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第二十二章曲面积分习题课一 疑难问题与注意事项 1.第一型曲面积分的计算方法：答 1）先把的方程代入，再利用为的表面积；例如其中为柱面被平面所截取的部分；解 .2)利用公式（1）设有光滑曲面，为上的连续函数，则注 一投-将曲面向面投影得；二代-将代入到中；三变换-变成.（2）类似地，如果光滑曲面由方程，则 ，其中表示曲面在面上的投影（3）如果光滑曲面由方程，则其中表示曲面在面上的投影3)利用对称性（1）若曲面关于坐标面对称，为上的连续函数，为位于上部的曲面，则（2）若曲面关于坐标面对称，为上的连续函数，为中的那部分曲面，则（3）若曲面关于坐标面对称，为上的连续函数，为中的那部分曲面，则（4）若积分曲面关于具有轮换对称性,则有2.第二型曲面积分的方法：答 1）公式：（1）设是定义在光滑曲面 上的连续函数， 以的上侧为正侧，则有 注一投-曲面向面投影得；二代-将代入到中；三定向看的法线方向与轴的夹角，若夹角为锐角，则为正，否则为负（2）类似地，当在光滑曲面上连续时，有 这里是以的法线方向与轴的正向成锐角的那一侧为正侧，（3）当在光滑曲面上连续时，有 这里是以的法线方向与轴的正向成锐角的那一侧为正侧 2）若，则 3）高斯公式注 高斯公式的适用条件是：1）函数，在上具有一阶连续的偏导数2）封闭，若不封闭需要补面，让它封闭，假如补面后封闭，则有3）取外侧；如果取内侧，则取外侧，则有 3.各种积分间的联系第一型曲线积分二重积分第二型曲线积分 格林公式 斯托克斯公式 三重积分第一型曲面积分积分第二型曲面积分面积分 高斯公式 二 典型例题1.计算第一型曲面积分，其中是上半球面，解 把向面投影得 注 ，因为关于轴对称，且奇 2.计算曲面积分，其中是球面解： 球面关于,具有对称性， = 3计算曲面积分，其中是旋转抛物面介于平面及之间部分的下侧解 补平面的上侧，则为封闭曲面，在其上应用高斯公式： 4计算第二型曲面积分，其中曲面为椭球面的上半部分，其方向为下侧解：为求 (取下侧)，只须求(取上侧)，那么为求，将与底面(其中是在坐标面上的投影)组成的封闭曲面记为，即，其中方向取上侧，方向取下侧设围成的区域为，由高斯公式：又由于，那么，从而 5计算，其中是上半球面的外侧解：曲面不封闭，补上曲面，取下侧6.，其中是单位球面的外侧解 7.求，其中是立方体的表面与平面的交线，取向从轴正向看去是逆时针方向解：可见交线若分为六段积分的计算量很大，且也不便于表示为一个统一的参数式，因为闭曲线，且，连续可微，故考虑用斯托克斯公式，令为被所围的一块，取上侧，则的取向与的取侧相容，应用斯托克斯公式得8.计算，
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