（机械设计及理论专业论文）冗余度机器人机构中的混沌及其控制.pdf

一 西南交通大学硕士研究生学位论文 第1 页 摘要 冗余度机器人系统是一个高度耦合的非线性系统，包含着丰富 的动力学特性，认识该系统中的混沌现象并对此加以控制和利用， 将为进步挖掘其冗余能力、改善其工作性能、优化其控制器的设 计等提供新的途径，具有重要的理论意义和应用价值。为此，本文 对冗余度机器人机构中的混沌运动及其控制进行了研究。 首先，在对混沌的基本理论进行研究的基础上，提出了用混沌 数值分析方法中的相图法、rp o i n c a r e 映射法和最大l y a p u n o v 指数法 识别冗余度机器人中的混沌运动的具体实现方法。 其次，首次研究出平面冗余度机器人用p d 调节器控制其末端重 复跟踪工作空间内的封闭路径并利用其冗余度来进行回避奇异、躲 避障碍、最小化关节驱动力矩规划时，其自运动状态与不同的 j a e o b i a n 矩阵运动学逆解方法之间的关系：首次找到了空间冗余度机 器人利用p 调节器或p d 调节器控制其末端重复跟踪工作空间内的封 闭路径时，其自运动状态与不同的分解运动控制方法之间的关系。 最后，首次提出了基于延迟反馈的冗余度机器人高维系统混沌 运动的控制方法。在该方法中，微扰控制变量、延迟时间r 、反馈权 重因子k 、加入延迟反馈控制信号的时间的选取，是把冗余度机器人 的混沌运动转变成规则的周期运动的关键因素。 借助于m a t l a b 软件实现了上述冗余度机器人在该软件环境下的 混沌运动的识别与控制的程序自动化。 关键词；冗余度机器人；混沌运动；混沌控制；自运动；逆运动学 a b s t r a c t t h er e d u n d a n tr o b o ts y s t e mi sah i g h l yc o u p l i n gn o n l i n e a r d y n a m i c s y s t e m ，w i t hp l e n t yo fd y n a m i cp e r f o r m a n c e a n di ti s m e a n i n g f u lt o s t u d yt h ec h a o t i cm o t i o ni nt h es y s t e ma n di t su s eo rc o n t r o lt oi m p r o v e t h er o b o t ss t r u c t u r a la n dc o n t r o l l e rd e s i g na n dw o r k i n gp e r f o r m a n c e i nt h i st h e s i s ，r e s e a r c ho nt h ec h a o t i cm o t i o na n dc o n t r o lo fr e d u n d a n t r o b o th a sb e e nd o n e f i r s t l y ，t h eb a s i ct h e o r i e so fc h a o sa r ei n t r o d u c e d s o m ee f f e c t i v e n u m e r i c a lm e t h o d ss u c ha sp h a s ep l o tm e t h o d ，p o i n c a r em a p sm e t h o d a n dt h el a r g e s tl y a p u n o ve x p o n e n tm e t h o df o ra n a l y z i n gt h ec h a o t i c m o t i o ni nr e d u n d a n tr o b o ts y s t e m sa r ep r e s e n t e d s e c o n d l y ，t h e r e l a t i o n sb e t w e e nt h es e l f - m o t i o no fa p l a n a r r e d u n d a n tr o b o tu n d e rt h ep dc o n t r o l l e ra n dt h ed i f f e r e n tj a c o b i a n m a t r i xm e t h o d sf o r s o l v i n gt h ei n v e r s ek i n e m a t i c sa r eg o t t e nf o rt h e f i r s tt i m ew h e nt h ee n d - e f f e c t o rt r a c e sac l o s e d p a t hr e p e a t e d l yi nt h e w o r k s p a c e w i t h a v o i d i n gs i n g u l a r i t y ，o b s t a c l e s ，a n d m i n i m a l j o i n t t o r q u e sp l a n n i n gr e s p e c t i v e l