（基础数学专业论文）《九章算术》算法研究.pdf

摘要 一l j 国，5 代传统数学是i j , 算法为c ，心的+ 一个独立j 二西方发展起 来的数学体系。在过去很长的时问里，中国古代数学在许多方面 一宜领先于欧洲数学，与欧洲的以演绎推理为e p , o 的数学体系不 同的是，中国古代数学形成了- 机械化、算法化、神秘化的特征。 其算法有着很强的机械性和操作性。 几章锋术作为中困- t ! i4 t ：数学的个代表作，在中国数学 史上占据着重要的地位。它对后来中陶数学的发展乃至中国传统 数学体系的形成产生了臣人的影响。本文就是对几奄算术算 术锋浊的个t i j f j i ：。) 本论文分为两个部分：文字部分和光楹演示部分。文字部分 的内容如下：首先介绍了几章算术的研究价值、成书年代、 内容、历代注释者以及九章算术的主要计算工具算筹： 然后按九章算术的章节分别从中选取了其中比较有代表性的 算法写成了计算机程序，作为九章算术算法的可行性的一种 探讨。程序的设计基本按照术文的计算步骤进行的，术文中的计 算步骤都可以在程序中找到对应的语句。 光盘演示部分分为三个部分：第一部分是对九章算术的个 简单介绍；第二二部分是九章算术全文的电子检索：第三部分 是典型算法的过程演示。 关键词：九章算术算法中国传统数学刘徽海岛算经 r e s e a r c ho na l g o r i t h mo f “n i n ec h a p t e ro fa r i t h m e t i c a b s t r a c t b a s e do nt h e a l g o r i t h m ，a n c i e n tc h i n e s e m a t h e m a t i c sw a s d e v e l o p e di n d e p e n d e n t l y w i t h o u t a n y i n f l u e n c eo f e u r o p e m a t h e m a t i c s i nal o n gp e r i o do f p a s t ，a n c i e n tc h i n e s em a t h e m a t i c s h a sg o n eb e y o n dt h ee u r o p em a t h e m a t i c sa n dw a sc h a r a c t e r i z e db y i t s a l g o r i t h m ，m e c h a n i z a t i o na n dm y s t i f i c a t i o n i t sa l g o r i t h mw a s m e c h a n i c a la n d o p e r a t i o n a l “n i n e c h a p t e ro fa r i t h m e t i c ”，a l lo u t s t a n d i n gm a t h e m a t i c a l w o r ko fa n c i e n tc h i n a ，w a sr e g a r d e da so n eo ft h em o s ti m p o r t a n t m a t h e m a t i c a ib o o k si na n c i e n tc h i n e s em a t h e m a t i c s i th a sh a da f a r r e a c h i n gs i g n i f i c a n c e i nt h ed e v e l o p m e n to fc h i n e s et r a d i t i o n a l m a t h e m a t i c s t h et h e s i si 8ar e s e a r c ho nt h ea l g o r i t h mo f n i n e c h a p t e r o f a r i t h m e t i c ” t h i st h e s i sh a st w o p a r t s ：t e x tp a r ta n dd e m o n s t r a t i o np a r t t e x t p a r t i n c l u d e st h e g e n e r a l i n t r o d u c t i o no f n i n e c h a p t e r o f a r i t h m e t i c a n dt h e c o m p u t e rp r o g r a m o ft y p i c a l a l g o r i t h m i n w h i c hi sas t u d yo nt h em i t h m e t i c a l f e a s i b i l i t y t h ep r o g r a mw a s m a d ea c c o r d i n