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西北大学硕士学位论文 摘要 函数的均值估计问题在解析数论的研究中占有十分重要的地位，许多著名数 学难题皆与之相关因此，在这一领域的任何实质进展都必然对解析数论的发展 起到重要作用 著名的数学大师美籍罗马尼亚人f l o r e n t i ns m a r a n d a c h e 一生中引入了许多 十分有趣数列和数论函数，并提出了许多问题和猜想他在1 9 9 3 年发表的只有 问题，没有解答! 一书中提出了1 0 5 个关于数论函数和序列的问题和猜想，很 多学者都在研究这些问题和猜想，并且有的已经得到了一些十分重要的结果 本文主要研究了一些数论函数的均值性质和混合均值的性质，得到了一些渐 近公式具体的说，本文的成果主要包括以下几个方面： 1 研究了一个包含s m a r a n d a c h e 平方补数的极限问题，得到了一个极限公 式； 2 研究了一个关于正整数七次根的整数部分序列的均值，并利用初等的方 法得到了一个有趣的渐近公式： 3 用初等的方法研究了一个s m a r a n d a c h e 函数与最小素因子的均值，并得 到一个渐近公式 关键词：f s m a r a n d a e h e 问题；均值；渐近公式 o nt h em e a nv a l u eo fs o m ea r i t h m e t i c a lf h n c t i o n s a b s t r a c t ( 英文摘要) t h em e a nv a l u ep r o b l e m so ff u n c t i o n sp l a ya ni m p o r t a n tr o l ei nt h es t u d yo f a n a l y t i cn u m b e rt h e o r y ，a n dt h e ya r er e l a t e dt om a n yf a m o u sn u m b e rt h e o r e t i c p r o b l e m s t h e r e f 6 r e ，a n yn o n t r i v i a lp r o g r e s si nt h i sf i e l d w i l lc o n t r i b u t et ot h e d e v e l o p m e n to fa n a l y t i cn u m b e rt h e o r y a m e r i c a n i 沁m a n i a nn u m b e rt h e o r i s tf l o r e n t i ns m a r a n d a c h ei n t r o d u c e d h u n d r e d so fi n t e r e s t i n gs e q u e n c e sa n da r i t h m e t i c a lf u n c t i o n ，a n dp r e s e n t e dm a n y p r o b l e m sa n dc o i l j e c t u r e si nh i sl i f 色i n1 9 9 3 ，h ep u b l i s h e dab o o kn a m e d“0 n l y p r o b l e m s ，n o ts o l u t i o n s ! ”t h eb o o kp r e s e n t e d1 0 5u n s o l v e da r i t h m e t i c a lp r o b l e m sa n dc o n j e c t u r e sa b o u tt h e s ef u n c t i o n sa n ds e q u e n c e s m a i l yr e s e a r c h e r sh a v e s t u d i e dt h e s es e q u e n c e sa n df u n c t i o n sf r o mt h i sb o o k ，a n do b t a i n e ds o m ei m p o r t a n tr e s u l t s i nt h i sd i s s e r t a 七i o n ，w es t u d i e dt h em e a nv a l u ea n dh y b r i dm e a nv a l u ep r o p e r t i e so fs o m ea r i t h m e t i cf u n c t i o n ，a n dg o ts o m ea s y m p t o t i cf o r