（系统工程专业论文）几类微分方程系统的数值方法及应用研究.pdf

j 0 0 c l a s s i f i e di n d e x ： u d c ： ad is s e r t a ti o nf o r t h ed e g r e eo fd e n g t h en u m e r i c a lm e t h o da n d a p p l i c a t i o n r e s e a r c hf o rs y s t e m sd e t e r m i n e db y s o m ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s c a n d i d a t e ：w a n gj u e s u p e r v i s o r ：p r o f l u oy u e s h e n g a c a d e m i cd e g r e ea p p l i e df o r ：d o c t o ro fe n g i n e e r i n g s p e c i a l t y ：s y s t e me n g i n e e r i n g d a t eo fs u b m i s s i o n ：a p r il ，2 0 1 0 d a t eo fo r a le x a m i n a t i o n ：j u n e ，2 0 1 0 u n i v e r s i t y ：h a r b i ne n g i n e e r i n gu n i v e r s i t y i 哈尔滨工程大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：本论文的所有工作，是在导师的指导下， 由作者本人独立完成的。有关观点、方法、数据和文献的引用 已在文中指出，并与参考文献相对应。除文中已注明引用的内 容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经公开发表的作品 成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中 以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承 担。 作者( 签字) ：上拯 日期： 矽i o 年6 月，岁日 哈尔滨工程大学 学位论文授权使用声明 本人完全了解学校保护知识产权的有关规定，即研究生在校 攻读学位期间论文工作的知识产权属于哈尔滨工程大学。哈尔滨 工程大学有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件。 本人允许哈尔滨工程大学将论文的部分或全部内容编入有关数据 库进行检索，可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本 学位论文，可以公布论文的全部内容。同时本人保证毕业后结合 学位论文研究课题再撰写的论文一律注明作者第一署名单位为哈 尔滨工程大学。涉密学位论文待解密后适用本声明。 本论文( 日在授予学位后即可口在授予学位1 2 个月后 口 解密后) 由哈尔滨工程大学送交有关部门进行保存、汇编等。 作者( 签- - t - ) ：擞 日期：切加年么月多日 导师( 签- - t - - ；) ：物镜 功fd 年6 月哆日 _ h 之 几类微分方程系统的数值方法及应用研究 摘要 近十年来微分方程与动力系统在理论研究、数值计算和实际应用等方面 得到了前所未有的发展，特别是非线性微分方程、随机微分方程以及非线性 动力系统、随机动力系统的蓬勃发展。这些都极大地推动了科学技术的发 展，为定性分析解决问题提供了强大的理论支持。实际上微分方程起源于对 物理学和相关实际问题的研究，这使得微分方程发展具有广泛的背景材料， 这也使得微分方程模型具有极大的普遍性、有效性和非常丰富的数学内涵。 目前微分方程建模、求解已成为解决工程实际问题最有效的处理手段之一。 本论文研究了几类微分方程系统的数值解法和一些相关的动力学行为。 论文大致可分为两部分。 第一部分由前两章构成。 第一章介绍了微分方程与动力系统的研究背景和发展现状，同时还介绍 了这一领域中些尚未解决的问题。 第二章研究了一类带有复杂边界条件的系统问题，即单一平面电容传 感器检测木材含水率模型问题。主要研究刻画此实际问题的微分方程数学 模型( 带有复杂边界条件的三维l a p l a c e 方程边值问题) 以及此微分方程的 数值求解。主要涉及静电场理论，偏微分方程数值解理论，病态线性代数 方程组求解技术，数值积分奇异性处理与正则化技术等。通过实验和计算 相结合的手段最终得到电容传感器电容值c 与被测木材含水率的函数关系 h t = g ( c 1 。 第三章主要研究非线性动力系统问题( 多维非线性偏微分方程初边值问 题) 的长时间数值计算和相应动力性质。主要研究了具有实际物理背景的非 线性发展方程，包括一维e f k 方程、二维g k s 方程、三维抛物型方程所描 述的动力系统问题。