（电路与系统专业论文）混沌电路的理论分析——混沌行为的计算机辅助分析与证明[电路与系统专业优秀论文].pdf

重庆邮电大学硕士论文 摘要 1 9 9 0 年以来，混沌通信和混沌加密技术已成为一个热门课题。混沌电路则 是这些技术研究和应用的基础，所以混沌电路的理论分析包括混沌行为的存在 性、形成机理、电路的性能稳定性等等都是当前迫切需要研究和解决的重要问 题。 本文首先概述了当前混沌电路的主要研究方法，然后以二维、三维混沌电 路和四维超混沌电路为例，对若干混沌和超混沌电路进行计算机辅助分析与证 明。由于存在拓扑马蹄被视为混沌动力系统的本质特征，运用拓扑马蹄理论不 但可以证明系统存在混沌，而且动力系统中混沌的产生也可以借助于拓扑马蹄 的映射机理来实现，所以本文以基于符号动力学的拓扑马蹄理论为主要研究工 具，来分析混沌产生机理，证明混沌的存在性。首先，分析了二维基于w i e n 桥的混沌电路，研究了其一维p o i n c a r 4 映射，发现该映射在某不变集上拓扑半 共轭于4 移位映射，从而得出该电路确实存在混沌的结论。然后，用类似的方 法研究了三维c h u a 电路的二维p o i n c a r 6 映射，论证了混沌的存在性。超混沌 比只有一个正l y a p u n o v 指数的普通混沌能产生更为复杂的动态行为，具有非常 强的随机性和不可预测性，从而超混沌在应用上有更多的优势。正由于它的高 维性和高度复杂性使它的研究更加困难，所以目前超混沌的理论研究还处于初 步阶段。最后，本文研究了两个重要的超混沌电路的拓扑马蹄。通过数值分析 与计算，发现这两个系统都存在沿两个方向拉伸的三维拓扑马蹄，从而用证实 了这两个电路中存在超混沌，展现了超混沌产生的机理。由于拓扑马蹄理论只 能对固定参数情况下的混沌系统进行研究，所以本文也以l y a p u n o v 指数、分岔 的计算为辅对上述混沌电路做了大量研究。 关键词：混沌电路，理论分析，拓扑马蹄，分岔，l y a p u n o v 指数 重庆邮电大学硕士论文摘要 a b s t r a c t s i n c e1 9 9 0 ，c h a o t i cc o m m u n i c a t i o n sa n dc b a o t i ee n e r y p t i o nh a v eb e c o m e a c t i v er e s e a r c hf i e l d s a saf u n d a m e n to ft h e s ea p p l i c a t i o n s ，s t u d i e so i lc h a o t i c c i r c u i t s ，i n c l u d i n gt h ee x i s t e n c ea n dm e c h a n i s mo fc h a o t i cp h e n o m e n a ，t h es t a b i l i t y o ft h ep e r f o r m a n c eo fc h a o t i cc i r c u i ta n ds oo n , a r ca l li m p o r t a n tp r o b l e m sf k e dt o u s t h i sp a p e rs l l m m a r i 窟$ t h ew a yt oa n a l y s i sc h a o t i cc i r c u i t sw i t hc o m p u t e ra n d p r o p o s e sf l o r a er e s u l t s o ns e v e r a l t y p i c a lc h a o t i cc i r c u i t s t h ee x i s t e n c eo fa h o r s e s h o ei sl o o k e d 嬲t h ee s s e n t i a lc h a r a c t e ro fac h a o t i cs y s t e m i tn o to n l yc a nb e u s e dt op r o o f t h ee x i s t e n c eo f c h a o s b u ta l s oc 锄b eu s e dt of i n do u tt h em e c h a n i s m o fc h a o sa n dd e s i g nc h a o t i cs y s t e m s ot h et o p o l o g i c a lh o r s e s h o et h e o r yi st h em a i n t 0 0 1 i nt h i sp a p e r , w ea n a l y s i sa2 dw i e n - b r i d g eb a s e dc h a o t i