（岩土工程专业论文）边坡稳定分析的流形单元法.pdf

浙江- 人学砌：i ：学位论文地坡稳定分析的数值c 形方浊 摘要 岩土边坡的失稳破坏一直是岩土工程建设中经常遇到的主要灾害之一，具有 较大的危害性。因此，合理评价边坡稳定性具有重大的现实意义。 目前，边坡工程稳定性分析主要有极限平衡法、塑性极限分析法和有限元法。 每种方法都有其优缺点，有其适应范围。现实边城工程往往复杂多变，需要多利， 方法的综合应用。有限元法因其考虑了土体的本构关系，能够求出土体内部的应 力分布状况，得到越来越多的重视和应用。但有限单元法分析边坡稳定时，受到 很多因素的制约，如模拟孔隙水压比较困难、单元敏感性强、数值计算不稳定等。 为克服有限元法的一些不足，本文探讨将一种新的数值方法一一数值流形方 法引入边坡稳定分析中，并进一步考虑了自适应流形元、弹塑性增量理论和强度 折减技术的应用。 首先，基于数值流形方法和有限覆盖技术，提出了适用于b i o t 固结分析的 三节点、四节点平面协调流形元。由于土骨架位移和孔隙水压力的节点覆盖函数 ( l a g r a n g e 插值函数) 阶次可分别任意选择，该单元是一组满足位移和孔压插值阶 次不同且所有节点具有相同自由度数的新型u - p 混合模式单元。数值分析表明， 位移和孔压的节点覆盖函数阶次分别取一次和零次的流形单元( t i o ) 是该组单 元中最为有效的。与等价四边形等参元相比，t 1 0 流形元能给出精度更高的初 期孔压和位移。为边坡渐进累积破坏分析打下基础。 其次，将自适应方法引入流形元中。根据z i e n k i e n w i o z 和z h u 提出的应力 平滑误差原理计算流形单元误差，应用自行编制的平面三节点网格生成器，进行 流形单元的网格细剖和优化。从而减少因网格疏密而导致有限元计算误差。 第三，在弹性数值流形元的基础上，考虑了土体弹塑性的应力应变关系， 研制了弹塑性流形单元分析程序。应用强度折减技术进行边坡稳定分析。分析了 屈服准则对稳定系数的影响，数值算例取得了较好的结果。 最后，、利用流形单元法对富阳来龙山滑坡问题进行了初步稳定分析，计算结 果进一步证实了本文方法实用性。 关键词：边坡数值流形方法网格自适应9 单塑性增量理论强度折减技术 浙江人学坝小学位艳义 边城稳定分析的数值流形方法 a b s t r a c t s l o p ef a i l u r ei so n eo ft h em o s tp o p u l a rd i s a s t e r so fg e o t e c h n i c a le n g i n e e r i n g i t i si m p o r t a n tt og e tar a t i o n a ls a f e t yf a c t o ro f s l o p e n o w ) t h e r ea r et h r e em a i nm e t h o d s ，n a m e l yl i m i te q u i l i b r i u mm e t h o d ，p l a s i t y l i m i ta n a l y s i sa n df e m e v e r yt h i n gh a si t st w os i d e s ，a n a l y z i n gar e a ls l o p en e e d s a p p l i c a t i o no fs e v e r a lm e t h o d s c o m p a r i n gw i t ho t h e rm e t h o d s ，t h ef e mc o n s i d e r s t h es l o p ec o n s t i t u t i v em o d e la n dc a ng i v et h es t r e s sd i s t r i b u t i o n m o r ea n du l o r e p e o p l el i k et oa n a l y s es l o p es t a b i l i t yw i t hf e m i nt h i sp a p e r , an e wm e t h o d ，n u m e r i c a lm a n i f o l dm e t h o d ，i si n t r o d u c e d ，a n d a p p l i c a t i o n so fa d a p t i v ef e m ，i n c r e m e n t a le l a s t o p l a s t i ct h e o r ya n ds h e a rs t r e n g t h r e d u c t i o nt e c h n i q u ea r eo ns e c o n dt h o u g h t s b a s e do nt h en u m e r i c a lm a n i f o l dm e t h o da n dl i