（基础数学专业论文）非线性kleingordon和非线性schrodinger方程.pdfVIP

非线性k l e i n - g o r d o n $ l l 非线。陛s c h r 6 d i n g e r 方程 基础数学专业 研究生蒋毅指导教师蒲志林教授 论文摘要：本文主要研究量子力学中的重要模型非线s e h r f d i n g e r 方程和非线 性k l e i n - g o r d o n 方程的某些性质 第章，研究带竞争势的非线性k l e i n - g o r d o n 方程的柯西问题建立了柯西问 题的不变流形即稳定集和不稳定集由势井讨论和凸函数方法证明了如果发展流 进入了不稳定集，解在有限时间内爆破：如果发展流进入了稳定集，解整体存在同 时回答了当初值取为多小的时候，柯西问题的整体解存在 第二章，研究藕合的非线性s c h r & t i n g e r 方程组的柯西问题证明驻波的存在性， 通过势井，不变流形及变分问题的讨论，得到了方程柯西问题整体解存在的最佳条 件，回答了当初值取为多小的时候，柯西问题的整体解存在，最后，结合这些结论得 到了驻波的不稳定性 第三章，研究带非线性坍塌项的非线性波动方程的柯西阔题，建立了新的不变 流形：通过势井讨论和凸函数方法，得到了整体解存在的最佳条件用尺度讨论，回 答了当初值取为多小的时候，整体解存在 关键词：非线性s c h r f i d i n g e r 方程；菲线性k l e i n - g o r d o n 方程；爆破解；整体 解最佳条件：驻波；轨道稳定 第i 页，共 ? 页 n o n l i n e a rk l e i n g o r d o na n dn o n l i n e a rs c h r s d i n g e re q u a t i o n s m a j o r b a s i cm a t h e m a t i c s g r a d u a t e j i a n gy i s u p e r v i s o r p uz h i - l i n a b s t r a c t ：i n t h i s p a p e r ，w e s t u d y s o m e p r o p e r t i e s o f n o n l i n e a r k l e i n - g o r d o n a n dn o n l i n e a rs c h r b d i n g e re q u a t i o n sw h i c ha r em a j o rm o d e l si nq u a n t u mm e c h a n - i c s i nc h a p t e r1 ，f o rt h ec a u c h yp r o b l e mf o rt h en o n l i n e a rk l e i n - g o r d o ne q u a - t i o nw i t hp o t e n t i a l ，w ed e f i n en e ws t a b l ea n du n s t a b l es e t sf o rt h ei n i t i a ld a t a w ep r o v et h a ti fd u r i n gt h ee v o l u t i o ne n t e r si n t ot h eu n s t a b l es e t t h es o l u t i o n b l o w su pi nf i n i t et i m e i fd u r i n gt h ee v o l u t i o ne n t e r si n t ot h es t a b l es e t ，t h e s o l u t i o ni sg l o b a l b yu s i n gs c a l i n ga r g u m e n t ，w ea l s oa n s w e rt h eq u e s t i o no fh o w s m a l lt h ei n i t i a ld a t aa r e ，t h