（机械工程专业论文）基于非均匀周期采样的随机共振研究.pdf

摘要 重大关键设备运行状态的实时监控是关系到国民经济发展和国家建设的重 要问题之一。随着科学技术不断发展和工程实际需求的不断提高，实时监控对故 障检测方法和信号处理技术提出了更高的要求，特别是在强噪声干扰环境下，希 望能够检测出早期微弱故障的特征信号。 变尺度随机共振技术通过非线性系统、噪声和信号的协同机制，在非线性系 统的作用下，充分利用噪声，达到微弱特征信号的增强，从而实现检测、提取和 辨识微弱特征信号的目的。但是如果要想实现这种变尺度随机共振的协同，通常 需要将系统参数、噪声强度、信号参数以及变尺度采样频率等参数达到一定的调 谐关系，其参数调节过程相对比较复杂。特别是要求实际采样频率需要达到( 故 障) 特征信号频率的5 0 倍以上，这在一定程度上限制了变尺度随机共振在工程 实践中的应用。 非均匀周期采样技术是一种信号处理方法，其优点是既能够用小采样频率采 得大频率信号而不产生频谱混叠，又能够消除完全非均匀采样所产生的混叠噪 声。本文利用非均匀周期采样的这一特点，通过将非均匀周期采样和随机共振结 合，提出一种新的非线性信号处理方法基于非均匀周期采样的随机共振方 法。所提出的方法既不需要进行过多的参数调节，又不需要将采样频率定为特征 信号频率的5 0 倍以上，只需固定某一组随机共振系统参数，运用一组不同的较 小的采样频率进行采样，将不同采样频率下的信号通过双稳系统，然后运用非均 匀采样傅里叶变换进行频谱叠加，就可以检测出微弱的特征信号。这种方法使随 机共振技术能够更加广泛的应用到工程实际中，计算机仿真和工程试验数据验证 了该方法的有效性。 赛期：变尺度随机共振非均匀周期采样微弱信号噪声双稳系统 棚孤r a c t r e a l - t i m em o l l i t o 血go ft h ec r i t i c a le q u i p m e n t sr u n n i n gs t a t ei sr e l a t e dt ot h e d e v e l o p m e n to ft h en a t i o n a le c o n o m ya n dn a t i o n a lc o n s t r u c t i o n a l o n gw i t ht h e d e v e l o p m e n to fs c i e n c ea n dt e c h n o l o g ya n dt h ei m p r o v e m e n to ft h ee n g i n e e r i n g r e q u i r e m e n t ，t h er e a l - t i m em o n i t o r i n gp u t sf o r w a r dh i g h e rr e q u e s tf o rt h em e t h o do f d e t e c t i o na n ds i g n a lp r o c e s s i n gi no r d e rt od e t e c tt h ew e a kf a u l tc h a r a c t e r i s t i cs i g n a l i ns t r o n gn o i s ee n v i r o n m e n ts p e c i a l l y s c a l e - t r a n s f o r m a t i o ns t o c h a s t i cr e s o n a n c et e c h n o l o g yc a nu s et h ec o l l a b o r a t i v e r e l a t i o n s h i po fb i s t a b l es y s t e m ，n o i s ea n ds i g n a lt os t r e n g t h e nt h ew e a kc h a r a c t e r i s t i c s i g n a la n dt h e nt od e t e c t , e x t r a c ta n di d e n t i f yi t b u ti tn e e dt om a k et h es y s t e m p a r a m e t e r s ，n o i s ei n t e n s i t y ，s i g n a lp a r a m e t e r sa n ds a m p l i n gf r e q u e n c yo fv a r i a b l e s c a l ea c h i e v eat u n e dr e l a t i o n s h i p t h ep r o c e s so fa d j u s t i n gp a r a m e t e r si sc o m p l e x r e l a t i v e l y ，e s p e c i a l l yi tr e q u i r e st h es a m p l ef r e q u e n