m i t e dc o v e r i n g ，a3 - 4n o d ep l a n e t r i a n g l em a n i f o l de l e m e n tf o rc o n s o l i d a t i o na n a l y s i si sp u tf o r w a r d b yc h o o s i n gt h e n o d a lc o v e r i n gf u n c t i o no r d e ro fd e f o r m a t i o na n dp o r ep r e s s u r ei n d e p e n d e n t l y , t h e i n t e r p o l a t i o no fd e f o r m a t i o na n dp o r ep r e s s u r ei ne l e m e n tc a nt h e nb ed e t e r m i n e d f r e e l y n om e s hr e f i n e m e n ti sn e e d e dt oi n c r e a s en u m e r i c a lp r e c i s i o n t h en u m e r i c a l r e s u l t ss h o wt h a tt h em a n i f o l de l e m e n t ( t 1 0 ，t h a ti st os a yt h en o d a lc o v e r i n g f u n c t i o no r d e ro fd e f o r m a t i o na n dp o r ep r e s s u r ea r e1a n d0r e s p e c t i v e l y ) c a ng r e a t l y i m p r o v et h ea c c u r a c yo fb i o tc o n s o l i d a t i o na n a l y s i s ，e s p e c i a l l yt h e i n i t i a lp o r e p r e s s u r e a n dc o m p a r e dw i t ht h eq u a d r a n g u l a ri s o p a r a m e t r i ce l e m e n t ，t h em a n i f o l d e l e m e n t ( t 1 0 ) c a ng i v em o r ea c c u r a t ei n i t i a lp o r ep r e s s u r ea n dd i s p l a c e m e n ta n d h a v eav a s tp r o s p e c to fa p p l i c a t i o n t h e a d a p t i v ef i n i t ee l e m e n tm e t h o di san u m e r i c a ls c h e m ew h i c hc a na u t o m a t i c a l l ya d j u s ta l g o r i t h m st oi m p r o v et h es o l v i n gp r o c e d u r e b a s e do nt h em a n i f o l de l e m e n tm e t h o d ，z i e n k i e n w i c za n dz h u se r r o re s t i m a t i o ni sa d o p t e d af i n em e s hi sg o t b ya u t o m a t i cm e s hg e n e r a t i o n s o i lb o d yi sn o n l i n e a r , a n di n c r e m e n t a le l a s t o p l a s t i cc a ns i m u l a t ei tw e l l a tt h e s a m et i m e ，s e v e r a ly i e l dc r i t e j i o n sa r es t u d i e di no r d e rt of i n dt h eb e s tc u e o nt h e b a s eo fa b o v e ，ar a t i o n a ls a f e t yf a c t o ro fs l o p ei sc a l c u l a t e dw i t hs h e a r 8 t r e n g t n r e d u c t i o nt e c h n i q u e 1 nt h ee n d ，t h ec a s eo fm o u n t a i nl a i l o n gi sa n a l y s e dw i t ht h e m e t h o do ft h i s p 叩e r t h er e s u l t ss h o wt h ea p p l i c a b i l i t yo ft h e m e f l m d k e vw o r d s ：s l o p e f a i l u r e ，n u m e r i c a l m a n i f o l dm e t h o d ，a d a p t d 。