（基础数学专业论文）利用zpk上三次宽幂等矩阵的标准形构件cartesian认证码.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 设r = 名- 是模整数p k 的有限局部环，其中p 是素数，p 3 , k 1 本文利用r 上n 阶三次幂等矩阵的标准形构作了一个c a r t e s i a n 认证码，并计算了该认证码的各个 参数在假定信源和编码规则按照等概率均匀分布的条件下，给出了认证码的成功模仿 攻击概率b 和替换攻击概率b 关键词：有限局部环；三次幂等矩；c a r t e s i a n 认证码 i 大连理工大学硕士学位论文 u s i n gn o r m a lf o r mo fi d e m p o t e n tm a t r i c e so fd e g r e et h r e e o v e rz 声t oc o n s t r u c tc a r t e s i a na u t h e n t i c a t i o nc o d e s a b s tr a c t l e tr = 磊 b eaf i n i t el o c a lr i n g ，w h e r epi sap r i m e ，a n dp 3 , a n dk 1 i nt h i s p a p e ru s i n gn o r m a lf o r mo fi d e m p o t e n tm a t r i c e so fd e g r e et h r e eo v e rrt oc o n s t r u c ta c a r t e s i a na u t h e n t i c a t i o nc o d e ，a n dc o m p u t ei t e ss i z ep a r a m e t e r sa n dt h ep r o b a b i l i t i e so f s u c c e s s f u li m p e r s o n a t i o np la n ds u b s t i t u t i o na t t a c kp su n d e rt h eh y p o t h e s i st h a tt h e c e c o d i n gr u l e sa lec h o s e na c c o r d i n gt oau n i f o r mp r o b a b i l i t yd i s t r i b u t i o n k e y w o r d s ：f i n i t el o c a lr i n g s ；i d e m p o t e n tm a t r i c e so fd e g r e et h r e e ；c a r t e s i a na u t h e n - t i c a t i o nc o d e s i i l 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作 及取得研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理工大学 或其他单位的学位或证书所使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所 做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意 作者签名：盘】粒毖日期：坦足么! 大连理工大学硕士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解。大连理工大学硕士、博士学位论文版权使用 规定“，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论 文 作者签名： 导师签名： 醴地 醑一 碰 大连理工大学硕士学位论文 1 绪论 1 1 课题背景及文献综述 在信息的传输和存储中，安全是非常重要的一般来说，信息系统的安全，是指保证 信息在系统中的保密性、完整性和认证性保密性，即使非授权人不能提取系统中的信 息，通常用密码方法来解决这一问题；完整性，即表示在有干扰的条件下，系统保证能恢 复接收到的信息和原来发送的信息一致，这常借助于纠错码来完成认证性，即接收者 能够识别和确认信息的真伪，防止信息被敌方主动攻击的重要技术但保密和认证是信 息系统安全的两个重要方面，但它们是两个不同属性的问题认证不能自动提供保密， 保密也不能提供认证例如，c m r t e s i a n 认证码便没有保密功能 