y ；t h er e l a t i o n sb e t w e e nt h es e l f - m o t i o no f as p a t i a lr e d u n d a n tr o b o tu n d e rt h epo rp dc o n t r o l l e ra n dt h ed i f f e r e n t r e s o l v e dm o t i o nc o n t r o lm e t h o d sf o rs o l v i n gt h ei n v e r s ek i n e m a t i c sa r e o b t a i n e df o rt h ef i r s tt i m ew h e nt h ee n d e f f e c t o rt r a c e sac l o s e d - p a t h r e p e a t e d l yi nt h ew o r k s p a c e f i n a l l y ，t h ed e l a y e df e e d b a c kb a s e dc o n t r o lm e t h o di sp r o p o s e dt o c o n t r 0 1t h ec h a o t i cm o t i o n si na b o v e - m e n t i o n e dp l a n a ra n d s p a t i a l r e d u n d a n tr o b o t sf o rt h ef i r s tt i m e t h ed i s t u r b a n c ev a r i a b l e ，t h e d e l a y e dt i m e “t ”t h e f e e d b a c kw e i g h tf a c t o r k a n dt h et i m eo f a d d i n gd e l a y e dc o n t r o ls i g n a la r es o m ek e yp a r a m e t e r sf o rg o o d c h a o t i c c o n t r o li nt h em e t h o d t h es o f t w a r ef o r a n a l y z i n g a n d c o n t r o l l i n g t h ec h a o si nt h e 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 i i 页 a b o v e - m e n t i o n e dr e d u n d a n tr o b o t si sc o d e di n t om a t l a b k e yw o r d s ：r e d u n d a n tr o b o t ；c h a o t i cm o t i o n ；c h a o t i cc o n t r o l s e l f m o t i o n ：i n v e r s ek i n e m a t i c s 一西南交通大学硕士研究生学位论文 第1 页 1 1 选题的意义 第1 章绪论 自从1 9 6 1 年第一台工业机器人u n i m a t e 问世以来，随着工业生产 工艺水平和科学技术的发展，特别是电子学和计算机技术日新月异的发 展，机器人技术得以迅猛发展，己由第一代示教再现型机器人发展到第 三代智能机器人。 智能机器人本身能认识工作环境、工作对象以及工作状态，能独立 地决定工作方式，并能适应工作环境的变化，这对于提高机器人的工作 性能和扩展机器人的应用范围是大有好处的。因此智能机器人引起了广 大学者的关注，并已成为机器人研究中的热点之一。 冗余度机器人是指所含自由度数耳多于完成某一特定作业任务所 需最少自由度的一类机器人。它所具有的零空间或冗余空间，使得其能 克服传统非冗余度机器入的缺陷，在保证末端运动规律的同时，可以利 用其零空间特有的自运动所产生的不同关节位形来完成诸如避免障碍、 克服奇异性、最小化关节驱动力矩、避免由于连秆及关节的柔性引起的 振动等辅助任务，因此常被用作智能机器人的执行机构即操作机。 目前，冗余度机器人的冗余度分解，即运动学逆解的有效方法是基 于其雅可比( j a c o b i a n ) 矩阵的伪逆的控制算法。有关的研究发现：基 于伪逆的控制算法会导致非重复解( n o n r e p e a t a b i l i t y ) 的产生即关节 轨迹发生“漂移”( d r i f t ) 。所谓解的非重复性是针对冗余度机器人执行 封闭路径的重复作业而言的，指在工作空间中封闭的作业路径对应的关 节空间中的关节轨迹并不封闭。在实际应用中，无论是焊接、喷涂，还 是搬运、装配等作业，封闭路径的重复作业很常见。冗余度机器人进行 封闭路径的重复作业时，伪逆控制的非重复性使得其关节运动轨迹出现 不可预料的情况，甚至导致危险情况的产生。