cc i r c u i t f r e dai d p o i n e a r 6m a po l la nc o r r e s p o n d i n gi n v a r i a b l es e tw h i c hs e m i - c o n j u g a t e sa4 - s h i t t m a p ，a n dt h e np r o v et h a tt h ec i r c u i ti si n d e e dc h a o t i c b ys i m i l a rw a y , w es t u d yt h e 3 dc h u a sc i r c u i ta n di t s2 dp o i n e a r 6m a p ，a n dv e i l f yt h ee x i s t e n c eo fc h a o si nt h e c i r c u i t s s i n c eh y p e r e h a o s 锄e x h i b i tm u c hi n o r ec o m p l e xd y n a m i c st h a nc o m m o n c h a o sw i t ho n l yo n ep o s i t i v el y a p u n o ve x p o n e n t , i ti sb e l i e v e dt h a th y p e r e h a o s 啪 p l a ya b e t t e rr o l ei nm o s ta p p l i c a t i o n so fc h a o s h o w e v e rt h eh i g hd e m i s s i o na n d e o r a p l e x i t ym a k et h es t u d i e so f h y p e r e h a o st o oh a r d s o w es t u d yh o r s e s h o e so f t w o s i g n i f i c a n th y p e r e h a o t i ec i r c u i t s b yn u m e r i c a lc o m p u t a t i o n , w ef i n dh o r s e s h o e s w i t ht w od i m e n s i o n a le x p a n s i o n si nb o t ho ft l a cc i r c u i t s i nt h i sw a y , w ev e r i f yt h e e x i s t e n c eo fh y p e r e h a o s ，a n di l l u s t r a t et h em e e h a r t i s mo ft h e h y p e r e b a o t i c p h e n o m e n a s i n c et h et o p o l o g i c a lt h e o r yc a no n l yu s e dt os t u d yc h a o t i cs y s t e mw i t h o n eg r o u po fp a r a m e t e r s ，w ea l s os t u d yl y a p u n o ve x p o n e n t s ，b i f u r c a t i o np l o t so f t h e s ec i 佗u i t s k e yw o r d s ：c h a o sc i r c u i t ，t h e o r ya n a l y s i s ，t o p o l o g i c a lh o r s e s h o e s ，b i f u r c a t i o n , l y a p u n o ve x p o n e n t 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包 含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得重庆邮电太堂或 其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所 做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：抑磊把 签字日期：妒彳年朗加日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解 重庆邮电太堂有关保留、使用学位论文的 规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文 被查阅和借阅。