（概率论与数理统计专业论文）截断和随机乘积的渐近正态性与na序列的若干极限性质.pdf

内容摘要 本文是在攻读硕士学位期间完成的，全文共分三章： 第一章主要讨论了有关截断和( n ) 的随机乘积的渐近性质我们知道，一列独立同分 布的正甲方可积的随机变量，它们的乘积具有渐近对数正态的性质：这个事实由经典的中 心极限定理可以立即得到目前，众多学者主要研究部分和序列乘积的渐近对数正态性质 a r n o l d $ i l v i l l a s e n o r ( 1 9 9 8 ) 就五。是均值为1 的指数型随机变量的特殊情况给予考虑，得到 卫n 詈) 而1 三e 脚， 它的等价表示为 n = 1 l o g s k - n l o g n + n d 其中n 是标准正态随机变量 r e m p a l a 肃l w s o l o w s k i 在2 0 0 2 年得到了下述结果： 定理a 设 五。) 是一列独立同分布的正的平方可积的随机变量，令肛= e x l 0 ，变异系 数7 = 罟，其中盯2 = v a r ( x 1 ) ，记鼠= x 1 + + x k ，k = 1 ，2 ，则当n _ 。时 ( 码萨) 去三e 脚， 他们在2 0 0 5 年又得到了进一步的结论： 定理bi 受 x k ，。) ；1 ，托女：1 ，2 是独立同分布正的平方可积的随机变量的三角组列，具有阶大 于2 的绝刘矩p = e x l l 0 ，变异系数7 = 三，其中盯2 = y 0 7 ( x 1 ) ，令瓯= x k ，1 + + x k ，凫= 1 2 则当n _ 。时 ( 。孚卫舻) 志三e - v 在第一章当中，土要是在随机变量序列具有中尾分布的情况下得到了截断雨t l t n ( a ) 的随机乘积 的渐近正态性质： i s m , 。= n l a x l k _ n 甄) ，( o ) = 羔l 玛 螈。 0 ，h 是整值随机变量列，满足鲁三，是整值随 机变量则当n 0 0 有 ( 矗惫l 掣) 赤三e 渤 第二章主要讨论了n a 随机变量序列的完全收敛性我们得到了： 定理2 1 设 玉。 l 是目分毒砖亭剜，记= 鍪i 墨，列对誊 意豹s 0 p ( 1 1 i 1 | 乳一瓢i n ) 0 定理2 , 2 设 ，n 1 ) 是一列同分布的a 序列，记岛。= 譬1 托，则对任意的。0 残，墨登。| 筑| 2n t e ) 。 等价于 e m ( 妒i x l l l 。 在第三章当中，我们主餮讨论了 序列部分和乘积的渐近正态性，在褥到主要结果之前，我们 得到了本身也很重要的关于a 序列的两个结论： l 理3 1 设 羁) 是平稳的a 序列，且它们的二阶矩存在，则有! 纂2 i c o v ( x l ，x s ) l 0 ，口2 = v a r x l 。，变芹系数记 为1 = ：，则肖 志蚕塞叫 其中 。 拈- o o + 2 z c 州竽，学) o 0 ，口2 = v a r x l 2 d e n o t ep = e ( x 1 ) o ，1 = 卺，w h e r e o - 2 = v a r ( x d ，a n d 乳= 托1 + + x k ，k ，k = l ，2 ，t h e na sn 4 。 ( n 譬警) 志三e v w h e r eni sas t a n d a r dn o r m a lr v i nc h a p t e ri u n d e rt h ec o n d i t i o no fr v so w i n gt h em e d i u mt a i l ，ig e tt h ea s y m p t o t i cp r o p e r t y o ft h er a n d o mp r o d u c to ft h et r i m m e ds u l l l2 _ ( n ) ： t h e o r e m1 1 l e t ( x n ) b eas e q u e n c eo fl i dp o s i t i v es q u a r ei n t e g r a b l er s d e n o t e ，上= e ( x 1 ) o ，t h ec o e f f i c i e n to f v a r i