c y5 0t i m e sh i g h e rt h a nt h e c h a r a c t e r i s t i cs i g n a lf r e q u e n c y , s oi tl i m i t st h ea p p l i c a t i o no ft h es c a l e - t r a n s f o r m a t i o n s t o c h a s t i cr e s o n a n c ei nt h ee n g i n e e r i n gp r a c t i c et os o m ee x t e n t t h en o n - u n i f o r mp e r i o d i cs a m p l i n gt e c h n o l o g yc a ns a m p l et h eh i 【g hf r e q u e n c y s i g n a lu s i n gl o w e rs a m p l i n gf r e q u e n c yw i t h o u tp r o d u c i n gs p e c t r u ma l i a s i n g ，a n dc a l l a l s oe l i m i n a t et h ea l i a s i n gn o i s eg e n e r a t e db yc o m p l e t e l yn o n - u n i f o r ms a m p l i n g t h i s p a p e rp r e s e n t san e wm e t h o do fn o n l i n e a rs i g n a lp r o c e s s i n g ：s t o c h a s t i cr e s o n a n c e b a s e do nn o n - u n i f o r mp e r i o d i cs a m p l i n g ，b yc o m b i n i n gp 砸o d i cn o n - u n i f o r m s a m p n ga n ds t o c h a s t i cr e s o n a n c e t h i sm e t h o dn e i t h e rr e q u i r e se x c e s s i v ep a r a m e t e r s a d j u s t m e n t ，n o rr e q u i r e sas a m p l ef r e q u e n c y5 0t i m e sh i g h e rt h a nt h es i g n a lf r e q u e n c y ， i tj u s tn e e dt of i xo n eg r o u ps t o c h a s t i cr e s o n a n c es y s t e mp a r a m e t e r s ，u s ea g r o u po f l o w e ra n dd i f f e r e n ts a m p l i n gf r e q u e n c i e st os a m p l e ，t h r o u g ht h eb i s t a b l es y s t e m ，a n d t h e nu s et h ef o u r i e rt r a n s f o r mo ft h en o n - u n i f o r ms a m p l i n gt os u p e r p o s ei nf r e q u e n c y s p e c t r u m i tc a nd e t e c tt h ew e a kc h a r a c t e r i s t i cs i g n a lc l e a r l y t h i sa p p r o a c hm a k e s s t o c h a s t i cr e s o n a n c et e c h n o l o g ym o r ew i d e l ya p p l i e di ne n g i n e e r i n gp r a c t i c e t h e c o m p u t e rs i m u l a t i o na n de n g i n e e r i n gt e s td e m o n s t r a t ei t se f f i c i e n c y k e yw o r d s ：s c a l e t r a n s f o r m a t i o ns t o c h a s t i cr e s o n a n c e ，n o n u n i f o r mp e r i o d i c s a m p l i n g ，w e a ks i g n a l ，n o i s e ，b i s t a b l es y s t e m 第一章绪论 第一章绪论 重大关键设备的运行状态监测及其早期故障的预报诊断问题是国民经济发 展和国家建设的重要问题之一。