f e ，m ， i n c r e m e n t a le l a s t o p l a s t i ct h e o r y , s h e a rs t r e n g t hr e d u c t i o n t e c h n i q “。 浙江人学坝：学位论义 一 边坡稳定分析n 口流彤即- ，6 浊 第一章绪论 土坡系指具有倾斜坡面的土体( 如图1 1 ) 。幽于士坡表面倾斜，在本身重量 及其它外力作用下，整个土体都有从高处向低处滑动的趋势，如果土体内部某一 个面上的滑动力，超过土体抵抗滑动的能力，就会发生滑坡。在工程建设中，：常 见的滑坡有两种类型：一种是天然土坡由于水流冲刷、地壳运动或人类活动破坏 了它原来的地质条件而产生滑坡，通常用地质条件对比法来衡量其稳定程度；另 一种是人工开挖或填筑的人工土坡，由于设计的坡度太陡，或工作条件的变化改 变了土体内部的应力状态，使局部地区的剪切破坏，发展成一条连贯的剪切破坏 面，土体的稳定平衡状态遭到破坏，因而发生滑坡。 滑坡是较为常见的地质灾害形式之一，具有较大的危害性，边坡失稳产生的 滑坡现象已变成同地震和火山相并列的全球性三大地质灾害之一。每年都给全世 界带来巨大的生命和财产的损失，因此，进行边坡研究具有重大的现实意义。 些盟 1 1 边坡稳定分析 1 1 1 滑坡机理分析 图1 i 简单边坡示意图 滑坡是指山坡上大体积的岩体或土体在本身重力作用下，沿着定的软弱结 构面，整体地向下滑动，其滑动过程可以是缓慢的，也可以是急剧i | i 勺。由于滑坡 影响的范围大，加上可能突然地、迅速地下滑，因而可造成毁灭性| ! j 破坏。自然 边坡遭到破坏，原因是多方面的，主要有以下几方面的影i l 向因素i l 】= 浙江人学倒i 烨他论立边墩稳定分析仙n , j f ；mj g “ 、自身条件 ( 1 ) 边坡组成物质 山丘都是由岩石组成的( 土是风化的岩石) 。岩石的组成成份、结构与物理力 学性质对山坡是否稳定有着直接的影响。坚硬的、比较新鲜的岩石，如石英砂岩、 白云岩、硅质岩等，抗风化能力强，由它们组成的山坡，一般较稳定。由混岩、 页岩等组成的山坡，易于风化，多产生缓慢的变形。由残积物等松散岩石组成的 山坡，出于搬运作用，缓慢的山坡变形在经常进行着，因土体内部胶结力极羞， 也容易发生突发性变形。 ( 2 ) 地质构造 岩质边坡一般比较稳定，但岩层的构造对边坡是否稳定有很大影响，如岩层 层面、裂隙面、断层面以及破碎带等，都是软弱结构面，它们很容易使边坡遭受 破坏。软弱结构面破坏了岩体的完整性， 密集、交叉时，岩体被切割成小的岩块， 因而使岩体易于风化、崩滑。当这些面 山坡的稳定性更加受到严重的威胁。软 弱结构面的产状对边坡的稳定有很大影响。结构面倾向与山坡坡向一致的顺向 坡，岩体容易沿着这些软弱结构面崩滑；而方向斜交的切向坡，特别是方向相反 的反向坡，一般来说，山坡就比较稳定。 ( 3 ) 边坡坡比 不同岩质、不同风化程度、不同高度的边坡，有着不同的稳定坡比。坚硬的、 完整的岩质边坡，其稳定坡比可以是1 ：o 1 ：o 2 5 左右，弱风化的岩质边坡， 其稳定坡比在1 ：o 5 1 ：1 左右，而强烈风化岩质边坡的稳定坡比一般在1 ： 1 3 左右，当某边坡的坡比，陡于其边坡组成物质的稳定坡比时，或迟或早，该 边坡必然会被破坏。 二、外来原因 ( i ) 水 水( 包括地表水与地下水) 的浸泡、冲刷，是诱发d i 坡产生急剧性破坏的致命 因索。暴谢的冲沈与浸透，每每带来大面积的灾害。 水对山坡的破坏性影响，表现在几个方面。因水的浸润、溶解、软化，一般 可使r t - f ：l , j 容重增加，内浆力降低，越至使士达到塑性状态，并大大降低软弱结构 浙江人学倒f ：学位沦史 地坡稳定分析舶流形j 驴，e 池 面的摩擦系数；因水的冲刷、潜蚀，会带走一部份岩土颗粒，破坏岩土的结构； 因水的浮托力，会减轻坡脚岩( 土) 体的重量，减小内摩擦角，使上部岩( 土) 体失 稳；边坡中水的骤涨骤落，由于土体中孔隙水压力的影i 帆引起坡体内部应力失 去y - 衡。 ( 2 ) 地质内营力作用 地震、构造运动等地质内营力作用，对于某具体的山坡来说，也是一利哕 力。 出于内营力作用来自地壳内部，能量特别大，危害也就特别大，经常是毁灭性的。 ( 3 ) 人为活动 人们进行大爆破，可使邻近的山坡受到破坏。当进行公路、铁路、水利、房 屋等工程建设，开挖山坡基脚后，由于减轻了山坡下部的自重力，增大了山坡坡 比，导致边坡内部应力重分布，引起上部山坡垮塌。 ( 4 ) 疲劳破坏 边坡疲劳破坏是由l a c e r d a ( 1 9 9 8 ) 。1 解释巴西的个山体滑坡时提出来的，后 来s e r g e l e r o u e i l 。3 在研究加拿大东部的一些山体滑坡时也提出相同的观点。这 种滑坡并不一定是发生在最不利孔隙水压和应力状态下，而是由于边坡内土体长 期经受周期性孔隙水压变化，导致土体抗剪强度降低，从而引起边坡安全系数减 小，造成失稳。 ( 5 ) 其它因素 如在石灰岩地区，由于地表或地下大溶洞的塌陷，也可使附近山体的边坡遭 受破坏。 应当特别指出的是，自然边坡的破坏往往不是由单一因素所引起，而是两利， 以上因素交叉、综合作用的结果。 1 1 2 边坡稳定分析方法 边坡工程稳定性分析主要有极限平衡法、塑性极限分析法和有限元法。极限 5 f 衡法经过7 0 多年的发展，已积累了丰寓的使用经验，但i ：i = i 于方法本身没有考 虑二j 二体应力应变关系，做不能求“ 坡体的真实应力：塑性极限分析法虽克j l l - r 上 述不足，能够在一定程度上考虑二l 体的应力应变关系，但也只能给出假定滑移面 上的应力场及速度场，且同样不能考虑坡体变i 瞄及其对稳定性的影响。实践表明， 浙虹人学坝i ：学位沦义 边城稳定分析的流形单她法 稳定与变形有着相当密切的关系坡体失稳往往伴随有较大的垂直沉降与侧向变 形，有限元法的优势正在于此，它不仅可以求出土体中各点的应力应变，而且还 能考虑土体的非线性本构关系。在世界范围内，基于有限元法的边坡稳定分析正 得到越来越广泛的应用，它的逐步完善为准确分析此类问题提供了可能。 一、极限平衡法”儿” 边坡稳定分析的极限平衡法，是土力学中的一个经典的领域。这个方法以莫 尔一库仑的抗剪强度理论为基础，将滑坡体划分成若干垂直土条，建立作用在这 些垂直土条上的力的平衡方程式，求解安全系数，通常称为条分法。这个方法没 有像传统的弹塑性力学那样，引入应力- 应交关系来求解本质上为静不定的问题， 而是直接对某些多余未知量作假定，使方程式的数量和未知数相等，从而使问题 变得静定可解。在处理上，各种条分法还在以下几个方面引入了简化假设：( i ) 对滑裂面的形状作出假定，如假定滑裂面形状为折线、圆弧、对数螺旋线等；( i i ) 放松静力平衡要求，求解过程中仅满足部分力和力矩的平衡要求；( i i i ) 对多余 未知数的数值或分布形状作假定。 ( 1 ) 基本原理 通常，建立在极限平衡原理基础上的边坡稳定分析法包含以下几条基本原 则： ( a ) 安全系数定义 土坡沿着某一滑裂面滑动的安全系数f 定义：如果土的抗剪强度指标降低为 c y f 和t a n ( o f ，则土体沿着此滑裂面处处达到极限平衡。此时 式中 t = c 1 。+ 盯r ，t a n 妒。 ( 1 - 1 ) c c 。c 2 一f t a n 儿= 掣 ( 1 2 ) ( 1 - 3 ) 浙江大学砸士学位论文 边坡稳定分析的流形单元法 式中，玎i 为作用在滑面上的有效法向应力。上述将强度指标的储备作为安全系 数定义的方法是经过多年的实践被工程界广泛承认的一种方法。采用这一定义， 在数值计算方面，会增加一些迭代工作，并可能遇到收敛方面的问题。 ( b ) m o l l r - c o u l o m b 强度准则 设想土坡的一部分沿着某一滑裂面滑动。在这个滑裂面上，土体处处达到极 限平衡，即正应力盯，和剪应力z 满足m o h r - c o u l o m b 强度准则( 如图1 2 ) a t = c l e a x s e c 甜十( 一u xs e c a ) t a nc p 。 ( 1 4 ) 式中，n 和r 分别为土条底的法向力和切向力；r 和a n 为土条底的法向力和 切向力沿x 方向的变化值；c 、妒。为土的有效抗剪强度指标；d 为土条底倾角， t a m = 咖d x ；为孔隙水压力，通常定义孔隙水压力系数 _ = 土d w d x ( 1 h 5 )_ 2 ( i “，) 图1 2 边坡稳定的条分法 ( a ) 滑坡体；( b ) 侧向力假定i ；( c ) 侧向力假定2 浙江大学硕= b 学位论文边坡稳定分析的流形单元法 将滑动土体分成若干土条，对每个土条和整个滑动面土体引入力和力矩平衡 条件。在根据静力平衡条件建立起来的方程组中，未知数的数目超过了方程式的 数目，解决这一静不定问题的方法是对多余未知数进行假定，使剩下的未知数的 数目和方程数目相等，从而解出安全系数的值。 ( c ) 合理性要求 对多余未知数的假定并不是任意的。它必须使获得的解符合土和岩石的力学 特性。目前，被普遍接受的合理性条件是”1 “”： ( i ) 沿着划分的土条两侧垂直面上的剪应力不能超过在这个面上所能发挥的 抗剪能力( 见图1 - 3 ) ，即 f ：堕塑吐蔓! q 二趔 f 、x ( 1 6 ) 式中，只为沿着土条垂直面的安全系数；e 为作用在土条垂直面的法向有效压 力；x 为作用在土条垂直面的剪力；t a n 4 0 。，、c 1 。为土条垂直面的有效平均抗剪 强度指标；y 为滑裂面的纵坐标值；z 为土坡面的纵坐标值。 