（系统工程专业论文）喷漆机器人喷枪轨迹离线编程及仿真技术研究.pdf

独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容以外，本论文 不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的 研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人 完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者虢阏鹚 日期：埘年彦月f 扩日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全，解学校有关保留、使用学位沦文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权江苏大学可以将本学位论文的全部 内容或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位沦文。 保密口，在年解密后适用本授权书。 本学位论文属于 不保密口。 学位论文作者签名：阙措 签字同期：埘年月旧同 导州j 签名：j 当乡广参凄 签字f 期：毋力j 年6 月阳几 学位论文作者毕业后去向：7 瑞、御争叶中 工作单位：f 五茄、茄、膀、谚_ 】b 壤 备葫隈碥司电话： 通讯地址：伟竹第动海- 蹈 邮编：爿，。，l 摘要 本文首先介绍了国内外喷漆机器人离线编程系统的研究现状及 意义，提出了喷枪最优轨迹规划问题( 0 t p p ) 。 在自动喷涂操作中，机器人的机械手绕待涂工件表面来同移动。 假定这样的系统具有高度的可重复性，随着其性能的提高，适当的路 径和其它的过程参数的选择都能够引起花费代价的巨大节省。本文提 供了针对b 6 z i e r 曲面的喷枪的优化轨迹的求解方法，以使得在工件表 面上产生最佳的喷涂效果。喷枪优化轨迹的设计主要是通过离线编程 来寻找一条满足涂层厚度指标且保持涂层厚度均匀的前提下，工件表 面漆膜厚度差异达到最小时的喷枪轨迹。该问题称为受约束的变分问 题，主要采用非线性方法得出优化后的轨迹喷涂的仿真结果。 最后，本文通过工件表面为b 6 z i e r 曲面的实例来进一步说明喷 涂工艺参数的选择及其喷枪轨迹的设计、求解。在给定喷枪空问路径 的前提下，取漆膜生长速率函数为有限范围模型。并通过一般非线性 规划方法得出依匀速喷涂和按优化方法后的轨迹喷涂的仿真结果。对 于b z i e r 曲面，本文给出了具体求等距面的方法，通过仿真沦证了这 些方法的可行性。 关键词：喷漆机器人，离线编程，轨迹设计，b 6 z i e r ，等距而，仿真 里娄：盔堂堡主兰竺堡兰 a b s t r a c t t h i sp a p e r 仃r s td e s c r i b e st h er e s e a r c hp u r p o r ta 1 1 dc u r r e mr e s e a r c hl e v e io ft h e o 昏l i n e p m 铲a m m i n gs y s t e mf 0 7p a i m i n gr o b o t ，a n dp o i m so u tt h eo p t i m a l t t a j e c t o r yp l a 眦i n gp r o b l e m s ( o t p p ) i ns u c hs p m y c o a t i n go p e r a “o n sr o b o t i cm a n i p u i a t o r sa r ee m p l o y e dt ot r a v e r s e a r o u n dt 1 1 eo b j e c t st ob ec o a t e d g i v e nt h eh i 曲d e g r e eo fr 印e a t 曲i l i t yo fs u c h s y s t e m s ，p r o p e rs e l e c t i o no fp a t h sa n do t h e 。p r o c e s sp a r 锄e t e r sc a i lr e s u i ti n s i g n i f l c a mc o s ts a v i n g sw i t hi n l p r o v e dp e r f b n 姐c e t h i sp a p e rp r o v i d e sas o l u t i o n f o ra no p t i m a lp a t hs e l e c t i o nt h a tp a i n to nab z i e rc u e ds u r f 如e t h eo 口t i m a l 打a j e c t o r yd e s j g np r o b 】啪5m a j n 】ya l 】a j y z eh o wt 0 五n do u tat 