gt ot h ep r o c e d u r eo f a l g o r i t h mw h i c hm o s ts t e p sc a n b ef o u n di nt h ep r o g r a m t h ed e m o n s t r a t i o np a r ti n c l u d e st h r e e p a r t s ：t h e f i r s ti sa g e n e r a li n t r o d u c t i o no f n i n ec h a p t e ro fa r i t h m e t i c ；t h es e c o n d p a r ti sae l e c t r o n i cv e r s i o no f n i n ec h a p t e ro fa r i t h m e t i c ；t h e t 1 1 i r d p a r t a r et h ed e m o n s t r a t i o n so ft y p i c a l a l g o r i t h mo f n i n e c h a p t e r o f a r i t h m e t i c ” k e yw o r d s ：n i n ec h a p t e ro fa r i t h m e t i c ，a l g o r i t h m ，c h i n e s e t r a d i t i o n a lm a t h e m a t i c s ，l i uh u i ，h a id a oa r i t h m e t i cb o o k i i 前言 当今世界的数学，是以欧洲数学为核心内容的数学。而在历 史上，其他民族的数学，也曾经繁盛一时，并对西方数学也产生 过一定影响。特别是独立于西方发展起来的中国传统数学体系， 更足独树一帜，成果卓然。实际上，在过去很长的一段时间取， 中国传统数学所取的许多成果，远远领先于欧洲的数学，并形成 了自己的以算法为中心的数学体系，与欧洲大陆发展起来的以演 绎推理为中心的数学体系遥相呼应。 九章算术( 简称九章) 作为中国历史上最重要的数学 绛她，刈t i f 确1 譬统数学 木系的形成，越补奠熔节 ：的 1 ：川。2 0 0 0 余 r 以来，它一直深刻地影响着中困乃至东方数学的发展。直到今 天，它的机械化思想与程序化思想仍然列当今数学有着极大的启 迪作用。 九章算术的内容博大精深，从古至今，许多数学家和数 学史家都研究过九章。迄今为止，与九章算术有关的专著、 论文可以说是硕果累累。对于其数学理论、数学证明和数学思想 的著述已有很多，而且大多为名家之言。本文则尝试从另外的一 个角度，即从算法程序化的角度，来对九章中的典型算法作 一个粗浅的探讨。 第一章关于九章算术 1 1 九章算术的研究价值 九章算术是中国古代数学的经典之作。它的内容和形式 都对其后中国传统数学的发展产生了巨大而深远的影响。在古代 中国，历代数学家对九章算术都一直推崇备至，将它视为诸 多算经之首。 然而，在2 0 世纪以前，对于九章乃至于以九章为代 表的整个中国传统数学在世界数学发展史上的影响和地位，一直 没有得到难确的评价和深入的研究。长久以来，西方流行着关于 科学历史的“欧洲中心论”，对中国古代科学( 包括数学) 的发 展和成就缺乏了解。李约瑟在他的巨著中国科学技术史中曾 经对“欧洲中心论”作了这样的分析： “现在，我们已经越来越广泛地认识到，科学史是人类的文 明史中的一个头等重要的组成部分。在这一认识的发展过程中， 西欧人很自然地从近代的科学和技术回溯过去，认为科学思想的 发展起源于古代地中海地区各民族的经验和成就。我们可以从现 存的大量文献中看到希腊和罗马的思想家、数学家、工程师以及 自然界的观察者们所奠定的这种基础。早期的一些著作，例如威 廉休厄尔( w i i i i a mw h e w e l l ) 1 8 3 7 年所著的归纳科学发展 史，都不自觉地流露出这一观点。作者们甚至不知道人类认识自 己环境的历程中其他民族所作出的贡献。后来，人们才比较清楚 地认识到，现在的比较成熟的科学思想，曾经受惠于古代埃及人 的开拓工作，受惠于新月沃地的古代居民，如苏美尔人、巴比伦 人、赫梯人等等的辛勤劳动，并且对这些史实进行研究。由于环 境的关系，欧洲人从麦加斯梯尼( m e g a s t h e n e s ) 时代到麦考利 ( m a c a u l a y ) 时代都一直和印度的文化有着密切的接触。部分是 由于这个原因，人们才能对印度人的成就作出比较公正的评价( 这 种评价还是很不够的) 。不过，这方面存在着许多年代学方面的困 难问题，使人们仍然看不到一幄清晰的图景。至于远东文明、特 别是其中最古老而又最重要的中国文明对科学、科学思想和技术 的贡献，商到今天还仍然为云翳所遮蔽，而没有被人们所认识。 远东这个名词本身，就泌明了欧洲人有一种根深蒂固的偏见， 甚至连那些怀有良好意愿的欧洲人，也很难排除这种偏见。” 