（系统理论专业论文）smooth群理论研究.pdf

聊城大学硕士学位论文 摘要 模糊相等 1 ( 又称为相等关系 2 ，3 、模糊等价关系 4 、相似关系 5 ，6 和模糊 算子 7 ，8 ) 以及模糊函数在范畴理论和模糊控制等领域都得到成功应用1 9 9 9 年， m d e m i r c i 9 改进了模糊相等 1 的定义，并在此基础上给出了模糊函数的新定义，讨 论了它的一些性质；他引入了模糊函数的梯度 1 0 的概念，并给出了模糊函数一些刻画， 得到了它的一些本质属性：利用不同的模糊函数定义了模糊运算，给出了两种不同的模 糊群- - s m o o t h 群 1 1 和v a g u e 群 1 2 的概念，首次将模糊相等和模糊函数的概念引入 到了模糊代数中本文就是在m d e m i r c i 的工作的基础上展开的讨论上述两种模糊 群的引入开辟了模糊代数研究的新思路，使得我们能够在经典集合上建立模糊运算，从 而建立模糊群的概念并且这两种模糊群的建立脱离了经典代数结构的限制，但又与它 有密切的联系在本文的第一章中我们得到了如下重要的结果： 定理如果口，) 是s m o o t h 群，则集合x 的商集在上述运算下做成群 ( 残，。j 对于v a g u e 群m d e m i r c i 1 2 也诱导出了经典群对于m ，d e m i r c i 的工作值得 肯定，但是仍然存在问题，第一章中我们得到强s m o o t h 群与s m o o t h 群等价，使s m o o t h 群的研究大大简化 定理伍，) 是s m o o l 群当且仅当伍，) 是强s m o o t h 群 定理设，) 是s m o o t h 群，那么 卢g ，b ，c ) 目 ，g 一1 ，c ，6 ) 口亡，从( c ，b - 1 a ) 2 臼 m d e r n i r e i 1 0 虽然引入了模糊函数的梯度的概念，但是并没有继续将其运用到 s m o o t h 群的研究中利用梯度的思想，我们改进了模糊相等和模糊函数的定义，使得 它们定义更加合理 2 0 0 1 年，m d e m i r c i 在上述s m o o t h 群的基础上考虑了s m o o t h 群的子群和同态 1 3 的概念，第二章中我们首次引进了s m o o t h 正规子群的概念，进一步给出了s m o o t h 商群 的定义( 由于梯度的引入s m o o t h 商群较 1 4 中的s m o o t h 商群更具合理性) ，并得到了 聊城大学硕士学位论文 s m o o t h 正规子群的一些重要结果 定理设z 是s m o o t h 群，) 的s m o o t h 正规予群，则其全体陪集构成的集合在上述 模糊相等和运算下仍做成s m o o t h 群 定理若z 是s m o o t l l 群似，) 的s m 0 0 t l l 正规子群，则磋兰 定理设】，和z 是s m o o t h 群伍，) 的s m o o t h 子群，r z 为的s m o o t h 正规予群， 那么z y 是z 的s m o o t h 子群 第三章我们首先继续研究了强模糊函数和极好模糊函数的一些深入的性质，获得了 一些漂亮的结果 定理设，：x l d ：y 寸z 分别是基于模糊相等互i 和墨及模糊相等疋和墨上 的可扩展的通常的函数，p 和f 分别是由f 和d 诱导的强模糊函数，则f 。p 是由d 。， 诱导的强模糊函数 m d e m i r c i 只是利用了经典函数研究了s m o o t h 群的同态，因此，第三章中我们利用 模糊函数定义s m o o t h 同态，获得了一些结果 定理设伍，) 和( y ，。) 是s m o o t h 群，f ：x 专y 是s m o o t h 同态， ( 1 ) 若a 是s m o o t h 子群，记厂0 ) = 仁y i - t sa ，口) 口，4 j ，则厂0 ) 是( y ，。) 的 s m o o t h 子群 ( 2 ) 若一是s m o o t h 正规子群，且，是s m o o t h 满同态，则厂0 ) 是( y ，。) 的s m o o t h 正规子群 定理设伍，) 和r , o ) 是s m o o t h 群，厂：x 斗】，是s m o o t h 同态， ( 1 ) 若口是( y ，。) ( f ls m o o t h 子群，记厂1 p ) = t xj ，g ，口) 口，口曰 ，贝, l j f 一1 p ) 是伍，) 的s m o o t h 子群 ( 2 ) 若曰是( r ，。) 的s m o o t h 正规子群，且，是s m o o t h 满同态，则厂1 p ) 是( z ，) 的 s m o o t h 正规子群 定理设伍，) 和p ，。) 是s m o o t h 群，f ：x 寸】，是s m o o t h 同态，则，为s m o o t h 单同 态当且仅当s k e r f = x i e 。