（机械电子工程专业论文）th5632c型立式加工中心曲面加工计算机辅助编程.pdf

西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 摘要 本文以实现在小型三坐标二联动立式加工中心t h 5 6 3 2 c 上加工曲面的 计算机辅助编程为目的。对于二轴联动的数控加工中心，实现加工曲面的方 式一般是采用球头铣刀，通过把曲面剖切成平行于某轴的平面曲线，再用直 线、圆弧、抛物线去拟合该平面益线，最终对每一条曲线加工集合成曲面。 结合国内外的应用现状，论文综合分析了在数控加工中，用直线段及圆 弧段来拟合和逼近非圆曲线及列表曲线的常用处理方法及算法，在此基础上， 对于平面非圆曲线的加工预处理，提出用等误差直线逼近非圆曲线的近似算 法逐点逼近法、伸缩步长法；雨对于列表曲线的加工预处理，则先采 用累加弦长三次参数样条曲线拟合列表曲线，再以双圆弧来逼近三次参数样 条曲线，最终求得列表曲线的节点坐标。在满足加工精度和实时性要求的条 件下，本文采用c 语言实现上述算法。 论文的开始对数控编程中数值计算的内容和要求作了简要介绍，其中节 点坐标数据的计算是数值计算中最烦琐、最复杂的计算。逼近误差占6 。以 及加工实时性要求是针对任何平面轮廓曲线寻找其最佳的节点算法的重要依 掘和必要条件。 用直线段逼近非圆曲线的算法总体来说有以下三种，即：等间距法一使 每段逼近直线在x 轴上的投影相等；等弦长法一使每段逼近直线的长度相等： 等误差法一使每段逼近直线与轮廓曲线的最大误差相等。本文用c 语言实现 了以上算法的计算机程序，该程序可完成抛物线，椭圆和双曲线三种常用曲 线的计算机插补节点计算，同时给出使用说明。 用圆弧段逼近非圆曲线，目前常用的方法有曲率圆法，三点圆法和相切 圆法等。本文主要探讨采用双圆弧法逼近非圆曲线，并给出其算法流程。 对于列表曲线，本文采用三次参数样条函数对列表曲线进行第一次拟合， 然后用双圆弧样条进行第二次逼近的算法，并用c 语言结合实例给出了计算 程序和计算结果。 本文还通过旋转曲面零件的数控；b nq - 实践，对三坐标联动加工时直线插补 步长、行距及球刀半径的选择进行了探讨。 关键词数控加工；曲线拟合；立式加工中心；c 语言；球头铣刀 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 i 页 a b s t r a c t t h et h e s i sa i m st od e s i g nt h ec o m p u t e r - a i d e dp r o g r a mf o rt h ec u r v e df a c e m a c h i n i n gb a s e d o nt h es m a l lt h r e ec o o r d i n a t ea x e sv e r t i c a lm a c h i n ec e n t e r i nt h e t w oa x e sl i n k e dn u m e r i c a lc o n t r o lm a c h i n ec e n t e r ，t h es p h e r i c a lc u t t e ri s f i r s t l y u s e dt os u b d i v i d et h ec u r v e df a c et oa p l a n ec u r v et h a ti sp a r a l l e lt oo n ea x i s t h e n t h el i n e ，t h ea r ca n dt h ep a r a b o l aa r ea d o p t e dt of o r maf i t t e dc u r v e f i n a l l y ，t h e c u r v e df a c ei sa g g r e g a t e db ye a c hc u r v e b a s e do nt h ea n a l y s i so ft h ep r e s e n td o m e s t i ca n do v e r s e a ss i t u a t i o n ，t h e t h e s i sd i s c u s s e st h en o r m a lt e c h n i q u e sa n da r i t h m e t i co ff i t t i n ga n da p p r o a c h i n g n o n c i r c u l a r i t yc u r v