eg l o b a ls o l u t i o no ft h ec a n c h yp r o b l e me x i s t s i nc h a p t e r2 ，w ed i s c u s s e st h ec a u c h yp r o b l e mo fn o n l i n e a rs c h r f d i n g e r e q u a t i o n s w ef i r s te s t a b l i s ht h ee x i s t e n c eo fs t a n d i n gw a v ea s s o c i a t e dw i t ht h e g r o u n ds t a t e sb yv a r i a t i o n a lc a l c u l u s t h e nb yt h ep o t e n t i a lw e l la r g u m e n ta n d t h ec o n c a v i t ym e t h o d ，w eg e tas h a r pc o n d i t i o nf o rb l o w u pa n dg l o b a le x i s t e n c e t ot h es o l u t i o n so ft h ec a u c h yp r o b l e ma n da n s w e rs u c hap r o b l e m ：h o ws m a l l a l et h ei n i t i a ld a t a ，t h eg l o b a ls o l u t i o n se x i s t ? a tl a s tw ep r o v et h ei n s t a b i l i t yo f s t a n d i n gw a v eb yc o m b i n gt h o s er e s u l t s i nc h a p t e r3 ，f o rt h ec a u c h yp r o b l e mf o rt h en o n l i n e a rw a v e * e q u a t i o n t h 第i i 页共：斤页 n o n l i n e a rd a m p i n ga n ds o u r c et e r m s ，w ee s t a b l i s hn e wi n v a r i a n tm a n i f o l d s a s h a r pt h r e s h o l df o rg l o b a le x i s t e n c ea n db l o w - u p ，b yu s i n gp o t e n t i a lw e l lm e t h o d a n dc o n c a v i t yf u n c t i o nm e t h o d ，i sd e r i v e d b yu s i n gs c a l i n ga r g u m e n t ，w ea l s o a n s w e rt h eq u e s t i o no fh o ws m a l lt h ei n i t i a ld a t aa r e ，t h eg l o b a ls o l u t i o no ft h e c a u c h yp r o b l e me x i s t k e yw o r d s ：n o n l i n e a rk l e i n - g o r d o ne q u a t i o n ；n o n l i n e a rs c h r f d i n g e re q u a t i o n ；g l o b a le x i s t e n c e ；b l o wu p ；h a r pc r i t e r i a ；s t a n d i n gw a v e s ；o r b i t a l l ys t a b l e 四川师范大学学位论文独创性及 使用授权声明 本，、声明：所呈交学位论文，是本人在导师 指导下，独立进行 研究工t ：所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他 个人豉集体已经发表或撰写过的作品或成果。