a t i o n l = 吾，w h e r eo - 2 = v a r ( x 1 ) ，a n d s = x 1 + 一一十x k ，后= 1 ，2 ，ha r ei n t e g r a lr a n d o mv a r i a b l e s ，s a t i s f y i n g 鲁三毛fi s ai n t e g r a lr a n d o mv a r i a b l e t h e n ( 亘警) 去脚 i nc h a p t e ri i i ti sa b o u tt h ec o m p l e t ec o n v e r g e n c eo f ar 口s t h e o r e m2 1 l e t x n n 1 b et h en ar a n d o mv a r i a b l e so f i d e n t i c a ld i s t r i b u t i o n d e n o t e 岛= 銎1 x 。，t h e n p ( m a x 。i & 飘i n e ) 。， n = z i f f e x l = 0 ，e x o 。 t h e o r e m2 2 l e t x n ，n 1 b et h en a r a n d o mv a r i a b l e so fi d e n t i c a ld i s t r i b u t i o n d e n o t e s n = 翟1 x i ，t h e n n k ) 。 e m ( 妒i x x l l o 。 i nc h a p t e ri i i ，ip r i m a r i l yd i s c u s st h ea s y m p t o t i cp r o p e r t yo ft h er a n d o mp r o d u c to ft h e t r i m m e ds u m 矗a ) o ft h en ar a n d o mv a r i a b l e s ，b e f o r eg e t t i n gs u c har e s u l t ，ig e tt w ol e m m a so f ar a n d o mv a r i a b l e s ： l e m m a3 1 l e t x n b es t a t i o n a r yn ar a n d o mv a r i a b l e s ，a n de x ： 。，i = 1 ，2 ，一t h e n 函i c o v ( x 1 ，x j ) l 0 ，盯2 = v a r x l o o ， t h ec o e f f i c i e n to fv a r i a t i o n1 。：，t h e n 丽1 砩备( 肛s 。k 1 ) 三 5 k 黑一 m 垒 p d e n o t i n g 。 秘，+ 。量e 州了x 1 - - ，学)o 0 、口2 = v a r x l o 。 t h ec o e f f i c i e n to fv a r i a t i o n1 = ：t h e n ( 卫舻) 赤三e 西。w 6 第一章 截断和随机乘积的渐近性质 1 定义及引言 h u $ s u ( 2 0 0 3 ) x , j 截断和的概念进行_ r 定义，即称 矗( n ) = & 一晶( 。) ，n = l ，2 ， 为该随机变量序列的截断和n 是某一大于零的常数 其中 n 岛( o ) = x j i m n 一! j = 1 21 m r a x 。 x k - 众所周知，一列独立同分布的正平方可积的随机变量，它们的乘积具有渐近剥数正态的性 质，这个事实由经典的中心极限定理可以立即得到目前，主要研究部分和序列乘积的渐近对数正 态性质文献 1 2 】就是均值为1 的指数随机变量的特殊情况给予考虑，得到 它的等价表示为 ( i l l l 贯s ，v t = 三e 脚 n 。1 1 1 墨= ! 堡! 兰。d 2 n 对于一列独立同分布的随机变量序列 x 。