捌e c t o 拶w h i c hr e s u l t s i nm i n i m a lv a r i a t i o ni na c c u m u l a t e df l l mm i c k n e s so nt h es u r f a c eo faw o r k p i e c e w h i l et h ep a i n tt h i c k n e s so nt h ew o r k p i e c es u r f a c er e a c hac e r t a i nc h a r a c t e r i s t i ca 1 1 di s k e p tu n i f o r mt h e ya r eg e n e r a l l yf o n n u l a t e da sat y p eo fo p t i m i z a t i o np r o b l e mk n o w n a sac o n s t r a i n e dv 撕a t i o n a lp b l e m ，s t a n d a r dn o n l i n e a rp r o g r a m m i n g t e c h n i q u e sc a i l b eu s e dt od e t e n n i n ei t ss 0 1 u t i o n f i n a l l yt h i sp a p e rs i m u l a t c st h es i t u a t i o no nab 芭z i e rc u r v e ds u r f h c eo fa w o r k p i e c et oe x p l a i nm es e l e c t i o no fp a i n t i n gt e c l l i l i c sp a r a m e t e r sa 1 1 dt r a j e c t o r y d e s i g na n ds o l u “o n so fs p r a yg u nf u n h e r g i v e nas p e c i 矗e ds p a t i a ip a t ha n dt h e p a r a m e t e r so ft h ef i n i t e r a n g et y p ed i s t r i b u t i o nf u n c t i o n ，s o m er e s u l t sa r eo b t a i n e db y u s i n gg e n e r a ln o n l i n e a rp r o g r a i n m i n gm e m o d t h e s er e s u l t si n c l u d ea v e r a g ev e l o c i t y t r a j e c t o r ) ta n do p t i m a lt r a j e c t o r y a tl a s t ，a na r i i h m e t i ci sp u tf o n v a r dt os o l v eo 盛e t s u r f k eo ft h eb 6 z i e rc u r v e ds u r f k e ，a n dd e m o n s m 札et h ef e a s i b i l i t yo ft h e s em e t h o d s k e yw o r d s ：p a i n t i n gr o b o t s ，o f l l i n ep r o 酽a m m i n g ，t r a j e c t o r yd e s i g n ，b 6 z i e r o f f j e ts u r f a c e s i m u l a t i o n 江封、人学坝 。学位论文 第一章绪论 1 1 前言 二十世纪的最后十五年是我困高新技术发展的基石，智能机器人作为世界前 沿技术被列入围家8 6 3 计划。我国专家，学者根据国情，结合国际发展趋势，将 研究机器人技术定位在国际的前沿领域特种机器人上。 作为特种机器人之一的喷漆机器人，在国外早已广泛应用于汽车等产品的涂 装生产线上，近年来国内亦拥有相当数量的喷漆机器人，如南航研制的p r 1 型 喷漆机器人，在大规模的涂装生产线上，用于喷涂工件表面的喷枪通常被置于机 器人的手臂上，即由喷漆机器人去完成对工件的喷涂作业。用于规划喷漆机器人 的运动的一种典型的方法是人工示教法，即由工人握住安装有固定喷枪的机器人 前臂进行喷涂实验，训对由控制机器人的计算机记录下机器人各关节参数的变 化，使得机器人随后能独立的重复沿原先的轨迹运动。采用这种方法而形成的喷 枪轨迹是凭人工经验和实验方法获得的，喷涂效果与物体表面形状、喷枪参数等 诸因素有关。对于诸如汽车、电器及家具等产品，其表而的喷漆效果对质量有相 当大的影响。产品表面的色泽一定程度上取决于涂层厚度。涂层应有足够的厚度 以遮盖底漆或工件表面本身所具有的原始色泽。