我们主要针对上述微分方程的具体特点构造数值离散格 式，证明了数值解的存在唯一性，给出了数值解的一些先验估计，在此基础 上得到了离散动力系统的近似整体吸引子的存在性及上半连续性，对一些问 题证明了格式的长时间收敛性和稳定性。特别对于半线性抛物方程我们估计 了近似整体吸引子的h a u s d o r f f 维数和分形维数。主要涉及无穷维动力系统 i 哈尔滨工程大学博士学位论文 理论，偏微分方程数值解理论，泛函分析理论，科学计算与可视化仿真技术 在打 寸。 关键词：木材含水率；单一平面电容传感器；无穷维动力系统；整体吸引 子；长时间稳定性和收敛性 l i i j 几类微分方程系统的数值方法及应用研究 i i 宣肓葺i i i 一 | 1 i 皇i 暑置 a b s t r a c t d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dd y n a m i cs y s t e m si nt h e o r e t i c a lr e s e a r c ha n dn u m e r i c a lc a l c u l a t i o nh a v eb e e nd e v e l o p e dq u i c k l yi nt h el a s tt e ny e a r s ，e s p e c i a l l y f o rn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，s t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，n o n l i n e a r d y - n a m ms y s t e m sa n ds t o c h a s t i cd y n a m i cs y s t e m s t h e s e p r o m o t et h ed e v e l o p m e n to f s c i e n c ea n dt e c h n o l o g ye n o r m o u s l y , a n dt h e yp r o v i d ep o w e r f u l l yt h e o r e t i c a ls u p p o r tf o rq u a l i t a t i v ea n a l y s i sa n ds o l v i n gp r o b l e m s i nf a c t , d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s s t e mf r o mt h e i rr e s e a r c h0 1 1p h y s i t sa n dr e l a t i v ep r a c t i c a lp r o b l e m s ，t h i sm a k e s t h e d e v e l o p m e n to fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n st oh a v ew i d eb a c k g r o u n d i ta l s om a k e st h e m o d e lo f d i f f e r e n t i a le q u a t i o n st oh a v eg r e a tg e n e r a l i t y , v a l i d i t ya n dr i c hm a t h e m a t i c a lm e a n i n g d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sm o d e l i n gh a sb e c o m eo n eo f h em o s t e f f e c t i v e w a y st os o l v ep r a c t i c a le n g i n e e r i n gp r o b l e m sa tp r e s e n t t h en u m e r i c a lm e t h o da n ds e v e r a lr e l a t e dd y n a m i cb e h a v i o rf o rt h es y s t e r n s w h i c hd e t e r m i n e db ys o m ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r es t u d i e di nt h i sp a p e r t h et e x t i sd i v i d e di n t ot w op a r t s p a r to n ec o n s i s t so f c h a p ia n dc h a p 2 c h a p t e r1i st h ee x o r d i u mw h i c hi n t r o d u c e st h er e s e a r c hb a c k g r o u n da n dt h e d e v e