（一般力学与力学基础专业论文）旋转行波超声电机的非线性动力学建模与机理分析.pdf

中文摘要 压电超声电机( u s m ，u l t r a s o n i cm o t o r ) 是近二十多年才发展起来的新型微 电机系统，具有低转速、高转矩、重量轻、结构简单等诸多优点。u s m 在多个 环节具有较强的非线性因素，这些因素的存在对整机系统的性能产生明显的影 响。 压电材料非线性是超声电机中主要非线性因素之一，对超声电机在考虑压电 材料非线性特性时的动力学建模和机理分析，尚未展开深入的理论分析。本文考 虑压电材料二次非线性本构关系，应用广义h a m i l t o n 原理和r a y l e i g h r i t z 法等 方法建立了旋转行波超声电机定子驻波振动、定子行波振动、转子转动和轴向运 动及整机的非线性动力学模型；应用非线性动力学理论和方法，研究了超声电机 系统的非线性动力学行为。论文工作包括以下几部分： 1 对超声电机非线性动力学建模与机理分析的国内外研究现状进行了综 述； 2 建立了旋转行波超声电机定子驻波振动的非线性动力学模型，使用多尺 度法计算动力学模型的驻波振动主共振响应。研究发现，振动主共振响应中存在 二次谐波、振幅跳跃和多解现象，数值积分的结果验证了解析解的正确性； 3 不考虑摩擦界面力，建立了旋转行波超声电机定子行波振动的非线性动 力学模型。使用多尺度法计算动力学模型的行波振动主共振二次近似响应，揭示 了主共振响应中存在模态分裂、振幅不等、振幅跳跃和多解现象，分析系统参数 对系统响应的影响。数值积分给出系统主共振的稳定解； 4 考虑摩擦界面力的影响，建立了旋转行波超声电机整机( 不包括控制系 统) 的非线性动力学方程； 5 利用数值积分法得到不同输入条件下定子行波振动两模态坐标、转子转 速和输出功率的响应曲线。研究结果给出整机的输入输出关系，揭示了旋转行 波超声电机整机系统中存在的多解现象。 通过本文的研究，对压电材料二次非线性特性引起的旋转行波超声电机的非 线性动力学行为有了一定认识，为深入研究旋转行波超声电机的动力学机理和控 制提供了一定的理论依据。 关键词：旋转行波超声电机压电材料非线性本构关系广义h a m i l t o n 原理多 尺度法主共振 a b s t r a c t u l t r a s o n i cm o t o r ( u s m ) i san e wd e v e l o p m e n tj nt h ef i e l do fs i n a i ls c a l e a c t u a t o r s ，w h i c hh a se x h i b i t e da d v a n t a g e so fh i g hh o l d i n gt o r q u e ，h i g ht o r q u ea tl o w s p e e d ，s i m p l es t r u c t u r e ， c o m p a c t n e s s i ns i z e c o m p a r e d t oc o n v e n t i o n a l e l e c t r o m a g n e t i cm o t o r s u s u a l l y , u s ms h o w ss t r o n gn o n l i n e a rc h a r a c t e r i s t i c si nt h e s y s t e m ，w h i c hh a sa p p a r e n te f f e c t so nt h ep e r f o r m a n c e so ft h es y s t e m e x p e r i m e n t sa n dr e s e a r c h e sh a v ep r o v e dt h a tt h ep i e z o e l e c t r i cm a t e r i a l n o n l i n e a r i t i e so ft h es t a t o rh a v eb e c o m ear e m a r k a b l ef a c t o ra f f e c t i n gc h a r a c t e r i s t i c s o fu s m h o w e v e r , t h er e s e a r c h e so f d y n a m i c a lm o d e l i n ga n da n a l y s i so ft h eu s mi n c o n s i d e r i n gt h en o n l i n e a r i t i e so fp i e z o e l e c t r i cm a t e r i a l sh a v en o tb e e nf u l l yd e v e l o p e d u pt on o w i nt h i sp a p e r , t h en o n l i n e a rd y n a m i cm o d e lo fs t a n d