（基础数学专业论文）严格渐近伪压缩映象隐迭代序列的收敛性.pdf

摘要 蛐 i 自! 口! t 自自 摘要 含有非扩张型映射的非线性算子方程的隐式迭代法，从2 0 0 1 年由h k x u 和r g o r i 【5 引入以来，已有许多学者进行了研究，得出了一些有意义的成果。最近m 0 o s i l i k e 【7 对b r o w d e r - p c t y s h y n 意义下的严格伪压缩映象的隐迭代过程，也做出了部分研究成 果，但对严格渐近伪压缩映象未曾涉及。本文将主要研究b r o w d e r - p e t y s h y n 意义下的严 格渐近伪压缩映象的隐迭代过程。并讨论它们的收敛性问题。 关键词严格渐进伪压缩映象隐迭代带误差的隐迭代半紧性 a b s t r a c t i n2 0 0 1h k x ua n dr qo r i h a v ei n t r o d u c e da ni m p l i c i ti t e r a t i o nm e m o d sf o r n o n l i n e a ro p e r a t o re q u a t i o n so fn o n e x p a n s i v em a p p i n g s i n c et h e ns c h o l a r s s t u d i e da n d o b t a i n e ds o m es i g n l f i e a t i v er e s u l t s r e c e n t l y ，m 0 o s i l i k ea l s os t u d i e do ni n l d l i c i ti t e 船舡o n p r o c e s sf o rs t r i c t l yp s e u d o c o n t r a c t i v em a p p i n g so fb r o w d e r - p e t y s h y nt y p e a n di so b t a i n e d p a r t i a li n v e s t i g a t i v ei g s n l t s b u tt h e s er e s u l t sd on o ti n c l u d e s t r i c t l ya s y m p t o t i c a l l y p s e u d o c o n t r a c t i v em a p p i n g i nt h i sp a p e rw em a i n l yd i s c u s s e di m p l i c i ti m r a t i o np r o c e s sf o rs t r i c t l y 剖s y m p t o f i c a l l y p s e u d o c o n t r a c t i v em a p p i n go fb r o w d e r - p e t y s h y nt y p ea n dr e s e a r c h e dt h e i r c o n v e r g e n c e p r o b l e m s k e yw o r d sa n dp h r a s e s s t r i c t l ya s y m p t o t i c a l l yp s e u d o c o n t r a c t i v em a p p i n g a ni m p l i c i ti t e r a t i o nm e t h o d s a i li m p l i c i ti t e r a t i o nw i t he r r o r s s e m i c o m p a c t n e s s i i 河北大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。尽我所知， 除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得河北大学或其他教 育机构的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了致谢。 作者签名： 囱盔墨至! 日期：丛年月j l 同 学位论文使用授权声明 本人完全了解河北大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。 