如果表面上的涂层厚度不能保持 一致，产品表面会产生溶剂的凸起引起表面不光洁。一方面，涂层过厚的地方在 使用过程中会有皲裂倾向；另一方面会导致油漆的浪费，因此应该尽量减少工件 表面涂层厚度的差异，同时，当需要喷涂成千上万的产品时，减少每一个工件表 面的油漆量，从经济角度而言，潜在的利润相当大( 特别是汽车，匕机等大型产 品) 。 由于大多数产品的外形都是由曲线曲面构成的，在i s 机，轮船，汽车的外形 设计中，原本一直使用样条曲线，但样条曲线作为设计工具缺少灵活性和直观性， 直到b 6 z i e rf f b 线的出现，才解决了这些问题。现在，b 6 z i e r 曲线作为很好的曲线 拟合工具，因其具有保凸性，可调控性等特点而被广泛应用于计算机辅助设计 ( c a d ) 及图像的绘制( w i n d o w s 操作系统的曲线就是用b e z i e r 曲线实现的) 。 b 6 z i e r 曲线曲面常用于各种c a d 系统，图形系统以及相应的绘图和图画图形包， b e z i e r 方法不同于传统的插值方法。用传统的捅值方法，为了得到满意拘外形， 设计者需要不断修正型值点的位置，用样条函数、参数样条曲线和曲面以及 江棼人学硕上学位论文 c o o n s 曲面等方法对为止尚未最后确定的型值点构造相应的插值曲线或曲面。显 然这是不合理的。因此，从设计的要求出发，我们希望使用逼近的方法。b z i e r 法就是这样的一种以逼近为基础，利用控制多边型或控制多面型来生成曲线或曲 面的方法，它使得曲线和曲面的设计更容易，尤其是b 6 z i e r 曲面，由于具有良 好的形状控制能力和交叉缩减与保凸性质，在曲面造型中得到广泛的应用。 对于b 6 z i e r 曲面的喷枪轨迹设计的研究是具有广阔前景的。这一系统的开 发，可以解决我们对任意形状的工件表面通过离线编程进行优化的喷涂的问题。 因为工件表面形状可以用b 6 z i e r 曲线曲面来设计，如用有理b 6 z i e r 曲面构造圆 锥面，飞机机身，汽车外形。船体设计等等。 在机器人离线编程领域，人们已经进行了各种不同的实验研究，取得了一定 的成果： 2 0 世纪8 0 年代初，美国m c a u t o 公司研制成功四套用于机器人的软件模块： p l a c e 、b u i l d 、c o m m a n d 、a d j u s t ，它们能够在机器人工作车间安装之 前，先对那里的生产过程进行离线化仿真和检验。 1 9 8 4 年，人们提出了对机器人进行离线编程，并设想计算机图形化仿真机 器人的工作过程。 1 9 8 6 年，a k 1 e i n 把此项技术应用于喷漆机器人，并提出基于c a d 的喷漆 机器人离线编程系统。同样，借助此系统用户可以交互式设计和仿真喷枪与机器 人的运动轨迹。 此外，b b 1 d 肌d a 等人在1 9 9 3 年也提出了与此类似的喷釉机器人离线编程系 统( o l p ) 。 1 9 8 9 年，g d u e l e n 等人进一步探讨了离线编程技术，将之用于静电喷涂中， 且提出表面为雕塑面的工件上电场分布数学模型，进一步扩大了其应用范围。 而近年来，j k a n t o n i o 和r r 蛐a b h a d r a n 则具体讨论了喷枪轨迹的优化问题t 提出了以工件表面上每点的漆膜厚度与整个表面漆膜平均厚度之问的方差为目 标泛函，并考虑了喷枪的空间路径、速度曲线、移动方式、开口角等参数对喷涂 效果的影响，在此基础上探讨了加入喷涂过程中的约束条件后，用数值方法求解 优化轨迹的可能性，使喷漆机器人离线编程技术进一步实用化。 应当指出，目前对喷漆机器人在复杂表面( 如b 6 z i e r 表面) 进行喷涂的轨迹 江街、人学硼i 。学位论义 优化的研究1 作还做的很少。由于喷涂效果受多种因素的影响，如喷枪的位置、 方向及离t 件表面的距离、油漆的粘滞性、挥发性、环境温度、人气压、空气湿 度等等，因而如何找出更加精确的油漆空问分布数学模型，以及提出更好的轨迹 优化方法都是今后有待进一_ 步研究的。 1 2 喷漆机器人离线编程系统简介 喷漆机器人离线编程系统的结构主要包含以下六大模块：物体造型模块、参 数设置模块、喷枪轨迹生成模块、机器人运动轨迹生成模块、分析仿真模块和机 器人程序生成模块( 如图1 1 ) 。下面对其功能以及各模块问的关系作简单介绍。 1 物体造型模块 一般采用计算机辅助几何设计( c a g d ) 对物体进行造型。喷涂作业中经常 遇到的涂件，其表面般都是雕塑面( 自由面) ，可用多种方法对其造型，如 c o o n s f e r g u s o n 法、b z i e r 法、b 样条法及非均匀样b 条法和非均匀有理b 样条 法或它们之间的任意组合。除此之外还可以通过标准图形接口( 如i g e s ) 直接 把其他c a d 系统的c a d 数据转换过来或通过扫描直接获得物体数据。经过造 型后，系统c a d 数据库中就存放了物体的c a d 数据，为喷枪轨迹生成的模块 提供了工件数据信息。 