认证码，是解决信息认证问题的一种方法，它是由g j s i m m o n s 在 1 】中首先提出 的自1 9 8 4 年认证码的理论建立起来，信息的认证就有了理论依据目前，计算认证码 中各种参数和各种攻击成功概率最大值的组合下界等被认为是认证码研究中很重要的成 果之一当然如参数之间的关系及各种攻击成功概率达到最大值的组合下晃时所需条件 等方面的研究也是非常重要的我国学者在这一领域也进行了卓有成效的工作，如著名 数学家万哲先院士先于9 0 年代初发现并利用有限域上典型群的有限几何成功地构作了 许多认证码，后来游宏教授和冯荣权教授等利用有限域上矩阵几何和矩阵方法构作了许 多认证码，除此也有用集合等其他对象和方法构作的认证码但是在环上，利用有限交 换环上的矩阵构作认证码的结果还相当少 】 1 2 本文研究内容 前人利用有限域上的矩阵构作认证码已经取得了丰硕的成果，本文借鉴了有限域上 c a r t e s i a n 认证码的构作方法，通过适当地选取信源集，编码规则集和信息集，利用局部 环上的三次幂等矩阵的标准形构作了一个c a r t e s i a n 认证码并计算各个参数 1 3 本文内容结构 第一章绪论概述了认证码的历史背景，发展状况及本文要讨论的内容 第二章预备知识本章着重介绍后面的几章中要用到的一些符号，概念，定理等 第三章c a r t e s i a n 认证码的构作本章主要构作一个c a r t e s i a n 认证码并计算各个 参数 2 大连理工大学硕士学位论文 2 预备知识 2 1 c a r t e s i a n 认证码 定义2 1 1设se ，m 是三个非空的有限集合，：sxe m 是一个映射， 它满足： ( 1 )，是满射； ( 2 )对任意的仇m 和e e ，如果存在一个8 s 使得，( s ，e ) = m ，则这样的s 是被m 和e 所唯一确定我们称这样的四元组( s ，e ，m ；，) 为一个认证码 在州人证码( s ，e ，m ；，) 中，s ，e ，m 分别称为信源集、编码规则集和信息集，称 为编码映射对8 s ，e e ，m m ，如果m = ，( s ，e ) ，则称信源s 在编码规则e 下加密 成信息仇，简称m 包含编码规则e ，也说8 是相应于信息饥的信源基数isl ，iei ，im 称为这个码的参数 定义2 1 2设( s ，e ，m ；，) 是一个认证码，如果对任意的m m ，总存在唯一的 8 s ，使得，( s ，e ) = m ，其中e 是包含m 在中的任一编码规则，则称这样的认证码为 c a r t e s i a n 认证码 假设在一个通信系统中，除了信息的发方和接收方外，还存在一个敌方，而且敌方 掌握某种技术可以对系统进行攻击通常敌方对系统进行两种攻击：模仿攻击和替换攻 - 4 - - 面 3u 模仿攻击，是指敌方在未观测到信道中发方给收方的信息条件下，通过信道发送一 个伪造的信息给收方的攻击 替换攻击，是指敌方截取到发方给收方的一个信息后，进行分析并且发送另一个信 息( 伪造的信息) 给收方的攻击 我们假设发方和收方彼此信任，且共同对付敌方为防止敌方的模仿和替换攻击， 发方和收方可以选用一个公开的认证码( j s ，e ，m ；厂) ，但在通信前约定一个固定的编码规 则e e ，此选定的编码规则是保密的如果发方想把信源s s 发送给收方，首先要用 选定的编码规则e 将m 加密成信息m = ，( s ，e ) ，然后把信息m 通过信道发送给收方 当收方接收到信息m 后，要判定m 7 是否合法，即确定选定的e 是否包含在m 中，如 果e 耐，则收方认为m 7 是合法的，然后在e 下解密得到信息s 7 ，且使得m 7 = ，( s ，e ) 成立如果e 不属于m ，则收方认为m 7 是非法的 敌方在没有观测到认证系统传送来的合法信息的条件下，伪造一个信息发送给收方， 若收方将此信息作为合法信息接收，则称敌方模仿攻击成功；敌方在截取到认证系统传 送来的一个合法信息，即截取到发方给收方的一个合法信息的条件下，分析并伪造一个 假的信息发送给收方，若收方也将此信息作为合法信息接收，则称敌方替换攻击成功 我们用片和硌分别表示敌方模仿攻击和替换攻击成功的概率的最大值，并且成为 成功的模仿攻击概率和成功的替换攻击概率 肛m a + x 雌酱剑 ，n m i e l 耻，嗡害搿 其中e m 表示编码规则e 包含在信息m 中，即存在信源s s ，使得厂( s ，e ) = 仇 4 大连理工大学硕士学位论文 2 2 群在集合上的作用 定义2 2 1 设g 是一个群，s 是一个集合，若存在映射 适合下列条件： ( 1 ) e z = z gxs _ s ( 9 ，s ) 卜9 s ( 2 )( 9 1 9 2 ) z = 9 l ( 9 2 z ) 对一切z s 夕1 ，夕2 g 成立，则称g 在s 上定义了一个作用 定义2 2 2群g 作用在集合s 上，对。