（基础数学专业论文）reinhardt域上完全准凸映射的分解定理.pdf

河南大学硕士学位论文 摘要 本文研究多复变数c n 中的完全准凸映射，分别在两类r e i n h a r d t 域b p 和巩 上建立正规化双全纯完全准凸映射的分解定理，当p 一和n ，印，砌一o 。时。 分别导出刘太顺，张文俊关于多圆柱上完全准凸映射的分解定理 全文共分三章：第一章，主要介绍了本文用到的一些记号及定义，以及本文的 主要结果；第二章，研究了r e i n h a r d t 域f 妒上完全准凸映射的分解定理：第三章， 讨论了d 。上完全准凸映射的分解定理，并将其结果应用到r e i n h a r d t 域上全纯凸 映射得到相应的结论 本文的主要结果是对凸映射的相应结果所做出的推广，得到的结果更为完善 关键词：双全纯完全准凸映射，r e i n h a r d t 域，分解定理 河南大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r 。w es t u d yc o m p l e t eq u a s i c o n v e xm a p p i n g si nc “，tu pd e c o m p o s i t i o n t h e o r e mo fc o m p l e t eq u a s i c o n v e xm a p p i n g so nr e i n h a r d td o m a i n sw h i c hc o n t a i nb pa n d d p t h ew h o l et h e s i sc o n s i s t so ft h r e ec h a p t e r s ：i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w ei n t r o d u c es o m e d e f i n i t i o n s ，n o t a t i o n sa n dt h em a i nr e s u l t so ft h i st h e s i sb r i e f l y i nc h a p t e rt w o ，w eo b t a i n t h ed e c o m p o s i t i o nt h e o r e mo fc o m p l e t eq u a s i c o n v e xm a p p i n g so nb p i nc h a p t e rt h r e e ， w eg e tt h ed e c o m p o s i t i o nt h e o r e mo fc o m p l e t eq u a s i c o n v e xm a p p i n g so n 岛 t h em a i nr e s u l t so ft h i st h e s i sa r eb a s e do nt h et h e o r i e so fc o n v e xm a p p i n g ，0 l l i w o r k m a k et h e s et h e o r i e sm o r ec o m p l e t e l y k e yw o r d s ：b i h o l o m o r p h i cc o m p l e t eq u a s i c o n v e x ，r e i n h a r d td o m a i n s ，d e c o m - p o s i t i o nt h e o r e m i i 关于学位论文独立完成和内容创新的声明 本人向河南大学提出硕士学位中请。本人郑重声明：所呈交酌学位论文是 本人在导师的指导下独立完成的对所研宄酌课题有新妁见解。据我所知。除 文中特别加吐说明、标注和致谢的地方外。论文中不包括其他人已经发表或撰 写过酌研究戌果，也不包括其他人为获得任何教育、科研机拘的学位或证书而 使用过的材料。