随着科学技术研究和工程应用需求的不断提高， 所涉及到的设备状态监测与故障预报诊断问题日趋复杂和困难。其解决问题的关 键技术之一是：如何对运行设备监测中所获得的动态微弱信息进行有效的处理分 析和提取识别。 实践证明，在许多场合下，如工程实际的设备监测中，当微弱特征信号被很 强的噪声所干扰，并且测量数据很短，噪声频率与信号频率相当接近时，那么常 规的特征信号检测方法，如频谱分析、小波变换、滤波等这些基于函数的信号变 换消除噪声的方法将会失效，已不能很好地满足工程应用的要求。 本课题提出一种能够检测强噪声中微弱信号的非线性信号处理方法一基 于非均匀周期采样的随机共振。主要研究随机共振与非均匀采样技术相结合的微 弱特征信号提取方法。 1 1 研究背景 1 1 1 随机共振发展历史和研究现状 随机共振的概念是1 9 8 1 年由b e n z i 等人【l - 2 】在研究古气象冰川暖气候交替演 化问题时首次提出的。他们在研究中发现，在过去的7 0 万年时间里，地球的冰 川期和暖气候期大概以1 0 万年为周期交替出现，并且在这一时期，地球绕太阳 转动偏心率的变化周期也在1 0 万年左右，即太阳对地球施加了周期信号，但其 能量非常小，不足以使地球产生冰川期和暖气候期如此大跨度的变化。b e n z i 等 人因此认为只有将太阳对地球的周期信号和地球本身的非线性条件结合起来，并 且在地球这一时期内部与外部的随机力影响下，才能产生大幅度的气候波动，从 而解释此气候现象。他们因此提出了一种气候模型，认为地球处在可以使其可能 处于冷态和暖态两种状态的非线性条件下，地球偏心率的周期变化使气候可能在 这两种状态下变动，而地球本身受到的各种随机力大大提高了这种调制能力，他 们称此现象为“随机共振”。 第一章绪论 同年，n i c o l i s 3 】又提出了一种新的概念一双稳态气候势函数，将它用来模拟 第四纪冰期和暖气侯期，建立了用来描述气候长期变化的随机微分方程，并在绝 热近似条件下进行了解析形式求解，验证了b e n z i 等人的结论。 1 9 8 3 年f a u v e 等人【4 】在s c h m i t t 触发器的实验中首次观测到了随机共振现象。 他们将混杂噪声的检测信号输入到系统输入端，测量经过s c h m i t t 触发器之后的 输出信号功率谱，并且将信噪比这一概念首次引入。他们在试验中观察到了在某 一峰值，信噪比达到最大值，非常类似“共振”曲线。到1 9 8 8 年，m cn a m a r a 等 人 5 - 6 1 又将随机共振现象在光学系统实验中进行了验证。试验中，他们用声频信 号调制模的方向，再加上噪声来改变信号对系统的调制能力。当把信号强度固定， 逐渐调节噪声强度，随机共振现象再次被验证。 1 9 8 9 1 9 9 1 年，g a m m a i t o n i 等人【7 】、胡岗教授【8 - 9 1 、j t m g 和h a n g g i ( 1 0 1 先后提 出了著名的绝热动力学理论和绝热摄动理论。1 9 9 0 1 9 9 3 年，d y k m a n 等人【1 1 。1 2 】 用线性响应近似法阐述了随机共振的基本特性。在以上研究过程中，学者们利用 l a n g e v i n 方程和f o k k e r - p l a n c k 方程深入地讨论了随机共振的各种统计性质，并 逐步发展成了随机共振两种最主要的近似数学理论：绝热近似理论和线性响应理 论。f o x ( 1 3 还在1 9 8 9 年首次应用本征函数微扰展开法对福克普朗克方程进行了 研究，求出了一维双势阱系统的近似数学解析式，推导出了信噪比的近似数学表 达式，更加充实了随机共振基本理论。胡岗 1 4 - 1 5 1 在只考虑系统线性响应近似和某 些限制条件的情况下，求出了l a n g e v i n 方程中系统输出功率的近似解析表达式。 b r u c em c n a m a r a t l 6 l 在信号频率、幅值和噪声强度远远小于1 的条件下，认为在 双稳系统的两个势阱内部达到局域平衡所需要的时间远远小于两势阱之间整体 平衡所需的时间，同时也远远小于系统跟随信号频率变化而变化所需要的时间。 与信号变化和两势阱之间概率交换所需时间相比，在各势阱内部达到平衡的时间 非常小，可以认为一瞬间就能完成，这也就是的“绝热近似”的含义所在。 随着随机共振应用范围的不断扩展，物理现象和工程应用中也被纳入了研究 之列，例如生物医学、化学、信号通信、光学、机械等工程领域。在应用过程中， 对随机共振参数调节认识中也发生了重大更新。最初随机共振研究只关注输入噪 声的调节，以实现随机共振现象的产生，后来1 9 9 3 年a n i s h c h e n k o t 2 q 研究发现 调节非线性系统的结构参数同样可以产生随机共振现象。1 9 9 6 年b u l s a r a 和 o a m m a i t o n i 2 2 1 也认为通过调节参数也可以产生随机共振，并阐述了其在信号处理 中的重要性。浙江大学的徐博侯【2 3 】提出了参数调节随机共振理论，引入了系统响 应速度的概念，从另一个角度重新解释了随机共振现象产生机理。