i n gw a v ev i b r a t i o n ， t r a v e l i n gw a v ev i b r a t i o no ft h es t a t o r , m o v e m e n t so ft h er o t o r a sw e l la st h e i n t e g r a t e ds y s t e mo ft h eu s mw e r ee s t a b l i s h e db ym e a n so fg e n e r a l i z e dh a m i l t o n s p r i n c i p l e a n d r a y l e i g h r i t z m e t h o di n c o n s i d e r i n gt h eq u a d r a t i cn o n l i n e a r c o n s t i t u t i v er e l a t i o n so fp i e z o e l e c t r i cm a t e r i a l s n o n l i n e a r d y n a m i ct h e o r ya n d m e t h o dw e r eu s e dt oi n v e s t i g a t et h ed y n a m i cm e c h a n i s mo ft h eu s m t h em a i np a r t s i n c l u d e di nt h et h e s i sa r ca sf o l l o w ： 1 ar e v i e wo ft h en o n l i n e a rd y n a m i c a lm o d e l i n ga n d a n a l y s i so fu s m a tb r o a d a n dh o m e sw a sg i v e n ； 2 t h en o n l i n e a rd y n a m i cm o d e lo fs t a n d i n gw a v ev i b r a t i o no fs t a t o rw a s e s t a b l i s h e di n c o n s i d e r i n g t h e q u a d r a t i cn o n l i n e a rc o n s t i t u t i v er e l a t i o n so f p i e z o e l e c t r i cm a t e r i a l s ，t h em e t h o do fm u l t i p l es c a l e sw a su s e dt oi n v e s t i g a t et h e s e c o n do r d e rp r i m a r yr e s o n a n c eo ft h es t a t o r , a n dt h er e s u l t ss h o wt h a tt h ep r i m a r y r e s o n a n c eh a sm u l t i s o l u t i o n sa n dj u m pp h e n o m e n ai ng i v e nc o n d i t i o n s n u m e r i c a l i n t e g r a lr e s u l t sv e r i f i e dt h ev a l i d i t yo ft h ea n a l y s i s ； 3 t h en o n l i n e a rd y n a m i cm o d e lo ft r a v e l i n gw a v ev i b r a t i o no fs t a t o rw a s e s t a b l i s h e dw i t h o u tc o n s i d e r i n gt h ef r i c t i o nm e c h a n i s mb e t w e e nt h er o t o ra n ds t a t o r , t h em e t h o do fm u l t i p l es c a l e sw a su s e dt o i n v e s t i g a t et h es e c o n do r d e rp r i m a r y r e s o n a n c eo ft h es t a t o r t h er e s u l t ss h o wt h a tt h ep r i m a r yr e s o n a n c eh a ss o m es p e c i a l p h e n o m e n as u c ha sm e d a is e p a r a t i o n ，d i f f e r e n c eo ft h et w om o d a la m p l i t u d e s m u l t i s