（基础数学专业论文）结合色代数的分解唯一性与李色代数的上同调.pdf

，一 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东北师范大学或其他教 育机构的学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任 何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意 学位论文作者签名：象丝 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定， 即；东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件 和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人授权东北师范大学可以将学位论文的全 部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段 保存、汇编学位论文 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：盈型 指导教师签名：强趟、 日 期：2 q i 垒：至：压日期：五4 芝! 互，厂 通讯地址： 电话： 邮编： 一 0 摘要 本文利用对结合代数分解唯性和结合超代数的上同调的研究方法，对结合色代数和 李色代数进行了研究本文分为三部分，第一部分给出了结合色代数具有分解唯一性的证明， 第二部分给出了结合色代数上同调为零的充要条件，第三部分把结合色代数上同调的一些结 论推广到了李色代数上并得到以下重要结论： 定理1 ：设r 是一结合色代数，且a n n ( r ) = 0 ，又设r 有理想直和分解r = r 1o 尺2o o 尺。 与r = s jos 2o os 。，其中r 1 和s 1 s 。都是不可分解的，则m = n 并且如必要经重新 排列后有r f = s f 待1 ，2 耽 定理2 ：令s 为a 的阶化子集合，即s 中的元素的齐次成分仍在s 中，称巳 ) = i 口 a i e a ，s - o l 为s 在a 中的中心化子 令s 表示由so1 1 s ，s s 元素生成的ao f 彳唧的不含单位的阶化子代数 假设s 中齐次元素可逆地作用在m 上，则典范映射研，加一舻( o ( s ) ，旧为零 定理3 ：令= 0 订，是一个有限维的强半单李色代数，c h a r f = 0 ，m 是一个不可约的忠实 的l 模，则( l 加= 0 关键词：结合色代数；李色代数；上同调：增广代数 a b s t r a c t t h i sr e s e a r c hm e t h o dm o d d e do nt h ed e c o m p o s i t i o no fa s s o c i a t i v ea l g e b r aa n dt h ec o h o m o l o g yo f a s s o c i a t i v es u p e r a l g e b r a ，c o n d u c t e das t u d yo fa s s o c i a t i v ec o l o rm g e b r aa n dl i ec o l o ra l g e b r a t h i sp a p e r i sd i v i d e di n t ot h r e ep a r t s t h ef i r s tp a r tg i v e st h ep r o o ft h ed e c o m p o s i t i o no fa s s o c i a t i v ec o l o ra l g e b r aa n d u n i q u e n e s s t h es e c o n dp a r tg i v e sas u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h ev a n i s h i n go ft h ec o h o m o l o g yg r o u p so fa n a s s o c i a t i v ec o l o ra l g e b r a t h et h i r dp a r td r a w ss o m ec o n c l u s i o n so ft h ec o h o m o l o g yo fa s s o c i a t i v ec o l o r a l g e b r ab ee x t e n d e dt ol i ec o l o ra l g e b r a w ec a nh a v es o m ei m p o r t a n ti d e