空间向量基本定理教案.doc

3.1.2空间向量基本定理教案一、教学目标：1知识目标：了解向量与平面平行的意义，掌握它们的表示方法。理解共线向量定理、共面向量定理和空间向量分解定理，理解空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表示，会在简单问题中选用空间三个不共面向量作为基底表示其他向量。会用空间向量的基本定理解决立体几何中有关的简单问题。2能力目标：通过空间向量分解定理的得出过程，体会由特殊到一般，由低维到高维的思想方法。培养学生类比、联想、维数转换的思想方法和空间想象能力。3情感目标：创设适当的问题情境，从生活中的常见现象引入课题，开始就引起学生的学习兴趣，让学生容易切入课题，培养学生用数学的意识，体现新课程改革的理念之一，加强数学与生活实践的联系。二、教学重点： 运用空间向量基本定理表示空间任一向量，并能根据表达式判断向量与基底的关系。三、教学难点：空间向量的分解作图，用不同的基底表示空间任一向量。灵活运用空间向量基本定理证明空间直线的平行、共面问题。四、教学过程1复习引入：在平面向量中，我们学习了平行向量基本定理、平面向量基本定理，请大家回忆一下定理的内容。（找同学回答）由上节课的学习，我们可以把平面向量的线性运算推广到空间向量，那么请大家思考：平行向量基本定理在空间中是否成立？结论在空间中也成立。这就是空间中的“共线向量定理”（板书并投影）注意：向量；是共线向量的性质定理，是空间向量共线的判定定理；2、问题探究：“向量与平面平行”的概念：如果向量的基线平行于平面或在平面内，就称平行于平面，记作。平行于同一平面的向量叫做共面向量。即可以平移到同一平面内的向量就是共面向量。探究1：空间中任意两个向量一定共面吗？为什么？探究2：空间中任意三个向量一定共面吗？请举例说明。探究3：如果空间中三个向量共面，它们存在怎样的关系？演示空间中三向量共面的情况，引导学生猜想。如果两个向量不共线，则与共面的充要条件是存在唯一的一对实数，使得。猜想的结论需要证明（提醒学生充要条件的证明要从“必要性”、“充分性”两方面进行）（屏幕展示证明过程）这就是共面向量定理：（板书并投影）注意：三个向量共面，又称三个向量线性相关，反之，三个向量不共面,则称三个向量线性无关。可用来证明四点共面问题。3、问题探究： 4、猜想探究：类比平面向量基本定理，引导学生猜想三个不共线向量如何表示空间中任一向量。通过演示课件引导学生猜想空间向量分解定理。空间向量的分解定理：如果三个向量、不共面，那么对空间任一向量，存在唯一的一个有序实数组，使得师：若猜想正确，则给出证明，若猜想不正确，先给出定理，再证明。板演证明：（存在性和唯一性两方面）唯一性用反证法证明：若另有不同于x,y,z的实数x1,y1,z1满足= x1+y1+ z1，则x+y+ z= x1+y1+ z1，即(xx1) +(yy1) +(zz1) =,又、不共面，则xx1=0，yy1=0，zz1=0，所以x,y,z是唯一的实数。这样，就把平面向量的基本定理推广到空间向量的基本定理。6、深化探究：表达式叫做的线性表达式，或线性组合；相关概念：其中、叫做空间向量的一个基底，、都叫做基向量。牛刀小试：（对于空间向量的基底、的理解）提醒学生注意：空间任意不共面的三个向量都可以作为向量的基底，基底不唯一；三个向量不共面，隐含它们都是非零向量；基底是一个集合，一个向量组，基向量是基底中的某一向量。通常选择共点不共面的三个向量作为空间向量的基底。若、是空间向量的一个基底，则由这三个基向量还能生成其它的基底。引导学生举例说明，结果不唯一，通过思考培养学生的发散思维。如: +、+、+；2+3、4、等构成向量的基底。C1ABCDA1B1D1思考：在= x+y+ z中，特别地，当x=0,则与、共面；若y=0，则与、共面；若z=0，则与、共面。当x=0, y=0时，与共线；当x=0, z=0时，与共线；当y=0, z=0时，与共线.这说明每一次维数增加了，高维数的定理不但发展了低维数的定理，并包含了低维数的结论，使得原来的定理仍适用，这种发展是继承的发展，是合理的发展。7例题例1已知平行六面体中，设= ，=，=， 试用用基底、表示以下向量：（1），（2），（3）（4）这是空间分解向量定理的直接应用，选定空间不共面的三个向量做基底，并用它们表示出指定的向量，是向量解决立体几何问题的一项基本功。解题时要结合已知和所求观察图形，联想相关的运算法则和公式等，表示所需向量。8课堂练习：C1ABCDA1B1D1已知平行六面体中，设= ， =，=， 试用用基底、表示以下向量：（1），（2），（3）（4）9课堂小结：引导学生从数学知识和思想方法两方面进行小结。10课后作业：必做：课本85页练习B：1 2 3思维训练：1有下列4个命题：若P、M、A、B共面，则xy. 若p与a、b共面，则pxayb；若xy，则P、M、A、B共面； 若pxayb，则p与a、b共面；其中真命题的个数是()A1 B2 C3 D42如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若a，b，c，则下列向量中与相等的向量是()Aa