对本文的研究做出重要贡献的个 人和集孳，均已在文中以明确方式标明。 本，i 、承诺：已提交的学位论文电子版与论文纸本的内容致。如因不符而 引起的学术声誉上的损失由本人自负。 本，t 、同意所撰写学位论文的使用授权遵照学校的管理规定： 学蔹作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者须授权所在大学拥 有学位：2 文的部分使用权，即：1 ) 已获学位的研究生必须按学校规定提交印 刷版和黾予版学位论文，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索：2 ) 为教学和科研目的，学校可以将公开的学位论文或解密后的学位 论文作为资料在图书馆、资料室等场所或在校园网上供校内师生阅读、浏览a 论文作者签名：守多荔忑 汩i 霉f 具r 刖吾 随着自然学科、技术学科的发展，非线性波动系统成为数学物理中最具吸 引力的研究领域之一在数学上，它们反映了有关的未知变量关于时间的导数和 关于空间的导数之间的制约关系，是一类重要的偏微分方程，也是核心数学研究 的重要部分：在物理上，它们揭示了现代物理学中一些深刻的规律和运动规则， 经典的非线性波动系统主要是非线s c h r k t i n g e r 方程，非线性k l e i n - g o r d o n 方程， k d v 方程等其中非线s c h r s d i n g e r 方程和非线性k l e i n - g o r d o n 方程是量子力学中 的重要模型 关于非线性k l e i n - g o r d o n 方程严格的数学研究是近几十年的事 情p e c h e r 8 得到方程柯西问题局部存在性；l e v i n e 9 p a y n e 和s c a t t i n g e r 1 0 ， b a l l t l l 等讨论了爆破性质；s t r a u s s 1 2 讨论了充分小初值时整体解的存在性基 于这些奠基性的结果，已经取得一系列重要进展有文【l 一7 1 关于非线s c h r f d i n g e r 方程，s e g a l 3 0 提出非线性半群理论，s t r a u s s 1 2 ，3 1 】 就方程小解的散射性作了开创性的研究，g l a s s e y 3 3 1 得到方程的爆破性质， g i n i b r e 和v e l o 3 2 1 给出了方程柯西问题局部适定性基于这些奠基性的结果，已 经取得一系列重要进展有文f 1 4 ，3 3 - 4 2 本论文的思想方法源i i l = j = z h a n g 1 3 ，1 5 ，2 4 - 2 9 l 所建立的以现代分析为依托， 把非线性波动系统的整体适定性与驻波解的存在性及稳定性有机联系起来的工 作框架在此框架下，我们作了进一步的发展通过分析方程的特征，以c a u c h y 问题的局部适定性为基础，构造合适泛函和流形，从而设置强制变分问题通过 分析这些变分问题的特性，构造某些特定的函数结合这些函数特征，方程的特 点以及一些重要不等式，建立了它的所谓发展不变流形通过发展流的不变性， 讨论c a u c h y f 司题整体解存在最佳条件，利用构造的多种强制变分问题和得到的 最佳条件讨论方程具确定频率的基态驻波解的存在性与稳定性，最终实现用定 惫的驻波性质，即变分特征来刻画动态的发展系统的适定性：同时，用发展系统 的适定性确定驻波的稳定性 第1 页，共；? 页 前言 第一章研究带竞争势的非线性k l e i n - g o r d o n 方程的柯西问题： “一咖十y ( z ) = r ( z ) 毋i 曲1 9 1 + ( ( z ) 妒i 毋i q - , o ( o ，z ) = 如：c t ( 0 ，z ) = 毋1 t 0 ，z 尺“ 建立了柯西问题的不变流形即稳定集和不稳定集由势井讨论和凸函数方法，证 明了如果发展流进入了不稳定集，解在有限时问内爆破；如果发展流进入了稳定 集，解整体存在同时回答了当初值取为多小的时候。