n t i t i e s t h e o r e m1 ：l e trb ea s s o c i a t i v ec o l o ra l g e b r a ，a n d c ( r ) = o ，l e trh a v et h ed e c o m p o s i t i o nr = r 10 r 2o e r m a n d r = s lo s 20 e s n , r 1 r a n d s l s n c a n n o tb ed i v i d e d ，t h e nm = na n dt h r o u g ht h e n e wa r r a n g e r i2s ji = 1 2 m t h e o r e m 2 ：l e ts d e n o t et h es u b a l g e b r aw i t h o u tu n i t yo f a 断a o r v w h i c hi sg e n e r a t e db yt h ee l e m e n t s o ft h ef o r m s sol 一1os 。s s w i t h s s a s s u m et h e r ei sa ne l e m e mi ns + a c t i n gi n v e r t i b l yo nm t h e nt h e r e s t r i c t i o ni m a g eo f - ”似，旧i nh ( c a ( s ) ，m ) i s0f o re v e r yn t h e o r e m 3 ：l e tl = 9 y e tl ，b eas 打o n gs e m i s i m p l e , f i n i t ed i m e n s i o n a ll i ec o l o ra l g e b r a ，c h a r f = 0 ，m i sad i m e n s i o n a ll - m o d u l e ，t h e nl a w ( 厶加= 0 k e yw o r d s ：a s s o c i a t i v ec o l o ra l g e b r a ；l i ec o l o ra l g c b m ；c o h o m o l o g y ；s u p p l e m e n t c da l g e b r a 卜 矿 目录 中文摘要i 英文摘要i i 目录i i i 1 引言1 2 结合色代数的分解唯一性3 3 结合色代数的上同调8 4 李色代数的上同调1 4 参考文献1 6 致谢1 7 h i 东北师范大学硕士学位论文 1 引言 李代数是s l i e 作为研究李群的代数工具而引进的在李代数的经典理论方面有着重要 贡献的，除了s l i e 本人外，当推w k i l l i n g ，e c a f t a n 和h w e y l 等人 七十年代初，由于物理学的需要，人们开始系统地研究李超代数与一般代数相同，李超 代数的研究主要分为分类，结构和表示三大方面 七十年代末，v k a c 完成了特征为零的代数闭域上的有限维单李超代数的分类这种代 数分为典型李超代数与c a r t a n 型李超代数两大类设上= 三百0 k 是特征零域上的单李超代 数，若k 一模奸是完全可约的，则称是典型的，否则称上是c a r t a n 型的 李c o l o r 代数理论是李代数、李超代数的自然推广最近一些年来在数学和物理方面的 研究和应用变得十分活跃最早引入李c o l o r 代数应是在文献 11 】，最早系统地定义和研究应 是文献 1 2 】，在该文献中从数学角度定义了李c o l o r 代数，证明了李c o l o r 代数的包络代数的 p b w 定理和a d o 定理成立，同时建立了李c o l o r 代数与普通李超代数的联系文【1 3 利用这 种联系构造了几类典型李c o l o r 代数并且应用这种联系讨论中心化代数关于李c o l o r 代数的 系统研究被收录于1 9 9 2 年出版的y u b a h t u r i n ，a m i k h a l i v , v p e t r o g r a d s k i i 和m z a i c e v 共同写作的 无限维李超代数( 见 1 4 】) 这是李c o l o r 代数方面的专著，总结了1 9 9 2 年以前关于李c o l o r 代数方面的研究成果1 9 9 5 年m c w i l s o n 把李超代数的的d e l t a 方法进一步推广到了李c o l o r 代数，尽管结果相似与李超代数，但是证明相对困难( 见 1 4 】) 同时 1 5 中获得李c o l o r 代数 的d e l t a 理想的一些有趣的结果1 9 9 7 年文献 1 6 从阶化结合代数出发构造了单李c