l o p m e n ts t a t u so fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dd y n a m i cs y s t e m s 舾w e l la ss o m e u n s o l v e dp r o b l e m sa r ei n t r o d u c e di nt h er e a l m t h es y s t e mp r o b l e mw i t hc o m p l e xb o u n d a r yc o n d i t i o n si ss t u d i e di nc h a p t e r 2 ，t h a ti sm o d e lp r o b l e mo fw o o dm o i s t u r ec o n t e n tt e s t i n gb ys i n g l ep l a n a rc a p a c 1 t i r es e n s o r i ta i m st or e s e a r c hd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sm o d e l i n g ( r e l a t e dt o 3 d l a p l a c ee q u a t i o nb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mw i t hc o m p l i c a t e db o u n d a r y c o n d i t i o n s ) a sac h a r a c t e r i z a t i o no f p r a c t i c a lp r o b l e m s ，a sw e l la sn u m e r i c a lc a l c u l a t i o no f 也e d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i tm a i n l yi n v o l v e se l e c t r o s t a t i cf i e l dt h e o r y , n u m e r i c a ls o l u - t i o nt h e o r yo fp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，t h es o l v i n go fl i n e a ra l g e b r ae q u a t i o n s w i t hi l l c o n d i t i o n ，s i n g u l a r i t yp r o c e s s i n go f n u m e r i c a l i n t e g r a t i o na n dr e g u l a r i z a t i o n t e c h n i q u e w eg e t 也ef u n c t i o nr e l a t i o n s h i ph r = g ( c 1b e t w e e nm o i s t u r ec o n t e n t o ft h et e s t e dw o o da n d c a p a c i t a n c eo fc a p a c i t i v es e n s o rb yc o m b i n i n ge x p e r i m e n t s h i 哈尔滨工程大学博士学位论文 w i t hc a l c u l a t i o n c h a p t e r3m a i m ys t u d yt h el o n gt i m en u m e r i c a lc a l c u l a t i o na n dt h ed y n a m - i c a lp r o p e r t i e so ft h en o n l i n e a rd y n a m i cs y s t e mp r o b l e m s ( m u l t i d i m e n s i o n a ln o n - l i n e a ri n i t i a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ) i ta i m s t or e s e a r c hn o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o nh a sp r a c t i c a lp h y s i c a lb a c k g r o u n d ，w h i c h i n c l u d i n gd y n a m i cs y s t e mp r o b l e m sw h i c ha r ed e s c r i b e dr e s p e c t i v e l yb y1d e f k e q u a t i o n , 2 dg k se q