e sa n d t a b u l a t ec u r v e sb yl i n ea n da r ci nt h en u m e r i c a lc o n t r o l m i l l i n g f o rt h ep r e t r e a t m e n to ft h ep l a n en o n c i r c u l a r i t yc u r v e ，t h et h e s i st h e n p o i n t s o u tt h e a p p r o x i m a t e a r i t h m e t i co f n o n c i r c u l a r i t yc u r v e ，n a m e l y t h e p o i n t t o p o i n ta p p r o a c h i n g a n dt h ef l e x i b l es t e p sm e t h o d ，b yu s i n ge q u a le r r o rl i n e a p p r o a c h i n g w h i l ef o rt h ep r e t r e a t m e n to f t h et a b u l a t ec u r v e s ，t h ef i r s ts t e pi st o a p p r o a c ht a b u l a t ec u r v e sw i t ha c c u m u l a t i n gc u b ep a r a m e t e rs t y l ec u r v e s t h e n t h e d o u b l e a r ci sa d o p t e dt of i tt h ec u b ep a r a m e t e rs t y l ec u r v e f i n a l l yt h ec o o r d i n a t e o fn o d e so nt h et a b u l a t ec u r v ei s c a l c u l a t e d m e e t i n gt h er e q u i r e m e n to fc u t a c c u r a c ya n dr e a l t i m ec o n t r o l ，t h et h e s i sa i m sa ta c h i e v i n gt h ea b o v ea l g o r i t h m w i t hcl a n g u a g em e a n w h i l e ，t h es u m m a r yo f t h ea d v a n t a g e sa n dd i s a d v a n t a g e s o fe a c ht h ea l g o r i t h ml a y st h ef o u n d a t i o nf o ri t si m p l e m e n t a t i o ni nt h en u m e r i c a l c o n t r o ls y s t e ma n dp l o t t i n gs y s t e m t h e r e f o r e ，t h et h e s i sh a sb e e no r g a n i z e di nt h ef o l l o w i n gw a y f i r s t l v ，i t w i l ls u m m a r i z et h e c o n t e n t sa n d r e q u i r e m e n t s o fn u m e r i c a l c o m p u t a t i o n i nt h en u m e r i c a l p r o g r a m ，i n w h i c ht h ec a l c u l a t i o no fn o d e s c o o r d i n a t i o nm a yb et h em o s tc o m p l i c a t e d t h ea p p r o a c h i n ge r r o r6 6aa n d t h er e a l t i m ec o n t r o la r ei m p o r t a n ta n dn e c e s s a r yd u r i n gt h es e l e c t i o no fo p t i m u m n o d e sa l g o r