学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存 论文。 本学位论文属于 l 、保密口，在年月日解密后适用本授权声明。 2 、不保密矿。 ( 请在以上相应方格内打“4 ”) 作者签名： 导师签名： 日期：垦生年生月l 同 日期：h 雩0 年三二月止r 1 、引言 目日_ ii ini i i | 1 、引言 设z 是一实的b a n a c h 空间，x + 是x 的对偶空间( ，) 表示z 和x + 之间的偶 对j ：j f 斗2 。是由下式定义的j 下规对偶映象； 删= 厂工j = 1 1 4 ，i i ：1 i = ll x l i ，v x x 定义1 ：( 见 1 ，2 ，3 ) 设x 是一实的b a n a c h 空间，d 是x 的非空子集。t ：d d 是一个自映象 ( 1 ) 称r 是非扩张的，如果 1 1 7 x 一黟| | l k y | | 坛，y e d 。 ( 2 ) 称丁是渐近非扩张的，如果存在一实数列 七。 c o ，o o ) ，l i m k 。= l ，使得 x - t “y l i t 忙一y l i 溉，y d ，v ”1 ( 3 ) 若记f ( 丁) = x e d ：t x = x ) 为r 的不动点集，并设f ( r ) o ，i $ t 是渐近准非 扩张的，如果存在实数列证。) c ：【o ，。) ，l i m j j 。= l ，使得 i i r 4 z 一目七i 卜一g f | 、口_ e d ，q e f ( r ) ( 4 ) 称丁是渐近伪压缩的，如果存在实数列征。) 匕【l ，* ) ，! 受七。 - ( 工一y ) e j ( x y ) 满足： ( t n x - r ”y ，几一_ y ) ) 七。 y 0 2 v n 1 ( 5 ) 称r 是在b r o w d e r p e t y s h y n 意义下的严格伪压缩映射。 v x ，y d ( t x 一：v y ，( x 一_ y ) ) l i x - yl 1 2 一 i x - a 一( y - r y ) l 1 2 其中，辑一y ) j ( x y ) 。不失一般性可设五( o ，1 ) 。 若设，为恒等算予，则( 1 ) 式可以写成 ( ( ，一z t ) x 一( ，一t ) y ，( x 一_ y ) ) 兄j k t x 一( y 一砂) 1 1 2 v 珂1 = 1 ，而且，y d ，存在 若存在旯 0 ，使得对 ( 2 ) 当空间为h i l b e r t 空间时( 1 ) 和( 2 ) 等价于 恪一矽1 1 2 忙一y l l 2 + k i i x t x 一( y 一聊1 1 2 k = 1 2 2 , 1( 3 ) 由于k 0 ，所以k 【0 ，1 ) 。从( 2 ) 式我们有 i i x - y l i 五i k a 一( y 一砂) | | 丑j i a 一印) 0 一兄i k y l | 所以l 戥一r y l l - 0 和 “。o - 。l i m u 。= 0 ，使得对执，y e d 盯) ( t x - 丁”_ y ，_ ，( x y ) ) ( 1 + “。) 1 1 x y l l 2 一al k r n x - - ( _ y r ”_ y ) 1 2 ( 4 ) 其中，( x y ) d ( x y ) 。不失一般性可设丑( 0 ，1 ) 。 若设，为恒等算子，则( 4 ) 式可以写成 ( ( x - t ”) x - ( 1 - t “) y ，j ( x - y ) ) 0 ，对任意自 然数 ，有i t x - 丁，| | 工怯一圳 v x ，y d 盯) ，v n 1 。 定义4 ；x 是b 础空间，k c x 是非空闭凸子集，r ：k _ x 被称为半紧的， ( s e r n i 。巾a c t ) 若缸。 c 芷为任意有界序列且 a 。一屯) 收敛，则存在子列仁，j c 扛。) 强 收敛于k 中某元。 定义5 ：称b a i l a c h 空间石是满足o p i a l 条件的：若在工中的序列l - a h ( “。” 代表弱收敛) ，砂盖y 吒，有l i ：! 酽阮一x 。4 c i i ：孽乒陋n y 定义6 ：x 是b 础空间，r ：d ( r ) 仁j r ( f ) 称为在p d ( r ) 点是d 咖 闭的， 若对x 中的序列z 。