m u l a sa b o u tt h e m s p e c i a l l y ，t h em a i nc o n t r i b u t i o n si nt h i sp a p e ra r ea u sf o l l o w s ： 1 u s i n gt h ea n a l y t i cm e t h o d s ，w es t u d i e dal i m i tp r o b l e mi n v 0 1 v i n gt h e f s m a r a n d a c h es q u a r ec o m p l e m e n t a r yn u m b e rs s c ( 礼) ，a n do b t a i n e di t 8l i m i t v a l u e 2 w bs t u d i e dt h ea s y m p t o t i cp r o p e r t i e so ft h ei n t e g e rp a r to ft h e 七一t hr o o t p o s i t i v ei n t e g e ra n dg a ea ni n t e r e s t i n ga s y m p t o t i cf o r m u l a 3 u s i n gt h ee l e m e n t a r ym e t h o d s ，w es t u d i e dt h eh y b r i dm e a nv 甜u ei n v o l v i n gs m a r a n d a c h ef h n c t i o na n dt h el e a s tp r i m ed i v i s o rf h n c t i o n ，a n dg a ea n a s y m p t o t i cf o r m u l a k e y w o r d s ：s m a r a n d a c h ef u n c t i o n ；m e a nv a l u e ；a s y m p t o t i cf o r m u l a i i 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。 本人允许论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研 究所等机构将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库或其它 相关数据库。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：2 辇盘 指导教师签名： 砌箩年月修日2 切驴年月p 日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，本论文不包含其他人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而 使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：卉琼 2 嘴年月1 5 日 西北大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 数论简介与历史 在有文字历史记录之前，由于人们生产和生活的需要，人们便开始用石子、 树枝或结绳来计数，这样最初的数字的概念便由此产生了而现在，从最基本的 日常生活乃至最尖端科学技术的发展更是离不开1 ，2 ，3 ，这些简单的自然 数由于实践的需要，人们将它扩充到正整数、整数，而其它的数字，例如有理数， 负数等等都是以正整数为基础定义而来的，因此通过研究正整数的规律，可以进 一步探索许多有趣和复杂的数学规律数论这门学科最初是从研究整数开始的， 所以叫做整数论，后来整数论又进一步发展就叫做数论了确切的说，数论就是 一门研究整数性质的学科 从古至今，对整数性质的研究就一直备受数学家们的青睐对此，人们在这 方面做了大量的研究工作自我国古代开始，许多著名的数学著作中都包含了关 于数论内容的论述，比如求最大公约数、勾股数组、某些不定方程整数解的问题 等等；同样在国外，古希腊时代的数学家对于数论中一个最基本的问题一整除性 问题就有系统的研究，关于质数、和数、约数、倍数等一系列概念也被提出来并 有了具体的应用在我国近代，数论也是发展最早的数学分支之一从二十世纪 三十年代开始，数学家们便逐渐在解析数论、丢番图方程、一致分布等方面都有 过重要的贡献，出现了例如华罗庚、闵嗣鹤、柯召等一流的数论专家，其中最为 突出的是华罗庚教授在三角和估值、堆砌素数论方面的研究工作后来各个时代 的数学家也都对整数性质的研究做出过重大的贡献，使数论的基本理论逐步得到 