，n 1 ) ，它的部分和乘积的渐近性，在文献 8 中讨论了其 种形式的渐近性，在【9 】中义进一步给出了另一种较为精确的渐近性，而文献( 1 0 】是在自正则情况下 给出了个随机乘积的结果 对于尾函数雨= lf ( 茹) ，假设极限 l i m 墨些旦 f h ) 存在 根据c 值的不同，将f 分为三类：当o 0 ，变骅系数1 = ，其中一2 = v a r ( x 1 ) 0 ，是髓值随机变量删，满足鲁三，是整值随 机变量| 【| j 当n o 。有 ( 疆鍪l 警) 去三e 锄 8 3 定理的证明 为了证明定理1 _ 1 ，需要给 下面几个引理 引理1 31 口6 1 忐翟1 ( 警一1 ) 三而1 扯n - ( 掣) 三。 引理1 3 2 1 1 0 i j 磅毽l ( 瀑1 ) 三n - 引理1 _ 3 3 刁b 廷1 ( 鼍1 ) 三 证明：由引理1 3 2 知只需证 志茎c 警m 因为鲁三即对任意的5 ( o 一 脯警 阻h 栅 土何 地 h 由 p 斗 警 h h 上瓶 证明：只要证明 p ( 去磐( 哪加吣) 其中伉= 掣 由 4 】的结论知! 铲瞥0 ( 女一o 。) ，所以由强大数定律知 仇= 型, u k = 掣掣骘1 ，女。o 。 “r 由几乎处处收敛的定义知：w 0 3 r o 艘得当8 r 时，有 p ( s u p l c k1 l 6 ) 6 。) f h p ( y v z t nk 尹= ! l 。g ( 魄) 茎z ) p 勰l 仇一1 i ) 显然，l 1 见。 + 而1 郴。) ) + l l o g ( 1 + 仉一l 胁k s ! u pi c 一1 i 蚓 1 0 仇 昭 h 日n a ( h 一1 ) h11 p 丽：蚤崦阱丽西。蒹一) ) + 。仇。1 ( 仉一1 ) 2 1 1 】+ l ( 1 + 靠1 ) ) 2 曼o ，s u pi c k 一1 is5 。) r 仉 月m a ( h 一1 )。h 尸而1 吾1 。嘏+ 志州。晨叫卅。 垒工2 1 一工2 2 ( c k 一1 ) 2 1 1 ) - l ( 1 十日k ( c k 一1 ) ) 2 ， s u p k r 。i c k 一1 l ! ) ) x ) ”崦c 吼而1 吲熏叫m c 仇叫“啪s u p 。阶t l 上式利用了函数的泰勒展式：1 。g ( 1 + z ) = z 一面毫f ，口( o ，1 ) ，h 1 显然工2 2 5 m 对于 r m a ( 唧1 ) h 切卅( 志蚤( 1 。g ( 仇) - c k + 1 ) + 而1 蚤( c k - 1 ) 1 _亡 7 佤吲急 ( 仇一1 ) 2 垒p ( a 1 + a 2 一a 3 兰z ) 4 ，一上 “1 1 以瓦 + 靠( c k 一1 ) ) 2 冗m ( h i ) j s u p k ! r 。i c k 一1 l ! d 。，z ) ( 1 0 9 ( o k ) 一c k + 1 ) 女= 1 由晚骘1 和鲁三f ，所以对任意同定的m ，当n 一。时 由引理2 知 下证如三0 a 2 4 1 三0 1 l 1 1 三n 、m胁魂去 仇 h h 志 ( 一) 若毋。2r n 一1 ，则当n 充分大时 一 n 8 1 _坠二! 竺 7 2 v 磊n 吲r 。急_ 1 】) + 1 ( 1 + 靠 三一 ! 鱼立二坐 72 x 瓦n ( 1 + 口h ( c k 一1 ) ) 2 1 丽 去去击三o ，一一 ( 二) 若r 。 h l ，记 则 先让 ， s u p k ! r 。i 仇一1 i ! ) a m 。= i i j ! - ；i i 南。；。c x 一- s s 。， 忙击童。a m 去。喜。三。 显然当川 ，0 p 郎去e 喜c 是叫2 = 赤争“警， = 寿喜沁n - - - - + ( k ) 1 2 q 。 旦何 警 。随 u | 何 + 。h。树 三瓶三何 因此曰1 1 与0 由【4 】中的结果! 铲骘o ，以及k 。l m o g o r o v 强大数定律，且e x l o ，知 s “_ d 。e 2 = 每警鲁譬o , t _ 应x , j 任意o e ，霉掣 岛h 一引一 + p ( 1 n f l2n e l ) j p ( 。( m 粼a x + 。) 一1 ：r 。+ l a h r t n 2 n ，) + r + 一 n k e 】 一 半 鬻 p 半 。 二何 p 0 e ( i x n e l e ) 。