（物理电子学专业论文）大功率开关电源变压器的铜损仿真分析.pdf

西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 摘要 随着电源技术的不断发展，高频化和高功率密度化已成为开关电源系统的研究方 向和发展趋势。变压器是开关电源的核心部件，是决定开关电源性能和稳定性的重要 因素，随着工作频率的不断提高，变压器的结构越来越紧凑，高频效应的影响越来越 明显，变压器损耗极易引起局部过热，甚至烧毁变压器。因此，对变压器损耗的研究 具有重要的工程意义。 本文所研究的问题属于交变电磁场问题。因此，本文从麦克斯韦方程组出发，介 绍了交变电磁场理论以及分析该问题所用到的有限元法。分析了在高频条件下，集肤 效应和临近效应对变压器绕组损耗的影响，并分别介绍了磁性材料的磁滞损耗、涡流 损耗和剩余损耗。 以实际的高频变压器模型为背景，建立变压器损耗的三维等截面积仿真模型，采 用有限元法对变压器铜损进行数值求解。模拟分析次级绕组段间距、初级绕组以及磁 芯漏磁对次级绕组损耗的影响，并引入了矩形导线和圆导线之间的等效因子。分析表 明，在考虑次级绕组段间距、初级绕组以及磁芯漏磁后，高频变压器的次级铜损值 2 4 6 0 9 w ，远大于d o w e l l 模型的理论计算值1 0 7 5 0 w ，这为变压器铜损的进一步优化 提供了参考。 在考虑各种因素对变压器损耗的影响后，利用等截面积模型和等高度模型对实际 变压器进行等效，模拟表明，两种等效方式下的绕组具有相同的损耗。论文还对具有 相同磁芯截面积的矩形磁芯和e 形磁芯的变压器绕组损耗进行了对比，同时还给出了 变压器漏磁在油箱中产生的附加损耗值。在此变压器模型下，分析了绕组损耗随变压 器层数和绕组高度的变化关系，得出了变压器绕组损耗的最优值。 关键词：高频；变压器；集肤效应；临近效应；有限元法 西南交通大学硕士研究生学位论文 第1 i 页 曼皇舅舅i i ； i ii 皇曼皇皇曼曼舅曼曼曼曼皇曼舅舅曼曼曼曼曼孽曼皇曼璺曼舅曼曼皇量曼曼曼曼曼l 寡鼍量寰曼曼曼 a b s t r a c t w i t ht h ec o n t i n u o u sd e v e l o p m e n to f p o w e rt e c h n o l o g y ，h i g h f r e q u e n c ya n dh i g hp o w e r d e n s i t ys w i t c h i n gp o w e rs u p p l ys y s t e mh a sb e c o m et h er e s e a r c h a n dd e v e l o p m e n tt r e n d s t r a n s f o r m e ri st h ec o r ec o m p o n e n to fs w i t c hp o w e rs u p p l y ， i ti sa l li m p o r t a n tf a c t o rt ot h e s w i t c h - p o w e r - s u p p l y sp e r f o r m a n c ea n ds t a b i l i t y , a l o n gw i t hi n c r e a s i n go ft h eo p e r a t i n g f r e q u e n c y , t h es t r u c t u r eo ft h et r a n s f o r m e ri s b e c o m em o r ea n dm o r ec o m p a c t , h i g h f r e q u e n c ye f f e c t s ( i n c l u d i n gs k i ne f f e c ta n dp r o x i m i t ye f f e c t ) t om a k et h ew i n d i n g l o s s i n c r e a s e w i n d i n gl o s so ft r a n s f o r m e rc a ne a s i l yc a u s ep a r t i a lo v e r h e a t i n g a n dt 2 a r f f f l lb u r n i n g o ft h et r a n s f o r m e r , s og i v et h ew i n d i n gl o s sv a l u ee x a c t l yo ft h et r a n s f o r m e rh a si m p o r t a n t e n g i n e e r i n gs i g n i f i c a n c e i s s u e sa r es t u d i e di n t h i sp a p e rs e e m st ob es t e a d y - s t a t ea l t e r n a t i n ge l e c t r o m a g n e t i c f i e l dp r o b l e m s s o ，t h i sa r t i c l eb e g i nw i t ht