（计算机科学与技术专业论文）基于物理模型织物的计算机仿真研究.pdf

摘要 摘要 织物的计算机仿真在服装c a d c a m 、计算机幼画、廉拟现实技术等领域有 着广泛的应用前景。基于物理模型的织物仿囊不但姥反映织物的处帮特征，两曼 能辩织物的内部结构进行深入的分析，可得到真实的仿真效果。 文中从织物的物理建模歼始，把织物的内部作用力、”部作用力和约窳力作 为统一力处理，并飘应用统一的方程处理织物平面内和平磷外的变形，使褥仿真 精确度、计算效率秘通用性有了进步改善。提如了基于空气动力攀的随甍f k 风模 型并应用到织物的仿真中，使模拟织物( 旗帜) 在怒气中遴动更加通真。高效的 冲突检测与处理方法突破织物仿真的瓶颈，使得在不损失织物仿真实时性的同时， 提高了仿真的真实往。在上述的理论基础上，给出了旗帜仿真的结果，并对结果 进行了分析比较。最后对织物仿真中的摩擦力和无缝连接问题进行丁探讨。 关键词：物理模型织物仿真风模型旗帜冲突检测与处理 a b 擎黻e 下 a b s ，l i r a c t i nt h ec a d ，c a mo f a p p a r e lo r t e x c e , m p 毪姆r 跖油a i o na d v i r t u a lr e a l r y t e c h n o l o g y , c o m p u t e r s i m u l a t i o no fc l o t h h a s w i d e l ya p p l i c a t i o np r o s p e c t 。 p h y s i c a l l y - b a s e dm o d e lo f c l o t hs i m u l a t i o nc a l ln o to n l yr e p r e s e n tt h ea p p e a r a n c eo f c l o t h 矗ma l s oa n a l y z et h ei n t e r n a ls t r u c t u r ea n dg a i nt h er e a le f f e e ! i nt h i sp a p e r , t h ep h y s i c a lm o d e lo fc l o t hh a sb e e ne s t a b l i s h e d i nt h em o d e ，t h e f o r c e so fi n t e m a la n de x t e r n a li n t e r a c t i o na n dr e s t r i c t i o nh a v eb e e nc o n s i d e r e da sa u n i f o r mf o r e 。t h ed e f o r m a t i o no ft h ei n n e ra n do u l e ro fc l o t hp l a th a sb e e nh a n d l e d b yau n i f o r me q u a t i o n w h i c hf - u f t i c fi m p r o v et h es i m u l a t i o na c c u g r c y , c o m p u t a t i o n e f f i c i e n c ya n dv e r s a t i l i t y i nt h ec l o t hs i m u l a t i o n 。as t o c h a s t i cw i n dm o d e lb a s e do n a e r o d y n a m i c s h a sb e e n p r o p o s e d a n d a p p l i e d ，w h i c hm a k e s s i m u l a t i o no f c l o t h ( b a n n e r ) m o t i o ni n 娥fa i rm d r e 搿& l i 爨i c a l y t h ee e c j e n lm e t h o do f = o l l i s i o nd e t e e s o r a n d h a n d l i n gh a 3b r o k e nt h r o u g ht h eb o u l e w n e c k so fc l o t hs i m u l a t i o n w h i c he f l s b r e s r e a l - t i m ea n d i m p r o v e sr e a l i t yi nt h es i m u l a t i o n ，t h o s em e t h o d sh a v eb e e n u s e di nt h e i m p l e m e m a t i o n t h e s i m u l a t i o n e x a m p l e s o fb a n n e rh a v eb e e ni l l u s t r a t c da n d c o m