u a t i o na n d3 dp a r a b o l i ce q u a t i o n w ee s t a b l i s hn u m e r i c a l s c h e m eb a s e do nt h ec o n c r e t ec h a r a c t e r i s t i c so ft h e m t h eu n i q u es o l v a b i l i t yo f n u m e r i c a ls o l u t i o ni ss h o w n s o m ep r i o re s t i m a t i o n sf o rn u m e r i c a ls o l u t i o na r c p r e s e n t e d ，a n di ti sp r o v e dt h a tt h e r ee x i s t sag l o b a la t t r a c t o ro ft h ed i s c r e t ed y - n a m i cs y s t e ma n dt h eu p p e rs e m i c o n t i n u i t y0 1 1t h i sb a s i s f o rs o m ep r o b l e m s ，w e o b t a i nt h el o n gt i m es t a b i l i t ya n dc o n v e r g e n c eo f t h es c h e m e i n p a r t i c u l a r , f o rs e m i 1 i n e a rp a r a b o l i ce q u a t i o n , w ee s t i m a t eh a u s d o r f fd i m e n s i o na n df r a c t a ld i m e n s i o n o fa p p r o x i m a t ea t t r a c t o r i tm a i n l yi n v o l v e si n f i n i t ed i m e n s i o n a ld y n a m i c a ls y s t e m s t h e o r y , n u m e r i c a ls o l u t i o nt h e o r yo f p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，f u n c t i o n a la n a l y s i s t h e o r y , s c i e n t i f i cc a l c u l a t i o na n dv i s u a l i z a t i o ns i m u l a t i o nt e c h n o l o g y , e c t k e y w o r d s ：w o o dm o i s t u r ec o n t e n t ；s i n g l ep l a n a rc a p a c i t i v es e n s o r ；g l o b a la t t r a c t o t ；i n f i n i t ed i m e n s i o n a ld y n a m i c a ls y s t e m ；l o n gt i m es t a b i l i t ya n dc o n v e r g e n c e i v k 几类微分方程系统的数值方法及应用研究 目录 第l 章绪论1 1 1 研究背景及意义1 1 2 国内外研究概况和发展趋势3 1 2 1 偏微分方程数值解及相关领域概述3 1 2 2 偏微分方程数值求解主要方法5 1 2 3 线性代数方程组的求解1 0 1 2 4 两类微分方程简介1 1 1 3 本文的主要工作和创新点1 3 1 3 1 本文的主要创新点1 3 1 3 2 本文结构安排1 3 廿十 第2 章带有复杂边界条件的微分方程系统问题0 + 1 5 2 1 木材含水率检测问题的研究与发展1 5 2 2 单一平面电容传感器工作原理2 1 2 3 单一平面电容传感器数学模型的建立2 3 2 4 单一平面电容传感器数学模型的数值解法2 7 2 4 1 有限差分法2 7 2 4 2 边界元法3 8 2 5 本章小结5 0 第3 章离散动力系统问题5 1 3 1 无穷维动力系统相关概念5 1 3 2 离散动力系统数值研究5 4 3 2 1 一维e 方程5 4 3 2 2 二维g k s 方程7 9 3 2 3 三维抛物型方程9 6 3 3 数值实验1 1 7 3 4 本章小结11 8 参考文献1 2 5 攻读博士学位期间发表的论文和取得的科研成果1 3 9 致谢1 4 0 v 一 ，- 第l 章绪论 第1 章绪论 随着科学技术飞速发展以及工程实际问题的推动，微分方程系统的数值 计算在自然科学、科学技术以及工程科学( 物理学、电磁学、气象学、材料 科学、地质学、生命科学、核技术、化学化工、石油勘探、航空与航天和大 型土木工程等) 中起着越来越重要的作用，在很多重要领域中成为不可缺少 的工具。