h em a x w e l le q u a t i o n sa n dd e s c r i b e st h e s e e m i n g l ys t a b l ea l t e r n a t i n ge l e c t r o m a g n e t i cf i e l dt h e o r ya n da n a l y s i so f t h ep r o b l e mu s e d f i n i t ee l e m e n tm e t h o d a n a l y s i so fs k i ne f f e c ta n dp r o x i m i t ye f f e c to nt h el o s so fh i g h f r e q u e n c yt r a n s f o r m e rw i n d i n g s ，i n t r o d u c e dt h et y p eo f i r o nl o s si nc o r em a t e r i a la n dt h e m e c h a n i s mo ft h ef o r m a t i o n i nt h i sp a p e r ，t h r e e d i m e n s i o n a le l e c t r o m a g n e t i ca n a l y s i sm o d e lo fh i g h f r e q u e n c y t r a n s f o r m e ri sb u i l t ，u s et h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o dt od on u m e r i c a ls o l u t i o n t h ei n f l u e n c e b e t w e e ns e c t i o ns p a c i n go fs e c o n d a r yw i n d i n g ，p r i m a r yw i n d i n ga n df l u xl e a k a g eo f m a g n e t i cc o r et ot h es e c o n d a r yw i n d i n ga r es i m u l a t e d ，t h ee q u i v a l e n tf a c t o ri si n t r o d u c e d b e t w e e nt h er e c t a n g u l a rw i r ea n dt h er o u n dw i r e a n a l y s i ss h o wt h a t ， w h e nw ec o n s i d e rt h e s e c t i o ns p a c i n go fs e c o n d a r yw i n d i n g ，p r i m a r yw i n d i n ga n df l u xl e a k a g eo f m a g n e t i cc o r e ， t h es e c o n d a r yw i n d i n gc o p p e rl o s so fh i g h f r e q u e n c yt r a n s f o r m e ri s2 4 6 0 9 w ，w h i c hi s l a r g e rt h a nt h ev a l u e10 7 5 0 wc a l c u l a t e db y d o w e l lm o d e l ，t h i sp r o v i d e sar e f e r e n c et ot h e t r a n s f o r m e r so p t i m i z a t i o nd e s i g n t ot h es a n l et r a n s f o r m e r , e q u a lc r o s s s e c t i o na r e am o d e la n de q u a lh e i g h tm o d e la r e i n t r o d u c e d , a n dt e s t i f yt h e r ec o r r e c t n e s s t h r o u g ht h ef i n i t ee l e m e n ta n a l y s i s ，t h i sp a p e r g i v e st h el o s so f t h eg a s o l i n et a n kg e n e r a t e db yt h et r a n s f o r m e rl e a k a g ef l u x a tl a s t ，w h e n t h el a y e ri sn i n e ，t h el o s si so p t i m i z a t i o n t h r o u g ht h i sw o r k , w ec a ng e ts o m ec o n c l u s i o n sa n dr e v e l a t i o n ， i