与我一同工作蚋同事对丰研究所做的任何贡献均已在论艾牛作 了明确的说明并表示了谢意。 学位串请八f 学位论文作者) 荽名基菡 _ l j 苴1 t 0 0 7 年“7 。 关于学位泛文著作权使用授权书 本人羟河南大学审核批准授子顾- i - 学位。作为学位论文的作者本人完全 了解并同意河南大学有关保留、使用学扛论盘普勺要求，即河南大学有权南圜索 图书馆、科研信息机构、数据收集机构和丰校图书馆等提供学住论史( 纸质文 本和电子文本) 雌供公众检索、查阅。本人授权河南大擘出于宣扬、展览学校 学l 漩展和进行学术交流等目的可以采取影印、缩印、扫描和拷贝等复制手 段保存、汇蝙学住论文( 氟质文本和电子文本) 。 ( 涉及保密内睿的学住论文在解密后适用本授权书) 学位获得者( 学位论作者) 器名 2 0 0 学位论文指导教师签名 落连j 1 j z z 年占月7 一 翔t 墨：幽纽亥 第一章内容概要 本章我们将给出全文中将要用到的一些常用的符号及基本概念，定义和定理 1 1引言 复变函数的几何理论，是研究由某种几何性质所定义的解析函数，同时也是研 究种种解析函数族的各种几何性质的一个复分析学分支。它是复分析中的一个重要 组成部分，其历史源远流长。将单复变几何函数论中的结果推广到多复变数中，是 多复变几何函数论的重要课题之一。最早考虑这件事的数学家是h c a n t a n 。他很早 就发现单复变中的很多基本结果，在多复变数中不再成立的。因此将单复变数几何 函数论中的一些结果，推广到多复变数空间中去，而又指望得到一些正面的结果的 话，光有双全纯映射的条件是不够的，必须加上其它的一些限制。h c a f t a n 还指出， 相应的增长定理和掩盖定理等，若只要求映射是双全纯，这在多复变中也是不成立 的。但他指望多复变数的双全纯映射偏差定理有可能成立。其实很早以前就有人知 道，这是不可能的，那么应该加上哪些限制来企图得到一些正面的结果? h c a f t a n 建议考虑双全纯映射的子族，如凸映射和星形映射等一些特殊的映射类。这些问题 一直到1 9 8 8 年，在龚再教授，c h f i t z g e r a l d 教授和r w b a r n a r d 教授在该领域的 重要基础工作上，经过国内外的不少学者，如t j s u f f r i d g e ，王世坤，余其煌，郑学 安，刘太顺，i g r a h a m ，h h a m a d a 和g k o h r 等共同努力，最终获得了一批重要的 研究成果，从而极大地丰富了多复变几何函数论的内容。为了总结成果，指导后来 者，龚舁教授几次将一些重要成果撰写成下面的专著陆续出版，如【1 _ 5 等。 在单复变数中，有刻画凸函数与星形函数之间关系的a l e x a n d e r 定理，在多复 变中，a l e x a n d e r 定理不再成立，且存在介于凸映射族和星形映射族之间的映射族， 而这些映射族在单复变数中是不存在的，是多复变中特有的映射类。因此对这些映 射族进行研究是有意义的。我们可以参考文献 17 】一【22 的相关结论。 1 9 9 8 年前后，k a r o p e r 和t j s u f f r i d g e 1 5 ，刘太顺和刘浩【8 】通过分析一元 函数凸性的不同刻画条件先后在妒中欧氏单位球和伊中有界凸圆型域上分别引 河南大学硕士学位论文 入a 型准凸映射和准凸映射族，从定义形式看：刘太顺和刘浩所定义的准凸映射比 k a ，r o p e r 和t j s u f f r i d g e 所定义的a 型准凸映射更为简洁，而且有明显的几何意 义。最近，刘太顺和张文俊在文【1 2 】中将以上两种映射族拓广到一般的复b a n a c h 空间中的单位球，证明了在b a n a c h 空间中的单位球上，a 型映射族就是准凸映射 族，因此统称为准凸映射，并且还证明了它具有和凸映射族完全相同的增长定理和 掩盖定理。