本人授权重庞邮电太堂可以将学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇 编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名肺馓导师签名闭乎 签字日期：“年- 月妒日签字日期：e 彩车r 月加日 重庆邮电大学硕士论文 第一章绪论 1 1 研究背景 第一章绪论 混沌理论是近几十年才发展起来的活跃的前沿领域，是非线性科学的一个重 要分支，与量子物理和相对论一起被称为二十世纪三项重要科学发现【l 2 1 。是有 序决定的无序从而类似随机的现象。 从科学上和工程上来说，对它的研究都具有重大意义。科学上，因为采用电 子电路容易实现各类非线性动力学体系，而且电子测量比其它物理量的测量更为 方便，采用示波器可以直接获得被测量数据的图形；用计算机处理数据，可以计 算出各类非线性动力学参数，因此电子混沌电路的研究在非线性动力学系统的混 沌研究中占有重要的地位。工程上，通过对混沌电路理论的分析，可以使我们对 混沌电路达到全面的把握和理性的认识，从而有助于推动当今国际上热门的混沌 通信( 混沌调制技术和混沌保密通信) 、信号加密、物件防伪、科学试验等应用 研究【3 胡。 混沌现象是自然界和人类社会系统普遍存在却不易研究的现象，只是由于当 今非线性科学的发展和计算机的提高，使得混沌研究变得可能，并形成初步理论， 进而开始探索它的实际应用价值。混沌由于其对初始值的敏感依赖性和宽频类噪 的特性而被引入到加密系统中。自1 9 9 0 年美国海军实验室首次用电子线路实现 混沌同步以来，利用混沌实现秘密通信，已成为近年来竞争最为激烈的混沌应用 的研究领域。世界各国科学家都参与了激烈的竞争，各自加紧研究新的混沌系统， 发展保密通信技术。 然而，混沌电路的性能如何，是否适合自己的工程课题，这都需要我们对现 有的混沌电路系统做出更深入的理论分析。首先，一个最根本的问题必须给出明 确的答案，就是系统是否的确混沌，这就要求我们对一个混沌电路，证明其混沌 的存在性；然后，系统的随机性如何，这也是混沌电路应用前必须明确的一个问 题，我们需要计算l y a p u n o v 指数来衡量混沌电路产生的信号的随机性；第三个 重要性能指标是混沌电路的结构稳定性，即系统在外界的干扰下使电路参数改 变，混沌性是否会被轻易破坏，这就需要对混沌电路参数的分俞现象进行研究。 本文通过混沌电路的理论分析，对现有的混沌系统做出应用评价指标。即通 过分段连续映射的拓扑马蹄理论和l y a p u n o v 指数等分析来揭示混沌的存在性和 结构复杂性( 随机性) ；通过研究分岔现象揭示电路的混沌性态的稳定性，从而 为工程应用提供依据。 1 2 论文结构 本文共分五章，各章的内容安排如下： 第一章介绍了混沌发展和研究现状。 第二章简单介绍了混沌系统理论知识 重庆邮电大学硕士论文第一章绪论 第三章通过举低维混沌电路的例子，对一般混沌电路产生混沌的机理进行了 理论分析。 第四章通过高维混沌电路的例子，对超混沌电路产生混沌的机理进行了理论 分析。 第五章总结了本文所做工作，并探讨了进一步的研究方向。 2 重庆邮电大学硕士论文第二章混沌系统理论 第二章混沌系统理论 由于混沌现象是非线性动力系统中常见的现象。混沌系统首先是一个确定 系统，但同时系统本身对初始值具有极强的敏感性。就系统预测而言，由于其 存在的初值敏感性，混沌系统不能被长期预测，但同时由于它的确定性，它又 具有短期预测的能力。所以我们从符号动力系统入手，分析混沌现象产生的机 制，利用分段连续映射的拓扑马蹄理论，对若干混沌系统的拓扑马蹄进行严格 的计算机辅助证明；通过l y a p u n o v 指数的计算来证明混沌信号的随机性；通过 研究混沌系统的分岔现象，揭示混沌系统结构随参数变化的复杂性。 2 1 混沌电路产生的信号的随机性- - l y a p u n o v 指数 l y a p u n o v 特征指数【伽是描述一条轨迹( 或一个不变集) 随时间演化的拉伸 或收缩的不变程度，或者是邻近轨道的分离程度，这是混沌动力系统的重要特 征l y a p t m o v 指数的大小刻划了吸引子的动力学行为，反映了系统产生或消除不 确定因素的速率，初始不确定性经过多少时间覆盖整个吸引子由最大的指数决 定：而对吸引子摄动的渐进消失则由最小的指数控制 一维映射只有一个特征指数，而在多维相空间情况下一般就有多个特征指 数，而且沿相空间的不同方向，其特征指数值一般也不相同为了从理论上定量的 考察一个动力学系统对初始值的敏感性问题，我们研究下面两个系统： 为了从理论上定量地考察一个动力学系统对初始值的敏感性问题，我们研 究一下两个系统： p2 篓n ： l y ”l2 ，u r n j ( 2 1 1 ) 设其初始值一l 有一微小误差，经过一次迭代以后有： i x i - y t i = i f ( x o ) - f ( y o ) i = 背i 而一蜘i * i 罢l 。