s ，称 为z 在g 作用下的轨道 虿= 夕z 夕g ) s 中的两个元素在同一个轨道上，是s 上的一种等价关系因此，两个轨道z 和可 或者重合或者不相交 定义2 2 3 群g 作用在集合s 上，对z s ，g 的子集 g z = i 【夕g 1 9 z = z ) 是g 的一个子群，称为z 在g 中的稳定化子 为书写方便，下面将夕z 简写为夕z 定理2 2 1 群g 作用在集合s 上，则z s 的轨道的势，即l - i 等于指数 5 g ：g x 】 证明令g ，h g ，由于 g x = h x 营g - l h x = z 铮g - 1 h g x 兮夕g ：= 危g z 从而由夕g 2hg x 给出的映射可以定义出由g 二在g 中的全体陪集所组成的集合到轨道 虿= 9 2 1 9 g ) 之上的一个一一对应，因此有l - | = g ：倪 推论2 2 1设群g 作用在有限集合s 上，则有 i s l = 【g ：瓯】 x e c 其中c ( s ) 是s 诸轨道中的代表元之集 2 3 三次幂等矩阵 如无特殊说明，本文下面出现的环r = 乞t 都是指模整数p 七的有限局部环，其中 p 是素数，p23 , k 1 用m n ( r ) 表示r 上所有1 1 阶矩阵构成的集合， g l 靠( 冗) 是 坛。( r ) 中所有n 阶可逆矩阵构成的线性群，川表示集合a 的势 定义2 3 。1 设谵3 = a m , 。( r ) i a 3 = a ) ，我们称诺3 上的矩阵为r 上的三次 幂等矩阵 约定 g 己( r ) l = 1 i g l 礼, ( = r ) 。i 死0 6 大连理工大学硕士学位论文 3 认证码的构作 cl。=(一五一二。) 7 引理3 2 i s l = 坠警型， f e i = i g l 扎( 兄) i = p 南f 1 2 一掣n ( 矿一1 ) i = 1 证明当t 固定时，r 有t + 1 种取法( t 7 7 , ) ，t = n 时，r 有n + 1 种取法因而 l s i ：2 + 3 + | + n + ( n + 1 ) ：垒l 三掣， l e = i g 三礼( r ) l = 矿n 2 一掣i i ( 矿一1 ) i = 1 引理3 3 设m 是与信源 r n ( r ，) = l磊一r 相应的信息，则属于m 的编码规则数为 0 n t f g l ：( r ) t i g l t * _ ，( r ) l l a l ：, 一。( 功i 证明 ( 1 ) 当r 0 ，t r o , n t 0 时，易见属于m 的编码规则数就是满足矩阵方程 x n ( r ，t ) x - 1 = m 的解x 的个数由引理3 1 知此方程一定有解，因而存在g l 竹( r ) ， 使得x o n ( r ，t ) 肖1 = m ，从而x 9 1 x l v ( r ，t ) x - 1 x o = n ( r ，亡) 令 定义 f = x g l 竹( r ) l x ( r ，t ) x - 1 = m ) ， g = y g l , ；( r ) i y n ( r ，o y = g ( r ，) ) ， 妒：f 叫g ， 8 大连理工大学硕士学位论文 xh x x y 隹卦 得到 因而 由y n ( r , o y 一1 = ( 0 ) ，得y n ( r ，) = n ( r ，t ) y ，即 )(一厶一r。一。)=(-l厶一，二一。 2 m 2 = 0 ， y 1 3 = 0 ， 2 y 2 1 = 0 ， y 2 3 = 0 ， k l = 0 ， k 2 = 0 ， f fy 1 1 i y = i 蚝2 i 蚝3 t 由于y 可逆，因此y n g l ，( r ) ，y 2 2 g l 阳( r ) ，y 3 3 g l n t ( 功 因而适合方程y n ( r ，t ) y _ 1 = n ( r ，t ) 的可逆矩阵y 的个数为 g l r ( 冗) ii g 厶一，( r ) i g l n t ( r ) i 9 、l，_、 3 3 场 m 觇 b m 蚝 蚝 ，i1一 3 3 ， 玩 2 2 2 m k k l l l m 硷 蚝 ，i。 ( 2 ) 当r = 0 ，或t - r = 0 ，或n t = 0 时，类似( 1 ) 的证明可得属于m 的编码规则数 分别为 i g l t r ( r ) i i g l n t ( r ) j ， i g l ，( r ) i i g l n t ( 兄) i ， l g l ，( r ) i i g l t 一，( 冗) i 综上所述，属于i n 的编码规则数为 引理3 4 证明令 g e ( r ) i i g l ：_ r ( r ) i i g l * 一。