在西方的诸多数学史著作中，对古代东方( 包括中国) i 与代 数学的沦述，往往是一笔带过，其中缺乏对东方古代数学足够的 了解和评价，甚至出现了一些完全否定中国古代数学成就的结论。 可见中国古代数学在这些西方学者心目中的地位如何。这种不丑i 常现象的出现，固然与“欧洲中心论”的影响有关。同时也和长 期的封建体制下中国的数学家缺少与外界的交流有一定关系。再 加j ：q | 国文字难学难懂的语亩障碍，使得中国古代数学处在不为 欧洲所知的情况下独立地发展起来，并形成了自己独有的体系和 特色。 2 0 世纪1 0 年代之后，中国的数学史研究在李俨( 1 8 9 2 - - 1 9 6 3 ) 和钱宝琮( 1 8 9 2 - - 1 9 7 4 ) 的奠基性工作之后，开始出现一片繁荣 的局面。此后，近代方式意义上的数学史研究在中国真正地发展 起来了，许多学者纷纷加入了数学史研究队伍，发表了大量的中 外数学史论文。这些工作使得西方逐渐了解了中国古代数学的发 展历程。九章算术作为中国古代数学的代表作，其研究价值日 益突出。 本世纪3 0 年代，日本著名数学家和数学史家藤原松三郎曾在 一次关于“东洋数学史”的学术演讲中，发表过十分精辟的见解： “研究东洋数学史，首先要研究中国数学的发展史；而要研究中 国数学史，则必须从研读九章算术开始。” 日本数学史家小仓金之助( 1 8 8 5 1 9 6 2 ) 也对中国数学史作 了深入的研究，他作出了这样的评价：“九章算术是中国的基 “、车约瑟l 中国科学技术史数学科学 i 舨社1 9 7 8 3 本数学书，其中包含着优秀的数学方法。如果同希腊数学进行一 番比较的话，几何与数论虽然不如希腊，可是我确信算术和代数 ( 意指丢番图) 则凌驾于希腊之上。”小仓金之助把九章算术 与几何原本相提并论，认为九章算术是中国的“欧几里 得”。 2 0 世纪7 0 年代之后，国内外数学史界掀起了一股研究九 章的热潮，发表了大量的论著和文章。随着研究的深入和一些 重大学术问题的解决，人们逐渐形成了一个崭新的认识：“世界古 代数学分为东、西方两大流派。古代西方数学是以古希腊欧几里 得几何原本为典范的公理化演绎体系；古代东方数学则是以 我国九章及其刘徽注为代表的机械化算法体系。在世界数学 发展的历史长河中，这两种体系互为消长，交替成为主流，推动 着这门学科不断向前进展。”圆这种“东方算法体系”的观点正在 为国内外越来越多的学者所认同。 2 0 世纪中叶以来，随着电子计算机的迅速发展和广泛应用， 计算技术和计算方法不但在社会生产实践中大显身手，而且也为 数学自身的发展和变革提出了一条新的途径。计算机不但能够迅 速完成繁杂的计算，把数学家从大量的计算中解放出来。而且它 也能够代替数学家进行数学证明，这就为数学研究提供了一种全 新的思路。四色定理的证明是世界上首次使用计算机进行数学证 明的范例。此后又有人提出和在理论上证明了初等几何定理的证 明机械化是可行的。从1 9 7 6 年冬天起，我国著名数学家吴文俊 ( 1 9 1 9 一) 率先致力于初等几何定理的机械化证明的研究，在第 二年春就取得了初步成果。在此后的两三年里，他用电子计算机 证明了一批初等几何定理。从1 9 7 9 年起，吴文俊又把初等几何定 理证明的机械化方法推广到了初等微分几何和非欧几何等领域， 迄今为止已经证明了6 0 0 多个定理。他所创立的这种机器证明的 。吴文俊九章算术 与刘徽北京师范大学出版社1 9 8 2 。是文俊吴文俊文集山东教育山版社，1 9 8 6 4 理论在国际上被称为“吴方法”。这种数学证明机械化的“实质在 j 】j ：把通常数学中所固有的质的困难性，代之以用算法方式使证 i 判的过程标准化而造成的计算巾的量的复杂性。这种属于计算的 量的复杂性过去是人力所不可及的，而现在由于计算机的产生和 迅速发展，已经变得越来越微不足道了。”o 在追溯这种方法来源的时候，吴文俊解释说：“( 它) 直接导 源予我国传统数学的思维方式，也就是从公元前l 世纪成型的九 章开始经祖冲之到元代大数学家朱世杰形成的以解方程为特色 的机械算法体系”，“本人关于数学机械化的研究工作，就是在这 些思想与成就启发之下的产物”。 事实上，我们如果回过头研究一下拯个世界数学的发展历程 就会发现，“在整个数学科学发展的历程中，始终存在着算法和演 绎两种倾向，它们分别代表着东西方两种数学传统的基本特征。 数学的发展也体现出算法和演绎倾向交替出现的特点。古巴比伦 和埃及的原始算法，被希腊式的演绎几何所接替：而在中世纪希 腊数学衰落之后，算法倾向在中国、印度等地区继续繁荣，然后 到1 7 ，1 8 世纪欧洲产生无穷小算法时期；1 9 世纪以后，随着分 析的严格化运动演绎倾向再度* 起，它比在古希腊高的多的水准 上远远超越几何学的范围而扩展到数学的其他领域，成为现代数 学的中流砥柱；直到2 0 世纪发展到了算法可以在某种程度上可以 取代逻辑演绎的地步。我们几乎可以预测，今后的很长一段时间 内，将是算法再度繁荣的时期。 e 如吴文俊所预言的那样：“九章与刘徽注所贯穿的 机械化思想，不仅曾经深刻地影响了数学的历史进程，而且对数 学的现状也l e 在发扬它日益显著的影响。