q ，) 0 ) i i 聊城大学硕士学位论文 第一章中我们曾指出s m o o t h 群可诱导出经典群，而在第四章中我们考虑了这个问 题的反问题给定经典群，通过群以及群上的模糊正规子群定义的模糊相等诱导出 s m o o t h 群我们获得了一类s m o o t h 群的构造定理： 定理设吼是群g 的模糊正规子群且贸g ) = 1 ，则g 在上述模糊相等和模糊运算下 做成s m o o t h 群 深入研究了此类s m o o t h 群的性质，并在此定理基础上给出了s m o o t h 群的几个例子， 极大地丰富了s m o o t h 群理论，加深了对s m o o t h 群的认识 定理设婀是群g 的模糊正规子群且吼g ) = l ，则兰。 定理设g ，是s m o o t h 群，v a ，b e g ，则k 吼口j - 肛吼。j 第五章我们通过将s m o o t h 群和v a g u e 群推广来研究了s m o o t h 群和v a g u e 群之间的 联系 定理( 1 ) 极好a v a g u e 群是s m o o t h 群； ( 2 ) ，是强独点的s m o o t h 群是极好a v a g u e 群； ( 3 ) s m o o t h 群和v a g u e 群是g f 一模糊群； ( 4 ) 具有性质o ) 的v a g u e 群是极好a v a g u e 群 关键词：模糊函数，模糊相等，s m o o t h 群，梯度，s m o o t h 同态 l l i 聊城大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h ec o n c e p to f f u z z ye q u a l i t y 1 】，w h i c hi sa l s oc a l l e dt h ee q u a l i t yr e l a t i o n 2 ，3 ，t h ef u z z y e q u i v a l e n c er e l a t i o n 【4 ，t h es i m i l a r i t yr e l a t i o n 【5 ，6 】a n dt h ei n d i s t i n g u i s h a b l eo p e r a t o r 【7 ，8 ， a n dt h ef u z z yf u n c t i o n sb a s e do l lf u z z ye q u a l i t i e s ，h a sa s i g n i f i c a n tc o n c e m i nv a r i o u sf i e l d s ， s u c ha sc a t e g o r yt h e o r ya n df u z z yc o n t r 0 1 i n1 9 9 9 ，m d e m i r c i 【9 】i m p r o v e dt h ec o n c e p to f f u z z ye q u a l i t y 【1 ，a n dg a v ead e f i n i t i o no ff u z z yf u n c t i o nb a s e do nf u z z ye q u a l i t y t h e nh e i n t r o d u c e dt h ec o n c e p to fg r a d a t i o no ff u z z y ，f u n c t i o n 1 0 a n do b t a i n e ds o m ee q u i v a l e n t c o n d i t i o n so ff u z z yf u n c t i o n ，h es t u d i e st h ee s s e n c eo ft h ef u z z yf u n c t i o nb yg r a d a t i o n h e d e f i n e dt w ok i n do ff u z z yg r o u p s - - s m o o t hg r o u p ii a n dv a g u eg r o u p 1 2 】b yd i f f e r e n t f u z z yo p e r a t i o n s i ti san e wt h o u g h tt ot h ed e v e l o p m e n to ff u z z yg r o u pt h e o r y t h e s ef u z z y g r o u p sd o n td e p e n d o nc r i s pg r o u p ；a sa ne x t e n s i o no fg r o u pt h e o r y , f u z z yg r o u p sd e f i n e db y m d e m i r c ih a sac l o s er e l a t i o nt oc l a s s i c a lg r o u p i nt h i sp a p e r , w ed e e p l yd i s c u s st h e s m o o t hg r o u pa b o v e w ec a l lo b t a i nt h ef o l l o w i n gr e s u l ti nc h a p t e ro n e t h e o r e ml e t ( x , - ) b a s e do nf u z z ye q u a l i t y e x 。