l i 一i 式中： 卧l i r a 等掣 ( 2 1 2 ) 由式( 2 1 2 ) 可见，对初始扰动的敏感的程度由导数i 咿刮。决定。显然 l a y , 酬i 与初始值有关。由于我们需要描述映射的整体敏感性，而不只是某 重庆邮电大学硕士论文 第二章混沌系统理论 一个初始条件，为此需要对全部初始条件进行平均。通过继续迭代可以完成这 种平均工作。由第二次迭代得： i x 2 - y 2 1 幅卜扣鼠孙。刊 第厅次迭代得： i h 一咒i* 每剖 呲 式中n 为多重乘号。因此，每次迭代产生的平均分离值为： 0 蛆0 “ ( 2 1 3 ) 这是i 矽，出i 、的几何平均值。在非线性动力学中，分离的程度通常用李雅普诺 夫( i 归p l m o v ) 指数a 来度量，a 定义为该值的对数： 名= h 幛 式中矗为第以次迭代后的值。取厅斗* ， 式： ( 2 1 4 ) 得常用的李雅普诺夫指数五的计算公 a ：l i m ! 争蚓 ”一疗台l出i ( 2 1 5 ) 利用李雅普诺夫指数五，相空间内初始时刻的两点距离一儿将随时间( 迭 代次数) 作指数分离： i 毛一y i i x o - r o l e x p ( 疗五) 。 需要注意在一维映射中只有一个a 值，而在多维相空间情况下一般就有多 个z ；，而且沿相空间的不同方向，其 ( f = 1 ，2 ，) 值一般也是不同的。设氏为多 维相空间中两点的初始距离，则经九次迭代后两点的初始距离为： 印) 兰岛p 却 ( 2 1 6 ) 式中指数旯值可正可负。a i o 表示沿该方向扩展，a i l 时e n t ( f ) 0 ， 所以动力系统厂) 混沌【1 2 1 2 3 混沌电路的参数稳定性一研究参数分岔 分岔的本义是一种力学状态在临界点处发生的转变、分开或一分为二。分 6 重庆邮电大学硕士论文 第二章混沌系统理论 岔是一种非常普遍的自然现象。 在数学上，分岔就是研究非线性微分方程当某一参数变化时，其解发生突 变的临界点附近的行为。当力学现象用数学方程来描述时，力学现象的分岔就 成为数学分岔。 由于许多重要的物理现象在数学上都可以某类微分方程来描述，因此数学 分岔在分析复杂的非线性动力学中具有重要意义。比如单摆运动，当驱动力f 增加到某一临界值后它由规则运动进入到随机运动状态。它是通过怎样的路迳 进入混沌的? 显然仅对几个特殊参数采用数值计算还无法讲清这样的问题。为 了更具体地掌握一个非线性系统如何从规则运动进入混沌，必需对临界值附近 所发生的现象作更细致更深入的研究。不同的非线性方程应有不同的突变行为， 在本节我们主要介绍切分岔、倍周期分岔和h o p f 分岔。 分岔理论主要研究系统随参数改变引起的解结构和稳定性的定性变化过 程。当动态系统参数变动经过某些临界值时，系统定性性态( 如平衡状态、周 期运动的数目和稳定性等) 会发生突变变化，这种变化称为分岔，相应临界值 对应的点为分岔点1 1 4 】。 2 3 1 切分岔( t a n p n tb i f u r c t i o n ) 产生切分岔的微分方程形式： 皇兰= 一x 2 + “ 出 ( 2 3 1 1 ) 式中为控制参数。由玉d r = o 得式( 2 1 - 1 ) 的平衡点为： 2 ( 2 3 1 2 ) 解( 2 3 1 2 ) 说明，当 o 时出现两个奇点，如 图2 2 所示。然而f o 时的两个奇点的稳定性是不同的，其中2 + 、是稳 定的，而x o2 一、是不稳定的。 玉 厂 o 户 图2 2 切分岔 为了讨论切分岔的两个解的稳定性，我们在而的附近取一点，它与的距 7 重庆邮电大学硕士论文第二章混沌系统理论 离为亏2 善一x o ，由式( 2 3 1 1 ) 得： 警= 一善+ x o ) 2 + 卢 将解式( 2 ，3 1 2 ) 代入并忽略高阶小量掌2 有： 譬：- 2 掌x o 田 于是得解： 鬏，) 2 磊e x p ( - 2 x o t ) ( 2 3 1 3 ) 因此，对于解x 02 + q u ，当f 斗o o 时有鬏f ) _ 0 ，说明此解是稳定的，它是稳 定的结点。对于解x o2 一、，当卜0 0 时有鬏f ) 专，因此它是不稳定的，它 是鞍点。由此可见切分岔是一个鞍一结分岔。为了说明分岔点附近的分岔情况， 如图2 3 给出了f 0 时与轴相垂直的x 平面中相轨线的走动 方向，稳定的x 02 + 、解是图中的a 支，不稳定的工o5 一、是图中的口支。 彳与曰两支构成了1 o 时鞍点与结点附近的相轨线。 、l u 0 2 3 2 倍周期分岔 岛平面 v 、旷 斗= 0 图2 3 切分岔中的相轨线 倍周期分岔是许多非线性动力学过程中常见的现象，也是进入混沌的一种 重要方式。倍周期分岔的特点是周期点由一分为2 ，2 分为4 ，4 分为8 等等， 这样无限地分下去将导致混沌轨道的出现。 运动轨道的分岔通常是在失稳后出现的，以一维平方映射x 。= 肛。