它在进入2 1 世纪后在数 学中的地位，儿乎可以预卜。” 因此，对九章中的算法作一个全面的整理和研究是很有 吴文俊吴文俊论数学机械化山东教育| f 1 版札，1 9 9 5 。吴文俊昊文俊论教学机械化山东教育出版社，1 9 9 5 。李继闵几章算术导读与译注陕西科学技术l l j 版社1 9 9 8 5 必要的。本文将对九章中的典型算法作一个分析，并给出相 应的计算机程序。 1 2九章算术的主要内容 九章共分九章，共2 4 6 题，内容各有侧重，其主要内容 如下： 第一章“方阳”( 共3 8 题) ，论述不同形状的土地丽积的计 算，并详细介绍了分数的四则运算法则及其理论。 第二章“粟米”( 共4 6 题) ，专讲各种谷物之问的换算，对十 七种谷物或米、饭等规定了各种兑换比率。 第i 章“褒分”( ，i2 0 题) ，内容足第二章的延续利深入，小 要论述分配比例问题，也有正比例、反比例和复比例的问题，部 分题目也涉及了等差数列、等比数列以及调和数列的问题。 第四章“少广”( 共2 4 题) ，主要介绍单分数加法、开平方、 开立方及有关圆及球的体积计算问题。 第五章“商功”( 共2 8 题) ，讨论各种形状的土方、粮仓等的 体积计算问题。 第六章“均输”( 共2 8 题) 解决国家如何合理分配赋税、徭 役等问题。 第七章“盈不足”( 共2 0 题) ，介绍双设法，解决盈亏问题。 第八章“方程”( 共1 8 题) ，讨论线性方程组解法，其方法与 现代的高斯消元法基本相同。此外还提出了正负数及其加减运算 法则。本章还有一道不定方程的问题。 第九章“勾股”( 共2 4 题) ，论述直角三角形的解法，讨论了 相似三角形和勾股数。本章还有一题是解一元二次三项式方程的 问题。 书中全面地涉及了算术、代数、几何等各方面的知识，体例 统一而规范，所有的题目均采用以下的体例： 今有，问几何。答日：。术日：。 6 即先给d i 问题，然后再给答案，最后给出解法。但是给出的 解法只提供了运算步骤( 即算法) ，至于为什么应该这样做( 即算 川! ) 则没有任何说明，这也体现中国古代数学的特点即算法化、 神秘化。 因为几章巾的算法只有其然而无其所以然，魏晋时期的 数学家刘徽便率先为之作了大量的注释。他在为九章作完浊 之后，意犹朱尽，便对“勾股”章作了进步的发挥，写了一部 海岛算经( 又名重差) 附在其九章算术注之后，主要 论述测望问题。后人将其分离出来，独立成为一部算经，后来也 成为饮定的数学教科f 5 算经十书之。另外还有蘑燕 图一卷，但已失传。 1 3 九章算术的成书年代 根掘现有的资料来看，九章算术的名称最早见于东汉光和 二年( 1 7 9 年) 制造的大司农觚、权的铭文中：“依黄钟律历、九 章舅术，以均长短、轻重、大小，用齐七政，令海内都同。”而 刘徽本人在九章算术注的序言中这样说道：“周公制礼而有九 数，九数之流，则九章是矣。往者暴秦焚书，经术散坏。自 时厥后，汉北平侯张苍、大司农中丞耿寿昌皆以善算命世。苍等 因旧文之遗残，各称删补。故校其目则与古或异，而所论者多近 语电。”刘徽的论述是目前所有关于九章编纂的记述中展早、 最完整的。 由千年代久远，加上后来流传的九章算术舨本已经不是 原本，丽是刘徽的注释本，所以关1 二其成书年代，也有多种说法， 目前为止主要有以下几种观点：西汉中期齐人作品说：西汉宣帝 时( 公元前1 世纪前半期) 成书说；原始的九章算术至少和 周髀算经同时成书说；莽新时刘歆所完成说；东汉初期或公 元t 世纪成书说：公元一百年左右或东汉中期成书说；秦汉五百 年陆续成书说等回，数学史家们也为自己的观点各自提出了自己的 论据。到目前为l l ，对九章算术确切的成书年代尚无定论， 但论者的观点主要集中在西汉中叶到东汉中叶期问。 九章的体例并不是完全统一的，其内容也有时代的交错， 并且作者未留姓氏。因此一般认为，九章不是在某个时间一次 性完成的，而是在相当长的一段时期内经过多人反复修订、删补 而最后形成的。 九章的内容，反映了许多当时的社会、政治和经济状况。 其中的问题大都与社会生产紧密相关，例如土地面积和土方体积 的计算、徭役赋税的分配、粮食的兑换等等。虽然它是一本数学 的专著，但也从一个侧面反映了从春秋末年到西汉中期的社会生 活，是研究这一历史时期的重要史料。 “方田”章列为九章之首，反映了自春秋以来实行“履 亩而税”的政策，丈量土地成为了实际的迫切需要。其中对地亩 的规定是“以亩法二百四十步除之，即亩数。百亩为一顷。”这是 公元前3 5 0 年商鞅变法时制定的，秦汉时成为全国统一的规定。 而采用“方亩”( 1 方亩= 3 7 5 亩) 这样的大面积单位，表明丈量 大躏积土地也是当时政府的需要。 “粟米”章首先规定了各种粮食的兑换比率。反映了国家对 粮食交易的管理和控制。西汉桑弘羊制定了“平准法”，耿寿昌设 立了“常平仓”，使国家掌握了大批的粮食。圆这也反映了先秦以 来国家实行的“重农抑商”的政策。 “衰分”章，可以看到等级制度在数学上的反映。“衰分”章 的卜_ 】、【六】题讨论的就是按照“大夫、不更、簪褒、上造、公士” 的“爵次”商低进行分配的问题。