o l o r 代数 并证明了李c o l o r 代数的h e r s t e i n 定理成立文献【1 7 】构造了w i t t 型李c o l o r 代数，并给出了李 c o l o r 代数单的充分与必要条件文【1 9 2 0 利用文献【1 7 】的方法构造了两类更广泛的w i t t 型 和w e l y 型单李c o l o r 代数讨论了这两类代数的结构 近年来，李色代数由于其自身的数学魅力以及它在物理学方面所起的作用得到人们的广 泛关注，结合色代数与李色代数是结合代数与李超代数的一种推广李代数的分解唯一性是 由孟道骥在 9 9 中得证利用此方法可推广的证明出结合色代数的分解唯一性，从而得到结 合色代数一个很好的性质 文献 1 】分别给出了李代数上同调为零的充分条件和结合超代数上同调为零的充分条 件那么就很想了解结合色代数上同调为零的充分条件而在对结合色代数上同调的研究中， 特别要对结合色代数的对称双特征标给予关注在证明的过程中会看到结合色代数和结合超 代数很多类似的地方 李色代数的上同调研究主要借助于对李超代数的上同调的研究但其中应用到了两个非 常重要的结论，一是文献 7 】中利用扩张函子理论解决的李色代数l 的阶化上同调与它泛包 络代数u ( l ) 的阶化上同调同构的结论二是文章献 2 中证明了李色代数通过运算的改变可 东北师范大学硕士学位论文 得到李超代数，进而给出了李色代数与李超代数表示所具有的联系通过这两个重要结论可 得到李色代数上同调为零的充分条件 2 东北师范大学硕士学位论文 结合色代数的分解唯一性 本节中讨论的结合色代数都是有限维的，且结合色代数中的元素都是齐次的，f 表示特 征为零的域，p 是f 的所有非零元素构成的乘法群 定义2 1r 见黝r 是一个加法交换群，定义映射：fxf p 满足 ( 口，卢) 够，口) = 1 e ( a ，卢+ y ) = ( 口，励+ e ( a ，) ( 口+ 卢，们= e ( a ，们+ 够，y ) w ，卢，y f 为r 上的对称双特征标 此时若r 是一个r 阶化结合代数满足馒= 0 ，e r r ) ，其中r ，1 r 忱r y l + y 2 y i ，讫r ，则称r 是结合色代数 定义2 2 设r 为阶化结合色代数，若e 满足e o = o , e = 口v 口r ，则称e 为结合色代数尺的 单位元 定义2 3r 是结合色代数尺1 是r 的子空间，若对于所有的口，卢r i 有筇r l ，且r l = 0 v e r r in r 7 ，则r 1 是r 的子代数 户 定义2 4r 是结合色代数，r l 是尺的子空间，若对于所有的口r l ，卢r 有n 归r l ，触r 1 ， 且r 1 = 0 y e t r l n r y ，则尺l 是r 的理想 定义2 5r 是结合色代数，尺的子空间a n n ( r ) = 卢l 触= 筇= o v a 尺l 称为尺的零化子 定理2 1r 是结合色代数，则兄的零化子a n n ( r ) 是r 的理想 证明v 口a n n ( r ) ，卢r ，t 1 r ，t 1 ( 0 j 日) = q 0 = 0 ，( a p ) n = 0 t l = 0 ， 所以邵a n n ( r ) 同理触a n n ( r ) v z a n n ( r ) 不妨令z = 勿 ，e i 因为船= = 0 ，所以z y 口= 0 ，e i 因为勺口o y ，r ，+ ，且譬匆口= 0 ，所以z r 口= 0 同理口z y = 0 ，所以2 y c ( 尺) ， 所以a n n ( r ) c0 珂绷以( 只) nr y ， 所以a n n ( r ) = 0 挥ra n n ( r ) nr y ， 所以a n n ( r ) 是r 的理想 定义z 6r 是结合色代数，r ，是胄的理想，又有r 的线性空间直和分解r = r l4 - 焉，则 称尺是理想r 一寺直和，记为r = r lo o 如 3 ， 气 东：l 匕l j i f i 范大学硕士学位论文 定义2 7 若结合色代数r 不能分解为两个非平凡理想的直和，则称r 是不可分解的 定义2 8v , w 是两个结合色代数，妒：v 一的线性映射，妒( ) 既即平是零次的，且 印( 筇) = 叩 ) 叩v 口，卢v 则称叩是y 到w 的同态 定义2 9 结合色代数r 的所有自同构，称为自同构群，记为a u t r 定义2 1 0r 是结合色代数，若叩是尺的自同态且满足，叩( = 口叩够) = 叩( 口够则称叩是r 的r 自同态 定理2 2 设结合色代数r 的直和分解为r = 尺lo o 凡，则尺f 吩= 口其中尺，r j 证明因为r i r j 尺fn r j = 0 ，所以r i r j = o 其中r i r j 定理2 3 设结合色代数r 的直和分解为r = 尺lo o 如，则a n n ( r ) = 册n ( r 1 ) o o 硎刀( 如) 证明y r a n n ( r ) r ，= ，fr i r i ， ，= l 妇f r f 往证r i o t i2o l i r i20 ，r i o r i2m f - o t i r = 口以20 所以r i a n n ( r i ) ，所以，- a n n ( r 1 ) + + a n n ( r ) ， 所以a n n ( r ) a n n ( r 1 ) + + a n n ( r , ) 再证a n n ( r j ) ca n n ( r ) ， y r i a n n ( r f ) 往证v 口rr f n = o z t i = 0 ， 因为口r 所以口= = l ，r i ，r i o t = r i o r i2o t i r i2o t l i = 0 ， j 所以a n n ( r f ) a n n ( r ) a n n ( r 1 ) + + a n n ( r ) a n n ( r ) 最后往证a n n ( r f ) 是a n n ( r ) 的理想， v r l a n n ( r 1 ) y r a n n ( r ) 往证t l t a n n ( r 1 ) ， v i 口r i ( ，1 ，) 口= ，1 ( ，? c r ) = r l ( o r r ) = ( 厂l 口) ，= 0 = ( 口，1 ) r = o r ( r l r ) ，e 干i 以r l r a n n ( r 1 ) 同定理2 1 的证明可j a y a n n ( r 1 ) = 0 r e r a n n ( r 1 ) n a n n ( r ) 7 ， 所以a n n ( r f ) 是a n n ( r ) 的理想，所以a n n ( r ) = a n n ( r 1 ) o oa n n ( r 。) 定理2 4 结合色代数r 有理想直和分解r = r 1o 尺2 ，r 到r f ，( i = 1 ，2 ) 的投射为r 矗则7 1 f 是r 的r 自同态 证明v 口= 口1 + a 2 , , 6 = 卢1 + 皮其中口，卢r ，口j r i 。, 8 i r 如i = l ，2 丌肥) = r i , r = 0 挥r r ，) , , r i = 0 怍r r i r ， 因为口= 口l + o r 2 ， 所以嘶= 口1 r + o z 2 7 v - y f ，7 r i ( c l ，) = 口一r i r 由口的任意性可知l r j ( r y ) 如所以7 r i 是零次的 因为丌f ( 筇) = 7 r f q l 卢l + 口旋) = 邶f ，o 盱r i q 3 ) = 邵产o r , 1 3 1 ， 4 东北师范大学硕士学位论文 所以丌f ( 叩) = 口丌，够) 同理万f ( 蜊= 乃( 口妒= ，r 舡) 丌， 所以7 r ，是r 的r 自同态 引理2 1 设妒是结合色代数r 的r 自同态，则存在k n 使得， r 有理想直和分解r = k e r 矿o 所 倒若r 是不可分解的则有矿= 0 或者妒a u t r 证明( 1 ) 先证尺= k c r 矿阜，m 矿，记驴的最小多项式八五) ， 存在k n 使得八a ) = l 杈五) ，所以矿与甙a ) 互素， 所以存在“( a ) 与 ，( 1 ) 使得似域 ) + a ) = 1 ， 有( 妒) 甙妒) + 妒) 矿= ，叩r ，卢= 甜( 妒) 甙妒) 归+ 垆) 妒协， h 妒) 妒( d = 妒( “妒) 卢) 加叩，驴。( “( 妒) 甙妒) d = ( 妒) 妒反妒沪= 0 ， 所以“( 妒试i i d 沪k e r 矿，所以r = k e r 矿+ ，m 矿 耶k e r 矿n 所矿于是存在岛使得卢= 矿) ， 因为卢= ( 妒) 烈妒) 归+ 妒) 妒馏= “( 驴) 反妒) 妒。( 3 0 ) + 0 = ( 妒) 厂( 驴) ( 励) = 0 ， 所以r = k e r 矿毒，m 矿 再证k e r 与肌扩是r 的理想， v 口尺、够k e r 妒。，扩( ( 啦) = 口驴o ( 国= 0 ， 所以筇k e r 矿同理触蛔 再证k e r 矿= 0 ，。r k c r 矿n r ， 叩k e r 矿r 令卢= 岛，往证岛k e r 矿， ，i 矿够) = 矿( 岛) = 矿( 艮) = 0 ，因为矿( 融) r ，所以矿慨) = 0 ，所以岛k e r 矿， 所以蛔o y e r 蛔矿nr ，所以k e r 一。= 0 坩蛔矿n 如， 所以k e r 是r 的理想 v 口r 耶j m 矿，存在凤r 使得卢= q 3 0 ) ，邮= 口矿够o ) = 矿( 邛o ) ， 所以筇砌矿，同理触砌矿再证j ，研矿= o 垤r m 矿nr 7 ， v o i m 矿口2 驴。