完善 ， 数学学科的发展离不开数论的推动，随着数字化时代的到来，数论( 包括与 其相关联的离散数学) 显示了空前的重要性自数论形成一门独立的学科后，随 着数学其它分支的发展，研究数论的方法也在不断发展按照研究方法来说，可以 分成初等数论、解析数论、代数数论和几何数论四个部分 初等数论是研究整数性质和方程及方程组整数解的一门学科它是数论中不 求助于其它数学学科的帮助，只依靠初等的方法来研究整数性质的分支最主要 的工具包括整数的整除性与同余，中国剩余定理、费马小定理、二次互逆律等等 都是初等数论中很重要的内容初等数论被誉为“思维的体操”和数学游戏现 如今，它在计算机科学、通讯工程、代数编码等许多领域得到日益广泛的应用 解析数论起源于素数分布、哥德巴赫猜想、华林问题以及格点问题的研究， 是用解析的方法作为其研究工具的一个分支，主要可以分为积性数论与加性数论 两类积性数论由研究积性生成函数的性质来探讨质数分布的问题，其中质数定 理与狄利克雷定理是这个领域中最著名的古典成果加性数论则是研究整数的加 法分解的可能性与表示的问题，华林问题是该领域最著名的课题此外，例如筛 法、圆法等等，都是属于这个范畴的重要议题解析数论是解决数论中艰深问题 的强有力工具我国数学家陈景润在1 9 6 6 年证明“歌德巴赫猜想”的“一个大 1 第一章绪论 偶数可以表示为一个素数和一个不超过两个素数的乘积之和”中，使用的便是解 析数论中的筛法他的这一方法在国际数学界引起了强烈的反响，人们盛赞陈景 润的论文是解析数论的名作、是筛法的光辉顶点，被认为是世界领先的优秀成 果至今，这仍是“歌德巴赫猜想 的最好结果由于解析数论本身是在和其它学 科互相渗透的过程中逐步发展的，因此它一直是数论中十分活跃的一个分支 代数数论可以说是古典数论的现代化，是现代数学最重要的分支之一，处于 当代最活跃的数学前沿它研究代数数域和代数整数，用代数工具来研究数论问 题，是将整数的概念推广到代数整数的一个分支它以理想的理论和方法为基本 特征，是古典数论到近代的自然发展数学家把整数概念推广到一般代数数域上 去，相应地也建立了素整数、可除性等概念代数数论的研究领域和理论已极大 的拓展，现已包括各种局部域，代数函数域，各种z e 亡n 函数，l 函数等等 几何数论研究的基本对象是“空间格网”在给定的直角坐标系上，坐标全 是整数的点，叫做整点，全部整点构成的组就叫做空间格网空间格网对几何学 和结晶学有着重大的意义 数学大师高斯曾经有过这样的著名论断：数学是科学的皇后，数论是数学 中的皇冠因此，数论在数学中的地位是独特的而数学家们常常都喜欢把数论 中一些悬而未决的疑难问题叫做“皇冠上的明珠 ，以鼓励人们去“摘取”比 如，费尔马大定理、孪生素数问题、歌德巴赫猜想、圆内整点问题、完全数问 题 数论是最古老的数学分支，又是始终活跃着的前沿数学领域；数论是最典型 的纯粹数学，它又是日益得到广泛应用的新“应用数学”的分支现代的数论已 经同发展高度融合，不仅仅是研究整数了，它还研究代数数，研究代数函数，代数 几何中的代数簇，椭圆曲线，模形式，局部域，表示论，超越数等等现代数论的方 法已是代数、解析、几何的高度综合，融合着数学最现代的思想和成就比如，在 计算方法、代数编码、组合论等方面都广泛使用了初等数论范围内的许多科研 成果另有报道称，现在有些国家应用“孙子定理”来进行测距，用原根和指数来 计算离散傅立叶变换等此外，数论的许多比较深刻的研究成果也在近似分析、 差集合、快速变换等方面得到了应用特别是由于计算机的发展，用离散量的计 算去逼近连续量而达到所要求的精度已经成为可能 但是，数论发展到今天，仍然有很多的世界难题，数论需要发明更强有力的工 具才能有所发展所以想要在数论领域有所建树，不仅仅是解决几个世界难题同 时如果仅仅利用现有的方法解决遗留的世界难题，那么是比较遗憾的例如，初 等数论中的一些问题经过不少大科学家长时间的努力都尚未解决，但他们的努力 不是徒劳的，在解决或致力于解决这些问题的过程中，他们引入了许多新的思想， 创造了新的方法和概念这些新思想，新方法和新概念的提出和完善，往往比解 决某个具体数论问题具有更重要的意义这就提醒我们在数论研究的过程中，需 要的是高屋建瓴、统揽全局的先进思想方法与解决一般问题一般方法的统一，以 便能够做到推动数论科学向更广阔、向更深入的领域发展 2 西北大学硕士学位论文 1 2 研究背景与课题意义 数论，是研究数的规律，特别是研究整数性质的数学分支数论形成一门独 立的学科后，随着其他数学分支的发展，研究数论的方法也在不断的发展，现代数 论已经深入到数学的许多分支，在我国数论也是发展最早的数学分支之一 自变量n 在某个正整数集合中取值，因变量可取实数值或复数值的函 数剪= ，( 礼) 称为数论函数，它们在许多数论问题的研究中起着非常重要的作用 虽然很多重要的数论函数的单个取值往往很不规则，但是它们的均值，( 