( 1 一z 。) 为例，当s l 时系统有唯一不动点石= 0 ，当 l 时，平方映射就会出现一个 新的非零不动点。在口= 3 时，此不动点失稳，从周期l 点分岔为周期2 点。当 3 3 4 4 9 5 时有稳定的周期2 点，在= 3 4 4 9 5 时，周期2 点失稳，从周期 2 分岔为周期4 点。当3 4 4 9 5 3 5 4 4 1 时有稳定的周期4 点。在= 3 5 6 4 4 时， 桊屯 重庆邮电大学硕士论文 第二章混沌系统理论 周期4 点再次失稳，分岔为周期8 点，如此等等。在区间3 5 6 4 4 z o 时p 值随时间增长，不论初始p 值的大小如何，当 一 时间f 一一时，最终硝于、，形成一闭合圈，即极限环。这种因参数从负 变化到正，从焦点产生出极限环的分岔称为霍夫分岔，分岔点位于= o 。图2 5 给出了霍夫分岔中的极限环及轨线图形。 图2 5 霍夫分岔 重庆邮电大学硕士论文第三章混沌电路的理论分析 第三章一般混沌电路的计算机辅助分析 当混沌系统的正l y a p u n o v 指数的个数大于或等于二时，称为超混沌【15 1 ，为 区别于超混沌，我们在文中称只含有一个正l y a p u n o v 指数的情况为一般混沌。 3 1 二维混沌电路分析 3 1 1w i e n - b ri d g e 振荡器电路模型 该振荡器的电路见图3 1 所示【1 删，它的状态方程为： ( v v i ( k o + k 1 - 玎一- 。1 人y 。v 。+ 毛h 。，) c ， ， 这里日( v ) 是一个滞徊函数，它的特征曲线如图3 2 所示。假设0 a ：的最大 和最小输出电压为圪+ 和一。高切换电压+ 和低切换电压咋一分别为 ( 1 - p - p 毛) + 和( 1 - p - 肚，) 一，由于+ * - v 一，所以我们有+ * 一一。 图3 12 维双螺旋混沌发生器 爿【v l 、+ 0哺 7 、， v 图3 2 滞徊函数h ( o 的特征曲线 i l 重庆邮电大学硕士论文第三章混沌电路的理论分析 这里只有两个参数k l 和p ，且它们可以通过置，r ：和马来调节，所以问题的 关键就是怎样选取这两个参数值。 又因为h ( v ) 只取+ 和圪这两个值，口_ - o , - k + 】7 ，o + = 【0 , - k i 一】7 。 且毛k * 一毛匕一* * 嘶【2 捌因此我们取，= # 粤( 3 1 4 ) l 十托 假设振荡器参数为： + = 一一= 4 5 v ，栉= l ，k o = 2 2 ( 3 1 5 ) 我们取k 。= o 0 7 ，从( 3 1 4 ) 我们可以得到p = o 8 7 ，+ = 一* 0 3 1 v ， 以= - o z 【0 v ，0 3 i v 1 通过对( 3 1 1 ) 式的计算仿真，我们能够得到一个吸引子如图3 3 所示。由 于最大的l y a p u n o v 指数为正，大约为o 1 3 5 ，所以它应该是一个混沌吸引子。 下面我们用拓扑马蹄理论来严格证明该吸引子是一个混沌吸引子。 在本节中，我们取参数r ，= r ，= r l = 3 k ，r = 1 5 k ，r ，= 3 3 k ，r 3 = 4 7 ，3 k ， r 2 = 2 0 k ，c = c y = l n f ，= 5 v 3 1 2w i e n - b ri d g e 振荡器数值分析 下面我们寻找吸引子中的马蹄，用拓扑马蹄理论的知识来严格证明该吸弓 子确实是一个混沌吸引子。 图3 3w i e n b r i d g e 振荡器的相图 我们取线，：v = 0 一q + 盹+ 砧l - d v , = 巧一，如图3 3 所示。定义p o i n c a r 6 映射石：f 斗z 为：对于任意p e f ，石( p ) 表示由p 出发的轨道第一次穿过珀q 回 归点。 在p o i n c a 正映射下，记q 的像分别为石( 9 ，且q 和石( q ) 都在，上，如图3 4 重庆邮电大学硕士论文 第三章混沌电路的理论分析 所示，横轴表示q 在屹上的坐标，纵轴表示万( 9 在以上的坐标。 定理：对于p o i n e a r 6 映射石和区域q ，存在一个闭不变集a c q ，并满足万i a 半 共轭于一个4 - 移位映射。 i 正g q ：为了证明这个命题，我们需要找出q 的四个不相交的紧子集q l ，q 2 ，幺 和幺以及对应于这四个子集的石连接簇q 。 o i s 尘 图3 4q 的四个不相交的紧子集q l ，q 2 ，q 3 和q q 的四个不相交的子集的选取如图3 4 所示： 9 ：屹【o 1 5 5 1 v ，0 1 6 0 4 v ， q 2 ：圪【0 2 0 1 6 v ，0 2 1 6 0 v ， 伤：以【0 2 2 3 8 v ，0 2 2 8 8 v ， a ：屹【o 2 5 5 7 v ，0 2 6 0 7 v ， 从图3 4 我们很容易得出，对于每一个q ，i = 1 , 2 , 3 ，4 ，万( q ) 都是完全穿过 q l ，q 2 ，珐和q 。 