天津大学冷永 刚教授【2 4 】以双稳系统为研究对象，讨论了影响随机共振的参数选择特性以及各个 参数之间的调节关系，给出了相应的调节规律，提出适当的参数选择可以使系统 第一章绪论 达到最佳随机共振状态，并运用自适应快速随机共振算法策略，开发了自适应扫 频随机共振系统j 。 绝热近似理论和线性响应理论的适用范围为小参数信号，即信号幅值、频率 和噪声强度必须足够小。为此，冷永刚教授【2 眈9 】提出了变尺度随机共振概念，通 过压缩采样频率使大参数信号压缩到适合经典随机共振的小参数范围内，从而使 得随机共振在工程实际中的应用范围更加广泛 3 0 - 3 4 】。另外，冷永刚还在变尺度随 机共振的基础上研究了级联随机共振和其降噪、非线性滤波的特性 3 5 - 3 6 1 。 总之，针对随机共振的一大类非线性系统在信号处理和信号检测方面进行了 广泛研究和应用，随机共振现象必然将会作为信息提取和处理的强有力工具，尤 其是在微弱信号检测方面，应用潜力更加巨大。 1 1 2 非均匀采样发展过程和研究现状 1 9 5 3 年b l a c k t 3 7 】首先提出了非均匀采样理论的最初形式，他给出了重建非均 匀采样信号的可能性和必须满足的条件；1 9 5 6 年y e n t 3 8 进一步对非均匀采样理论 进行了解释。如果信号的幅值是一个随时间变化的函数，信号中的最高频率为 ，将时间分为以丁秒为宽度的若干相等区域，其中t = n 2 w ，并且在每个区 域中采样点以任意方式排列时，可以分为如下三种情况：当每个区域采样点数正 好与相等时，通过采样时间和幅值，原信号可以被唯一确定；当每个区域采 样点数小于时，此时只有另外提供条件，否则信号无法被唯一确定，这种情 况称为欠确定情况；当每个区域采样点数大于时，信号同样无法被任意赋值， 还需要满足一定的严格条件，这种情况称为过确定情况。1 9 7 6 年，h i g g i n s t 4 叫用 抽象数学的方法研究了非均匀采样序列集合的结构，提出了非均匀采样的一种基 本特征，即在非均匀采样情况下，带限信号的采样序列可分解为两个集合，一个 是单位脉冲s i n q r t ) 肼的变换集，另一个是拉格朗日内插函数集。1 9 8 8 年e d w i n t 4 2 】 采用柯西残差理论推导出一种公式，它可用于有限点的非均匀采样信号的重建。 近几年来，在快速采样系统中出现了多路并联，并且随着输出多路复用技术 的发展，科研人员开始考虑如何将非均匀采样应用到工程实际中。1 9 8 8 年j e n q t 4 3 首次提出了可行的分析方法，即将一个非均匀采样序列分解为m 个均匀采样序 列，用m 个均匀的采样序列的组合表示一个非均匀的采样序列，从而求出被采 样信号模拟频谱与该信号经非均匀采样后，用傅里叶变换所得数字频谱之间的关 系。2 0 0 5 年华中科技大学的汪安民【州6 1 提出了一种抗混叠的非均匀周期采样，既 克服了完全非均匀采样中出现的频谱噪声问题，又具有一定的抗混叠能力，使得 非均匀采样方法在工程实际中的应用更加广泛。 第一章绪论 1 2 问题的提出 大量的物理、化学和工程技术参量的测量，都是利用相关传感器进行测量的， 这就不可避免的在测量过程中会产生噪声干扰，这些噪声包括传感器内部的噪 声、测量仪器系统混合噪声和测量时被测对象本身不稳定性所产生的噪声。因此 在实际工程测量中，被测信号常常会被较强噪声干扰所淹没。这也就需要一种信 号处理的方法使其能够在强噪声中检测出相对较弱的故障特征信号。随机共振特 点就是信号和噪声的作用下，使得双稳非线性系统与两者产生协同作用，一部分 噪声能量转化到特征信号中，使得信号幅值得到加强。对于周期驱动信号来说， 在系统输出功率谱中，驱动信号频率处的峰值会明显得到增大。由绝热近似理论 和线性响应理论可知，随机共振的研究对象必须是小参数信号，即双稳系统输入 信号幅度、频率和噪声强度都必须足够小。因此为了使随机共振现象能够在工程 实际中得到广泛应用，变尺度随机共振概念被提出，即将不符合小参数条件的实 际工程信号通过引入压缩采样频率，使其落在能够实现随机共振的小参数范围之 内，从而实现检测微弱信号的目的。 无论是在传统随机共振还是在变尺度随机共振中，参数调节都是非常重要的 一部分。文献 4 7 给出了随机共振参数调节的一般规律，以及各个参数之间调节 的关系，当双稳系统参数、输入信号参数和噪声强度实现某种协同作用时，最佳 的随机共振现象就会出现。然而，尽管有了一定的规律可以遵循，但是在实际工 程应用中，噪声的强度、故障特征信号都是未知的，因此调节参数的方向还是无 法准确的得到，实现最佳随机共振状态的过程也就变得相对复杂。另外变尺度随 机共振仍然需要变尺度之后的信号频率落到双稳系统输出后的能量集中的低频 范围之内，也就是说，采样频率要足够大，文献 3 0 还给出了采样频率的范围， 即采样频率最好大于信号频率的5 0 倍以上，这也就造成了部分频谱浪费和数据 处理的点数增多。而周期非均匀采样既具有用小采样频率采集大频率信号的抗混 叠特性，又具有避免完全非均匀采样中出现的频谱噪声的特性，所以是否能够利 用周期非均匀采样的特性，以避免实现随机共振过程中产生的问题，将是本课题 的重点研究内容。 