p a r e di nt h el a s t ，t h ep r o b l e m so f f r i c t i o na n ds e a m i n gh a v eb e e nd i s c u s s e d k e y w o r d s ：p 姆s i c a l m o d e ls i m u l a t i o no fc l o t hw i n dm v d e l b a n n e rc o l l i s l o ud e t e c t i o aa n d h a n d l m g 创新性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师的指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容外，论文中不 包含他人已经发表或撰写的研究成果：也不包含为获得西安电子科技大学或其它 教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所作过的 任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示了致谢。 本人签名：瞻考渤 日期：枷2 ，；o 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：学校 有权保留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文：学校可以公布论文的全部或 部分内容，可以允许采用复印、影印、缩印或其它手段保存论文。( 保密的论文 在解密后遵守此规定) 日期：p 吐，o o 日期：夕锄2 ，0 2 、 椭转 第一章绪论 第一章绪论 计算枫仿真题计算梳图形学和艺术槽结合的产扬，怒伴随着计算机硬伟和图 形算法蠢速发展起来的门高薪技术，它综合乖j 隅了计算枫科学、艺术、数学、 物理学和其它相关学科的知识，在计算机上生成绚丽多彩的连续的虚拟真实画面， 绘a 稻撼貘了一个充分袋示个人怨象力鞫艺寒才熊豹瑟天缝。 在人们的生活中，织物无处不在时时可见。如何在计算机上有效和逼真地 伤囊织彩勰运动一壹是诗算税图形学骚究孛静一个爨有橇战往静课题。织物的计 辫机仿真不仅包括人体农服的仿真，还包括旗帜、窗帘、桌布等的仿真，织物仿 襄黔一个特爨庭溪领域建对装设计，它章簪改交镑绞翡鼹装设计i 雯摇，可诡天释在 衣服做好之前看到服装的式样和试穿后的形态。此外，e | 益发展的计算机辅助设 计及毫予麓务系统迄要袭快速、遥襄爨织物模熬餐法，淤黎蚤凌诗耀镬羯诗篝稳 _ 袋高效地设计和然产，势粑这些产品放到i n t e m e t 上，德网上选购织物冀正威为 霹籍。 随着服装工业、计算机技术、虚拟现实技术的飞速发展，兰维动画的广泛应 用，务秘诗算捉耱劲设计较终款诞生，鬓法秘零形硬俘方瑟鲍改落，袋褒霹良袭 计算机上对织物铸柔性材科进行柑对精确的建模和仿真，并且在计算机圈形、图 像领域受到相当载重视，毖憋对鼓会数发展产生深远鲍影羲。 1 。l梁性物体 有些物体不具有固体的形状，当其处于运动状态或接近其它物体时会变化其 表藤特征。这类物体包撬分子结橡、水溃积其它渡体、豢状物体、人类肌爽、织 物。这些物体具肖“柔性”并被称为柔惶物体( f l e x i b l eo b j e c t ) 因为这然物体育 一定程度的峨动性。 8 8 8 詈夕 图1 1碍分子分离时分子形状 圈1 2 人的臂膀肌肉形状 饲如，分子在独立存谯对其形状可蒡l 球形来攒述，值当分子接近其它分子时 会改变形状。电子云形状的变形是由于两个分子之间发生“结合”。图1 1 表示了 当疆个分予分离辩分子形欹靛延伸、分裂和收缩效莱。这些特性不能简单缝扁球 基于物理模型织物的计算机仿真研究 或椭球来描述。同样，图1 2 展示了具有类似特征的人的臂膀肌肉形状。此时， 希望能模拟表面形状而总的体积保持不变。 现已开发了几种用分配函数来表示柔性物体的建模方法，其中一个方法是用 高斯密度函数，或“凸”( b u m p s ) 的组合来对物体建模( 图1 3 ) 。这里的表面函数 定义为 2 】： f ( x ，y ，z ) = 阮e 一。彳- t = 0 ( 1 - 1 ) 女 其中疗= x ：+ j ，：+ z ：，r 是某个特定临界值，参数口和6 用来调整单个柔性物体 的数量。参数b 取负值能产生“凹”形而不是“凸”形。图1 4 表示了由四个高 斯密度函数建模的混合物体表面的结构。在临界值级上，数值化寻根技术用来给 坐标交叉值定位。此时，单个物体的剖面部分按圆或椭圆来建模。当两个剖面部 分彼此靠近，则它们趋于一种柔性物体形状。如图1 所示，它们的结构依赖于两 个物体的分离程度。 图1 3 赢斯密度函数图1 4 用高斯密度函数构造的柔体表面 另一些用来产生柔性物体的方法是使用在几个区间内取0 而不是指数形式的 密度函数。“元球”( m e t a b a n ) 模型将混合物体看成几个二次密度函数的复合形式： l ( r ) = 6 f l 一3 ，2 d 2 j ， 昙6 r 1 一，d 只 z d “软物体”( s o f to b 3 e c t ) 模型用函数： f c r ) = 百2 2 万r 万万一订 f ， 2 1 7 ，44 ，6 旧 式中的d 为球的直径，为两球心的距离。 