针对冗余度机器人伪逆控 制非重复性问题，有的学者通过使冗余度机器入降维来获得伪逆控制的 重复性，也就是说伪逆控制重复性的获得是以冗余度机器人丧失冗余的 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 页 自由度为代价，这样机器人就没有了冗余的自由度去满足设定的优化性 能指标，从而使得伪逆控制重复性研究失去了意义。也有部分学者通过 扩展雅可比矩阵方法( e x t e n d e dj a c o b i a nm e t h o d ) 将冗余系统转化为 非冗余系统来求解，这种方法虽然能在满足性能指标的同时获得重复性， 但是通常实施困难，并且不可避免地存在数值稳定性问题，甚至会导致 算法失效。 基于冗余度机器人是高度非线性动力系统，包含着复杂的运动、动 力特性的事实，本文拟利用混沌理论，研究冗余度机器人末端重复跟踪 工作空间内的封闭路径时，采用不同的控制算法进行冗余度分解时的自 运动状态( 规则或混沌) ，找出其自运动状态与不同控制算法之间的关系， 并对其中混沌现象的性质( 有益或有害) 进行判别，对有益的混沌加以 利用，对有害的混沌加以控制，为冗余度机器人逆运动学求解方法的优 选，结构和控制的设计，以及工作性能的改善等提供必要的依据。因此， 本学位论文的研究具有重大的理论意义和实用价值。 1 2 文献综述 由于本学位论文的研究涉及到混沌动力学、机构学、机器人学等多 个研究领域，下面就冗余度机器人、机构中的混沌、机器人中的混沌的 研究现状及存在的问题作一简要概述。 1 2 1 冗余度机器人 自从w h i t n e y 1 】于1 9 6 9 年首次提出冗余度机器人这一概念以来，广 大学者对此产生了极大的兴趣，并已取得了令人瞩目的研究成果。冗余 度机器人研究中的一个关键问题是如何进行冗余度分解：即在满足机器 人末端预定规律前提下，以机器人的运动学或动力学性能指标为优化目 标，优化确定机器人各关节的运动规律。y o s h i k a w a l 2 , 3 1 和k i r e a n s k i 4 1 等 人通过运动优先级规划来改善冗余度机器人的工作灵活性，回避奇异。 k h a t i b 等人【5 1 通过构造避障势函数，利用人工势场法来解决机器人在障 碍物环境中的路径规划，从而达到利用冗余度机器人来躲避障碍物的目 的。v o l p e t 6 1 和m o h r i 7 1 等人在k h a t i b 的基础上，对人工势场法加以了改 进和发展，使冗余度机器人能避免与工作空间内的多个障碍物发生碰撞。 西南交通大学硕士研究生学位论文第3 页 c h e i n 8 1 和l o z a n o 9 1 等人则分别提出利用拓扑法和几何法来解决机器人 在障碍物环境中的路径规划问题。h o l l e r b a c h 等人【1 0 】通过确定关节零空 间的矢量，得出具有最小关节力矩的关节加速度表达式，首次将冗余度 机器人用于最小关节驱动力矩规划。但这种方法的计算稳定性比较差， 对此，k a z e r o u n i a n 等人1 利用拉格朗日乘子法推导出具有最小关节力 矩的关节加速度显示，其计算稳定性有了一定程度的提高。p u e h 等人【1 2 】 根据拉格朗曰方程，并结合由关节力矩和关节加速度或速度构成复合指 标，提出了一种全局最小关节力矩规划方法。赵京等人f 1 3 , 1 4 】贝0 提出利用 切换策略实现最小关节力矩的关节轨迹规划，这种方法克服了单一算法 的不足，可以获得良好的全局性能，保证了计算的稳定性。机器人已向 高速、轻质、熏载、高精度方向发展其连杆和关节的柔性将不可避免， 为此，学者们开始尝试利用冗余度机器人多余的自由度来抑制由于结构 柔性而引起的振动。n g u y e n 和w a l k e r 等人i l 副率先研究了利用冗余度机 器人的自运动来克服其结构柔性引起的振动，并给出了一种计算力矩类 型的动力学控制方法，然而其研究很不充分，提出的方法无法用于实时 控制。岳士岗 16 j 通过规划柔性冗余度机器人运动过程中的自运动，使机 器人尽可能地沿着预定轨迹运动，从而减小运动过程中的振动。边宇枢 等人【17 9 】让机器人末端运动停止后依然进行自运动，以实现对残余振动 进行主动控制，并指出冗余度柔性机器人在通过优化其自运动实现减小 振动的同时，还具有二次优化的能力，给出了在满足抑制振动的前提下 实现关节力矩优化的方法。张绪平【2 0 l 针对文献【1 6 】中的自运动减振方法 缺乏全局最优性、不便于控制和实施等不足，提出了具有全局性和易于 控制的自运动规划减振新方法。 冗余度机器人的冗余度分解方法分为全局优化方法和局部优化方 法。全局优化方法采用积分形式的性能指标，具有能保证全局最优、计 算稳定性好等优点，目前常用的优化方法有：变分法1 2 “j 、p o n t r y a g i n 最大值法1 2 5 1 、以及最优控制方法1 2 6 】。但是，全局优化方法需要多次对整 个运动过程进行计算，计算量大，不便于实时控制。局部优化方法则弥 补了这一缺点，计算效率高，便于实时控制，因此目前大部分工作主要 集中在局部优化方法上。l i e g e o i s 2 7 l 最早提出了梯度投影法，这种方法 是基于雅可比矩阵的伪逆的通用算法，它在保证机器人末端运动规律不 变的同时。可以将不同的性能指标比较容易地融合到控制中去，因而实 西南交通大学硕士研究生学位论文第4 页 际应用非常广泛，但伪逆的计算量大，而且在某些情况下还会失效。 