从科学研究和具体工程问题中抽象出来的许多数学模型都使用微分 方程( 方程组) 来描述，然而，只有少数简单的微分方程可以求得解析解。 一般而言，找出这些方程的精确解是极其困难的事情，甚至很难证明这些问 题解的存在唯一性，而解决科学与工程实际问题恰恰需要这些微分方程或方 程组的解。因此，研究这些问题的数值解就成为一项重要而有意义的工作。 1 1 研究背景及意义 科学技术的飞速发展提出大量复杂的数值计算问题，解决这些问题必须 依靠科学计算一利用强大的计算机硬件支持和高效稳定的算法。目前计算技 术始终满足不了人们对实际问题处理的需要。科学计算的应用范围非常广 泛，它几乎渗透到科学技术发展的所有领域。数十年来在自然科学和工程科 学中，先后产生了计算力学、计算物理等一系列计算性的分支学科。近代高 新科技系统开发以及自然资源的勘探利用的任何进展，都离不开科学计算， 现在则更依赖于计算技术的进步。例如：医疗影像设各的开发设计中，高效 计算手段会提高成像分辨率并提高成像速度，这对医生高效准确诊治具有重 要意义。同时改变了我们的生活方式的互联网技术、信息技术本身也依赖于 计算技术的发展。而在核能开发、机械系统研制方面，特别是核电站、机械 系统的设计、运行、控制方面，甚至在核事故的分析、机械系统性能检测等 方面普遍采用了大规模的科学计算手段，利用数值计算方法求解描述核反应 和空气( 流体) 动力学的非定常非线性的偏微分方程组来掌握核反应和机械 系统各个环节的运行过程，获得所需的数据和图像并对各种因素和制约的机 制进行综合分析。同样，在天气预报、卫星遥感中的数值预报方法和飞行器 设计中的数值计算来模拟试飞等不仅大大节省开支，而且灵活方便。科学计 算更是现代化国防建设中不可或缺的手段。没有科学计算，就没有导弹的准 。哈尔滨工程大学博士学位论文 确发射，没有卫星上天，更不用说先进的定位预警系统了。 目前关系国家国计民生的重大课题和工程建设项目陆续采用了科学计算 的方法作为决策和施工的依据，收到了很好的效果。如入口问题，可通过科 学计算，预报未来人口的发展趋势，建立人口系统稳定性、能控性和最优控 制等理论，为制定人口政策而提供科学依据。同样通过建立模型科学计算的 方法，可以科学准确的预测相应的结果，为决策机构提供定量的科学依据 和参考信息。例如：近年来中国科学院利用统计模型计算，准确的预报了 s a r s 可能的发展情况，山东大学利用随机微分方程模型进行计算，准确预 报了国际金融市场的变化，为国家科学决策提供了强有力的保障。 进行科学计算必须要先建立数学模型，确定恰当的计算方法，编制或选 用相应的计算机软件去完成计算。计算结果对实际问题的接近与否首先应取 决于对实际问题所遵循的客观规律是否了解的深刻，也取决于数学模型提法 对不对。然而数学模型适当不适当、计算结果是否是那个数学模型的近似 解、计算过程是否稳定、是否收敛、有效数字能有多少，这些在理论研究上 和实际计算中都是值得关注的问题。 实际上不同科学技术领域为科学计算提供了丰富的研究素材，极大的推 动了计算技术的发展，同时也带来了挑战。不同的学科、不同的工程应用会 提出许多不同的实际问题，但它们往往又可能归结为若干类典型的数学问 题。最典型的例子之一是调和方程，这是最简单、最常见的椭圆型偏微分方 程，它既可用来表示热传导的平衡，溶质的动态平衡，弹性膜的平衡，也可 表示静态电磁场，真空中的引力势等等。解决了典型方程的求解问题，也就 同时解决了许多不同学科、不同工程应用中的相应问题。许多科学计算问题 具有如下特点：高维数，多尺度，非线性，不适定，长时间，奇异性，复杂 区域，高度病态等；不仅计算规模大，而且要求精度高。其计算困难也有各 种不同表现，如计算规模大，大得难以承受或失去时效；计算不稳定，误差 积累使结果面目全非；算法不收敛，花费大量机时却得不到结果或只能得到 错误结果；包含奇异性，会使计算非正常中止；问题太复杂，算法难以实 现，甚至根本没有有效的求解方法等等。从简单到复杂、自低维至高维、由 线性向非线性，以至实现“全物理、全系统、三维、高分辨、高逼真刀的大 2 第1 苹绪论 规模、高性能的数值模拟，这是当前科学与工程计算的发展趋势【1 】。这样的 计算不仅要求先进电子技术所支撑的计算机硬件发展，更要求全新的计算理 论和方法。 大规模计算提出的世界性难题已形成科学计算的学科前沿。求解由实际 问题得到的复杂的微分方程系统，不仅计算规模大，更由于非线性、多尺 度、长时间、不适定、多区域、高病态等特点使计算格外困难，现有的算法 远不能满足需求。因此我们要在以下几方面致力于计算方法的创新与发展以 解决相应实际问题：适合求解复杂边界的科学问题需要的计算方法；动力系 统特别是由多维的非线性偏微分方程确定的系统长时间计算方法。 1 2 国内外研究概况和发展趋势 1 2 1 偏微分方程数值解及相关领域概述 随着对偏微分方程的研究在深度和广度两方面的发展，偏微分方程这门 学科的理论在1 9 世纪取得了巨大成就，并应用于解决许多实际生活所遇到 的问题，尤其是在力学、量子力学等方面。连续介质力学、电磁理论、引力 理论、规范场等方面的基本规律，也都被写成偏微分方程的形式，并用偏微糖 分方程的理论给出了这些物理系统研究的新成果，同时也极大地刺激了偏微 分方程理论的发展。