o l u t i o n sa n dj u m p ，a n dg i v et h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nc h a r a c t e r so ft h es o l u t i o n a n dt h ep a r a m e t e r so ft h es y s t e m n u m e r i c a li n t e g r a lr e s u l t sv e r i f i e dt h es t a b i l i t yo f t h ep n m a r yr e s o n a n c es o l u t i o n ； 4 t h en o n l i n e a rd y n a m i cm o d e lo ft h ew h o l es y s t e m ( c o n t r o ls y s t e mw a s e x c l u d e dh e r e ) o ft h eu s mw a se s t a b l i s h e di nc o n s i d e d n gt h ef r i c t i o nm e c h a n i s m b e t w e e nt h er o t o ra n ds t a t o r ； 5 p h a s em a p s ，t i m eh i s t o r i e sa n ds p e c t r u m so f t h et w om o d a la m p l i t u d e so f t h e s t a t o r , a x i a ld i s p l a c e m e n ta n da n g u l a rs p e e do ft h er o t o rw e r ea c q u i r e db yn u m e r i c a l m e t h o d t h er e s u l t sg i v et h er e l a t i o n s h i pb e t w e e ni n p u t sa n do u t p u t so ft h es y s t e m t h eb e h a v i o ro ft h eu s ma l s op r e s e n t sj u m pp h e n o m e n ai nc e r t a i nc o n d i t i o n s f r o mt h er e s u l t so ft h i st h e s i s ，t h en o n l i n e a rd y n a m i cb e h a v i o ro fu s md u et o q u a d r a t i cn o n l i n e a r i t i e so fp i e z o e l e c t r i cc a l lb er e a l i z e dd e e p l y t h er e s u l t sb u i l da t h e o r e t i c a lf o u n d a t i o nf o rf u r t h e rs t u d yo fn o n l i n e a rm e c h a n i s ma n dc o n t r o lo f r o t a r y t r a v e l i n gw a v eu l t r a s o n i cm o t o r s k e y w o r d s ：r o t a r yt r a v e l i n gw a v eu l t r a s o n i cm o t o r , p i e z o e l e c t r i cm a t e r i a l ，n o n l i n e a r c o n s t i t u t i v er e l a t i o n ，g e n e r a l i z e dh a m i l t o n sp r i n c i p l e ，m e t h o do fm u l t i p l e s c a l e s ， p r i m a r yr e s o n a n c e 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得叁盗盘堂或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：签字日期： 少p 7 年f 月3 多日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解苤鲞盘堂有关保留、使用学位论文的规定。 特授权墨凄盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名： 签字日期：2 驴护 年1 月2 多日 名：膨 签字日期：夕口少年，月衫日 第一章绪论 1 1 研究背景 第一章绪论 压电超声电机( u s m ，u l t r a s o n i cm o t o r ) 是近二十多年来才发展起来的新型 微电机驱动系统。