( 口o ) 口= 口 ，c 如2 a o y ， 作i ，l 口= 矿( 口o ) = 矿( a o y ) = 矿( a o y ) = 口y ， ，e iy i y i 矿( a o y ) cr ，所以妒( 口o ，) = 口y 所以口y ，m 矿， 所以砌矿= 0 垤r ，m nr y ，所以，m 矿是r 的理想 ( 2 ) 因为r 是不可分解的， 所以k e r 矿= 0i m 矿= r 或k e r 矿= rj 聊矿= 0 ， 第一种情况时可知矿即是单射也是满射，所以矿a u t r ， 5 气 、 ： 飞 东北师范大学硕士学位论文 矿一1 妒是单射所以妒是单射，妒妒是满射所以妒是满射，所以妒a u t r 第二种情况时显然矿= 0 引理2 2 设尺是不可分解的结合代数，又有妒l ，妒2 与主驴f ( ，= l ，栉) 都是尺的尺自 同态，且妒l + 妒2 + + = i d ，e , x ti ( i = l 2 ，砂，使得妒f a u t r 证明，t = 1 时结论显然成立， 刀= 2 时假设妒l ，忱都不属于r 自同构，且妒1 + 妒2 = i d ， 由引理1 知存在k l , 恕n 使得驴k l l - 0 妒 = 0 ， 因为妒1 + 忱= i d ，所以妒1 ( 妒1 + 妒2 ) = 1 + 妒2 坳1 ，所以妒1 妒2 = 驴2 驴1 取k 足够大时( k k l + 幻) ，因为妒1 妒2 可交换， 所以( 妒l + 妒2 ) = 芝q i i 1 k 2 - k0 l d 与已知矛盾，所以存在妒f a u t r 扛1 月一1 若疗 2 甘寸，假设n 1 时结论成立， 妒1 + 忱+ + = l d = 妒f + ，= l 玎一l 令砂= 妒f ，有砂+ 妒。= l d ， 由n = 2 时的讨论知道沙与中必定有一个属于a u t r ，若ea u t r 显然结论成立， 若沙ea u t r ，因为砂= 妒，所以l d = 仍砂， f - l扛l 由归纳假设可知存在i 使得妒f 旷1 a u t r 令妒f 砂一1 = 矿则矿ea u t r 有因为砂a u t r ，所以协= 盯砂a u t r 综上所述存在i ，使得仍a u t r 定理2 5 设r 是一结合色代数，且a n n ( r ) = o , 又设尺有理想直和分解r = r l r 2o o r 。 与尺= s 1o s 2o o s 。其中r 如和s 1 s 。都是不可分解的，则r e = r 并且如必要经重新 排列后有r 产s ff = 1 ，2 m 证明若m = n = 1 时结论显然成立， 若m = l ，行 1 时不可能存在 若m 1 ，刀 1 时， 令7 r ：r 一尺1 的投射，矿：r l _ 尺的嵌入p i ：r s f 的投射1 i ：s i _ r 的嵌入 则7 f ，矿，胁，f f 是r 的r 自同态，且p f = l d ， f - l 设丌；= 丌丁f2 ，r l s i ( s i 尺1 ) ，p ；2p ，( 厂2p i l r l 僻l s f ) 下面证明丌；店：r l 一尺1 是尺l 的r l 自同态， v 口，卢r i 口= o t j 卢= 所，町岛s j ，丌；群( 邸) = 丌；p ；( _ q 向) = 丌；( a 危) = 丌( a 屈) ， j 2 lj = 1j 2 1 万；p ；( a ) 丌；( 国= 丌；( 口f ) 丌；( 毋) = 丌( 鳓弦，) 丌( 口猡f ) ，所以丌；( q 囝= 丌；p ；( 口) p ；够) ， 6 v 6 僻1 ) y6 = 墨白因为丌是零次的， j = 1 所以丌；p ；( 6 ) = 7 r ( 6 f ) 6 僻1 ) y ，所以万；是零次的 筋麓 = 凹慨) = 丌( 筇f ) = 丌( a 屈) ，同理丌辫( 口妒= 7 r 概) ， 所以7 r 辫( 筇) = 簖辫 = 7 r 辫 妒， 定义【jr 护d ( 口) = t i p i ( 口) v a t r f = l ，= j 即丌；是r l 的r i 自同态 是r 的r 自同态， v o f b r口= a lp = 8 iq i ，9 i s i 【薹下糊( = ( 善j 蒯善嗽) 2 蚤1t 洲舌嗽) - 酽j 屈) - 善j 邵f ，。，册 a ( 宝r 护f ) ( 回= 口卢f = 互a 移 j - 1 胆l ：1 ， l|i 同理( 善jt 砌) ( a 粥= 蚤j a 班， ( 善t 釉) 啦) ( 善f i p i ) ( 国2 d 猡t j = l # jp i f l 因为f 卯，是零次的， 所以i 圭= 1 印t 是零次的， 所以至t 驴f 是一个r 自同态 f - l hn 月 叩 r l7 r ( 卢) = 卢= ( p i ) f l = 丌( p f 够= 7 r ( 二p i ) c v ( ? ) f = ij = l 1 = 1 = ，r ( 丁f p f ) 矿( 国= 丌丁f ( j d f 矿) ( p ) = 三丌i p 。