th a ss i g n i f i c a n c et o t h ea c t u a lw o r k k e yw o r d s ：h i g h - f r e q u e n c y ；t r a n s f o r m e r ；s k i ne f f e c t ；p r o x i m i t ye f f e c t ；f i n i t e e l e m e n t a n a l y s i s 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 第1 章绪论 1 1 本课题的研究背景及意义 随着科学技术的进步，电力电子设备与人们的生活、工作日益密切，而电能是电 子设备正常工作的必要条件。在通常情况下，电力要经过转换才能符合电子设备的使 用要求，这就需要电能转换装置，即通常所说的电源。电源是各种电子设备不可缺少 的组成部分，其性能的优劣直接关系到电子设备能否安全可靠有效地工作。 直流稳压电源分为传统的线性电源和现代的开关电源两大类。线性电源稳压性能 好，输出纹波电压很小，但其功率损耗较大，效率很低。开关电源的开关管工作在开 关模式，功率损耗小，由于工作频率较高，开关电源中的变压器、电感器和电容器等 元器件体积也较小。因此与传统的线性电源相比，开关电源具有重量轻、体积小、效 率高、稳定性好、发热量低等优点，被誉为高效节能电源。广泛应用于军事、工业及 民用电子设备的各个领域，成为现代电子设备的重要组成部分鲫。 高频开关电源的核心部件之一是高频变压器，它是实现能量传输和能量转换的主 要器件，但同时又是开关电源体积和重量的主要占有者和发热源，可以实现电压变换、 阻抗转换和电气隔离等主要功能，高频变压器通常占开关电源总体积的2 5 并超过总重 量的3 0 h 1 。随着工作频率高频化，变压器的功率损耗不断增大，并且损耗完全转换成 热，会导致发热量增加和温度急剧上升，如果设计不合理，工作时热量不能很快散发 出去，变压器温升过高，就会使系统性能恶化，严重影响开关电源系统的质量和可靠 性川耵。 随着开关频率的提高，变压器的绕组损耗也会增大。绕组损耗除了与导体材料的 导电特性有关外，还和绕组的几何结构( 绕组的导体尺寸和绕组的位置) 以及交流信 号的频率有关。在高频条件下，导体中存在临近效应和集肤效应。临近效应是由周围 导体所产生的磁场的作用引起的，而集肤效应则是由导体内部本身的交变电流产生的 交变电磁场而引起的。临近效应和集肤效应的作用是把电流挤向导体的表面，导体中 的电流成不均匀分布规律，减小了导体中电流流过的有效面积，使得交流下的电阻值 比直流电阻值显著增大，有时甚至是直流电阻的数十倍，从而导致绕组损耗增加。在 设计高频变压器时，必须考虑绕组中临近效应和集肤效应的影响，否则变压器在工作 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 页 时达不到所要求的效率和性能，因此能够准确的给出高频变压器的铜损就显得至关重 要。 1 2 国内外研究现状 二十世纪六十年代以前，线性调节器式的直流稳压电源被人们普遍采用，由于晶 体管串联时的高损耗和工频工作条件下变压器的体积较大和重量较重，因此其效率低、 难以实现小型化，功率密度通常为0 2 0 3 w i n 3 。二十世纪六十年代，具有功率密度 比大、稳压范围宽、功率转换效率高、重量轻等优点的开关调节器式直流稳压电源( 开 关电源) ，取代了线性电源。 目前世界上大多数发达国家的一些研究单位都在进行高频开关电源的研究，其中 处于领先地位的有美国弗吉尼亚理工学院及州立大学电力电子研究中心( v p e c ) 、日本 九洲大学原田研究室、德国的西门子公司研究室、美国的麻省理工学院( m i t ) 以及通 用电气公司( g e ) 、美国的摩托罗拉( m o t o r o l r ) 公司等。1 9 9 0 年，v p e c 的d r f r e dc l e e 成功研制出了开关频率在1 2 - - 2 2 m n z 、l o o w 的准谐振开关变换器，其功率密度达到 了1 5 2 w c m 3 ，接下来d r f r e dc l e e 还提出了多谐振变换器方案( m r c ) ，实验中频率 可能达到i o m h z ，功率密度达到3 7 - 一4 5 w c m ，输入电压4 5 - - 5 5 v ，负载电流o i o a ， 开关频率2 5 m h z - - ，3 8 5 m h z ，效率8 0 8 3 ，峰值功率做到1 5 - - 一2 k w 。1 9 9 1 年日本 原田实验室n 0 s o k a l 采用e 类谐振变换技术，分别成功研制出1 2 w 、1 4 m h z 效率9 2 的变换器和4 0 w 、1 5 m h z 效率为8 3 的直流一直流变换器，在高功率方面采用反激 z v s q r c 研发出了功率为5 k w 的开关电源。德国的西门子公司则在1 9 9 5 年利用功率铁 氧体材料成功研制出大功率密度的开关电源，采用e r l 8 0 大尺寸铁氧体磁芯成功研制 出i o o k w 的开关电源，并分别采用r m 7 和r m i o 成功研制出5 0 wi o a 和1 2 0 w 的开关电 源( 开关频率为0 7 i m h z ) 。