( r ) i 耻噻妾高剥罟h = p g l 。( r ) i p a p = 4 ，a 曙3 ) ， g n ( r ，d = p g l 竹( r ) i p n ( r ，t ) p = ( n 亡) ) 线性群g k ( 冗) 在m ( n ，r ) 上的作用如下： g l n ( r ) m ( n ，固一m ( 佗，冗) ， ( p ，a ) 一p a p ， 则线性群可迁得作用在0 ( ) = a = p n ( r ，t ) p ，p g l n ( 月) ) 上，且议3 ( r ) = u o n ( r ，而 一i g l 。( 冗) ll g l 。( r ) i lgln(冗)iu n ( r , t ) 2 瓦厂2 i g o r ( r , t ) l2 面丽可同匹硒瓜甄莉丌 从而 俐= 嘻妾丽别裂 大连理工大学硕士学位论文 引理3 5 设m l ，仇2 是不同的信息且有相同的编码规则属于m 1 ，m 2 ，则属于仇l ，m 2 的相同的编码规则数为 l g l * ，i - - i 2 ( r ) i g l t * r ：( r ) l ( r l r 2 t l = t 2 ) ， l g 三；( r ) l f g l 乏一肛) l i g 皖一。：( r ) l i g e 一。，( 兄) f( r l = 7 1 2 = 7 t 2 亡) ， l g l ；，( r ) i g l r = 一，( r ) i i g l t * 2 一r 。( r ) i i g l 1 一。( r ) i l g 己嘉一。( r ) i ( t 1 r 2 t 2 亡1 ) ， i g l ；。( r ) l l g l ；1 - - 7 2 ( r ) i i g 己2 一r ，( r ) i g l t * 一。( r ) i i g k 一。，( r ) i( r 2 r l t 2 t 1 ) ， i g l ；2 ( r ) i g l t * 一，。( r ) l g 三1 一t ：( r ) i i g 己1 一，。( r ) l i g l ：一。，( r ) l( r 2 t 2 1 1 t 1 ) 证明设 c亿。t，=(一厶?一九。n一氐g=l，2， ( ，) x n ( r l , t 1 ) x - 1 = m l , fx o n ( t 1 ) x o l ：m 1 ， 、k ( 乞) 珩- ：m 2 c 。 三菇：兰；妻二：三：x o l x n ( r l , t 1 ) x - l x o = x o l m l x o = n ( r 1 ，亡1 ) 州州y p l ，以) y 。( r 1 ，t 1 l iy n ( r 2 ，t 2 ) y 。= _ 2 ， 由y n ( r 1 ，t 1 ) y _ 1 = n ( r l ，亡1 ) 及引理3 3 的证明过过程知 r k 、 卜l酶碥广 其中m g l ，。( r ) ，k g l t 。一r 。( 冗) ，k g l n 也( r ) ( 1 ) 若亡1 = t 2 = 亡，则r 1 7 - 2 ，不妨设7 1 t 2 ( a ) 若r l = t 2 = r 1 2 亡1 ，由y n ( r u ，t 2 ) y 1 = - 2 ，得 ( m k y + 3 ) ( 一o - t ，) ( y 广1y f - y f 。) = ( 三i 兰! 三薹) ， 其中 仇l l 因而 (一厶1k 朋譬，。n 一。 = ( 三兰兰! 三三 ， l ，= = ( ：j - t 2 一r。，一。)， 坼( r ) ，m 2 2 恤。一r ( r ) ，m 3 3 m n t ，( r ) 贝4 瞄麓，嘞 m 2 2 ) ， 耻卜沈m 丁 1 3 注意到m 2 2 g l , ，一，( r ) ，类似引理3 3 的证明过程可知满足矩阵方程y 2 n y 2 - 1 = m 2 2 的解k 的个数为 g e ( r ) g 吨( 冗) 因而属于m ，m 2 的编码规则数为 g l ：( r ) l i g 己乞一r ( r ) i i g l 1 一。：( r ) f i g 己嘉一t ，( r ) 1 ( m b k ) ( 一厶1 。札一n ) ( y 广1 厂，y f 。) = ( 兰；兰i 三兰) ， 即 其中 m 1 1 因而 (一1 k n y 2 1 。