i ( 聊 f - li = 1 # j 所以丌；= ，幽， 由引理2 2 可知存在i n 使得7 l i p ? a u t ( r 1 ) ， 所以丌衍即是单射又是满射，所以p ? 是单射，不妨取i = 1 ， 令r = r 2o e ) r ， s = s 2o o s 月， 因为c ( a ) c ( r ) = 0 c ( s ) c 僻) = 0 ， s = i a r a s l = s 1 口= 0 l s 15 口r l a s = s a = o l r = 口r i o r r _ i = 尺l 口= 0 l r l = a r i 口e r = r o t = o l 0 = k e r p ：= k e r ( p l 限i ) = k e r p ln r l2s 。nr l 因为r ：s l ( b s 所以r l s 1 s l _ r l 。( s l nr ) ，因为s l 不可分 所以s 1 = r l ，所以r 7 = s 依次类推，则结论成立 ， ， ， 东北师范大学硕士学位论文 3 结合色代数的上同调 本节中彳= 0 何彳7 是域f 上的结合色代数，m 是域f 上的r 一阶化向量空间 定义3 1 ( 凡f l j ) 设m 是左或宪) a 一撬丑口口m p m n + “或m b o 。m 。+ b ) ，央寺q 俚 如，m p ，口，卢f ，则称肘是阶化左r 或右从一模 若肘是阶化左和右彳一模，且口( m b ) = ( 口m ) bv 矾b av m m ，则称肘是阶化双边 a 模 如果不特别说明，本文中的模都是指阶化的 定义3 2 伲彻设彳是结合色代数，m 是r _ 阶化向量空间，令厂：a ”= ax a x a _ 肘 的，7 维线性映射称为r 一阶化行维线性映射 如果厂是r 一阶化加维线性映射，且厂( 口l 锄) ，其中川江( 1 ，2 甩) 口f ，满足 d 1 = l a l l + i 口2 l + + i + 口，则称厂是彳在m 中的刀一维上链 显然所有这样的n 维上链构成域f 上的r 一阶化向量空间，记作p 似，加， n 0 时9 0 ，蚴= o f 邑c j 口，加 定义3 3r 见朋设彳是结合色代数，m 是域f 上的r 一阶化向量空间，定义线性映射 6 ：c ”一1 “，岣_ c ”以，胸， ” 6 ( f ) ( a l a n ) = “口1 ) 口】八口2 锄+ 1 ) + ( - 1 ) 7 八口l 锄) + ( 一1 ) ”八口l 口俨i 概， f = l v 厂c ”一1 “， d 刀1 显然6 关于r 一阶化为0 次的 定义3 4 现删线性映射y 口和p 口：叫，胸一c 似，蚴，其中 0 l 锄) = ( 一1 ) ，文口，厂+ 口l + + a a f ( a l q ，口，町+ 1 ，) f c ，+ 1 似，蚴力0 ， 助( 口l ) = 口似l 嘞) + 坝口1 【口f ，司d n ) 一厂( 口l 嘞) 口， ， 其中厂c 一似，胸以0 岛= d 口，厂+ 口l + + 研)【工，纠= x y 一文五班 q 弓l 理3 1 铲= 0 ；6o + o6 = 口 证明先证明矿= 0 ， m 口，口f ，塘似) ，i = 1 ，刀+ 1 ， 8 东北师范大学硕士学位论文 v 蟓9 ( 4 ，均) ，对1 1 用数学归纳法 当n = o 时，f 蜮c 0 0 ，加) = m 则 6 ( 口) = 善( 厂 a ) a f - f 口 铲( a l ，口2 ) = 以双，) ) ( 口1 ，a 2 ) = 鼍口) 口1 ( 鼍a 2 ) a 2 厂一眈) 一鼍口l + a 2 ) a l a 2 厂一f ( a l a 2 ) + ( 义，a 1 ) a l f f a 1 ) a 2 = 专a l + a 2 ) a l ( a 2 力一毫u a l ) a l 口2 ) 一鼍a l + a 2 ) a l a 2 f - ( 口l 口2 ) + 芎口1 ) ( 口l 力口2 一u a 1 ) - 口2 = o 即当n = o 时，矿= 0 假设玎一1 时成立，v f h g ( c ，胸) ， 定义：厂c ”1 似，( c 1 似，加) ) ，使得以口1 ，一，a n 1 ) ) = f ( a l ，一，嘞- 1 锄) 显然i l l = 们，则有： 因为c 1 似，蚴是r 一阶化双a 边模， 扩：9 ( 彳，c 1 研，加) _ + 1 口，c 1 “，) ( 们( 口1 ，a n ) = 毫a 1 ) a l 八a 2 ，口月) + ( - 1 ) 八a l ，口j ，口“l ，锄) + ( 一1 ) ”以口1 ，a n 一1 ) a n 于是有， ( 扩力( 口1 ，锄) ( + 1 ) = ( 瓢a 1 ) a l 厂( c 7 2 ，锄) + ( - 1 ) 7 f ( a l ，a i ( 1 i + 1 ，a n + 1 ) + ( 一1 ) ”八a l ，a n 一1 ) 锄) ( 锄+ 1 ) 。