而【八】题讨论的是按照“爵次” 纳税的问题。这种爵次的划分，是从战国时代起就实行的。 “商功”章主要讨论的是各种形状的土方体积的计算，包括 。吴文俊九章算术与刘徽北京师范大学h l 版社，1 9 8 2 。李继阕几市算术及其刘徽注研究腴两人民教育i 1 1 敝社1 9 9 0 8 筑城、修堤、凿渠、粮堆等等并种立体体积的计算。其中有些题 也涉及到了1 方、距离和人数的综合计算。先秦、两汉时期n 0 水利、i ：木i ：程和运输交通有了很大发展。先秦刚期修建了都t f ： 堰、郑刚渠、灵渠三大水利工程和万里长城等规模宏大的：【程； 晒汉武帝叫j 9 j 义修建了著名的 j 渠、漕渠等水利：程。“商功”和 “勾股”章f f l 的问题就是根据这些具体的实际需要而设计的。 “均输”章则讨论了根据路程远近、户数多少来合理摊派赋 税、徭役的问题。“方程”章则主要解决线性方程组的问题，其内 容大多涉及农业。 1 4 九章算术的历代注释者 九章的原本中，只有题( 题目) 、问( 问题) 、答( 答案) 和术( 算法) ，没有任何数学的推理和证明。这种把算法神秘化的 做法既是中国古代数学的一大特点，也是其一大弱点。后来的许 多算书大多遵循这种体例，也在一定程度上束缚了中国古代传统 数学的发展。由于没有严格的推导，其中的算法仅凭经验总结， 自然就容易产生误差甚至错误。另外，在长期辗转传抄的过程中， 也出现了许多衍文夺字的地方。因此，为了使一般人更容易地读 懂九章，同时也为了检验其中的算法的正确性和对其中错讹之 处进行校订，历代出现了许多为九章算术作注释的数学家。 正如本文前丽所提及的，现存的九章算术版本已经不是原本， 而是注释本。对九章算术做过注释的数学家很多，主要有三 国魏人刘徽、南北朝的祖冲之和祖啦、北周的甄鸾、唐代的李淳 风、北宋的贾宪、南宋的杨辉、清朝的李潢以及现代数学史家钱 宝琮、白尚恕等等。 在众多注释九章的数学家中，影响最大的当属刘徽。刘 徽的生卒年代、身世履历均不可详考。但是根据现有的资料和、记 载，可以推断他是魏晋时期的人。 刘徽在九章算术注原序中说：“徽幼习九章，长又详 览。观阴阳之割裂，总算术之根源，探赜之暇，遂悟其意。是以 敢竭顽鲁，采其所见，为之作注。”在潜心研究九章的基础之 上，刘微将其中的算法重新从理论的高度进行分析，并使其计算 进步精确化。正如他所说：“析理以辞，解体用图，庶亦约而能 周，通而不黩，览之者思过半矣。”刘徽在九章原有算法的基 础之上，创造了许多数学原理，并严加证明。在例证方面，他又 用模型、图形以论证和推广有关算法。刘徽的注释既是对前人数 学成果的继承，又在其之上有创新，对后来中国传统数学理沦的 深化产生了重大的影响，被视为研习九章所必读。 吴文俊也对刘徽及其九章注作了高度评价，认为他在数 学史上的地位足可以与古希腊的欧几里得、阿基米德相提并论： “几牵尊术的刘徽注足数学上的又4 伟大成就。刘徽注不仪提 m 了串寓多彩的创见与发明，并以严密的数学用语描述了有关数 学概念，对九章中的许多结论给出了严格的证明。他所采用 的证明方法，不仅有综合法、分析法，而且又是还兼用反证法。 他沿袭我国古代的几何传统，使之趋于完备，形成具有独特风格 的几何体系。刘徽的发明创造对后世有所启发，即使对现今数学 也有不少借鉴之处。从对数学贡献的角度来衡量，刘徽应该与欧 几里得、阿基米德等相提并论。” 继刘徽之后，南北朝的祖冲之、祖随父子也对九章算术 做过注释，并撰缀术一书。祖啮沿着刘徽的道路成功地获得 球体积的精确公式，在数学史上是一个杰出的成就。但是他们的 著作到来代便已失传。 唐代，天算学家李淳风为了当时国子监明算科的需要，对刘 徽注释本九章算术再作注释。在九章少广注文中，李 淳风引述了祖冲之父子推证球体积的算法及“刘、祖原理”，才使 得这项研究成果，不致湮没而传之后世，。 北宋贾宪著有黄帝九章算法细草( 约1 0 5 0 年) 九卷，此 “吴文俊 注序) f5 早已失传。 南宋未年，数学家杨徽在钻研九章算术的基础之上，撰 ；了详解几章算法1 2 卷，j | 附有详解九章算法纂类。他 选择了九章中8 0 道题作为典范，附加一些相同解法类比的题 - ，给m 各题具体丽详尽的算法，有些题则配以“算法图”或“题 意罔”，按照问题的繁简、难易编排次序。 清嘉庆嗣，李潢著九章算术细草图说一书。李潢不但对 九章做了校勘和修订，而且对九章各问都做了具体的计 算和详细的演革，并补绘插图。经过他的注释，使得原本些深 奥难懂的文字易于理解，一目了然。 此外，清代的孔继涵、焦循、李锐、汪莱、顾观光等人，对 儿带也进行了研究。 - i 因现代数学史研究创始人之的钱宝琮( 1 8 9 2 1 9 7 4 ) 也 对九章算术重新校点，被收入1 9 6 3 年巾华书局版算经十书。 另一数学史名家白尚恕也对九章算术作了深入研究，著有c 几章算术 注释( 1 9 8 3 ) 和 今泽( 1 9 9 2 ) 。此外， 最近的研究九章算术的相关著作还有李继闵的东方数学典 籍 及其刘徽注研究( 1 9 9 0 ) 和 导 读与译注( 1 9 9 8 ) ，沈康身的 导读( 1 9 9 7 ) ，吴文 俊主编的 与刘徽( 1 9 8 2 ) 、刘徽研究( 1 9 9 3 ) 。 