与电磁式、静电式等传统电机相比，压电超声电机具有诸多特 点：低转速，高转矩，重量轻，结构简单且可多样化，能量密度和转换效率高， 起停灵敏度高、定位精确，断电自锁，无电磁场干扰，噪音低，可适用于低温运 行等等【惦】。因此，超声电机有广泛的应用范围，如宇宙飞船、人造卫星、飞机、 导弹、汽车、机器人和精密仪器等领域【3 4 】。在某些特殊环境中，如核磁共振仪 器1 5 j 、高能物理研究中的无电磁干扰及真空环境【6 】、航天器和卫星中的低温环境， 大规模集成电路制造中的高真空和无电磁干扰等环境【7 1 ，超声电机有着无可比拟 的优点【引。 由于超声电机的研究起步较晚，目前开发出的原型机普遍存在如下问题：性 能不稳定、效率低、负载特性难以预测、尚难以实现精确控制等等，离工业产品 的标准尚有很大的差距。这主要是由于初期阶段的研究主要集中在研究新的驱动 方式、构造新的结构形式和开发新型电机上f 9 】，而在性能的改善方面尚存在一些 理论和技术上的问题。直到上世纪九十年代后，超声电机的建模、机理分析、性 能预测等理论问题才开始引起关注。 一般地，大功率情况下，u s m 在多个环节具有较强的非线性因素，主要表 现为【lo 】：( 1 ) 定子与转子接触非线性；( 2 ) 压电材料非线性；( 3 ) 驱动电网络中 的非线性因素；( 4 ) 温度、磨损等因素引起的缓变因素。这些因素的存在，使超 声电机表现出多种非线性现象，如跳跃、滞后、共振频率漂移、死区和饱和等， 对整机系统的性能产生明显的影响。 大量试验和研究证明，超声电机中压电材料非线性在诸多非线性因素中占有 重要的地位。而对超声电机在考虑压电材料非线性特性时的动力学建模和机理分 析，尚未展开深入研究。鉴于其大功率下表现出的突出作用，应该建立考虑压电 材料非线性效应时的u s m 非线性动力学模型，以开展机理分析。此外，在建立 合理非线性动力学模型的基础上，应该引入新的非线性动力学方法来研究超声电 机的动力学机理，以期揭示更多的非线性动力学现象，为超声电机的有效控制提 供依据。针对上述问题，本文拟以典型的旋转行波超声电机( t 、舢m ) 为对象， 考虑定子压电材料的二次非线性特性，从非线性动力学角度对t w u m 定子及整 第一章绪论 机的动力学特性展开较为系统的研究。 1 2 超声电机非线性动力学研究现状 当前，关于超声电机的研究大多集中于基于实验分析的结构设计，或辅以少 量的有限元计算【l l 】，以及在此基础上对控制方法的研究 1 2 - 1 5 】。近年来，随着非线 性动力学理论的发展，以及u s m 控制系统提出的越来越高的要求，人们开始关 注u s m 系统中的非线性动力学建模和机理分析。 1 2 i 超声电机的非线性动力学建模方法 对压电超声电机的研究涉及多种学科，包括电子学、动力学、摩擦学、材料 科学、控制理论和实验技术等【l6 1 ，特别是系统中包含多种非线性因素，因此，超 声电机的非线性动力学建模是一个复杂问题。根据现有文献，一般有三种建模方 法：等效电路建模、动力学理论建模和辨识建模等方法旧。其中前两种方法属于 理论建模，后一种方法属于实验建模。 由于超声电机工作原理特殊，尤其是其中包含摩擦过程，直接进行动力学理 论建模比较复杂。一部分专家学者为避开这一难题，采用等效电路法来建立理论 模型。k u r o s a w a 和u c h i k a 等人l l 剐使用等效电路建模方法研究了鱼鳍式u s m 的 动力学特性，指出超声电机中存在着死区和饱和现象；p e t i t 等人1 1 9 】使用等效电 路法研究了t w u m 的频率特性，指出由于压电材料迟滞阻尼引起的特殊非线性 现象，如滞后、共振频率漂移，因此在电机转速一工作频率曲线上存在不稳定区 域，这是在设计控制电路时必须考虑的；国内，韩西京等人【2 0 】较早建立了旋转行 波u s m 的等效电路模型，但尚未考虑其中非线性的影响。等效电路模型虽可以 在一定程度上描述超声电机的原理与静特性，但无法描述电机的动特性，因此不 能根据等效电路模型设计出控制效果良好的控制器，难以实现超声电机的高性能 控制，发挥其独特的优越性l l7 | 。 由于等效电路模型只是采用模拟近似的方法，无法给出系统物理参数和响应 的准确对应关系，因此许多学者开展了动力学直接建模的研究，通过动力学、压 电学等理论进行建模。h a g o o dn w 和m c f a r l a n d l 2 1 1 使用h a m i l t o n 原理和 r a y l e i g h r i t z 假设模态能量方法，建立了旋转行波超声电机定子的模态坐标振动 方程和转子的动力学方程，其中法向接触力为分段线性弹簧模型，切向力则采用 库仑摩擦模型，但该文并没有给出和分析系统存在的非线性现象：m a a s 和 g - r o t s t o l l e n 2 2 】贝i j 应用相同的接触力模型分析了系统中的跳跃现象，为了得到简单 的控制方法，他们还使用广义平均法建立了u s m “电”和“机”系统的平均模型； 第一章绪论 f i y n n l 2 3 1 则直接从定子的波动方程出发研究了输出力矩和转速在四种接触模型 ( c o u l o m b 摩擦模型、粘性阻尼模型、h e r t z i a n 接触模型和线性弹簧模型) 下的 关系，但最后指出由于诸多因素未考虑，实测结果与理论结果存在较大误差； t s a i 等人【2 4 】较系统地研究了双模态纵扭直线型u s m 的动力学原理，数值模拟和 实验均发现了两种非线性现象：死区和饱和。