t = 毫a l 舳，a n 川a n a l ) a l a n ) + 詈( - 1 ) 7 f ( a l ，c l i a i + i ，岛，a n + 1 )飞 = 毫c f以口2 ，+ 1 ) + ( 。 ， ，口。，+ ) + ( 一1 ) ”o 气a l ，一l 口”a n + 1 ) 一八口l ，a n - 1 a n ) a n + 1 ) = 鼍c 1 ) a l 八a 2 ，锄，o n + 1 ) + ( 一1 ) 7 f ( a l ，a i a i + 1 ，锄，a n + 1 ) + ( 一1 ) 肿1 抓口l ，a n l 嘞) g l n + 1 所以( 们0 l ，锄锄+ 1 ) = ( 们( 口l ，锄) ( 锄+ 1 ) ， 且p ( 万乃( 口l ，) ( 口。+ i ) = ( 点厂) ( 口l ，锄) ( 锄+ 1 ) 从而可= 瓯故巧= 而= 而= 联坜，即巧= 萨五 因为f c 唧0 ，m ，则f p 一1 似，c 1 口，加) ，那么由归纳法6 2 f = 0 ，从而 6 2 厂= o ，萨厂= 0 ，即6 2 = o ，v f h g ( c ( a ，奶) 于是命题得证 再证明6o + o 巧= i t a 对1 1 用归纳法， 当n = o 时，：c o 似，胸一c 一1 似，加，于是y m 极忉 60 缸( m ) + ，缸。烈朋) = 鼍0 ，m ) 故肌) ( 力= 致皿m ) 传( 口，m ) a m m a ) = 口，竹一鼍( 口，m ) m a 9 h j 、 一， ， 东北师范大学硕士学位论文 卢口( m ) 2a m 一暮( 口，m ) m 口 于是当玎= 0 时，607 口+ y 口06 = 1 1 。， 假设n - 1 时成立对于y g 蜮似，m ) ，y b 蝌彳) ，i = l ，玎，令 g b ( a l ，a n i ) = 鼍( 6 ，g + 口i + + 口月一1 1 甄a l ，a n 一1 ，b ) 矿( 口l ，a n ) = 毫( 6 ，g + a l + + ) ( g ( 口1 ，a n 一1 ，a b ) 瓿口l ，口。) b 一鼍( 口。，b ) g ( a l ，锄一】，b ) a h ) 显然g b c ”1 似，蚴，矿c 啊似，胸，吼i = l g l + 吼p l = l g l + 则有 ( 口) ：6 ( 曲6 = 烈舒) + ( 一l y 旷，g h g ( c ( a ， 力) ( 功：( ( 曲) 6 = 暮( 6 ，a ) y a 慨) + ( 一1 ) ”( g a ) b ，g h g ( c 川口，朋) ) v f h g ( c ”似，聊) ，v f b 坝- 1 “，蚴) ， 由归纳假设可知，6o ) + 0 6 ) = i t a ) ， 因为v f h g ( c “，均) ，则h g ( c ( 1 1 ，加) 6 h g ( c 州似，加) ， 由( a ) 和( b ) 有， ( 6 ( ) ) 6 + ( ( 必力) ) 6 = 双( ) 6 ) + ( - - 1 ) ”1 ( ) 6 + 鼍( 6 ，口耽( ( 6 ) 6 ) + ( - - 1 ) ”( 。) 6 = 故鼍( 6 ，口耽坼) + ( 一1 ) ”1 ) 6 ) + ( 1 ) ”1 ( ) 6 + 鼍( 6 ，9 ) ( 蛳) + ( 一1 ) - 怕) + ( 一1 ) ”( 6 。) 6 = 毫( 口，b ) u 。) + ( 一1 ) ”一1 烈b ) + ( 一1 ) ”一1 ( ，口) 6 + 毫( 6 ，口) ( 一1 ) ”么( 广) + ( - 1 ) ”( ( 巧) 。) 6 = 鼍( 6 ，a ) u 。( 石) + ( - 1 ) ”一1 6 ( ( 尼) 6 ) + ( 一1 ) ”一1 ( ) 6 + 鼍( 6 ，口) ( 一1 ) ”( 广) + ( 一1 ) ”( ( 6 ) 口) 6 将( a ) 式用到石上，则有6 ) 6 = 6 ( ) 6 ) + ( 一1 ) ”) 6 ，另外由g b 的定义可知对于 v f , g h g ( c 似，岣) ，们= 吲，我们有 一g b = ( 厂一g ) b 于是( 6 ) ) 6 一( 艿。) 6 = ( 6 瓴) 一万。沁= ( - - 1 ) ”1 俨) 6 那么武) 6 ) 一( 6 。) 6 = ( 6 ) 一6 。) 