i t h mf o rc o n f i g u r a t i o n t h e r ea r et h r e ea l g o r i t h m si nt h ea p p r o a c h i n gn o n c i r c u l a r i t yc u r v ew i t hl i n e ， n a m e l yt h ee q u a li n t e r v a la l g o r i t h m ，t h ee q u a la r ca l g o r i t h ma n dt h ee q u a le r r o r a l g o r i t h m i n t h et h e s i s ，t h ec o m p u t e rp r o g r a m s o ft h e s e a l g o r i t h m s w i l lb e r e a l i z e dw i t hcl a n g u a g e f u r t h e r m o r e ，t h e s ep r o g r a m sc a nr e a l i z et h ec o m p u t e r 西南交通大学硕士研究生学位论文第i 页 h y p e r b o l a t h e r ea r ea l s ot h r e e a l g o r i t h m s i nt h e a p p r o a c h i n gn o n c i r c u l a r i t y c u r v e w i t ha r c ，n a m e l yt h ec i r c u mf l e x i o na l g o r i t h m ，t h et h r e e - p o i n tc i r c l em e t h o da n d t h e t a n g e n c y c i r c l e a l g o r i t h m i nt h et h e s i s ，t h e d o u b l e a r ca l g o r i t h ma n di t s f l o w c h a r tw i l lb em a i n l yd i s c u s s e di na p p r o a c h i n gn o n c i r c u l a r i t yc u r v e f o rt h et a b u l a t ec u r v e ，t h ec u b ep a r a m e t e rs t y l ec u r v ew i l lb ef i r s t l ya d o p t e d t of i tt h ec u r v e t h e nt h ed o u b l e a r c s t y l e c u r v ew i l lb ei m p l e m e n t e d t h e c o m p u t e rp r o g r a ma n dt h er u n n i n gr e s u l t sw i t hcl a n g u a g ew i l l b ei n c l u d e di n t h i ss e c t i o nb a s e do ne x a m p l e s f i n a l l y ，t h et h e s i sw i l ld i s c u s st h es e l e c t i o no fs t e pl e n g t h ，s t r i n gs p a c e a n d r a d i u so fs p h e r i c a lc u t t e ri n t h et h r e ec o o r d i n a t ea x e sa n dt w oa x e sl i n k e d m a c h i n i n gc e n t e rb a s e do nt h ep r a c t i c eo fn cm a c h i n i n gf o rr e v o l u t i o ns u r f a c e p a r t s k e y w o r d s n u m e r i c a lc o n t r o lm a c h i n i n gc u r v ef i t t i n g ： v e r t i c a lm a c h i n ec e n t e r ；cl a n g u a g e ；s p h e r i c a lc u t t e r 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 第1 章绪论 1 1 课题的提出及意义 随着科学技术的迅猛发展，数控机床、柔性加工单元( f m c ) 、柔性制造 系统( f m s ) 、敏捷制造系统( a g i l em a n u f a c t u r i n gs y s t e m ) 、计算机集成制造 系统( c i m s ) 等先进制造系统相继问世。