x o n x xx a n df u z z ye q u a l i t ye x o n x b e as m 。t hg r o u p t h e nt h eq u o t i e n t s e t 乡e x i sac l a s s i c a lg r o u pu n d e rt h e o p e r a t i 。n od e f i n e da b o v e i nc h a p t e ro n e w ep o i n to u t 姐e q u i v a l e n td e f i n i t i o nt os i m p l i f yt h es t u d yo fs m o o t hg r o u p t h e o r y t h e o r e ml e t 伍，) b a s e do nf u z z ye q u a l i t y e n z o n x x a n df u z z ye q u a l i t ye x o n x b e as m o o t hg r o u p ，t h e n a ，b ，c ) p ( 口，c ，6 ) 口( c ，6 一，口) 日 t h e o r e m 伍，) i s as m o o t hg r o u pb a s e do nf u z z ye q u a l i t ye n fo nx xxa n df u z z y e q u a l i t ye o nxi f f 伍，) i s a s t r o n g s m o o t h g r o u p b a s e do n f u z z ye q u a l i t y e x 。x o n x x x a n df u z z y e q u a l i t y e x o n x 婴垫查兰堡主堂堡堡塞 a l t h o u g hm d e m i r e ii n 订o d u c e dt h ec o n c e p to fg r a d a t i o no ff u z z yf u n c t i o n ，h ed i d n t a p p l yi tt ot h es t u d yo fs m o o t hg r o u pa n dv a g u eg r o u p i no r d e rt oe m b r a c et h et h o u g h to f g r a d a t i o n ，w ei m p r o v ef u z z ye q u a l i t ya n df u z z yf u n c t i o n t h e ya r em o r er e a s o n a b l et h a nm d e m i r e i s i n2 0 0 1 ，m d e m i r c ii n t r o d u c e dt h ec o n c e p to f s m o o t hs u b g r o u pa n di t sh o m o m o r p h i s m ，h t h i s p a p e r , w ei n t r o d u c ef i r s t l y t h ec o n c e p to fs m o o t hn o r m a ls u b g r o u p ，a n dg i v et h e d e f i n i t i o no fs m o o t hq u o t i e n tg r o u p w es t u d yt h ep r o p e r t i e so fs m o o t hn o r m a ls u b g r o u p t h e o r e ml e tzb es m o o t hn o r m a ls u b g r o u po fs m o o t hg r o u p 暖，) ，t h e nt h eq u o t i e n ts e ti s as m o o t hg r o u p t h e 。r e ml e t z b es m 。t l ln o r m a ls u b g r o u p0 f s m 。