回望期权.doc

回望期权一、 回望期权的概述 回望期权属于强路径依赖期权，其收益依赖于期权有效期内标的资产的价格的最大值或最小值。一般分为回望看涨期权和回望看跌期权。 若 代表标的资产曾经达到过的最小价格， 表示标的资产曾经达到的最大价格， 为标的资产到期时的价格。 看涨 回望期权 看跌 一、 回望期权的定价模型（1） 模型建立及简化我们以看跌期权为例。 设f 代表回望期权的价格，则f是变量的函数，即 其中 ，我们将建立f所满足的微分方程，为此构造一个投资组合 （7.4.2） （我们可以构造一个包含份的标的资产空头和一份单位的衍生证券空头的投资组合）根据伊藤公式可得 （7.4.3）其中（，由于需要对标的资产连续支付红利，有在该式中含有dM项，由于M是0,t时间内标的资产的最高价格，银次它对t是不可微的。这里我们寻找一个收敛于Mt的可微函数列来近似代替Mt。为此定义 （7.4.4）由于St关于t是连续的，因此有 （7.4.5）所以，我们用Mn(t)代替Mt。显然，Mn(t)关于t是可微的，并且有下式成立 (7.4.6)证明：假设 将（7.4.6）式代入（7.4.3）式可得 (7.4.7)为使 在 内是无风险投资组合，需要取 （7.4.8）这时由无套利原理又有 （7.4.9）由（7.4.2），（7.4.7）和（7.4.8）式代入（7.4.9）式并整理可得 (7.4.10)对于固定的 ,令 ，由(7.4.5)式可知，方程（7.4.10）可进一步简化为 （7.4.11）根据期权到期时收益可知 ； ； 为定解区域的边界，此时期权标的资产的价格达到极大值。期权价格对M的敏感性降到了最低，既有 成立综上，回望看跌期权的定价模型为在区域 上求解方程（7.4.11）以及定解条件 （7.4.12） （7.4.13） 其中的变量M 可视为参数量，因为其在方程中并没有出现。（2） 、模型求解现在我们首先讨论回望期权定价模型（7.4,11）（7.4.13）的求解问题。取变量代换 (7.4.17)这里 x是matlab中的写法在计算中x应该等于由（7.4.17）可得 （1） (7.4.18) （2） （3）将（2），（3）代入（7.4,11）有 （7.4.19）由（1）式代入（7.4.12）得 （7.4.20）由（7.4.17）当T=t时有 =0，则由（7.4.13）有 （7.4.21）为将方程（7.4.19）转化为标准的热传导方程，令 （7.4.22）其中 当T=t时 代入方程（7.4.20）得 又由（7.4.22）得因此这时定解问题（7.4.19）（7.4.21）变为 （7.4.23） （7.4.24） （7.4.25）由于条件的存在。在此我们令 （7.4.26）求解如下问题 （7.4.27），（7.4.28）这里要求选取一个适当的，使得定解问题（7.4.27），（7.4.28）的解在边界x=0上自然满足边界条件 （7.4.29）这是，有定解问题7.4.237.4.25的解的唯一性，一定有下式成立 （7.4.30）根据泊松公式，定解问题（7.4.27）（7.4.28）的解可以表示为 （7.4.31）其中直接计算有 进而有为使 成立，由于因此有 故有以下定解问题 （7.4.32），（7.4.33）下面分两种情况给出回望期权定价公式1.如，即对于（7.4.32），（7.4.33）式由matlab编程求解如下 y=dsolve(Dy+a*y=-exp(a-1)*x),y(0)=0,x) y = (-1/(2*a-1)*exp(x*(2*a-1)+1/(2*a-1)*exp(-a*x)其中 即（这是书上解得，在此我以书上为准则)将代入（7.4.31），并由（7.4.30）式得到由于为分段函数，因此将积分分段得到最后由（7.4.17）、（7.4.18）和（7.4.22）式将原变量带回，得到时回望看跌期权定价公式为 （7.4.34）（函数算法太复杂这里不会算，下同）其中 2.若时，由（7.4.32），（7.4.33）通过matlab编程有 syms x y y=dsolve(Dy+1/2*y=-exp(1/2-1)*x),y(0)=0,x) y = -exp(-1/2*x)*x其中 即（又与书上求解结果不同，在此还是以书上为基准） 进而最后，得到时的回望看跌期权定价公式 （7.4.35）其中、和参数同（7.4.34）式。用类似办法对定解问题（7.4.14）（7.4.16）进行求解，可得到回望看涨期权的定价公式（1） 当时可有 （7.4.36）（2） 时可有 （7.4.37）其中建立在二叉树上的回望期权的matlab程序：function putprice = lookbackusa(s0,sigma,rfrate,q,t,ngrid)a=exp(rfrate-q)*t/ngrid);u=exp(sigma*(t/ngrid)0.5);d=1/u;p=(a-d)/(u-d);q=1-p;X=cell(ngrid+1,ngrid+1);for i=1:(ngrid+1) for j=1:i for k=1:j Xi,j.StrikeV(k)=S(s0,u,d,i-k+1,j-k+1)-S(s0,u,d,i,j); end; if(i=ngrid+1) Xngrid+1,j.OptV=Xngrid+1,j.StrikeV; end; end;end;for subi=ngrid:-1:1for subj=1:subi Xsubi,subj.NoStrikeV(1)=exp(-rfrate*t/ngrid)*. (p*Xsubi+1,subj.OptV(1)+q*Xsubi+1,subj+1.OptV(2); if(subj1) for subk=2:subj Xsubi,subj.NoStrikeV(subk)=exp(-rfrate*t/ngrid)*.(p*Xsubi+1,subj.OptV(subk-1)+q*Xsubi+1,subj+1.OptV(subk+1); end; end;Xsubi,subj.OptV=max(Xsubi,subj.NoStrikeV,Xsubi,subj.StrikeV); end; end; putprice=X1,1.OptV; end function s=S(szero,u,d,i,j) s=szero*u(i-1)*d(2*(j-1);End调试程序： lookbackusa(50,0.4,0.1,0,1,20)ans = 13.4036其中50为执行价格，sigma=0.4，无风险利率为0.1，q=0，时间为1年，20表示吧时间分为2