e q u e n t l y , a n a l o gi m p l e m e n t a t i o n so fw th a v eb e e n a n a t t r a c t i v eo p t i o nt oa c h i e v er e a l t i m ep e r f o r m a n c e o n eo ft h em a i np r o s p e c t i v e d e v e l o p i n gd i r e c t i o n so fv l s ii st h ei m p l e m e n t a t i o no fl o w - v o l t a g e ，l o w p o w e r a n a l o gc i r c u i t s ，f o rw h i c hs w i t c h e dc u r r e n t ( s i ) t e c h n i q u ei sa na t t r a c t i v e s o l u t i o n t h es w i t c h e dc u r r e n tt e c h n i q u e ，b a s e do nc u r r e n tm o d e ，i sar e l a t i v e l yn e wa n a l o g s a m p l e d d a t as i g n a lp r o c e s s i n gt e c h n i q u et h a ta i m st or e p l a c es w i t c h e d - c a p a c i t o r s ( s c ) i nc o n t r a s tt ot h es ct e c h n i q u e ，w h i c hr e q u i r e san o n s t a n d a r dd i g i t a lc m o s p r o c e s st or e a l i z ef l o a t i n gl i n e a rc a p a c i t o r s ，s it e c h n i q u ec a np e r f o r ma c c u r a t es i g n a l p r o c e s s i n gf u n c t i o n si nas t a n d a r dd i g i t a lc m o sp r o c e s sw i t h o u tt h ed i r e c tu s e o fa n y c a p a c i t o r m o r e o v e r , t h es it e c h n i q u ed o e sn o tu t i l i z ec m o so p a m p sb u tr a t h e r p e r f o r m si t se n t i r ea n a l o gs i g n a lp r o c e s s i n gw i t hm u c hs i m p l e rc u r r e n tm i r r o r s i na w o r d ，t h ea d v a n t a g e so ft h es ia r ei t ss i m p l i c i t yo fi m p l e m e n t a t i o n ，p o t e n t i a lf o rh i g h s p e e d 1 0 w v o l t a g eo p e r a t i o na n dc o m p a t i b i l i t y 耐t hd i g i t a lc m o sp r o c e s s e s ，w h i c h i sa na t t r a c t i v ef e a t u r ed u et ot h et e n d e n c yf o rt h ei n t e g r a t i o no fl a r g ea n a l o g d i g i t a l s y s t e m si nas i n g l ec h i p i nt h i sp a p e r , t y p i c a li m p l e m e n t a t i o n so fw ta r eg e n e r a l i z e d t h e s y s t e m i c r e a l i z a t i o n so fw t b a s e do ns ic i r c u i t s ，a r ef i r s t l yp r o p o s e d t h er e s e a r c hi sc a r r i e d o u ti nt h ef o l l o w i n ga s p e c t s ： i v 1 t h es o l u t i o nm e t h o d so fw tb a s e do nf r e q u e n c y - d o m a i n ，u s i n gs ic i r c u i t s ，a r e s t u d i e ds y s t e m a t i c a l l y c o m p l e xd e m o d u l a t i o ns c h e m ei sp r o v i d e df o rr e a l i z i n gw t b a s e do ns ic i r c u i t s t h es ic i r c u i t s ，i n c l u d i n gs