1 3 本文章节安排 第一章综合论述了随机共振和非均匀采样的发展历程和研究现状，并提出随 机共振在处理工程实际故障信号时遇到的问题和非均匀采样所具备的相应优点， 阐明了本文的主要研究方向。 4 第一章绪论 第二章主要从双稳系统的内在机制即朗之万方程阐述该非线性系统的特点， 并列举相应几种典型的随机共振基本理论：绝热近似理论、线性响应理论、驻留 时间分布理论，介绍了随机共振的度量参数，并用m a t l a b 仿真随机共振现象的 存在。 第三章从采样定理开始介绍传统均匀采样的采样频率限制条件，进而引入非 均匀采样，并从时域和频域上分别解释非均匀采样的抗混叠原理，同时提出传统 非均匀采样的缺点，进一步引入非均匀周期采样，介绍其实现原理和方法以及在 实际应用中的优点。 第四章介绍大参数信号的随机共振的引入原因，并详细阐述了参数调节在最 佳随机共振现象的实现过程中的重要性，并指出了其应用过程中的局限性。 第五章针对随机共振参数调节过程的复杂性和不确定性，提出了基于非均匀 周期采样的随机共振概念，用非均匀周期采样的优点弥补了参数调节随机共振中 的不足和局限性，并通过仿真实验和工程实际中的数据验证了该方法的正确性。 最后在第六章总结了本文研究的主要贡献和创新性，并对进一步的研究提出 了可行的展望。 第二章双稳系统与随机共振基本理论 第二章双稳系统与随机共振基本理论 随机共振需要各种因素的协同协作才能产生，双稳系统独特的非线性特性为 随机共振现象的产生提供了必要的通道机制和载体，无处不在的噪声则是随机共 振现象的附加驱动力。当某确定性信号和噪声共同经过双稳系统时，在合适的参 数下，就会使双稳系统的响应达到随机共振状态。 本章主要从双稳系统、噪声与确定性信号三者的协同作用使随机共振现象产 生的原理出发，全面阐述双稳系统随机共振的基础理论。 2 1 非线性双稳系缬i 一期之万7 亨程 双稳态非线性模型即朗之万方程是经典的非线性模型。我们通常使用一维双 稳态非线性系统进行随机共振研究【4 8 】，其数学模型为：文= a x b x 3 ，其中 口 0 ，b 0 。随机共振现象还需要小周期输入信号和高斯白噪声的共同作用，所 以最常用的解释随机共振的非线性模型一朗之万方程如下式： 戈= a x b x 3 + a ( s i n 2 x f t ) + n ( t ) ( 2 - 1 ) 其中a 0 ，b 0 ，n ( t ) = 2 d g ( f ) ，彳为输入信号幅值，厶为输入信号频率，g 是均值为o 方差为1 的白噪声。 当不存在输入信号和噪声，即a = 0 ，d = 0 时，朗之万方程的势函数 u ( x ) = 一a x 2 2 + b x 4 4 有一个非稳态解x = 0 和两个稳态解z = 口b ，其中 x = 0 处为系统的势垒，势垒的高度为u = a 2 4 b ，x = 口b 为系统的势阱所 在坐标。当初值为x 0 = 0 时，系统处于x = 0 处的不稳定状态，任何微弱的干扰都 会使粒子远离非稳态点而趋于系统的两个稳定的点x = 口b 中的一个，这种微 弱的扰动可能来自系统的内部，也可能来自外部。系统的输出则会是粒子在势阱 中的任意一个做振荡，具体由系统的初始输入条件决定。如图2 1 所示。 当存在输入信号而噪声不存在的情况下，即a 0 d = 0 时，整个系统的平衡 被打破，系统内的粒子可能会在单势阱中做往复运动，也可能在两个势阱中往复 运动，这取决于输入信号的幅值是否达到临界阈值，这一临界阈值我们定义为 鸽，当a 4 时，粒子的运动轨迹将越过势垒，在双势阱中做大范围 6 、 、 弋 f r j 、 j f 一 j j 图2 1 当a = d = o ，a = b = l 时势函数稳态曲线 的跃迁周期运动。临界值4 可以通过满足双稳系统势函数u ( x ) 的极点与拐点相 重合的条件求得，即 和 得到临界值4 = a 2 u ( 工) 缸2 = 一a + 3 b x 2 = 0( 2 - 2 ) a u ( x ) & = 一a x + b x 3 + 4 = 0 ( 2 - 3 ) ，这一临界值也可以用更一般的李雅普诺夫线性化方 法来求得。 由以上理论可知，当么 4 ，d = o 时，粒 子克服势垒高度在x ：丽双势阱中做往复运动，o hm 2 3 i f l f l f l 。殴 f f i ， 、 f l b ， if 、 辱 f 1 1 、 ， ：， 、 ： d， 、 ， 、， 、 ， 、 ， ， 、 ， j 图2 2 当a ：0 3 a 0 = ：耵万，d ：o ，以：b ：1 时，粒子运动曲线 当系统引入噪声后，即a 0 ，d 0 时，粒子在双稳系统中运动的特性会发生 变化，即使当a a o 时，驱动信号本身能量不足以驱动粒子越过势垒，在一定幅 值噪声的帮助下，粒子同样可以形成在两个势垒之间的往复运动。这是因为在噪 声存在的情况下，粒子会在两个势阱中任意一个中运动，当和一定频率的驱动信 号叠加后，可能在单势阱中做来回运动，但当驱动信号幅值和噪声强度达到一定 协同作用后，粒子有可能会形成两个势阱之间大范围的跃迁活动，也就是说频谱 均匀分布的白噪声经过双稳系统后大部分能量转移到了低频，当与驱动信号频率 相等时，粒子就会在两者的协同作用下在两个势阱之间以驱动信号频率做往复运 动，并且由于叠加了噪声的能量，输出端的幅值会远远超过输入的驱动信号，这 种现象就是随机共振。