x 和t x 。4 p ，有a = 尹。 众所周知，强l 砌空间是满足o p i a l 条件的空间。当r 是严格伪压缩映象时，一f 在任意点p e d 叮) 是d e m i 闭的。( 见( 6 1 ) 引理1 ：( 见 6 】) 设 口。) 和缸。) 是两个非负数列，满足 。( 1 + “。十ko = 1 ，2 ，) 且“。c + 。，乏6 一 + 。 则；( 1 ) ! i r a 存在：( 2 ) 若有枷。) 的子列收敛于o ，则牌。一2 o 。 引理2 ：( 见【4 】) 设轴。k 瓴 是二非负实数列，设存在非负整数，使得 口，上is ( 1 0 ) 口。+ v n h 。 o 。“s l 0 ) 口。+ “ v n h e r k 瓦) 口一 十 一 口 = k 列 序 其中0 。 1 ，f 。= ，b 。= o ( t 。) 则d 。斗o 斗。) 定理o u ：设是g 一一致光滑且为一致凸b a n a e h 空间，kcx 是非空闭凸子集， t ：k 呻k 是严格伪压缩映象，则卜- 丁在零点是d e 舶n i 闭的。 定理1 ：设日是捕，6 口宝间，k c h 是非空闭凸集，亿) ：。是足中个一致 三枷曲妇严格渐近伪压缩自映象，即对每一正奇在缸m ，0 ，! 鳃“* = 0 ，及丑e ( o ，1 ) 使得 i 眩”z z “y | f 2 ( 1 4 - b l i n ) 忙一y1 1 2 + 丑l i ( ，一z ”弦一( ，一正”) y l l 2 ， ( 9 ) 若f ：- - n ：，f ( 1 ) o ，其中f ( i ) 是i 的不动点集，且存在re 亿) ：。是半紧映象， k ，缸。 c ( s ，1 - s ) ，s ( o ，1 ) ，z u 。 + m ，则由以下隐迭代法 x 。= 口。x 。一1 + ( 1 一口。) z ? x 。，h = ( - 1 ) n + i ，i ，= 0 , 2 ，n 得到的序列扛。) 强收敛于亿) ：】：。的公共不动点p f 。 证明：在h i l b e r t 空间内，以下恒等式成立 怙+ ( 1 一 ) y l l 2 = f 俐2 + ( 1 一o l l y l l 2 一t ( 1 一t ) l l x y t 2 其中r 0 ，l 】，x , y h 。设p f 利用这个恒等式，记= 7 ( m o d n ) = z 。，我们有 i i 矗一p l l 2 = i p 。( 工。一。一p ) + ( 1 一口。) ( 露x 。一p ) ；k ，一pl 1 2 + ( 1 - ) 黔“一p 卜口。( 1 一) k ，一露i 2 由t 的严格渐近伪压缩性质，存在 ( 0 , 1 ) ，及u 。0 ，l i m u 。= 0 使得 i r , x - i ”y l l 2 ( 1 + u i n ) l 卜一y l l 2 + i k z ”x 一( y 一“y ) 1 1 2 取五= 懋玩 ，则 ( o ，1 ) 且 l r , x - 巧”y l l 2 ( 1q - d i n ) l 卜一y l l 2 + , q l x - 正 x - ( y 一互”y ) 1 1 2 于是 恢一p | f 2 k 。一p l l 2 + ( 1 飞) ( 1 + 训r p l l 2 + 五忙一露玎 一( 1 一口。) h 一砰吒8 2 2 陋一一p u 2 + ( 1 - a 。) ( 1 + “。) 一p 旷吒( 1 一o r 。) 肛。一露矗4 2 2 a ( i 一) k ，一砰8 2 k 一。- p j t 2 + ( 1 一+ ) 帆一捌2 一口。( | - - c e 。) ( 1 一旯a 。) l p 。一砰x 。9 2 ( 1 0 ) 由于o s c e 。1 一s 1 ，我们有 c e n 慨一硎2 k ，一p 卜k p | | 2 s 吒k ，- p l l 2 + 粤k p 8 2 即s - ，u 4i i 一卵i i x 。一p n 或 i i x - p i l l 去h 前：0 + 去收，一p ) 再由塾 + 及! 魏铲。，礅i ：i v t k = 1 + u i k 。 知， 而v 。 