如0 ，d 3 如d 3 d 如d d 1 2织物建模的基本方法 织物( c i o t 1 ) 作为柔性物体，针对其特点和模拟目的的不同，对其建模方 法可以归纳成三种：几何方法、物理方法和混合方法。 几何方法不考虑织物的物理特性，集中于考虑外观，将织物的形态特别是折 第一章绪论 痕和皱褶，通过几何方程表现出来，几何方法要求用户的介入和参与。目前主要 是将织物表示成由点组成的网格，在悬挂点和约束点之间放置悬链线，并不断调整 悬链线的位置来模拟织物的大致几何形态d , 4 , 5 , 6 3 】。然后根据实际需要，通过对悬 链线和约束点之间构成的三角形的不断缅分，达到所要求的效果。 物理方法主要考虑织物的质量、摩擦系数和弹性系数等物理特征，将织物表 示成三角网格或者是矩形网格 8 , 9 , 1 0 , 1 1 , 1 2 】。织物的质量均匀分布在网格的交叉点( 节 点) ( n o d e ) 上。织物上每点的受力和能量用与之互相作用的相邻点的状态来 计算。物理方法主要用于得到织物等柔性物体的运动状态。 在仿真的实际过程中，织物的运动状态是用网格上各个节点的受力和运动方 程来表示的。对方程进行求解，得到各节点的位置、速度、加速度等。因此，物 理方法虽然能够得到织物的运动状态，但由于网格节点的数量较大相应的需要 求解的方程数量也就较多，这就造成计算时间冗长，实时性较差。为了克服这一 不足之处，r u d o m i n 13 1 、k u n n i t l4 1 、和t a i l l e f e r 1 5 】提出了混合方法模拟织物材料的 理论基础。 混合技术利用了两种技术的优点，在模拟织物时常用几何技术来决定其粗糙 外形，用物理技术来精细结构。 随着计算机运算速度的不断提高，图形硬件的日新月异，各种算法的不断提 出，对织物等柔性物体进行模拟的技术已经得到了迅猛发展。 1 3 织物仿真的发展现状 传统c a d ( c o m p u t e r a i d e dd e s i g n ) 系统采用剐性模型( r i g i dm o d e i ) ，能精确模 拟机械零件的运动，刚性物体的模拟技术已经非常成熟。但这种刚性模型对织物 并不合适。对于织物，在外力作用下，织物会产生很大的形变，不同材料、不同 制造方法，乃至不同裁剪、不同缝制，织物的形变各不相同。科学家和研究人员 做了大量的实验和研究，获得了织物在外力作用下形变的精确物理参数，并试图 开发了一些模型描述这些形变，但由于织物的内在特性，这些模型并未得到广泛 应用，主要的困难在于： 织物本身的物理机械性能是非常复杂的。其材料的多样性、结构的复杂性、 形状的不规则性、以及个性化产品所产生的密度分布不均匀性等，都给织 物的动态模拟带来很大的困难： 虽然大量的实验给出了精确的织物形变参数，但不同方向，不同性质的力 涉及不同的形变规则，如何对这些参数进行总结分类，采用个简化模型 来概括所有的形变规则，是一个难点。现有的模型大都比较复杂，即便是 在高性能的机器上，计算一帧图像也需要数秒乃至数天时间，这显然无法 满足实时绘制的需要： 基于物理模型织物的计算机仿真研究 不同外部环境和不同的约束将给织物的运动描述增加许多困难。由于织物 的多孔性和周围物体的存在，在外部风力的影响下，织物的运动变得复杂。 碰撞检测是动画中的经典问题。在织物模拟中，织物一般表示为一张网格 曲面，由于它是一个柔性体，曲面的不同部分具有不同的运动，彼此没有 严格的约束，因此除了检测织物与周围物体的相交外，还必须检测织物不 同部分之间的相交，即自碰撞问题。碰撞检测和自碰撞检测必须进行大量 的几何运算，成为系统的瓶颈之一。 由于以上原因，虽然研究人员在这方面开展了很多工作，但至今使用计算机 对织物进行模拟的技术仍未获得广泛应用。w e i l t m 最早采用余弦曲线及其几何变 换模拟悬垂织物。之后，h i n d s 等人【4 1 5 】，n g 等人【6 l 采用纯几何变换模拟特殊情况 下织物的变形。h a d a p 等人口】采用纹理与几何相结合的方法模拟衣服上的褶皱。 纯几何方法需要用户的干预，并且仅能适用一些特殊情况，因此大多织物模 拟系统都是基于物理的建模，或将物理建模与几何方法结合起来。基于物理的建 模通过引入质量、力、能量等物理量，将织物各个部分的运动，看成在各种力的 作用下质点运动的结果。t e r z o p o u l o s 等人 8 , 9 1 把织物的变形，描述成织物内部组织 抵抗形变产生的弹性力、外界作用力和阻尼力共同作用的结果，为织物提出了弹 性形变模型，建立了物理基础。t e r z o p o u l o s 之后，很多工作都集中在织物的弹性 形变模型上，这些方法最终都可以归结为质点弹簧模型。t h a l m a n n s 1 6 1 7 】领导的 m i r a l a b 也发展了弹性形变模型，用于虚拟演员的服装模拟和3 d 时装辅助设计， 并且他们对织物的碰撞检测及其优化进行了讨论。