在理论研究方面，加州理工学院提出的准谐振开关变换 器综合与分析的一般方法，在理论分析上具有一定的代表性，美国麻省理工学院采用 有限元法分析了l i o m h z 变压器的损耗，而通用电气公司则对气隙与高频磁路问题进 行了大量研究。目前国外0 卜3 姗z 的高频开关电源已实用化n 幻n 3 m 钔，2 0 0 - - - 5 0 0 k h z 已成为输出i o o w 以下开关电源的标准开关频率，开关电源的功率密度已向1 2 0 w i n 3 的目标发展h 1 。 我国对高频开关电源变换器以及开关电源的研究较晚，与发达国家差距较大m 1 。二 西南交通大学硕士研究生学位论文第3 页 十世纪八十年代后期，我国第一批引进澳大利亚技术，开发出开关频率为4 0 k h z 、4 8 v 、 5 0 a 和开关频率为2 0 k h z 、4 8 v 、i o o a 的高频开关电源，这被认为是当时我国最先进的 开关电源。从此以后，我国一方面吸收国外的先进技术，在国内开发自己的开关电源 及开关电源变压器，现在已有邮电部武汉电源厂、通信仪表厂、一些研究所、科研院 校等单位在吸收国外先进技术的基础上开发自己的开关电源及开关电源变压器；另一 方面积极派科研人员和技术人才参加各种国际学术会议，比如国际通信能源会议和 v p e c 组织的国际学术交流研讨会h 3 。 由于我国配套的基础工业设施较为落后，并且对高频开关电源缺乏系统深入的研 究和技术支持，我国目前开关电源的工作频率均在2 0 0 k h z 以下，近年来，国内一些科 研单位在开关电源的理论方面做了大量的工作，如电子科技大学在建模、仿真设计、 拓扑结构等方面已连续研究数年，并取得一定成绩；清华大学对开关电源的动态优化 设计问题进行了深入的研究。国内还有其它一些高校和科研院所也在进行这方面的研 究，但是对高频下的变压器研究还是不够以及受磁性材料性能的限制，我国开关电源 一直未能实现高频化，电子设备轻量化、小型化以及可靠性的提高，制约了电子设备 的升级换代璐1 。因此，对高频开关电源变压器的研究势在必行。 开关电源的高频化和高功率密度化的发展趋势增加了变压器优化设计的难度：一 方面高频化缩小了变压器的体积并增加了磁芯和绕组中的损耗，导致变压器发热严重 且散热表面减小，这对高频变压器的散热设计提出了更高的要求。 高频变压器绕组交流损耗的计算方法主要分为两大类：解析法和数值模拟法。1 9 6 6 年d o w e l l 提出了计算交流电阻与直流电阻间的换算系数k r 的著名的d o w e l l 模型，应 用这一模型可以方便计算绕组的高频损耗，但是d o w e l l 模型是基于一维情形，只考虑 绕组具有高度方向一个变量，即假设绕组的高度远远大于单层绕组的厚度，因此具有 很大的局限性，此后很多学者在d o w e l l 的工作基础上通过引入修正系数对d o w e l l 模 型做了修改和发展n 啪1 。在磁芯损耗计算方面，1 8 9 2 年s t e i n m e t z 提出了适用于正弦 激励下用于计算磁芯损耗的著名的经验公式，通过测量磁芯在不同频率和磁通密度下 的磁芯损耗值拟合出经验公式需要的参数值。在此基础上，m u l d e r 等人考虑了非正弦 电压波形对磁芯损耗的影响，对s t e i n m e t z 公式进行了推广和修改心妇嘲。此后，众多 研究磁性材料的企业和科研机构对不同性质的磁性材料的损耗进行了实验研究，并拟 合出磁性材料在不同频率和磁通密度下的s t e i n m e t z 公式。 目前，利用数值模拟研究高频变压器的绕组损耗主要分为定性分析和定量计算， 西南交通大学硕士研究生学位论文第4 页 定性分析一般采用二维分析，通过二维分析可以得到一些指导性的设计原则，以及一 些参数间的相互关系等。而定量分析更适于采用三维分析，为了得到高频变压器损耗 的精确值，最终达到在一定程度上替代实验的目的。常用的变压器数值模拟方法有边 界元法、有限元法、有限差分法等，可以有效地分析绕组中的绕组损耗、高频效应、 分布参数、变压器电磁场分布和温升等。 2 0 世纪6 0 年代以来，求解电磁场的各种数值方法迅速发展起来。有限差分法形成 系数矩阵比较方便、数学概念简单，最早在电磁场计算中得到应用，至6 0 年代末，电 磁分析人员已开发出比较成熟的分析变压器漏磁场的2 d 有限差分程序。但有限差分法 中剖分模型采用的是规则网格，其不能满足日益复杂的几何模型，因此有限差分法在 电磁场分析领域中的应用逐渐被有限元法( f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，简称f e m ) 代替。 2 0 世纪7 0 年代，有限元法逐步发展起来，并因数值稳定性好、网格剖分灵活等特点成 为计算电磁场问题的主要方法。 目前也有很多文献在讨论变压器的损耗问题，理论计算方面应用最为广泛的是 d o w e l l 计算绕组损耗的模型，它是在单层绕组的高度远远大于单层绕组的厚度的前提 下成立的，因此d o w e l l 模型是基于一维模型( 只考虑绕组在高度方向) ，并且忽略绕 组之间的相互影响、磁芯漏磁对绕组损耗的影响，同时d o w e l l 模型的计算表达式中， 单层绕组内的绕线紧密排列，因此在利用d o w e l l 模型计算绕组的损耗具有很大的局限 性；在有限元仿真模拟方面，比较常见的有二维模型分析( 同时考虑高度方向和宽度 方向) ，文献 5 用二维有限元法对绕组损耗进行了分析，并指出由于边缘效应的存在， 二维计算比三维计算存在很大误差。 