近年来，人们将偏微分方程应用于化学、生物学、经济 学以及社会学等学科领域，同时涌现出许多偏微分方程的新类型。迄今偏微 分方程理论已经渗透到自然科学的各个领域，即使是人们熟知的波动方程、 热传导方程等，也都不断得到新的理论和新的应用。求解偏微分方程一直是 核心问题，其理论和应用在自然科学的研究中极为重要。 对于线性微分方程来说，其理论发展相对比较完善。与之相对应 的线性偏微分算子理论建立的比较完善，为解决三类典型边值问题 ( d i r i c h l e t ，n e w m m a n ，r o b i o 边值问题) 提供了理论基础。例如：对 于物理学中最早出现且有重要应用的热传导方程、波动方程、调和方程，上 述边值问题都有比较完善的研究结果和研究方法( 2 ，3 】。尽管如此，在工程实 际问题中，为了准确的表述问题，我们往往使用非线性微分方程或带有复杂 3 哈尔滨工程大学博士学位论文 边界条件的微分方程描述问题。不用说带有非线性边界条件的非线性微分方 程的求解问题，就只是对于简单的线性微分方程加上一个比较复杂的边界条 件或者是非线性微分方程加上上述三类边界条件，目前仍然没有统一高效的 处理方法。 发展方程是与时间相关的常微分方程、偏微分方程及泛函微分方程等方 程的总称，应用数学领域( 包括物理学、生物学、经济学以及航空与航天， 自动控制，信号处理等学科) 的许多理论和数值的研究重点都是关注这些方 程的长时间行为。对它们解的长时间性态研究是动力系统的核心内容。目 前，动力系统理论成为现代数学的重要分支之一，并且有了更丰富的数学内 涵和更加广阔的应用背景。 动力系统的数学理论基于p o i n c a r e 创立的常微分方程的定性理论。1 9 世 纪末到2 0 世纪初，p o i n c a r e 等从经典力学和微分方程定性理论的研究中，提 出了动力系统的概念。由于大多数微分方程的解不能用已知函数的积分来表 示其通解，这样导致微分方程定性理论的研究。微分方程定性理论研究指通 过微分方程本身就可以回答关于稳定性等问题的方法，使动力系统研究向更 大范围发展。 近2 0 年来，动力系统理论的研究得到迅速的发展和深化，成为研究非 线性科学的重要研究内容。动力系统之所以引起人们广泛的研究兴趣，一方 面是混沌和分形现象的发现，人们认识到动力系统的长时间性态存在更复杂 的现象一混沌和分形现象，这些现象普遍存在于自然界的很多领域，对这类 现象的认识和研究导致了动力系统理论的迅速发展。另一方面是无穷维动力 系统理论研究的兴起，由于反映客观世界变化规律的模型在很多情形下，都 归结为无穷维动力系统的问题，自然无穷维动力系统成为动力系统研究的主 要对象和课题之一。 近年来，对于非线性偏微分方程的定性研究越来越引起人们的兴趣。这 些方程大多出现在实际工程的数学模型。这些无穷维动力系统是有限维动力 系统研究的必然发展和深入。而有限维动力系统可以看成无穷维动力系统的 一个近似。虽然研究无穷维动力系统的方法、思想和概念来源于有限维的情 形，但需要对原有的方法进行重新评价和改造。 4 第1 章绪论 随着无穷维动力系统理论研究的进展，非线性发展方程长时间问题的数 值计算越来越引起人们的重视，人们在这方面做了许多研究工作。在有限时 间内，系统离散后的误差估计往往依赖于时间t ( 01 卵，当时间无限增长 时，这个结果会以e 的指数幂增长，不能再用来描述系统的长时间的稳定性 和收敛性，因此需要新方法来研究长时间发展方程的性态，寻找系统的吸引 子就成为研究这个系统重要的内容，它反映了当时间t _ o o 时系统的长时 间行为。这种吸引子是离散系统的最大有界不变集，它吸引相空间的所有轨 道。r t e m a m ( 4 】和j k h a l e 5 】详细的论述了系统吸引子存在性的理论。对 这类耗散系统而言，吸引所有轨道的吸引子的存在性是重要的特征之一，动 力学的长时间行为完全由系统的吸引子决定。但在发展方程中，没有一般的 存在唯一性定理，每个偏微分方程又都需要做特殊的研究，而且处理这类问 题一般需要不同的函数空间为框架。因此，目前系统吸引子存在性的研究只 处于初级阶段，还面临着许多困难。 近年来，关于无穷维动力系统理论的研究，特别是解的长时间性态的研t 一 究取得了很大的进展，已建立了整体吸引子存在性、h a u s d o r f f 分形维数估 计等重要理论。特别围绕吸引子结构和方程解的长时间动力学性态研究，人 们相继发现了惯性流形、指数吸引子以及近似惯性流形等等。所有这些结絮t 果，对逐步揭示由非线性发展方程所刻划的非线性现象发生机理和内在规 律有重要意义。由于吸引子的结构非常复杂，f o i a sc ，s e l lgr 和t e m a mr 于1 9 8 5 年提出了惯性流形的概念【6 】。惯性流形为l i p s c h i t z 连续的有限维流 形。在相空间是正不变的，指数地逼近轨线，且含有整体吸引子。从惯性流 形的描述性定义可以看出，当吸引子与惯性流形同时存在时，吸引子的维数 不高于惯性流形的维数，这就可以避免对于吸引子维数估计的复杂过程而得 到吸引子的维数上界。更重要的是它可以将无穷维系统约化为有限维系统， 从而有可能更方便地研究无穷维动力系统的长时间性态。 