b r e e n 等人1 1 8 j 9 1 研究了不同织 物的力学特性，提出了织物模拟中质点系统的概念。质点系统中，用由弹簧相互 连接的一组质点来描述织物的状态，用系统能量最小化方法求解各个质点的位置。 以上基于物理模型的织物模拟，尽管其表达方式、求解办法有所不同，但都 可归结为：根据牛顿运动定律，给出质点间弹簧形变关系( 可以用力的形式表示， 也可以用能量表示) ，得到一偏微分方程( 组) ，最终用数值方法求解该方程( 组) 。 在经典的质点弹簧模型中，一般每个质点都和其邻域中的至少8 个邻点用弹簧相 连，由此获得的偏微分方程非常复杂，采用经典的欧拉方法、龙格库塔或共轭梯 度法求解，需要迭代多次才能收敛到平衡状态。b a r a f f 等人1 2 0 l 对方程的求解方法 进行了研究，采用隐式迭代，可以把每次迭代的步长拉大，从而减少迭代次数。 总之，当前的各种模型在模拟速度和通用性两个方面仍不能满足用户的需求。 人们所期望的通用、逼真、高效的织物模拟模型和产品仍有待于进一步研究和开 发。 1 4柔性物体仿真的意义 虽然柔性物体仿真有如此多的困难，但依然有许多研究工作者投入大量的精 第一章绪论 力，改进舅法，翻建模婺，提嵩硬彳聿簸毽速簇。嚣为柔缝物体费粪在 c a d c a m ( c o m p u t e r a i d e d m 觚u f a c t u r e ) 中的服装设计、室内装修，人工合成的动 西冀澍佟，纛羧现实簿按寒审其有缀大翡瑗窦意义。 1 4 1 服装c a d c a m l ：l ，：2 l 对于服装c a d c a m 系统来说，高级服装设计系统需要进行各种织物及薄型 耪磐熬魏囊，浚诗爨鼹要蘧，辑款圭| 羹漤鬟毒季糕懿矮建、色彩、匿寨、尺寸秘环境 的光源、重力、风源、风速、风向以及对材料的动力学约束。 黢装片瓣拐始形状是逶 霪在二维平蘧孛以交互戆彩式遴行设计鬏修改来宠成 的。缝合线和缝合边用不同的颜色来淡示它们的对应关系。系统要提供大量的二 缝露形处理璎戆。势梵二维鹫形提供怒声接搿，设诗瓣可抉撼熊进行传统方袋款 服装设计及摊料。在此基础上，设计师首先根据前面的二维服装设计来生成三维 服装片，著鬟鼠标器求对表臌片实时媲进行三维移动敬旋转操作，怒l 受装片敖嚣 在人体的相应部位周阑。最厝，系统囱动地椿各服装片缝合程一起，并穿戴在人 体模特j l 的身上。 在人体的支撑和羹力的作用下，服装的三维形状、皱褶及其运动效果取决于 服装的尺寸秘率孝料。设计师选择的多零申图寨受能实时地映贴到三维8 整装之上。 最独特的萌能应该是集成化的三绒入体及服装动淼横拟演示。浸计师可设置 随时闯变化的风源及光源。把人体激滔压，系统将自动地计算和记蒙人体的运裁 和服装在风力。重力、及人体推动下的运动细节。从简代替现实生活中时装模特 的试农表演，它可使服装设计师在服装靠4 作出来之煎对其设计遴幸亍全方位地考查， 观察箕设计在运动人体上的动态效果，并可把此模拟效果记蒙在存储介质上以便 存档、重放和演示。此强大功能缩短了设计周期，提离了设计效率，同时还可免 除聘请时装模特几的离昂费用。 1 4 。2 三维动蕊技术 柔性物体动画( f l e x i b l eo b j e c t a n i m a t i o n ) 其实质是指场景中任何随时间而发 堡静磁觉交纯。踪了使用平移、旋转柬改变鬃僚物薅艟位置静，还要鲶理柔璐物 体随时间、位勰变化而导致的变形、槠皱等特殊行为。 奁娱乐、广告等蹴较关心视觉效巢的应蔫场合，簧尽量翔工场最中对象豹外 形特，谯，在科研、教学等要求精确表承的应用场合，要尽量增强场景中对象的物 理塞黪徭。 基于柔性物体的外形特性和运动特性，在三维动谶技术中，可以对描述鬃性 耱俸豹物理量遴行控澍，麸稳获褥燹耱囊实斡三缝动蕊簸票。 6 基于物理模型织物的计算机仿真研究 1 4 3 虚拟现实技术 对于虚拟现实技术2 3 1 来说，柔性物体动画比刚性物体的计算机动画更具真实 性，用柔性物体描述的场景，如汹涌的波涛、晶莹的露珠、五彩的旗帜、潺潺的 流水在虚拟的现实中更具动感 2 1 。用柔性物体描述的虚拟“演员”在电视、电影 或游戏中比卡通片中的“钢铁”机器人更容易让观众或玩家接受。 1 5本文的工作 本文在研究织物特性和力学模型的计算机处理机制的同时，分别从动力学、 弹性力学、空气动力学、流体力学、图形学等几个方面对织物的计算机仿真进行 了比较深入的研究。对织物的模型用质点弹簧系统建立三维的网络结构；运用动 力学、弹性力学建立网络的内部连接机制以及变形约束；运用空气动力学、流体 力学和风洞数据建立随机风模型，用来描述织物在风力的作用下运动状态；运用 图形学理论和方法仿真织物的运动：最后使用v c + + 6 。0 语言和s g i 的开放图形库 技术( o p e n g l ) ，在p c 机上实现了旗帜无风时的自然悬垂状态和在随机风的作 用下的飘舞。概括起来，主要有以下几个方面的工作： 分析织物的基本特性 在处理系统的内部力和外部力时，利用了统一力的概念 用了统一方程描述织物变形 从物理学的角度描述了织物皱褶的形成 建立了两种风力模型 提出了一种简单高效的冲突检测和处理方法 实现了以上模型和思想，并对结果进行了分析和讨论 对织物仿真的进一步研究进行了探讨 通过对织物建模和仿真的研究，为虚拟人的着装及织物的三维动画的研究做 出了积极有效的贡献。 