2 参数设置模块 用于指定喷枪的开口角、漆流速率通量、喷射距离、要求的涂层厚度、允许 偏差、喷枪走向、喷涂时间等参数，然后被传送到喷枪轨迹生成模块。 3 喷枪轨迹生成模块 这个模块主要完成喷枪轨迹的牛成与优化，它是整个系统的核心。首先建立 喷涂过程中油漆的空间分布模型和评价喷涂效果的目标泛函，然后根据前两模块 所传来的工件c a d 数据与喷涂过程中所需的各种参数，由具体的算法求解目标 泛函的极值，并自动生成能产生最佳喷涂效果的喷枪轨迹。用户还可以在此模块 中设定喷枪走向，然后由此模块对其进行参数优化，输出+ 条优化的喷枪轨迹。 ( 对此需要进行深入地讨论) 江苏人学硕l 学位论文 图1 1 系统结构圈 打9 1 】s y s t e ma r c h i t e c t u r e 4 机器人运动轨迹生成模块 本模块的主要功能是根据机器人逆运动学原理，将上一模块所生成的喷枪运 动轨迹转换成机器人各关节的运动轨迹，从而为分析方针模块提供机器人的运动 数据。 5 分析仿真模块 本模块式根据前面各模块所传来的工件c a d 数据、各种参数、喷枪轨迹和 机器人的运动轨迹，图形化显示喷枪沿某一指定路径喷涂时工件表面的涂覆情 况，并以列表形式给出工件表面上涂层的平均厚度及其偏差数据，也可以用等高 线配以不同色彩的方式在计算机屏幕上显示出油漆的空间分布效果图。在此过程 中用户可以检查机器人各关节的运动是否满足其约束条件，是否发生机械手碰撞 工件的情况，以便反复修改喷枪参数、路径，最终得到最佳的喷涂效果，从而可 以将机器人的运动轨迹写入轨迹数据库，提交机器人程序生成模块。 江南、人学硕卜学位论文 6 机器人程序生成模块 7 完成将机器人的运动轨迹( 由机器人运动轨迹生成模块提供) 转变成其能识 别的程序语言。 1 3 主要内容、目标及意义 本文主要研究漆膜空间分布模型以及物体表面上一点与喷枪的相对位置，建 立漆膜厚度生长模型，确立物体表面涂层的形成路线并建立评价喷涂效果的目标 泛函，对其求解，找出能产生最佳喷涂效果( 如漆膜的均匀性) 的喷漆机器人喷 枪的运动轨迹，然后根据机器人逆运动学将其转换成机器人各关节的运动规律， 最后对整个喷涂过程进行计算机仿真。其关键在于找出物体表面上一点的漆膜厚 度与喷枪参数及其运动速度之间的关系，以及最优喷枪空间轨迹的自动生成方 法。 本文预期达到的目标为：由用户选择曲面，设定喷枪参数及漆膜厚度，均匀 度等指标要求，计算机自动生成一条空间轨迹和速度曲线( 或由用户设定喷枪运 动轨迹，由计算机对其进行优化，然后由计算机列出分析表，并图形化显示涂覆 效果，若用户对结果不满意，可重新设定参数或修改轨迹，由计算机再次进行仿 真或优化直至达到用户的要求。) 。 1 4 本章小结 本章简要地介绍了喷漆机器人离线编程系统的研究现状及意义，分析了该系 统的结构和功能，指出其主要包含六大模块，最后阐述了喷漆机器人离线编程系 统研究的主要内容与目标。 江苏大学硕士学位论文 第二章优化原理与算法 2 1 序言 如果一个问题只有唯一的答案或者只有一种处理，则无需对其进行优化。一 般情况下，日常生活中所遇到的问题往往不止一种解决方案。对于简单的问题， 可根据经验，加上必要的调查，凭主观判断即可解决。但对于社会经济、生产管 理以及工程领域中的问题，由于问题涉及的因素多、规模大、难度高，光凭主观 经验不能满意的解决，甚至无法解决，这就必须采用基于坚实理论的较可靠的方 法和相应的计算手段与工具来完成。优化原理与方法正是为适应这种社会需要而 产生，并且为了在一切可能的方案中寻求最优的方案，往往需要进行大量的计算， 单凭手工计算已经不能满足日益增大的工作量，随着数学规划和计算机技术的不 断发展，目前优化原理与方法已广泛应用到了各个领域。 优化问题通常研究对“有限”的资源寻求“最佳”的利用或分配方式。任何资 源，如劳动力、原材料、资金等都是有限的，因此必须合理地配置，寻求最佳的 利用方式。所谓最佳的利用方式必须有个标准或目标，这个标准或目标就是使成 本达到最小或利润达到最大。 与优化问题有关的数学模型总由两部分组成：一部分是约束条件，反映了有 限资源对生产经营活动的种种约束；另一部分是目标函数，反映出生产经营者在 有限资源条件下所希望达到的生产或经营目标。 优化学科有许多分支，如运筹学、计算数学、线性规划以及非线性规划。尽 管具体问题中出现的优化形式各异，但它们在数学本质上却是一致的，大致都可 分为以下三步： 根据所提出的最优化问题，建立实际问题的数学模型，确定变量，列出 约束条件和目标函数； 对所建立的模型进行具体分析，选择合适的求解方法； 确定针对此问题的算法，根据算法编写程序，用计算机求出最优解； 对算法的收敛性、通用性、简便性、计算效率等作出评价。 如果所建立的数学模型能较好地反映具体问题，则该模型的解也将是该具体 问题的最优解，因此希望建立的模型既完善又便于求解。而设计变量、目标函数、 江另、人学顾1 “孚位论义 约束条件是构造优化数学模型的三要素。