1 3 本文主要研究内容 高频变压器是开关电源中的重要组成部分，它的体积和重量都占据了很大比例。 降低开关电源的体积和重量的关键技术是提高开关频率，随着有源开关器件及软开关 技术的发展，开关损耗降低，频率提高。但是随着频率的提高，变压器的损耗增加。 因此针对开关电源中的变压器，从集肤效应和临近效应的影响出发，对变压器绕组的 损耗展开研究具有重要的意义。 本文从高频绕组的集肤效应和临近效应出发，对绕组的损耗形成机理进行了定性 的分析，并用有限元分析对高频变压器的铜损进行了定量的计算。 西南交通大学硕士研究生学位论文第5 页 本文主要由以下几部分内容组成： ( 1 ) 回顾了高频开关电源的现状以及发展趋势，介绍了高频变压器的两种计算方 法，以及本论文将进行的研究工作。 ( 2 ) 研究了似稳态交变电磁场的基本理论和电磁分析中常用的边界条件， 引入 电磁位来求解电磁偏微分方程，介绍了有限元法的基本原理，给出了电磁有限元分析 的一般步骤。 ( 3 ) 对变压器绕组的高频效应( 集肤效应和临近效应) 进行了深入研究，并分别 介绍了铁损中的磁滞损耗、涡流损耗和剩余损耗。 ( 4 ) 从d o w e l l 计算变压器绕组损耗的理想模型出发，通过引入等效因子，对变 压器绕组损耗进行了三维有限元分析。由于d o w e l l 模型的缺陷性，用有限元分析模拟 了线圈层数、次级段间距、磁芯漏磁以及初级绕组对线圈损耗的影响。基于有限元法 同时考虑了绞合结构的细导线的损耗值。 ( 5 ) 从次级绕组高度和绕组层数的关系出发，通过有限元分析了当层数m = 9 时， 变压器的次级损耗具有最优值。 西南交通大学硕士研究生学位论文第6 页 第2 章电磁场基本理论与有限元法 2 1 似稳态高频电磁场 2 1 1 似稳态麦克斯韦方程组 在十九世纪中期，麦克斯韦在前人关于电磁场工作的基础上，提出了适用于所有 宏观电磁现象的数学模型，称之为麦克斯韦方程组。它是工程电磁场数值分析的出发 点，也是电磁场理论分析的基础。由于本文所研究的问题属于涡流问题( 又称似稳态 交变电磁场问题) 。因此本章来介绍涡流电磁场问题的有关理论哪3 。 在电磁领域，电磁分析问题实际上是求解给定边界条件下的麦克斯韦( m a x w e l l ) 方程组问题。麦克斯韦方程组是分析和研究电磁问题的根本。因此先介绍一下麦克斯 韦方程组，麦克斯韦方程组由四个定律组成，即高斯磁通定律、高斯电通定律、安培 环路定律和法拉第定律。 麦克斯韦方程组包括微分和积分两种形式，在此仅给出它们的微分形式，通过它 们可以导出能用有限元处理电磁问题的微分方程。 法拉第电磁感应定律 安培环路定律 高斯电通定律 高斯磁通定律 电荷守恒定律 v e ：一罂 ( 2 1 ) a v 日= ，+ 酉o d v d = p v b = 0 v ，：一丝 疣 上式中，e 为电场强度，( v m ) ；d 为电通量密度，( c r e ) ；h 为磁场强度， b 为磁通量密度，( t ) ；j 为电流密度，( a r e ) ；i | 口为电荷密度，( c m 3 ) ( 2 - 2 ) ( 2 - 3 ) ( 2 - 4 ) ( 2 - 5 ) ( a m ) ； 上面5 个方程包括三个散度方程式( 2 3 ) 、( 2 4 ) 和( 2 - 5 ) 和两个旋度方程式( 2 - 1 ) 和( 2 2 ) 。但是其中只有3 个方程是独立的，另外两个相关方程能够从独立方程中导 出来。前两个旋度方程是独立方程，还可以在散度方程式( 2 - 3 ) 和( 2 - 5 ) 中任选一 个作为另外一个独立方程，方程式( 2 - 4 ) 作为相关方程。 西南交通大学硕士研究生学位论文第7 页 2 1 2 本构关系 以上描述的5 个麦克斯韦方程组中只有3 个是独立的，从解方程的角度看，方程 个数少于未知量个数，所以3 个独立方程的解的形式是非定解形式。当场量间的本构 关系确定后，则麦克斯韦方程组就具有定解形式，本构关系描述了媒质的物理性质与 求解场量之间的关系。场量e 、d 、b 、h 之间的关系，由媒质的特性决定。对于线性介 质，本构关系为： b = t h d = e e j = o e 式中，弘为介质的磁导率，h m ；为介质的介电常数，f m ； 盯为介质的电导率， s m 。 还需说明是，对于均匀媒质，p ，仃不随位置变化；对于非均匀媒质，它们 是位置的函数；对于各向异性介质，它们是张量；对于各向同性介质，它们是标量。 如果希望得到电磁场为题的唯一解，除了上述方程外，还需要配备定解条件：需 要给定模型的边界条件和方程组的初始条件。 2 1 3 电磁分析边界条件 联合麦克斯韦方程组中的独立方程组和本构关系在我们所关心的模型范围内求解 麦克斯韦的微分方程，可以得到很多解，但是，它们中只有一个是真实解。要求得该 问题的真实解，就必须要知道该区域的边界条件。也就是说，微分方程和边界条件的 信息构成了一个电磁场问题的完整描述。 电磁有限元法中的边界条件，归纳起来，通常可概括为以下几类。 ( 1 ) 狄利克莱边界条件 该边界条件可以表示为： “l r = g ( r i ) 其中r 。