0 ，则在h i l b e r t 空间内有 忪z + z y + rz l l 2 = 口l l x l l 2 + 声l l y l t 2 + y l l z 卜筇卜y 卜口y 忙一z 卜缈l l y - z l 2 引理4 ：若口+ 冬1 ，口，夕 0 ，则在h i l b e r t 空间内有 陋x + y 1 2 - 凸, j i 1 1 2 + p i l y l l 2 一筇忙一y l l 2 ( 1 4 ) 证明： l px + 7y l l 2 = ( 口z + y ，口x + y ) = 口f f z f | 2 + ：l i y i f 2 + 2 r e 筇( z ，y ) = 口2 2 + 硎y 卜筇2 + 2 一 y 刚 = 岱( 口+ ) l 叫1 2 + ( 口+ 卢) f | 叫1 2 一c 汐 k y j l 2 - 口i l x l l 2 + ，i l y l l 2 一酬k y l l 2 。 定理2 ：设e h i l b e r t 空间，k t - 日是非空闭凸集， t j 是n z f f k 中严格渐进伪 压缩一致三彩自映射，具有序列缸。k k 织) ，轨 是f o ，l 】中三个非负实数序列，满足 口。+ 成+ v 。= 1 ； 成。0 ，v 。 0 。所以，当”充分大时， 赢 2 ，所以以= 南十盟1 - f 1 ( 1 + u 。) 刈， 于是，( 1 5 ) 式成为 怫一p l l 2 ( 1 + 民) 慨。一p l l 2 一( 1 - 五) 风h 一，一露矗r + 2 7 。m 2 也有 慨一p 雌( 1 + 艿。) 峙- p l l 2 + ( 1 6 ) 其中盯。= 2 y 。m 2 ，占。 y 2 u 。 + 。， 佃。所以，由引理1 极限l i m 慨一p 0 存在。设k - p l l m ，则 悟。一p | | 2 肛。一p 4 2 一( 1 一五) 成怫一，一露z 。+ 一， ( 1 7 ) 其中屯：8：+盯。两边移项并取和可得m 1 0 2 1 、正文：h i l b e r t 空间的情形 ( ，一2 ) 善卢，i i x ，；，一夥x ，t 1 2 i i x ，一p i l 2 + 砉 + o 。 ( s ) 由喜卢。= + 。和( 1 8 ) 式，可知熙恃一一露4 2 。以下证明同于定理1 的后半部分。 我们将其略去。 注2 ：若在定理2 结论的基础上，加上半紧条件也可以得出定理1 相应的结果。 河北大学理学硕士学位论文 _ i i fi i i i i ii i 2 2 、一般b a n 口c h 空间中的情形 引理s ( 见 1 0 ) 设盖是b a n a c h 空间，鼹j x t v x ，y x ，有 1 1x + y l l 2 - n 2 + 2 ( 刈r ( x + ) ) 其中_ ， + y ) ， + y ) 为对偶映射。 引理6 ：设e 是实肋”d 曲空间，k c e 为非空闭凸子集。亿 ；! ：1 是个k 中严格渐 n 进伪压缩三荜栅 尬自映射，_ r e = n r ( r a 巾，缸。 c o ，l 】是一实数列，满足 i = 1 ( i ) e ( 1 一口。) = 0 0 ( i i ) ( 1 - 。) 2 0 0 ； ( i i i ) 五 0 。 x nn p | | 2 t = j 乏赢i x , ，_ l - p l l 2 一t = 主i l i x 。一一露x 。1 1 2 ：，+坠掣黑k。叫1一2 ( 1 一口) ( 1 + “* ) j “ 一叠箬等111 稚，一砰耶 一2 ( 1 一口。) ( 1 + “m ) “ 兰l1 + 去( 1 q ) ( 1 - o + 2 u , d l x , - p l l 2 埘( 1 飞) q 1 1 稚，一砰埔 邓蝎) i i x n _ 1 - - 圳2 一害( 1 删2 ( 1 飞) k 。一砰_ 1 1 2 ( 1 9 ) 其中盯。= ( 1 一t 2 。) ( 1 - - ( 2 。+ 2 u m ) ，而 l 吒： ( 1 一口。) 2 + 2 “。( 1 一) 】 k 1 一盯。) 2 + 2 “。 ， 所以，善 。由引理1 知! 骢慨一p 4 存在且 i i x 。- p l i ( 1 + 盯。) j i i x 。一。- p l i 蔓( 1 + 仃。) l 忙。一pl l 于是d ( x n ) f ) ( 1 + 盯。) d ( x ，f ) ，再由引理1 。l i m d ( x , ，) 存在。