a u r e l l e 等人【2 5 】重点研究了压电材 料非线性对l a n g e v i nt r a n s d u c e r 系统动态特性的影响，利用p z t ( 锆钛酸铅，l e a d z i r c o n a t et i t a n a t e ) 非线性本构关系建立了简单的单质量弹簧模型，并用谐波平 衡法进行了求解，分析了不同非线性项的系数对幅频曲线的影响。该文还通过试 验观察到由于p z t 材料非线性引起的各种非线性现象：振幅跳跃、滞后、饱和 等；国内，李朝东等人【2 6 】建立了棒形直线超声电机( 纵弯型) 的力学模型，将振 子纵向振动和弯曲振动分开建模，纵向振动为有间隙的非线性方程组；横向振动 为带干摩擦的非线性方程组。该模型只建立了振子( 即定子) 的机械振动模型， 未考虑机电耦合部分，横向振动的模型中未考虑刚度项；苏鹤玲等人【2 7 】考虑定子 的线性压电特性及定、转子间的摩擦特性，应用h a m i l t o n 原理建立了旋转u s m 定子驻波振动的动力学模型，并通过数值计算得到了输出转速与转矩的关系，但 未考虑压电材料非线性；高健和曹树谦1 2 8 , 2 9 考虑压电材料的电致弹性和电致伸缩 效应，根据h a m i l t o n 原理和r a y l e i g h r i t z 假设模态方法建立了旋转行波超声电 机定子驻波振动和行波振动的非线性动力学模型，使用多尺度法研究了不考虑界 面摩擦时定子的一阶主共振响应，给出了解的特性与系统参数的关系。动力学理 论建模方法，可全面考虑系统中存在的各种非线性特性。尤其是得到简化数学模 型后，通过对系统进行动力学机理分析，可以为u s m 的控制提供理论依据。该 方法的缺点是建模和分析比较复杂。 由于动力学理论建模过程复杂，而等效电路模型不能反映超声电机的动态特 性，一部分学者开始了超声马达辨识建模的研究，直接通过测量马达的输入输出 数据，从控制的角度出发建立超声马达适于控制的黑箱模型。s e n j y u 等人【3 0 】在 进行超声电机自适应控制中，分别假设了几个阶次的模型结构，然后进行参数辨 识，并通过控制效果选择了一个最恰当的模型结构，从而建立了超声电机的数学 模型；s c h u l t e 等1 3i j 通过分别对行波型超声电机的机械子系统、压电执行器等进 行参数辨识，建立了超声电机的数学模型；m a s s 等1 3 2 首先对电学子系统、压电 能量转换过程、定子振动、非线性的定转子接触过程以及转子等分别实验建模， 然后分别通过离线在线的参数辨识方式建立了电机的状态空间模型，实验结果 证明控制效果良好。实验建模的优点是得到的动力学模型比较准确，但是，实验 建模的结果只是针对特定系统，不具有普遍性；此外，实验建模必须先有实物， 才能进行模型辨识，不能在设计阶段即给出动力学模型，限制了该建模方法的应 第一章绪论 用范围。因此，将理论建模和实验建模有机的结合起来，两者互相补充，相互验 证，才能得到更为合理的动力学模型。 1 2 2 压电材料非线性动力学行为研究现状 压电材料非线性对超声电机的动力学特性具有明显的影响，关于压电材料非 线性本构关系及非线性特性的研究已取得一定进展，但尚未结合超声电机建模与 机理分析开展深入的研究工作。 j o s h i l 3 3 l 从m a x w e l l 方程和g i b b s 自由能出发，推导出压电材料线性和二次非 线性本构关系，该关系式可以作为u s m 动力学建模时使用；t a k a h a s h i 等人l 驯 介绍了压电材料( p z t ) 非线性特性的测量方法，给出了p z t 在软式和硬式条件 下本构关系的经验公式，并指出硬式p z t 的非线性程度较小( 非线性比例常数 较小) ，因而选用硬式p z t 较好。文中提到的压电材料在强电场和高应力条件下， 表现出很强的非线性特性；g u y o m a 3 5 j 考虑l a n g e v i n 振子中的电致伸缩和电致弹 性效应，通过理论分析和实验观察得到滞后、共振频率漂移及饱和现象；j i a n g 【3 6 j 应用谐波平衡法和实验方法研究了压电共振器中的二次谐波响应；h o m 3 7 】应用 i n t d l f 3 8 】提出的电致伸缩模型，研究了p m n p t ( 铌镁酸铅钛酸铅，l e a dm a g n e s i u m n i o b a t e 1 e a dt i t a n a t e ) 杆的高次谐波响应；y a o j 应用渐近理论研究- j x 2 晶片和单 晶片层合悬臂梁的共振频率漂移和机械品质系数损失特性，但共振曲线中未得到 明显的振幅跳跃，w a n g 4 0 在对同一问题的数值和实验研究中由于引入了三次材 料非线性而得到了较明显的共振峰偏移：w o o d 4 1j 建立了变截面压电悬臂梁的等 效集中质量模型，通过数值模拟和实验研究了共振响应和机械品质系数的变化规 律：l i l 4 2 j 应用多尺度法研究了矩形压电薄板的主共振及参数共振响应，响应中存 在基频和倍频成分，但未给出多解、振幅跳跃和滞后等现象；姚林泉1 4 3 考虑电致 弹性和电致伸缩效应，研究了矩形压电层合板的静态响应。 