设计变量是指在优化过程中所要选择的 量，优化的目的就是寻找这些变量的最佳组合，设计变量的数目越多，问题的规 模越大，求解就越困难，造成所谓“维数灾难”；目标函数是用于评价一个设计或 一种解决方案的优劣程度的标准，选取何种标准作为日标函数取决于问题的性质 与要求；约束条件是指考虑问题施加的种种限制，每个设计方案或问题的解答 均应满足这些规定的要求，它们可能是等式条件，也可能是不等式条件。 当优化问题的约束条件可用决策变量的若干线性等式或线性不等式来表达， 且目标函数为决策变量的线性函数时，这样的问题就称为线性优化问题。线性优 化技术在工业、农业、军事、经济计划和管理决策等领域有着广泛的用途，其主 要原因是在上述领域中有很多问题都能用线性模式来表达，或者近似地用线性模 式来表达，而且线性优化问题有着比其他优化问题更为有效和简便的解题技术， 即单纯形法。如果目标函数或约束条件中至少有一个是变量的非线性函数则称为 非线性优化问题，并且实际问题由于变量的取值范围总会受到限制，即总存在一 定的约束条件下来研究目标函数的优化问题，这样非线性规划问题又可随着变量 的取值范围分成无约束优化问题利约束优化问题。 本课题所研究的是如何通过离线编程来寻找在待涂工件表面涂层厚度达到 一定指标，并且保持涂层厚度均匀的前提下，喷枪在工件表面移动时的最优化轨 迹，称为喷枪的最优轨迹设计问题。关于如何使喷枪在被喷工件表面最优化移动 的问题被归为具有约束的非线性规划问题。主要运用非线性规划方法来求解喷枪 最优轨迹设计问题，非线性规划问题的算法很多，从无约束规划中的最速下降法、 牛顿法、共轭梯度法、变尺度法、直接法等，到有约束规划问题中的可行方向法、 简约梯度法及广义简约梯度法、梯度投影法、序列二次规划法等2 “，在本章q j 只对课题设计过程中用到的算法，如一维搜索( 倍增半减法和黄金分割法( o 6 1 8 法) ) 、拟牛顿法( d f p 法和b f g s 法、有限内存b f g s 法及差分拟牛顿法) 、乘 子法分别作一简单介绍。 2 2 无约束优化算法中的一维搜索 2 2 1 倍增半减法 在介绍黄金分割法前先介绍用于确定搜索区间的倍增半减法。该方法应按具 江苏大学硕士学位论立 体问题针对当前迭代点h ，首先估计一个初始步长，：，当无法估计时，可取： 弘( o o 卜) ： 由于f ：的估计带有一定的盲目性，因此实验过程采用如下的倍增半减步骤即如果 使用该步长获得下降点，则下一次继续沿此搜索，且步长加大一倍；如非下降点， 则下一次应反向搜索，并使步长减半。具体步骤如下( 设以坼出发，即耿t 1 - 0 ) ： t 1 = o ，、| ，( t 1 ) _ 、i ，1 ；t 2 = t l + ，：，、l ，( t 2 ) _ 、l ，2 ；若、l ，l s 、| ，2 ，则转；若、l ，l 、l ，2 ，则转； f ，= f ：一去o ：一，) ，( f 3 ) 斗 ， 若 ，则取 口= ，c = 屯，6 = f 2 ，吵l y 。， 妒，斗虬，y 2 斗6 艘索区间过程结束：若 ，则转； t 3 = 乜+ 2 ( t 2 一t 1 ) ，、i ，( t 3 ) 一若、l ，3 s v 2 则转；若v 3 、i ，2 ，则转： t 3 _ 2 ，。、| ，2 再转。 t 2 一t l ，t 3 - t 2 ，、l ，2 _ 、l ，i ，、| ，3 一、l ，2 再转； f 。：r 3 一昙( f 3 一f 2 ) ，v ( t 4 ) 一、l ，4 ，若卸2 ，则取a = t 2 ，c ：t 4 ，b = t 3 ，v 2 一、| ，。， v 4 _ 、l ，c ，帅_ 、l ，b ；若v 4 、l ，2 ，则取a = c i ，c = c 2 ，b = “，、l ，l _ v a ，、l ，2 _ 、l ，c ，、l ，4 _ 、| ，b a 按上述步骤可获得a ，c ，b ，、l ，。，、l ，。，、l ，b ，满足a ， 即满足“两头大，中间小”的要求，可保证f 。 a ，b 。 若所估定的f ：对寻求第k 次迭代的 a ，b 合适，则在第( k + 1 ) 次迭代时， 其初始步长宜略减小，因为下一轮的下降步长一般比以前一轮的下降步长小，一 般可取f ：“= o 4 蝣。 2 2 2 黄金分割法( o 6 1 8 法) 求得搜索区间 a ，b 后，一维搜索的任务是通过有效的的投点试验( 函数 值计算) 使 a ，b 迅速缩小，且又能保证极小点 位于缩小的区间内，当区间 缩至充分小时，则可取其中的某个点，如中点，或区间内已有点中函数值最小的 汀、人学坝l 学位论文 点作为近似极小点。一个好的一维搜索方法，应便每一次的函数值计算郡为区例 的缩小作出尽可能多的贡献。黄金分割法就具有上述优点。 黄金分割法进行一维搜索的终j e 准! 1 1 1 j 可采取旧a | 鱼，其主要步骤为： 给定a ，b ，“= ( 5 + 1 ) 2 q ) 求x 1 = d + ( 1 一口) ( 6 一日) ，x 2 = 口+ 口( 6 一d ) ， ，( x 1 ) = l ，( x 2 ) = = j 。 若l6 一a 峰s ，求出近似最优解z ：竺兰；着i6 一n i s 则做。 