d u b e y 等人口引对梯度投影法进行了改进，将雅可比矩阵分离以降低维数， 从而减少了伪逆的计算量以便于实时控制。为了避免梯度投影法的失效 性，w a l k e r l 2 9 1 等人采用约束变量法、c h a n 等人f 3 0 1 利用加权最小范数法、 n a k a m u r a 【j 川和h a n s a f u s a l 3 2 等人运用最小二乘法进行冗余度分解。然 而，这些以伪逆为基础的分解方法，又存在着关节运动的非保守性问题， 即机器人末端在工作空间中执行封闭轨迹的重复作业时，对应的关节空 间中的关节运动轨迹并不重复。为了使机器人获得重复的关节运动轨迹， b a i l i e u l p 副和k l e i n u 4 1 等入提出了用扩展雅可比矩阵方法进行冗余度分 解，利用约束条件将工作空间扩展，从而使雅可比矩阵变成方阵来求解， 但是采用优化性能指标函数及扩展雅可比矩阵，对几乎所有的冗余度机 器人都将不可避免地产生算法奇异，这种算法奇异与结构奇异一样，都 将导致算法失效。为此，c h o | 3 5 , 3 6 和吴瑞珉1 3 7 3 9 等人又围绕如何避免扩 展雅可比矩阵方法引起的算法奇异进行了一系列的研究。他们指出，首 先确定出由于性能指标函数及扩展雅可比矩阵所引起的算法奇异在关节 空间中的分步区域后。通过合适地选择操作机的初始位形来避免算法奇 异。 1 2 2 机构中的混沌 混沌是确定的非线性动力系统所特有的复杂运动形态，出现在开放 系统、某些不可积h a m i l t o n 保守系统和非线性离散映射系统中。自1 9 6 3 年美国气象学家l o r e n z 首次论述混沌现象以来，国际上对混沌的研究就 一直长盛不衰。近年来，混沌动力学的研究领域已涉及到自然科学和社 会科学的各个方面，对混沌现象的观察及范例的研究已转向寻找各学科 之间混沌行为的相互制约及内在联系，进而寻找一大类复杂问题普遍遵 循的共同规律和系统方法。混沌在现代科学技术中起着十分重要的作用。 著名的物理学家j f o r d 认为混沌是二十世纪物理学第三次革命，与前两 次革命相似，混沌也与相对论及量子力学一样冲破了牛顿力学的教规。 他说：“相对论消除了关于绝对空间与时间的幻想；量子力学则消除了关 于可控测量过程的牛顿式的梦；而混沌则彻底消除了拉普拉斯关于决定 论式可预测性的幻想。”正是由于混沌及其控制在工程技术上的重大研究 价值和极其诱人的应用前景，近几年，混沌及其控制问题己弓 起了国际 上非线性动力系统和工程控制专家的极大关注，成了非线性科学研究的 西南交通大学硕士研究生学位论文第5 页 一个热点。一些发达国家的科研和国防军事部门已投入了大量的人力物 力进行攻关，美国麻省理工学院、华盛顿州立大学、马里兰大学等在这 方面的研究一直处于世界领先地位，美国陆军和海军实验室也积极参与 竞争，并投入大量研究经费，以期望研制出崭新实用的混沌控制方案， 满足国防、现代工业和人民生活的需要。 迄今为止，国内外已有不少学者对机构动力分析中的混沌现象进行 了研究。国外，f f a r a h a n c h i 4 0 l 等人研究了曲柄滑块机构中滑块与导路之 间存在间隙的动力学问题，分析了间隙的大小、运动副中的摩擦、曲柄 的角速度、滑块与导路壁之间的冲击参数对系统的影响。研究表明：当 曲柄的转速较高时，对应于运动副中的摩擦和滑块与导路壁之间的冲击 参数的大部分值，系统都会出现混沌现象；当曲柄的转速较低时，系统 呈现出周期运动。l d s e n e v i r r a t n e 等人1 4 l j 还研究了具有径向柔顺性和 运动幅间隙的铰链四杆机构的动力学问题。他们的研究表明：系统的混 沌运动恰好出现在轴颈与轴孔脱离接触之前。这一研究成果对于确定轴 颈与轴的分离准则具有重要意义。1 9 9 0 年，l i 等人”2 j 研究了一对啮合 齿轮中，当其中一个作周期振动时，另一个齿轮作混沌振动的p o i n c a r e 映射图。1 9 9 1 年，m o o n 等人【42 】研究了噪音的根源一一机构间隙产生的 混沌振动。同年，c o m p a r i n 等人【42 l 在俄亥俄州立大学的r s i n g h 实验 室研究了齿轮的混沌振动。德国慕尼黑工业大学的p f e s f f e r 【42 j 研究了齿 轮噪音的概率分布，以说明如何安排齿轮才能削弱混沌噪音。1 9 9 3 年， v a nd e r h e i j d e n 4 3 研究了石油钻杆的混沌振动问题。1 9 9 4 年， h u b i n g e r 4 4 q 6 】等人对一类双杆摆机构进行了一系列的研究，分析了其中 混沌现象存在的可能性，找到了混沌吸引子，但未给出产生混沌运动的 具体参数条件。 在国内，李哲等人 4 7 , 4 8 1 研究了振动筛机构的动力学问题，在这种振 动筛中，增加了一些附加构件，使得原动件数小于机构的自由度，机构 出现了混沌运动，从而满足了振动筛的设计要求。张跃明等人”引以组成 机构的基本构件为研究对象，建立了间隙转动副的分离接触模型，以此 模型采用牛顿力学的方法建立机构动力学方程，通过数值求解得出了间 隙转动副在机构运动中存在混沌运动。