6 一( - - 1 ) ”1 ( f a ) 6 = ( 一1 ) 川( 0 伊) 6 一) 6 ) 综上所述我们有， ( 联) ) 6 + ( ( 必厂) ) ) 6 = 毫( 6 ，a ) u 口c 厅) + ( 一1 ) ”1 0 ，口6 一毫( 6 ，口) 扩) ) + ( 一1 ) ”1 ( 一1 ) ”1 ( ( 尸) 6 一抚) 6 ) = 敌6 ，a ) u 。c t ；) + ( 一1 ) ”1 帆0 9 6 一戡6 。口溉扩) ) + 护) 6 一) 6 容易证明出， 彳。捌= ( 一1 ) 川帆6 一融口肮0 而) ) + 护) 6 一) 6 戡6 ，a ) u 。坼) + 彳。6 】= 。u 3 ) b 1 0 东北师范大学硕士学位论文 综上可知： o h + ( o 乩d ) 6 = 沁) 6 因为g 9 6 是单射，所以6o + t a o6 = 砌 定义3 5 反代数彳。即么是结合色代数，如下定义代数a b = ( 口，b ) b a , 则称其是彳的反代 数，记作a o p p ，它是结合色代耗 引理3 2 设肘是卜阶化向量空间，规定( 口圆6 ) 所= e ( b ，小) ( 口m ) bv a ，b h g ( 么) 脚h g ( m ) 则m 是左彳。彳唧一模 定义3 6 令s 为彳的阶化子集合，即s 中的元素的齐次成分仍在s 中，称c a ( s ) = 口 a l e a ，s 】= 0 j 为s 在a 中的中心化子 令s 表示由s 圆1 一loj ，s s 元素生成的彳断彳唧的不含单位的阶化子代数 似，胸= k e r 6nc ”似，m ) i m 5n 似，蚴 定理3 1 假设s 中齐次元素可逆地作用在肘上，则典范映射俨q ，胸一伊( 已( s ) ，蚴 为零 证明记b ：= c a ( s ) 考虑偶线性映射：a ao f a 。p pa a ) = 口固1 1 固口， 对每个u 彳o f 彳唧令屯表示u 在m 上的作用， 令似，岣= k c r 6 n 9 似，加， vb i b ，v f z ”似，蚴， p ，0 9 ( 6 l ，6 。) = s 八b l ，b 。) + k i f ( b l ，【b i ，司，b 。) 一毛，八6 l ，b 。) s ， 其中岛= d 5 ，厂+ b 1 + + 6 。) 因为b f b = 已( s ) ， 所以如( 6 l ，b n ) = s 八b l ，“) 一如八6 l ，一，) s = s 八6 l ，巩) 一( 文f + b l + + “) ， 呶s ) = k l l 断， j ol0 以b l ，b n ) = 文o ，+ 6 l + + ) s 八6 l ，) = j 八b l ，巩) ， 1o j0 八b l ，巩) = 一s ( 只+ 6 1 + + 6 。) 苁6 l ，b 。) s ， 所以加( b l ，b 一) = ( s 固1 一l 圆s ) o 八b l ，巩) ， 所以r e ( f ) ( b l ，b 。) = 颤，) of ( b l ，b 。) y b i b 町z ”似，岣 因为f z ”似，蚴= k e rn 9 研，胸， 所以= 0 ， 所以( 6 ) = 0 由引理3 1 知巧饥) l 伊= 玖，) o f b v f 口，蚴， 显然k = 砜，屯= 乙+ 0 ，o = 屯0 ，k f h 、 凡 i 户 谴 东北师范大学硕士学位论文 u = i 甜s + ：了y 。：刀似，m ) j 一- 1 似，旧 乙o f i b 一= 文讹) i y f 似，胸 则u 是包含j ( s ) 的s + 的子代数，u = s + ，( 。) o6 ( h ) l m = s 6 ( h ) l b 一d s ，巧+ h ) 6 ( h ) l s s = s 6 ( h ) l s 一一e ( s h ) 6 ( h ) l s 占 双颤s ) oh ) l s 一= 6 ( s h l v ) 一8 ( s ， ) 故厅b 砖 由6 定义可知8 双矗) = 6 ( s 厅) ，砌) s = 6 ( h s ) 所以仅，) o6 ( h ) l m = 议h 力。力) i v s s ， 所以乇o6 ( h ) l s 一= 吠乙oh ) l s 假设存在“o s + 使得厶m 是可逆的， 令g = 玄。托。， 刀伊= 玄o6 ( r 。o w ) l s = 崭。烈o g ) l s 一= 瑶ok o6 ( g ) l b = 6 ( g ) l s - 所以h o r n ( c a ( s ) ，加= 0 即定理成立 注：如果b 是一个巳( s ) 的阶化子代数，则妒“，蚴一1 - r ( s ，加是平凡的 推论3 1 若存在齐次元素c c ( a ) 使得co 1 一lo c 作用在肘上可逆，则口，胸= 0 证明因为c c 似) ，c ( a ) 表示由1o c c 1 ，c c 似) 的元素组成的彳阶彳唧的阶化子 代数， 所以c 似) 与a 的元素可交换 p 。( 口l a n ) =