礼) 却 运z 表现出很好的规律性，因此数论中对数论函数性质的研究经常是在均值意义下进 行的【1 】f 3 】【4 1 函数的均值估计是数论研究的重要课题之一，是研究各种数论问题不可缺少 的工具许多著名的数论难题都与这些均值密切相关，因而在这一领域取得任何 实质性进展都必将对数论发展起到重要的推动作用 著名数论专家罗马尼亚人f l o r e n t i ns m a r a n d a c h e 教授在他著名的o n l y p r o b l e m s ，n o ts o l u t i o 璐一书中，提出了1 0 5 个尚未解决的数论问题，其中许 多问题都具有一定的研究价值，对其中的一些问题进行深入研究并给予一定程度 上的解决，是很有趣并且具有一定理论意义 基于对s m a r a n d a c h e 问题的研究兴趣，我们应用初等数论、解析数论等知 识对他所提出的几个尚未解决的问题进行研究，主要研究了数论中一些数论函数 的均值性质、与一些重要函数之间的联系，以及有关均值的渐近公式 1 3主要成果和内容组织 综上所述，f 1 0 r e n t i ns m a r a n d a c h e 教授提出的数论问题以及这些问题的衍 生命题在数论研究中都占有非常重要的地位，同时研究它们的均值性质和其它方 面的性质也具有很大意义 本文主要研究了这些数论函数的均值性质和混合均值性质通过研究函数之 间的关系，得到了一些渐近公式具体来说，本文的成果主要包括以下几个方面， 分布在第三章至第五章： 1 研究了一个关于s m a r a n d a c h e 平方补数的均值性质，得到了一个非常有 趣的渐近公式回答了f e l i c er u s s o 教授提出的l i m = 笋学问题，并得到了另 n 。【n j 个有意义的极限公式 2 研究了一个关于正整数k 次根的整数部分序列的均值，并利用初等数论 的方法给出了一个有趣的渐近公式 3 分别研究了一个关于s m a r a n d a c h e 函数与最小素因子和最大素因子的均 值，并得到了它们的渐近公式 3 第二章基本概念及定理 第二章基本概念及定理 为了完成后面问题的研究和证明，我们需要一些常用数论函数的基础知识， 因此在本章将其简单列出 2 1常见数论函数 在正整数上定义的实值的或者是复值的函数称为数论函数或算术函数即自 变量n 在某个整数集合中取值，因变量秒取复数值的函数= ，) 即为数论函 数它们在研究许多数论问题中起着十分重要的作用，在此作一简单介绍方便 起见，我们设n 的标准分解式为n = 衍1 硝2 p q ( 1 ) m 6 b i u s 函数p ( 扎) ： f 1 ，礼= 1 ； p ( n ) = ( 一1 ) 七，当q l = q 2 = = q j i ； lo ，其它( 当且仅当礼有一个 l 的平方因子) ( 2 ) e u l e r 函数妒( n ) ：n 1 ，( 亿) 定义为不大于n 并与n 互素的数的个数， 即： n ( 礼) = 7 1 詹= 1 ( 3 ) 除数函数盯q ( n ) ：盯q ( 礼) = 铲为礼的约数的q 次方幂的和 d i n 当q = o 时，印( n ) 是n 的约数的个数，常用d ( 礼) 表示，所以有： ， d ( n ) = 1 ， d i t l 当口= 1 时，盯l ( 礼) 是n 的约数之和，通常称为除数和函数，用口m ) 表示，所 以有： 盯( 佗) = d 2 2e u l e r 求和公式 在后面的证明过程中会频繁用到e u l e r 求和公式，在此作一介绍，即下面的： 定理2 1 ：设，在区间b ，z 】上连续可微，其中o 可 z ，则有： ，委z 砌) = 胁肼序圳八岫 掣 n z i ，t ，可 +厂( z ) ( 【z 】一z ) 一，( 剪) ( 【可】一y ) ， 其中嘲表示亡的最大整数 西北大学硕士学位论文 2 3 d i r i c h l e t 乘积的部分和 在后面的证明过程中会用到此公式，在此介绍即： 定理2 2 ：如果有。与6 是正实数，使得口6 = z ，则有： ，( d ) 9 ( 口) = ，( 礼) g ( 署) + 9 ( 竹) f ( 罢) 一f ( n ) g ( 6 ) 口，d n n n s d 口d s 2 4 a b e l 恒等式 下面介绍后面要用到的a b e l 恒等式 定理2 3 ：对任一数论函数n ( n ) ，令a ( z ) 罩n ( 扎) ，当z 1 时，a ( z ) = o ，假 n z 设，在区间b ，叫有连续导数，其中o y z ，则有： 。，要z 口( 枷( 垆删叫帕) 一f 删他皿 n ! d ( n + s s c ( 佗) ) 的均值，并得到： ，l z 三如仙咖) ) _ 杀北2 外缸讹z + 。