如图2 4 。 l j l j 1 1 、 厂、 0 l 击 0 奄亨鸟。 菩一 8 箩 一 。 熏 一fl ik) 图2 4a ：0 3 a 0 ：巧西，d ：0 2 ，n ：6 ：1 ，粒子运动曲线 皓 。 皓 侣 q o 喵 。 嘶 引 吣 m 晒。 第二章双稳系统与随机共振基本理论 p ( x ，t ) 为式2 1 中x ( t ) 的概率密度函数，它满足相应的福克普朗克方程： 丁o p ( x , t ) _ 旦o x 降d x 础。叫肿卜罢o x 脚) ( 2 4 ) 铆 i i、l 一i 一 。 其中初始条件为： p ( x ，t oi ，t o ) = 8 ( x 一) ( 2 5 ) 非自治项： 一羔 彳c o s ( w o t ) p ( x , f ) 】 ( 2 - 6 ) a ( z ) o ，j 、 在理论上研究随机共振，我们的重点放在对这一方程的行为分析上，因为它 含有非自治项，所以这一方程不再存在定态解，也不可能求出解的精确表达式， 因此各种近似手段是必不可少的，其中绝热近似理论是比较主要的。 2 2 随机共振理论 2 2 1 绝热近似理论 4 9 - 5 0 绝热近似理论是m c n a m a r a 于1 9 8 9 提出的，是关于随机共振的比较全面的理 论。它既适用于连续的双稳态系统，也适用于离散的二态系统，s c h m i t t 触发器就 是典型的离散二态系统。 m c n a m a r a 在1 9 8 8 年做了双向氦氖激光器实验，输入信号为周期的余弦信号 a c o s ( 2 r r w 。t ) ，加入一个频带为1 0 0 k h z ，强度为d 的白噪声，同时利用声光调制 技术改变势阱的深度，用傅里叶变换计算输出信号的功率谱，并且定义信噪比为 在信号频率上的频谱幅值与其背景噪声的频谱幅值之比。当对噪声强度取不同值 进行扫频时，m c n a m a r a 发现在某一噪声强度下，信噪比会达到最大值，大于或 小于该值，信噪比都会下降。这一实验也证明了随机共振现象的存在。 理论上，双稳系统有两个稳态解x 。= a b ，假设t 时刻系统处于x 。的概 率为佴( f ) ，在周期余弦信号s ( t ) = a c o s ( w o t ) 作用下，系统原有的平衡被打破，粒 子在系统两个稳态间做跃迁运动的频率也发生了相应的变化。我们定义吸( f ) 为t 时刻粒子从稳态x 。跃迁出的概率，可以得到关于n ( f ) 的导数方程 皇乌导= 睚( f ) 悔( f ) 一晖( f ) ( f ) ( 2 7 ) “f 由概率的性质，利用归一化条件： n ( r ) + t v ( ，) = 1 ( 2 8 ) 将式( 2 8 ) 代入式( 2 7 ) 得： 9 第二章双稳系统与随机共振基本理论 掣= 嗽) 一e w e ( 卅哪岫f ) ( 2 _ 9 ) 对于给定的跃迁概率k ( f ) ，可以给出解析式2 1 0 如下： 刀t 。) 2 g o ： 7 l ( 气) + ：敝( r ) d r 、( 2 1 。) 酏) = e x1 一：【致( ) + 矽( r ) 叫 式( 2 1 0 ) 中的悔( ) 为t o 时刻初始概率。跃迁概率吸( f ) 通常被认为具有指数形 式： k ( d = 吮e x p ( 鲁c 。s ( w o f ) ) ( 2 - 1 1 ) 式中r k 为外部输入信号j ( f ) 为o 时，也就是只有噪声作用下，粒子在双稳态系 统中两个势阱之间发生跃迁的速率，并称作克莱默斯跃迁率( k r a m e r sr a t e ， k r ) ，表达式为： 气= 去e 冲卜等( 2 - 1 2 )气2 面e 冲【百 由此我们可以得到，r k 与系统的输出均值( x ( ，) ) 无关。 绝热近似理论主要的假设即：信号频率远小于系统内部粒子跃迁率唯，并 且输入信号的幅值和噪声强度都足够小，并且远远小于1 ，即 w o 珞，a 1 ， - - o o 时，有： 恕( x ( t ) lx o ) 三( 删= ；( d ) c 。 w o t + 痧( d ) i ( 2 - 1 8 ) 其中， 硇，2 等彘 痧( d ) = m t a n ( - 鲁- ) ( 2 2 0 ) 由此得到双稳系统输出的功率谱放大因子r ： 叩= 丁x ( d ) 2 = 两4 存2 丽4 ( 2 - 2 1 ) ( 2 ) 系统时间响应的岿相关蟊数 自相关函数的定义如下： ( x o + f ) x ( t ) lx o ，f 0 ) = j j 匆p ( x ，f + fy ，t ) p ( y ，tx o ，t o ) dx 1 ) ( 2 - 2 2 ) 在稳态极限情况下，当寸o 。时，有： t l i o - - m - ，a o ( x ( f + f ) x ( t ) lx o ，气) = ( x ( f + r ) 工( f ) ) = e x p ( 2 珞i r i ) 1 - x ( t ) 2 + 茁o + r ) r ( f ) ( 2 - 2 3 ) 舯盼号鬻。 