本文得到了陕西省自然科学基金( 0 0 0 x 0 0 2 ) 的支持。 第二章基于物理的织物模型的建立 7 第二章基于物理的织物模型的建立 对于柔性物体，如织物、绳、云、或软橡皮球可以用基于物理的建模方法来 表示。此方法描述了物体在内外力相互作用下的行为。 图2 1粒子弹簧模型图2 2粒子拉伸模型 模拟织物的一个普遍方法是用一组网格节点来逼近物体。而节点间由弹簧连 接。图2 1 表示了二维弹簧网格，用来逼近一个橡皮的行为。在三维空间中可建 立类似的弹簧网格来模拟一个橡皮球或胶状块。对均质物质来说，可用相同弹簧 贯穿网格。若需要物体在不同方向有不周的性质，可以在不同方肉用不周的弹簧。 当外力作用于弹簧网格时，单个弹簧延伸或压缩多少依赖于弹簧劲度系数的值。 在力f r 作用下，节点的位置水平位移了z ( 如图2 2 所示) 。若弹簧被拉伸偏 离平衡位置的位移量为x ( 在弹性限度内) ，则计算弹力用胡克定律1 2 4 】： 只= 一只= 一船( 2 - 1 ) 其中只是与e 大小相等但方向相反的力。这一关系也在水平压缩x 时成立，同样 在y 和z 方向上有类似的位移和力元素间的关系。 如果物体完全是弹性的，当外力消失对，可恢复到原来形状。但如果要模拟 粘性材料，或其它可变形物体，需要修改弹簧特性以使弹簧在外力消失时不回到 原来位置。然后作用力可以在其它途径上改变物体形状。不用弹簧也能用弹性材 料模拟两节点间连接，然后在外力影响下，用最小化张力能量函数来决定物体的 形状。这方法提供了更好的织物模型，各种能量函数也被用来描述不同织物的 效果。 为模拟一个织物，首先让一个外力作用在物体上，然后，考虑贯穿物体网络 的力传递。这必须建立确定贯穿网络的节点位移的联立方程。调整能量函数的参 数，可以模拟不同类型的织物。 基于物理的模拟方法也可以在动画中更精确地描述织物的运动路径。以莳的 动画常限于使用样条路径和运动学。其中运动参数也仅仅基于位置和速度。基于 物理的模拟方法用力学方程描述运动包括力和加速度。基于力学方程的动画描 述比基于运动学方程的描述产生的运动更真实。 在动画织物时，许多专家采用不同的技术来模拟织物，其基本思想是在块 基于物理模型织物的计算机仿真研究 弹性系统中，织物被划分成有限的3 d ( t h r e ed i m e n s i o n ) 粒子，然后用弹簧连接成 有序而有弹性的系统，即：可变形弹簧模型。本文建立了一个可变形弹簧模型， 给出该模型的弹力公式，利用该公式可生成不同属性的织物。 2 1模型的结构 可变形弹簧模型是由四边形粒子网格组成的( 如图2 3 ) ，它的行或列的粒子 间距离为1 个单位长度，粒子的质量设为1 个单位，织物用不透明的多边形( 三 角形) 网格构成，这些多边形顶点经过粒子的位置i z “。 八 图2 3可变形弹簧模型的粒子网格( 三角形划分) 结构 在网格结构中有三种类型弹簧( 图2 4 ) ：连接行线或列线相邻粒子的弹簧为 结构弹簧；连接四边形网格对角线粒子的弹簧为剪切弹簧；连接行线或列线上相 间隔粒子的弹簧为弯曲弹簧。 枷。u j i ，j i 、f lr j ， j 4 ： 7l卜：j 札1 饥j 1 + k j 1 图2 4 结构弹簧( 粗实线) 、剪切弹簧( 虚线) 、弯曲弹簧( 细实线) 结构弹簧用来保持织物的自然四边形状态，但是作用在织物上的平动力没有 完全地由模型传递给整块织物，而是正交地分配给少数几个节点。自然地，仅仅 由结构弹簧连接的模型能很好地模拟施加在织物上实际力的作用，但是由于较长 的计算时间限制了可以使用的节点数目，因此需要剪切弹簧的存在，它能帮助实 薅= 章基于纺毽静织物模型的建蠢 9 现辨表懿力豹健撵。毙终，剪锈撵簧也霹方便缝实瑗菜耪麓望数瑟糕乡 袭( 如皱 纹纸) 。弯曲弹簧在同一方向上作为结构弹簧的延伸，而不是用来连接节点，它们 彭s 过一个节点；设置这些弹簧穰缀驰约寒掌数，傻织秘不会太容荔弯趋( 骛切弹 簧也有同样作用) ；另外，由于弯曲弹簧跳过一个节点，会阻止潞轴向的弯监，从 嚣能阻止织物在平蟊上被撅裂。 在生成表面时，三角形弹性块也随之生成，实际中织物模拟动画系统还涉及 微粒在每一帧动馘中的位置。微粒的位黉除了受到弹力的影响终，还要受到诸如 慧力、风力以及微粒与其它对象冲突时的影响。 2 2弹力及弹力公式 在其它基于弹性理论的公式中，弹性材料的属性被存放在属4 黢矩阵孛。然而， 自动格式化属往矩阵是穰困难的。因为存在数掌条件不照的问题，有时也不可能 求解动画模型的微分方程。这里将给出一个可变形弹簧模型的公式，在这个公式 中自动遗替代属饿矩阵的形式，弹性藕谯当作外部弹力表示。尽管用属住矩阵始 理弹性是宪美的，最适合的方法，但本方法更有效，更快。 阚稽痣节点熬安撵( 辫2 3 ) 怒甄= 毛n ，螽2 = ，m 分剜在求平和受藏方向， 为簿单越见，令h t = 致。h 。 可以间时对网格点施加多种外力，这魑外力的种可能类型怒重力，且是已 躲鹣。如莱一些潮椿熹遥强逢被约奈在酶定谴饕，那么将还有一赣对这黧点不知 道的弹性力( 即约束力) 。图2 4 湖格中箭头线段栩当于弹簧元，根据网格的初始 豫霍，在模鍪中遴可麓存在一部分弹力。 