t hg r o u p ( x ，) ，t h e n 磋兰 t h e o r e ml e tya n dzb es m o o t hs u b g r o u p so f x ，a n dzb es m o o t hn o r m a ls u b g r o u p ， t h e nz yi ss m o o t hs u b g r o u po fx a l t h o u g hh ei n t r o d u c e dt h ec o n c e p to fh o m o m o r p h i s m o fs m o o t hg r o u p ，h ed o e s n ta p p l y t h ec o n c e p to ff u z z yf u n c t i o n ，b u to n l yt h eo n eo fc r i s pf u n c t i o n s oi nt h ec h a p t e rt h r e ew e c o n s i d e rt h eh o m o m o r p h i s mo f s m o o t hg r o u p sb yf u z z yf u n c t i o n ， t h e o r e ml e t ( x ，) a n d ( y ，。) b es m o o t hg r o u p s ，a n df ：x _ l ，b es m o o t h h o m o m o r p h i s m ，i fai ss m o o t hs u b g r o u po fx ，t h e n ，( 爿) = 扛y l p fa ，口7 ) 口，d a j i s s m o o t hs u b g r o u po fy a n dt h es a m et ob ， w h i c hi ss m o o t hn o r m a ls u b g r o u p t h e o r e ml e t 伍，) a n d ( y ，。) b es m o o t hg r o u p s ，a n df ：x 斗y b e s m o o t h h o m o m o r p h i s m ，i fai ss m o o t hs u b g r o u po fy ，t h e nf 。p ) b e s m o o t hs u b g r o u po fx ， a n di ti st h es a m et ob ，w h i c hi ss m o o t hn o r m a ls u b g r o u p t h e o r e ml e t ，) a n d ( y ，。) b es m o o t hg r o u p s ，a n df ：x 斗y b e s m o o t h h o m o m o r p h i s m ，t h e nf i s i f fs k e r f = a x i e za ，p t ) 0 i nc h a p t e ro n e ，w ep o i n to u tt h a ts m o o t hg r o u pb a s e do nf u z z ye q u a l i t yc a ni n d u c ea c l a s s i c a lg r o u p i nt h ec h a p t e rf o u r , w es t u d yt h ei n v e r s ep r o b l e m ：f i x e dag r o u p ，w h e t h e rw e c a no b t a i nas m o o t hg r o u pb yt h eg r o u pa n dt h ef u z z ye q u a l i t yd e f i n e do ni t s ow eh a v et h e v 塑塑查兰堕主! 垡堡塞 f o l l o w i n gr e s u l t t h e o r e ml e t 孵b eaf u z z yn o r m a ls u b g r o u po f g r o u p g ，t h e n g i sas m o o t hg r o u pu n d e r t h e o p e r a t i o n , b a s e d o n t h e f u z z ye q u a l i t i e s e g 。g a n d e g a n dw eg i v es o m ee x a m p l e so ns m o o t hg r o u pb yt h et h e o r e mt or i c h e nt h et h e o r yo f s m o o t hg r o u p t h e 。