( 声s ) ， 其中a 1 和a 2 是可计算的常数，s 是任意一个正整数 f e l i c e r u s s 。教授【6 】建议我们计算撬考筹的极限，其中p ( 佗) = l n ( s s c ( 礼) ) ，事实上，我们比较容易就得到n m 掣：o ： n _ 拶i 礼) 这部分内容研究了另外的一个包含平方补数的渐近公式，并得到了一个有趣 的极限公式 定理3 1 ：设d ( 礼) 表示d i 死c 允z e 除数函数，那么我们有如下的极限公式： l i m 七+ n 凫 n l ，有渐近公 式： 驴s 咖胪器尼+ 器( 2 + 鬻) c 埘n 其中d ( 礼) 表示d 椭c 地除数函数，e ( s ) 表示兄i e m n n n 名e 亡口函数， ( 1 ) = u ( 1 一万番) ，可表示对所有素数p 求积，7 为眈f e r 常数 驴s 咖炉三( 器* 去均一1 ) + 。降2 圳 = 器七( 互学q 互害) + 。卜三訾掣) t 2 1 ，有渐近公式： 1 n ( 脚) ) - 胁七一警( 饥2 n n 七 证明：由平方补数和m 6 b i u s 函数的定义可知： l n ( s s c ( 佗) ) = l n ( 舶c ( m 2 f ) ) i p ( f ) n m 2 c 冬砖 = l n f p ( d )_j_ m 2 z 七d 2 悼 ： f 肛( d ) l n ( d 2 九) m 2 d 2 南 7 第三章一个包含s m a r a n d a c h e 平方补数的极限 = 2 p ( d ) l n ( d ) + p ( d ) l n ( 九) ( 3 1 ) m 2 d 2 ，l 七 t 7 1 2 d 2 h 七 三去刊+ 。( 三) ， 三譬= 志+ 。( 三) ， 和 跏，= 薹譬= 南， 可得到： 一 f ，( m 卜薹学一器， 由以上公式我们可以得到： 霎譬= 器 n = l 3、7 p ( d ) l n d5 p ( d ) l i ld 1 m 2 d 2 s 七 d 2 s 七 m 2 h 嘉 = 肛( d ) 1 nd 1 勰 m 乎 手南 = 砌) 1 nd ( 志+ o ( 1 ) ) 酽y m s 警 ， “磊学毒嘉加峰m 刮1 ) d 2 s 、k m s 孚酽s 矗m s 警 = 南磊学( m ( 罴) ) + 。卜磊学)d 2 七 、 d 、_ i c 刮2 ，七溪学+ 。( 分。磊学) 8 西北大学硕士学位论文 = ) 七器+ 。( 佩2 七) = 器七+ 。( 讥2 七) ， 由公式( 1 ) 和e u l e r 求和公式可得： ( 3 2 ) lp ( d ) l n 九2 p ( d ) l n 九 m 2 d 2 l l 七m d 、屑| i 壶 = 善仨砌“志h 志一志+ 忐c 】，- n 志c 卅z ) ) m d 七 = 萎伍砌，( 志h 志一志+ 。( h 志) ) m d 七 、 = 七，尝一七二掣喾一七，鬈 + 0 ( ，i1 i l 志) ( 3 3 ) 其中 2 磊嘉( 高+ 。( 罴) ) = 志磊嘉+ 。b 磊书 = 高( m ( 去) ) + 。( 芸) = 1 + 。( 蒜) 、 4 ， 用同样的方法可以得到： 9 ( 志+ 。( 罴) ) 出铲 诺 土舻 刚 i f 躲 枷 m 熊舻 诺 业舻 蛳 2 * 簪 枷 堕舻 嘶 第三章一个包含s m a r a n d a c h e 平方补数的极限 和 = 高磊害+ 。( 去三等) 2以一l n 弧一1 ( ( 2 )以 = 斋卜d ( 絮) ，2 而+ 0l 丽j ， + 。( 褰) ( 3 5 ) m 乏譬= 2 磊譬三嘉m d s 、七d s 、七 m 等 = 2 磊学( m c 熹，) 叫匡学+ 。( 沙。b 蔓学) = 2 器+ 。( 赛) 6 ， 结合( 3 4 ) ，( 3 5 ) 和( 3 6 ) 我们即可得到如下公式： ，蒙，l n 圳啦警( 风2 n ( 3 7 ) ，n 2 d 2 七 ，、一7 由( 3 1 ) 和( 3 7 ) 即得： 三1 n ( 脚) ) - 胁七一等后+ d ( 弧l n 2 n n 七 、， 这样就证明了引理2 3 3定理的证明 现在我们可以对定理进行如下证明： 由引理1 和引理2 的结论，我们可以得到： h m 七+ o 。 d ( s s c ( 礼) ) 1 n ( 舶c ( n ) ) ：笠竺墨( 兰：二! 鲨竺! ! 望塑：业 后l n 七一错尼+ + o ( 弧l n 2 尼) ( ( 2 ) 西北大学硕士学位论文 注蒯) = 警酬1 ) 2 耳( 1 一南) ，疏 h m 七+ n 1 以及任意给定的整数后 l ，有渐近公式： p 引蝴= 端一( * ) 4 2定理的证明 在这一部分中，我们将完成定理的证明 对任意实数z 1 ，设m 为满足m 七z ( m + 1 ) 后的一个给定的正整数， 由s 七( n ) 的定义我们可得： 口2 ( s 詹( n ) ) = n z m 仃2 ( s 七( 礼) ) + 仃2 ( s 七( n ) ) = l ( t 一1 ) 。