柯西问题的整体解存在 如果y ( x ) = r ( z ) = 1f i q ( x ) = 0 ，方程为经典的k l e i n - g o r d o n 方程，容易 证明本章结论任是正确的，和z h a n 科i3 】结果比较，我们找到了k l e i n - g o r d o n 方程 柯西问题新的整体解存在和爆破的最佳条件如果q ( z ) = 0 ，容易证明本章结论 任是正确的，与g a n t 1 z h a n g 1 7 文中结果比较，我们找到新的整体解存在和爆破 的最佳条件， 第二章研究祸合的非线性s c h r & i i n g e r 方程组的柯西问题： ii 也= 妒+ 2 i 砂1 2 + i 妒1 2 一n 1 毋，t 0 ，z r 3 ii “= 妒+ 2 = i 妒1 2 + i 1 2 一d 】妒，t 之0 ，z r 3 毋( 0 ，z ) = 如( z ) ，妒( 0 ，z ) = 讥( z ) ，z r s 证明驻波的存在性，通过势井，不变流形及变分问题的讨论，得到了方程柯西问 题整体解存在的最佳条件，回答了当初值取为多小的时候，柯西问题的整体解存 在最后，结合这些结论得到了驻波的不稳定性 第三章，研究带非线性坍塌项的非线性波动方程的柯西问题： 也t 一毋+ + 也 也i m 一1 毒妒i l p lt 0 ，z r 烈o ，z ) = o d ( z ) 血( o ，z ) = 妒l ( z ) z r “) 建立了新的不变流形通过势井讨论和凸函数方法，得到了整体解存在 的最佳条件用尺度讨论，回答了当初值取为多小的时候，整体解存在 与t o d o r o v a 3 5 3 】比较；我们找到了新的稳定集和不稳定集，此外，本章的结 论包括临界m = n 次临界 l p 和m = l 时的情况，同时本章结论可平移到经 典的k l e i n - g o r d o n 方程 x i a o y i l 0 3 5 2 0 * 1 2 6c o n !第2 页洪 ? 页 毕业论文 第一章带竞争势k l e i n - g o r d o n 方程的稳定集和不稳定 集 1 1 预备知识 本章。研究带竞争势非线性k l e i n g o r d o n 方程 咖c 一妒+ 矿( z ) = 矗( 。) i 乒i p - i + q ( 零) 妒i 毋i q - i( 1 1 ) ( o ，z ) = 加，也( 0 ，z ) = l 0 ，z r n ( 1 2 ) 其中= o ( t ，z ) 是的复值函数，是r ”上的拉普拉斯算子，且l p 口 两n = + i 2 f ( 当n = 2 时，l p 口 c o ；当3 时，( 一2 ) + = n 一2 ) 对于不 带势函数的非线性k l e i n - g o r d o n 方程，已有工作些工作见【1 ，1 3 ，1 铆，而形如方 程( 1 1 ) ( 带竞争势) 的情形，研究较少 本章，我们建立柯西问题( 1 ，1 ) - ( 1 2 ) 的不变流形即稳定集和不稳定集由势井 讨论和凸函数方法，证明了如果发展进入了不稳定集，解在有限时间内爆破；如 果发展进入了稳定集，解整体存在，同时同答了当初值取为多少的时候，柯西问 题的整体解存在 如果矿( z ) = n ( x ) = 1 且q ( z ) = 0 方程( 1 1 ) 为经典的k l e i n g o r d o n 方程， 容易证明本章结论是正确的，和z h a n g 1 3 l 结果比较，我们找到t k l e i n - g o r d o n 方 程柯西问题新的整体解存在和璨破的最佳条件如果q ( x ) = 0 ，容易证明本章结 论是正确的，g a n 和z h a n g 1 7 文中结果比较。我们找到新的整体解存在和爆破 的最佳条件 定义能量空闻h 如下： 片：= 垆何1 ( r ) ，y ( 士) i 妒1 2 如 o 。 