io s c i l l a t o r , s im u l t i p l i e ra n ds i g a u s s i a nl o wp a s sf i l t e r , a n dt h es y s t e ma r eb o t hg i v e na n dv e r i f i e db ys i m u l a t e d r e s u l t s 2 m e t h o df o rr e a l i z i n gt i m e d o m a i nw t u s i n gs it e c h n o l o g yi sp r e s e n t e di nt h i s p a p e r , w h i c hi ss h o w na n e ww a yf o rf a s ti m p l e m e n t a t i o no fw tb a s e do na m p l i t u d e m o d u l a t i o nt e c h n i q u e sf o rg e n e r a t i n gw a v e l e tc h a i n s il o wp a s sf i l t e ri ss y n t h e s i z e d w i t hs ii n t e g r a t o r sb a s e do nb i l i n e a rt r a n s f o r n l t h u s ，i tp r o v i d e sas o l u t i o nt o m a n u f a c t u r ei n t e g r a t e dc h i po ft i m e - d o m a i nw t t h es il o wp a s sf i l t e ri ss i m u l a t e d u s i n ga s i za n ds h o w nt ob ea b l et om e e tt h en e e d so ft i m e - d o m a i nw t t h e n t h e g o o dp e r f o r m a n c eo ft i m e - d o m a i nw t i sv e r i f i e db ys y s t e ms i m u l a t e dr e s u l t s 3 p a d da p p r o x i m a t i o ni sp r o p o s e df o rt h ei m p l e m e n t a t i o no fw a v e l e tf i l t e r w a v e l e tf i l t e rb a n k s ，w h o s ei m p u l s er e s p o n s e sa r et h ef i r s td e r i v a t i v eo fg a u s s i a na n d i t sd i l a t i o n s ，p l a yak e yr o l ei na n a l o gv l s ii m p l e m e n t a t i o no fw a v e l e tt r a n s f o r m t h et r a n s f e rf u n c t i o n so ft h ef i l t e r sc a nb eg i v e nb yp a d da p p r o x i m a t i o n ，w h i c hi s a b l et od e c o m p o s et h et r a n s f e rf u n c t i o ni n t or a t i o n a lf o r ms oa st ob ec o n v e n i e n t l y i m p l e m e n t e db ys ic i r c u i t s s o ，i ti se a s yf o ra c h i e v ew a v e l e tf i l t e r sa c c o r d i n gt ot h e b a s i ct h e o r yo ff i l t e r 4 m e t h o df o rr e a l i z i n gm o r l e tw a v e l e tt r a n s f o r mu s i n gs ic i r c u i t si sp r e s e n t e di n f f e q u e n c y - d o m a i na n dt i m e - d o m a i n ，r e s p e c t i v e l y i nf r e q u e n c y - d o m a i n ，s ii n t e g r a t o r s a r eu s e dt os y n t h e s i z eg a u s s i a nb a n dp a s sf i l t e rb yu s i n gl e a p f r o gc o n f i g u r a t i o nt o s i m u l a t ep a s s i v el a d d e rf i l t e r t h e n ，m o r l e tw a v e l e tf i l t e ra n dr e c o n s t r u c t i o nf i l t e ra r e s y n t h e s i z e d o n l yo n ec o u p l eo fw a v e