n 一。) = m 1 1 m 1 2 m 1 3 ) a 移， m r ，( r ) ，m 2 2 一r 、 l，=。l 2 t 1 j _ t 。一z 。，。，j m t l 一r 1 ( r ) ，? 7 7 , 3 3螈吨( r ) 则 巨麓m 巧 m 2 2 ) ， 醌= ( m 1 1m 沈m ) 1 4 大连理工大学硕士学位论文 _ 一一 注意到仇2 2 g l t l - - ? 1 ( r ) ，类似引理3 3 的证明过程可知满足矩阵方程y 2 n y z l = 1 7 1 , 2 2 的解玛的个数为 即 g 吨( r ) i i g l t * 2 叱( 咒) i l g _ t 2 ( 冗) | 因而属于m 1 ，m 2 的编码规则数为 g 三1 ( r ) l l g l 2 一n ( 冗) l i g 垅一r 2 ( r ) l i g 砬一t 。( r ) l l g 瑶一t 。( r ) i ( 1 其中 飓吣”1 圩1野。卜m,ll,127z13)， ( mj1y，1蚝飓y，。n一缸)=(m：ll：m兰12氟：r,131)， f ，也、 li 1 = l 厶：吨 l ， lh j 仇1 1 m r l ( r ) ，m 2 2 m t i - - p l ( r ) ，3 3 a 厶一t 1 ( r ) 则 因而 曩m m 巧m 2 2 ) ， 而2 = lm l l 二沈m 站) 1 5 注意到m l l g l ，。( 兄) ，m 2 2 g l 。，一，( r ) ，类似引理3 3 的证明过程可知满足矩阵方程 m 1 y 1 = m ( 2 2 ) 和蚝坷1 = m 2 2 的解的个数分别为 l g l , 2 ( r ) i g l ；1 - - 1 2 ( r ) l ，i g l t * 一r 。( r ) l f g 己1 一。( r ) 1 因而属于m 1 ，m 2 的编码规则数为 g l ：2 ( r ) i i g l ：, 一，：( r ) i i g l t * 一r 。( 冗) l l g 三1 一。：( r ) l l g l ：一。，( 兄) 1 ( d ) 若7 2 t 2 r l t l ，由y n ( r 2 ，t 2 ) y 一1 = _ 2 ，得 ( m 砼蚝i ( no t l - r , o , ，- t 1 ) ( y f l ，- f 。) = ( 兰；三兰三兰) ， 即 其中 ( m 1 y f l 。，一n 。n 一缸) = ( 兰；三兰三兰) ， ：r一厶2厶。一n，、， u r - - t 2 ， 、 m l l 坼1 ( 冗) ，? 7 2 2 舰，一，( r ) ，m 3 3 坞一t ，( r ) 则 因而 e ，嚣， 、 一f m l l 1 钾亿22 2 l。t 1 一r l 玎k 一。，j 1 6 大连理工大学硕士学位论文 类似引理3 3 的证明过程可知满足矩阵方程m l ，f 1 = m ( 1 1 ) 的解的个数为 i g l 2 ( r ) | l g 吨( r ) i i g l * , 嘞( r ) i 因而属于m l ，m 2 的编码规则数为 g l , ( r ) i i g l t * 。叱( r ) i l g l ，- k 1 - - t 2 ( r ) i i g l t * ，_ n ( r ) i i c l * 吨( 冗) 1 综上所述，属于m l ，m 2 的编码规则数为 l g e 。( r ) i i g l * * 一r 。( 固i i g l ；_ _ 您( r ) i i g l * 一f ( r ) i ( r l r 2 t l = t 2 = ) ， l g 三：( r ) i l g l 乞一r ( 冗) i i g l l 一幻( 兄) i i g l ：一t 。( r ) i( ，1 = r 2 = 7 - t 2 t 1 ) ， l g e 。( 兄) i l g 三2 一，( r ) i i g l 乞一心( 兄) | j g 三l - - t 2 ( r ) i i g l * _ t , ( 冗) i ( r l r 2 t 2 t 1 ) ， i g l 2 ( r ) i i g 碹一您( r ) i i g l t 一，。( r ) i i g l , - - t 2 ( r ) i i g l ：一。( r ) i( r 2 r l t 2 t 1 ) ， i g 己乞( r ) l i g l 乞一r 。( r ) i i g l ；, - t 。( r ) i i g l * * 一r 。( r ) l l g 瑶一。