可变形弹簧模型的运动方程用拉格朗闷形式表示如下： m 等x + c 要工+ 彭o ) x - - - - ，( 苫) ( 2 2 ) 虢。破 、 、 式( 2 2 ) 中贝站为努力褒速式；爱( x 强为撵力袭达式，是蜜结擒弹力、剪甥弹 力、弯曲弹力三部分组成，即x ( x ) x = e ( x ) + 巳。( x ) + 民。( x ) ，可以抱网格点 越的弹力铙为一个井部力，令矗恤= 茁( x 弦，并飘将厶慨移弱方程( 2 - 2 ) 的右 边，褥到一个裁黪形式，它将会麓纯对公式鲍处壤。 网格点的位置矢量x 袭示如下( t 表示矩阵的转置) ： ，：融】 x ；= i x 7x 培 x 。t 。】 置表示第f 行所有闭格点使置矢薰。 犯一3 ) ( 2 - 4 ， 蓐，是网格点以歹，的位畿矢量 1 0 基于物理模型织物的计算机仿真研究 ( i = 0 ，m ，= 0 ，n ) 。在等式( 2 - 2 ) 中m 是质量矩阵，是一个 r 小+ 1 j r 厅+ 1 j r m + 1 j r + 1 j 阶的对角阵，对角线元素是网格点的质量，若粒子质 量为单位质量，则m 是单位阵。c 是一个f 前+ 1 ，似+ 1 ，f m + 1 j r 拧+ l ，阶的约束 对角矩阵，对角线元素是网格点的约束限制，等式( 2 2 ) 可被改写为： m 等x + c 瓦d x = j i x ) 一j 。m 。( x ) q 这种用外部力表示弹性的方法必须寻找矩阵厶。的元素，弹力矩阵可分解 成： 厶= k n 露】( 2 - 6 ) 其中矢量，。= f l t - 7 ，：，中的元素为所有作用在网格点( f ，) 上的弹力。 若弹簧组件的两端点自由长度为，弹簧的劲度系数为也则在3 d 空间中， 对于结构弹簧弹力【2 6 】为： 户毛卜一祷j 亿7 ) 式中x ，_ ：c ：为端点位置矢量，注意：矢量而- x ：的计算是基本的，它也在表达 式的第二项中出现。等式( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) 可用于求解等式( 2 - 6 ) 中厶岫的 元素。 对于剪切弹簧其弹力为： ，。= 一k 2 妒( 2 - 8 ) 其中= c o s - i f 妻妻 为在“，。方向上的剪切力的夹角( 如图2 5 所示) 。 v c 口 b 7 口 幽2 5 三角形的剪切形变图2 6 三角形的弯曲形变 对于弯曲弹簧其弹力为： 。d = 一七3 盯( 2 - 9 ) 其中盯：三为弯曲的曲率，0 = c o s - 1n t * n ，) 其中n t ，m 分别是三角形口b c 舢甲 第二章基于物理的织物模型的建立 和a b d 的法向量 如图2 6 所示，锄为正交化常量- 对于可变形弹簧模型内部的网格点来说，通过增加对十二个相关网格点的弹 力的应用来计算弹力。 0 t , o 已口 日，j - z0 j t 8 ，i挣i n ，i 2 ( 。) 左上角 ( b ) 上边界 图2 7 角、边界网格点问的相互作用( 图中只给出左上角和上边界的图示) 疆霜 1 0 d ， l 。1 r 勘1 、。2 , 2 3l 下_ r t - 2l l j 一1l j 1 1 1 + l i i ， 2 , j 。如匡：!生z ，j + 1 - 丑j ( ) 左状上角( b ) 谈上边界 圈2 8 次角、次边界网格点间的相互作用( 图中只给出左次上角和次上边界的图示) 对于角上网格点只有五个相关的点对弹力有影响，对于边界线土的网榕点有 八个相关的点对弹力有影响( 图2 7 ) ，对于第2 ，m 一1 行或第2 ，胆一1 列的次边界网 格点有十一个相关点对弹力有影响，对于次角上网格点有十个相关点对弹力有影 响( 图2 8 ) 。同理，可以很容易地推出边界和角以及次边界和次角上网格点的弹 力表达式。 弹力公式用如下方法实现：由于已知网格点的初始位置，所以矢量厶。可以 从外部弹力方程计算出。首先求解微分方程( 2 5 ) ，其次确定网格点位置矢量的 值。然后计算矢量夕蒜。鲍僮，并且重复处理， 2 3空气阻尼力 空气阻尼力是旗帜模拟中的重要参数，如果阻尼系数太小，无法衰减节点的 动能：如果太大容易产生振荡。在质点一弹簧模型中。不同的力必须由不同的阻 尼力方程来平衡；而采用上节的方法后，把各种不同性质的内部力统一起来，因 此，只须定义个阻尼力即可： 其中p 是空气的密度( 假设空气是不可压缩垂勺，因此它是一个常数) ：是腰尼系 r 0 枷 山 删 q 矿 vp 虬叫 o 0 o d ，。，l l i f 基于物理模型织物的计荐枧仿真研究 数；v 是节点的运动速度；定义了一个闽值。“，当节点的速度小于。蚺删时， 隰麓力是p 瓣一次爨数，当速度大予。“辩，毽怒力是矿夔二次淹数。 对处于不同位臀和速度的不同节点定义了不同的t ：考虑旗帜的远端为自由 装，它们懿运动受空气阻力瓣影嚷麓大，爨避处于长方形鄹穆熬秀个建上懿摹点 ( 它们只有两个相邻节点) 的c 最大，处于网格边界上的其它节点( 它们肖三个r 楣邻节点) 憋c ，硝小，处子网格内都兹节点( 骞四个租邻警点) 鲍友最小；投摆 速度的不同，速度大的节点的c 大。 