图1 3 作用在土条上的力 ( i i ) 为保证在土条接触面上不产生拉力，作用在土条上的有效力的合力作 用点不应落在土条垂直面的外面， 浙? ：人学f i o l ? 学位地义地坡稳定分析的流形j b j ) 4 0 丛二三( 10 - 7 ) y 一2 式中，y ，j , j 4 9 羽在土条垂直面上的有效法向力的作用点的纵坐标值。 ( 2 ) 潜在滑动面的搜索1 9 l 采用极限平衡法进行安全系数分析时，潜在滑动面的搜索是一个关键问题。 自2 0 世纪8 0 年代以来，有很多研究者致力于临界滑动面的搜索技术上，他们提 出了各种不同的搜索方法，并相应的有各自的计算程序来确定圆弧的或非圆弧的 临界滑动面，这些方法主要有： ( a ) 固定模式搜索法 固定模式搜索法是搜索点位置或搜索过程在搜索进行之前就已经明确限定 的一种搜索方法。属于这种搜索方法的有：区格搜索法、二分法、步长加速法。 区格搜索法：又称穷举法，基本思路是把所给的搜索区域按一定的精度划 分成区格形式，然后对每一个区格点计算其安全系数，取最小值点对应的滑动面 为临界滑动面，其对应的安全系数即为最小安全系数。该方法由于搜索点在搜索 进行之前就已经确定，因此不会受安全系数函数形态的影响，也不会陷入局部极 小值。但是该方法搜索范围广，计算量大，精度的提高只有靠提高区格的划分精 度，成倍的增大计算量来得到，而且搜索区域的提前确定，不能保证搜索出的极 值点便是真正的极值点。该方法通常只用于对圆弧滑动面的搜索。 二分法：设有函数f ( x ) 在领域x 口，b 上连续且只存在一个极值，则极 值求法为：设该区间的中点工，= ( a + b ) ，用等分段值j = a b s ( b a ) 4 将该 区间4 等分，另2 个等分点值x 2 = 工l + s ，x 3 = x i s ；求三个点剥应的函数 值分别为f ( x i ) ，f ( x ：) ，f ( x ，) ；令三个函数值中最小值为f 。一计为 f 。，= m i n ( f ( x ) ，f ( z ：) ，f ( _ x ，) ) ，对应的x 记为x 。；三者的平均值 f ，h = ( f ( x ) + f ( x ：) + f ( x ，) ) 3 ：当( f 。一只。) 只。j - - o( x ，y ) k 睨f n ( x ，) ，) = 0( 上，y ) 式中：为构成流形单元g 的物理覆盖i 。 得到流形单元的位移函数式( 2 2 ) 后，便可利用最小势能原理形成单元的单 元剐度矩阵和总体平衡方程求解问题。当分析域内存在非连续面州，还必须考虑 非连续面两侧面的相对状态变化对平衡方程的影响。 2 2 4 平衡方程及分析过程 丌= 到, v4 j 1 刊+ c ( 2 - 9 ) 霉：o 一，7 ，2 ( 2 1 1 0 ) p 侧粼 陋m 其中：d ，为覆盖f 内待求位移变量( 哆珥：珥。) 7 ；f 为覆盖f 内分布到2 m 个位移变量上的荷载 巧。巧：f ：。 7 ：k 。是刚度系数子矩阵，其为2 m 2 m 阶矩阵，z 具：i f - k 。= k ：。 浙? l ：人学删i ? 学位沦义边坡稳，e 分析们溉形l n 儿沾 k 。= ko 。+ k 。 ( 2 1 3 ) 武中： k 2j f b j o b 删( 2 - 1 4 ) 是山形变势能对位移变量的二阶导数得到的刚度矩阵项，其中d 为弹性矩阵， b 。 可称为应变矩阵； k 。= k 。十k 止点。+ k 接触。+ ( 2 - 1 5 ) 是惯性力( 静力问题省略) 、固定点、法向接触、剪切接触等对总刚度的贡献。 以上公式中的积分均是在物理覆盖的交集( 即流形单元口) 上进行的。 流形方法中的应力应变分析过程与有限元法相似。由应力应变分析可知，式 ( 2 - 1 4 ) 中的b 。可表示为： b 。= b b b ( 2 1 6 ) 其中 b 羡，) 盟。盟o 盐o o 盟。丝o 丝 砂砂 挑 盟盟丑盟监盟 砂 瓠 劫c q x 印 o x 2 2 5 流形元与普通有限元差别 ( 2 - 1 7 ) 流形单元法的出发点在于计算步骤的简化和较粗的积分，但精度并不降低。 使用有限元网格的流形元法，其数学网格与有限元法的计算网格相同，但在节点 及单元的定义上有所区别。有限单元法中i ! 勺节点必须位于物理区域内或边界上， 而流形元法中的节点则可以定义在物理区域之外。有限单元法中的一个单元的物 理领域与构造插值函数的插值领域必须一致，而在流形元法中，单元的物理领域 与插值划格可以完全分离，只要捕值刚格完全役靛物理领域j j 可。有限元法中的 单元必须是规则的，而流形元法q 单元形状可以任意，因为流形元法使用单纯 形积分法( s i m p l e xi n t e g r a t i o n ) 1 , 1 7 1 ，对单元形状没有裂求。流形单元法对工程应) - 7 j i # i gj ：人! 学倒i j 学化龄义地坡稳) 1 1 - 分析n 勺 ) c 彤巾l 浊 具有极大的司行性，它不需要单元离散和结aj ：0 元化，实际上只要有一套数学网 格就可满足积分的要求。 