r e ml e t 蚍eaf u z z yn o r m a ls u b g r o u pw i t h 9 ( e ) 乩t h e n 兰d t h e o r e m l e t 瓯b es m o o t h g r o u p ，a n dv a ，b e g ，t h e nl a g t 日l = l 枷日i a n dw eg e tt h ec l a s s e so f s r n o o t hg r o u pb yt h ef u z z yn o r m a ls u b g r o u p h lt h el a s tc h a p t e r , w ec o n s i d e rt h er e l a t i o n s h i p sb e t w e e nt h ef u z z yg r o u p s s m o o t l lg r o u p a n dv a g u eg r o u p ，a n dg e n e r a l i z et h e m t h e o r e m ( i ) ap e r f e c ta v a g u eg r o u pi sa l s oas m o o t hg r o u p ； ( 2 ) a s m o o t h g r o u p w h o s eji s a s t r o n gs i n g l e t o n i s a p e r f e c ta v a g u eg r o u p ； ( 3 ) s m o o t hg r o u pa n dv a g u eg r o u pa r eg f f u z z yg r o u p s ； ( 4 ) a v a g u eg r o u pw h i c hh a st h ep r o p e r t y 卜) i sap e r f e c t - v a g u eg r o u p k e yw o r d s ：f u z z yf u n c t i o n ，f u z z ye q u a l i t y , s m o o t hg r o u p ，g r a d a t i o n ， s m o o t hh o m o m o r p h i s v i 聊城大学硕士学位论文 月u 吾 1 9 6 5 年美国学者l z a d e h 开创性引入了模糊集合的概念，开始了模糊数学研究它 发展到今天，不仅积累了丰富的理论成果，而且其应用几乎涉及到了自然科学、社会科 学和工程技术等各个领域特别是近几年来，模糊理论又同神经网络、知识工程、遗传 算法和可靠性理论结合起来形成了具有广阔前景的研究新领域模糊数学与基础数学领 域的有机结合形成了诸如模糊代数、模糊拓扑、模糊逻辑、模糊概率和模糊分析等新领 域，而且成果丰富仅模糊代数就形成了模糊群、模糊环、模糊模、和模糊域等新研究 方向，且内容已非常丰富，m o d e r s o n 和g o l a n 以及国内许多学者已出版模糊代数方面 的专著尽管如此，模糊数学特别是模糊代数仍有许多不完善之处，在现有的大量文献 中人们对模糊代数的研究所得到的性质大都是纯数学领域已经具有的模糊理论的最基 本研究是建立各种经典数学结构的有益副本能否建立不依赖经典代数的模糊代数系统 一直在困扰着许多模糊代数工作者目前大多数学者所建立的模糊群以及其它模糊代数 系统虽然形式不同，但是都有一个共同点，那就是只考虑了集合的模糊化而忽视了对代 数结构起着重要作用的运算的模糊化因此，我认为对模糊代数的研究主要应集中在两 个方面：其一，在原来的模糊框架下能否找到一些中间定理不受其基石的影响，通过它 们来给出一些在纯代数结构中不易得到的结果，令人欣慰的是在模糊代数中已经出现了 t o mh e a d 定理；其二，利用模糊代数概念给出相应的代数概念进行刻画：其三，将注 意力转移到寻求新方法来建立新模糊代数框架，也有不少学者致力于这方面努力，本文 就是基于这方面考虑做了以下几方面工作： 第一，利用梯度的概念改进了m d e m i r c i 对模糊相等的定义，给出了群和s m o o t h 群之间的关系第二，首次引进了s m o o t h 正规子群和s m o o t h 同态的概念，得到了一些 重要结果第三，利用群的模糊正规子群找到了一类s m o o t h 群，并研究了它们的性质第 四，推广了m d e m i r c i 对模糊相等的定义，并利用推广的模糊相等研究了m d e m i r c i 所定义的几种模糊群之间的联系 聊城大学硕士学位论文 1 改进的s m o o t h 群与两个重要结果 2 0 0 1 年，m d c m i r c i l l l j 利用模糊函数给出了s m o o t h 运算，进一步在经典集合上 给出了一种新的模糊群的概念一s m o o t l l 群，开辟了模糊代数研究的新思路对于 m d c m i r c i 的工作，我们给予了充分的肯定，但是，仍需要改进，我们首先从这方面 入手，为了保持全文的一致，我将改进后的s m o o t h 