由上式我们可以发现输出的自相关函数依然取决于时间f 以及，+ r ，所以为 了得到谱密度，需要在输入周期信号的一个周期内对( x o + f ) x ( f ) ) 进行时域平均， 如下式： ( ( x ( f + f ) 石( f ) ) ) = f 1r ( z ( f + r ) 工( 咖! - ( 2 - 2 4 ) 将式( 2 2 3 ) 代入到式( 2 2 4 ) ，可以得到： ( 似m 啦) = 抽蚓邓夸) 2 丧j + 篮冬) 2 旦4 4 wc 。s ( w o f ) (2-25)o：2 d4 - 、 、u， ( 3 ) 系统输出功率谱 系统输出功率谱为系统输出自相关函数的傅里叶变换，即： g c ”吲们州2 b 夸，2 丧 袅 第二章双稳系统与随机共振基本理论 + 三( 鲁) 2 斗吒4 十r , - 8 ( w - w o ) ”( w + w o ) 】 ( 2 - 2 6 ) 上式中，g ( w ) 由两部分组成，一部分是由周期信号引起，并且与输入周期信号 同周期的成分g 。( w ) ，另一部分则是由干扰噪声引起的g ( w ) 。系统输出的总能 量为2 万x ：，它与输入信号的频率和幅值毫无关系，因此周期驱动信号的作用是 将噪声的能量转换为功率谱中驱动信号频率处的尖峰输出。 2 2 2 线性响应理论 5 1 , 1 9 , 5 2 】 1 9 9 0 年g a m m a i t o n i 和d y k m a n 最早提出能够解释单频输入随机共振现象的 方法，即线性响应近似方法，而后由d y k m a n 将之发展成为解释随机共振现象的 一种新的理论。线性响应理论认为，在外部微弱周期信号a s i n ( w ( t ) ) 驱动下，系 统在坐标g ( f ) 的输出总体平均值中也应该含有周期项a c o s ( w t + ) 。定义系统的 敏感性为z ( w ) ，则由涨落耗散定理可得到幅值口和相位矽的表达式如下： 口= 4 x ( w ) l ，矽= - a r c t a n i i m z ( w ) r e z ( w ) l ( 2 - 2 7 ) r e z ( w ) = 岳n 订( w ；- w 2 ) s o ( w , ) a 。- d m z ( w ) = 7 r w s o ( w ) d ( 2 - 2 8 ) 墨( w ) 为无周期力输入时系统输出的涨落谱密度 s o ( w ) = 吉r e i ( q ( t ) q ( o ) ) e x p ( i w t ) d tl ( 2 - 2 9 ) s ! 懈：a 2l x ( w ) 2 ( 2 3 0 ) 4 氐( w ) 线性响应理论认为，在t 一佃时，( g ( f ) g ( o ) ) 寸( g ( f ) ) ( g ( o ) ) ，但是这在实际的仿 真和计算中根本无法实现；线性响应理论还认为，外部信号的频率对任意的时间 尺度呒都适用，但是随着d 呈指数方式减小，其中u o 为系统势函数 u ( x ) 在x = 0 时的取值，j d 为噪声强度。然而缈吸 u 0 d 的条件有时根本不 成立，这也使线性响应理论的应用范围受到了一定限制。 2 2 3 驻留时间分布理论 2 0 , 5 3 - 5 5 】 z h o u 和m o s s 在1 9 9 0 年提出了驻留时间分布理论。驻留时间分布理论是在 一个高分辨率的测量实验设备基础上，认为系统输出所处的状态中时间分布符合 圪村( 霉) = ( 乃) “e x p i f ( z ) 1 ( 2 3 1 ) 其中正为系统输出在某个状态的驻留时间，即系统穿过一个势垒进入另一个势阱 与由此势阱逃逸出来的驻留时间的间隔。z h o u 和m o s s 的实验还证明了驻留时间 分布和功率谱类似，都反映了两个对称的势阱在信号调制作用下，每个势阱驻留 时间的分布也相应改变，其主要峰值对应着信号的周期，如果在半个信号周期内 第二章双稳系统与随机共振基本理论 系统输出不能反转，那么就会在原来势阱内驻留一个周期，这也是驻留时间分布 总是对应着信号周期一半的奇数倍的原因所在。之后g a m m a i t o n i 进一步提出了 随机共振的测度的概念，即用在半周期内驻留的时间表示。这样得到的最佳噪声 强度值和利用信噪比得到的最佳数值是有区别的，g a m m a i t o n i 也认为这样可以 证实随机共振是“真正的”共振，但是文献还证明即使不存在输入信号，这种共振 只要满足一定的频率就可以产生，这也降低了“真正的共振”这一概念的严谨性， g a m m a i t o n i 又在以后的实验中对此进行了相应的修正。 2 2 4 本征值理论 1 0 , 4 9 , 5 6 , 5 1 】 j u n g 和h a n g g i 最先提出了本征值理论的概念，它被称为弗洛克理论。f o x 和h u 对这一理论做了进一步的发展。本征值理论不需要绝热近似理论所做的假 设，而是将信号作为一个微弱的干扰，根据福克一普朗克方程，求出系统的概率 分布和渐近谱密度。