此后为了简化记厶，如为，如当赋予它以下内积运算，由日的定义易知， 日为h i l b e r t 空间并连续的嵌入到日o ( r ) ( 妒，纠j = r ：= ( v 妒v + v c x ) 妒妒) d x ， j 第3 页，共：；_ 页 第一章带竞争势k l e i n g o r d o n 方程的稳宅嶷帮不稳定集 其对应的泛函，记为j | 0 0 西0 刍：= ( i v 妒1 2 + 矿( z ) i 毋1 2 ) d z 0 ，s u p z r r ( z ) 页，s u p 。e r q ( 。) 虿 y ( z ) ，r ( ) ，q 扛) 是正的且是r 上的有界可测e 1 函数 由文【5 4 1 ，得柯西问题( 1 1 ) 一( 1 2 ) 的局适定性定理 定理1 1 1 如果1 p g 舅薯( = 2 ，1 p g ) 且( 如，咖1 ) 1 ( 兄n ) xl 2 ( r ) ，则对某一r ( o ，o o ) ( 最大存在时间) ，方程( 1 1 ) ( 1 2 ) 的柯西 问题在最大时问区间【0 ，丁) 上存在唯一解( t ，z ) 满足 妒口( f o ，巧，1 ( j r ) ) 其中r = o 。或者t o 。且 l i m r1 1 妒1 1 1 ( ) 2 o o 此外，满足能量等式 即) = ； 甜i 如+ 互1 门v 卯如毛m 一南昨m p 出 一南弘( z ) i | 口+ 1 出= e ( o ) ( 1 3 在中定义两个泛函 鼬) ：= ；力v u l 2 如+ ；俐“1 2 出一南驯t 如 一南q ( z ) i t li 川如， ( 1 4 k ( n ) ：= y “1 2 出y ( z ) l “1 2 如+ 厂r ( z ) iu i 舛1 如+ f q ( z ) i u p l 如 ( 1 5 ) 且定义 m ：= “h ( r “) o ) ，k ( t 1 ) = o ) ( 16 ) 在这种情况下强制变分问题为 x i a o y i l 0 3 5 2 0 1 2 6 c o r n d 2 聪j ( u ) 第4 页共 ? 页 ( 1 7 ) 毕业论文 一! 三兰堂苎量竺坚尘! 竺鱼! ! ! ! ! ! 查堡竺垒童叁童至堡壅墨 此时，定义稳定集和不稳定集为 r 一：= ( “( r ) ，( “) 生筝掣，( q ) i p 口 莉n + 2 ( = 2 ，1 p 0 引理1 ，1 ，2 假设( 如，多1 ) h ( ) l 2 ( r ) ，e ( o ) 警_ ( 1 1 9 ) 对任何，【o ，t ) 都成立，这里p ( f ，z ) 是方程( 1 1 ) 一( 1 2 ) 柯西问题的解 x i a o y i l 0 3 5 2 0 1 2 6 c o r n 第6 页，共f 页 毕业论文 一蒸二兰堂童兰兰坚塑! ：垡! ：! ! ! 垄堡竺垒童墨童至垒枣叁 证明根据引理1 12 ，有 fv 庐i 2d x 一v ( z ) i 1 2 如 一兄( z ) i 咖r 1 如一q ( ) i i 州如， ( 1 2 0 ) 由上面的不等式和等式( 17 ) ，( 1 1 3 ) m 1 2 0 ) ，得到 d = i l l f ( y 缸) i 。j 2 如一磊甚：备冗( z ) i 牡p 1 如一蒜q ( z ) i 让r - 出) y ( 功i 驴1 2 出一赫( r ( z ) i 妒i ”l 如+ q ( i r 1 出) 揣c i 该引理1 1 3 证明完毕 v 妒1 2d z + y ( z ) l 妒1 2 d z ) 1 2 解在有限时间内的爆破 本节，给出方程( 1 1 ) ( 1 2 ) 柯西问题的解在有限时间内臻破的结果 定理l ，2 i 令l p q 舅薯( = 2 ，1 p q o o ) 假设( 南，幽) h ( r ”) l 2 ( j r ) j i e o ) 蛐q + 3 如果如r + ，则方程( 1 1 ) ( 1 2 ) 柯西问题的 解庐( ，z ) 在有限时问内爆破 址明田如r + ，引理1 - 1 2 得对1 0 ，t ) ，( ，z ) 胪由( 1 3 ) 和( 1 1 2 ) 得到 p ( ) = ( 2 + ；) i 也1 2 如+ ( ；一2 ) l v 妒1 2 出+ ( ；一2 1 厂y ( z ) 1 9 i ：出 + ( 2 - 未苦) 疗( z ) i 妒f 