若； ， 则一j 岛，6 等6 ，x 2jx l ，厂2j 一，转；若i = ，则x lj 口，x 2j6 ， 转。 求一= 日+ ( 1 一口) ( 6 一a ) ，厂( x ) = ；，转。 求x ：= 盯+ a ( 6 一口) ，厂( x 2 ) = ，转。 当口= 一1 ) 2 式能满足等比性，口：( 1 一d ) 口，因而在古代常被用于线段 分割和作为匀称矩形的边长比，被誉为黄金分割，故此法称为黄金分割法。0 6 1 8 法是黄金分割法的一种近似。 2 3 无约束优化问题中的拟牛顿法 2 3 1 牛顿法 解多维无约束优化问题的牛顿法是基丁目标函数的二次泰勒展丌。幽为在当 日f 迭代点x 。附近， 厂( x t + d ) 厂( x ) + d7 1 1 r ，1 ( x ) + 去d7 v2 厂( z 女) d ( 2 3 1 ) 所以，我们可以考虑 m i n 妒。( d ) = d7 v 厂( x 。) + 昙d 7 v2 厂( x 。) d ( 2 - 32 ) 假定v 2 厂( 坼) 是正定的，则知( 23 2 ) 的解是 巩= v2 厂( 砘) r l w ( h ) ( 2 3 3 ) 牛顿法就是用( 2 3 3 ) 作为搜索方向的方法。 江苏大学硕士学位论文 2 3 2 拟牛顿法 拟牛顿法是一种基于逼近牛顿法的方法，它在每次迭代的搜索方向巩满足 b k d = 一x y ( 扎) ( 2 3 4 ) 其中反是一近似v2 ，( 机) 的矩阵。如果b 。正定，拟牛顿法也称变尺度法，这是 由于它相当于使空间尺度随迭代而不断改变的原因。拟牛顿法的基本思想是利用 梯度差及步长构造矩阵满足拟牛顿方程。拟牛顿法不必计算二阶导数，但在一定 条件f 是超线性收敛的，它是求解无约束优化所有利用一阶导数的方法中最有效 的一类方法。而从实际计算表明，b f g s 方法是拟牛顿法中最有效的一个方法。 在每个迭代点h 附近考虑厂( 坼) 的二次逼近 厂( x + d ) 厂( x 女) + d 7 9 + 昙d 7 b k d ( 2 3 5 ) 其中g 。= v 厂 k ) ，b k 月是对称矩阵。如果取是非奇异的，则式( 2 3 2 ) 的右端 函数的稳定点为 d = 一b i l g 女 ( 2 3 6 ) 由于逼近关系( 2 3 2 ) ，我们把d 。当作线搜索方向。假定用某种方式已得到 毋，则利用搜索方向d 。进行一次线搜索得到x 。= x 。+ 口t d t 。下面来确定 b 。由丁： v 2 ，( + 1 ) “儿 ( 2 3 7 ) 其中： 吼= 一x t = 吼以 ( 2 3 8 ) 儿= g 一g t = w ( + ) 一可( 坼) ( 23 9 ) 要求： b 矗= 儿 ( 2 - 3 1 0 ) y 。称为梯度向量差，s 。称为位移向量差。式中( 2 3 1 0 ) 称为拟牛顿方程或者 拟牛顿条件。从而得到一般的拟牛顿算法如下： 江苏人学硕 学位论文 q ) 给出x r ”，o o x 女+ l = x + a d 构造吼+ 使得( 2 3 1 0 ) 成立；t ：= + l ，转步2 。 记h 女= 占i 1 ，则( 2 3 1 0 ) 可写成 h 儿= 吼 ( 2 _ 3 1 1 ) 假定b 正定，由( 2 3 3 ) 定义的d 。是函数厂( x ) 在x 。处在范数i ix l l = x7 曰。x 意义下的最速下降方向。所以，如果所有的鼠都是正定的，则拟牛顿算法也称 为变尺度方法。 2 3 3 几个重要的拟牛顿法 1 d f p 方法 它的修正公式为： ”即州* 圳t + 筹一筹舞 算法如下： 对于非二次函数，以及算法失效时，常采用重开始策略，即重取上h = ， 也就是在重丌始第一步使用负梯度方向进行搜索，然后重新生成 凰 矩阵序列。 选初始点x 。、e l ，e 2 计算厂( x 。) ，w ( ) ； 风= ，。= ，置k = o ； 计算巩= 一峨w ( 札) ； 通过一维搜索确定+ = + 巩，计算厂( 咄+ ) 与w 1 ( h + ) ； 检验| | 可( 吒+ ) 1 l p l ，若是，则h + i 斗x + ，停机：否则转； 检验厂( h + ) ，( 孔) ，若是，则执行重开始，k + ，斗x 厂( x 。) _ - 厂( z 。) ， 江苏大学硕j 一学位论文 w ( + ，) 斗v ( ) ，转；否则转 判别k = n + l ，若是，则执行重开始x 砷x 。，i 厂( k + ，) 哼厂( x 。) 耵( 吨+ ) 斗盯( ) ，转；否则转 h k ( 固 讨算 j = x 一 ， y 。= 丁( 。) 一i 丁 k ) k + 1 = k ，转。 2 b f g s 方法 它的修正公式为： ”即姆即( ，+ 訾 舞一等 其算法同d f p 法，上面已经给出，此处不再赘述。 3 有限内存b f g s 方法 对于中小规模的无约束优化问题，拟牛顿法( 如b f g s 法) 是十分有效的。 但对于大规模问题，即n 相当大时，算法所需内存相当重要，并且在每次迭代中 线代数计算量也影响算法的效率。 