2 33 - 4 节点平面固结流形元 2 3 1b i o t 固结基本方程 一、饱和土体的控制方程 b i o t ( 1 9 4 0 ) 从连续介质基本方程出发，建立了b i o t 固结理论。除极限平衡 问题外，土力学问题大多数可归结为b i o t 动力固结方程。b l o t 根据有效应力原 理，运动平衡微分方程和水流连续方程得到连续体力学的普遍方程，其理沦表达 式为【4 1 1 ： ( d 1 2 + 磊 ，二， 如旁“，杀 旦 a t 却 式中：，：娑l ，k ，：竺，以，七，分别为x ，一向的渗透系数； p 。，gp 。，g p 。g n t k g j - n 度； 正，f 。分别为z ，y 方向的单位体积力； d 。d ：d 。d ，。为士骨架的弹性模量系数，剥于各向同性材料有， “咆z = 耥矾：= 志氏娟= 赤 f 、1 ，分* l i 蜘十骨架的t 州t 1 ：祧- i t * l 泊松比。 = | ( 2 1 8 ) 竺矿 世 a一舐a一砂 一一 一 一生彭 兰矿 吐 丝掰 d 旦恸 旦掀 二、边界条仁j 二 在b i o t 【圳结分析中，节点自i j ：l 度有二类：一类为节点位移自由度；类为 节熙i - - ，- j ! | ；f , i 水压力自由度。边界条件也包括两剩，类型：一类为节点位移边界条件 另一类为4 仃点孔隙水压力边界条件。固结分析中的位移边界条件的类型主要有： 给定位移( 节点位移等于零或已知值) ；给定力的边界条件：弹性边界条 件。对照位移边界条件，孔隙水压力边界条件也有几种情况：完全透水边界条 件，节点j 氧孔隙水压力等于零；节点孔隙水压力等于已知值；完全不透水边 界条件；界于完全透水和完全不透水之间，称为半透水边界。 2 3 2 流形元位移模式 y ，。1 1 1 步7 j 0 1 - 一一一- - 0 x 图2 2 三节点流形单元 x 图2 3 四节点流形单元 如图2 2 所示的三节点单元及图2 3 所示四节点单元，在单元节点? 上构造 如下形式的位移覆盖函数： 式中：扣1 ，2 ，r ( r 为单元节点数，下同) u ? = 扭t ，v j ，p j y ； d ，为单元节点i 的广义位移矢量； 村，v ，为节点i 土骨架位移覆盏函数 j ，为节点孔隙水压力役谛数； ( 2 1 9 ) 浙p i ：人学倒i ：学位沦义 让坡 t j 定分析的溉j | ；f i t a ；* 7 2 2 s= r ? r r ” 聊平 分别为位移和孔j 的节点覆盏函数阶次。r ；为! 州l 冗的第i 个g 点坐标 ( x ，y ，) i i i 关1 9m 阶多项式行矢量，定义如下 r ? = 1 )r ：= 1 ，z z ，y y ， r ；= 1 ，x z ，y - 少，( x x ，) 2 ，( x x s ) ( y j ) ，o - y ，) 2 ) - 与2 ： 4 8 n n ，本文对r ? 作了适当地改进，使得广义位移具有一定的物理意义 u = 巧u ，= 瓦s ，d ，= n ，d ， ( 2 2 0 ) 式中：u = 伽，v ，p ) 。 对于三节点等参元形函数，= a ，+ b , x + e y ( i = = = ：1 , 2 ，3 ) ； 口，= x ，y 女一x k y ，) 2 a ，b ，= ( y ，一y k ) 2 a ，q3 一x j ) 2 a ，( i j ，动 四节点等参元形函数可= ( 1 + 舌，善) ( 1 + 矾叩) ( f _ 1 , 2 ，3 ，4 ) n ，= 两s ，= f n ? n ? n ：， q 一2 ， n 。= 川- - “i t 。n ，”= 形r ? 式中一，n = i n l ，n ：，n ， 戏n = i n ，n ：，n3 ，n 。1 为位移捅值彤函数矩阵， d “= ，d ：，d 。 l ) 7 + 或d r = ，d ；，d ：。) 是单元节点广义位穆矢量，为待求量。 由式( 2 2 0 ) t i l 。见，当，7 7 = ，7 = 0 时，三三角形! ：j f c 形j 弘元巡化为三。坩点兰) ；| 形等 参有j 5 | f ! 单元，每个节点有三个自由度。当m = 1 ，一0 时，三角形流形单元是一 种骨架位移二次，孔隙水压力一次的三节点流形单元，每个节点有七个f _ - - - i 由皮。 不同于组合啦元，流形单元的位移和孔压采用相同的节点进行插值，且每个节点 的自山度数相同。 1 4 ：1 式( 2 - 2 2 ) 可求出单元内任意点的应变： = l u = l n d 。( 2 - 2 3 ) 式中： l = 2 3 3 流形元刚度矩阵 ( 2 - 2 4 ) ：l i - ( 2 2 2 1 式代入饱和土体的控制方程( 2 1 8 ) ，并在单元内采用g a l e r k i n 法 将位移插值形函数作为权函数，经分步积分得如下形式的方程组： 式中 j = 1 k “ k ? 蟛3 昙 k ? k 孑 k ? 昙 f f f q l f + q ； ( 2 _ 2 5 ) k 叫l q ? j k ? = 如( 警) 百o n j q ，陪) 等皿 k ? ：弘 等 等垴，( 等丁警牌 蟛= 弘i 。