群仍然称为s m o o t h 群 m d e m i r c i 1 0 为了更好的研究模糊函数，引入了模糊函数的梯度的概念，并通 过它对函数的性质进行了研究，特别地，给出了模糊单射、满射和双射概念的刻画鉴 于此，我们将梯度的思想引入到s m o o t h 群理论的研究中来，使得我们对s m o o t h 商群的 定义与 1 4 相比更加合理 定义1 1 1 ”设x 是非空集合，称映射：x 哼 0 ，1 】为集合z 的模糊子集 定义1 2 f ”设，r 是非空集合，称一j ，的模糊子集p 为x 到y 上的模糊关系特 别地，x = y 时，称p 为x 上的模糊关系 定义1 3 “”设x 是非空集合，p 为x 上的模糊关系，称p 为x 上的模糊等价关系， 如果 ( 1 ) p ( x ，工) = i ； ( 2 ) p g ，y ) = p ，z ) ； ( 3 ) p g ，_ y ) n p ( y ，z ) p 0 ，z ) , v x ，y ，z 在本文讨论中，我们假定口( o ，1 】 定义1 4 设肖是非空集合，称映射e ；：x x 斗【o ，1 为x 上的模糊相等，若有 ( 1 ) e ；0 ，y ) = l 工= y ； ( 2 ) e ；0 ，y ) = e ；，工) 0 ： ( 3 ) e ；g ，y ) 、e ；，z ) e 呈g ，z ) l v x ，y ，z 这里模糊相等e ；表示元素z ，y x 模糊相等的程度由于口是事先给定的，因此为 2 聊城大学硕士学位论文 了方便我们将简记为e 。 定义1 5 设z 和y 是两个非空集合，目和e ，分别是j 和y 上的模糊相等，那么x 到y 上的模糊关系厂( x y 的模糊集) 称为是x 到y 的基于模糊相等e 。和e y 上的模 糊函数，记，：x 斗y ，如果其特征函数，：x x y 一【o ，1 】满足 ( 1 ) 帆x ，3 yy 使得，b ，_ y ) 2 0 ， ( 2 ) v x 。，x ：x ，b 钆，y ：y ，a ，g 。，y 。) ，g ：，y ：) e ，【h ，工：) s e ，。，y ：) 上述定义中取0 = 1 时，模糊相等和模糊函数显然是通常的相等和函数因此，上 述两种定义是通常的相等和函数概念的推广 定义1 6 1 设是非空集合，若f ：x x x 斗x 为基于x x 和x 上模糊相等 e ，。，和e 。上的模糊函数，如果 v a , b ，c ，d x ，a ，b , c ) e ，( c ，d ) 0j ，( 口，b ，d ) 0 ， 则称其为上基于模糊相等点i 。和e i 的s m o o t h 二元运算 定义1 7 ”设x 是非空集合，若为x 上基于模糊相等以。和上的s m o o t h 二 元运算， ( 1 ) 称伍，) 为s m o o t h 半群，如果的特征函数满足 i t ( 6 ，c ，d ) 从a ，d ，m ) l z ( 口，b ，g ) 从0 ，c ，w ) 0 ；e x 如，w ) 0 ， v a ，b ，c ，d ，m ，g ，w x ； ( 2 ) 称s m o o t h 半群伍，) 为s m o o t h 独异点，如果j 8 x ，使得v a x ， 从q ，n ，n ) n 以g ，e ，a ) 0 ； ( 3 ) 称s m o o t h 独异点留，) 为s m o o t h 群，如果j 6 j ，使得v a z ， ( 6 ，口，p ) a ，b ，p ) 口； ( 4 ) 称s m o o t h 半群伍，) 是交换的，如果 卢a ，b ，m ) a 2 ( 6 ，口，w ) 0 j e jm ，w ) 0 ， v a ，b ，m ，w x 塑茎兰堕圭兰笪笙壅 定义1 8 “”设x 上分别基于集合x x 和z 上的模糊相等。和e i 上的s m o o t h 二元运算称为是x 上的强s m o o t h 二元运算，如果v a ，6 ，c ，de x q ，b ，c ) a e x ( b ，d ) 口j a ，d ，c ) 口 为了表述简洁下文直接将基于集合x x 和x 上的模糊相等e x 。，和e x 上的 s m o o t h 二元运算做成的s m o o t h 群表述为s m o o t h 群 定义1 9 ”s m o o t h 群，) 称为是强s m o o t h 群，如果二元运算是强锄0 0 恤群二 元运算 定理1 一3 设( 五) 是s m o o t h 群，那么v a ，b ，c ，“， ( 1 ) 从g ，b ，“) p g ，c ，“) 0 芍e x ( b ，c ) 0 ； ( 2 ) ( 6 ，4 ，“) ( c ，口，“) 0 ：，量，( 6 ，c ) 0 上述定理称为s m o o t h 群的消去律 定理1 2 设伍，) 是s m o o t h 群，那么 a ，6 ，c ) 口营g ，c ，6 ) 口营( c ，6 ，d ) 口 证明 ，) 是s m o o t h 群，所以j m x ，使得从( ，c ，m ) 0 ，并且有 以0 ，n ，e ) 口，从g ，b ，6 ) 口，由已知卢a ，b ，c ) 口， 所以，l g ，c ，m ) 从( 口，6 ，c ) 从( 口，口，p ) 从g ，6 ，6 ) p ，由定义1 7 ( 1 ) 式有点i ( 6 ，珑) 口，因此 g 一，c ，埘) e x ( b ，m ) 目，由定义1 6 有b 一，c ，b ) - o ； 伍，) 是s m o o t h 群，所以3 n , ，x ，使得从g ，6 ，1 ) 口和卢仁，”，f ) 护，并且有 从( 6 ，6 一，e ) 目，所以从0 ，b 6 ) 儿( c ，6 ，n ) 从g ，n ，f ) 从( 6 ，6 ，e ) 曰，由定义1 7 ( 1 ) 式有b 0 ，) 口，所以从g ，月，z ) ne x ( e ，z ) 口，由定义1 6 有从仁，月，e ) 目， 因为从g 一，n ，p ) 目，由定理1 1 ( 1 ) 有e ，a ，h ) 口，所以从( c ，6 ，口) 口； ) 是s m o o t h 群，所以j 七盖，使得从如，b ，j i ) 0 ，并且以( 6 ，6 ，p ) 0 和 ( c ，p ，c ) 日，所以0 ，b ，七) 卢b - , b ，e ) ( c ，e ，c ) 一g ，6 ，口) 口，由定义1 7 ( 1 ) 4 聊城大学硕士学位论文 式有b g ，七) 0 ，所以从0 ，b ，七) 如以七) 口，由定义1 6 有以0 ，6 0 口 定理1 3 设伍，) 是s m o o t h ， ( 1 ) 如果风0 ，b ，c ) 口且点i ( 6 ，d ) 0 ，那么风0 ，d ，c ) 0 ： ( 2 ) 如果以a ，b ，c ) 口且毋g ，d ) 曰，那么i t 0 ，b ，c ) 0 证明( 1 ) 因为从( 瓯6 ，c ) 2 口，由定理1 2 则有儿g ，c ，6 ) 口，由已知乓( 6 ，d ) 日， 因此从g ，c ，6 ) e x ( b ，d ) 0 ，所以由定义1 6 有以g ，c ，d ) 口，再次利用定理1 2 贝0 有一g ，d ，c ) 0 ( 2 ) 证明与( 1 ) 类似 定理1 4 设口，) 是s m o o t h ，如果从0 ，b ，c ) 曰，那么以g ，d ，c 。1 ) 口 证明由定理1 2 如果以a ，b ，c ) 口，则有( c ，b - l , a ) _ 0 ，口，) 是s m o o t h 群，所 以却，g 工，使得肌( 6 ，口，p ) 目且从g ，p ，g ) 口，所以 以b - l , a i p ) 以g ，6 ，口) 从0 ，p ，g ) 从g ，口，p ) 口，由定义1 7 ( 1 ) 式有 e x ( q ，e ) - 0 ，所以从0 ，p ，g ) e x ( q ，e ) 0 ，由定义1 6 有从g ，p ，0 口，又因为 从( c ，c ，e ) 口，所以由定理1 1 有如( c ，p ) 口，所以以( 6 ，n 一，p ) 乓( c ，p ) p ， 由定义1 6 有从( 6 ，口，c 一1 ) 口 定理1 5 伍，) 是s m o o t h 群当且仅当伍，) 是强s m o o t h 群 由定理1 2 和1 3 容易验证这一定理使得s m o o t h 群理论得到简化 定理1 6 如果伍，) 是s m o o t h 群，那么如( 口，6 ) 口营e x g ，b 一1 ) 口特别地， 如果q ，p ：是s m o o t h伍，) 的单位元，那么e x g 。，e ：) 0 ；如果n 一，b 。1 都是x 的逆元， 那么e 。0 ，6 1 ) 口 定理1 7 设口，) 是s m o o t h 群，如果从q ，b ，c ) 从g ，b ，d ) 口，那么v a ，b ，c ，d x ， e x ( c ，d 1 2 0 证明由定理1 2 有从g ，c 6 ) 、以0 ，d ，6 ) 口，再由定理1 1 ( 1 ) 可知 5 聊城大学硕士学位论文 ( c ，0 上述定理1 6 表明s m o o t h 群的单位元和逆元虽然不唯一，但是所有的单位元是模 糊相等的，某个元素的所有的逆元也都模糊相等我们不难发现e ，是集合x 上的模糊 等价关系，我们将x 相对于模糊等价关系e x 的模糊等价类集合称为x 关于模糊相等 e x 的商集，记为乡乞，且k 】乡乞，其中口x 在商集乡乞上定义运算： m o 6 】= b 】， 其中m x ，满足从q ，b ，m ) 0 ，则得到如下定理： 定理1 8 设伍，) 是s m 。m 群，则集合x 的商集乡乞在上述运算下做成群 ( ，。 - 证明首先我们证明运算的合理性，设e ，0 ，d 。) 口且e 。o ，b 。) 0 ，从( 口，b ，聊) 0 且以0 t ，b 1 ，n ) 0 ，v a ，d l ，b ，b l ，m ，”x ，因此由定理1 2 和定理1 3 有0 l ，b l ，m ) 0 ， 因为从0 。