刘太顺与张文俊f 13 1 在c n 中有界凸r e i n h a r d t 域的情形定义“完全准 凸”的概念，并给出了多圆柱的完全准凸映射的分解定理【13 】，随后，刘浩和卢克平 | l4 1 得到了有界r e i n h a r d t 乘积域上完全拟凸映射的分解定理。在上述工作基础上， 本文的第二章与第三章讨论了b ，和现上的完全准凸映射的分解定理。 1 2定义及记号 设c 表示复平面若加c ，r 0 ，用d ( z a ，r ) = 0 c ：iz 一翔l r ) 表示以z o 为中心，以r 为半径的开圆盘；单位圆盘记为d = 0 c ：izj 0 ，歹= 1 ，竹，称 p ( n ，r ) = ( z 1 ，一，z n ) ：i 一q i r j ，j = 1 ，n ) 是以。为中心，r 为半径的多圆柱特别，当8 = 0 ，p = l 时，称它为单位多圆柱，记 为d “，即 d “= ( 。l f | ，z a ) ：乃i 0 为半径的球是指 n b ( a ，p ) = 渤，) ：i z j 一即2 p 2 ) j = l 特别，当a = 0 ，p = 1 时，称它为单位球，记为b “，即 n 矿= ( 钆渤) ：i z j l 2 1 ) j = l 定义1 1设q 是中的域若对v z q ，0 r ，则称q 为圆型域；若 3 r r ，使得q b “( o ，r ) ，则称q 为有界的；若对任意的= ，加0 ，r 【0 ，1 】 都有 佗+ ( 1 一r ) t l n ，则称n 为凸的；若q 包含原点且对任意的z n ，r 【o ，1 1 ，都有 r z n ，则称n 关于原点为星形的；如果对任意( z l ，) q 及口l ，r ( 以 r 表示实数域) 必有( e # ；z 1 ，一“) q ，则称q 为r e i n h a r d t 域 定义1 2 设n 是中包含原点的域，：n 一是双全纯映射，如果，( 0 ) = 0 ， ( a ) 是c ”中的星形域，就称，是n 上的星形映射；如果( a ) 是c n 中的凸域，就 称，是n 上的凸映射 1 9 9 9 年，k a r o p e r 和t j s u f f r i d g e 1 6 】在p 中的单位球定义了a 型准凸映射 和b 型准凸映射的概念，证明了： 凸映射) c ( a 型准凸映射) c b 型准凸映射 n 星 形映射 ，而且a 型准凸映射与凸映射类有完全相同的增长定理与掩盖定理 2 0 0 1 年，刘太顺与刘浩 8 】在c n 中一般有界凸圆型域的情形引入了另一类称 为“准凸映射”的双全纯映射类，推广了a 型准凸的概念，证明了： 凸映射) c 弘 型准凸映射) 匕 准凸映射，c 星形映射) ，而且准凸映射也有与凸映射类完全相同的 增长定理与掩盖定理 2 0 0 2 年，刘太顺与张文俊【1 2 l 将以上两种映射类拓广到一般复b a n a c h 空间中 的单位球上去，并证明了在所有b a n a c h 空间中，“a 型准凸映射类”就是“准凸映 射类”，因此通称为准凸映射，它具有与凸映射类完全相同的增长定理与掩盖定理 2 0 0 4 年，刘太顺与张文俊【1 3 】在p 中有界凸r e i n h a r d t 域的情形定义“完全 准凸”的概念，给出例子： 例1 全纯映射( ，1 ( z ) ，2 ( z ) ) = ( z l + i 1 印2 ，砘) 是多圆柱d 2 上的正规化双全纯准 凸映射，但不是d 2 上的完全准凸映射 3 河南大学硕士学位论文 例2 当p 1 时，全纯映射，( z ) = ( 1 - z l ，t ，惫) 不是b 9 = z c n ： m b = 【妻l 巧同1 v 2 ) 上的凸映射，但却是完全准凸映射 因此，一般有包含关系： 凸映射) 妄 完全准凸映射) 妄 准凸映射) s ( 星形映射) 并给出了多圆柱上d n 的完全准凸映射的分解定理： 定理a 若，：d n 一是正规化双全纯完全准凸映射，则存在单位圆盘d 上 的正规化双全纯凸函数g j ( z j ) ( 1sj n ) ，使得，( z ) = 0 1 ( z 1 ) ，9 2 慨) ，鼽( ) ) 本文将给出c n 中r e i n h a x d t 域 n b 9 = z c n ：i i z = 匹鲋】1 p 1 ) 吣2 ) j = l 和 n d v = ( z c ”：l k l b = i p 2 ，l = 1 ，2 ， = 1 上正规化双全纯完全准凸映射的分解定理 设x 是复b a n a c h 空间，b = 仁x ：i q 为x 中的开单位球，dcc 为单位圆盘，a b = z x ：i = 1 ) 为b 的边界对任意z x ，记足为满足 j i e j i i ，i 阢| | = i l z l l 的连续线性泛函根据b a n a c h 空间理论，已是存在的，但一 般不唯一 为了下面讨论方便，我们介绍一下m i n k o w s m 泛函的一些基本性质【9 】i 引理1 3 域qcc 竹是有界星形圆型域当且仅当存在唯一的实值连续函数 p ：扩一r ，称之为q 的m i n k o w s k i 泛函，满足以下几条： ( 1 ) p ( z ) 0 ，v z c n ；p ( z ) = 0 = 亭z = o ； ( 2 ) p ( t z ) = i t i p ( z ) ，v t c ，z c n ； ( 3 ) n = p c ”；p ( z ) 2 ) 是正规化双全纯完全准凸映射，是满足 2 ) 是正规化双全纯完全准凸映射，是满足 2 ) 是正规化双全纯凸映射，是满足k 2 ) 是区域b p ( m ) c c m 的一个定 义函数，若f ：b p ( m ) 一c m 是全纯的且 o 以p e n ( 、z ) 北) = 0 ， ( 2 1 ) 则，e0 证明令 渺之胁) = 掣乩，2 ，m 7 、， 砖砖 破 m 嘶 ，。，。一 + 、， 右磅 磅 毗 锄； 毗 ，。 + 粗 沈 2 力疗一弓 2 占- m 触 = 力“ 故 0 三 刁“ 着味 意式d 河南大学硕士学位论文 由此导出 这就是要证明的 办( z ) = 0 ，j = 1 ，2 ，一，m 钆_ 【d 化) 】- 昏2 壶( 鼍喜0 1 膳0 2 f 2j = 南瞪o z l 麟鼢南) ) 1 8 塑蔓奠蔓兰坠兰垡堡塞 记a ( t ) = 如 塞妒( ) ) 由( 1 1 ) 式可知a ( 。是r 上的g * 非负实函数，由( 2 3 ) 得 砌) = m 塞帅) ) 砘 ( 0 ) = 觑f ( 鲁，砑o p ) 妒( 0 ) ) 一赤啦扩锄肠r 嘲( ：) 问， 协a ， 又r ( o ) = 醐嵩，老) ，( 0 ) ) 一方他1 7 肠r 锄c 南孝恤9 2 1 ( z ) h 珍 = j 面i 吊= 忍磊丽1 ( 阢p - 2 矗锄l ( 力+ k f p 忽虫z o ) ) + k f 卜2 k i 。， 故觑磊葫丽捌9 - 2 磊勘l ( 卅钟动助( 力) o ( 2 5 ) 要证( 2 ) ，采用反证法，如果9 2 1 以在砘= 0 为m 阶零点，0 m 一2 ，则 m + 2 k o ，则有 觑a ；方丽 f z - f p z l l z 2 1 2 ，( z ) + i 讫i p - 2 + 2 。而彳地( z ) ， + 如翥高绯m 4 恐k ( z ) + 娜+ 口以锄( 珊 + r 8 五；去两 z l i ”2 五霹9 2 1 ( z ) + i 恐p 勿卯2 ( z ) ) o 其中9 2 1 是断言2 1 ( 2 ) 中定义的函数，上式等价于 觑吾苫d 天刁 2 ( 1 2 1 1 p 沈i 。印 2 1 ( z ) + i z 2 1 + x b 2 ( z ) ) 卜o ( 1 2 2 1 缸) + o ( 1 勿1 p ) t o ( 2 7 ) 事实上，若h 2 1 ( z l , z 2 ) 在砘：o 处的零点阶数m 满足。墨。s 南一1 ，则 m + 1 【k k 一【刍一1 一( ；】一1 ) k l m p 一( 1 + m ) 。 