中国科学院自然科学史研究所的郭书春在校勘和研究九章算术 方面成绩卓著，著有汇校 ( 1 9 9 0 ) 、九章算术( 校 点武英殿本) ( 1 9 9 1 ) 、 译注( 1 9 9 8 ) 。 在众多q ，国数学史家和外国数学史家的努力之下，九章算 术在国际上的影响也日益扩大。许多外国数学史家也丌始向国 外介绍和翻译九章算术。日本、英国、俄国、德国、丹麦、瑞 ：l = 、法国、瑞典、美国、澳大利亚等国都有人从事九章的研 究和翻译工作，同时也与国内的数学史家合作，并取得了一些成 果。 九章算术的研究工作如今显现出一派繁荣的局面。大量 的国内外专著和论文相继发表，许多重大学术问题得到解决，九 章算术在数学史上的地位也日益得到正确的评价。 1 5 中国古代数学的筹算和十进位值制 中国古代数学的计算工具是算筹，这也是九章所采用的 计算工具，用算筹来进行计算的方法称为“筹算”。九章中的 部分算法例如“开方术”十分依赖于算筹的摆放和移动。这一工 具从春秋战国时期问世以来，到明代算盘出现之前，一直是数学 家的主要计算工具。算筹实际上就是由某种材料( 一般是木或竹) 制成的小棍，它一开始是由蓍草演化而来的，先是用于占h ，继 而用于i i = l 数，最后才被当作计算工具，后来也被成为“策”。“算” 字也作“赫”、“笄”。说文解字曰：“算，长六寸，计历数者。言 常弄乃不误也”。 对于算筹的规格，汉书律历志记载：“其法用竹，径一 分，长六寸，二百七十一枚，而成六觚为一握。”隋书律历志 中称：“其算用竹，广二分，长三寸。正策三廉，积二百一十六枚， 成六觚，乾之策也。负策四廉，积一百四十四枚，成方，坤之策 也。觚、方皆径十二，天地之数也。”从目前出土的算筹实物来看， 长度从1 9 5 厘米到8 5 厘米不等，但从年代的先后来看长度是逐 渐变短的，其截面的形状也有圆有方，而伟4 作材料则多种多样， 有竹、木、骨、铅、铁、玉、象牙等。算筹的颜色一般为其原有 质地的颜色，也有涂色的算筹，有两种颜色：一为红色，用于表 示正数；另一为黑色，用于表示负数。 算筹记数分为纵式和横式两种方式： 纵式：il | l i l i it 可可耵 横式：= 三兰耋上圭圭 l234567g9 12 这是九个基数，零用空位表示。用算筹来表示多位数字时， 由高位到低位从左到右横排，但相邻两位则须纵横相间，个位、 百位、万位等用纵式，十位、千位、十万位等用横式。如孙子 算经中所写的：“凡算之法，先识其位。一纵十横。百立干僵。 千、十相望，万、百相当。”夏侯阳算经中也道：“一纵十横， 百立千僵。千、十相望，万、百相当。满六以上，五在上方。六 不积算，五不单张。” 一。t f 一p 例如，2 7 3 6 用算筹表示出来是“一| i = l ”，除了符号不 同外，算筹记数法所表示的自然数与现代的十进位值制记数法完 全相同。历史上曾出现过多种记数法：古巴比伦人采用6 0 进制： 古玛雅人采用2 0 进制；古罗马人采用5 一1 0 混合进制；古埃及人 和希腊人虽使用十进制，但是没有位值制的概念。而中国是世界 上最早采用十进位值制记数法的国家，实践表明这是最为方便和 实用的记数法。这种记数法简单、方便，在进行大数计算时其优 势是显而易见的，而且这种记数法也十分适合用于筹算。 1 6 九章算术中的算法 九章算术各章中，均提出了许多算法，并有相应的名称。 这些算法并非就题论题而设计的，而是具有一定的抽象性和适用 性，一个算法往往可以解决一类相近的问题。当然，其中许多算 法也属于经验的总结，而不是抽象的数学证明的直接结果。经过 后来的刘徽等数学家的孜孜不倦的努力，才使得其中的算法更加 完善和严谨。 本文从九章中选取了基本术( 算法) 共3 0 条，其中方田 章l l 条，粟米章4 条，衰分章2 条，少广章5 条，商功章l 条， 均输章l 条，盈不足章3 条，方程章2 条，勾股章1 条，另有海 岛算经之重差术一条。本文仅对上述基本的算法进行研究和讨 论。 第二章方田章中的算法 方r ：i 章共3 8 问，共有术1 l 条：方田术、里f h 术、约分术、 合分术、减分术、平分术、经分术、乘分术、大广田术、圆田术、 密率术。方嗣章主要论述不同形状的土地面积的计算，并详细介 绍了分数的四则运算法则及其理论。 2 1 方田术 方田章第二问： 【二】今有h 1 广十二步，纵十四步。问：为田几何? “方阿1 术日：广纵步数相乘得积步。， 译文：“长方形田法则：长宽相乘即得面积。，这是计算矩形 面积的方法。广即宽，纵即长。“里田术”与此术同，只是单位由 “步”换成“里”。公式为：肛曲。 算法源程序： # i n c l u d e ”s t d i o h ” m a i n ( ) f l o a t a ，b ，s ； s c a n f ( ”f f ”，a ，b ) j s = a + b j p r i n t f ( ”a r e a = f n ”，s ) ； ) 2 2 约分术 方田章第五问： 五】今有十八分之十二。