，岛，胛) 口，由定理1 2 有从0 i 1 ，脚，鱼) 口和从g i l ，白) 口，再由定理i 1 ( 1 ) 有e 。，n ) 日，因此。定义合理容易验证( 。，。) 做成群 上述定理表明s m o o t h 群是群概念的推广，并且通过这一定理我们将s m o o t h 群和群 的概念联系到了一起，对s m o o t h 群的研究起到了重耍的作用 聊城大学硕士学位论文 2s m o o t h 正规子群 2 0 0 1 年，m d e m i r c i 1 3 引入rs m o o t h 子群的概念，本覃我们将引入s m o o t h 正 规子群的定义，并研究了它的一些性质，进一步给出了s m o o t h 商群的概念( 与文 1 4 中 定义相比更具合理性1 定义2 1 1 ”设e ，是x 上的模糊相等，z 是x 的子集，称e ；是x 上的模糊相等e 。 在z 上的限制，如果v a ，b z ， e ；0 ，6 ) = e ，0 ，b ) 易见，e ；是z 上的模糊相等，在不引起混淆的情况下仍用e 。表示类似地，可以 定义e ；轰是x 上的模糊相等e 。，在z x z 上的限制 定义2 2 1 1 3 设伍，) 为s m o o t h 半群，称x 的子集z 是s m o o t h 闭的，如果 ( z x z ) c z 定义2 3 “3 1 设( x ，) 为s m o o t h 群，z 是工的非空子集，如果z 关于模糊二元运算是 s m o o t h 闭的，且关于x 上的模糊相等e i 和五i 。在z 和z z 上的限制仍做成s m o o t h 群，则称( z ，i ：。) 为( x ) 的s m o o t h 子群 定理2 p3 1 设口，) 为s m o o t h 群，z 是它的非空子集，那么z 为伍，) 的s m o o t h 子 群当且仅当以( 口，6 ，c ) 口j3 d z ，使得岛( c ，d ) 0 ，v a ，b e z ，c 工 定理2 2 设伍，) s m o o t h 群，z 为其s m o o t h 子群， ( 1 ) 如果，e z 分别伍，) ，( z ，) 是的单位元，则e 。o 。，屹) 0 ； ( 2 ) 如果口 ，n ；1 分别是a 在( x ，) ，( z ，) 中的逆元，则( 口；，口；1 ) 0 证明因为伍，) s m o o t h 群，e xe 。分别伍，) ，( z ，) 是的单位元，所以 t 0 f ，e z ，e z ) 0 ，g z ，e ，乞) 0 由定义1 7 ( 1 ) 有e ，0 ，e ：) 0 对于( 2 ) 类似地可以证明 聊城大学硕士学位论文 以下在不引起混淆的情况下与e ：及口；与口；我们不加以区分 定义2 4 设伍，) 为s m o o t h 群，z 为其s m o o t h 子群，v a ，b ，c j ，称口，6 关于模z 右( 左) s m o o t h 同余，如果 i t ( ，b - j , c ) 口，3 d 孑使得e ，( c ，d ) 0 ， ( 以0 - l , b ，c ) 只j d z 使得f 。( g d ) 口) 记为口；，b ( m o d z ) ( 口；，b ( r n o d z ) ) 定义2 5 设伍，) 为s m o o t h 群，且z 为其s m o o t h 子群，v a ，称集合 6 x i n = ，b ( m o d z ) 为z 的右s m o o t h 陪集，记为z a 类似地，可以定义z 的左s m o o t h 陪集，记为a z 定理2 3 设( j ，) 为s m o o t h 群，z 为其s m o o t h 子群，v a z ，z a 是其右s m o o t h 陪集营z a = 每e x l3 z z 使得( c ，b ，n ) 日 由右s m o o t h 陪集定义及定理1 2 容易验证由定义2 4 易见， v a ，b z ，d = ，b ( m o d z ) p s 戈a ；，b ( m o d z ) ；并且如果伍) 是s m o o t h 交换群，则左、右 s m o o t h 同余是一致的 引理2 4 设伍，) 是s m o o t h 群，且从g 。，y 。，) 0 ，从g ：，y ：，6 ) 口，以q ，b ，c ) 口， ( 1 ) 若从抚，b ，p ) 0 ，从g 。，p ，研) 0 ，则e f 国，c ) 0 ； ( 2 ) 若g ，工：，p ) 0 ，0 ，y ：，所) 0 ，则吼b ，c ) 0 ； ( 3 ) 若( ) ，1 ，工2 ，g ) 0 ，从g 。，q ，p ) 0 ，0 ，y ：，m ) 0 贝0 e ，m ，c ) 0 上述引理称为四元结合性不难发现上述四元结合性可以推广到任意有限元，因此 在以后讨论中我们直接称为结合性而不指出是几元的 定理2 5 设伍，) 为s m o o t h 群，z 为其s m o o t h 子群，则右( 左) s m o o t h