因为( 3 1 1 ) 可以被看成两个很简单的线性子系统构成的一个切换系统， 且p o i n c a r 6 映射万也可以看成一个或两个子系统的连续子映射构成的。所以就 很容易证明：对于每一个q ，所有的子映射都是连续的，相应地厅l q 也是连续 重庆邮电大学硕士论文 第三章混沌电路的理论分析 的。 又因为子集g ，易，伤和a 是完全不相交的，这样就很容易得到存在一 个对应的万连接族，由定理可知，p o i n c a r 6 映射万半共轭于一个4 移位映射。这 就证明了图3 3 中的吸引子是一个混沌吸引子。 3 2 蔡氏混沌电路分析 3 2 1 蔡氏混沌电路模型 这是一个具有非线性电阻的混沌电路 2 3 - 2 5 1 ，是由美籍华人蔡少棠首先发起 研究的。它是一个三阶自治电路，如图3 5 a 所示，3 5 b 是其中的非线性元件是 电阻r 的特性，它属分段线性电阻。 a l k j r 吻入 i、+ l。 一l0 吣旷 图3 5 蔡氏混沌电路及其分段线性电阻特性 电路的状态方程可以写成： 设工2 l ， 为： 百d u e l = ( g ，c l x 一) 一( i c 。) g ( ) 百d u 0 2 = ( g c 2 ) ( 一) 一( i l c 2 ) 鲁叫l 慨z ：m ) ，2 ，z 2 i l g ，口= c 2 cm ，p = c 2 l g 2 ，则式( 3 2 1 ) 可以写 1 4 重庆邮电大学硕士论文 第三章混沌电路的理论分析 鲁= 咖叫瑚 幽- - j =工一y+2dt 磊d z = 一p y ( x ) 对应于分段线性电阻的特性。它可以写为： _ i l ( x ) = z + g ( x ) = m i x + i 1 ( m 。一m 。) 【卜+ q i x l | 】 ( 3 2 3 ) 若将其分三段来考虑，即有 f 肌l 工+ ( 一历1 ) x l ( x ) = m 。， i 叫l 【m l x + ( 历。一m 1 ) x l ( 3 2 4 ) 实现图3 5 混沌电路的实际电路图如图3 6 所示。图中的虚线框为非线性电 阻的等效电路。 3 2 2 模型分析 图3 6 实际蔡氏混沌电路 因为蔡电路是一个研究混沌现象的很好例子，所以本节我们就以蔡电路为 例，来讨论该电路的混沌特性。用拓扑马蹄理论证明该电路中存在混沌以及其 产生混沌的机理。蔡电路的无量纲动力学方程描述如下： i j = 口o x 一，( 工) ) 萝= z - y + z ( 3 2 5 ) i j = 一房 在这里非线性函数为： 重庆邮电大学硕士论文第三章混沌电路的理论分析 似) ：b x + ( 口一堕骂# 型 二 我们取系统参数为：口= 1 0 ，p = 1 4 8 7 ，盯= 一1 2 7 ，b = 一0 6 8 则我们有： i 童= 1 0 0 x 一，( 砌 夕= x y + z ( 3 2 6 ) k = 一1 4 8 7 y m ) ：加6 8 卜0 5 9 堕些士型 计算机仿真得到的系统相图如图3 7 所示，它的三个l y a p u n o v 指数分别为 0 4 2 0 6 ，0 0 0 0 和一3 8 5 4 5 显然三个l y a p u n o v 指数之和小于零，说明存在一个 吸引子，而第一个l y a p u n o v 指数为正，这说明了该吸引子应该是混沌吸引子。 图3 7 系统相图和p o i n e a r e 截面的位置 为了便于分析和计算，我们选平面p ：五= - 1 作为p o i n e a r 6 截面，如图3 7 所示。 定义p o i n e a r 6 映射石：p - - t p 为：对于任意x p ，石( x ) 表示由x 出发的轨 道第二次正向穿过p 的回归点，记f = 石o ) 。 为了寻找拓扑马蹄和研究映射万的性质，我们编写了一个m 棚，a bg u i 工具箱，其界面见附录。用鼠标选取两个四边形a = l a l b l c l d l l 和b = h 2 8 2 c z d 2 i ， 其坐标分别为： 彳l = ( - 1 0 0 0 0 ，0 3 4 6 9 ，0 7 5 5 8 ) ， 历= ( 一1 0 0 0 0 ，0 3 4 8 0 ，o 7 6 1 4 ) ， c l = ( 一1 0 0 0 0 ，0 3 5 2 7 ，0 8 1 6 1 ) ， d i = ( - 1 0 0 0 0 ，o 3 5 1 7 ，o 8 1 1 0 ) ， a f - ( - 1 0 0 0 0 ，0 3 6 1 0 ，o 8 2 5 2 ) ， 历：( 一1 0 0 0 0 ，0 3 6 3 0 ，0 8 3 5 0 ) ， c 2 ：( - 1 0 0 0 0 ，0 3 6 6 0 ，0 8 7 8 9 ) ， 1 6 重庆邮电大学硕士论文 第三章混沌电路的理论分析 历2 ( - 1 0 0 0 0 ，0 3 6 4 2 ，0 8 7 0 3 ) , 在p o i n c a r 6 映射l 下，记a 和b 的像分别为万( 口) 和万( 6 ) ，如图3 8 和图3 9 。 