( 兄) l ( r 2 t 2 1 , p 3 ，所以当1 ， ，( 孚) = ，( t n - 1 + 1 ) ，( t n - 1 + 2 ) f ( n - - 1 ) 1 7 1 1 取偶数时， ，( 1 ) ，( 2 ) ，( 罢一1 ) 厂( 善) ， ，( ) ，( 詈+ 1 ) 厂( 佗一1 ) 则 肛m a x 墼铲= 哟m 蜓a x 竹蹁= 哟m 妪a x 竹幽芈搿铲巡 因为 i g l ；( r ) i i g 三0 ，( r ) i i g l * 。一。( 冗) l i g l 竹( r ) l i g l i ( r ) i i g l t 一1 ( r ) i i g l ( n 一1 ) 一( ) ( 兄) i l g l n ( r ) l i g l l ( r ) i l g l l ( 兄) f i g l 。一2 ( r ) i i g l n ( 咒) i 上式当r = 1 , t = 2 时取等号因而 由于 因而 p r ：! g 墨! ! 垒21 堡墨! ! 垒刈堡垒= 兰! 墨! j ：! 堡墨! ! 墨2 曰堡墨! 二! ! 垒2 i g l 。( 冗) i 。i g l 礼( r ) i 。 b = m ，m 。m m a ，x m 。仇：l ! 兰 i 宇芝己；群 1 8 大连理工大学硕士学位论文 ( 1 ) 当r l r 2 t 1 = 亡2 = 亡时， 1 9 三：。( 冗) l i g 一n ( r ) i i g l 0 ，。( r ) l l g 三：一t ( 冗) i i g 三毛( r ) i i g l l ，。( r ) l i g l 轰一t ( r ) i i g 坛- n ( r ) ii g l ：_ ，：( r ) i l g l ：k ，( r ) i i g l * 2 一n ( r ) i g l 鑫一n ) 一( r 2 一r 。) ( 冗) l i g l _ n ( r ) l ，i g l i ( r ) ii g l ( t 吨) 一1 ( 冗) i 二 i g l t - n ( r ) l ，i g l i ( r ) i i g l 2 1 ( r ) i 二 i g l 2 ( r ) i l g l i ( r ) 1 2 i g l 2 ( r ) i 1 一矿一1p 2 _ 1 ) 上式当您一r 1 = 1 , t r l = 2 时取等号此时有 只= p 2 k - 二l ( p l 2 一_ 1 ) ( 2 ) 当r l = r 2 = 7 t 2 t 1 时， l g 群( 冗) l i g l 2 一，( r ) l i g 一。：( r ) l i g l ：一t 。( 冗) i g l ；( 冗) l l g 三l 一，( r ) i i g l * 。一t ，( r ) i l a l t * 一，( r ) i i g l t * ，- t 2 ( r ) l ：= 。一 i g l l r ( r ) l l g 皖一r ( r ) i i g l ：t 。一，) 一( t 2 ，) ( r ) i l g 玩一，( 兄) l i g l , ( r ) i i g l t 。一，) 一1 ( 冗) l 二 l g l t l - - r ( r ) l ，i g l i ( r ) 1 2 2 l g l e ( r ) i 1 矿扣1 2 一1 ) 上式当t 2 一r = l , t 1 一r = 2 时取等号此时有 只= p 2 k - l l ( p 2 _ 1 ) 1 9 ( 3 ) 当r l r 2 t 2 t 1 时， 1 堡墨：；! 皇21l g 墨墨= ! ；! 垒刈g 墨叁= 堡! 墨刈g 墨盘二! ；! 璺211 9 垡= ! ；! 星! j i g l 7 。( r ) i i g l ：, 一n ( r ) i i g l 轰一t 。( 月) i ： ! 堡墨羔= ! ；! 皇211 堡墨圣二丝( 垒! ! ! 堡墨叁= 垒( 皇到 i g - n ( r ) i i g 川( r ) i i g l ；e 。川) 一( 肾) ( 固i l g 一，( r ) i i g l ：t ，川) 一( 红川) ( r ) l ，i g l l ( r ) 1 3 二。1 瓦；两i _ 1 p 强一3 p 2 + p + 1 ) 0 + 1 ) 上式当r 2 一r l = 1 ，t 2 一r l = 2 ，t l r 1 = 3 时取等号此时有 只= 万瑶啊 ( 4 ) 当t 2 r l t 2 t l 时， i g l * 2 ( r ) i i g l * 1 - 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