若取口满足m + 1 0 ( 2 8 ) 当= o 时，由于f 是正规化的，筹( o ，o ) = o ，故( 2 8 ) 式成立 假设( 2 8 ) 对所有o j m 成立，则算子磊作用于断言2 2 ( 2 ) 所定义的函 数h 1 2 ( 0 ，2 2 ) ，由l e i b n i z 公式得 釉。，器啪 所以据差( 。，。) = 1 便导出( 2 8 ) 对= m + l 成立，断言2 3 得证 断言2 4 碧( o ，砘) = o ，碧( 训) = o ，vl 2 ，j = 1 ，2 ，n ) 是正规化双全 纯完全准凸映射，是满足k o ( 3 1 3 ) 取a = 1 i “，代入( 3 1 3 ) 得 m k i i z 即n - j l l ”2 i z , , 1 2 。圳钟i 磊r 2 + 觑薹酬南r 2 眦) l z n l 缸粕 恤j = l 巧z j l 即z j ，i 旷蚓8 轴锄+ 觑薹硎南l v 3 - 2 9 j 兹。 ( 3 1 4 ) 由断言3 1 知： 皿薹删南r 2 北船d ( i z n l 蚪1 ) + 0 ( 时1 卜 故( 3 1 4 ) 表明 m 著酬南r 2 ) l z 1 8 + d ( i z i 1 ) + 0 ( + 0 ( 铲) 0 艇易 ( 3 1 5 ) 河南大学硕士学位论文 假如= o 是五( i ，) 的m 阶零点，而o 仇sl ：】一1 ，则可记( ，钿) = 带日( i ，) ，其中日( i ，) 0 ，注意到 m + l 【；】；一【争5 一1 一( 睦】一1 ) s 一1 一m m 轨伽，p 2 ，肌卜( 1 + m ) 从而可取实数口满足m + l a 俪n 妇l ，p 2 ，肌) 一( 1 + 确，因此a + m + l 2 ，j = 1 ，2 ，n ) 是正规化双全 纯完全准凸映射，k 是满足k r a i n p 1 ，p 2 ，骱) + 1 的自然数，则存在三k 到 c “一1 的全纯映射f = ( f 1 ，f 2 ，r 一1 ) ，使得 从而 ( ，0 ) ，2 ( i ，0 ) 厶一1 ( i ，o ) + 兹+ ，l 易( 。l ；m ) + r l ( z ) 明硼) ：，d ，( 动 f ， 是准下三角方阵 证明由于，是正规化的，故差( 。) = l ，从而映射 晔) ；( 差) 瓦o f 。 f 1 ( z ) f 2 ( z ) 晶一1 ( z ) ( 3 1 7 ) ( 3 ，1 8 ) 在原点附近是全纯映射由断言3 2 和3 4 知 。酢，= ( 誓) c 差筹岳一酝差，甏老一丽0 2 f n 瓦o f m m 一1 ( z )仇n ( z ) g n 一1 ，i ( z ) 鼽一1 ( z ) 0 0 00 j l 茹。汁s 埘 。 兹一tj z h ；彤 丘 缸 、 0 o 瞳 厶一 a n 口 堕 习 ：o o 瓤砑 一 卜 一 力 眨 v磊州 州。 铲瓦 m p 盟， 、 河南大学硕士学位论文 于是 坼) = 叩) + f 瓢” + 厂杀协愚 从而 0 + o ) d t + z 2 差 o i o ) d 件 ，z 。- 2 , t , o 胁f 差( z 1 7 2 2 ，* 训皿 ，“肌( 2 ，t ) t k - l d t j 0 j o 鼽一l m ( 2 ，) 矿一1 出 0 + 砖 o f n - 1 = 兹( ! l = 酗l ! 卜l 瓦i卜水) g 1 ( z ) 瓯一l ( z ) o g i ( z ) g 二一1 ( 2 ) ( 3 2 0 ) 其中( z ) = ( 讲( z ) ，g ：一1 ( z ) ) 在原点附近全纯，它可以以下述方式全纯开拓到 d 口上去： 因此有 g 二一1 ( z ) 厶一1 ( z ) + 0 = 0 z “甏眨懒 z “篆慨岫 厂a f f n - 1 怫1 一t ) d t ，o8 0 1 刁 一 曩 两：一渤万万漆批万万 ) ) o u o ；o ； 蟛 丘 缸 ，。