n 垆 f n 霉 m 一1 = 盯2 ( s 七( 佗) ) + 仃2 ( m ) t = 1t 知n ( 十1 ) k 彳k n z 1 2 西北大学硕士学位论文 = 黔矿。p + 乜以m ，) = 附1 ) 七一t 七职亡) + di 仃2 ( m ) i t = l 、m n 1 有 芝刊) 2 _ ，熹+ 。( 熹) ， 其中s 己( n ) = m i n 忌：礼l 1 ，2 ，叫) 本文利用初等的方法研究了y ( 几) 与n 的最小素因子p ( 几) 的一个混合均值 问题，并给出了一个渐近公式即： 定理5 1 三咻= 萼妻急+ 。( 禹) ， n 1 是实数，则有： m ) = 卜麓+ d ( 赢) ， 口 1 ，令n = 硝1 鹾2 霹r 是n 的标准分解式我们把区 间f 1 ，z 1 的所有正整数n 分成如下两部分： a ：u ( n ) = 1 ，即就是所有佗= 矿z 的正整数，其中p 是素数，q 是任意正 整数： b ：u ( 他) 2 ，其中u ) 表示n 的不同素因子的个数 下面我们分别进行计算： ( i ) 当礼以时，可设礼= 矿，则有y ( 扎) = q p ，从而由引理( 5 1 ) 及引 理( 5 2 ) 得： y ( 佗) p ( 扎) n a 1 5 沪 口 三一 = ，= ：、0 口 剃 = 舻 q 量酣 +萨 睡 = 第五章一个数论函数与素因子函数的混合均值 = 尬+ 由引理( 5 2 ) 和m e f 恒等式得： 和 尬寺3 喜惫+ 。( q 矿 2 q l n z p s 呖 l i l 七+ 1 z q 矿口p 2 2 n s l nzp 穹压2 o l nzp 、i 。，甜p 萎惫+ d 七 ， 2 a l n z i = l 一 3 z 互 禹z z 把( 5 2 ) 式和( 5 3 ) 式代入( 5 1 ) 式得： m 荆= 等萎鑫 q丹 n al = l + 。( 3 z 2 1 n 七+ l z 1 n 七+ lz ) ) ( 说) 当扎b 时，此时设y ) = q - p ，亿= m 矿，且p p ) 从而有： n by ( 缈) p ( 佗) = 唧( n ) 舻 n bl n l n zd z 由，m 声 一一d 气z 口t j p 一 妒砉q p 1 a l nzp z 由 ， 1 n l nz p z 壬 z 2l n z 综合以上( 5 4 ) 和( 5 5 ) 得： 薹y c 咖c 佗，= 萼妻志+ 。(n zi = l 、 完成定理5 1 的证明 1 n 血+ 1 z ( 5 1 ) ( 5 2 ) ( 5 3 ) ( 5 4 ) ( 5 5 ) 用与定理5 1 相同的证明方法可以得到数论函数y ( n ) 与竹的最大素因 子尸( n ) 的一个混合均值，并得到一个渐近公式即： 1 6 七试 西北大学硕士学位论文 定理5 2 ： 三m 州= 萼妻惫+ 。( 熹) ，三m 州2 等善惫+ 0 ( 赢) 其中n i = 0 1 ) ! 为可计算的常数 这部分与定理5 1 极为相似不同的是定理5 1 是关于最小素因子的混合均 值，而定理5 2 是关于最大素因子的混合均值 5 4 小结 本章我们研究了一个f s m a r a n d a c h e 函数y ( 礼) 与最大素因子和最小素因 子的混合均值，我们可以看到通过两个几乎相同的证明过程得到完全一致的渐近 公式，这个有趣的结论启发我们去研究更多的数论函数之间的相关性质，以期得 到更完美的结论， 1 7 第六章小结与展望 第六章小结与展望 在o n l yp r o b l e m s ，n o ts o l u t i o n s 一书中，罗马尼亚著名数论专 家f s m a r a n d a c h e 教授提出了许多有待解决的数论问题事实上，现在有很 多国内外专家和学者都在对这些问题进行研究，得到了很好的结果本文主要研 究了其中的一些特殊数列及函数的均值，用初等数论方法和解析数论的方法得出 了一些较好的结果然而该书中还有许多问题值得我们进一步去研究，作者认为 在本文的基础上，还可以继续做如下研究工作： 1 继续研究定理中的误差估计，希望可以找到更好的误差估值和更精确的 渐近公式 2 在第5 章中出现的相似性，或许还有更多的函数具有这样的性质，这就有 待于我们进一步的研究 建议有兴趣的读者和我们一起继续研究、学习1 1 8 西北大学硕士学位论文 参考文献 【1 】t m a p o s t o l ，i n t r o d u c t i o nt oa n a l y t i cn