， n = l 其中g 为常数则称 墨in 1 ) 完全收敛于常数g ，记为墨。三c 定y 2 12 称随机变量x l ，m22 ) 是a 的，如果对于集合 1 ，n ) 的任意两个 不交的非空子集a l 与a 2 ，；g 有c o v ( f 1 ( 五，i a 1 ) ，2 ( 玛，j a z ) 茎0 ，其中，1 与，2 是任何两 个使得协方差存在且对每个变元均非降( 或同时为对每个变元均1 f 升) 的函数称随机变量 g 英 x 3 ，j f ) 为a 族，如果它的任何有限的子族j 6 。，墨。都是a 的m 2 ) 定义2 1 3 设 五。；n 1 ) 是随机变量序列， x ；：j n 是z x j ；j ) 的一个独立的复制， 令葛= 玛x ；j n ，称( 瓦；j n 是 玛；j ) 的刘称化序列 定义2 1 4 称随机变量序列 玛，j ) 是强平稳的，如果刘任何自然数m ，n 及1 蔓j 1 0 和n 有 ；p ( i ；j z ) 兰7 p ( 例 z ) 自从许宝啄和r 。b b i n s 【l 】于1 9 4 9 年引入了完全收敛性的概念以来，已引起了众多学者的关 注。k n 。 2 1 与b a u m a 更是获得r 一系列经典的结果 统计学家j g d e u 和p r o s c 。n ( 1 9 8 3 ) 提出了a 随机变量的概念，显然| v a 随机变量包 含独立的随机变量序列事实证明，a 序列在多元统计分析，可靠性理论，渗透理论以及 海洋工程，气象工程，环境t 程等领域有广泛应用近年柬，众多学者得到了一些重要结 果，例如在弱收敛方面的工作见e m a n ( 1 9 8 4 ) ，r o u s s a s ( 1 9 8 4 ) ，林正炎( 1 9 9 7 ) ，王岳宝( 1 9 9 6 ) 等； 1 5 在强收敛方面，m a t u l a ( 1 9 9 2 ) 研究了同分布两两n q d ( 含n a ) ，i j 的k o l m o g o r o v 强大数律等另 外还有：p e t r o v ( 1 9 9 1 ) 建立了可适用于a 序列的推广自o j b o r e l c a n t e l l i ； 理，s h a o ( 2 0 0 0 ) 研究 了r t h “型最大值不等式7 f k o t m o g o r o v 指数不等式；z h a n g ( 2 0 0 0 ) # ) f 究了a 序列的泛函中心 极限定理等此外，苏淳等还研究y n a 序列的完全收敛性本文主要是刘该结果给出 个新的证 明、同时讨论了a 序列的子列的完全收敛性质， 1 6 2 2 1 引 理 2 主要引理及结果 引n 2 2 1 【1 5 | 设x l ，墨，是4 变量，a l ， ，a 。是集合 1 ，n 的两两不交的非空子集 记啦= 4 ( a d ，即为a ：中的元素个数，如果 ：r o t r ，i = 1 ，m ，是对每个变元都非降( 或 同为刘每个变元都非升) 的函数，则，l ( 置，i a 1 ) ，。( x i ，i a 。) 仍为n a 变量此外，如 果 0 ，i = 1 ，m ，则还有 e ( n 罂1 ( 玛，j a 0 ) s 兀墨1 e f g x j ，j a t ) 特别的，对任何z 。r ，i = 1 ，n ，有 p ( x i z l ， x 。) 兰竺l p ( 置 x i ) ， p ( x i x l ，- ，x 。茁n ) 茎兀銎l p ( 砥三z 。) 引理2 22 1 5 ( 推州j b a r e l g t e m 引理) ( i ) 若墨1p ( a 。) o ；f i m 一。丛群= l i 任何“o 2 ”l i 毗一。s u p 2 x ! 卿”弗熬= 1 3 l i m a z 扛) = 。，n n k _ 。x - 5 l ( x ) = o ，任何d 0 引理2 2 6 2 研 设 而，j 1 ) 是零均值的a 序列，若刘某个p 2 ，岛垒s “耽 l e t x d 9 。o ，则 存在仅与p 有关的常数( p ) ，使对任何的自然数。