有限内存拟牛顿法可看成是共轭梯度法的推广。它的基本出发点是减少内 存。由于b f g s 修正公式可写成： 巩叫一舞剐一舞) + 畿 3 1 2 s i y s k _ y 女j k y a 记凤 则 v k = t l p k yk s ：、 日。= ( 吆，) 日。( 吒，k ) ( 2 3 1 3 ) 鬻 一 盟“ 吼 江封、人学硕i 学位硷文 j - 卜1f i ，1 + 风。( 兀眨加。s ：一，( 兀吆 ( 2 3 1 4 ) ，= 0，= 0，= 0 所以m + 1 步的有限b f g s 方法正是利用 ( 231 5 ) 其中叫o 是一个预先给定的简单】f ：定阵或者由某种方式自动产生。在( 2 3 1 5 ) 中，由于假定h 已知，因而只需存储j ，、一，( f - t 一，七) 就够了。可选取 有限内存b f g s 算法如下： 给出一r ”，h 。r 对称正定；取非负整数m 取0 o 的选取对算法的影响是十分 大的。 差分拟牛顿法的算法如下： 给出初始值孔月”，h 。r “”对称， 利用差商计算g ，女- 1 ； dk = 一hkgk 线性搜索求口女，+ ，= + 吼巩 利用差商求g 。， yk 2gk 。i gk 。 用s t = 。一h 和y i 修正矩阵风 等女+ l ，转。 差分拟牛顿法不计算导数，所以进行线搜索时只能用仅依赖于函数值的一维 极小化方法。 2 4 约束优化问题中的乘子罚函数法 实际优化问题所形成的数学模型，大多是带约束条件的非线性规划问题，即 目标函数或约束式中至少有一个是变量的非线性函数。由于绝大多数实际问题的 极小点位于约束边界上，受到约束条件的影响，因此求解时不仅要考虑目标函数 的性质，在很大程度上还取决于约束函数的形态。约束非线性规划问题的处理方 式大致有以下几种：一类方法是将约束问题转化为一系列无约束问题然后由无约 束算法求解，通过某些参数的调整，使无约束问题的极小点逐步逼近原约束问题 的极小点，称为变换算法或无约束极小化方法，如罚函数法和乘子法；另一类是 江苏人学颂i 学位论文 用一系列线性的或二次规划问题的解逼近原非线性约束j 、口j 题的解，统称为线性近 似化技术；第三类足直接处理约束条件，研究在约束边界如何搜索，以获得使目 标值逐步改善的可行点列，最后趋于约束问题的极小点，统称为可行方向法。本 文丰要对课题中用到的乘子法作介绍。 乘子法是以罚函数法为基础而发展起来的。罚函数法虽简单易懂，但有时随 着惩罚因子的无限增大或减小，响应函数变得十分病态，甚至无法求解而使方法 失败，从而限制了罚函数法的应用。另一方面，由鞍点定理可知l a g r a n g e 函数 在参数“、条件下的无约束极小点就是原问题的极小点工+ ，此时不需要生成 极小点序列来逼近。于是启发人们不在原目标函数上附加惩罚项，而在其 l a g r a n g e 函数上加惩罚项，这就是乘子法的基本思想。f 面就等式约束问题作一 介绍。 考虑等式约束问题： m i n ，( x ) 工曰” ( 2 41 ) s 1 厅， ) = o ，= l ，2 ， ( 24 2 ) 在相应的l a g r a i l g e 函数l 施加惩罚项，构造新函数如下 m ( _ 】c ，v ，c ) ：，( x ) 一圭_ 】l ，( x ) + 昙圭( ，( x ) ) ， ( 2 4 3 ) 上式称为增广l a g r a n g e 函数，给定参数v 、c 求m ( 工，v ，c ) 对x 的极小，其解为 工( v ，c ) 。调整参数v ，c 使之成为某适当的有限值，则解x ( v ，c ) 将收敛于问题的 最优解。关于收敛条件与如何调整v ，c ，不加证明地给出如下定理： 如果x 。是在某个给定的参数v 、c 下函数 膨( x ，r ，c ) ：，( x ) 一圭_ 以( z ) + 冬圭( 以 ) ) ： 的无约束极小点，那么k 亦是下列问题 的极小点。 m i n ，( 川 。x 矗“( 2 a 4 ) s f ，( 工) = ，l ，( x )，= 1 ，一，j 江并人学矾i 学位论文 上述定理给出了函数肘( x ，v ，c ) 无约束极小点收敛于原等式约束极小点的 条件，即如果适当调整拉氏乘子向量v 与罚因子c ，使得婴毋- m ( x ，y ，c ) 的解 恰好满足等式约束 a ，( 孔) = o ，= 1 ，2 ， 那么，砟就是原等式约束问题的最优点x + 。 k = 1 至于参数v 、c 的调整原则，可采用下列迭代公式 乘子法的迭代步骤如下 ( 24 ，5 ) 给定初始点x 。，取常数c 0 ，修正系数y 1 和岛 o ，o p 2 1 ，给定y4 置 以x 。为初始点，求解唑n m ( 工，v ，c ) 式中，m ( 工，一，。) ：，( x ) 一圭y ： ，( x ) + 导圭( ，( x ) ) 2 设解为h 如果愀h ) i l e 。，则以为最优解；否则计算比值愀) | | l | ( h ，) l i ，若此 比值p ：，则以声代替c ；否则保持原c 值 按式( 2 4 5 ) 计算v “1 ，置k = k + l ，转。 