德国，v o nw a g n e r 和p a r a s h a r 等人对典型压电结构在弱电场下的非线性动力 学行为开展了一系列的试验和理论研究。2 0 0 3 年，y o nw a g n e r 【舭j 考虑压电材料 的d 3 3 效应，建立了无约束压电细长杆的一维非线性动力学模型：次年，y o n w a g n e r 和h a g e d o r n 4 5 】建立了弱电场中压电悬臂梁的非线性动力学方程，指出弱 电场中压电材料亦表现出明显的非线性特性；2 0 0 4 年，p a r a s h a r 等m 1 考虑压电材 料的d 1 5 效应，在其本构关系中引入立方项，对压电振子的剪切弯曲振动进行非 线性动力学建模和响应分析；同年，y o nw a g n e r t 47 】建立了典型压电结构的3 d 有 限元模型，其本构关系中同时引入平方项和立方项，通过对模型进行解析分析， 事实上，本构关系中的平方项对一次主共振近似解不起作用。 总之，关于压电材料非线性本构关系及非线性特性的研究已取得一定进展， 第一章绪论 但进行压电结构的动力学建模时，一般只考虑三次非线性本构关系，对包含三次 项的动力学方程进行一次主共振分析，未单独考虑本构关系中二次项的影响，没 能从理论上解释试验中发现的如压电材料软特性、二次超谐成分、直流分量等现 象。对压电材料二次非线性的影响，只对一维模型进行了研究，对与t w u m 相 关的二维模型尚未开展工作。因此，考虑压电材料的二次非线性本构关系，结合 超声电机进行压电结构的动力学建模与机理分析是本文工作的重点。 1 2 3 超声电机摩擦界面机理分析 超声共振摩擦驱动机理是当前超声电机非线性动力学研究的重要方面。超声 共振状态下的摩擦机理是一个复杂问题，目前尚未有统一的认识，通常认为具有 “超声减摩”或“摩擦力缩减”的特征。为了简化计算，在动力学建模时一般仍采用 线弹性模型来做近似的估算。 s t o r c k 等人【4 8 】研究了超声电机中的“摩擦力缩减”现象，认为该现象不是因 为其他别的原因，而是因为在分析模型中忽略了该有的谐波，即垂直于宏观运动 方向和平行于宏观运动方向的谐波，这些谐波导致在宏观运动方向的摩擦力降 低，文中使用了库仑摩擦；r e h b e i n 和w a l l a s c h e k l 4 9 从实验角度对高频( 超声) 振动系统的摩擦机理进行了研究，提出了动态摩擦系数和显式平均摩擦系数的概 念，指出其与低频振动系统或静态系统具有很大的差别，表现为高频动态摩擦系 数强烈地依赖于动态特性，其平均摩擦系数比低频系统中的摩擦系数要小得多， 分析原因可能是由于实际接触面积降低。该文可认为是对s t o r c k 研究成果的补 充；m o a l 和c u s m 5 0 j 研究了定子到转子的能量转换，特点是考虑了径向的能量损 耗，并且分析磨损带来的能量损失，但忽略了如摩擦层材料的的粘弹性、径向和 切向力学行为的耦合等因素。文中给出了设计u s m 的一般准则，结果可以作为 接触模型建模时的一些借鉴；t a k a s a k i t 5 1j 和k u r o s a w a t 5 2 】等人通过试验研究了表面 声波电机的若干特性，指出微米级摩擦驱动机理是一个较新的研究课题；m o a l 等人【5 3 】深入研究了直线超声电机的摩擦驱动机理，文章对直线型驻波超声电机 ( s w u m ，s t a n d i n gw a v eu l t r a s o n i cm o t o r ) 进行了动力学分析，建模时将动件的 铅直运动和水平运动分开处理，详细分析了动件的脚( 1 e g ) 的不同运动形态， 如粘( s t i c k ) 、滑( s l i p ) 、跳( f l i g h t ) 等不同组合，给出了速度与各种参数( 如 正向压力、制动力等) 的关系。 总之，超声电机摩擦界面的驱动模型大多采用库仑摩擦模型。库仑模型的优 点是计算简单，将复杂的摩擦机理用一个摩擦系数来等效表示。但由于超声微幅 共振状态下的特殊性，这些模型还不能准确反映真实的驱动特性，有必要深入研 究超声微幅共振状态下的摩擦机理。 第一章绪论 1 3 论文的目的和意义 关于超声电机非线性动力学机理的研究是一项重要的工作。因此，需要考虑 超声电机中的主要非线性因素，如压电材料非线性和界面摩擦非线性，建立具有 普遍意义下的非线性动力学模型；在此基础上，引入非线性动力学方法来研究超 声电机的动力学机理，以揭示更多的非线性动力学现象，为超声电机控制系统的 设计奠定基础，从而更有效地减少非线性因素对系统输出特性的影响。 