这些制造系统给原有的生产方式和 组织方式带来了巨大的变革。数控机床作为这些先进制造系统中不可或缺的 核心设备，起着越来越重要的作用，它能很好的解决现代制造业中复杂、精 密、批量小、变型快的零件加工问题，同时能稳定加工质量，提高生产率， 降低成本。因而，数控机床作为一种高效柔性自动化设备已越来越受到关注， 它集中的体现了现代制造技术，计算机技术，微电子技术，自动控制技术， 精密检测技术的最新成就。 现代数控机床是通过数字化的代码编制的数控加工程序去完成工件加工 的自动化机床。理想的加工程序不仅应保证加工出符合图纸要求的合格工件， 同时应考虑使数控机床的性能得到合理和充分的发挥，以满足其安全、可靠、 高效的工作要求。 因此，数控加工程序的编制是完成数控加工的前提条件，编程的效率和 质量对于缩短制造周期，保证加工质量有着重要的意义。有实践表明：在 c a d c a m 、c i m s 等系统中，数控编程是最具效益的技术环节之一，由于数 控编程的不及时而造成的停机约占2 0 3 0 。可见，数控编程的效率直接影 响到数控技术的应用和发展，进而影响未来制造业的自动化、集成化、柔性 化，由此，开发效益高、质量好的编程系统一直是人们追求的目标。数控自 动编程系统从出现至今，已经过好几代的发展：a p t 语言系统及其后续发展、 交互式的图形编程系统等，随着计算机技术和信息处理技术的深入，数控自 动编程系统正向着通用化、集成化、智能化方向发展。 但数控编程能力与生产的不匹配在国内数控技术的应用中仍是一个瓶 颈，数控加工技术的高效性和先进性与冗长繁复、效率低下的数控编程之间 的矛盾依然尖锐。许多企业在引进数控设备时并未引进数控自动编程系统， 而是依靠手工编程，因此在走刀路线的计算上投入了大量的人力、物力。在 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 页 一般中低档的数控机床上，数控系统只具备直线插补和圆弧插补功能，也就 是说对于直线和圆弧以外的曲线( 非圆曲线及列表曲线) ，只能以直线段或圆段 来拟合和逼近。而在现代制造业中，由于产品本身的要求以及多样化的发展， 由非圆曲线及列表曲线构成轮廓的零件比重越来越大，如凸轮、模具、叶片、 机翼等，其轮廓都不是由简单的直线、圆弧构成。尤其在三坐标二联动的数 控加工中心上，其实现加工曲面的方式一般是采用球头铣刀，通过把曲面剖 切成平行于某轴的平面曲线，再用直线、圆弧去拟合该平面曲线，最终对每 一条曲线加工集合成曲面。 如何在数学描述和数控加工这两者之间达成对轮廓逼近的一致，也即数 控加工的数据预处理问题因此而显得尤为关键，本文就是针对这一课题进行 讨论和研究。 对零件图形进行数学处理，也即数值计算，是编程前的主要准备工作之 一，不但对手工编程来说是必不可少的工作步骤，即使在计算机自动编程系 统中，也经常需要对工件的图形轮廓进行数学预处理，才能对有关元素进行 几何定义。 数值计算的目的就是对非圆曲线及列表曲线进行预处理，在误差允许条 件下，用直线段或圆弧段对其进行拟合逼近。对于直线段逼近，只需求出所 有的节点。对于用圆弧段逼近，除需求出节点外，还需求出各逼近圆弧段的 半径或圆心坐标，以便使用这些数据进行加工程序的编制，在满足精度条件 下，完成对零件的加工。 综上所述，数值计算方法一一这一基础、而又核心的问题的研究是非常 有意义的，也是非常必要的，它越来越成为融合数控编程能力与机床插补功 能的桥梁。 复杂曲面零件的数控编程是当今数控加工和编程技术的关键问题。一般 说来三轴及以上的数控加工可以解决任何复杂的曲面零件的加工，多坐标加 工复杂曲面的问题包括：复杂曲面、曲线的数学表示，数控加工刀具轨迹生 成算法，刀位计算及验证，刀具轨迹编辑刀具补偿等。刀具轨迹的生成算 法是曲面加工的基础和关键，它的主要问题包括：插补算法、走刀方式、进 退刀方式、残留高度对行距的影响等。本文也将对这些问题进行探讨。 1 2 课题来源及主要研究内容 本课题来源于成都理工大学先进制造技术基地为更好的在一台三轴二联 西南交通大学硕士研究生学位论文第3 页 动数控加工中心t h 5 6 3 2 c 上开展教学，而进行的计算机辅助编程方面的开发。 