有 其中口2 = s u p 。! l e 霹 1 2 2 定理 e ( 1 n 三l ，a 9 x i s a 9 ) ( p ) ( n 岛+ ( n 口2 ) 暑) 众所周知，日s “和r 0 6 6 仇s ( 1 9 4 7 ) 证明了下述定理 定理a 1 f 1 j 如果 矗，n 1 ) 是独立同分布的随机变量序列，e x l ：o ，e x 0 ，有 ) ( 酬n e ) 1 ，1 t 2 ，e i x l l r t o 。 当且仅当 而关于n a 序列的完全收敛性，苏淳( 1 9 9 6 ) 利用构造的方法得到了与t ，id 类似的结果 定理a 3 2 1 】设 墨。n21 是同分布a 序列，记& = 墨1 五，则 p ( ，凇。1 & 一以| 一) 。， n - - 2 一一 的充分必要条件是 e x l = 0 ，f x 1 ，p o 为当n _ + 。的单 调不减慢变函数，则f 两式等价 e i x l l ( i x l l j ) 】 0 为z o 。时的慢变函数，当叩= 1 时，假设h ( x ) c 0 ，且当叩= 1 ，o 1 时，假 设h ( x ) 一0 0 若存在随机变量j ，0 ，使当z o 。时 s u p p ( i 五i z ) p ( i x o l x ) o l e x o l ”h ( 1 x o l ：1 。 定理a 6 ( a l l a n g u t ( 1 9 9 2 ) ) 证明了行独立的随机变量阵列 x 。；1 i n ，n 1 ) 和的完全 收敛性： 令( x 。；l i n ，n 1 ) 是满足 e l x n i l o 。，e x 。；= 0 ( 1 茎i 兰n ，n 1 ) 的行独立的随机阵列，且为随机变量x 弱平均所界对某个0 p 0 ，妒( o ) = 0 m ( z ) = 恩1 n ，z 0 定理2 2 设 x 。n 1 ) 是一列同分布f ￥1 n a 序列，i d s , , 。= 鐾lx i ，则对任意的e o 等价于 蚤p ( t 蛩兰。吲狐e ) n ) p ( 瓯一m ( s k ) 。) m ( 鼠 n ) ；文m ( 瓯) ) p ( s k 一瓯 a ) = p f s k o ) p ( i x x f 2 x ) 蔓p ( i x a l z ) + p ( i x 一n i z ) = 2 p ( i x a l x ) 其中x7 是x 的一个复制，是的一个复制，z ，o 是任意的实数 则有下式成立 p ( 1 m 茎a x 。i s k m ( 瓯) l 三5 礼i ) 2 p ( 1 昌誉蚓25 扎；) 4 p ( 。m 。a x 。 s k m ( s k ) l t e n p ) 且知，a 序列的对称化序列仍是a 序列，所以定理的证明只需对对称的| v a 序列进行，即证 定理2 1 设f x 。，n21 ) 是别称同分布4 序列，记s 。= 墨lx i ，则 的充分必要条件是 证明：充分性冈为 p ( 。燃l 晶x k l o 。 n = 2 e x l = 0 ，e x 0 0 茂l & 一x k l 酬+ l 跷陬 2 1 且易知e x o o 与 是等价的且 故只需证 取p 1 - 令 再令 n e ( x xj n e ) o 。 p ( 1 i n a x 。i x l l “5 ) 凡p ( i x l i n ) p ( 酬h e ) x = 一n p i ( x 一p ) + x i ( i x l p ) j j ! | j 有e b = o ，且b 足别称的a 序列 又有 y 3 = x3 “品l n e ) = ( j 品| 珂，s t ，b 玛) u “品k v j ，巧= 玛) 所以要证明甚l 尸“晶i2n e ) o 。，只要证明以下两式成立 o 。 n p ( u ( b 玛) ) n = l j = l 先证明( 2 5 1 式 由e x 1 5 1 n ) 2 得 剐妻驰删叫勰l 壹驰n e ) se ( 竺譬) 。 j = 1 j = 1 n - q n e i g l l q + ( h e 砰) g 所以2 6 式成立，由此，定理的充分性得证 必要性由 且 知 nq + 1 e i h l 2 l h l 9 2 + n 怛砰) n1 ( 1 1 ) ( 口2 ) + n n = 2 p ( m 粥a x 。 晶一i 三) 。