舛1 出+ ( 2 一彳备) 口。) l 庐r 1 如一a e ( 0 j ( 1 2 1 ) 因为f ( o ) 删q + 3 ，可选择常数口满足 丽x4f(q+百1)丽dq1 ) dq 口 4 i l j m i a 个选择和( 1 1 9 ) 得到 ( - 2 ) ( i v 庐1 2 如+ 矿( 。) i 咖 2 d z 一口e ( o ) 之( ；一2 ) 型手辜丢望一一曰( 0 ) o 、0 2 3 ) x i a o y i l 0 3 5 2 0 1 2 6 c o r n 第7 页，共，；i 页 毕业论文 第一章带竞争莺- k l e i n g o r d o u 方程的稳之妻和不稳定集 m ( 1 ，2 1 ) ，( 1 2 2 ) 和( 1 ，2 3 ) ，得到 一 ， f ”o ) ( 2 + 鼍) f 也f 2 出 ( 1 2 4 ) 根据( 1 1 0 ) ，( 1 ，1 1 ) ! 1 1 ( 1 ，1 4 ) ，利j 羽h 6 1 d e r 不等式得到 尸( ) f ”( f ) ! ! 妄三i ，7 ( t ) 2 ( 1 2 5 ) 因为【p 一2 手0 ) 】” = 一宁f 一2 丝 ) 【f 0 ) p ”( t ) 一芝f ( ) 2 】，由( 1 2 5 ) ，得 到 尸一2 ( ) 】”0 因此，对足够大的t 存在有限时间p ，使得f 一( ) ，且 满足 鲰f 一- 一r ( t ) = 0 ( 1 2 6 ) 又因为- 厂矿( z ) i 庐1 2 如，矿l 1 2 如，则存在丁 且 。磐慨) 2 o o r ( 1 2 7 ) 定理1 ，2 ，1 证明完毕 1 3 整体解存在的最佳条件 定理1 3 1 令l p q 等笺( j = 2 ，l p 口 o o ) 假设( 加，毋1 ) h ( r ) x 驴( 冗。) 且e ( o ) 止q + 型3 如果九r 一，蜃! f 方程( 1 ，1 ) 一( 1 2 ) 柯西问题的 i 薛o ( t ，z ) 在【o ，0 3 ) 上整体存在 证明 因为粕r 一，由引理1 1 2 ，得到e ( f l 警，( 毋) 百( q - 矿1 ) d 且k ( 纠( 0 记如= 妒( z ) ，由( 纠 1 满足k ( 如) = 0 p 2 f lv l d x - 胪m ) 2 如彬沪。脚) 川如 杪) 州如= 。( l 2 s ) 由此可得 e ( ) + 揣 譬， ( 1 2 9 ) ；i 也1 2c “+ 2 二静i v 庐1 2d z + 里! 并y ( ：r ) l 矽f 2 如 + q 筹斋1 乒j 厂酬如 等q3 ，( 1 。o ) (+ 1 ) ( p +) 咩、山。甲 + o ”7 第一章带竟争苟 k l c i n - g o r d o n程酋稳定嶷和z 硅定集 上式( 1 3 0 ) 表明西( t ，z ) h ( r ) 且也( z ，z ) l 2 ( r n ) ，对任意f 【0 t ) 是有界的 由定理1 1 1 ：得到妒( ，z ) 在【0 ，t ) 上整体存在， 定理1 3 1 证明完毕 推论1 31 令1 p q 倦( = 2 ，1 p g c o ) h ( r ) 2 ( j r ) 且满足 扣训氛+ 知州i ：c 孺q - - i d ， 则方程( 1 1 ) - ( 1 ，2 ) 柯西问题的解( ，甸在 o ，o o ) 上整体存在 如果( 粕，毋1 ) ( 1 3 1 ) 证明由( 1 3 1 ) ，得j ( 如) j g q 型+ 3 且e ( o ) 垃q + 型3 下面只需证明( 如) 0 用反证法，存在一个0 a 1 满足( a 如) = 0 因此，由( 1 7 ) ，可得 ，( 如) d 1 3 2 ) 另一万面，由( 1 3 1 ) 否1 oa 圳备+ 扣ai i 刍= 萼幅+ 互1 忪川2 互1 幅+ 扣- 1 1 2 2 i 1m “( 一w l ，一奶 ，则s ( ，口) 在m 集上下方有界且d 0 s ( u ，”) = ；f ( i v u 1 2 + iv ”1 2 ) 如+ ；( 2 a + w d fiu j 2 出+ j 1 ( 2 叶w 2 ) f i ”j 2 如 ( 2 1 0 ) 因为( t ， ) ( 0 ，0 ) 和( 2 i o ) ，易知对所有的( “，t ) m ，s ( 牡，。) 