a 引n i ”百a n 埘，( 警 等脚 k 孑：弘( 等) 警“，( 警 警盥 llllllllj a一钞a一融 o a 一砂 a 一缸 o d d p b f 拈 k k k i l i f i ：人学坝i ? 学化睑义地坡稳比分析的流哼，”儿浊 啦一且警m t q k ；= 馋) 警d q k d 等m t q k i = 一川等d q 啄3 = f ( 墨( 警 。警坞( 警 7 可a n i ；牌 e “胂) 六d q f ”= f ( n ? 7 ) z d q n 。 其中，q 8 为单元占据的平面区域，q ? 、q ? 、q ? 为单元间相互作用产生的等效 广义- - r 与、力矢量。单元元素矩阵积分时取单位厚度。组集后，g 。、q ? 、q ? 相 互抵消，可得整体静力固结方程： k d + q p = f ” 1 l q 7 昙d + h p = r ” 2 2 6 固结方程( 2 2 6 ) 的求解方法同一般的有限元法相同，可参考相关文献。 由于本文对节点覆盖函数的表达式作了改进，节点位移约束条件的处理与一 般的有限单元法相同。节线约束的处理需采用类似罚单元的方法处理，( 2 - 2 6 ) 式 还应叠加罚单元对应的刚度i l t i - ：年l ：i 右端项。 2 4 影响因素分析 术节将通过数值算例考察锼诵数的阶次和数学网格对汁鳟瑚度的影响。为 描述方便起见，i 己本文构造的j ：，点流彤元为t m i 1 _ 。如t i 一0 代发且，7 = 0 的流形单元。 n _ i ：j c y if 烨化论义 地j 殳植比分析的谢c 彤i n 儿浃 2 4 1 覆盖函数对计算精度的影响 为考察：协点粳盏函数列计算精度的影响，考虑 一表r f j j f l 4 - ：用2 0 0k p a 均匀分御力( 零时刻突加荷 载1 、厚度8 0 m 的均匀自由场地的一维静力固结问 题。土骨架弹性模量e = 3 7 1 0 0 p a ，泊松比”= 0 3 5 ，渗透系数为2 0 1 0 一m s ，数学网格如图2 4 所示。本文着重考察三种三角形流形单元，即 t o 一0 ，t 1 0 并口t 1 一l 。 一、固结过程 p = 2 0 0 k p n 、 _ 3 、 市磕水鹾 图2 4 一维固结模型 图2 5 。2 7 分别为不同时间步长时，三种流形单元表面竖向位移、a 点( 深度 4 0 采) 和b 点( 深度8 0 米) 孔隙压力随时间的变化曲线与理论解的比较。由图可见， 无论步长取1 年、1 个月还是1 天，三种流形元都能很好地模拟固结过程中远期 变形。相对而言，t o 一0 流形元的位移计算精度偏低。 圈2 5 地表竖向位移随时间变化曲线 l l l l j ( ) q ij j 学位 i j 义些些壁生坌堑竺堕些l ! ! 生鲨 图2 6a 点孔隙压力随时洲变化舳i 线 图2 7b 点孔隙压力随时间变化曲线 二、初期孔压和位移 - 为考察流形单元初期孔压和初期位移的计算精度，图2 1 和图2 9 分别给出 了不同时间步长时，第一时间步计算孔压和位移随深度的变化曲线。由图可以看 出，当步长相对较大时，如个月或一年，t o 一0 ，t 1 0 和t 1 一l 给出几乎相 同的孔压分布，位移分布也基本一致，比较而言，t 1 0 流形元的计算精度最高。 但当步长较小时，t 1 0 给出很高的孔压计算精度，t o o 和t 1 1 的计算精度 较低，位移计算精度在透水边界处都不很理想，主要原因是网格过于稀疏，不能 描述排水边界刚近初期位移的变化梯度。 浙人学f i ! j il j 学化晗史胁j 立稳定分析n 勺流彤i ，c 被 ，nzi i ii i t i“h mni i lumf l i i * m m # ，m* i z if ，$ 2 4 2 数学网格 图2 9 初期竖向位移分却 从上述数值分析可以看出，t 1 0 流形元是三种单元中性能最好的单元。为 证明图2 9 中t 1 0 流形元在时间步长为一天时初期位移误差是由于在透水边界 处流形元网格尺度太大引起的，将图2 4 中透水边界处的一层单元沿高度方向细 剖，宽度方向仍保持不变。细剖一次，表面单元高度为5 米( 下称二分网格) ，重 复上述过程得到表面单元的高度为2 5 米( 四分网格) 和1 2 5 米( 八分网格) 。时间 步长为一天时，t 1 0 流形元计算结果如图2 1 0 和图2 1 1 示。由图可以看出， 透水边界处流形元网格尺度的减小，极大地改善了初期位移和初期孔压的计算精 i f 霉零翮 8 匿划 m ”f f ， 图2 】0 初期竖向位移分和 2 4 3 与四边形等参单元的比较 图2 1 1 初期孔压分粕 四边形等参单元仍然煺m j i b i o t 同绱分析ic p 常用自 jj ! o - 元。为便二 二比较，t i 一0 流形j j 仍然采用图2 4 示| ! | q 数学例格，计钟：，l ：) 发数为1 2 3 。