常宗瑜等人 s o , s h 则对一个含运动 副间隙的平面四杆机构的动力学问题进行了研究，并对数值结果作 p o i n c a r e 映射。证实了混沌现象的存在。史绍熙等人i s 2 研究了带间隙副 西南交通大学硕士研究生学位论文第6 页 的内燃机曲柄连杆机构中的混沌现象。他们通过数值计算。作出系统 的p o i n e a r e 映射图，得到了系统的混沌吸引子，并发现系统作混沌运动 与间隙的大小密切相关。姜万录等人【5 3 1 研究了齿轮故障的混沌诊断，研 究表明：通过辨别振子对的间歇混沌运动可对齿轮偏心及单齿缺陷故障 进行诊断与识别。谢进等人 5 4 - 5 7 利用混沌理论对牛顿迭代法进行了深入 的研究，发现了混沌区分步的一些规律，基于这些规律提出了利用混沌 区迅速求出非线性方程组全部解的新方法，并且成功地用于刚体导引四 杆机构的综合和求解给定刚体五个位置的b u r m e s t e r 点。冯春等人【5 8 】提 出一种搜索全局最优的混沌模式优化方法，利用混沌变量的遍历性特点 为一维模式搜索探索方向，并成功用于带有预定时标的平面四杆机构的 轨迹优化综合。魏承辉 5 9 】将混沌迭代算法与优化方法相结合，以平面四 杆机构的函数综合为例，研究了平面连杆机构的近似综合问题。罗佑新 1 6 0 l 和罗颂荣【6j 】等人利用混沌运动的遍历性、内在随机性、规律性等特点， 提出了一种混沌约束优化算法，对平面s t e p h e n s o n l i i 型六杆机构的函数 发生器进行综合，从而找到了实现最大精确点问题的一批有意义的解， 为实际机构的设计提供了多种选择方案。李忠和张波等人 6 2 - 6 4 讨论了永 磁同步电动机的混沌运动特性，他们通过适当地调节系统的某些参数使 系统从稳定运行、极限环到出现混沌运动，通过施加一个线性控制器使 原来不混沌的甚至是稳定的p m s m 系统呈现出混沌行为来达到利用“有 益的”的混沌目的。戈新生等人【6 5 1 成功地运用反馈线性化方法控制了一 类航天器的混沌姿态运动。李开富【6 6 1 和李立【6 7 】等人则研究了一类双杆摆 机构中的混沌运动。他们的研究表明：双杆摆系统随着控制变量的增加， 系统是由倍周期分岔进入混沌，并首次通过周期信号扰动系统参数的方 法对所发现的混沌运动进行了成功的控制。 。 1 2 3 机器人中的混沌 机器人系统是一个高度非线性、强耦合的动力系统，包含着丰富的 动力学特性，因此对该系统混沌现象的研究也引起了人们的* 趣。国内 外已有一些学者对该问题进行了初步的研究。 s h r i n i v a s 6 s 和r a v i s h a n k a r t 6 9 1 等人率先研究了平面两自由度和3 自 由度机器人在不考虑杆件柔性、磨擦等情况下分别具有转动关节( r ) 和移动关节( p ) 时系统的混沌运动。借助予高斯曲率解析地判断了平 面p p 、p r 、r p 、r r 、r r p 、r r r 等机器人在只有惯性力作用下混沌运 西南交通大学硕士研究生学位论文第7 页 动是否存在。研究表明：当机器人的构形空间的高斯曲率为负时，存在 混沌运动；当高斯曲率为零或正时，不存在混沌运动；从而得出平面p p 和p r 机器人在只有惯性力作用下不存在混沌运动，平面r p 、r r 、r r p 、 r r r 机器人在只有惯性力作用下存在混沌运动的结论。他们还用数值方 法研究了平面r p 和r r 机器人在有外力作用下系统的混沌运动情况，得 到了p o i n c a r e 映射图和系统的分岔图，结果表明系统是从倍周期分岔通 向混沌的。李开富等人 7 0 , 7 1 1 在此基础上对平面r p 和r r 机器人作了进 一步的研究，他们通过数值计算，找到了系统作周期运动和混沌运动的 参数条件，得到了动力系统的周期吸引子和混沌吸引子。v e r d u z c o | 7 2 1 等 人则研究了两自由度平面机器人在铰链处有衡力矩驱动和线性粘性阻尼 作用时系统的分岔情况，但没有给出系统出现混沌运动的参数条件。王 大龙等人1 73 j 对具有关节摩擦的单连杆刚性机械臂控制系统运动轨迹的 极限环和混沌现象进行了研究，利用h a m i l t o n 原理建立了机械臂的动力 学模型，考虑了不同的摩擦模型，针对具有库仑摩擦和粘性摩擦的机械 臂控制系统，建立了系统的非线性部分的描述函数，证明系统存在稳定 的极限环，利用l y a p u n o v 线性化方法和数值仿真研究了系统的混沌现 象。m a t t h e w 等人 7 4 , 7 5 l 则率先研究了具有运动冗余度的机器人自运动中 的混沌运动。他们基于非线性系统的反馈线性化控制理论，通过构造微 分同胚坐标变换来得到冗余度机器人系统对应于其自运动的零动态方 程，研究了平面3 r 刚性冗余度机器入末端跟踪一条直线轨迹时其自运 动中可能存在的混沌运动，通过作出系统的p o i n c a r o 映射图和功率谱图， 发现在某些优化矢量条件下，机器人自运动状态是混沌的，但没有找出 系统自运动状态与零空间矢量间的关系。李开富等人 7 0 , 7 6 , 7 7 1 在此基础上 作了深入细致的研究，找到了冗余度机器人自运动状态与任意零空间矢 量间的关系。