0 所以， 得到d 0 如果d = 0 ，则存在序列 缸。，) cm 满足冗红。，) = 0 且 当n 0 0 时，s ( ，) 0 由( 2 1 0 ) ，可得当n 一时， i v 1 2d x - - - , , 0 ，i v 1 2 d z - - - , 0 ，i 1 2 d z - - - , 0 ，i 1 2 d x - - - , 0 【2 1 1 ) 利用n i r e n b e r g g a g l i a r d o 不等式，得到 iu n l 4 如+ b r i l 4 妇sc ( f i l l 2 d z ) ( i v 1 2 如) ； 十c ( i 1 2 如) ；( l v v 1 2 出) l ， ( 2 1 2 ) 这里c 表示变化的，乒萝数注意到兄( t ，i ，) = o 所以 ；( i 1 4 + i 1 4 ) d z + 3 i 1 2 1 t n 1 2d x 0 至此，引理2 13 的证明完毕 引理2 1 4 令( 让，) 1 ( j r 3 ) xh 1 ( r 3 ) ，a 0 记“ = a “( a z ) ，坝= a i 口( a z ) ，则存在唯一p 0 ( 关于，u ) ) 满足r ( ，啦) = o 且当a ( 0 ，p ) 时， 兄( “ ，v a ) o ；当a ( “o o ) 时，r ( u a ， 0 a ) 0 ，s ( ，) 2 s ( 坝，u ) 证明，由( 2 4 ) 和( 2 5 ) ，r ( u a ，坝) 和s ( “ ，玖) 的表达式为： 冗u a , 坝) = a 2 f ( 1 w , 1 2 + f v 卯胁一；a 3 f ( i 州+ 恤一3 p l u 1 2 2 幽 = 萼弘叫小”1 2 ) 如3 - 扣牡1 4 + i 。i 恤爿儿m i + 扣+ 蚓门钍1 2 出+ 扣+ w ：) f i 卯如， 则必存在唯一正常数p 0 ( 关于( “，口) ) 满足r ( 蛳，) = 0 ，且得到 当a ( o ，p ) 时，r ( u x ，以) 0 ；当a ( 鳓。) 时r ( 姒，f f a ) 0 ，s ( t l ，咋) s ( u a ，坝) 至此引理2 1 4 的证明完毕 2 2 驻波的存在性 定理2 2 1 假设n ；m a x 卜 1 一奶) ，则存在( d ，q ) m ，满足 ( i ) s ( o ，q ) = i n f ( 。，) m s “，口) = 西 ( i i ) ( d ，q ) 是( 2 1 ) 的基态解 如果定理2 2 1 成立，易得 x i a o y i l 0 3 5 2 0 1 2 6 c o r n 第1 3 页，共： ? 页毕业论文 第二章非亥怪s d n x l i n g e r 方程组驻液的不稳定性 引理2 2 1 令o m a x - w i ，一地) 且( d ( 习，q ( 。) ) 是方程( 2 1 ) 的基态解，则 s ( d ，q ) 2 ( 黯s ( ) 下面，开始证明定理2 2 1 证明r h e i m 2 2 1 ，令 ( t ，l ，) ：n ) cm 是( 2 6 ) 的极小化序列，即 s ( t ，l ，1 n ) f i n ) 叫f s o , - ”) n1c o ) ( 2 - 1 5 ) 令矿，矿分别表示函数t 瘌u 的s c h w a r z 球面对称重排，由文 4 3 氮1 u + ，矿关于i l 的球面对称的、非增非负函数，且满足以下性质： i v u 1 2 出纠v “1 2 如，7i v 口1 2 出厂j v u j 2 如，( 2 1 6 ) i 矿厂如= 厂l t lr 如， i r 如=i 1 9 出a 1 ( 2 1 7 ) 此外，容易证明 ( “；) = ( “) ，( 畎) = ( ”) ，( 2 1 8 ) 善中“ = a i 缸( a z ) ， = a iu ( a z ) 现在，令口。= ( 让：) ，。，_ = ( ) 。其中。 