2 4皱籀的形成 本文中驰粒子织物模鳖是把缓魏看作楚靛子戆集会体，宅位子织锈经线程纬 线的交叉点上。决定织物行为的重隳相互作用就发擞在这些交叉点上，在这些点 的 乍用是如此强烈，以致予这些丝线都被紧紧地结会在一越；弯曲是发生在织物 的平面上。其它相甄作用，如丝线的拉伸和两的弯曲，都可强方便地雳交叉点来 概括和描述。 在这个模型中，用能量灏数来袭示不同缝线结构的约荣力。这贱能量蠲数主 要考虑局部医域内糠子之阕的几何哭系，由四个基本相互作用构成的：线排斥、 线控伸、弯曲和交织。 毯+ i + t ，刊 i p - - - - j ( i ) t ) 冲共冁撩律 篷2 9 缓鐾模羹能量螽数 如图2 9 所示，对于粒予i ，能量方程可麓为： u 。= u 滞啦u # 嘲荫u i 。瞄+ u 惮悖扭。u 口恻 q 飞q 在该方程中t v 。表示斥力能量，正是由于斥力的存在t 彳使得粒子之间有 一个疑，l 、距离，该联挺供了线接斥捡测鳇一蹙方法，寅助予维持织物垂麦懿交叉 基于物理模型织物的计算机仿真研究 的变化。 粒子相互交织形成的网格状的现象在图2 ，9 ( c ) ( i ) 中显示出来，并且在图 2 9 ( c ) ( i i ) 中画出了交织能量t 的曲线变化图，假设交叉角度为9 0 9 时粒子处于平 衡状态，但是当模拟模型滑动变化时，角度很容易会发生变化。那么交织角口被 定义为某一线段离开平衡念时所形成的角度。交织能量完整的函数可写成： m ，= t o p v ) ( 2 - 1 8 ) j e k 在这里，石，表示有四个交织角的集合。其中是粒子i 与四周相邻的四个 粒子所形成的角度，当发生弯益时，选用这个公式可以局部地解释粒子位置发生 变化时其能量的变化。 把模拟模型所进行的操作可以看作三个过程，而每个过程是计算出每个粒子 的动力学特征，就好像是在介质中作自由落体运动一样，并且估计出它周围几何 体的碰撞情况。第二个过程是确定一个最小能量来约束粒子之间的作用。能量最 小化算法具有一个随机量，使得粒子能够脱离最小距离和使网格发生微小扰动。 第三个过程是修正每个粒子的速度，用于计算第二个过程中粒子的运动。 在图2 , 9 中所显示的能量函数的曲线，在形状上与过去使用的验证理论模型的 曲线相似。对这些原始的函数，可以很方便地添加上合理的边界条件。即使是使 用这些“粗略”的能量函数，控制粒子之间的相互作用就可以产生宏观上的皱褶 行为，而且这种皱褶行为与织物的真实行为相近。 2 5弯曲和交织能量方程 在上节中，弯曲能量和交织能量表达式中只给出了它们的粗略表示，这一节 将推导出式( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) 中的b 和丁的表达式。 在单根丝线轻微形变条件下，假设弹性弯曲线理论也是适用的，并且该理论 可用于弯曲能量，在弹性线出段上，由于弯曲而产生的能量d u 可写成： d u ：攀( 2 - 1 9 ) z p 其中m 是作用在出段的弯曲力矩，p 是曲率半径，与曲率的关系是k = 1 p 。在 文中的模型中，每一个粒子都是与它四周的粒子保持一定的距离盯，盯是网格维 数与粒子密度的函数，因此每一个粒子都代表了口盯大小的一块织物的面积。 这一块织物面积可视为由相互平行排列的一系列弹性线组成。这些线中的每一根 线的弯曲能量可用积分表示： u ：s 半- d s ( 2 - 2 0 ) o 假设在仃盯区域内，力矩和曲率是一个常数，因此单根线的方程可简化为： 第二章基于物理的织物模型的建立 u ：孥仃( 2 - 2 1 ) 糕然艇怒绘定熬樽晶荤掇长度戆力矩裁霹戳麓鼙缝对方程【2 2 1 ) 黍上一个宽 度就可得到盯d 黩域内尊舱弯熊糍量方穰，于是单方向肫单个粒子的弯嬲方 程就交舞： b ：攀盯：( 2 - 2 2 ) 对每个粒子这个计算要进行两次一次是沿着经线方向，一次是沿着纬线方 囱。由于力矩膨是趁攀要的避数，黪激( 2 2 2 ) 审鲍暑实际上楚藏率豹攀变量交数。 因此仅需要把曲率与模型的弯曲角度联系起来即可， 遴过缓设菜个粒子与两边粒子梭磺静鳇搴是常数，藏哥邂议缮彰澄一条线兹 某个拳点子处的曲率大小。根据该假设，一个灏通过三点，并鼠圃柱的曲率可以计 算得到。不幸的是，巍弯蓝焦p l i t , l , i t 重，假设麟不成立了。必了荦导到大形变懿条 件下织物的干亍为，希麓对小的弯曲角曲率可以是任意大。作为种近似，把曲线 a t 8 + b 应用到小角度愤况并褥烈完整的曲率方程： 础，= 仨署端例4 ，翼篙孑 陆：。， 这里，常数口= 2 1 0 - e o s ( x l 孑，夕= 拶s i i i p ，劫掰作扩= 厅4 处傈待和c 。的连 续性。 对于储存在一块织物内的赞切能爨驴，可以由力f 作用位移西产生： = l f d s( 2 * 2 4 ) 如果假设样品的宽度，在剪切过程中保持不变，而翦切力作用点运动轨迹魑圆 弧，那么其长寝定义为s = 矽，这墨矿建剪韬角。如暴力 笮穗在圆弧上，那么它 沿运动方向的大小为f c o s 妒，把这些结粟应篇别( 2 2 卵中，得到剪切角的能豢方 疆； t = l f e o s # t d #f 2 - 2 5 ) 2 6织物的变形 织物在外部负荷的作阁下要发擞一定的变形，利用弹性薄扳小弯曲偏差理论可精确地描 述织物黥变形， 2 6 。