1 2 - 2 偏微分方程数值求解主要方法 1 、有限差分法 5 哈尔滨工程大学博士学位论文 有限差分法是1 9 6 6 年由y e e 提出，并得到了迅速的发展。其基本的思 想是：把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替，这些离散点称 作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散 变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分 和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限 差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。然后再利 用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。这种方法 是随着计算机的诞生和应用而发展起来的。其计算格式和程序的设计都比较 直观和简单，因而，它的实际应用已经构成了计算数学和计算物理的重要组 成部分。关于这一方面的详细内容可参考文献 7 ，8 。 2 、有限元法 有限元法的发展可以追溯到a l e x a n d e rh r e n n i k o f f ( 1 9 4 1 ) 和r i c h a r d c o u r a n t ( 1 9 4 2 ) 的工作，他们的方法都体现有限元法的本质特征：利用网 格离散化将一个连续区域转化为一族离散的子区域。h r e n n i k o f f 的工作是用 类似于格子的网格离散区域，c o u r a n t 的方法是将区域分解为有限个三角形 的子区域。 有限元法的理论基础是变分原理。最常用的变分原理有最小势能原理、 最小余能原理和混合变分原理。采用不同的变分原理，将得到不同的未知场 变量。有限元方法是利用场函数分片多项式逼近模式来实现离散化过程的， 也就是说，有限元方法依赖于这样的有限维子空间，它的基函数系是具有微 小支集的函数系，这样的函数系与大范围分析相结合，反映了场内任何两个 局部地点场变量的相互依赖关系。任何一个局部地点，它的影响函数和影响 区域，正是基函数本身和它的支集。这一方面的详细内容可参考文献 9 。 3 、边界元法 边界元法是一种继有限元法之后发展起来的一种新数值方法，与有限元 法在连续区域内划分单元的基本思想不同，边界元法是在定义域的边界上划 分单元，用满足控制方程的函数去逼近边界条件。所以边界元法与有限元法 相比具有单元的未知数少，数据准备简单等优点。但用边界元法解非线性问 题时，遇到同非线性项相对应的区域积分，这种积分在奇异点附近有强烈的 6 一 第1 苹绪论 奇异性，使求解遇到困难。 边界元法又称边界积分方程一边界元法。它以定义在边界上的边界积分 方程为控制方程，通过对边界分元插值离散，化为代数方程组求解。它与基 于偏微分方程的区域解法相比，由于降低了问题的维数，而显著降低了自由 度数，边界的离散也比区域的离散方便得多，可用较简单的单元准确地模拟 边界形状，最终得到阶数较低的线性代数方程组。又由于它利用微分算子的 解析基本解作为边界积分方程的核函数，而具有解析与数值相结合的特点， 通常具有较高的精度。特别是对于边界变量变化梯度较大的问题，如应力集 中问题，或边界变量出现奇异性的裂纹问题，边界元法被公认为比有限元法 更加精确高效。由于边界元法所利用的微分算子基本解能自动满足无限远处 的条件，因而边界元法特别便于处理无限域以及半无限域问题。 边界元法的主要缺点是它的应用范围以存在相应微分算子的基本解为前 提，对于非均匀介质等问题难以应用，故其适用范围远不如有限元法广泛， 而且通常由它建立的求解代数方程组的系数阵是非对称满阵，对解题规模产” 生较大限制。对一般的非线性问题，由于在方程中会出现域内积分项，从而 部分抵消了边界元法只要离散边界的优点。边界元法是基于控制微分方程的 基本解来建立相应的边界积分方程，再结合边界的剖分而得到的离散算式。 觳 j a s w o n 和s y m m 于1 9 6 3 年用间接边界元法求解了位势问题；r i z z o 于 1 9 6 7 年用直接边界元法求解了二维弹性问题；c r u s e 于1 9 6 9 年将此法推广 到三维弹性力学问题。1 9 7 8 年，b r e b b i a 用加权余量法推导出了边界积分方 程，他指出加权余量法是最普遍的数值方法，如果以k e l v i n 解作为加权函 数，从加权余量法中导出的将是边界积分方程一边界元法，从而初步形成了 边界元法的理论体系，标志着边界元法进入系统性研究时期。边界元法经过 近4 0 年的研究和发展，已经成为一种精确高效的工程数值分析方法。在数 学方面，不仅在一定程度上克服了由于积分奇异性造成的困难，同时又对收 敛性、误差分析以及各种不同的边界元法形式进行了统一的数学分析，为边 界元法的可行性和可靠性提供了理论基础。在方法与应用方面，现在，边界 元法已应用到工程和科学的很多领域，对线性问题，边界元法的应用已经规 范化；对非线性问题，其方法亦趋于成熟。