设慨一p l l 2 蔓m ，则 由( 1 9 ) 式有 i+ay，耋p川h一才x，ii-iixw-pll2+m蚤nn4-j = n ， ( 2 0 ) j 土l + j 又( 1 一口。) = o 。，而由( 2 0 ) 式可知) 9 x n _ i - - t f f x n l l 2 + 。所以，必有 1 哩笋怫一，一露矗0 = o 。再由怫一露矗8 = 6 x n _ 1 - - 露矗又知l i 罂够怫一砰睁o 。 于是，同于定理1 的证明可得出l i r ai n f x 。一l x 。睁0 。 定理3 ：设e 是实b a n a c h 空间，k c e 为非空闭凸子集， t 。n 。1 是个五中的严格 河北大学理学硕士学位论文 _ _ 皇| 日墨_ i i 囊- n 渐进伪压缩，l i p s c h i t z 自映射，使得f = n f ( 互) 。，p 。 c o ，1 】，满足 o - a 。) = m ( i i ) ( 1 一) 2 o o ( i i i ) ”畦 栅 k i v x 。k ，b 。 是由以下隐迭代过程矗= 口。z 。+ ( 1 一口。) 露x 。竹1 得到的序列，则 扛。 强收敛于亿 当的公共不动点p f 的充要条件是! 姥d ( x n , f ) = 0 。 证明：若扛。 强收敛于 t , n ；的公共不动点，则! 嗵i i x 一p l i = 0 。而 o s d ( x 。，f ) - 0 ，j 自然数。使得 d ( f ) 詈，竹0 又由引理的证明过程知妻n = 1 6 + 。，郎3 自然数l ，使得喜， n - ) a 又由引理的证明过程知 + 。，即自然数l ，使得， - ) a 取= m a x ( n o ，1 ) ，则对m ，n n 和p f ，由( 2 0 ) 式，有 i i x 。一k i x 。- p l l + l l x 。- p l l m - l l x 。一p l i + m 盯，+ l 卜。一p | | + m 仃， j = n + i = n + i s 2 1 1 x - p 0 + 2 m 盯j ( 2 1 ) j = n 取对所有p f 的下确界，则 l l x ，：x 1 l 2 d ( h ，f ) + 2 m j 妻= n 盯， 了2 e + 2 4 m 肘e = 占 ( 2 2 ) 即扛。 是c 缸们砂列，再由空间的完备性，燃l i m x 。= “。 下面我们说明对每一正( j ，) ，( 互) 是闭的。事实上，若p 。f ( 霉) p 。_ p ， 2 1 、正文：一般b a m e h 空间的情形 t _ ii i i i i i ii ii ii i 有 i i p - v ：l i - 1 1 t 一p ，i i + f l p 。一z p | | = l i p p 。i i + f , p 。一l p 9 ( i + l ) i i p - p t 一0 ( n 寸。) 即p 尸( 互) ，f ( 王) 是闭的。f = n f ( z ) ，即f 也是闭的，而! 魏d ( 矗，d = 0 ，我们必 i 一1 可得出“e f 。 河北大学理学硕士学位论文 _ - _ - _ - _ 嘲蜘_ - _ _ _ _ _ 鼍墨_ i _ - _ _ i - - _ _ - - _ 一一_ _ _ _ _ 3 、结论 本文分别在脚晒p 玎空间和一般b a n a c h 空间中研究了严格渐近伪压缩自映象族的隐 迭代过程的收敛性问题，通过一系列引理证明了以下三个主要结果。这些结果丰富和发 展了非线性方程的迭代法。 定理1 ：h ；是h i l b e r t 空间，k c h 是非空闭凸集，亿 。n 是k 中n 个一致 工扯艚如汜严格渐近伪压缩自映象，即对每一存在缸。 ，“。0 ，l i m = 0 ，及 ( o ，1 ) 使得 1 1 1 x - z “y 1 2s ( 1 + “。) i k y1 1 2 + 丑| l ( ，一i ”) x - ( i z ”) y l l 2 ， ( 9 ) 若f ：= n ：j f ( z ) o ，其中f ( z ) 是正的不动点集，且存在丁协 ：，是半紧映象， x o k ，缸。 c ( s ，1 一j ) ，j ( o ，1 ) “。 + m ，则由以下隐迭代法 n 1 1 x 。= g n 并。一1 + ( 1 一盘。) 群x 。， = ( k - 1 ) n + i ，i j = 1 ，2 ，n ) 得到的序列x 。 强收敛于亿 ；：，的公共不动点p f 。 