问：约之，得几何? “约分术日：可半者半之，不可半者，副置分母、子之数， 14 以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。” 译文：“约分法则：如果( 分子、分母) 可以折半就折半， 1 i 可以折j i ，的，就把分母、分二f 作更相减损：连续不断地从大数 减去小数，以求出等数，然后用等数来约分予、分母。”这 是分数约分的法则。这担的更相减损法则是和现在所说的欧几单 得算法实际卜基本相同。 算法源程序：( 以分数孚为例) d # i n c l u d e ”m a t h h ” # i n c l u d e ”s t d i o h ” m a i n ( ) f a = a 2 ； b = b 2 ； ) i f ( a = = 1 ) g o t oe n d j c = a ； d = b ； w h i l e ( c ! = d ) i f( d c ) d 一= c ： e i s ec - = d ： a = a c ； b = b c j 可半者半之，即 约去所有2 的幂 判断等数 以少减多，更相减损 e n d ：p r i n t f ( ”a b = d d n ”，a ，b ) j 15 1 l =i i 2，d 6，b b ， & a ) ，2 ， d d a ，( c d ： ，( b ，( a f e n l t a 1 n c h 1 s w 2 3 合分术 方刚章第七问： 【七】今有三分之一，五分之二。问：合之，得几何? “合分术曰：母互乘子，并以为实。母相乘为法。实如法而 一。不满法者，以法命之。其母同者，直相从之。” 译文：“分数加法法则：分母互相乘以另一分数的分子，所得 乘积相加，作为实( 被除数) 。分母相乘作为法( 除数) 。 实除以法就是所求分数的和。如果有余数，则以除数为 分母，余数为分子，组成分数。当分母相同时，分子就直接相加。” 这是分数相加的法则。这与现代的分数加法法则完全相同，这里 没有考虑约分问题，只对分母相同的情况作了讨论。公式为： 口ca d + b c 一+ 一2 一。 bdb d 算法源程序： 以詈+ 吾为例 # i n c l u d e ”s t d i o h ” m a i n ( j i n ta ，b ，c ，d ，e ，f ； s c a n f ”d d d d ”，a ，b ，c ，d ) ； i f ( b = d )其母同者，直相从之 e = a + c ； f = b ； e l s e e = a + d + b c ，母互乘予，并以为实 f = b + d ；+ 母相乘为法 p r i n t f ( ”s u m = d d n ”，e ，f ) j 2 4 减分术 灯f i i 节第 问： 【 o 今4 q - j 1 分之八，减j ih 分之 。n d ：余儿何? “减分术日：母且乘子，以少减多，余为实，母相乘为法， 实如法而。” 译文：“分数减法法则：分母各互乘分子，山较大的数减去 较小的把余数作为被除数。分母相乘取作除数。作除法运算。， 这。典际i ：足火分数减去小分数的运算法则。公式为： “c i a d b c i i i 一百。 算法源和序： 以詈一号为例+ # i n c l u d e ”s t d i o h ” m a i n ( ) i n ta ，b ，c ，d ，e ，f ； s c a n f ( ”d d d d ”，a ，b ，c ，d ) j f = b + d ； + 母相乘为法+ a + = d ；b + = c ； + 母互乘子+ i f ( a b ) e = a b j + 以少减多，余为实+ e l s e e = b a ； p r i n t f ( ”s u m = d d n ”，e ，f ) ； ) 2 5 课分术 方田章第十二问： 卜一二】今有八分之五，二十五分之十六。问：孰多? 多几何? “课分术日：母互乘子，以少减多，余为实，母相乘为法， 实如法而一，即相多也。” 译文：“分数比较法则；分母互乘各分子，由较大的数减去 较小的数，余数作为被除数。分母相乘，作为除数。作除法运算。 就得相差之数。”此术与减分术同，但是更强调一个分数比另一个 分数多多少。程序同上。 2 6 平分术 方m 章第十五问： 【一五】今有三分之一、三分之二、四分之三。问：减多益少， 各几何而平? “平分术日：母互乘予，副并为平实，母相乘为法。以列数 乘未并者各自为列实。亦以列数乘法。以平实减列实，余，约之 为所减。并所减以益于少。以法命平实，各得其平。” 译文：“分数的平均法则：分母互乘各分子，相加之和作为平 实。分母相乘作为除数。分子互乘各分母之积各乘以列数，分别 称为列实。取作被除数，除数也乘以列数。( 较大的) 列实减 去平实。余数( 与扩大列数倍后的除数) 约筒，就是各分数应减 数。所减数都并入较小的分数。平实作为被除数与( 扩大列数倍 后的) 除数所得商，就是各分数应有的平均值。” 算法源程序： + 以求鱼，蔓，上的平均值为例。 