1 4 论文的工作安排 全文共分六章，各章的内容安排如下： 第一章为绪论，介绍超声电机非线性动力学的发展概况和国内外研究现状， 指出本文的研究背景及研究意义。 在第二章中，考虑非线性压电效应，建立旋转行波超声电机定子驻波振动的 非线性动力学模型。使用多尺度法研究系统方程的二阶近似主共振响应，给出解 的特性与系统参数的关系。通过数值积分验证解析解的正确性。 在第三章中，建立不考虑摩擦界面力时定子行波振动的非线性动力学模型， 使用多尺度法研究两自由度方程的二阶近似主共振响应，给出解的特性与系统参 数的关系。数值积分的结果给出解的稳定性。 在第四章中，建立考虑摩擦界面力时定子行波振动的非线性动力学模型和转 子的动力学模型，并对整机进行非线性动力学建模。 第五章应用数值法计算分析旋转行波超声电机整机的非线性动力学机理，给 出整机基本的输入输出关系。 第六章给出全文总结。 第二章旋转行波超声电机定子驻波振动的非线性动力学分析 第二章旋转行波超声电机定子驻波振动的非线性动力学分析 定子是超声电机的核心部件，其非线性动力学行为直接影响超声电机整机的 运动特性。旋转行波超声电机定子工作在行波振动状态，而行波振动是由两个驻 波振动叠加而成。所以，首先研究定子的驻波振动。对旋转行波超声电机定子进 行驻波振动非线性动力学分析只需考虑定子的单一振动模态，由单相信号驱动。 由于本章不涉及对转子进行动力学分析，不考虑摩擦界面力的影响。 考虑压电材料二次非线性本构关系，根据h a m i l t o n 原理和r a y l e i g h r i t z 假 设模态方法【5 4 】建立旋转行波超声电机定子驻波振动的非线性动力学模型，然后使 用多尺度法f 5 5 】研究不考虑摩擦界面时定子的二阶主共振响应，给出解的特性与系 统参数的关系，揭示压电材料非线性对定子主共振响应的影响，最后通过数值积 分验证解析解的正确性。图2 1 给出定子的结构示意图。图中选具有4 个波长九 的模态为工作模态。 压电陶瓷片 ( a ) 定子结构 2 i 广义h a m i l t o n 原理 弹性体 图2 1 定子结构 ( b ) 压电陶瓷片的布局和极化方向 外加电场作用下的压电陶瓷存在电能与机械能的相互转换，必须使用适于机 电耦合系统的广义h a m i l t o n 变分原理，即质点系在t 。到f ：时间内的一切容许运动 中，真实的运动路线是使如下泛函 f = j ( t - u + w e ) d r + p m ( 2 - 1 ) 。 1 1 达到极值，即【2 l 】 ( 丁一u + w e ) d t + i 6 2 耽，：0 ( 2 - 2 ) i i1 1 第二章旋转行波超声电机定子驻波振动的非线性动力学分析 r = 了1p 。i 4 i , 。d l + 丐1i p p 西j 西。d r , ( 2 - 3 ) u = u l + u 2 = 百1i s t r d v + 百1p t r a y ( 2 - 4 ) s = 墨) = 主三 ，r = 茎 = 三三) c 2 - 5 ， 睨= i 1 ，e r d d v p ( 2 - 6 ) d = 岛) ，e = 仁，)( 2 7 ) 2 2 旋转行波超声电机定子驻波振动的非线性动力学建模 2 2 1 材料的本构关系 在弹性体内，应力应变本构关系如下： t = c 3 s 其中，c 。为刚度矩阵，表示为 ( 2 - 8 ) 第二章旋转行波超声电机定子驻波振动的非线性动力学分析 小雕曼 p 9 ， 仁= 絮差 陪 s = s t s t s t c e = 雩萼e 曼 ，p = 弓 ，y = 荨茗：曼， 夕= 豸； ，v = p ，”，占j = 要， ( 2 - 1 1 ) y 为电致弹性 ( 2 - 1 3 ) 啪呶3 忙溯帔融腊一钟2 憎露1 袅卜3 l 则 阵c ：o 口阍 p 侄三誊箍 亿嘲 及压电陶瓷片内本构关系 第二章旋转行波超声电机定子驻波振动的非线性动力学分析 互= c j 墨+ c 是s 2 一p 3 i e 3 - ( r l l 3 s l + y m s 2 ) e 3 一i i 届3 3 霹 + c 二l b ? + s ；) + 2 c 二2 s l s 2 + c l e “s ； 疋= c 是s i + c ：咒一p 3 i e 3 - ( r 1 2 3 s i + 7 1 1 3 s 2 ) e 3 一去厦3 3 霹 + c 丢l p ? + s 2 2 ) 十z 乙2 e 1 2 s ，s 2 + c 是s ； 瓦= c 三咒一3 s 6 e 3 + c 三l ( s t - 十) 2 2 ，十z 乙3 e 1 2 s i s 2 + c 氮s ： d ，；占要马+ p ，。 。+ s ：) + 去。，圆? + s ；) + 厂的，s ；+ 2 y 。：。s 。s ：) + 3 3 墨+ 屈3 3 s 2 归3 + ，3 3 3 霹 2 2 2 旋转行波超声电机定子驻波振动方程 ( 2 1 6 ) 在压电陶瓷片上施加单相激励信号，将激发出定子的单一工作模态，即定子 中面的弯曲振动位移函数。定子中面的向位移 w o = 丸( ，口) 尸( f ) 其中，。