定理2 ：设e 是h i l b e r t 空间，k c h 是非空闭凸集，留 是个五中严格渐进伪 压缩一致三f p 自映射，具有序列如。k 扛。l 成) ， v 。 是 o ，1 】中三个非负实数序列，满足 口。+ 鼠+ v 。= 1 ； 成0 ，v 。 佃； h - 1 v 。； 女t 1 设。k ，由上述( 1 3 ) 式定义的带误差的隐迭代序列得到的阪 满足 熙恢一互l l = 0 。( ，) 定理3 ：设e 是实占口”甜 空间，k c e 为非空闭凸子集，亿 ：。是个k 中的严格 3 、结论 _ i l li _ - - _ _ - _ _ _ _ _ _ _ - _ _ - 渐进伪压缩，l i p s c h i t z 自映射，使得f ：n nf ( 正) 。，缸。) 匕【o ，l 】，满足 ( i ) ( 1 - a 。) = o o ； ( i i ) ( 1 口。) 2 。 ( i i i ) “* 佃 k = l 溉。k ，扛。 是由以下隐迭代过程矗= x 。+ ( 1 一口。) 群屯门2 1 得到的序列，则 扛。 强收敛于讧出n 的公共不动点p f 的充要条件是l i m d ( x 。，f ) = 0 。 河北大学理学硕士学位论文 - _ _ _ _ _ - _ _ - _ _ _ 晴_ _ - _ 蕾_ _ _ _ _ _ 二；二_ _ 墨墨_ _ _ - _ - _ - 固嘲- 4 、参考文献 1 】j b d i a z ，f t m e t c a l f , o nt h es t r u c t u r eo f s u b s e q u e n t i a ll i m i tp o i n t so f s u c c e s s i v e a p p r o x i m a t i o n s b u l l a m o rm a t h s o c ，( 1 9 6 7 ) 7 3 ，5 1 6 - 5 1 9 f 2 k g o e b e t ，w a k i r k af i x e dp o i n tt h e o r e mf o r a s y m p t o t i c a l l yn o n e x p a n s i v e m a p p i n g s ，p r o c a n e t m a t hs e e ，( 1 9 7 2 ) 3 5 ，1 7 1 1 7 4 3 z h a o h o n gs u n ，s t r o n gc o n v e r g e n c eo fa ni m p l i c i ti t r a t i o np r o c e s sf o raf i n i t ef a m i l yo f a s y m p t o t i c a d i yq u a s i n o n e x p a n s i v em a p p i n g s ，j , m a t h a n a l a p p l ( 2 0 0 3 ) 2 8 6 ，3 5 1 3 5 8 4 c e c h i d u m e ，c o n v e r g e n c et h o r e m sf o ra s y m p t o t i c a l l yp s e u d o c o n t r a c t i v em a p p i n g s n o n l a n a l t m a ( 2 0 0 2 ) 4 9 ，1 1 1 5 1h - k x u , r g o r i ，a ni m p l i c i ti t e r a t i o np r o c e s sf o r n o n e x p a n s i v em a p p i n g ， n u m e r f u n c t a r i a o p t i m ( 2 0 0 1 ) 2 2 ，7 6 7 7 7 3 6 】m o o s i l i k ea n dd i i g b o k w e ，w e a ka n ds t r o n gc o n v e r g e n c et h e o r e m sf o rf i x e dp o i n t so f p s e u d o c o n t r a c t i o n sa n ds o l u t i o n so f m o n o t o n et y p eo p e r