他们有研究表明：平面3 r 冗余度机器人系统的零动态中 的运动状态与其零空间矢量g r = w 1 ，b 2 ，w 3 的关系是：当w l w 2 = 0 时，零 动态中存在规则运动，当w ，w ：0 时，零动态中存在混沌运动；平面 4 r 冗余度机器人系统的零动态中的运动状态与其零空间矢量 = w 。w ，w ，w 。j 的关系是：当w 。w 2 w ，= 0 时，零动态中存在规则运动， 当w w ，w 3 0 时，零动态中存在混沌运动。r o b e r t 等人副研究了 h o p i n g 机器入在互相垂直的两个运动方向的周期运动，并用数值分析法 绘出了系统的分岔图，指出了该类机器人出现混沌运动的可能性。d a n i e l 西南交通大学硕士研究生学位论文第8 页 等人剀研究了h o p i n g 机器人在非线性弹簧作用下系统的动力学性态， 分析出系统由倍周期分岔通向混沌。v a k a k i s 等人 s o , s i l 也研究了h o p i n g 机器人中的混沌运动，在此不再一细述。 综上所述，有关一般机构动力分析中的混沌现象研究的文献比较丰 富，其研究也达到了一定的水平，并己开始用于指导机构的设计。而对 极具实用价值的冗余度机器人中的混沌运动的研究的文献还相当有限， 并且研究也仅限于混沌现象的发现。对广泛使用的基于不同的雅可比矩 阵方法求解冗余度机器人运动学逆解时，其零空间中的自运动状态的研 究还无人涉足，从而限制了这些方法的实际应用，因此这方面的工作急 需开拓和发展，本学位论文将在此领域进行新的尝试。 1 3 本文的主要工作 本学位论文主要对冗余度机器人自运动中的混沌运动及其控制进行 研究。主要包括；在对混沌基本理论进行研究的基础上，提出混沌识别 的具体数值分析方法和混沌控制策略：对一些典型的平面和空间冗余度 机器人自运动状态与不同的逆解控制方法之间的关系进行研究；首次利 用延迟反馈控制法对所发现的冗余度机器人自运动中的混沌运动进行控 制。具体研究内容如下： 第二章：在对混沌的定义、产生混沌的机理、混沌的特征、通向混 沌的道路进行分析的基础上，重点阐述如何用数值分析方法识别混沌和 在不改变系统原动力学性能的情况下将混沌运动转变成规则运动。 第三章：在对冗余度机器人运动学逆解求解方法进行分析的基础 上，研究了平面3 r 冗余度机器人末端重复跟踪工作空间内的封闭路径并 进行避免奇异、躲避障碍、最小关节力矩规划时，其自运动状态与不同 的求解方法之间的关系， 第四章：以空间4 r 冗余度机器人为研究对象，借助于 d e n a v i t - h a r t e n b e r g 方法建立其运动学模型，井对该空间冗余度机器人 基于不同的分解运动控制方法求解运动学逆解时的自运动状态进行研 究。 第五章：首次将延迟反馈控制法应用于平面及空间冗余度机器人混 西南交通大学硕士研究生学位论文第9 页 沌系统的控制。主要研究在运用该方法时，几个关键的控制参数( 微扰 控制变量、延迟时间、反馈权重) 对冗余度机器人自运动状态的影响。 本学位论文的工作受到了国家自然科学基金项目( 6 0 1 7 5 0 9 3 ) 及四 川省应用基础研究项目( 0 2 g y 0 2 9 - - 0 3 5 ) 的资助。 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 0 页 2 1 引言 第2 章混沌基本理论概述 长期以来，人们在认识和描述运动时，总是将运动分为两种类 型：确定性运动和随机性运动。在牛顿创立经典力学后的很长一段 时间内，自然科学家都认为，一个确定性的系统在确定性激励下， 其响应也是确定的。n e w t o n 和l a p l a c e 都指出，只要建立了方程， 就可以依据初始条件来确定随后的运动。可是近2 0 多年来，随着“混 沌( c h a o s ) ”理论的出现，冲破了这种传统观念。1 9 6 3 年美国气象 学家l o r e n z 在分析天气预报模型时得出气象不可预测的结论，使人 们开始认识到即使确定性系统受到确定性激励，响应也可能是不确 定的。从此，混沌理论逐渐建立起来了。 2 2 混沌的定义 “c h a o s ”一词来自希腊文“x a o s ”，最早的意思是指先于一切 事物而存在的虚旷的空间。后来逐渐包含以下三层意思：( a ) 偶然性 支配的事物状态，不受法则制约的或没有必然的齐一性的自然状态。 特别是指在分明的、有秩序的形式产生以前原始物质所处的无组织 状态：( b ) 毫无秩序、顺序的全盘混乱状态；( c ) 难以辨认、区分或解 释的一块或一团混乱的东西或参差不齐的东西。近一百多年来，“混 沌”一词已从哲学猜想的领域进入到科学领域，它的含义不断丰富、 更新和深化。但是由于混沌的高度复杂性，迄今为止，对混沌还没 有形成一个公认的统一而严格的数学定义。1 9 8 9 年，d e v a n e y 给出 了一种混沌的定义，比较直观且易理解。 定义：设v 是一个度量空间，映射f ：v v 如果满足下列三个 条件，便称映射厂在度量空间v 上是混沌的。 l 、对初值的敏感依赖性：存在占 0 ，对任意小的占 0 和任意 的x v 在x 的占邻域内存在y 和自然数疗，使得映射厂分别从初值x 和y 经过n 次迭代后的空间距离d ( f ”( x ) ，f ”( y ) ) 万 2 、拓扑传递性；对v 中任一开集x 、y 。