l e tf i l t e ra n dr e c o n s t r u c t i o nf i l t e ra r en e e d e dt o b ed e s i g n e dt or e a l i z ed y a d i cw a v e l e tt r a n s f o r ma c c o r d i n gt ot h ep e r f e c tc h a r a c t e ro f s i t h ep r o v i d e dm e t h o di ss i m p l et ob ei m p l e m e n t e da n dp r o p i t i o u st ob eu s e dt o m a n u f a c t u r ei n t e g r a t e dc h i p m e t h o df o rt h ed e s i g na n di m p l e m e n t a t i o no fm o r l e t w a v e l e tt r a n s f o r mi nt i m e d o m a i n ，u s i n gs w i t c h e dc u r r e n tc i r c u i t s ，i sp r o p o s e d t h e s io a u s s i a nf u n c t i o ng e n e r a t o r , p l a y i n gak e yr o l ei nt h ei m p l e m e n t a t i o no fm o r l e t w a v e l e tt r a n s f o r m ，i sf i r s t l yr e a l i z e du s i n gs ic i r c u i t s 5 b a s e do nt h ei m p l e m e n t a t i o no fg a u s s i a nu n i tu s i n gs ic i r c u i t s n e ww t s y s t e m sw i t hs h a r eu n i t sa r r a yh a v eb e e np r e s e n t e db ya n a l y z i n gt h r e ek i n d so f e x p r e s s i o n so fw a v e l e tf u n c t i o n s ，i n c l u d i n gm a r rw a v e l e t ，m o r l e tw a v e l e ta n dd o g w a v e l e t w h i c hh a v es i m i l a rc o n s t r u c t i o na c c o r d i n gt ot h ee x p r e s s i o no fw tb o t hi n t i m e - d o m a i na n df r e q u e n c y - d o m a i n i ti sv e r yu s e f u lf o rt h ep r e s e n t e ds y s t e mt o v 小波变换的开关电流技术实现研究 c h a n g ea i m so fw a v e l e tt r a n s f o r mc h i p sf r o ms p e c i f i ca i m st og e n e r i ca i m s t h e n ，t h e o r t h o g o n a lw a v e l e tt r a n s f o r mi sd i s c u s s e d ，w h i c hi si m p l e m e n t e db ys ic i r c u i t su s i n g l a g u e r r es t r u c t u r e k e yw o r d s ：w a v e l e tt r a n s f o r m ；s w i t c h e dc u r r e n tt e c h n o l o g y ；f i l t e r s ；t i m e d o m a i n ； f r e q u e n c y d o m a i n ；p a d 6a p p r o x i m a t i o n v i 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所 取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任 何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的 法律后果由本人承担。 作者签名： l 柏潞 日期：堋年d n 学位论文版权使用授权书 夕日 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文 被查阅和借阅。本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编 入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇 编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密团。 ( 请在以上相应方框内打“4 ”) 作者签名：气喝 导师躲弓w 日期：砷年5 - , e j7 日 醐岬钻月厂日 1 1 课题的背景和意义 第1 章绪论 小波变换是目前国际上最新的时频分析工具，因其具有多分辨率和时频局域 化的特点，被誉为分析信号的数学显微镜，特别适合处理非平稳信号【l 巧】。随着小波 变换与工程应用研究的结合日益紧密，它已被广泛应用于信号检测、图像处理、 数据压缩等方面。开关电流( s w i t c h e dc u r r e n t ，简记为s i ) 技术是基于电流模式的 技术，它用离散时间的取样数据系统处理连续时间的模拟信号【6 】。在模拟集成技 术中，基于电流模式的开关电流技术是当今的前沿课题，其主要原因是电流模式 的开关电流电路作为集成电路中的单元适于超大规模集成电路( v e r yl a r g es c a l e i n t e g r a t i o n ，简记为v l s i ) 的实现，较之电压模式的电路能获得更好的性能，符合 集成电路制造工艺向深亚微米发展的趋势【7 ，s j 。 随着超大规模集成电路技术近年来突飞猛进的发展，低功耗设计已经成为所 有高性能电子设备所必须遵循的规范。低功耗设计的限制因素主要有电源电压、 阈值电压、比例调节以及互连线路等。现代集成电路制造追求的是低造价、低功 耗以及数模混合的单片集成，这就使得系统的模拟部分要能用标准数字集成工艺 制造。而已经发展得比较成熟的开关电容( s w i t c h e d c a p a c i t o r ，简记为s c ) 技术需 要使用线性浮置电容，这种电容通常是用双层多晶硅实现，而双层多晶硅在工艺 尺寸缩小到深亚微米范围后可能变得不适用；向深亚微米工艺发展的趋势还导致 电源电压降低，直接减小适用于开关电容上的最大电压摆幅，因而减小它们最大 可达动态范围。在这种背景之下，近年来提出了基于电流模式的开关电流技术， 且其研究迅速发展，在模拟取样数据处理领域有取代开关电容技术的趋势一j 。 开关电流技术是一种电流模式的模拟取样数据信号处理技术，具有电流模式 电路的高速、频带宽、线性好和电压低的特点。它具有不需要浮置电容、工作电 压低、功耗低、动态范围大等优点。s i 电路用电流取样表示电路的信号，使得电 源电压可以降低到集成电路工艺中提出的低电压标准，而信号的动态范围不会直 接受到影响，其基本原理是利用m o s 晶体管的栅极存储能力，即通过存储在栅极 氧化层电容上的电荷维持其漏极电流的能力。因此s i 技术不需要像s c 技术那样 接线性浮置电容来实现精确的比值关系，而只要通过修改m o s 管的尺寸之比就可 以得到所需的比值关系【“”。 信号的小波变换常用离散小波变实现，其运算量大，难以满足实时性的要求。 基于此，近年来人们开始致力于小波变换模拟硬件实现的研究。用模拟电路实现 小渡燹抉的开关电流技术实现研究 小波变换相对于用数字电路实现小波变换而言具有明显的优势：模拟电路实现小 波变换不需a d 和d a 转换，处理速度高，避免了两次a d 、d a 转换引起的信 号失真；采用模拟方法处理信号的频率范围宽，可以达到高频率段，而功耗却不 因此而增加；用模拟法实现的小波变换电路便于制成一体化集成芯片。 从上述可见，要推广小波变换的实际应用，在很多场合由于小波变换的数字 实现算法复杂、实时性差，阻碍了小波变换的应用且极大地限制了小波变换的应 用范围。而开关电流技术与数字c m o s 工艺技术完全兼容，具有低电压、低功耗及 高速度等优点【7 母】。开关电流技术预示着模拟取样数据信号处理新纪元的到来，促 进了标准数字工艺技术的混合信号v l s i 的复兴。基于此，本文提出将开关电流电 路理论与设计技术用于小波变换的模拟硬件实现，这将会把小波变换的实现研究 带入一个新的领域，对推动将开关电流电路理论与设计技术应用于小波变换及其 实现、建立和发展新学科、推动小波理论的发展及其广泛应用有着重要的理论意 义和实际价值。 1 2 小波变换理论 信号处理技术是科技发展的重要组成部分，被广泛地应用于通信、医学、航 空航天等领域。对信号进行处理是为了实现对信号准确的分析、有效的编码、快 速的传递和完整的重构。信号通常被分为平稳信号与非平稳信号。研究稳定信号 的理想工具是傅里叶变换。而对于非稳定信号的研究，由于瞬变信号不能事先确 定，需要不同于傅里叶分析的数学工具一一小波变换。 小波变换是自1 9 8 6 年以来因y m e y e r 、s m a l l a t 及i d a u b e c h i e s 等的研究 而迅速发展起来的一门新兴学科。小波变换的早期发展可以追溯到h a a r 于1 9 1 0 年提出的小波规范正交基。在1 9 3 0 年前后出现了许多与小波有关的研究，其中包 括l e v y 、l i t t l ew o o dp a l e y 、f r a n k l i n 及l u s i n 等的研究。1 9 3 8 年p a l e yl i t t l e w o o d 提出按照二进制频率成分分组的理论。而与现代小波变换有关的主要工作是 上世纪6 0 年代c a l d e r o n 提出的再生公式以及上世纪8 0 年代g r o s s m a n n 与m o r l e t 提出的“原子分解”。1 9 8 1 年s t r o m b e r g 对h a a r 小波系作出了改进。1 9 8 4 年m o r l e t 和g r o s s m a n n 提出按一个确定函数的伸缩平移系，并对这个函数系进行函数展开 的研究。1 9 8 6 年m e y e r 构造出了具有一定衰减性质的光滑小波函数。继m e y e r 小 波提出之后，l e m a r i e 和b a t t l e 又分别独立地给出具有指数衰减的小波函数，其 伸缩平移产生的函数系构成l 2 ( r ) 的标准正交基。