令q = a u b ，计算表明，厅的两个子映射均在a 和b 上连续，所以石iq 是连续 的。仔细分析a ，b ，7 r ( 力，石( 6 ) 的位置关系，可以得到下面定理。 定理：对于p o i n c a r 6 映射石和区域g ，存在一个闭不变集a c q ，并满足石l a 半 共轭于一个2 移位映射。 证明：为了证明这个命题，我们需要找出q 的两个不相交的紧子集q l 和q 2 以 及对应于这两个子集的厅连接簇。 第一个子集q l 选 l 舭l b i c i d i l ( 如图3 8 所示) ，在p o i n c a r 6 映射石的作用下， q l 的像为： 且c i 寸b i c i ，a td j 一卅叫； b i c 被映射到岛c 2 的右边，a 1d i 被映射到4 d i 的左边，且像丌( ia 。b t c d ii ) 完全横截四边形m l b i c d l l 和i a 2 8 2 c 2 d 2 1 ，如图3 8 所示 第二个子集q 2 选取m 2 玩c l d 2 i ( 如图3 9 所示) ，在p o i 缸6 映射石的作用下， g 的像为： 岛c 2 一嘭c ；，4 d 2 _ 4 嘎； 岛c 2 被映射到垦c 2 的右边，爿：d 2 被映射到a i d 的左边，且像 石( 14 岛c 2 d 2i ) 也同样完全横截四边形m l 岛c l d l 闻阻疡c j 现i ，如图3 9 所示 1 7 重庆邮电大学硕士论文第三章混沌电路的理论分析 图3 8 像万( i4 且c ld l1 ) 完全横截m i 历c l d “和m 猡2 c 2 晚i 图3 9 像石( 14 马c 2 d 2i ) 完全横截m l 历c l d “和m 如c j d 2 i 因为两个紧子集l | 4 l 玩c l d i i 和i 屯晚c l 岛i 互不相交，且7 r ( 1 4 且c 。d li ) 和 石( i 以皿c 2 岛i ) 都完全横截- f 4 l d i 和历c 2 ，所以不难找到关于这两个子集 q 1 刊爿。且c ld 1i 和q 2 爿鸣易c 2 d li 的石连接族，由定理可知，p o 硫盯6 映射石是 半共轭于2 移位映射，所以图3 7 的吸引子是混沌吸引子，该电路是混沌电路。 3 2 3 分岔图 由于一个系统一旦发生了倍周期分岔必导致混沌，所以根据( 3 2 5 ) 式， 我们选取口为控制参量，根据p o i n c a r 6 截面进行数值仿真得到了该系统的倍周 期分岔图如下： 图3 1 0 控制参量口变化时蔡电路系统的分岔图 1 8 重庆邮电大学硕士论文 第三章混沌电路的理论分析 ( a ) 稳定的l p 周期轨道7 s 口s 7 7 3 ( b ) 稳定的2 p 周期轨道7 7 3 口7 9 ( c ) 稳定的4 p 周期轨道7 9 s 口s 7 9 4 1 9 o 0 6 2 0 2 1 重庆邮电大学硕士论文 第三章混沌电路的理论分析 ( d ) 稳定的8 p 周期轨道7 9 4 = 口 j 吣 。厂 ( e ) 稳定的卯周期轨道7 9 5 s 口s8 2 6 图3 1 l 蔡电路的分岔图 图3 1 l 给出了不动点和各种稳定周期轨道的控制结果。当口8 2 7 后周期慢 慢变得无限长，或者到最后根本没有周期，这就到达了混沌态，见图3 7 所示 的混沌吸引子。 2 0 重庆邮电大学硕士论文第四章超混沌电路的理论分析 第四章超混沌电路的计算机辅助分析与证明 由于混沌高度随机性和混沌方程、参数及初始条件所确定的决定性，使它在 科学上和工程上都受到了越来越多的重视【2 引。超混沌由于存在多个方向上的 拉伸，所以比只有一个正l y a p u n o v 指数的普通混沌能产生更为复杂的动态行 为，具有非常强的随机性和不可预测性。从而超混沌在应用上有更多的优势， 尤其是在混沌通讯、混沌加密等领域 2 9 - 3 4 1 。然而超混沌系统往往因为其高维性、 高度复杂性导致难于研究。 存在拓扑马蹄被视为混沌动力系统的本质特征，运用拓扑马蹄理论不但可以 证明系统存在混沌，而且动力系统中混沌的产生也可以借助于拓扑马蹄的映射 机理来实现i ”j 。目前，基于符号动力学的拓扑马蹄理论给我们提供了一种很好 的方法，用它来认识和研究动力系统中的复杂行为。这种方法已经广泛地应用 于只含有一个正l y a p u n o v 指数的一般混沌系统。然而，对于能够产生更为复杂 动态行为的超混沌系统来说，p o i n c a r e 映射所涉及的维数往往不低于三维，寻 找马蹄比较困难，所以仍然是一个挑战。 