u m b e rt h e o r y ，n e wy b r k ，s p r i n g e r v e r l a g ，1 9 7 6 2 】j o z s e fs a n d o r ， 0 na ng e n e r a l i z a t i o no ft h es m a r a n d a c h ef u n c t i o n ， n o t e s n u m b t h d i s c r m a t h ，1 9 9 9 ，5 ，4 1 5 1 【3 】潘承洞，潘承彪，初等数论，北京，北京大学出版社，1 9 9 2 【4 】潘承洞，潘承彪，解析数论基础，北京，科学出版社，1 9 9 9 5 】g h h a r dy ，s r a m a n u j a n ，t h en o r m a ln u m b e ro fp r i m ef a c t o r so fa n u m b e r n ，q u a r t j m a t h ，1 9 1 7 ，4 8 ，7 昏9 2 f e l i c er u s s o ，a ni n t r o d u c t i o nt ot h es m a r a n d a c h es q u a r ec o m p l e m e n t a r y f u n c t i o n ，s m a r a n d a c h en o t i o n s ( b o o ks e r i e s ) ，2 0 0 2 ，1 3 ，1 6 0 一1 7 2 7 】华罗庚，数论导引，北京，科学出版社，1 9 7 9 【8 】潘承洞，潘承彪，素数定理的初等证明，上海，上海科学技术出版社，1 9 8 8 【9 柯召，数论讲义，北京，高等教育出版社，1 9 8 6 1 0 】闵嗣鹤，数论的方法，北京，科学出版社，1 9 8 1 1 1 】冯克勤，代数数论，北京，科学出版社，2 0 0 0 1 2 】 【1 3 】 【1 4 】 【1 5 】 f s m a r a n d a c h e ，0 n l yp r o b l e m s ，n o ts o l u t i o n s ，c h i c a 宫o ，x i q u a np u b l i s h i n g h o u s e 1 9 9 3 z h a n gw 6 n p e n g ， o nt h es y m m e t r i cs e q u e n c ea n di t ss o m ep r o p e r t i e s ， s m a r a n d a c h en o t i o n s ( b o o ks e r i e s ) ，2 0 0 2 ，1 3 ，1 5 0 1 5 2 h a r d y g h ，w i 曲t e m ，a ni n t r o d u c t i o nt ot h et h e o r y0 fn u m b e r s ，o x f o r d ， o x f o r du n i v e r s i t yp r e s s ，1 9 7 9 p a nc h e n g d o n g ，p a nc h e n g b i a o ，f o u n d a t i o no fa n a l y t i cn u m b e rt h e o r y ， b e i j i n g ，s c i e n c ep r e s s ，1 9 7 7 1 6 杜瑞芝，数学史辞典，山东，山东教育出版社，2 0 0 0 【1 7 】 1 8 】 【1 9 2 0 】 【2 1 l ih a i l o n g ，z h a ox i a o p e n g ，0 nt h es m a r a n d a c h ef h n c t i o na n dt h e 忍一t hr o o t s o fap o s i t i v ei n t e g e r ，r e s e a r ( 血o ns m a r a n d a e h ep r o b l e m si nn u m b e rt h e o r y ， h e x i s ，2 0 0 4 ，11 9 1 2 2 。 