ac 口 # i n c l u d e ”s t d i o h ” m a i n ( ) i n ta ，b ，c ，d ，e ，f ，g ，g l ，9 2 ，9 3 ，9 4 ，9 5 ，r ； s c a n f ( ”d d d d d d ”，& a ，b ，c ，d ，e ，f ) ； g = o ； r = 3 ；* r 为列数，即分数的个数，此处设为3 * g l = b + c + e ；9 2 = d + a + e ；9 3 = f + a + c ； lb 9 4 = g l + 9 2 + 9 3 ； + 坶且乘r ，副井为平实+ 9 5 = a + c + e ； + 母相乘为法+ g l + - = r ；9 2 + = r ；9 3 = r j + 以列数乘未升卉符自为列实+ 9 5 + = r ； + 亦以列数乘法+ i f ( g l 9 4 ) g l 一= 9 4 ；g + = 9 1 ； * 以平实减列实，余， 约之为所减。并所减以益丁少。+ e l s e b + = c + e + r ；g + = b ； i f ( 9 2 9 4 ) 9 2 一= 9 4 ；g + = 9 2 ； e l s e d + = a + e + r ；g + = d ；) i f ( 9 3 9 4 ) 9 3 一= 9 4 j g + = 9 3 j ) e l s e f + = a + c + r ；g + = f ； p r i n t f ( ”a v e = d d n ”，g ，9 5 ) ； + 以法命平实， 各得其平 2 7 经分术 方田章第十八问： 【- - a 又有三人三分人之，分六钱三分钱之一、四分钱之三。 问：人得几何? “经分术日：以人数为法，钱数为实，实如法丽一。有分者 通之。重有分者同而通之。” 泽文：“分数除法法则：人数作为除数，钱数作为被除数，作 除法运算。( 被除数或除数中) 若含有分数，应先通分；若都含有 分数，各取相同分母后，再通分。”这里术文中如现了“人数”和 “钱数”，是因为所出现的相关题文全部是关于若干人分配若干钱 数的问题。如分子、分母均出现了分数，而且分子还需要先通分 相加。我们这罩考虑一种较简单的情形。公式为：一b + 堡= 竺。 aca d 算法源程序： + 以一b 翌为例+ 日c # i n c l u d e ”s t d i o h ” m a l n ( ) i n ta ，b ，c ，d ； s c a n f ( ”d d d d ”，a ，b ，c ，d ) ； b + = c ；d + = a ； 有分者通之+ p r i n t f ( ”q u o t i e n 七= d d n ”，b ，d ) j 实如法而一- , ) 2 8 乘分术 方川章第十九问： 卜1 九1 今有田广七分步之四，纵五分步之三。问：为f 1 几何? “乘分术曰：母相乘为法，实如法而一。” 译文：“分数乘法法则：分母的乘积为除数，分子的乘积为被 除数，然后作除法运算。”公式为：一b 。兰：丝。 算法源程序： + 以鱼翌为例+ 口c # i n c l u d e ”s t d i o h ” m a i n ( ) ncd c i n ta ，b ，c ，d ； s c a n f ( ”d d d d ”，& a ，b ，c ，d ) j a + = c ； * 母相乘为法t b + 2 d j * 子相乘为实t p r i n t f ( ”p r o d u c t = d d n ”，b ，a ) j l 2 0 2 9 大广田术 方阿1 ：幸第二十二：问： 【二二】今有田广三步三分步之一，纵五步五分步之二。问： 为儿何? “大j 。r 1 术日：分母各乘其全，分子从之，相乘为实。分母 相乘为法。” 译文：“大广田法则：各分母乘整数部分后，合并分予。所得 数相乘，作为被除数。分母相乘作为除数。作除法运算。”这实际 j 二也是分数相乘的法则，讨论的是k 、宽都是带分数的情况。公 式为：口导。d 上：丝掣堕盟。 扫ed e 算法源程序： + 以口_ c d 上为例+ # i n c l u d e ”s t d i o h ” m a i n ( ) i n ta ，b ，c ，d ，e ，f ，d i v i d e n d ，d i v i s o t ； s c a n f ( ”d d d d d d ”，a ，b ，& c ，& d ，& e ，f ) ； d i v i d e n d = ( a + b + c ) + ( d + e + f ) ；i 分母各乘其全， 分子从之，相乘为实+ i d i v i s o r = b + e ； p r i n t f ( ”p r o d u c t = d d ”，d i v i d e n d ，d i v i s o r ) j 2 1 0 圆田术 方f f l 章第三十一问： 【三一】今有圆田，周三十步，径十步。问：为f 开几何? “半周半径相乘得积步。”“又术日：周径相乘，四而一。”“又 术 =