叫1 i l l t , 宵点心 边彤等参元采用宽1 0 米高1 0 米i l , 9 ；l s j 匀单元，网格剖分区域同图2 4 ，l ：卜算l - 7 1 l “度数分别为6 6 和1 6 3 。第寸川步孔眶和位移的比较如图2 ，1 2 羽i2 1 3 示。由 v i f j ；人学删i ? 学化论史边坡稳定分析的流彤i l r e 浊 圈可以看f n ，一0 流形元的的计算精度要比四边形等参单元高，特别是在时叫 步长比较d , f j i j ，j 1 边形等参元的初期孔压计算值是不可信的。 图2 1 2 初期孔压分布 = 艺) 一 竺嚣! 笔 一 ：0 。i ： n 1 1 m 脚b l 2 。5 算例 n 日 n i m t 日- “1 0 i i- z 】0 1f i “i一口f - _ o bm 1 2 * n ，* n ， 图2 1 3 初期竖向位移分布 如图2 1 4 示河床端面，渗透系数为致= 缸，= 8 x 1 0 一，杨氏模量为e = 3 7 m p a ， 泊松比 一0 3 ，饱和容重为1 5 8 k n m 3 。开挖前河床表面水平，假设开挖瞬间完 成，且丌挖不影响河床两侧和底面的孔隙水压力。考虑到问题的对称性，取一半 进行分析。时间步长为l 天，计算结果如图2 1 5 2 1 7 示( 图中标注单位：长度、 位移为i i l ，孔压为p a ) ，图中等高线未经光滑处理。 图2 1 4 模型及数学| 而! | 格隆l 蛐加们掷旧0叭 浙江大学硕士学位论文 边坡稳定分析的流形单元法 由图可以看出，本文单元可以给出合理的初期孔隙水压力。开挖后河床出 现较大的负超静孔隙水压力( 汇) ，汇的中心位置由初始的对称轴逐渐向两侧移 动，6 0 天后形成两个独立的汇。7 8 天时对称轴附近出现正的超静孔隙水压力， 最大正超静孔隙水压力达6 8 p a 。从1 0 0 天的超静孔隙水压力等高线图可以明显 地看到河床具有一源两汇。 ：翟簿爹訇 毫一一! i f 。 1 1 天 盟丝业生堑l 垂些l 墨垫生生鲤l 二业韭业 3 噘。：。雾磐，譬零氰 每醪移彤- 。1一i - 测 量：。，j 三矗。五。= ：叁：型i互二山。二交互出监监。五。二。：基：兰：查：兰兰：f 图2 1 5 超静孔隙水压力等高线图 1 0 0 天 图2 1 6 水平位移等高线图 2 。6 本章小结 图2 1 7 竖向位移等高线图 本章介绍了数值流形方法基本原理，并在b i o t 固结理论的基础上，通过在 有限单元的节点上对骨架位移和孔隙水压力分别采用不同阶次l a g r a n g e 分片插 值函数作为覆盖函数，构造出形式较为自由的3 - 4 节点平面固结流形元。通过数 值分析比较，数值算例表明，流形单元具有以下特点： ( 1 ) 三节点平面流形元是一组新型的满足位移和孔压插值阶次不同、节 点自由度相同的“一p 混合模式单元，它避免了组合单元编程中的麻 烦； ( 2 ) t o 一0 ，t 1 0 和t 1 1 的数值比较表明，t 1 0 单元具有很好的适 应性，当时间步长较小时，初期位移和孔压的精度很高； ( 3 ) t 1 0 单元能以较少的计算自由度获得比四边形等参元更精确、更合 理的初期孔压和初期位移； ( 4 ) 实例应用表明，t 1 0 流形单元的计算结果是合理的。 本章的研究工作为后面自适应流形元的实现以及将流形单元法应用到边坡 稳定分析中打下了基础，也为今后进一步将流形元应用于边坡累积破坏分析提供 了可能。 浙7 1 人学彤! f 他盹义 地坡稳比分析n 0 溉彤1 1 i “ 3 。1 概述 第三章网格自适应流形元 随着有限元技术应用范围不断扩大，越来越多并不熟悉有限元技术的人需要 使用这门技术。剥所要分析的对织怎样进行网格制分，怎样进行数掘输入，怎样 评价有限元分析的结果等等问题，经常困扰稽他们。在边坡工程的有限元分析中， 边坡临近破坏时会出现剪切带和应变局部化现象，网格的疏密御嚣对分析成败至 关重要。而分析人员事先并不知道剪切带的位置，无法事先合理有效的布置网格 的疏密。流形单元法作为一种数值计算方法，同样受这些因素的制约，因此，有 必要发展自适应流形元技术。 白适应性一般定义为按现时条件检查后为满足确定需要的调整过程，自适应 有限元方法是一种能自动调整算法以改进求解过程的数值方法，包括多种技术， 其中主要的有误差估计、自适应网格改进、非线性问题中的荷载增量的自适应选 取及瞬态问题中时间步长的自适应调整。早在7 0 年代初期，o l i v e r i r a 4 9 1 等于1 9 7 1 年通过极小化能量利用最优节点分布诩论了网格的优化问题，所提出的网格重分 布方法成为移动节点法的基础。7 0 年代中期，o l i v e r i r a 进一步创造性地提出在 应变能密度变化最大的区域加密网格或增设插值函数的高阶自由度，开创了最优 离散化的研究。7 0 年代后期，p e a n o 5 0 】f 5 1 1 提出用叠层细分构造混合阶插值，给出 t j i - ：常有用的叠层p 型单元族。8 0 年代，s z a b o 5 2 成功地将叠层单元法用于离散 网格的设计。z i e n k i e