0 ，由( 2 1 9 ) 确定 r ( d 。，q 。) = r 【( n ：) 。( 嵋) 。1 = 0 ( 2 1 9 ) 由( 2 1 7 ) ，得到d 。= 【( ) 。| i q 。= f ( 。) 。卜因此：由( 2 1 0 ) ，( 2 1 4 ) 和( 2 ，1 5 ) ，有 s ( d n ，q 。) s 【( 札。) ，。，( t n ) h l s ( t ，l ，铒。) ( 2 2 0 ) 不等式( 2 2 0 ) 的右边是引理2 1 4 的结果，因为兄( ，) = o 和( 2 2 0 ) ，“d 。，q 。) ： 以) 也是( 2 6 ) 的极小化序列1 扫s t r u a s s 紧性引理( 见 2 2 1 ) ，即，当2 旷 6 时， 月盖出d ( 舻) 一l o ( r 3 )( 2 2 1 ) 此嵌入是紧的，其中 晓甜( 兄3 ) = ，h 1 ( 帮) ：，( 力= 州z | ) 是lz 的函 数) 由( 2 1 0 ) 羊n ( 2 1 5 ) ，已知l | k - ( 羽) 和0q 。( 舻) 对所有的n 是有界的 凼此存在一子序列，为简化任记为“) n ，q k ) ：n 则 d 。一d 。，q 。q 。h 1 ( r 3 ) d 。d 。，q 。，q 。l 4 ( 斧) ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) 下面，证明( d ，q 。) ( 0 ，o ) 运用反证法，假设( d 。，q 。) = ( 0 ，o ) f 则 d 。一0 ，q 。一0l 4 ( r s ) 、 ( 2 2 4 ) x i a o y i l 0 3 5 2 0 1 2 6 c o i i l第1 4 页、共：圩页毕业论文 劈二章非线性s 1 l l + & l i n g e r 专程组驻波的不稳定性 因为( d 。，q 。) m 和r ( ) n ，o 。) = 0 ，所以 舢v 仇1 2 + iv q 。1 2 ) 如一0 ，竹一( 2 2 5 ) 另一方面，由( z k ，q 。) m ，n i r e n b e r g - c a g l i a r d o 不等式和( 2 6 ) ，得到 ，( 1v d 1 2 + iv q 。 2 ) d x c ( ，i 风f 2 如) ( iv d 1 2 如) 十c ( i q 。1 2d z ) ( i v q 。1 2 如) ； ( 2 2 6 ) 0 口i i | ，f l ( 胪) 和fjq 。i i _ ：r ，( 舻) 的有界性，表明 ，i 风1 2 如 c ，lg1 2 如 0 由下式唯- 决定 r ( o ，q ) = r 【( d 。) p ，( q o o ) p 】= 0 ， m ( 2 2 2 ) 和( 2 2 3 ) 得到 ( d 。) ，一d ，( q 。) ，一qh 1 ( 帮) ， ( 以) ，一d ，( q 。) 。一ql 4 ( 印) 因为| r ( d 。q 。) = 0 ，引理2 1 4 ，表明 ( 2 2 9 ) ( 2 3 0 ) s l ( 以) p ，( q 。) 一s ( ( 巩，q 。) ( 2 3 1 ) m ( 2 2 9 ) 一( 2 3 1 ) ，得到 s i p q l ：窑s 【( d n ) 一，( q n ) 一】，! 骢s ( ，q n ) = i j n f s ( 2 3 2 ) 当( d ，q ) ( 0 ，o ) 且r ( d ，q ) = 0 ，得到( d ，q ) m m ( 2 3 2 ) ，得( d ，q ) 是最小化 问题( 2 3 3 ) 的解 s ( d ，q ) 2 ( 0 蛾s ( ”) ( 2 3 3 ) 至此，定理2 2 1 ( i ) 的证明完毕 下面，证明定理2 2 1 ( 2 ) 因为( d ，q ) 是( 2 ，3 3 ) 的解刚在在l a g r a n g 一乘子a 满 足 - 如i s + a r l = 0 ，如【s + a 捌= 0 ， ( 2 3 4 ) x i a o y i l 0 3 5 2 0 l 1 2 6 c o r n 第1 5 页，共o ? 页毕亚论