l em a o h u a ，s o m ep r o b l e m sc o n c e r n i n gt h es m a r a n d a c h es q u a r ec o m p l e m e n - t a r vf h n c t i o n ( i i ) ，s m a r a n d a c h en o t i o n sj o u r n a l ，2 0 0 4 ，1 4 ，3 3 0 3 3 2 z h uw 西y i ，0 nt h e 七一p 帆伧rc o m p l e m e n t s m a r a n d a c h en o t i o n sj o u r n a l ，2 0 0 4 ，1 4 ， a n d 七一p o w e rf t e en u m b e rs e q u e n c e ， 6 6 6 9 z h a n gw e n p e n g ， i d e n t i t i e so nt h e七一p o 、v e r c o m p l e m e n t s ， r e s e a r c ho n s m a r a n d a c h ep r o b l e m si nn u m b e rt h e o r y h e x i s ，2 0 0 4 ，6 1 6 4 x uz h e f 色n g ，o nt h ea d d i t i v e 后一p o 、v e rc o n l p l e m e n t s ，r j e s e a r c ho ns m a r a n d a c h e p r o b l e m si nn u m b e rt h e o r y ，h e x i s ，2 0 0 4 ，1 3 1 6 1 9 参考文献 【2 2 】婆虹二个新的数论函数及其它的值分布，纯粹数学与应用数学，2 0 0 7 ，2 3 ( 2 ) ， 2 3 5 2 3 8 、 徐哲峰，s m a r a n d a c h e 幂函数的均值，数学学报，2 0 0 6 ，4 9 ( 1 ) ，7 7 8 0 徐哲峰，s m a r a n d a c h e 函数的值分布性质，数学学报，2 0 0 6 ，4 9 ( 5 ) ，1 0 0 9 - 1 0 1 2 l vc h u a n ，an u m b e rt h e o r e t i cf h n c t i o na n di t sm e a nv a l u e ，i 沁s e a r c ho n s m a r a n d a c h ep r o b l e m si nn u m b e rt h e o r y h e x i s ，2 0 0 4 ，3 3 3 5 z h a n g1 v n p e n g ，x uz h e f 色n g ，o nt h es m a r a n d a c h ef u n c t i o na n ds q u a r ec o m p l e m e n t s ，s c i e n t i am a g n a ，2 0 0 5 ，1 ( 1 ) ，1 4 y a n gh a i ，f ! ur u i q i n ，0 nt h ei n t e g e rp a r to fap o s i t i v ei n t e g e r s 七一t hr o o t ， s c i e n t i am a g n a ，2 0 0 5 ，1 ( 1 ) ，6 1 6 6 2 8 】1 y a n gh a i ，f ur u i q i n ，o nt h em e a nv a l u eo ft h en e a rp s e u d os m a r a n d a c h e f u n c t i o n ，s c i e n t i am a g n a ，2 0 0 6 ，2 ( 2 ) ，3 5 3 9 f 2 9 】张红莉，王阳，关于平方补数除数函数的均值，纺织高校基础科学学报，2 0 0 2 ， 1 5 ( 1 ) ，4 4 4 6 、 3 0 】 【3 1 y iy h a n ，0 nt h ea s y m p t o t i cp r o p e r t yo fd i v i s o rf u n c t i o nf o ra d d i t i v ec o m p l e m e n t s ，f 沁s e a r c ho ns m a r a n d a c h ep r o b l e m si nn u m b e rt h e o r y ，h e x i s ，2 6 0 4 ， 6 5 6 8 圣o uy d a p b ! n g ，a na s y m p t o t i cf o r m u l ai n v 0 1 v i n gs q u a r ee o m p l e m e n tn u m b e r s ， s m a r a n d a c h en o t i o n sj o u r n a l ，2 0 0 4 ，1 4 ，2 2 7 2 2 9 3 2 】王阳，关于平方补数的七次均值，宁夏大学学报，2 0 0 3 ，2 4 ( 1 ) ，2 6 - 2 7 3 3 】刘红艳，苟