1 平蚕外交澎 织物或衣服易受平颡内和平面钤的力的影瞬导致产生乎灏内和平厦外聪变 基于物理模型织物的计算机仿真研究 形，即：就平面内的力来说，意思是力的方向在平面内，对平面外的力就是力的 方向垂直于织物表面。同样，平面内的变形表示其位移在平面内，平面外的变形 表示其位移垂直于织物表面。由于大多数织物材料的属性，平面内的变形太小以 致于平面内的力和平面外的力能被分开，因此，这两个力可分别地用公式表示。 弯曲变形常常是主要的变形形式，在平面外负荷的作用下，应力位移关系由 下式给出【2 7 】： o ua 2 w q 3 否一2 萨 勺= 詈一：詈( 2 - 2 6 )勺2 瓦一2 萨 ) 氏：堡+ 塑：- 2 z 盟 2 否+ 瓦2 。丽 其中“，v 和w 是位移，t ，和k 分别是沿x ，y 和：方向的应力 对各向同性的模型，应力和应变间的关系遵守胡克定律有如下的形式： 吒2 贵( q + 鹎) o y2 贵( 勺+ , u 6 x ) ( 2 - 2 7 ) e 2 而 其中o x ，q 和r 。分别是沿工，y 和；方向的应变；e 是杨氏模量，是泊松 比。 将( 2 2 6 ) 代入( 2 - 2 7 ) 即得应变偏差关系： f a 2 wa 2 w 1 吒一可l 萨叫矿j 旷一南( 雾+ 咯) ( 2 - 2 8 )q 一可l 矿叫矿j t x y 2 = i + u 0 。x 。0 y 对静态织物弯曲问题基本偏微分方程从织物弯曲的总能量变化中推出，即： u = 矿 ( 2 - 2 9 ) 其中u 是总应力能它可表示为： u = 鼍孓6 ；s x + o y s y + rx y y 。v ) a vq 一3 0 ) w 是总功由平面外负荷产生的，从下式得到： 第二章基于物理的织物模型的建立 = q w d s s 其中g 是平面外的负荷。 将( 2 2 6 ) 和( 2 - 2 8 ) 代入( 2 - 3 0 ) 织物弯曲的四阶偏微分方程 d v 4 w = q 其中 ( 2 - 3 1 ) 然后将( 2 - 3 0 ) 和( 2 3 1 ) 代入( 2 2 9 ) ，得到 ( 2 - 3 2 ) d ：墅：= 。；1 琴一o a 。 陋s s ， 矿2 专n 南+ 嘉 其中h 是织物的厚度。 对于织物弯曲的动态问题，动态平衡条件可表示为： 留。+ g ，+ q a = g( 2 - 3 4 ) 其中q ，为织物的弹性形变力，吼是内部力，吼是阻尼力，g 是施加的外力。 对各向同性弹性物体，根据( 2 3 4 ) ，动态平衡方程有如下形式： 删w + 丽害3 t + c ；詈= a ( 2 ，s ) 27 a 1 7 其中m 是密度，c ：是织物在= 方向的阻尼系数。 从( 2 - 3 5 ) 可以看出运动和变形在统一的模型中被使用。 2 6 2 平面内变形 平面内变形在模拟可拉伸的织物中起重要作用。在内部负荷作用下，平面内 的变形用基本的平面应变方程就可表征。 抛 占= 一 盘 却 。，。面 平面应变与应力位移关系有下列形式 ，2 3 6 ) a “a v 2 万+ 瓦 对各向同性弹性物体应变和应力的关系( 2 2 7 ) 给出，静态平面问题的平衡方 程由下式给出： 孕+ 拿+ ：。 函 砂 。 孥+ 笠+ y ；o 西缸 。 ( 2 3 7 ) 基_ f 物理模型织物的计算机仿真研究 占1 a 警+ 生2 雾+ 坐2 岳卜= o ，s ， 一2l 苏2 西2 。知却j 一” 怕。叫 南1 ( 等+ 坐2 筹+ 坐2 蓦 + y = 。 一2 i 咖2 。 叙2 叙砂。 孥+ 擎+ a t ：朋_ 一0 2 u 托盟a ) c卸魂z 8 t 堡+ 立+ y - 丽垂托堡 q 。9 引铲“+半争半茜)+x=-o矿2u螺瓦oul-z2呸-t e 倥。1 三篓1 ：pz 、，一。? c z 铷， fa 2 v一a 2 v + 肛a 2 “1 一a 2 v 加 可l 矿+ 亍丽+ 彳丽广一萨+ c y 瓦 2 6 3 有限差分近似 推导出上面的方程后，下一步将是设计出求解算法。为了有一个直接的控制 求解的过程，使用了有限差分方法，它对( 2 3 2 ) ，( 2 3 5 ) ，( 2 3 8 ) 和( 2 4 0 ) 提供了 有限差分近似 2 s 1 。 l 图2 1 0 差分方法的典型节点 基本的有限差分公式有中央差分、向前差分和向后差分，其中中央差分使用 最广。参照图2 1 0 给出典型节点和网格的表示，在节点0 处能得到一阶到四阶的 中央差分公式，应用这些公式到静态平面外的织物变形中， ( 2 3 2 ) 可改为： 第二章基于物理的织物模型的建立 2 0 k 一8 l 十w 2 + 鸭+ w 4 ) + 2 ( w 5 + 氓+ m + ) + ( + o + w t t + w 2 ) = 等( 2 - 4 1 ) 导釜。嘁一8 ( 城+ w ：t 十弼+ 弼) + 2 ( 域+ + w ；嵋) + ( + e d ，i 。+ 嘲，+ w ；：) 】 + 击( 善+ ) 峭m 辱峨击f 吾一) 眩m ：醌 8 4 2 ”挚蝴卜( 3 训一誊q 飞飞卜，1 - 蓐