由于节点坐标的计算复杂，用计算机求解，则更为方便。根据算法需要，本 文选择c 语言作为开发语言。 1 2 1t h 5 6 3 2 c 型立式加工中心简介 t h 5 6 3 2 c 型立式加工中心( 图1 1 ) 是成都理工大学金工实习基地于2 0 0 1 年从大河机床厂引进的重点数控设备，它采用f a n u c 公司生产的o m c 系统。 t h 5 6 3 2 c 立式加工中心 v er t i c a lm a c h i n ec e n t erm o d e lt h 5 6 3 2 c 幽1 - 1 机床外观蚓 主要技术参数如下： 工作台面尺寸 工作台t 型槽宽槽数 工作台左右行程( x 轴) 工作台前后行程( v 轴) 主轴箱上下行程( z 轴) 主轴端面距工作台面 主轴锥孔 主轴转速( 标准型高速型) 主轴驱动电机 进给驱动电机( x 、y 、z 轴) 1 0 0 0 m m 3 2 0 m m 1 8 m m x3 7 5 0 m m 4 0 0 m m 4 7 0 m m 1 8 0 m m 5 0 0 m m b t 4 0 2 2 5 2 2 5 0 4 5 4 5 0 0 r m i n 交流电机5 5 7 5 千瓦 交流伺服电机1 4 千瓦 西南交通大学硕士研究生学位论文第4 页 快速移动速度 进给速度( x 、 刀库容量 选刀方式 最大刀具尺寸 最大刀具重量 刀库电机 工作台允许负载 钻孔能力 镗孔能力 铣削能力 机床重量 占地面积 1 5 m m i n 1 0 m m i n 1 4 0 0 0 m m m i n 2 5 任选 毋8 0 m m x3 0 0 m m 8 公斤 交流电机0 3 7 千瓦 5 0 0 公斤 m 2 4 m m 庐8 0 m m 1 0 0 c m 3 m i n 6 5 0 0 公斤 2 5 0 0 m m x2 1 5 0 m m 图1 - 2 机床数控柜 1 2 2 本课题的主要研究内容 本文的主要内容包括以下几个方面： ( 1 ) 简单介绍数值计算的含义，内容及要求，给出平面轮廓曲线寻找其最 轴 的。郴确 “ = 西南交通大学硕士研究生学位论文第5 页 佳节点算法的重要依据和必要条件。探讨用直线段逼近非圆曲线的三种算法， 即：等间距法一使每段逼近直线在彳轴上的投影相等；等弦长法一使每段逼 近直线的长度相等：等误差法一使每段逼近直线与轮廓曲线的最大误差相等。 本文用c 语言实现了以上算法的计算机程序，该程序可完成抛物线，椭圆和 双曲线三种常用曲线的计算机插补节点计算，同时给出程序使用说明。 ( 2 ) 探讨用圆弧段逼近非圆曲线常用的方法：曲率圆法，三点圆法和相切 圆法等。本文主要采用双圆弧法逼近非圆曲线，并给出其算法流程。 ( 3 ) 对于列表曲线，本文采用三次参数样条函数对列表曲线进行第一次拟 合，然后用双圆弧样条进行第二次逼近的算法，并用c 语言结合实例给出了计 算程序和计算结果。 ( 4 1 探讨曲面加工刀具轨迹的以下三种主要计算方法：参数线加工方法、 截面线加工方法、投影线加工方法。特别针对二轴联动的t h 5 6 3 2 c 型数控加 工中心，提出采用截面线加工方法，文中还对此方法的实现步骤、行距选择 方法、步长选择方法、球刀误差影响等问题做出详细说明。 西南交通大学硕士研究生学位论文第6 页 第2 章非圆曲线的逼近算法 2 1 数值计算的概述 2 1 1 数值计算的内容 根据零件图样，按照已确定的加工路线和允许的编程误差，计算数控系 统所需输入的数据，称为数控加工的数值计算，它主要包括节点坐标的计算 和基点坐标的计算。 节点的计算将组成零件轮廓的曲线，按数控系统插补功能的要求，在 满足允许的编程误差的条件下进行分割，即用若干直线段或圆弧段来逼近给 定的曲线，逼近线段的交点或切点即称为节点。如图所示，图2 一l 为用直线段 逼近非圆曲线的情况，图2 2 为用圆弧段来逼近非圆曲线的情况。 y 图2 - 1图2 2 基点的计算一个零件的轮廓往往是由许多不同的几何元素所组成，如直 线、圆弧、二次曲线及阿基米德螺线等，各元素间的连接点称为基点。基点 的计算在数值计算中是必不可少的，但由于其一般比较简单，在本文中不作 为讨论对象。 上述可知，节点坐标数据的计算是数控数值计算中最烦琐最复杂的计算， 手工编程时，在完成工艺分析和确定加工路线以后，数值计算就成为编制程 序中一个关键的环节( 除了点位加工这种简单的情况外) 。为了提高工效，降 低出错率，最有效的途径是采用计算机辅助完成坐标数据的计算，或直接利 用自动编程系统。