本章以著名的m a t s u m o t o c h u a - k o b a y a s h i ( m c k ) g g 路和一个简单四阶分段 线性超混沌电路为研究对象，通过数值分析与计算，发现这两个系统都存在沿 两个方向拉伸的三维拓扑马蹄，从而用拓扑马蹄理论证实了这两个电路中存在 超混沌。 4 1 超混沌m c k 电路 4 1 1m c k 电路模型 著名的m a t s u m o t o c h u a - k o b a y a s h i ( m c k ) 口川电路对超混沌研究很重要，因 为从它观察出了第一个超混沌现象，在这一节我们将借助计算机用拓扑马蹄理 论来证明该电路中存在超混沌我们在3 d 截面上找到了能产生拓扑马蹄的两个 不相交的紧子集，在一个四次庞加莱回归映射下，这两个子集存在两个方向上的 拉伸，这就说明了该电路中存在超混沌 图4 1 四阶m c k 超混沌电路 4 阶m c k 超混沌电路如图4 1 所示，非线性电阻的特征曲线如图4 2 所示， 2 l 重鏖些皇盔堂塑主堡塞 蔓四兰塑塑鎏皇堕咝坌堑 是一个三段线性电压电流( v i ) 特征曲线。除了负电阻r ，其它元素都是线 性被动的。那么该系统的状态方程为： l c i d v l d t = g ( v 2 一v 1 ) 一 jc 2 也，出= 一g ( 屹一i ) 一i 2( 4 1 1 ) l 厶d , d t = v l + 舶 如西= v 2 其中v 1 ，v ：，和f ：分别表示通过c j ，c 2 的电压和厶，三：的电流，g ( ) 是 分段线性函数，特征曲线如图4 2 所示 令 g ( v ) = m o v + 0 5 ( t o o 一， l i ) 0 v q l ，+ l 协 ( 4 1 2 ) 介”十，夕 么。1 卜过 五 图4 2 非线性电路特征曲线 在该电路的研究中，( 4 1 1 ) 式的参数通常选取：q = 0 5 ，c 2 = 0 0 5 ，厶= 1 ， 厶= 2 3 ，r = i ，m 。= 3 和埘l = - 0 2 。我们用毛，z 2 ，而和x 4 替换v - ，v 2 ， 和f 2 ，那么式( 4 1 1 ) 就可以表示成下面的形式： 而 而 黾 毛 0 0 o0 1o 01 5 2o o一2 0 1 o o o + 2 i 一2 0 i ：”l g ( v ) ( 4 1 3 ) ul 0 i 这里2 g ( v ) = 3 v + 1 6 d - l l - v + l d v = 瓴一而) ( 4 1 4 ) 用 e c k m a n n & r u e u e ，1 9 8 5 】中的方法计算该系统的l y a p u n o v 指数为 0 2 5 ，0 0 7 ，0 0 0 ，5 3 2 l 】，因为前两个l y a p u n o v 指数为正，且它们的和小于零， 显然在该电路的状态空间中应该存在一个超混沌吸引子。为了证明该电路中确 实存在超混沌吸引子，我们将要借助于拓扑马蹄理论。用计算机仿真得到的超 混沌吸引子如图4 3 所示： 重庆邮电大学硕士论文第四章超混沌电路的理论分析 4 1 2 数值分析 图4 3m c k 电路的相图和p o i n c a r 6 截面的位置 为了便于观察，我们引入h o u s e h o l d e r 变换： y l ，y 2 ，y 3 ，儿】7 = h x i ，x 2 ，x 3 ，x 4 】7 ， 这里h 是一个h o u s e h o l d e r 矩阵： h = 0 9 1 1 5 0 0 3 2 2 0 4 1 0 7 4 9 9 6 8 0 0 2 1 2 5 1 4 9 8 一l 一0 4 1 0 7 4 9 9 6 8 一o 9 0 6 3 9 7 18 3 一o 0 9 8 6 3 3 7 1 9 o 一0 0 2 1 2 5 1 4 9 8 0 0 9 8 6 3 3 7 1 9 0 9 9 4 8 9 6 8 6 1 o ( 4 1 5 ) 这里儿= x 2 一而，因为超平面p ：几= 一1 正好是切换边界，记y 。 - 1 时的作用系 统为s 0 ，y 一1 时的作用系统为s 。为了便于分析和计算，我们选超平面p 作 为p o i n c a r 6 截面，如图4 3 所示。 定义p o i n c a 俺映射万：p p 为：对于任意y p ，石( y ) 表示由y 出发的轨道 第四次负向穿过p 的回归点，记少= 石。 为了寻找拓扑马蹄和研究映射的性质，我们编写了一个m a t l a bg u i 工 具箱，其界面见附录。在超平面上，我们取两个六面体a 和b ，如图4 4 所示， 它们的顶点在新坐标系也，儿，y 3 ) 中的坐标如下： 重庆邮电大学硕士论文第四章超混沌电路的理论分析 4 = ( - o 7 7 5 1 0 1 5 8 6 ，- - 0 5 4 2 0 0 0 0 8 4 ，- 4 ) 2 4 0 7 6 2 4 4 0 ) ， 4 = ( - o 7 8 2 7 9 3 7 7 0 ，- 0 5 7 5