2 5 本章小结 本章介绍了优化的意义及要素，提出了几类典型的优化问题，并针对本课题研究 的特点，重点介绍了一维搜索( 倍增半减法和黄金分割法) 、拟牛顿法( d f p 法 和b f g s 法、有限内存b f g s 法及差分拟牛顿法) 、乘子罚函数法等优化算法。 江j _ = 人学硕卜学位论文 第三章喷枪优化轨迹设计 3 1 序言 对于诸如汽车、电器及家具等产品，其表面的喷漆效果对质量有相当大的影 响。产品表面的色泽一定程度上取决于涂层厚度。涂层应有足够的厚度以遮盖底 漆或工件表面本身所具有的原始色泽。如果表面上的涂层厚度不能保持一致，产 品表面会产生溶剂的凸起引起表面不光洁。一方面，涂层过厚的地方在使用过程 中会有皲裂倾向；另一方面会导致油漆的浪费，因此应该尽量减少工件表面涂层 厚度的差异，同时，当需要喷涂成千上万的产品时，减少每一个工件表面的油漆 量，从经济角度而占，潜在的利润相当大( 特别是汽车，飞机等大型产品) 。 工业生产中散使用喷枪来喷涂产品。涂层质量的好坏不仅与周围环境( 如 环境温度、大气压强以及相对湿度) 有关，而且与喷漆过程中喷枪本身的技术参 数( 如喷嘴、漆针、漆容器的压力、喷射压力、喷枪针状阀的位置等基本设置以 及油漆粘度) 和工件表面几何形状、喷枪路径、喷射距离以及喷涂速度也密切相 关。因而鉴于以上种种因素，要获得高质量的喷涂效果是很不容易的。 在通常的喷漆过程中，油漆必须经过雾化处理后，才能喷到工件的：表面。一 般的油漆是指用以混合不同的成分得到的液体。这些成分包括溶剂、颜料、混合 剂以及能使其变厚变干变稳定的添加物。当油漆由喷枪的喷嘴中喷出以岳，一些 稀释剂和固体从喷漆圆锥中蒸发，而且由于超范围喷涂一些稀释剂和固体将会流 失。随着溶剂的挥发，液态的油漆会变得愈来愈粘，当所有的溶剂都挥发完时， 油漆就变成了固体。由于雾化后的油漆微滴的表面积相对于其体积的比率较高， 因而在其经空气由喷枪喷射到工件表面的过程中，相当一部分溶剂从油漆微滴中 直接挥发出去，也即当油漆微滴碰到工件表面时，其粘度要比刚被雾化时大得多。 这种粘度的增加有助于防止滑漆和喷漆流塌现象的发生f 3 5 】，然而如果失去太多 的溶剂，那么当油漆微滴到达工件表面时，就会由于太干燥而不能流到一起形成 均匀的涂层。另一方面，如果表面涂层中含有太多的溶剂，那么随着油漆逐渐变 干，很可能会发生溶剂起泡现象，则工件表面上会产生溶剂的凸起以至于表面的 不光洁。因此要想获得高质量的喷涂效果，溶剂浓度的控制和类型的选择是很重 要的因素。 由于喷漆系统中各参数问的相互影响复杂，因而即使自动化程度很高的喷漆 江苏大学硕士学位论文 系统( 如汽车工业中的喷漆系统) 也都是根据经验来设计和改进的【3 0 】。常规的 操作是对这些喷漆设备初始设定一些参数( 如大气压力、喷射压力、溶剂浓度和 所需的静电电压) ，这可以通过实验的方法来获得。评审专家根据测试板上的油 漆涂覆效果作出客观评价，获得效果最好的参数设定点作为当天生产线的质量标 准。由于人为对喷漆质量作出长期判断的能力要受到当时情绪、疲劳程度及其它 因素的影响，所以许多厂家已采用光学、图像传感设备和信号处理技术来自动检 验产品3 7 j 。 喷有彩色油漆的工件表面其色泽一定程度上取决于油漆的厚度，即漆膜厚 度。漆膜应该具有足够的厚度以遮盖底漆或工件表面本身所具有的原始色泽。若 要使工件表面色泽均匀，那么工件表面上的每一点都必须获得具有足够的油漆厚 度，并且其厚度一定要一致。如果表面上的漆膜厚度未能保持一致的话，一方面 会导致油漆的浪费，另一方面，漆膜过厚的地方在使用过程中会有皲裂的倾向 1 4 ”。因此应该尽量减少工件表面上每一点间的漆膜厚度差异。这不仅使工件能 够拥有更好的表面光泽，而且也能够提高工件的结构整体性，同时当要喷涂成千 上万的产品时，减少每一个工件表面的油漆量，从经济角度而言，也是至关重要 的，潜在的利润相当大，特别是对于汽车等大型产品。 产品的期望喷涂效果与其用途和特性也有着很大的关系。例如，在喷涂冰箱 门时通常希望涂装出橘子皮纹状的效果来以便隐藏手指印，然而这类喷涂效果对 于汽车涂装业却并不实用。参考文献【3 8 】和【3 9 列出了美国电器和汽车工业中常 用涂料的化学成分和属性。因此，被选喷漆类型及其特性必须与使用目的相符合。 例如，如果希望得到光洁的涂层表面效果，可以选择易雾化的树脂型涂料，因其 雾滴能够很好地融合为一体形成均匀一致的涂层，从而提高了喷漆效率。另外， 随着人们愈来愈重视环境保护和劳动保护，喷涂作业中溶剂类型的选择也引起各 国政府和环保部门的高度重视。例如，自从美国1 9 7 0 年签署清洁空气法案 以来，美国环境保护机构( e p a ) 已颁布了许多周边空气质量标准。在过去3 0 年e p a 规定的许多空气质量指标中，其中之一为空气中碳氢与光化学氧化物的 浓度，而这些物质【4 0 l 常存在于一些工业溶剂中。 关于如何使喷枪在被喷工件表面最优化移动的问题被归为受约束变分的一 类最优化问题。由于在整个喷涂过程中虽然有许多因素对喷涂