计算机的出现和发展为辅助数控编程领域提供了快速可靠 的工具，并使它们有机地结合在一起，解决了人工大量复杂的计算工作。也 一 西南交通大学硕士研究生学位论文第7 页 一一一_ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ - _ _ - - - - _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，_ _ _ 一 使非圆曲线的数控编程速度成倍地提高，缩短了技术准备工作的周期。 2 1 2 数值计算的要求 ( 1 ) 逼近误差艿以 评价逼近误差时，通常用曲线上偏离逼近直线或圆弧最远的点到直线或 圆弧的距离( 即最大偏差j ) 评价逼近误差的大小，从而判别直线段或圆弧段逼 近曲线的程度。 编写程序时，应按节点划分程序段。逼近线段的近似区问愈大，则节点 数目越少，相应的程序段数目也会减少，但逼近线段的误差占应小于或等于编 程允许误差民，即占巧。 考虑到工艺及计算误差的影响，占+ 一般取零件误差的l 5 l i 0 。 ( 2 ) 加工实时性要求 由于运行程序所得的节点结果需立即送入数控机床的控制执行部件，即 要满足实时加工要求，所以需尽可能寻找简便的算法，以便于人工计算或计 算机程序的编制，及时得到节点坐标数据。 逼近误差占占。以及加工实时性要求是针对任何平面轮廓曲线寻找其最 佳的节点算法的重要依据和必要条件。 2 1 3 数值计算过程 由于目前一般的数控系统都具有直线，圆弧的插补功能，因此对于非圆 曲线及列表曲线等的数控加工，只能以直线或圆弧来进行拟合。 数控加工中把除直线与圆弧外可用数学方程式来表达的平面轮廓曲线称 为非圆曲线。其数学表达式可以是以y = f ( x ) 的直角坐标形式给出，也可以是 以参数方程的形式给出的，通过坐标变换，后两种形式的数学表达式，可以 转换成直角坐标表达式。这类零件的加工，以平面凸轮类零件为主，其它包 括样板曲线，圆柱凸轮以及数控车床上加工的各种非圆曲线为母线的回转体 零件等。其数值计算过程，一般可按以下步骤进行： ( 1 ) 选择插补方式。即首先决定是采用直线段逼近非圆曲线，还是采用圆 弧段来逼近。采用直线段逼近非圆曲线，一般数学处理比较简单，但计算的 坐标数据比较多，而且各直线段间连接处存在尖角，由于在尖角处刀具不能 连续地对零件进行切割，零件表面会出现硬点或切痕，使加工表面质量变差。 采用圆弧段逼近的方式，可以大大减少程序段的数目，其数值计算又分为两 种情况：一种为相邻两圆弧段彼此相交：另一种则采用彼此相切的圆弧段来 逼近非圆曲线。后种方法由于彼此相切，一阶导数连续，工件表面整体光 西南交通大学硕士研究生学位论文第8 页 滑，从而有利于加工表面质量的提高。采用圆弧段来逼近，其数学处理过程 比直线段逼近要复杂些。 ( 2 ) 确定编程允许误差民，编程时需保证占占+ 。 ( 3 ) 选择数学模型，确定计算方法。非圆曲线节点计算过程一般比较复杂， 目前生产中采取的算法也比较多，在决定采用何种算法时，主要考虑的因素 有两条： 尽可能按等误差的条件，确定节点坐标位置，以便最大程度地减少程 序段数目。 尽可能寻找一种简便的计算方法，以便于计算机程序的编写，及时得 到坐标数据。 ( 4 ) 根据算法，画出计算机流程图。 ( 5 ) 用高级语言编写程序，上机调试，并获得节点坐标。 2 2 直线段逼近非圆曲线方法 用直线段逼近非圆曲线的算法种类比较多，但总体来说有以下三种，即： 等间距法一使每段逼近直线在x 轴上的投影相等；等弦长法一使每段逼近直 线的长度相等；等误差法一使每段逼近直线与轮廓曲线的最大误差相等。其 他方法多是在这几种基本方法上经改进而实现的。其算法的基本思想变化不 大。 2 2 1等间距直线段逼近方法 2 2 1 1 基本原理 等间距法就是将某一坐标轴划分成相等的间距，如图2 - 1 所示： 丫 o ，茯j 、 图2 。1等间距法节点计算 沿x 轴方向取x 为等间距长，根据己知曲线的方程y = ，( x ) ，可由一求 得只，x ，+ 1 = x ，+ x ，y i + 1 = 厂( + ax ) 。如此求得的一系列点就是节点a 西南交通大学硕士研究生学位论文第9 页 出于要求曲线y = f ( x ) 与相邻两节点连线间的法向距离小于允许的程序 编制允差占m ，x 值不能随意确定。一般先取ax = o 1 进行试算，实际处理 时，并非任意相邻两点间的误差都要运算，对于曲率半径变化较小处，只需 验算两节点间距离最长处的误差，而对于曲率半径变化较大处，应验算曲率 半径较小处的误差，通常可由轮廓图形直接观察确定校验的位置。 2 2 1 2 误差校验方法 如图2 一l ，设需校验m ? i 曲线段： m 点：( x 。