，( r ，秒) 为定子的弯曲振型，尸( f ) 为位移模态坐标。 甜。= 妾 = 丸。三，口j p 。， s=三。础m三，秒，)尸cr， k 。c h = 。 一若 1azaza 2 ra 9ra rr 28 9 2 a12 za 22 za 石一7 一了丽+ 7 丽 激励信号为单相时，陶瓷片内的电势形态为 伊= 丸( 秒，z ) 矿o ) ( 2 - 1 7 ) ( 2 - 1 8 ) ( 2 1 9 ) ( 2 - 2 0 ) ( 2 2 1 ) 其中，氟( 矽，z ) 为电势分布函数( 见附录) ，y ( f ) 是电压向量。为得到陶瓷片机电 耦合的动力学方程组，将电场按对应的电场模态c k 展开 e = 。k c y ( f ) = 三。l 。丸( 秒，z ) v ( t ) 1 0 - ( 2 - 2 2 ) a一务。一，珊 第二章旋转行波超声电机定子驻波振动的非线性动力学分析 三。是在压电陶瓷内把各相电极的电势转换为电场的算子，由于电场只存在于厚 度方向，并假设为常值，则d 。= 1 1 j ，h p 为压电陶瓷片的厚度。 设 忙蹙。+ 毽， 亿2 3 ， 吲一等等+ 等等， 一 于是，( 2 1 9 ) 和( 2 2 2 ) 有标量展开式： s l = a p ( t ) s 2 = b p ( t ) s 3 = c p ( t ) e 3 = d 矿( f ) ( 2 2 4 ) 至此，已得到t 、u 和睢的具体表达形式。根据变分法则，司以得到如f 表达式： j l a t d t = - 船舶+ p p q 一2 , ( r , o ) d v p o ) d v ,o ) d v , 卜即) d r ( 2 - 2 5 ) 】1p ，尤， + p 脚6 即 f - 6 u 出= 6 砖i s 7 t d v , ) d t = j ( c ；。( 口2 + b 2 ) + 2 c 枷+ c 玉c 2 ) d v , p ( t ) s p ( t ) d t ( 2 2 6 ) 7 i 匕 i 6 2 【，：m 6 砖，s r r d v , ) 出 ，l 。 = ，( c i ( 口2 + b 2 ) + 2 c 是口b + c 三c 2 ) d v p p ( f ) t i p ( f ) d r 一。，j f e s l ( a ，+ b ) d d _ w ) 卯山 t 1 。 一， 掣d 尸o ) 6 y o ) d f t 1 。 第二章旋转行波超声电机定子驻波振动的非线性动力学分析 其中 一，d 。，g ：+ 6 ：+ 6 6 3 c 2 + 2 7 。：口b ) d v p e ( f y ( f ) 6 尸( f ) d f 一，芦掣吖：( f ) 跳砂 f 2 一， ，l d v p p 2 ( f ) 6 矿( f ) 出 一j ( 蚂，+ 6 厦，。) d ：d v p e ( f ) y o 碜矿( f ) d f t 2 + ， t 。 d v p p 2 ( t ) 6 p ( t ) d t ( 2 - 2 7 ) 1 p 2 睢出= 了j - e 31 ( 专+ b ) d d o y ( f ) 6 尸( f 灿+ 。，p ；d 2 d o 矿( f ) 8 v ( f 灿 l l p + 。，。f e 3 1 ( a ，+ b ) d d o 川) 8 v ( f ) d f i 。 1 2 + f l d v p p 2 ( t ) f v ( t ) d t t 2 + ，( 媚，+ 瞩，) d 2 d v r p ( t ) v ( t ) s v ( t ) d t o i t 2 + t l d v rp ( t ) v ( t ) s p ( t ) d t + 了蔓掣d y 2 。，6 尸。，出 + 。 j f 3 v 3 3 ， 3 d 3d y 2 ( f ) 8 v ( f 灿 ( 2 - 2 8 ) f l 。 m l = 口c ：l + 6 c 丢1 + c c 三1 m 2 = 口c 矗2 + 6 c 丢2 + c c 三2 ( 2 2 9 ) m 3 = 口c 忌+ 6 c 是+ c c 是 在不考虑摩擦界面力的情况下，作用在压电陶瓷片上的电场力做功即是对应 内部电荷所做功的负值，其变分为【5 6 】 8 w = 一6 = 一q ( t ) s v ( t ) ( 2 3 0 ) 第二章旋转行波超声电机定子驻波振动的非线性动力学分析 其中q ( t ) = i 础，仃为压电陶瓷片表面的电荷密度向量，s 为压电陶瓷表面面积。 ； 将t 、u 、酢及形的变分表达式( 2 2 5 ) 至( 2 2 8 ) 、( 2 3 0 ) 代入变分表 达式( 2 - 2 ) ，并进行模态分离，得到如下两个方程： m i p ( t ) + d k p ( t ) 历1 矿( ，) + e 尸2 ( ，) 一1 尸o ) 矿( ，) 一2 y 2 ( ，) = 0 伽即) + 霉尸z m 2 z w ) + r 妒o ) 帆w ) - g ( f ) 2 。1 其中，m 。、d k 分别是定子弹性体与压电陶瓷片的模态质量