表示为狄利克莱边界，g ( r ，) 为位置的一般函数。电磁场教科书中常常称狄 利克莱边界条件为第一类边界条件，有限元计算领域，常常称其为约束边界条件，或 本质边界条件。它规定了边界处势的分布，势是边界位置的函数，它可以是常数和零。 西南交通大学硕士研究生学位论文第8 页 ( 2 ) 诺依曼边界条件 该边界条件可以表示为： 剖r 州叫r 2 _ 其中r ，表示诺依曼边界，n 表示边界的外法向矢量，在电磁场教科书中常常将诺 依曼边界条件称为第二类边界条件，它规定了边界处势的法向导数分布。g ( f ：) 和h ( r ：) 为位置的一般函数，在特殊。n 况t a ( f ：) 和h ( r ：) 可以是常数或者零。 ( 3 ) 对称边界条件 对称边界条件包括奇对称边界条件和偶对称边界条件。奇对称边界可以模拟一个 设备的对称面，在对称面的两侧电荷、电位、电流等满足大小相等，方向相反。偶对 称边界可以模拟一个设备的对称面，在对称面的两侧电荷、电位、电流等满足大小相 等，方向相同。采用对称边界条件可以减小模型的尺寸，有效地节省计算机资源。 除此之外，在用有限元法分析电磁问题时，还常常会用到其它一些边界条件，如 交变电场中的电阻边界条件、涡流场中的阻抗边界条件，匹配边界条件，二维分析常 用的气球边界条件等。 2 2 时变电磁场辅助变量的引入与偏微分方程 2 2 1 电磁位 由于区域中含有导电材料的似稳态电磁场又称为涡流场。涡流场是一般时变电磁 场的特例，在遇到实际的涡流问题时，直接求解麦克斯韦方程组往往并不方便，通过 引入不同的电磁位，建立以磁位或电位为未知函数的偏微分方程。 为方便求解电磁场，在时变场中常引入电磁位彳和西。由v b = 0 ，引入矢量磁位 i ，并满足 一b ：v x a( 2 6 ) 因为v b = v ( v x a ) = 0 ，所以m a x w e l l 方程组仍能满足。4 通常是时间与空间 位置的函数。在国际单位制中，彳的单位是韦米。 将式( 2 6 ) 带入式( 2 一1 ) 中，并将一妄v x 刍移到等式左边，可得v x ( 西+ 警) = 。 西南交通大学硕士研究生学位论文第9 页 由于旋度为零的向量可以表示唯一标量矽的梯度，于是 否+ 警一黝 ( 2 - 7 ) 或 一e = - v 一面o a ( 2 8 ) d f 式中西称为标量电位，j 称为矢量磁位。j 和咖组成了时变电磁场的电磁位。式 ( 2 8 ) 表示，在时变电磁场中，电场强度包括两部分，一部分为磁场变化引起的感应 电场，另一部分为标量电位的梯度场。 、 2 2 2 规范变换 由式( 2 6 ) 和( 2 8 ) 可见，已知标量电位西和矢量磁位彳，则b 和e 就完全确定， 但反过来，己知否和秀，却可能存在多组才和移。例如，式( 2 6 ) 中，用孑来代替j ， 使 a = a v s( 2 - 9 ) 其中s 为一任意标量函数，则b 将保持不变。同理，从式( 2 8 ) 可见，若用去 代替西，使 = + 鲁 则吾也保持不变。这种保持吾值和一b 值不变的变换，称为规范变换：s 则称为规范 函数。当j 和西做规范变换时，由规范不变性可知，规范变换所描述的场仍为同一客 观电磁场。基于这种不变性，当用电磁位来表示电磁场时，可通过规范变换使问题简 单化。 设介质为各向同性、均匀和线性。由一b = vx a , 和v x h = 了，可得 v x v x a = v x b = p v x h = 弘了 即v v j v 2 j = p 了( 2 - 1 0 ) 再根据v 一d ：o 和对面：一v 一掣取散度，得 f v 2 一。研v j ( 2 - 1 1 ) 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 0 页 ( 1 ) 采用库仑规范 令v a = 0 ，由式( 2 - 1 0 ) 和( 2 - 1 1 ) 可以推导出 v 2 j ：一了 ( 2 1 2 ) v 2 西= 0( 2 - 1 3 ) 式( 2 - 1 2 ) 和( 2 1 3 ) 就是采用库仑规范时，似稳电磁场的a ，西方程。 ( 2 ) 采用电导率规范 取 v 么+ p 口咖= 0 可以导出 v 2 j 叩詈( 2 - 1 4 ) v 2 矽警 ( 2 - 1 5 ) 这时a 、西可完全求解出来。可见v 么取不同的规范，彳满足不同的方程形式。 即可以选择适当的规范使电磁位方程和求解简化。 2 3 有限元法概述 所谓有限元法，就是将整个区域分割成许多很小的子区域，这些子域通常称为“单 元”或“有限元”，将求解边界问题的原理应用于这些子区域中，求解每个小区域，通 过选取适当的尝试函数，使得对每一个单元的计算变得非常简单，经过对每个单元进 行重复而简单的计算。再将其结果总和起来，便可以得到用整体矩阵变大的整个区域 的解。 有限元法( f e m ，f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ) 最早应用于结构力学计算中，1 9 7 1 年 w i n s l o w 、c h a r i 和s l i v e s t e r 等人把有限元法运用于电磁场计算中，这成为电磁场计 算领域中的一个转折点，至今在电气工程方面得到了广泛应用。有限元法从数学角度 看是近似求解数理边值问题的一种数值计算方法，是对原函数在求解区间内按照某种 条件下的最优近似逼近。