，y 。，) ，”点：( x 。，_ y 。) 己求出， 则m ，n 两点的直线方程为： 盟：壶二叠 y y 。y m y n 令 a 2 y ，一，b 2 x 。- x 。，c 2 y 。x n x 。y 。 则 a x + 8 y = c 即为过m n 两点的直线方程，距m n 直线为j 的等距线m ”的直线方程可表 示如下： a x + b y = c 占彳2 + b 2 ( 2 - 1 ) 式中，当所求直线m t , l 在m 月上边时，取“+ ”号，在m n 下边时取“一”号，占 为m n 与m n 两直线间的距离。 联立方程求解： f a x + b y = c 万以可( 2 - 2 ) l y = 厂( x ) 求解时，j 的选择有两种办法，其一为取j 为未知，利用联立方程组只有 唯一解的条件，可求出实际误差占女，然后用j 女与民比较，以便修改i n i g 值； 其二为取占= j 。，若方程无解，则m n 与y = f ( x ) 无交点，表明占实氏。 2 2 。1 3 方法分析： 该方法的节点计算非常简单，但误差校验非常烦琐，且计算量大。用此 方法计算出的节点数据量大，所以很少采用。 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 0 页 2 2 2 等弦长直线段逼近方法 2 2 2 1 基本原理 等弦长法就是使每一个程序段的线段长度相等。如图2 - 2 所示， y 0 图2 2 等弦长法节点计算 由于零件轮廓曲线y = f ( x ) 的曲率各处不等，因此首先应求出该曲线的最 小曲率半径r m m ，由r 。及奴确定允许步长f ，然后从曲线起点d 开始，按等 步长，依次截取曲线，得口，b ，c ，点，则a b c d- 一，即为所求各直线段。 2 2 2 2 计算步骤 ( 1 ) 求最小曲率半径r 。设曲线为y = 厂( z ) ，则其曲率半径为 n ( 1 + y ，2 ) 川2 “一厂 取dedx=0 即3 y y “一( 1 + y “) y 4 = 0 据y = ，( x ) 依次求出，_ y ”，y ，代入上式即得r 一。 ( 2 ) 确定允许步长，。以r 为半径作的圆弧如图2 - 2 所示，由几何关系知： r _ f = 2 r 。2 一( r m m 一占允) 2 “2 、瓯 ( 2 _ 3 ) ( 3 ) 求出曲线起点日的坐标( x 。，y 。) ，并以该点为圆心，以，为半径，所得圆 方程与曲线方程y = 厂( x ) 联立求解，可求得下一个点b 的坐标( ，y 。) ，再以b 点 为圆心进一步求出c 点，直到求出所有节点。 求解方法 f ( x x 。) 2 + ( y y 。) 2 = ，2 、 【y = f ( x ) ( 2 4 ) 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 1 页 可求出( x by 。) 。 可求出( t ，虬) 。 ( 2 5 ) 依次进行，即可求出所有节点。 2 2 2 3 方法分析 等弦长法直线逼近节点计算的原理简单直观，但求解最小曲率半径r 。时 要求曲线二阶可导，另外计算出的节点数目与等间距法相比并没有减少。因 该方法较容易实现，在数控加工中应用较多。 2 2 3等误差法直线段逼近方法 2 2 3 1基本原理 设所求零件的轮廓方程为y = f ( x ) ，如图2 3 所示，首先求出曲线起点a 的 坐标，以点a 为圆心，以以为半径作圆，再作与该圆和已知曲线公切的直线， 切点分别为p ( x 。，y 。) ，r ( x ，”) ，求出此切线的斜率；过点日作p r 的平行线交 曲线于b 点，再以b 点为起点用上述方法求出c 点，依次进行，这样就可求出曲 线上的所有节点。由于两平行线间距离恒为酥，因此任意相邻两节点间的逼 近误差为等误差。 2 2 3 2 等误差直线逼近节点的理论计算 已知曲线方程y = f ( x ) ，如图2 - 3 ： y 0 图2 - 3 等误差法节点计算 ( 1 ) 以起点口( 屯，y 。) 为圆心，莎= 氏为半径作圆其方程为 j i y y + r 砷八垆 ，、l 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 2 页 ( 工l ) 2 + ( y 一虬) 2 = 石2 ( 2 ) 误差圆与曲线公切线p t 切线的斜率 k ：盟 x t xp 为求z ，y t ，x ，y ，联立方程： y t y fx ，一x d x l xp yp xo y = 石2 一( x p 一工。) 2 + y 。 