在软件应用方面，边界元法应用 7 哈尔滨工程大学博士学位论文 软件已由原来的解决单一问题的计算程序向具有前后处理功能、可以解决多 种问题的边界元法程序包发展。关于这一方面的详细内容可参考文献 1 0 。 4 、谱方法 谱方法其原型是著名的f o u r i e r 方法。它将近似解表示为截断的f o u r i e r 级数，而未知元就是展开系数。f o u r i e r 基函数是适合于周期问题的。对于 非周期问题，普遍使用的是c h e b y s h e v 或l e g e n d r e 多项式。实际上，谱方法 的基本思想是很古老的。早在计算机出现之前，在数学物理尤其是流体力学 的理论研究中就已经广泛地使用了级数展开。这些研究曾经推动了特殊函 数 理论的发展，从而形成了十九世纪以及二十世纪前半叶数学分析的一大 领域。 然而，因为在截断级数的求和以及非线性项处理上的计算困难，级数展 开方法的应用和发展受到了极大的限制。这种限制一直持续到计算流体力学 的早期阶段。那时侯，虽然计算机已经出现，但是其性能却不足以有效地使 用级数展开法。结果，跟有限差分和有限元这些离散方法相比。级数展开法 不受人们的重视和欢迎。但是，这些离散方法( 有限差分法和有限元法) 由 于其相对比较低的精度，越来越不能满足人们的需求。尤其在流体力学的许 多问题中，人们需要精确刻划具有细微结构的复杂流。于是，大概在二十世 纪七十年代，人们看到了f o u r i e r 方法的复苏：f o u r i e r 方法被直接应用于湍 流的数值模拟t i l l 。f o u r i e r 方法成功地用于湍流计算归于两个原因：计算机 计算能力的增加和快速f o u r i e r 变换( f f t ) 在计算求和时的高效率。对于通 过拟谱技术来计算非线性项，这些改进是很基础的。 谱方法之所以成为可与有限差分、有限元竞争的数值计算方法之一，其 主要的吸引人之处是大家称之为的谱精度 。即收敛率只与所逼近问题 的光滑性质有关。原问题的解越光滑，收敛率就越高。如果原问题的解是 无穷光滑的，则收敛率是指数阶的。众所周知，快速收敛是f o u r i e r 级数的 主要特征之一。对于无穷可微的函数，其收敛率是指数的。这是有限差分 和有限元都无法相比的优势。但是对于非周期问题，在区域边界上g i b b s 振 荡的出现会破坏f o u r i e r 级数的指数收敛率。g o t l i e b 和s h u 等人【1 2 卜【1 6 】对如 何恢复指数精度进行了研究。另外一个途径就是选择c h e b y s h e v 和l e g e u d r e 8 第l 苹绪论 多项式作为基函数。这些选择可以消除区域边界处的g i b b s 振荡。本质 上，c h e b y s h e v 多项式就是f o u r i e r 多项式在不同坐标下的表现，所以可通过 f f t 来实现c h e b y s h e v 算法。至于l e g e n d r e 的情形，a l p e r t 和r o k h l i n 1 7 】也 发展了相应的快速算法。这些多项式都和f o u r i e r 多项式有着类似的性质。 关于这一方面的详细内容可参考文献 1 8 】。 近年来，随着实际应用的推广，谱方法的数值分析理论也得到了快速的 发展。谱方法可与有限元法和有限差分法相结合，在对时间方向的离散一 般都是采用有限差分法。对于高维问题，当一部分变量为周期的，可采用 f o u r i e r 谱方法，对其它变量采用有限差分法或有限元法，即可采用谱方法同 有限差分或有限元相结合的方法。 5 、有限体积法 。： 有限体积法又称控制体积法。其基本思路是：将计算区域划分网格，并 使每个网格点周围有一个控制体积；将待解的微分方程对每个控制体积进行 积分，便可得出一组离散方程。其中的未知数是网格点上的因变量的数值。： 为求出控制体积的积分，必须假定值在网格点之间的变化规律。 从积分区域的选取方法看来，有限体积法属于加权余量法中的子区域 法；从未知解的近似方法看来，有限体积法属于采用局部近似的离散方法。i 有限体积法的基本思想易于理解，并能得出直接的物理解释。离散方程 的物理意义就是因变量在有限大小的控制体积中的守恒原理，就如微分方程 表示因变量在无限小的控制体积中的守恒原理一样。有限体积法得到的离散 方程，要求因变量的积分守恒对任意一组控制体积都满足，对整个计算区 域，自然也得到满足。这是有限体积法吸引人的优点。有一些离散方法，如 有限差分法，仅当网格极其细密时，离散方程才能满足积分守恒；而有限体 积法即使在粗网格情况下，也显示出准确的积分守恒。 就离散方法而言，有限体积法可视为有限差分法和有限元法的中间物。 有限元法必须假定值在网格点之间的变化规律，并将其作为近似解。有限差 分法只考虑网格点上的函数值而不考虑函数值在网格点之间如何变化。有限 体积法只寻求结点值，这一点与有限差分法相类似；但是有限体积法在寻求 控制体积的积分时，必须假定值在网格点之间的分布情况，这又与有限单元 o 哈尔滨工程大学博士学位论文 法相类似。在有限体积法中，插值函数只用于计算控制体积的积分，得到离 散方程之后，便可忘掉插值函数；如果需要的话，可对微分方程中不同的项 采取不同的插值函数。关于这一方面的详细内容可