随后m a l l a t 提出多分辨分析的 概念，统一了在此之前s t r o m b e r g 、m e y e r 、l e m a r i e 及b a t t l e 提出的具体小波的 构造，给出了m a l l a t 算法。从多分辨分析概念出发，d a u b e c h i e s 完善了h a a r 的 研究，构造了具有有限支集的正交小波基，形成了d a u b e c h i e s 正交小波系。 d a u b e c h i e s 小波提供了比h a a r 小波更为有效的分析和综合，当被分析的函数具 有m 阶连续导数，在d b 小波基下分解的系数是衰减的。由于d a u b e c h i e s 小波具 有紧支撑，使得其性质完全是局部的。1 9 9 0 年崔锦泰和王建忠构造了基于样条函 数的单正交小波函数，并讨论了具有最好局部化性质的尺度函数与小波函数i i 。j 。 1 2 1 从傅里叶变换到小波变换 小波变换的崛起是有着深刻背景的。众所周知，传统的信号分析是建立在傅 里叶( f o u r i e r ) 变换的基础之上，由于傅里叶分析使用的是一种全局变换( 要么完全 在时域，要么完全在频域) ，因此无法表示信号的时频局域性质，而这种性质恰恰 是非平稳信号最根本和最关键的性质。为了分析和处理非平稳信号，人们对傅里 叶分析进行了推广乃至根本性革命，提出并发展了一系列新的信号分析理论，如 短时傅里叶变换、g a b o r 变换、时频分析、小波变换、r a n d o n - w i g n e r 变换、分数 傅里叶变换、调频小波变换、循环统计量理论和调幅一调频信号分析等。其中， 短时傅里叶变换和小波变换也是应传统傅里叶变换不能够满足信号处理的要求而 产生的。短时傅里叶变换分析的基本思想是：假定非平稳信号在分析窗函数g ( f ) 的 一个短时间间隔内是平稳的( 伪平稳的) ，移动分析窗函数，使f ( t ) g ( t f ) 在不同 的有限时间宽度内是平稳信号，从而计算出各个不同时刻的功率谱。图1 1 为短时 傅里叶变换窗函数分析单元的时频示意图。从本质上讲，短时傅里叶变换是一种 单一分辨率的信号分析方法，因为它使用一个固定的短时窗函数，因而短时傅里 叶变换在信号分析上还是存在不可逾越的缺陷。 f o1 f ( s ) 图1 1 短时傅里叶变换窗函数分析单元时频示意图 以上讨论说明短时傅里叶变换的分辨率是单一的，若要改变分辨率，则必须 重新选择窗函数。在分析非平稳信号时，特别是信号波形变化剧烈的时刻，主要 频率是高频，要求有较高的时间分辨率( 即仉要小) ；而波形变化比较平缓的时刻， 小踱变换的开关电流技术实现研究 主要频率是低频，要求有较低的频率分辨率( u p 盯。要小) ，而短时傅里叶变换不能 兼顾两者。因此，我们希望克服短时傅里叶变换的这些局限性，使得时间分辨率 和频率分辨率在时频平面上能够随信号的变化而变化。实现这一目标的方法就是 构造持续时间很短的高频基函数和持续时间较长的低频基函数。于是，一种新的 时频分析方法诞生了，这便是小波变换。 小波变换在时、频两域都有表征局部特征的能力，是一种窗口大小( 面积) 不 变，但其形状可以改变，且时问窗和频率窗都可以改变的时频局部化分析方法， 即在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，而在高频部分具有较 高的时间分辨率和较低的频率分辨率，这就是它优于经典的傅里叶变换和短时傅 里叶变换的地方，因而能有效地从信号中提取信息。小波变换通过伸缩和平移等 运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析，解决了傅里叶变换不能解决的许多 困难问题。 0 0z i f ( s ) 图1 2 小波基函数分析单元的时频示意图 小波变换继承和发展了短时傅里叶变换的局部化思想，同时又克服了窗口大 小不随频率变化的缺点，是比较理想的时频域分析工具。图1 2 为小波函数分析 单元的时频示意图，其中分别以口= l 2 ，口= 1 , a = 2 三种情况为例说明时间一频率窗 的可调性：当a 值小时，时轴上观察范围小，而在频域上相当于用较高频率作分 辨率较高的分析，即用高频小波作细致观察。当口值较大时，时轴上观察范围大， 而在频域上相当于用低频小波作概貌观察。分析频率有高有低，但在各时频分析 段内分析的品质因数q 却保持一致。这是一项很符合实际工作需要的特点，因此 如果希望在时域上观察得愈细致，就愈要压缩观察范围，并提高分析频率。这也 和人类对感觉信息( 如视觉、听觉) 的加工特点相一致。 原则上讲，传统上使用傅里叶分析的地方，现在都可以使用小波分析取代。 不过，小波分析仍是傅里叶分析思想方法的发展与延拓，它自产生以来，就直 与傅里叶分析密切相关，两者是相辅相成的。 1 2 2 小波变换 小波分析方法是一种时间分辨率和频率分辨率都可改变的时频局部化分析方 法，这种特性使小波变换具有对信号的自适应性5 1 。 1 2 2 1 小波变换定义 。 小波变换定义：把某一被称为基小波( 母小波) 的函数内) 作位移f 后，再在不 同尺度口下与待分析信号，( ，) 做内积【4 】： 啊如刁= 击炒睁( f ) ) 删 ( 1 - ) 其等效的频域表示是： 啊 f ) = 尝风妒岍 ( 1 2 ) 式( 1 2 ) 中f 和v 0 ) 分别为，o ) 和y o ) 的傅里叶变换，“木”表示取共轭， 即母小波可以是复函数。根据式( 1 1 ) 可以看出，f ( t ) 的小波变换是，与基小波 族在r ( r ) 上作内积。该内积也可不严格地解释为卷积，因为： ( 厂 y ( f f = f 厂伽+ ( f r ( 1 3 ) ( 厂o ) +