生五：，( x ，) x f x p y ，= f ( x ，) ( 3 ) 求弦长口6 方程，使如的斜率为k ， ( 圆切线方程) ( 圆方程) ( 曲线切线方程) ( 曲线方程) 即拍平行与j p 丁，则础方程 y y o = k ( x x 。) ( 4 ) 与曲线方程联立，求出b 点坐标： j y 2 八列( 2 6 ) l y y 。2k ( x x a ) ( 5 ) 按上述步骤，顺次求得c ，d ，e ，各点坐标。 由此可见，用等误差直线逼近节点法求得的节点最为合理，并在保证误差 前提下，节点的数目最少。也就是在保证非圆曲线零件制造精度前提下，可 以大大地缩短数控加工程序的长度。但由于计算非常烦琐，实际运用时，很 少使用该方法。在后面的论述中，本文将给出一种简单易行的近似算法。 2 2 4 逐点逼近法计算方法 由于等误差法的计算机程序比较复杂，以下提出种近似的计算方法一 逐点逼近法。 为了使计算机程序能适应各类非圆曲线的计算，非圆曲线的方程以及它 的导数方程不直接编入在程序中，这会使程序的编制变得要复杂些。但扩大 了程序的应用范围和适应性。 2 2 4 1 逐点逼近法的基本步骤 逐点逼近法的基本步骤如下： 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 3 页 ( 1 ) 设置初值，使起始点如图2 3 所示。 ( 2 ) 在自变量z 的方向上以允许误差占递增逐点扫描判断，使曲线上节点 的切线与误差圆相切。在实际计算中判断曲线每次递增的节点处切线与圆的 交点是否存在，一旦递增的节点处切线与误差圆的交点不存在，即在自变量z 的方向上退出一个万，并将该点7 1 近似作为圆与曲线的公切线尸丁，同时计算 出公切线p r 的斜率k 。 ( 3 ) 继续在自变量x 的方向k 以占递增逐点扫描判断，直到递增节点与a 点的连线与p r 平行。在实际计算中，判断连线与p 丁斜率的方向，若连线的 斜率相对于p 丁的方向改变，即在x 的方向上退出一个占，并将该点b 近似作 为从a 点平行于p r 公切线与曲线的交点，求得所求节点b 的坐标。 ( 4 ) 以b 点作为起始点，重复上述( 2 ) 、( 3 ) 步骤，并在每次重复步骤之 前判断x 值是否大于给定的x 一，若大于，则取最后一点的x 值为x 。，并终 止程序。 2 2 4 2 逐点逼近算法流程图 逐点逼近算法流程图如图2 - 4 所示： 2 2 4 3 计算机程序的实现 本文用c 语言编写了该算法的计算机程序。该程序实现了抛物线，椭圆 和双曲线三种常用曲线的计算机插补节点计算。程序如下： # i n c l u d e m a t hh # i n c l u d e = x e ) ( p r i n t f ( ”i n p u te r r e r ! “) e x i t ( o ) ； s w i t c h ( f l a 9 2 ) c a s e1 ：b r e a k ； c a s e2 ：i f ( x a x 0 + a i i x e x 0 + a 1 p r i n t f ( ”i n p u te r r e r ! ”) ； e x i t ( o ) ； b r e a k ； c a s e3 ：i f ( ( ( x 0 - a x a ) & & ( x a x 0 + a ) ) i i ( x e x e ) g o t oa a a a ； y b = y z u o b i a o ( x b ) ； k1 ；( y b - y a ) ( x b x a ) ； ) w h i l e ( ( ( k k 2 0 ) & ( k 1 一k ( o ) ) i i ( ( k k 2 o ) ) ) ； x b = x b - d ： a 卜n黑 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 7 页 x a = x b ； y a = y z u o b i a o ( x a ) ； a a a a ： y e = y z u o b i a o ( x e ) ； p r i n t f ( ”f f n ”，x e ，、，c ) ； t = t + 1 ： c i r c l e ( 2 + ( x e - x 0 ) + 3 5 0 ，一2 + ( y e y 0 ) + 3 0 0 ，0 1 ) ； g e t c h 0 ； p r i n t f ( ”a l lp o i n t s ：d ，t ) ； g e t c h 0 ； ) f l o a ty z u o b