h u 根据本证值理论认为，对应于不同特征值的概率密度相 互独立构成不变的子空间，并且可以独自求解，仅考虑信号幅值彳的低阶项，计 算出相关函数，并得出相应的系统输出功率谱，得到系统的输入输出信噪比。尽 管微扰展开理论上能够进行到4 的任意有限次幂，但是由于么的非线性项开始起 重要作用时，需要同时考虑么的无穷次幂，这一点在理论上很难实现，也就限制 了该方法的进一步完善。 2 3 随机共振韵度量 定性的来讲，随机共振根本上是一种噪声通过非线性系统对微弱信号起到协 同作用的一种放大显现，如果要定量的来描述这种现象，则需要借助于某些度量 方法精确的衡量，从而使我们更加直观的了解和把握随机共振现象。随机共振的 度量物理量主要有信噪比、驻留时间分布、响应复制比、互信息量、信息接受率、 自相关函数和瑞利谱等，以下将详细介绍两种常用的测量方法。 2 3 1 信噪比【2 0 j b e n z i 通过观察系统的输出功率谱密度发现，随着噪声的增加，功率谱在信 号频率处的谱峰值不但不降低，反而出现了相应的增加，产生了所谓的峰值。之 后f a u v e 等则在证实随机共振现象时，准确地给出了信噪比的定义，即输入信号 频率处谱峰值和背景噪声谱值的比值，后来m c n a m a r a 等将这一定义系统化、理 论化，并使之成为经典随机共振理论中最常用的度量参数。其数学表达式如下： 第二章双稳系统与随机共振基本理论 s n r = 2 l1 i m i s ( 0 9 ) d wl 晶( q ) ( 2 - 3 2 ) a o - - - 0a - a w ”、。 其中s ( c o ) 是信号功率谱密度，s ( 国) 为噪声在信号频率处的强度大小。对于 不输入周期信号的系统来讲，上述公式则不能用来描述噪声的放大作用，针对此 种情况，h u 等人引入了品质因子，即： = | l l 形 ( 2 3 3 ) 其中h 是功率谱谱峰的最高值，矿是谱峰在办托高度上的宽度，缈。是功率 谱的峰值所对应的频率。h 和国。衡量噪声对系统所起的积极作用，而表示的 则是噪声对系统的破坏消极作用。然而当系统的输入信号中包括多个频率或者根 本不是周期信号时，以上定义的物理量就无法适用，而需要规定其他的测量方法。 2 3 2 驻留耐间5 3 - 5 5 g a l l u n a i t o n i 和z h o u 等通过考察粒子在两个势阱之间发生两次跃迁之间的驻 留时间分布，提出了用驻留时间分布这一参数衡量随机共振。研究表明，对称的 双稳系统两势阱之间间隔时间的概率遵循泊松分布： p ( 丁) ：e x p ( - z l )( 2 3 4 ) 一 疋 其中正表示跃迁势阱的克莱默斯时问。当存在周期驱动信号时，驻留时间分布在 驱动信号半周期的奇数倍处会出现一系列阶次的峰值，这些峰值随着它们的阶数 的增加而呈指数形式的衰减，形成了多峰值驻留时间分布。假设取第一个半周期 z 。2 时刻的峰值强度坪来衡量在周期力、噪声作用下粒子在势阱之间的振荡幅 值，如果系统在某个势阱内平均驻留时间远大于驱动力的周期，那么系统在相关 势垒最小的时刻不可能发生跃迁，逃逸时间分布的峰值强度则会很小。如果系统 在一个势阱内平均驻留时间比激励周期小得多，那么系统将不会等到系统相关势 垒最小时才发生跃迁，峰值强度只在到达，2 时刻之前就已经衰减为零。而最 优的协同即最大的只，将会在平均驻留时间为驱动力周期的一半时刻处产生。 2 4 随机共振仿真 随机共振现象既然是噪声与周期驱动信号通过非线性双稳系统的共同作用 而产生的一种协同放大作用，那么我们就可以通过求解朗之万方程，得到系统的 输出。要求解方程2 - 1 ，即支= a x b x3 。a ( s i n 2 7 rff ) + 咒( f ) ，我们需要用到数值 计算方法：四阶龙格库塔法来求出系统输出x ( r ) 。 + ，= x n + h ( k l + 2 乞+ 2 k 3 + t ) 3 ，胛= 0 ，l ，2 ，一2 ( 2 3 5 ) 其中h 为积分步长，墨，如，如，缸可以由下式计算得出： 1 4 第二章双稳系统与随机共振基本理论 k l = a x n + 鹾+ s n 。 铲口哆+ h k l ) 、一b ( ，x + h k l ) 、3 ，+ s n “ ( 2 - 3 6 ) 毛= 口( 矗+ 哎) 一6 ( 吒+ 五乞) 3 + s n 川 、 丸= 口x n + 2 h k 3 ) 一6 ( + 2 h k 3 ) 3 + j 咒。+ 2 为双稳输出的地”个点，s ，为输入的驱动信号和噪声混合信号离散化之后的 点数列。在此，我们模拟一个含噪周期信号经过双稳系统之后的放大现象。 取正弦信号幅值a = 0 1 ，频率厂= 0 0 1 ，噪声强度d = 0 3 1 ，系统参数口= b = 1 ， 采样频率为声= 5 ，采样点数= 4 0 0 0 。则原始输入信号的时域和频域图如图 2 5 。 善 理 謇 时间0 1 c a ) 输入莳域 图2 5 输入信号的时域和频域图 由上图可以看出，输入信号时域图在噪声的干扰下，已无法看出所含周期正 弦信号。在频谱图中，我们可以清晰的看见在厂