o 寻岛l = i ：妻跗) i 勰i 晶x * l ，n 2 2 = 1 一 心由推广的b a r e f c a t e l l i 引理知 所以由l o 女n ，e x l = 0 由 知，当 成立时，必有 p ( 酬n e ) o q 鲁瞥0 1 m 。k h 。i x k l “1 1 女! n i 品 x l + 1 品 p ( 船；l 晶一凰i2 m ) 。 n = 2 薹p 嬲刚独) 一 进而 n p ( i x d n s ) o o 这即说明e x o 。成立 以下给出定理2 2 的证明 证明：必要性因为 l x l i n 矗= 似( | x 1 1 ) 2 女) 藏们有 。 n ) = n 女p ( 妒( 1 x 1 i ) 2 ) k = 1 = n k p ( i 廿( 1 x 1 1 ) i + 1 ) k = lt = k 。i = ( n 女) p o 墨妒“x 1 1 ) i + 1 ) 1 = 1k = l o 。 = m ( k ) p ( k o ( i x l l ) k + 1 ) 所以，只需证明墨1 n p “x l l a n k ) 0 ( 3 ，因为x + ，x 关于x 是单调的，则x 产，对，- ，x 去仍 然足n a 序列，由n a 序列的性质知 p ( 。当譬。耐2 ”m ) 21 一p ( ，墨要。耐 “k ) = 1 一p ( x 产 n k ，一，x 乏 n k ) 1 一e t x l + n k ) t = 1 = 1 一( 1 一p ( y 产n ) ) “ “女p ( x 产n k ) 又冈为m a xi x i is2m a xi s i l 我们有 p ( 1 墨要。i x i l2s n k ) p ( 1 婴要。l 岛- i 警) 又由于l x l = x + + x 一，所以 n ) p ( 1 婴萎。刚”k ) p ( ，璺笺。i 岛。i 警) 。 则必要性得证充分性类似上述定理即可证得 xp n x扩 h 第三章 a 序列部分和乘积的渐近正态性 在前一章中，讨论了截断和的渐近止态性事实上，对于a 序列的部分和乘积，在一定的条 件下，也有着类似的结论在给出相关的主要结果之前，必须做一砦准备工作，下面引理的本身也 是重要的 引理3 1 设 墨j 是平稳的4 序列，且它们的二阶矩存在，则有置2 c o y ( x 1 ，x j ) i o 。成 立 证明：因为 0 v a r ( x l + + x 。) = n v a r x l + 2 c o y ( 。磁，玛) 1 s l 。 j = l 2 c o y ( x 1 ，x j + 1 ) v a r x l 。 j = l c o y ( x 1 ，玛+ 1 ) + 砀 x删c 一础 “ 2 +x”矿n 一 + 巧 x 一册 + +巧 xog 芦 “ 2 x o旷 x毗g 。同 xrn矿 h 砀 x甜g 皿 引理3 2 | 1 5 】设 五， 是一列平稳的中心化的a 序列， 口。；1sk n 是一个实的三角阵 列，满足 j j ! j 当n 一。时有 引理33 令 j i | j 当n o 。时 s u 。p 苫。k 。， 1 m ( a x 。l a n k i 。o ，n 。 w , i z 。k x k ) = 1 ， n 。k x k 三n ( o ，1 ) = 1 2 = e c ；喜c 鑫叫，2 朵一一5 证明：该引理的证明可以借助 2 4 的7 j 法 将置中心化得，k = 墨产，姗有 三7 台= 1r 垒p k 一) 2 喜；骞k 等r 鲁 所以 一i = e ( b i ，。k ) 2 其中：b i 。= 楚。 由事实墨1 蜢。= 2 nb 1 。得 坠 ( 3 1 ) ，1一七 。：l 巧 b 。 y n 鹾 一 2 + 鹾 。! l 由引理3 1 的过程知 c o v ( b i ，。x i b j 。玛) l 茎i 0 c o v ( b ，。k ，b 巧) l ! l j 至n 如m b j m e y i 巧+ a i = l j = 1 n1 n - - 3 丽a 1 = 去萎6 i , n e y i y j + ， 。去j = l i = 16 秘h 抽+ _ 1 ，。i = i 嵫2 栅轴 h 垒l l + l 2 l t 2 j = l ( 去i = 16 i 加m