有限元法将包含物理问题的封闭区域剖分成有限个小区域， 用近似函数对每个小区域进行求解，从而来获得整个区域内的函数求解近似数值。 随着计算机技术的不断进步和数值方法的不断完善，有限元法己广泛应用到流体 力学、热传导、电磁场、固体力学及结构力学等各种领域，并且在各自的领域内都有 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 1 页 自己的有限元分析软件。与有限差分法相比，有限元法剖分网格十分灵活，针对不同 的物理模型区域边界以及不同的边界形状，可以选择不同的网格剖分方式，从而能在 工作量不太大的条件下较好地保证求解精度。 有限元法的节点配置、单元剖分较为自由，对求解结果精度要求高的区域，可以 根据实际需要局部加密剖分；这对于形状比较复杂的物理模型和不规则边界，容易做 到较好的逼近和处理。另外通过有限元离散的代数方程组，其系数矩阵常常是稀疏、 对称和正定的，这样使方程求解十分迅速。最后，在不同的领域内，基于有限元法的 分析软件具有统一的有限元法算法，便于计算自动化和快速化。基于这些优点，使有 限元法在实际应用中越来越广泛m 硎。 2 3 1 有限元法基本原理 边值问题求解主要有两种方法，一是伽辽金( g a l e r k i n ) 方法，它通过对微分方程 的参数进行加权的方法来得到方程组的解。另一种是里兹( r i t z ) 变分方法，也称为瑞 利里兹( r a y l e i g h - r i t z ) 方法，其边值问题用泛函表示，通过求泛函中变量的最小 值，来得到近似解。这两种方法构成了现代有限元法的基础。基于伽辽金法获得的有 限元称为伽辽金有限元法；基于里兹法获得的有限元称里兹有限元方法。伽辽金有限 元法和里兹有限元法的出发点不相同，但对于电磁场微分方程来说，却有相同形式的 矩阵方程，即这两种方法可以得到相同的近似解。 有限元法的求解步骤可以分为以下几个方面： 第一步：确定实际问题所定义的物理区域、边界条件和信号激励。可以利用物理模 型几何结构和激励的对称性找出区域的对称轴，从而减小计算量和求解区域。 第二步：将整个区域离散进行有限元网格剖分。即用节点( n o d e ) 和单元( e l e m e n t ) 来表示整个区域。全域被划分成小区域，这些小区域被称之为单元，所有单元的集合 构成了大区域。每个单元的顶点由节点确定，单元和节点都按照一定的顺序进行编号。 在求解过程中，每个单元都被赋予了激励特性和材料特性。坐标值、全局坐标编码和 局部坐标编码构成了一个节点的完整描述。节点的全局坐标编码表示它在整个系统中 的位置，而局部坐标编码表示它在单元中的位置。三维有限元分析常用的单元是具有 四个节点的四面体单元和八个节点的六面体单元；二维有限元分析问题时，常用的剖 分单元是具有三个节点的三角形单元，对于不同的单元类型，可以通过求解域的形状 和求解精度的要求来选择。许多功能强大的有限元软件可以将任意选定的体、面、线 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 2 页 剖分成相应单元的能力。 第三步：插值函数的选择。在实际有限元分析中大都采用多项式作为插值基函数， 因为多项式可以方便的进行积分和求导运算，通过多项式阶数的选择可以描述任何复 杂的场分布。多项式的阶数确定以后，就能导出单元中未知解的表达式。以e 单元为 例，得到下列形式： 品。= 壹巧”产p ) 。p ) j = l 式中，刀是单元中的节点数；巧是插值基函数，通常也称为基函数或展开函数；彬 是单元中歹节点的“值。孵的最高阶被称为单元的阶。函数孵的重要特征是：它们只 在单元e 内才不为零，而在单元e 外均为零。 第四步：方程组的建立 以变分有限元为例，把磁位的插值基函数带到能量泛函，对变分问题进行离散化， 求出每个单元的磁位u 后，整个求解域内的磁位就可以用各个节点的磁位表示出： h r 品。= 孵“产妒) p ) j = l 与变值问题相应的泛函w ( u ) 将转化为与n 个节点磁位相关的多元函数 w ( u 。，“：，) ；而泛函w ( u ) 的极值问题转化为以形状函数l ，2 ，所形成的有限元 子空间中多元函数的极值问题。 w ( u l ，“2 ，) = r a i n 根据多元函数理论，当w ( u 。，u 2 , - u ) 达到极值时，应有 婴_ 0 ( p ：1 ，2 2 一， ( 2 1 6 ) o “p 用第一类边界条件修改上面得到的代数方程组。再求解该方程组就可得到各个磁 位的数值解。 实际应用中，先把泛函w 写成各单元上的泛函形。之和；即 e 形= 形。 ( 2 1 7 ) 式中e 为总体单元数；然后用单元e 的各个磁位把形。表示出，并分别对它们求导， 可以得到： 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 3 页 器啦州p 吣牛z 。 器= 砰坳卜坳w ； 器= 槲+ 饼+ + 锄：一片 式中每个单元的磁位标号为f ，j ，m 写成矩阵形式为 罔= 例叶 再将所有单元的结果按照( 2 1 6 ) ( 2 - 1 7 ) 依次叠加，并令其等于零，即 喜署：o ，善e 瓦o w = o ，喜署= 。 第五步：求解代数方程组。