存在k 0 ，使，。n 】，矿。 西南交通大学硕士研究生学位论文第l1 页 3 、映射，的周期点集在v 中稠密。 所谓对初值的敏感依赖性就是指无论两个初始点如何靠近，在 映射的作用下两者的轨道都可能分开较大的距离；拓扑传递性就是 说映射，不可能细分或分解为两个在映射厂作用下不互相影响的子系 统；而周期点的密集性表明系统具有很强的确定性和规律性。 简单地说，混沌现象是指在可确定的非线性系统中，系统随时 间变化的运动状态对系统的初始条件非常敏感，并且形似紊乱，实 则有序，无固定周期的循环性行为或形态。它是确定性非线性系统 的内在随机性。这种随机性是由系统对初值的敏感依赖性而产生的； 同时，它并非杂乱无章，一片混乱，而是存在着复杂细致的几何结 构，包含更多的内在规律。 2 3 混沌的产生及特征 混沌是非线性动力系统在一定条件下所表现出的一种貌似无规 则、类似随机的现象，是普遍存在的复杂运动形式和自然现象，它 无序之中又有序。 产生混沌的机制往往是简单的非线性，是丝毫不带随机因素的 固定规则。由混沌所表示的无序和不规则状态指出了在确定性系统 中的随机现象，由事物的混沌现象又提示了在自然界和人类社会中 普遍存在着的确定性和随机性的统一、有序和无序的统一。正是这 种在确定性和随机性之间的由此及彼的桥梁作用，使得混沌学被誉 称为2 0 世纪科学发展的第三个里程碑。 非线性是产生混沌的必要条件，但是并非任何非线性系统都会 产生混沌，一般认为当非线性系统具有下列数值现象时则被认为系 统出现了混沌； 1 、系统的运动轨迹为奇怪吸引子现象。 2 、系统运动的功率谱具有连续谱上叠加有尖峰的特点。 3 、系统中至少有一个李雅普诺夫( l y a p u n o v ) 指数大于零。 混沌运动的特征主要有以下三个方面，它们之间有着不可分的 内在联系。 1 、对初值的极其敏感性。 牛顿力学认为在确定性系统中可以列出确定性方程，在任何时 候其解是稳定的，人们力图从大量的偶然事件中去把握统计学规律。 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 2 页 但混沌理论认为动力学性态对初始条件具有极其的敏感性，如果初 值具有一极微小的变化，在短时问内的结果还可以预测，但通过长 时间的演化后，它的状态变得无法确定，即差之毫厘，失之千里， 这就是著名的“蝴蝶效应”。人们利用这一特性，通过精心选择的小 控制量产生显著的效果。如美国宇航总署( n a s a ) 的科学家们曾使 用非常少量的残余液氢燃料把一个i s e e - - 3 i c e 飞行器送到五千万 英里之外，跨越了太阳系，从而首次实现了科学彗星对接。 2 、具有规律性的成分。 混沌行为具有稠密的周期轨道，其运动最终要落在奇怪吸引子 之中，在整体的混沌区内有窗口，窗口里面有混沌，窗口内的混沌 区内再有窗口，这种结构无穷地重复着，使其呈现出多种看似混乱 无序却又颇具规则的自相似图像。这种混沌吸引子可用作潜在的信 息源，通过控制可使系统处在不同的状态、用作不同的目的。 3 、运动具有遍历性。 混沌吸引子中的运动能在一定的范围内按其自身的规律遍历每 一条轨道，既不自我重复又不自我交叉。因此可利用混沌变量进行 全局搜索和寻优，用于系统辨识、最优参数设计等众多方面。 2 4 通向混沌的道路 关于通向混沌的道路，研究较多的有以下三条。 一、倍周期分叉道路 所谓倍周期分叉指的是一个映射的稳定周期解的周期随着参数 增大而加倍的分叉现象。也就是说，系统运动变化的周期是一种有 序状态，在一定的条件下，改变参数能使系统轨道一分为二，即周 期加倍。参数继续改变，轨道的辟裂就继续发生，由二到四到八成 倍周期增长，最终丧失周期而进入混沌。在某些特定的参数值发生 周期突然倍化，这些特定的参数值就是分叉点。如逻辑映射 x 。：缸( 1 一x ) 就是经过倍周期分叉而进入混沌。倍周期分叉是一条通 向混沌的典型途径。 二、阵发性道路 通向混沌的第二条典型道路是阵发性现象的出现。所谓阵发性 现象是指在时间域中系统不规则行为和规则行为的随机交替现象。 在非平衡系统中，某些参数的变化达到某一临界值时，系统会出现 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 3 页 表现在时间行为上的时而周期，时而混乱，在两者之间随机震荡的 状况，最终进入混沌。阵发性混沌最早见之于l o r e n z 模型，它与倍 周期分叉是孪生姐妹，凡是能观察到倍周期分叉的系统，原则上都 可发现阵发性混沌现象。它们均可由不同边界条件的费根鲍姆 ( f e i g e n b a u m ) 重正化群方程来描述。对一维映射来说，阵发性发 生在一切分叉( 鞍结分叉) 的领域内，而倍周期分叉则是叉形分叉。 三、准周期运动分叉道路 这是通向混沌的第三条典型道路。关于这条道路的研究不如对 前两条道路认识的那样好，但近年来也引起了学者们的关注。朗道 ( l a n d a u ) 和霍普夫( h o p f ) 在2 0 世纪4 0 年代曾提出湍流的发生 机制。他们认为，当雷诺( r e y n o l d s ) 数r ( 非线性的惯性力和粘性 力之比) 很小时，流体处于和时间无关的层流状态，对应相空间中 的不动点。