一 = z z 州 以 河南大学硕士学位论文 ，“q ( i ，t ) t k d t j o ，“g 如t ) 矿出 j 0 = ，( j ) + 坩1 f l ( z ) f 2 ( z ) ( 3 ，2 1 ) z “班出 k 心) 引理的证 定理8 1 的证明根据( 3 1 8 ) 式，易知，( ) 在功上是局部双全纯的由完全 准凸的定义知 r e ( 鲁( 三，) ，万耄( 量，) ，百a i p ( 毛) ) f d ，( 训。( ，( z ) 一，( e 钼1 z ”，“) ) ) 2 。 注意到( 3 1 ) 式有卷( i ，o ) = o ，而且p ( 2 ) 2p ( 童，o ) 恰好是功的m i n k o w s k i 函， 由( 3 1 ) 及( 3 1 8 ) 式知 r e ( 差( 孙。，老( 动【d m ) 】- 1 ( 馋) 一几甜1 ”，e 佛。1 铀) ) 叫鼢卜一，亳慨o ) i 巾冗动r 弋氕习钡一 e 钳一- 1 ) = r e ( 老0 ) ，亳0 ) ，老慨0 ) ) ( j ，o ) 一 ( e 矾劫，。e i “一。一】，o ) 、 ( 。0 2 甏乙，。，) 一1i厶一。；，。，一，i一，。一。：。，。；“一，一。，。，l ( i ，o ) 一厶( 1 施，e 坩n 一1 一1 ，o ) ：觑笔( i ，o ) d m ) 】_ l 【彤，o ) 一，( 沙”一，e 8 - i z n _ 1 ) o ) ) o 因此映射，( j ) 是d 上的正规化双全纯完全准凸映射 定理3 2 的证明对维数m 应用数学归纳法 当m = l 时，：d p c ，岛= 弘c ： 2 ，j = 1 ，2 ，啦是正规化全纯完全准凸映射，是满足 r a i n p 1 ，沈，鲰) sk + 1 的自然数，由引理3 3 和定理3 1 并应用归纳假设，对每个i = 1 ，2 ， ，有 f l ( z ) 五一i ( z ) 0 + i ( z ) 厶( z ) 斫( z ，) 豇l ( 以一1 ) 0 办l ( 盈+ 1 ) 鲩( ) + f 1 ( z l ， 一1 ( z l ，一 f i + l ( z 1 ， ，z i 10 + 1 ，向) ，魂- 17 0 ，盈+ 1 ，) 0 ，盈。10 毛+ 1 ，一，翻) a ，z i 。10z i + l ，) + 0 ，+ 9 1 。 一l ( z ) ； ； 吼一1 。1 ( z ) 0 0- 0 g i + l 。1 ( z ) g i + l ，“( z ) ； ； 鳜。1 ( z ) 鲰j 一1 ( z ) 砰( 力 ： 碴1 ( z ) 0 j 曩1 0 ) ： 露( z ) + + 1 研( z ) ： 砭一。( z ) 0 硌l ( z ) ： 砭( z ) 0 卯抖1 ( z ) 0 玑一1 , i + l ( z ) 00 00 0 鲰 + l ( z ) 搿1 乳。( z ) 吼一1 。0 ) 0 吼+ l ，n ( z ) ， 0 ( 3 2 2 ) 其中砖，乳，t ( s ，= l ，2 ，n ) 均是岛上的全纯函数，而且对j i ，露( 勺) 是单位圆盘 d 上的正规化双全纯凸映射在( 3 2 2 ) 式中令z 8 = 0 ，= 1 ，j 一1 , j + 1 ，n ， 扩料榭 0 ： o 0 0 ； o 一 。 一 一 一 0 ； o o 0 ； o o ； 0 o o ； 0 一 一 一 一 0 ； o 0 o ； o ：攒搿；扩 河南大学硕士学位论文 则有彰( 刁) = ，j ( o ，o ，勺，0 ，o ) ，j e 与 无关 由此可以统一记彩( ) = f j ( o ，o ，乃，0 ，o ) ，对( 3 2 2 ) 式的两端关于i 从l 到n 求和( 注意原式中9 ；= 0 ) 得到 即 一1 )= m 一1 ) m ( z 1 ) , 9 2 ( 2 ：2 ) ! 