用边界条件对方程组进行修改，求解修改后的方程组， 得到各个节点的磁位近似解。线性代数方程组常用解法有高斯消去法、迭代法、平方 根法、共轭梯度法、不完全分解的共轭梯度法等。 第六步：结果分析。在实际工程应用中，仅仅求解出磁势和电势的分布是无法满 足实际需要的。有时候我们还需要得到其它的物理量，如能量分布、电流密度、磁感 应强度、力和力矩、电感和电容等。当然，以求解得到的磁势和电势为基础，容易导 出上述物理量，导出这些物理量的过程就称为解的后处理过程。 2 3 2 有限元仿真的一般步骤 早期的有限元研究人员把精力主要集中在计算机程序的编写和各种各样的数据处 理上。随着有限元算法的不断完善和电磁场后处理功能的日益强大，目前市场上已有 很多较为成熟的电磁有限元分析软件，其中包括国内使用较多的o p e r a 软件、a n s y s 软件等，这些软件为工程技术人员提供了很大的方便，把大家从编程和数据处理中解 放出来，从而把精力更多的投入到有限元算法的改进和实际工程问题解决上。对于电 磁场工程技术人员来说，掌握一个有限元软件是必须的。 通常的有限元软件包括两大模块，即附属管理器和求解器。 ( 1 ) 附属管理器，包括： 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 4 页 主框架模块；建模器；材料管理器；网格生成器；边界条件管理器；后处理器。 ( 2 ) 求解器，包括： 电场求解器；磁场求解器；瞬态电磁求解器；参数分析器。 有限元分析实际问题时的一般步骤为： 2 4 本章小结 图2 - 1 有限元求解电磁问题的流程图 本章从麦克斯韦方程出发，介绍了似稳态的麦克斯韦方程以及电磁场分析中常用 到的边界条件，通过电磁位的引入和规范变换的使用，使电磁场问题求解变得简单。 如今在处理电磁场问题时，有限元分析发挥了重要作用，掌握有限元分析电磁问题的 一般步骤，具有十分重要的意义。 西南交通大学硕士研究生学位论文第15 页 第3 章变压器损耗的理论分析 3 1 变压器损耗概述 电磁元件中，一般不可能没有线圈。在高频开关电源变压器中，绕组的损耗仍然 是高频磁性元件设计的重要依据。随着开关电源工作频率的增加，高频电流在线圈中 流通时会产生严重的高频效应，主要包括集肤效应和临近效应。这会使变压器绕组中 损耗分布发生变化，当绕组结构分布不合理时，损耗会严重影响变压器工作的性能， 并且可能烧毁变压器。因此有必要对高频效应产生的原理进行讨论睁引。 高频变压器的损耗包括：铁损( 磁芯损耗) ，铜损( 初次级绕组损耗) 以及电介质 损耗和杂散损耗等。其中电介质损耗和杂散损耗等附加损耗测定比较困难，而且数值 较小，所以一般情况下可以忽略不计，铜损所说的变压器损耗就指变压器铜损和铁损 两部分。铁损耗主要包括磁滞损耗、涡流损耗和剩余损耗三大类；铜损主要指高频下 的初次级绕组中的涡流损耗；杂散损耗主要指变压器漏磁场在金属结构件、油箱壁等 地方引起的涡流损耗等。变压器在工作时，损耗会转变成热量，热量的大小对变压器 的性能具有重要的作用，因此对高频开关电压变压器的损耗进行定性的分析和定量的 计算是有意义的，并且可为变压器的热分析提供一定的理论基础。 3 2 变压器铜损分析 3 2 1 集肤效应对绕组损耗的影响 集肤效应又叫趋肤效应，其定义是：当交变电流流过导体时，电流将集中在导体 、 的表面流过，这种现象叫集肤效应。 载流导线要产生磁场。首先研究单根导线磁场。载流导线总是两条线，假设电流 的回流线相距非常远，回流线磁场不会对单根载流导线的磁场产生影响。这样单根导 线电流产生的磁场如图3 - 1 所示。如果流过导线的电流是直流或低频电流i ，在导线内 和导线的周围将产生磁场b ，磁场从导体中心向径向方向扩展开来。在导体中心点，磁 场包围的电流为零，磁场也为零；由中心点向径向外延伸时，包围的电流逐渐加大， 磁场也加强，当达到导体表面时，包围了全部电流，磁场也最强。在导体外面，包围 的电流不变，离开导线中心越远，磁场也越弱。 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 6 页 图3 1 低频电流时单根导体磁场 图3 - 2 表示了集肤效应的形成过程。图中给出的是通电导体的纵向剖面图，当导 体通过高频电流i ( 如途中的红色箭头方向所示) 时，由右手螺旋法则可知，电流会产 生进入和离开剖面的磁力线。现在如果导体中的电流增大，由于电磁感应现象，导体 中会产生如图所示方向( 紫色线方向) 的涡流。由图可知：涡流的方向与导体表面电 流的方向相同，从而加大了导体表面的电流；而在中心处，涡流的方向与导体的电流 方向相反，抵消了中心线的电流。这样作用的结果是主电流和涡流之和在导线表面加 强，越向导线中心越弱，电流趋于导体表面流动。这就是集肤效应。 磁通漏流电流 导体 图3 - 2 集肤效应产生示意图 研究表明，导线中电流密度从导线表面到导线中心按指数规律下降。导线中流过 电流的有效截面积减少而电阻增大，这导致损耗加大。为了便于计算和比较，在工程 上定义从表面到电流密度下降到表面电流密度的0 3 6 8 时的厚度为集肤深度或穿透深 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 7 页 度，即认为表面下深度为的厚度流过导线的全部电流，而在层以外的