当r 增到某个闽值时，不动点失稳，代之以极限环，随 后r 继续增大，极限环又失稳，运动扩充到二维环面上，如此下去， 到三维、四维n 维环面，最终达到湍流。设每次失稳( 每次准周 期分叉，也叫霍普夫分叉) 所引入系统的新频率依次为厂l ，2 ， ， 则其间之比为不可公度的无理数。 2 5 混沌的识别方法 混沌识别是研究混沌的前提和首要条件，由于混沌运动的高度 复杂性，除少数简单系统能用一定理论方法解析分析外，目前绝大 多数针对混沌的研究都采用数值分析法。下面是几种应用较广泛的 数值实验方法，其特点是既简单又易于得到直观的图形。 一、相轨及状态变量随时间变化的直接观察法 设动力系统的微分方程为： 戈= f ( x ，a ) ，x u c r ”，z r 其中f ：u r - r “是光滑函数。对于给定的初始条件： x ( 旯，o ) = x o 可得向量场f 生成的流： ( 2 - 1 ) ( 2 - 2 ) x = x ( x o ，a ，f ) ( 2 - 3 ) 方程( 2 1 ) 的解x ( x o ，五，f ) 定义了方程( 2 1 ) 的一条解曲线( 轨道、轨线) ， 把它看成时间t 的函数，则它表示了动力系统的时间历程 相图是根据动力系统的非线性微分方程组的数值运算结果在h 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 4 页 维相空间中描出的曲线，此曲线称为相轨迹。画出了系统的时间历 程图和相图后，通过对比、分析和综合以确定解的分岔和混沌现象。 当不考虑初始阶段的暂态过程，只考虑稳态图像时，在相空间中， 周期运动对应封闭曲线；混沌运动对应一定区域内随机分布的永不 重合的相轨线 8 2 , 8 3 1 ( 即混沌吸引子l 这种方法的特点是简单、直观。 空间的维数较高或运动比较复杂时， 看出规律。 二、庞开莱( p o l n c a r e ) 截面法 其局限性在于当动力系统的相 相轨可能混乱片，很难直接 在十九世纪末，法国数学家庞开莱( p o i n c a r e ) 就提出了一种对 于研究多维自治系统的混沌特别有效的方法，被称之为p o i n c a r e 截 面法。在多维相空间b ，量，x 2 屯，矗， ) 中适当( 要有利于观察系统的 运动特征和变化，如截面不能与轨线相切，更不能包含轨线。) 选取 一截面，在此截面上某一对共轭变量如五和毫取固定值，则称此截面 为p o i n c a r e 截面。观察运动轨迹与此截面的截点，设它们依此为p o ， p l ，p 2 ，p 3 p 。这样原来相空间的连续轨迹在p i o n c a r e 截面上 便表现为这些离散点间的映射： 只+ = 识( 2 - 4 ) t 称为庞开莱( p i o n c a r e ) 映射。 原来在相空间的连续轨迹在p i o n c a r e 截面上就表现为一些离散 点。通过这些点可得到关于运动特性的信息。如不考虑初始阶段的 暂态过程，只考虑p o i n c a r e 截面上的稳态图象，当p o i n c a r e 截面上 只有一个不动点或少数离散点时，运动是周期的；当p o i n c a r e 截面 上是一闭曲线时，运动是准周期的；当p o i n e a r e 截面上是成片的密 集点时，且有明显的层次结构，运动便是混沌的 8 2 , 8 3 1 。 实际使用中，p o i n e a r e 截面常常沿时间轴截取，以两变量耳和x 2 的情形为例，就相当于用而、x ：和，张成三维空间，然后沿着t 轴等间 隔地取t = m ( n = 1 , 2 3 。) ( z 为运动周期) 的垂直于t 轴的截面，p o i n e a r e 映射便是轨线在这些截面上截点之间的映射。 p o i n c a r e 截面法用于分析系统的混沌运动同样比较简单、直观、 实用，特别是对于高维自治系统和复杂系统尤其有效，目前已得到 广泛应用。 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 5 页 三、李雅谱诺夫( l y a p u n o v ) 指数分析法 混沌运动的基本特点是对初始条件极为敏感，为了定量地表示 映射中相邻点相互分离的快慢，以及奇怪吸引子中轨道分离的快 慢，人们引入李雅谱诺夫指数。 对于一维映射，李雅谱诺夫指数定义为： 圳= 熙驯掣i ( 2 - 5 ) 式中，f e c 。b ，】，是初值。以一维函数为例，由复合函数的求导 法则 z ( x 。) = l i m 也。l n if ( 工，) l ( 2 6 ) 式中，z = f ( x o ) ，x ，= f ( x f - 1 ) 用映射函数以x ) 做h 次迭代后，x 。与+ 缸之间的距离为： 址i f ( x o + 妒几) i 刮譬列纠 ( 2 ，) 今用与x 0 有关的一个常数e 2 ( “来表示每迭代一次两点问被拉伸的 “平均倍数”，则 a n = l 厂“( x o + 缸) 一f ”( ) l = p “。l 缸i ( 2 - 8 ) 于是近似地有 e 州叫割 ( 2 - 9 ) 对上式两边取对数，整理可 ：导公式( 2 - 5 ) a 当五( ) 0 时，拉伸倍数e a ( x o ) l ，迭代一次则拉伸p “倍，一足 够大是，是一种指数增长的爆炸式扩张