肼；( ) + $ ： 0 定理得证 定理1 2 的证明展开式部分只需将定理3 2 中式( 3 7 ) 的矩阵乘开即可而 对于系数估计部分，注意到对于单位圆盘上的凸函数的系数估计【6 】，则i i 1 ， = 1 ，2 ，n ，2 j 证毕 矿矿；豺 力力 力小以；似 矿扩；扩 、f ) ) z z “；0 g g z z “o：“ 卯 鳙 0 “；“ 驰 鼽 ，。一 + ： m 虫 t 妄 ，。一 = ， 参考文献 【1 】1 g o n 9 1 s g o n g ，c o n v e xa n ds t a r l i k em a p p i n g si ns e v e r a lc o m p l e xv a r i a b l e s 【m l ，k l u w e ra c a - d e m i cp u b l i s h e m ，1 9 9 8 【2 】 o o n 9 2 龚畀，多复变数的凸映照和星形映照( 第一版) ，科学出版社，北京，1 9 9 5 【3 】 a o n 9 3 龚异，多复变数的凸映照和星形映照( 第二版) ，科学出版社，北京，2 0 0 3 【4 】f g o n 9 4 sg o n g ，t h eb i e b e r b a c hc o n j e o t u r e m ，i n t e r n a t i o n a lp r e s sc o m p a n y , 1 9 9 9 【5 】 g o n g - y u z h e n g 龚异，余其煌，郑学安，布洛赫常数与施瓦兹导数，上海科学技术书版社。 1 9 9 8 6 1 【g r a ，r k o h g r a h a m i a n dk o h r ，g ，g e o m e t r i cf u n c t i o nt h e o r yi no n ea n dh i g h e rd i m e n s i o n s n e w y o r k ，2 0 0 3 【7 】 g r a l sg k r a n t z ，f a n c t i o nt h e o r yo fs e v e r a lc o m p l e xv a r i a b l e s ，r e p r i n to ft h e1 9 9 2e d i t i o n a m sc h e l s e ap r o v i d e n c e ，r i ，2 0 0 1 【8 】【l i u - l i u 】刘太顺，刘浩，有界凸圆型域上的准凸映射嘲，数学学报，4 4 ( 2 0 0 1 ) ，2 8 7 2 9 2 ， 【9 】 l i u - r e n t s l i u ，g b r e n ，t h eg r o w t ht h e o r e mf o rs t a r l i k em a p p i n g so nb o u n d e ds t a r l i k e c i r c u l a rd o m a i n s ，c h i na n n o fm a t h ，1 9 ( b ) ，4 ( 1 9 9 8 ) ，4 0 1 - 4 0 8 【1 0 】【l i u - z h a i l 9 1 】刘太顺，张文俊，b p 上正规化双全纯凸映射的齐次展式【j 】，中国科学，2 7 ： 5 0 9 9 7 ) ，3 8 5 3 9 2 i n 【l u _ z h a n 9 2 】刘太顺，张文俊，r e i n h a r d t 域上正规化双全纯凸映射的分解定理【j 1 中国科学， 3 2 ：9 ( 2 0 0 2 ) ，8 0 7 - 8 1 8 【1 2 】 l i * z h 9 3 1 刘太顺，张文俊，复b a n a c h 空间单位球上准凸映射的增长定理与掩盖定理 j 】 中国科学。3 2 ：1 1 ( 2 0 0 2 ) ，1 0 3 3 - 1 0 4 1 1 3 l i u - z h a n 9 4 刘太顺，张文俊，多圆柱上的完全准凸映射【j 】，数学年刊，2 5 a